Uzayda bir π düzlemini ve keyfi bir M 0 noktasını düşünün. Hadi uçağı seçelim birim normal vektör n'ler başlangıç bir M 1 ∈ π noktasında ve p(M 0 ,π) M 0 noktasından π düzlemine olan mesafe olsun. Sonra (Şekil 5.5)

p(M 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

|n|'den beri = 1.

π düzlemi verilirse dikdörtgen sistem genel denklemine göre koordinatlar Ax + By + Cz + D = 0 ise normal vektörü koordinatları (A; B; C) olan vektördür ve birim normal vektör olarak şunu seçebiliriz:

(x 0 ; y 0 ; z 0) ve (x 1 ; y 1 ; z 1) M 0 ve M 1 noktalarının koordinatları olsun. O zaman Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 eşitliği sağlanır, çünkü M 1 noktası düzleme aittir ve M 1 M 0 : M 1 M 0 = (x 0) vektörünün koordinatlarını bulabilirsiniz. -x 1; y 0 -y 1; z 0 -z 1). yazmak skaler çarpım nM 1 M 0 koordinat formunda ve (5.8) dönüşümüyle elde ederiz

Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D olduğundan, bir noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplamak için noktanın koordinatlarını yerine koymanız gerekir. genel denklem düzlemi seçin ve ardından sonucun mutlak değerini, karşılık gelen normal vektörün uzunluğuna eşit bir normalleştirme faktörüne bölün.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Sizden bilgilerinizi vermeniz istenebilir kişisel bilgi bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak sağlar.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzeri bir teşvike katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekli olması durumunda - yasaya, adli düzene uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarının taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, hukuki yaptırım veya diğer kamu yararı amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf haleflere aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizin şirket düzeyinde korunması

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik uygulamalarımızı çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

, Yarışma "Ders Sunumu"

Sınıf: 11

Ders için sunum

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemesi yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tamamını temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Hedefler:

• öğrencilerin bilgi ve becerilerinin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi;
• analiz etme, karşılaştırma, sonuç çıkarma becerilerinin geliştirilmesi.

Teçhizat:

• multimedya projektörü;
• bilgisayar;
• görev sayfaları

ÇALIŞMA SÜRECİ

I. Organizasyon anı

II. Bilgiyi güncelleme aşaması(slayt 2)

Bir noktadan düzleme olan mesafenin nasıl belirlendiğini tekrarlıyoruz

III. Ders(3-15 arası slaytlar)

Derste bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmanın çeşitli yollarına bakacağız.

İlk yöntem: adım adım hesaplamalı

M noktasından α düzlemine olan mesafe:
M noktasından geçen ve a düzlemine paralel olan a çizgisi üzerinde yer alan keyfi bir P noktasından a düzlemine olan mesafeye eşittir;
– M noktasından geçen ve α düzlemine paralel olan β düzlemi üzerinde bulunan keyfi bir P noktasından α düzlemine olan mesafeye eşittir.

Aşağıdaki görevleri çözeceğiz:

№1. A ... D 1 küpünde C 1 noktasından AB 1 C düzlemine olan mesafeyi bulun.

O 1 N segmentinin uzunluğunun değerini hesaplamak için kalır.

№2. Tüm kenarları 1'e eşit olan düzenli bir altıgen A ... F 1 prizmasında, A noktasından DEA 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

Sonraki yöntem: hacim yöntemi.

ABCM piramidinin hacmi V ise, M noktasından ∆ABC'yi içeren α düzlemine olan mesafe ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = formülüyle hesaplanır.
Problemleri çözerken, bir rakamın hacimlerinin eşitliğini iki farklı şekilde ifade ederiz.

Aşağıdaki problemi çözelim:

№3. DABC piramidinin AD kenarı ABC tabanının düzlemine diktir. Eğer A'dan AB, AC ve AD kenarlarının orta noktalarından geçen düzleme olan mesafeyi bulun.

Sorunları çözerken koordinat yöntemi M noktasından α düzlemine olan mesafe ρ(M; α) = formülüyle hesaplanabilir. , burada M(x 0; y 0; z 0) ve düzlem ax + by + cz + d = 0 denklemiyle verilir

Aşağıdaki problemi çözelim:

№4. A…D 1 birim küpünde A 1 noktasından BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

Başlangıç ​​noktası A noktası olan bir koordinat sistemi tanıtalım; y ekseni AB kenarı boyunca, x ekseni AD kenarı boyunca, z ekseni AA 1 kenarı boyunca geçecektir. Daha sonra B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) noktalarının koordinatları
B, D, C 1 noktalarından geçen düzlemin denklemini oluşturalım.

O halde – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Dolayısıyla ρ =

Bu tür problemlerin çözümünde kullanılabilecek aşağıdaki yöntem: referans görevleri yöntemi.

Bu yöntemin uygulanması, teoremler halinde formüle edilen iyi bilinen referans problemlerinin uygulanmasından oluşur.

Aşağıdaki problemi çözelim:

№5. A ... D 1 birim küpünde D 1 noktasından AB 1 C düzlemine olan mesafeyi bulun.

Başvuruyu Değerlendirin vektör yöntemi.

№6. A ... D 1 birim küpünde A 1 noktasından BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

Bu nedenle, bu tür sorunları çözmek için kullanılabilecek çeşitli yöntemleri düşündük. Bir veya başka bir yöntemin seçimi, belirli göreve ve tercihlerinize bağlıdır.

IV. Grup çalışması

Sorunu farklı şekillerde çözmeye çalışın.

№1. A…D 1 küpünün kenarı eşittir. C köşesinden BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

№2. Bir kenarı olan bir düzgün dörtyüzlü ABCD'de, A noktasından BDC düzlemine olan mesafeyi bulun.

№3. Tüm kenarları 1'e eşit olan normal bir ABCA 1 B 1 C 1 üçgen prizmasında, A'dan BCA 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

№4. Tüm kenarları 1'e eşit olan düzenli bir dörtgen piramit SABCD'de, A'dan SCD düzlemine olan mesafeyi bulun.

V.Dersin sonucu, Ev ödevi, refleks

BİR NOKTADAN DÜZLEME UZAKLIĞI BULMAK İÇİN MATEMATİKTE BİRLEŞİK DEVLET SINAVININ GÖREVLERİ C2

Kulikova Anastasia Yurievna

Matematik Bölümü 5.sınıf öğrencisi. Analiz, Cebir ve Geometri EI KFU, Rusya Federasyonu, Tataristan Cumhuriyeti, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

bilimsel danışman, Ph.D. ped. Bilimler, Doçent, EI KFU, Rusya Federasyonu, Tataristan Cumhuriyeti, Elabuga

İÇİNDE Atamaları KULLANIN matematikte son yıllar Bir noktadan bir düzleme olan mesafenin hesaplanmasında sorunlar vardır. Bu makalede, bir problem örneğini kullanarak, bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmak için çeşitli yöntemler ele alınmaktadır. Çeşitli sorunları çözmek için en uygun yöntemi kullanabilirsiniz. Bir yöntemle sorunu çözen başka bir yöntemle sonucun doğruluğunu kontrol edebilirsiniz.

Tanım. Bir noktadan bu noktayı içermeyen bir düzleme olan mesafe, bu noktadan belirli bir düzleme bırakılan dik parçanın uzunluğudur.

Görev. Dan küboid ABİLESavcı 1 B 1 C 1 D 1 kenarlı AB=2, M.Ö=4, AA 1=6. Bir noktaya olan mesafeyi bulun D uçağa kadar ACD 1 .

1 yol. Kullanma tanım. Uzaklığı bulun r( D, ACD 1) bir noktadan D uçağa kadar ACD 1 (Şekil 1).

Şekil 1. İlk yol

Haydi harcayalım D.H.⊥AC, bu nedenle, üç dik teoremi ile D 1 H⊥AC Ve (GG 1 H)⊥AC. Haydi harcayalım doğrudan CE dik D 1 H. Dümdüz CE uçakta yatıyor GG 1 H, buradan CE⊥AC. Buradan, CE⊥ACD 1.

ADC hipotenüsü bul AC ve yükseklik D.H.

Bir dik üçgenden D 1 D.H. hipotenüsü bul D 1 H ve yükseklik CE

Cevap: .

2 yol.Hacim Yöntemi (yardımcı piramidin kullanımı). Bu tür bir problem, piramidin yüksekliğinin bir noktadan bir düzleme istenen mesafe olduğu bir piramidin yüksekliğinin hesaplanması problemine indirgenebilir. Bu yüksekliğin istenilen mesafe olduğunu kanıtlayın; Bu piramidin hacmini iki şekilde bulun ve bu yüksekliği ifade edin.

Ne zaman olduğunu unutmayın Bu method belirli bir noktadan belirli bir düzleme dik bir çizgi çizmeye gerek yoktur.

Bir küboid, tüm yüzleri dikdörtgen olan bir küboiddir.

AB=CD=2, M.Ö=reklam=4, AA 1 =6.

İstenilen mesafe yükseklik olacaktır H piramitler AKD 1 D, üstten düştü D yerde AKD 1 (Şek. 2).

Piramidin hacmini hesaplayın AKD 1 D iki yol.

Hesaplarken ilk olarak ∆'yi temel alıyoruz AKD 1, o zaman

İkinci şekilde hesaplama yaparken ∆'yi temel alıyoruz AKD, Daha sonra

Son iki eşitliğin sağ taraflarını eşitlersek şunu elde ederiz:

Şekil 2. İkinci yol

İtibaren dik üçgenler ACD, EKLEMEK 1 , CDD 1 Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsleri bulun

AKD

Bir üçgenin alanını hesaplayın ACD 1 Heron formülünü kullanarak

Cevap: .

3 yollu. koordinat yöntemi.

Bir puan verilsin M(X 0 ,sen 0 ,z 0) ve düzlem α denklem tarafından verilen balta+ile+cz+D=0 Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde. Noktadan uzaklık Mα düzlemine göre aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

Bir koordinat sistemi tanıtalım (Şekil 3). Bu noktada menşei İÇİNDE;

Dümdüz AB- eksen X, dümdüz güneş- eksen sen, dümdüz BB 1 eksen z.

Şekil 3. Üçüncü yol

B(0,0,0), A(2,0,0), İLE(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

İzin vermek Ax+ile+ cz+ D=0 – düzlem denklemi AKD 1. Noktaların koordinatlarını yerine koymak A, C, D 1 şunu elde ederiz:

Düzlem denklemi AKD 1 formunu alacak

Cevap: .

4 yol. vektör yöntemi.

Temeli tanıtıyoruz (Şekil 4) , .

Şekil 4. Dördüncü yol