Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и, тогава дължината на отсечката може да се изчисли по формулата

Ако са дадени две точки в пространството и, тогава дължината на сегмента може да се изчисли по формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати бъдат пренаредени: и , но първият вариант е по-стандартен

Пример 3

Решение:по съответната формула:

Отговор:

За по-голяма яснота ще направя рисунка

Раздел - не е вектор, и не можете да го преместите никъде, разбира се. Освен това, ако завършите чертежа в мащаб: 1 единица. \u003d 1 см (две тетрадни клетки), тогава отговорът може да бъде проверен с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на сегмента.

Да, решението е кратко, но има няколко важни момента в него, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора задаваме измерението: „единици“. Условието не казва КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно общата формулировка ще бъде математически компетентно решение: „единици“ - съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим училищния материал, който е полезен не само за разглеждания проблем:

обръщам внимание на важен технически трик – изваждането на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията получихме резултата и добрият математически стил включва изваждането на множителя изпод корена (ако е възможно). Процесът изглежда така по-подробно: . Разбира се, оставянето на отговора във формата няма да е грешка - но определено е недостатък и тежък аргумент за придирки от страна на учителя.

Ето и други често срещани случаи:

Често под корена се получава например достатъчно голям брой. Как да бъдем в такива случаи? На калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4:. Да, разделете се напълно, така: . Или може би числото може да се раздели отново на 4? . По този начин: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно не е възможно. Опитвам се да разделя на девет: . Като резултат:
Готов.

заключение:ако под корена получим напълно неизвличащо число, тогава се опитваме да извадим фактора под корена - на калкулатора проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49, и т.н.

В хода на решаването на различни задачи често се намират корени, винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-нисък резултат и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения според забележка на учителя.

Нека повторим квадратурата на корените и други степени едновременно:

Правилата за действия със степени в общ вид могат да се намерят в училищен учебник по алгебра, но мисля, че всичко или почти всичко вече е ясно от дадените примери.

Задача за самостоятелно решение със сегмент в пространството:

Пример 4

Дадени точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решение и отговор в края на урока.

Има три основни координатни системи, използвани в геометрията, теоретичната механика и други клонове на физиката: декартова, полярна и сферична. В тези координатни системи всяка точка има три координати. Познавайки координатите на две точки, можете да определите разстоянието между тези две точки.

Ще имаш нужда

• Декартови, полярни и сферични координати на краищата на сегмент

Инструкция

Нека започнем с правоъгълна декартова координатна система. Позицията на точка в пространството в тази координатна система се определя от координати x,y и z. От началото на координатите до точката се изчертава радиус вектор. Проекциите на този радиус вектор върху координатните оси ще бъдат координатитази точка.
Да предположим, че сега имате две точки с координати x1,y1,z1 и x2,y2 и z2 съответно. Нека r1 и r2 са радиус векторите съответно на първата и втората точка. Очевидно разстоянието между тези две точки ще бъде равно на модула на вектора r = r1-r2, където (r1-r2) е векторната разлика.
Координатите на вектора r очевидно ще бъдат следните: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тогава модулът на вектора r или разстоянието между две точки ще бъде: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)) .

Помислете сега за полярна координатна система, в която координатата на точка ще бъде дадена от радиалната координата r (радиус вектор в равнината XY), ъгловата координата? (ъгълът между вектора r и оста X) и координатата z, която е подобна на координатата z в декартовата система. Полярните координати на точка могат да бъдат преобразувани в декартови, както следва: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. След това разстоянието между две точки с координати r1, ?1 ,z1 и r2, ?2, z2 ще е равно на R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) +((z1-z2)^2))

Сега помислете за сферична координатна система. В него позицията на точката се дава с три координати r, ? и?. r - разстояние от началото до точката, ? и? са съответно азимутният и зенитният ъгъл. Инжекция? подобен на ъгъла със същото обозначение в полярната координатна система, а? - ъгълът между радиус вектора r и оста Z и координатите 0 r1, ?1, ?1 и r2, ?2 и ?2 ще бъдат равни на R = sqrt(((r1*sin?1*cos? 1-r2*sin? 2*cos?2)^2)+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1- r2*cos?2) ^2)) = (((r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos ?1*cos?2 +sin?1*sin?2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))

Нека отсечката е дадена от две точки в координатната равнина, тогава можете да намерите дължината му с помощта на питагоровата теорема.

Инструкция

Нека са дадени координатите на краищата на отсечката (x1-y1) и (x2-y2). Начертайте отсечка в координатна система.

Спуснете перпендикулярите от краищата на сегмента по осите X и Y. Сегментите, отбелязани в червено на фигурата, са проекциите на оригиналния сегмент върху координатните оси.

Ако извършите паралелно прехвърляне на сегменти-проекции към краищата на сегментите, тогава ще получите правоъгълен триъгълник. Катетата на този триъгълник ще бъдат прехвърлените проекции, а хипотенузата ще бъде самият сегмент AB.

Дължините на прожекция са лесни за изчисляване. Дължината на проекцията по оста Y ще бъде y2-y1, а дължината на проекцията по оста X ще бъде x2-x1. Тогава по теоремата на Питагор |AB|²- = (y2 - y1)²- + (x2 - x1)²-, където |AB| - дължината на сегмента.

След като се представи тази схема за намиране на дължината на отсечка в общия случай, е лесно да се изчисли дължината на сегмент, без да се конструира сегмент. Нека изчислим дължината на отсечката, координатите на краищата на който са (1-3) и (2-5). Тогава |AB|²- = (2 - 1)²- + (5 - 3)²- = 1 + 4 = 5, така че дължината на необходимия сегмент е 5^1/2.

Ще дам подробен пример как можете да определите дължината на сегмент според дадени координати, като използвате онлайн услугата на уебсайта Test Ru.

Да кажем, че трябва да намерите дължината на сегмент от равнина

(в пространството можете да изчислите по аналогия, просто трябва да промените точката до измерението три)

Отсечката AB има краища с координати A (1, 2) и B (3, 4).

За да изчислите дължината на сегмент AB, използвайте следните стъпки:

1. Отидете на страницата на услугата за намиране на разстоянието между две точки онлайн:

Можем да използваме това, т.к дължината на отсечката по координатата. е точно равно на разстоянието между точките А и В.

За да зададете правилния размер на точка А, плъзнете долния десен ръб наляво, както е показано на фиг.

След като въведете координатите на първата точка A(1, 2), натиснете бутона

3. Във втората стъпка ще видите формуляр за въвеждане на втората точка B, въведете нейните координати, както е на фиг. По-долу:

Въведени са точки a и b!Решение:

Намерете разстоянието между точките

В тази статия ще говорим за намиране на координатите на средата на сегмент от координатите на неговите краища. Първо ще дадем необходимите понятия, след това ще получим формули за намиране на координатите на средата на сегмент и в заключение ще разгледаме решенията на типични примери и проблеми.

Навигация в страницата.

Концепцията за средата на сегмента.

За да въведем концепцията за средната точка на сегмента, се нуждаем от дефиниции на сегмент и неговата дължина.

Концепцията за отсечка се дава в уроците по математика в пети клас на гимназията, както следва: ако вземем две произволни несъвпадащи точки A и B, прикрепете към тях линийка и начертайте линия от A до B (или от B до А), тогава получаваме сегмент AB(или сегмент B A). Точки A и B се наричат краищата на сегмента. Трябва да имаме предвид, че сегмент AB и сегмент BA са един и същи сегмент.

Ако отсечката AB е безкрайно удължена в двете посоки от краищата, тогава получаваме права линия AB(или директно VA). Отсечката AB е частта от правата линия AB, затворена между точки A и B. Така отсечката AB е обединението на точки A, B и множеството от всички точки от правата AB, разположени между точки A и B. Ако вземем произволна точка M от правата AB, разположена между точки A и B, тогава те казват, че точката M лъжина сегмент AB.

Дължина на сегмента AB е разстоянието между точките A и B в даден мащаб (сегмент от единична дължина). Дължината на отсечката AB ще бъде обозначена като .

Определение.

точка C се нарича средата на сегмента AB, ако лежи върху отсечката AB и е на същото разстояние от краищата му.

Тоест, ако точка C е средата на отсечката AB, тогава тя лежи върху нея и.

Освен това нашата задача ще бъде да намерим координатите на средата на отсечката AB, ако координатите на точките A и B са дадени на координатната линия или в правоъгълна координатна система.

Координатата на средата на отсечката на координатната права.

Нека ни бъде дадена координатна права Ox и две несъвпадащи точки A и B върху нея, които отговарят на реални числа и . Нека точка C е средата на отсечка AB. Нека намерим координатата на точка C.

Тъй като точка C е средата на отсечката AB, тогава равенството е вярно. В раздела за разстоянието от точка до точка на координатна линия показахме, че разстоянието между точките е равно на модула на разликата между техните координати, следователно, . Тогава или . От равенство намерете координатата на средата на отсечката AB на координатната права: - тя е равна на половината от сбора от координатите на краищата на отсечката. От второто равенство получаваме , което е невъзможно, тъй като взехме несъвпадащи точки A и B.

Така, формулата за намиране на координатата на средата на отсечката AB с краища и има формата .

Координати на средата на отсечка от права.

Нека представим правоъгълна декартова координатна система Оxyz на равнината. Нека ни са дадени две точки и знаем, че точката C е средата на отсечката AB. Нека намерим координатите и точките C.

По конструкция, прави успоредни, както и успоредни прави следователно от Теорема на Талесот равенството на отсечките AC и CB следва равенството на отсечките и , както и отсечките и . Следователно точката е средата на сегмента и средата на сегмента. След това, по силата на предишния параграф на този член и .

Използвайки тези формули, могат да се изчислят и координатите на средата на отсечката AB в случаите, когато точки A и B лежат на една от координатните оси или на права линия, перпендикулярна на една от координатните оси. Нека оставим тези случаи без коментар и да дадем графични илюстрации.

По този начин, средата на отсечка AB на равнина с краища в точки и има координати .

Координати на средата на сегмента в пространството.

Нека се въведе правоъгълна координатна система Oxyz в триизмерно пространство и две точки и . Получаваме формули за намиране на координатите на точка C, която е средата на отсечката AB.

Нека разгледаме общия случай.

Нека и са проекциите на точки A, B и C върху координатните оси Ox, Oy и Oz, съответно.

Следователно според теоремата на Талес точките са средните точки на отсечките съответно. След това (вижте първия параграф на тази статия). Така че получихме формули за изчисляване на координатите на средата на сегмент от координатите на краищата му в пространството.

Тези формули могат да се прилагат и в случаите, когато точки A и B лежат на една от координатните оси или на права линия, перпендикулярна на една от координатните оси, както и ако точки A и B лежат в една от координатните равнини или в равнина, успоредна на една от координатните оси.равнини.

Координатите на средата на сегмента чрез координатите на радиус векторите на неговите краища.

Формули за намиране на координатите на средата на сегмент са лесни за получаване чрез позоваване на алгебрата на векторите.

Нека на равнината е дадена правоъгълна декартова координатна система Oxy и точка C е средата на отсечката AB, и и .

Според геометричната дефиниция на операциите върху вектори, равенството (точка C е пресечната точка на диагоналите на успоредник, построен върху вектори и , т.е. точка C е средата на диагонала на успоредника). В статията координати на вектор в правоъгълна координатна система открихме, че координатите на радиус вектора на точка са равни на координатите на тази точка, следователно, . След това, след извършване на съответните операции върху вектори в координати, имаме . Как можем да заключим, че точка C има координати .

Абсолютно по подобен начин координатите на средата на отсечката AB могат да бъдат намерени чрез координатите на краищата му в пространството. В този случай, ако C е средата на отсечката AB и , тогава имаме .

Намиране на координатите на средата на отсечката, примери, решения.

В много задачи трябва да използвате формули, за да намерите координатите на средата на сегмент. Нека разгледаме решенията на най-характерните примери.

Нека започнем с пример, който трябва само да приложи формула.

Пример.

Координатите на две точки са дадени на равнината . Намерете координатите на средата на отсечката AB.

Решение.

Нека точка C е средата на отсечка AB. Неговите координати са равни на полусуми от съответните координати на точки A и B:

По този начин средата на отсечката AB има координати.

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и, тогава дължината на отсечката може да се изчисли по формулата

Ако са дадени две точки в пространството и, тогава дължината на сегмента може да се изчисли по формулата

Забележка:Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: и , но първата опция е по-стандартна

Пример 3

Решение:по съответната формула:

Отговор:

За по-голяма яснота ще направя рисунка

Раздел - не е вектор, и не можете да го преместите никъде, разбира се. Освен това, ако завършите чертежа в мащаб: 1 единица. \u003d 1 см (две тетрадни клетки), тогава отговорът може да бъде проверен с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на сегмента.

Да, решението е кратко, но има няколко важни момента в него, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора задаваме измерението: „единици“. Условието не казва КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно общата формулировка ще бъде математически компетентно решение: „единици“ - съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим училищния материал, който е полезен не само за разглеждания проблем:

обръщам внимание на важен технически трик – изваждането на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията получихме резултата и добрият математически стил включва изваждането на множителя изпод корена (ако е възможно). Процесът изглежда така по-подробно: Разбира се, оставянето на отговора във формата няма да е грешка - но определено е недостатък и тежък аргумент за придирки от страна на учителя.

Ето и други често срещани случаи:

Често под корена се получава например достатъчно голям брой. Как да бъдем в такива случаи? На калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4:. Да, беше напълно разделено, така: . Или може би числото може да се раздели отново на 4? . По този начин: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно не е възможно. Опитвам се да разделя на девет: . Като резултат:
Готов.

заключение:ако под корена получим напълно неизвличащо число, тогава се опитваме да извадим фактора под корена - на калкулатора проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49, и т.н.

В хода на решаването на различни задачи често се намират корени, винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-нисък резултат и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения според забележка на учителя.

Нека повторим квадратурата на корените и други степени едновременно:

Правилата за действия със степени в общ вид могат да се намерят в училищен учебник по алгебра, но мисля, че всичко или почти всичко вече е ясно от дадените примери.

Задача за самостоятелно решение със сегмент в пространството:

Пример 4

Дадени точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решение и отговор в края на урока.