Време е да се разглобява методи за извличане на корени... Те се основават на свойствата на корените, по-специално на равенството, което е валидно за всяко неотрицателно число b.

По -долу ще разгледаме на свой ред основните методи за извличане на корени.

Нека започнем с най -простия случай - извличане на корени от естествени числа с помощта на таблица с квадрати, таблица с кубчета и т.н.

Ако таблици с квадрати, кубчета и т.н. не е под ръка, тогава е логично да се използва методът за извличане на корена, който предполага разлагане на радикалното число на основни фактори.

Отделно си струва да се спрем на това, което е възможно за корените със странни показатели.

И накрая, помислете за начин за последователно намиране на цифрите на основната стойност.

Да започваме.

Използване на таблица с квадрати, маса с куб и т.н.

В най -простите случаи можете да използвате таблици с квадрати, кубчета и т.н., за да извлечете корени. Какви са тези таблици?

Таблицата с квадрати от цели числа от 0 до 99 включително (показана по -долу) се състои от две зони. Първата зона на таблицата е разположена на сив фон, позволява ви да създадете число от 0 до 99, като изберете конкретен ред и конкретна колона. Например, нека изберем ред 8 десетки и колона 3 единици, с това фиксирахме числото 83. Втората зона заема останалата част от масата. Всяка от нейните клетки се намира в пресечната точка на определен ред и определена колона и съдържа квадрата на съответното число от 0 до 99. В пресечната точка на избрания от нас ред от 8 десетки и колона от 3 единици има клетка с числото 6 889, което е квадратът на числото 83.

Таблици с кубчета, таблици с четвърти степени от числа от 0 до 99 и т.н. са подобни на таблицата с квадрати, само че съдържат кубчета, четвърти степени и т.н. във втората зона. съответните числа.

Таблици с квадрати, кубчета, четвърти степени и т.н. ви позволяват да извличате квадратни корени, кубчета, четвърти корени и т.н. съответно от числата в тези таблици. Нека обясним принципа на тяхното приложение при извличане на корени.

Да предположим, че трябва да извлечем n-ти корен от числото a, докато числото a се съдържа в n-тата таблица на степента. От тази таблица намираме число b такова, че a = b n. Тогава , следователно, числото b ще е необходимия n -ти корен.

Като пример, ние показваме как кубният корен от 19 683 се извлича с помощта на куб таблица. Намираме числото 19 683 в таблицата с кубчета, от него откриваме, че това число е кубът на числото 27, следователно, .

Ясно е, че n-тата таблица на мощността е много удобна за извличане на корени. Често обаче те не са под ръка и съставянето им изисква определено време. Освен това често е необходимо да се извличат корени от числа, които не се съдържат в съответните таблици. В тези случаи трябва да прибягвате до други методи за извличане на корени.

Проста факторизация на радикално число

Доста удобен начин за извличане на корена от естествено число (ако, разбира се, коренът е извлечен) е разширяването на радикалното число в основни фактори. Неговата същността е следната: след като е достатъчно лесно да се представи под формата на степен с желаната степен, която ви позволява да получите стойността на корена. Нека изясним тази точка.

Нека n -ти корен да бъде извлечен от естествено число a, а стойността му е равна на b. В този случай равенството a = b n е вярно. Номер b като всеки естествено числоможе да бъде представен като произведение на всички негови прости множители p 1, p 2,…, pm като p 1 p 2… pm, а коренният номер a в този случай е представен като (p 1 p 2… pm) n. Тъй като разлагането на число на прости множители е уникално, разлагането на радикалното число а на прости множители ще има формата (p 1 · p 2 ·… · pm) n, което дава възможност да се изчисли стойността на корена като.

Забележете, че ако разлагането на прости фактори на радикално число a не може да бъде представено под формата (p 1 · p 2 · ... · p m) n, тогава n-тият корен на такова число a не е извлечен напълно.

Нека го разберем, когато решаваме примери.

Пример.

Вземете квадратния корен от 144.

Решение.

Ако се обърнем към таблицата с квадрати, дадена в предишния параграф, ясно се вижда, че 144 = 12 2, откъдето е ясно, че квадратният корен от 144 е 12.

Но в светлината на тази точка, ние се интересуваме от това как коренът се извлича чрез разлагане на радикалното число 144 на основни фактори. Нека анализираме това решение.

Нека разширим 144 по основни фактори:

Тоест 144 = 2 2 2 2 3 3. Въз основа на полученото разлагане могат да се извършат следните трансформации: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2... Следователно, .

Използвайки свойствата на степента и свойствата на корените, решението може да се формулира по малко по -различен начин:.

Отговор:

За да консолидирате материала, помислете за решенията на още два примера.

Пример.

Изчислете основната стойност.

Решение.

Основното факторизиране на радикалното число 243 е 243 = 3 5. Поради това, .

Отговор:

Пример.

Основната стойност цяло число ли е?

Решение.

За да отговорим на този въпрос, нека разложим радикалното число на прости множители и да видим дали може да бъде представено като куб от цяло число.

Имаме 285 768 = 2 3 3 6 7 2. Полученото разлагане не се представя като куб от цяло число, тъй като степента основен фактор 7 не е кратно на три. Следователно, кубният корен от числото 285 768 не е извлечен напълно.

Отговор:

Не.

Извличане на корени от дробни числа

Време е да разберем как коренът се извлича от дробно число. Нека дробното радикално число бъде записано като p / q. Според свойството на корена на частното е вярно следното равенство. Това равенство предполага корен от дроби: Коренът от дроб е равен на частното от делението на корена на числителя на корена на знаменателя.

Нека разгледаме пример за извличане на корен от дроб.

Пример.

От какво е квадратният корен обикновена дроб 25/169 .

Решение.

От таблицата с квадрати откриваме, че квадратният корен на числителя на оригиналната дроб е 5, а квадратният корен на знаменателя е 13. Тогава ... Това завършва извличането на корена от обикновената фракция 25/169.

Отговор:

Коренът от десетично или смесено число се извлича след замяна на радикалните числа с обикновени дроби.

Пример.

Извлечете кубичния корен от десетична 474.552.

Решение.

Нека представим първоначалната десетична дроб като обикновена дроб: 474.552 = 474552/1000. Тогава ... Остава да извлечем кубичните корени, които са в числителя и знаменателя на получената дроб. Защото 474 552 = 2 2 2 3 3 3 3 13 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 и 1000 = 10 3, тогава и ... Остава само да завършим изчисленията .

Отговор:

.

Извличане на корена на отрицателно число

Отделно си струва да се спрем на извличането на корени от отрицателни числа. При изучаване на корените казахме, че когато показателят на корена е нечетно число, тогава отрицателното число може да бъде под коренния знак. Ние сме придали на тези записи следното значение: за отрицателно число −a и нечетен показател на корена 2n - 1 имаме ... Това равенство дава правило за извличане на нечетни корени от отрицателни числа: за да извлечете корена на отрицателно число, трябва да извлечете корена на противоположното положително число и да поставите знак минус пред резултата.

Нека разгледаме решението на един пример.

Пример.

Намерете основната стойност.

Решение.

Нека преобразуваме оригиналния израз, така че под коренния знак да има положително число: ... Сега смесено числозамени с обикновена дроб: ... Прилагаме правилото за извличане на корен от обикновена дроб: ... Остава да се изчислят корените в числителя и знаменателя на получената дроб: .

Ето кратък запис на решението: .

Отговор:

.

Постепенно намиране на основната стойност

В общия случай под корена има число, което не може да бъде представено като n-та степен на произволно число, използвайки техниките, обсъдени по-горе. Но в този случай е необходимо да се знае стойността на даден корен, поне с точност до определен знак. В този случай, за да извлечете корена, можете да използвате алгоритъм, който ви позволява последователно да получите достатъчен брой стойности на цифрите на желаното число.

На първата стъпка от този алгоритъм трябва да разберете кой е най -значимият бит от основната стойност. За тази цел числата 0, 10, 100, ... се повдигат последователно до степен n до момента, в който се получи число, превишаващо радикалното число. Тогава числото, което повишихме до степен n в предишната стъпка, ще покаже съответния най -значим бит.

Като пример, помислете за тази стъпка от алгоритъма, когато извличате квадратния корен от пет. Взимаме числата 0, 10, 100, ... и ги квадратираме, докато получим число, по -голямо от 5. Имаме 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, което означава, че най -значимият бит ще бъдат тези битове. Стойността на този бит, както и на по -ниските, ще бъде намерена в следващите стъпки на алгоритъма за извличане на корен.

Всички следващи стъпки на алгоритъма са насочени към последователно прецизиране на стойността на корена поради факта, че се намират стойностите на следващите цифри на желаната стойност на корена, като се започне с най -значимото и се премине към най -малкото значими. Например, коренната стойност на първата стъпка е 2, на втората - 2.2, на третата - 2.23 и така нататък 2.236067977…. Нека опишем как се случва намирането на стойностите на цифрите.

Намирането на цифрите се извършва чрез тяхното изброяване възможни стойности 0, 1, 2, ..., 9. В този случай n-тата степен на съответните числа се изчислява паралелно и се сравнява с радикалното число. Ако на някакъв етап стойността на степента надвишава радикалното число, тогава стойността на цифрата, съответстваща на предишната стойност, се счита за намерена и се прави преход към следващата стъпка от алгоритъма за извличане на корена. се случи, тогава стойността на тази цифра е 9.

Нека обясним тези точки със същия пример за извличане на квадратния корен от пет.

Първо, намираме стойността на цифрата единица. Ще повторим стойностите 0, 1, 2,…, 9, изчислявайки съответно 0 2, 1 2,…, 9 2, докато получим стойност, по -голяма от коренното число 5. Всички тези изчисления са удобно представени под формата на таблица:

Значението на цифрата на единиците е 2 (тъй като 2 2<5 , а 2 3 >5). Обръщаме се към намиране на стойността на десетата цифра. В този случай ще поставим на квадрат числата 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, сравнявайки получените стойности с радикалното число 5:

От 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, тогава десетичната запетая е 2. Можете да преминете към намиране на стойността на стотната цифра:

Следната стойност на корена на пет е намерена, тя е равна на 2,23. И така можете да продължите да търсите стойности допълнително: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

За да консолидираме материала, ще анализираме извличането на корена с точност на стотни, като използваме разглеждания алгоритъм.

Първо, ние определяме най -значимия бит. За да направим това, ние поставяме в куб числата 0, 10, 100 и т.н. докато не получим число, по -голямо от 2,151,186. Имаме 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, като по този начин най -значимата цифра е цифрата на десетките.

Нека да определим значението му.

От 103 г.<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, тогава стойността на десетичната цифра е 1. Нека преминем към единици.

По този начин стойността на единичното място е 2. Преминаваме към десетите.

Тъй като дори 12,9 3 е по -малко от радикалното число 2 151,186, стойността на десетото място е 9. Остава да изпълним последната стъпка от алгоритъма, тя ще ни даде стойността на корена с необходимата точност.

На този етап стойността на корена се намира с точност до стотни: .

В заключение на тази статия бих искал да кажа, че има много други начини за извличане на корени. Но за повечето задачи тези, които изучихме по -горе, са достатъчни.

Библиография.

• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клас образователни институции.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ю.П. и др. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на учебните заведения.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (ръководство за кандидати в техникуми).

Инженерен калкулатор онлайн

Бързаме да представим на всички безплатен инженерен калкулатор. С негова помощ всеки ученик може бързо и най -важното лесно да извършва различни видове математически изчисления онлайн.

Един прост и лесен за използване инженерен калкулатор с ненатрапчив и разбираем интерфейс наистина ще бъде полезен за най-широкия кръг интернет потребители. Сега, когато имате нужда от калкулатор, посетете нашия уебсайт и използвайте безплатен инженерен калкулатор.

Инженерният калкулатор е способен да извършва както прости аритметични операции, така и доста сложни математически изчисления.

Web20calc е инженерен калкулатор, който има огромен брой функции, например как да се изчислят всички елементарни функции. Калкулаторът също така поддържа тригонометрични функции, матрици, логаритми и дори графики.

Несъмнено Web20calc ще представлява интерес за тази група хора, които в търсене на прости решения въвеждат заявка в търсачките: онлайн математически калкулатор. Безплатно уеб приложение ще ви помогне незабавно да изчислите резултата от някакъв математически израз, например да извадите, добавите, разделите, извлечете корен, повишите до степен и т.н.

В израза можете да използвате операциите на степенуване, събиране, изваждане, умножение, деление, процент, постоянен PI. За сложни изчисления използвайте скоби.

Характеристики на инженерния калкулатор:

1. основни аритметични операции;
2. работа с числа в стандартен формуляр;
3. изчисляване на тригонометрични корени, функции, логаритми, степенуване;
4. статистически изчисления: добавяне, средна аритметична стойност или стандартно отклонение;
5. прилагане на клетка памет и дефинирани от потребителя функции на 2 променливи;
6. работа с ъгли в радиани и градусови мерки.

Инженерният калкулатор ви позволява да използвате различни математически функции:

Извличане на корени (квадратен корен, кубичен и n-ти корен);
ex (e към степен x), степен;
тригонометрични функции: синус - грех, косинус - cos, допирателна - тен;
обратни тригонометрични функции: арксинус - sin -1, аркосинус - cos -1, арктангенс - tan -1;
хиперболични функции: синус - синх, косинус - кош, тангенс - тан;
логаритми: двоичен логаритъм основа два - log2x, десетичен логаритъм основа десет - лог, естествен логаритъм - ln.

Този инженерен калкулатор включва и количествен калкулатор с възможност за преобразуване на физически величини за различни измервателни системи - компютърни единици, разстояние, тегло, време и т.н. С тази функция можете незабавно да конвертирате мили в километри, паунди в килограми, секунди в часове и т.н.

За да направите математически изчисления, първо въведете поредица от математически изрази в съответното поле, след това щракнете върху знака за равенство и вижте резултата. Можете да въвеждате стойности директно от клавиатурата (за това областта на калкулатора трябва да е активна, следователно няма да е излишно да поставите курсора в полето за въвеждане). Освен всичко друго, данните могат да бъдат въведени с помощта на бутоните на самия калкулатор.

За да изградите диаграми, напишете функцията в полето за въвеждане, както е посочено в полето с примери или използвайте специално проектираната лента с инструменти (за да отидете до нея, щракнете върху бутона с иконата под формата на диаграма). За да конвертирате стойности натиснете Unit, за да работите с матрици - Matrix.

Примери:

\ (\ sqrt (16) = 2 \) тъй като \ (2 ^ 4 = 16 \)
\ (\ sqrt (- \ frac (1) (125)) \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (5) \), защото \ ((- \ frac (1) (5)) ^ 3 \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (125) \)

Как да се изчисли n -ти корен?

За да изчислите корена на \ (n \) - та степен, трябва да си зададете въпроса: кое число в \ (n \) - та степен ще даде под корена?

Например... Изчислете корена \ (n \) - та степен: а) \ (\ sqrt (16) \); б) \ (\ sqrt (-64) \); в) \ (\ sqrt (0.00001) \); г) \ (\ sqrt (8000) \); д) \ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) \).

а) Какво число в \ (4 \) - та степен ще даде \ (16 \)? Очевидно \ (2 \). Ето защо:

б) Какво число в \ (3 \) -та степен ще даде \ ( - 64 \)?

\ (\ sqrt (-64) = - 4 \)

в) Какво число в \ (5 \) - та степен ще даде \ (0.00001 \)?

\ (\ sqrt (0.00001) = 0.1 \)

г) Какво число в \ (3 \) -та степен ще даде \ (8000 \)?

\ (\ sqrt (8000) = 20 \)

д) Какво число в \ (4 \) - та степен ще даде \ (\ frac (1) (81) \)?

\ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) = \ frac (1) (3) \)

Разгледахме най -простите примери с корен \ (n \) - та степен. За решаването на по -сложни проблеми с корени \ (n \) - та степен - жизненоважно е да ги познавате.

Пример. Изчисли:

Свързани ли са n -ти корен и квадратен корен?

Във всеки случай всеки корен от всяка степен е просто число, дори и да е написано в непозната форма.

Характеристика на корена на n-та степен

Коренът \ (n \) - та степен с нечетно \ (n \) може да бъде извлечен от всяко число, дори отрицателно (вижте примерите в началото). Но ако \ (n \) е четен (\ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \) ...), тогава такъв корен се извлича само ако \ (a ≥ 0 \) (между другото, квадратният корен има същото). Това е така, защото извличането на корен е обратното на степенуването.

А повишаването на четна степен прави дори отрицателно число положително. Всъщност \ ((-2) ^ 6 = (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) = 64 \). Следователно не можем да получим равномерна степен на отрицателно число под корена. Това означава, че не можем да извлечем такъв корен от отрицателно число.

Четната степен на такива ограничения няма- отрицателно число, повишено до нечетна степен, ще остане отрицателно: \ ((- 2) ^ 5 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot ( -2) \ cdot (-2) = -32 \). Следователно под корена на нечетна степен можете да получите отрицателно число. Това означава, че можете да го извлечете и от отрицателно число.

Потребителите на електронни таблици използват широко функцията за извличане на корена на число. Тъй като работата с данни обикновено изисква обработка на големи числа, ръчното броене може да бъде доста трудно. В тази статия ще намерите подробен анализ на въпроса за извличане на корен от всяка степен в Excel.

Доста лесна задача, тъй като програмата има отделна функция, която може да бъде взета от списъка. За да направите това, трябва да направите следното:

1. Изберете клетката, в която искате да регистрирате функцията, като щракнете върху нея веднъж с левия бутон на мишката. Появява се черен контур, активният ред и колоната са маркирани в оранжево, а името се появява в адресната клетка.

   

2. Кликнете върху бутона „fx“ (Вмъкване на функция) над имената на колоните, след адресната клетка, преди лентата с формули.

   

3. Ще се появи падащо меню, в което трябва да намерите функцията "Root". Това може да стане в категорията „Математика“ или в „Пълен азбучен списък“, като превъртите менюто с мишката надолу.

   

4. Изберете елемента "Root", като щракнете веднъж с левия бутон на мишката, след това - бутона "OK".

   

5. Появява се следното меню - "Функционални аргументи".

   

6. Въведете число или изберете клетка, в която този израз или формула е записан преди това, за това щракнете с левия бутон веднъж върху реда „Число“, след това преместете курсора върху необходимата ви клетка и щракнете върху нея. Името на клетката автоматично ще бъде попълнено в низа.

   

7. Кликнете върху бутона „OK“.

   

8. И всичко е готово, функцията изчислява квадратния корен, записвайки резултата в избраната клетка.

   

Възможно е също така да се извлече квадратният корен от сумата от число и клетка (данни, които са опаковани в тази клетка) или две клетки, за това въведете стойностите в реда "Число". Напишете номера и щракнете веднъж върху клетката, програмата ще постави самия знак за добавяне.

На бележка!Тази функция може да бъде въведена и ръчно. В лентата с формули въведете следния израз: "= ROOT (x)", където x е числото, което търсите.

Извличане на корени от 3 -та, 4 -та и други степени.

Няма отделна функция за решаване на този израз в Excel. За да извлечете n-ти корен, първо трябва да го разгледате от математическа гледна точка.

N -ти корен е равен на повишаване на число до противоположната степен (1 / n). Тоест, квадратният корен е степента ½ (или 0,5).

Например:

• четвъртият корен от 16 е 16 към степента ¼;
• куб корен от 64 = 64 до степен 1/3;

Има два начина да направите това в програма за електронни таблици:

1. Използване на функцията.
2. Използвайки иконата за степен „^“, въведете израза ръчно.

Извличане на корен от всяка степен с помощта на функция

1. Изберете желаната клетка и кликнете върху „Вмъкване на функция“ в раздела „Формули“.

   

2. Разширете списъка под Категория, под Математика или Пълен азбучен списък, намерете функцията Степен.

   

   

3. В реда „Номер“ въведете номер (в нашия случай това е числото 64) или името на клетка, като щракнете върху нея веднъж.

   

4. В реда "Степен" въведете степента, до която искате да повдигнете корена (1/3).

   

   Важно! За да посочите знак за разделяне, трябва да използвате знака "/", а не стандартния знак за разделяне ":".

5. Кликнете върху „OK“ и резултатът от действието ще се появи в първоначално избраната клетка.

   

   

Забележка!За най -подробни инструкции със снимка за работа с функции вижте статията по -горе.

Извлечете корен от всяка степен, като използвате символа за степен "^"

Забележка!Степента може да бъде записана като дроб или като десетично число. Например дробът ¼ може да бъде записан като 0,25. За да отделите десети, стотни, хилядни и т.н., използвайте запетая, както е обичайно в математиката.

Примери за писане на изрази

Поздравления: днес ще изследваме корените - една от най -мозъчните теми на 8 -ми клас. :)

Много хора се объркват относно корените, не защото са сложни (което е толкова трудно - няколко определения и няколко свойства), а защото в повечето училищни учебници корените се определят чрез такава джунгла, че само авторите на учебниците сами могат да разберат тази драсканица. И дори тогава само с бутилка добро уиски. :)

Затова сега ще дам най -правилното и най -компетентното определение на корена - единственото, което наистина трябва да запомните. И едва тогава ще обясня: защо всичко това е необходимо и как да го приложим на практика.

Но първо, запомнете един важен момент, който по някаква причина много съставители на учебници „забравят“:

Корените могат да бъдат с четна степен (любимите ни $ \ sqrt (a) $, както и всички видове $ \ sqrt (a) $ и дори $ \ sqrt (a) $) и нечетни степени (всички видове $ \ sqrt (а) $, $ \ sqrt (а) $ и т.н.). И определението за корен от нечетна степен е малко по -различно от четното.

Тук в тази шибана „донякъде различна“ скрита, вероятно 95% от всички грешки и недоразумения, свързани с корените. Затова нека се справим с терминологията веднъж завинаги:

Определение. Дори корен нот $ a $ е всеки неотрицателенчисло $ b $ такова, че $ ((b) ^ (n)) = a $. Нечетен корен от едно и също число $ a $ обикновено е всяко число $ b $, за което важи същото равенство: $ ((b) ^ (n)) = a $.

Във всеки случай коренът е посочен така:

\ (а) \]

Числото $ n $ в такъв запис се нарича експонента на корена, а числото $ a $ се нарича радикален израз. По -специално, за $ n = 2 $ получаваме нашия "любим" квадратен корен (между другото, това е четен корен), а за $ n = 3 $ - кубичен (нечетна степен), който също често се среща в проблеми и уравнения.

Примери. Класически примери за квадратни корени:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ sqrt (256) = 16. \\ \ край (подравняване) \]

Между другото, $ \ sqrt (0) = 0 $ и $ \ sqrt (1) = 1 $. Това е съвсем логично, тъй като $ ((0) ^ (2)) = 0 $ и $ ((1) ^ (2)) = 1 $.

Кубичните корени също са често срещани - не се страхувайте от тях:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ sqrt (343) = 7. \\ \ край (подравняване) \]

Е, и няколко "екзотични примера":

\ [\ begin (align) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ край (подравняване) \]

Ако не разбирате каква е разликата между четна и нечетна степен, прочетете определението отново. Много е важно!

Междувременно ще разгледаме една неприятна характеристика на корените, поради която трябваше да въведем отделно определение за четни и нечетни показатели.

Защо изобщо имаме нужда от корени?

След като прочетат определението, много ученици ще попитат: „Какво са пушили математиците, когато са измислили това?“ Наистина: защо изобщо имаме нужда от всички тези корени?

За да отговорим на този въпрос, нека се върнем за минута към началните класове. Помнете: в онези далечни времена, когато дърветата бяха по -зелени, а кнедлите по -вкусни, нашата основна грижа беше да умножим правилно числата. Е, нещо като „пет по пет - двадесет и пет“, това е всичко. Но можете да умножите числата не по двойки, а по тройки, четворки и като цяло цели набори:

\ [\ begin (align) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ end (align) \]

Това обаче не е въпросът. Номерът е различен: математиците са мързеливи хора, така че трябваше да запишат умножението на десет петици по следния начин:

Така стигнаха до степени. Защо не надписвате броя на факторите вместо дълъг низ? Като този:

Много е удобно! Всички изчисления се намаляват понякога и не е нужно да губите куп листове пергаментни тефтери, за да запишете около 5183. Такъв запис се наричаше степен на число, в него откриха куп имоти, но щастието беше краткотрайно.

След огромна алкохолна напитка, която беше организирана почти „откриването“ на степени, някой особено упорит математик внезапно попита: „Ами ако знаем степента на число, но не знаем самото число?“ Сега, наистина, ако знаем, че определено число $ b $, например в 5 -та степен дава 243, тогава как можем да отгатнем на какво е равно числото $ b $?

Този проблем се оказа много по -глобален, отколкото може да изглежда на пръв поглед. Защото се оказа, че няма такива „начални“ числа за повечето от „готовите“ степени. Преценете сами:

\ [\ begin (align) & (b) ^ (3)) = 27 \ Rightarrow b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Rightarrow b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Rightarrow b = 4. \\ \ край (подравняване) \]

Ами ако $ ((b) ^ (3)) = $ 50? Оказва се, че трябва да намерите определено число, което, умножено три пъти само по себе си, ще ни даде 50. Но какво е това число? Очевидно е по -голямо от 3, тъй като 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Тоест. това число се намира някъде между три и четири, но на какво е равно - смокини ще разберете.

Именно за това математиците са измислили корените на $ n $ -та степен. Ето защо е въведен радикалният символ $ \ sqrt (*) $. За да обозначим самото число $ b $, което до определената степен ще ни даде предварително известна стойност

\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Rightarrow ((b) ^ (n)) = a \]

Не споря: тези корени често се броят лесно - видяхме няколко такива примера по -горе. Но все пак, в повечето случаи, ако отгатнете произволно число и след това се опитате да извлечете произволен корен от него, ще бъдете жестоки.

Какво има там! Дори най -простият и познат $ \ sqrt (2) $ не може да бъде представен в обичайната ни форма - като цяло число или дроб. И ако въведете това число в калкулатор, ще видите следното:

\ [\ sqrt (2) = 1.414213562 ... \]

Както можете да видите, след запетаята има безкрайна последователност от числа, които не се подчиняват на никаква логика. Разбира се, можете да закръглите това число, за да сравните бързо с други числа. Например:

\ [\ sqrt (2) = 1.4142 ... \ приблизително 1.4 \ lt 1.5 \]

Или ето още един пример:

\ [\ sqrt (3) = 1,73205 ... \ приблизително 1,7 \ gt 1,5 \]

Но всички тези закръглявания, първо, са доста груби; и второ, също трябва да можете да работите с приблизителни стойности, в противен случай можете да хванете куп неочевидни грешки (между другото, умението за сравнение и закръгляване е задължително проверено на изпита за профил).

Следователно в сериозната математика не можете без корени - те са еднакви равни представители на множеството от всички реални числа $ \ mathbb (R) $, както и дроби и цели числа, които са ни познати отдавна.

Невъзможността да се представи корен като част от формата $ \ frac (p) (q) $ означава, че този корен не е рационално число... Такива числа се наричат ​​ирационални и те не могат да бъдат представени точно освен с помощта на радикал или други специално проектирани конструкции (логаритми, степени, граници и т.н.). Но повече за това друг път.

Помислете за няколко примера, при които след всички изчисления ирационалните числа все още ще останат в отговора.

\ [\ начало (подравняване) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ приблизително 2236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32 )) = \ sqrt (-2) \ приблизително -1.2599 ... \\ \ край (подравняване) \]

Естествено, според външен вид root е почти невъзможно да се отгатне какви числа ще дойдат след десетичната запетая. Можете обаче да разчитате на калкулатор, но дори и най -съвършеният калкулатор на дата ни дава само първите няколко цифри на ирационално число. Следователно, много по-правилно е отговорите да се запишат под формата на $ \ sqrt (5) $ и $ \ sqrt (-2) $.

Ето защо те са измислени. За удобно записване на отговорите.

Защо са необходими две дефиниции?

Внимателният читател вероятно вече е забелязал, че всички квадратни корени, дадени в примерите, са получени от положителни числа. Е, в краен случай от нулата. Но корените на кубчето спокойно се извличат от абсолютно всяко число - било то положително или отрицателно.

Защо се случва? Погледнете графиката на функцията $ y = ((x) ^ (2)) $:

Нека се опитаме да изчислим $ \ sqrt (4) $, използвайки тази графика. За това хоризонтална линия $ y = 4 $ се начертава на диаграмата (маркирана в червено), която се пресича с параболата в две точки: $ ((x) _ (1)) = 2 $ и $ ((x) _ (2)) = -2 $. Това е съвсем логично, тъй като

Всичко е ясно с първото число - то е положително, следователно е коренът:

Но тогава какво да правим с втората точка? Като четирите имат два корена едновременно? В края на краищата, ако поставим на квадрат числото -2, получаваме и 4. Защо не напишем $ \ sqrt (4) = - 2 $? И защо учителите гледат на такива записи, сякаш искат да те погълнат? :)

Проблемът е, че ако не бъдат наложени допълнителни условия, тогава четирите ще имат два квадратни корена - положителен и отрицателен. И всяко положително число също ще има две. Но отрицателните числа изобщо няма да имат корени - това може да се види от същата графика, тъй като параболата никога не пада под оста y, т.е. не приема отрицателни стойности.

Подобен проблем възниква за всички корени с четен показател:

1. Строго погледнато, всяко положително число ще има два корена с четен показател $ n $;
2. От отрицателните числа коренът с дори $ n $ изобщо не се извлича.

Ето защо в дефиницията на корена на четна степен от $ n $ е специално посочено, че отговорът трябва да бъде неотрицателно число. Така се освобождаваме от неяснотите.

Но за нечетни $ n $ няма такъв проблем. За да проверим това, нека да разгледаме графиката на функцията $ y = ((x) ^ (3)) $:

От тази графика могат да се направят два извода:

1. Клоните на кубична парабола, за разлика от обичайната, отиват до безкрайност в двете посоки - както нагоре, така и надолу. Следователно, на каквато и височина да нарисуваме хоризонтална линия, тази линия непременно ще се пресича с нашата графика. Следователно, коренът на куба винаги може да бъде извлечен от абсолютно всяко число;
2. В допълнение, такова пресичане винаги ще бъде единственото, така че няма нужда да мислите кое число да считате за "правилния" корен и кое да отбележите. Ето защо дефиницията на корените за нечетна степен е по-проста, отколкото за четна (няма изискване за неотрицателност).

Жалко, че тези прости неща не се обясняват в повечето учебници. Вместо това мозъкът започва да се носи до нас с всякакви аритметични корени и техните свойства.

Да, не споря: какво е аритметичен корен - също трябва да знаете. И ще разгледам това подробно в отделен урок. Днес също ще говорим за това, защото без него всички мисли за корените на $ n $ -та множественост биха били непълни.

Но първо трябва ясно да разберете определението, което дадох по -горе. В противен случай, поради изобилието от термини, в главата ви ще започне такава бъркотия, че в крайна сметка изобщо няма да разберете нищо.

Всичко, което трябва да направите, е да разберете разликата между четни и нечетни показатели. Така че отново нека да съберем всичко, което наистина трябва да знаете за корените:

1. Четният корен съществува само от неотрицателно число и сам по себе си винаги е неотрицателно число. За отрицателни числа такъв корен е неопределен.
2. Но коренът от нечетна степен съществува от произволно число и сам по себе си може да бъде произволно число: за положителни числа е положително, а за отрицателни, както подсказва капачката, отрицателно.

Трудно е? Не, не е трудно. Ясно? Да, като цяло, това е очевидно! Така че сега ще практикуваме някои изчисления.

Основни свойства и ограничения

Корените имат много странни свойстваи ограничения - това ще бъде отделен урок. Ето защо сега ще разгледаме само най -важния "трик", който се отнася само за корени с равномерен експонент. Нека напишем това свойство под формата на формула:

\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ наляво | x \ вдясно | \]

С други думи, ако повишите число на четна степен и след това извлечете корена на същата степен от това, получаваме не първоначалното число, а неговия модул. Това е проста теорема, която е лесна за доказване (достатъчно е да разгледаме отделно неотрицателните $ x $, а след това отделно - отрицателните). Учителите постоянно говорят за това, дават го във всеки училищен учебник. Но веднага щом се стигне до решаване на ирационални уравнения (тоест уравнения, съдържащи радикалния знак), учениците приятелски забравят тази формула.

За да разберем въпроса подробно, нека забравим всички формули за минута и се опитаме да преброим две числа направо:

\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ вляво (-3 \ вдясно)) ^ (4))) =? \]

Това са много прости примери. Първият пример ще бъде решен от повечето хора, но на втория много ще се придържат. За да разрешите такива глупости без проблеми, винаги обмисляйте реда на действия:

1. Първо, числото се повишава до четвъртата степен. Е, това е доста лесно. Ще получите ново число, което може да се намери дори в таблицата за умножение;
2. И сега, от този нов номер, е необходимо да се извлече четвъртият корен. Тези. не се получава "намаляване" на корените и степени - това са последователни действия.

Работим с първия израз: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Очевидно първо трябва да изчислите израза под корена:

\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]

След това извличаме четвъртия корен от числото 81:

Сега нека направим същото с втория израз. Първо, вдигаме числото -3 до четвъртата степен, за което трябва да го умножим от само себе си 4 пъти:

\ [((\ наляво (-3 \ надясно)) ^ (4)) = \ наляво (-3 \ надясно) \ cdot \ наляво (-3 \ надясно) \ cdot \ наляво (-3 \ надясно) \ cdot \ ляво (-3 \ надясно) = 81 \]

Получихме положително число, тъй като общият брой минуси в продукта е 4 броя и всички те ще бъдат унищожени взаимно (в края на краищата минус по минус дава плюс). След това извличаме корена отново:

По принцип този ред не би могъл да бъде написан, тъй като няма проблем, че отговорът ще бъде същият. Тези. четен корен от същата четна мощност „изгаря“ минусите и в този смисъл резултатът е неразличим от обичайния модул:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ наляво | 3 \ вдясно | = 3; \\ & \ sqrt (((\ вляво (-3 \ вдясно)) ^ (4))) = \ вляво | -3 \ вдясно | = 3. \\ \ край (подравняване) \]

Тези изчисления са в добро съгласие с дефиницията на четен корен: резултатът винаги е неотрицателен и под радикалния знак винаги има неотрицателно число. В противен случай коренът е неопределен.

Бележка за процедурата

1. Нотацията $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ означава, че първо квадратираме числото $ a $ и след това извличаме квадратния корен от получената стойност. Следователно можем да сме сигурни, че неотрицателното число винаги седи под коренния знак, тъй като $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ във всеки случай;
2. Но записът $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $, напротив, означава, че първо извличаме корена от определено число $ a $ и едва след това резултатът е квадрат. Следователно числото $ a $ в никакъв случай не може да бъде отрицателно - това е задължително изискване в определението.

По този начин в никакъв случай не трябва безсмислено да намалявате корените и градусите, като по този начин се предполага, че "опростявате" оригиналния израз. Защото ако под корена има отрицателно число, а показателят му е четен, получаваме куп проблеми.

Всички тези проблеми обаче са от значение само за равномерни показатели.

Премахване на минус от коренния знак

Естествено, корените с нечетни показатели също имат свой собствен брояч, който по принцип не съществува за четни. А именно:

\ [\ sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]

Накратко, можете да извадите минуса под знака на корените на нечетна степен. Това е много полезно свойство, което ви позволява да „изхвърлите“ всички минуси:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) =- \ sqrt (27) \ cdot \ left (- \ sqrt (32) \ right) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ end (подравняване) \]

Това просто свойство значително опростява много изчисления. Сега няма нужда да се притеснявате: какво ще стане, ако под корена се е промъкнал отрицателен израз и степента в корена се окаже четна? Достатъчно е просто да „изхвърлим“ всички минуси извън корените, след което те могат да бъдат умножени помежду си, разделени и като цяло да направят много подозрителни неща, които в случай на „класически“ корени, гарантирано ще ни доведат до грешка.

И тук влиза в действие друго определение - точно това, с което в повечето училища започва изучаването на ирационалните изрази. И без което нашите разсъждения биха били непълни. Моля, заповядай!

Аритметичен корен

Да предположим за момент, че под коренния знак може да има само положителни числа или най -много нула. Нека забравим за четни / нечетни показатели, нека забравим за всички дефиниции, дадени по -горе - ще работим само с неотрицателни числа. Какво тогава?

И тогава получаваме аритметичния корен - той частично се припокрива с нашите „стандартни“ определения, но все пак се различава от тях.

Определение. Аритметичен корен от $ n $ -та степен на неотрицателно число $ a $ е неотрицателно число $ b $ такова, че $ ((b) ^ (n)) = a $.

Както можете да видите, вече не се интересуваме от паритет. Вместо това се появи ново ограничение: радикалният израз сега винаги е отрицателен, а самият корен също е неотрицателен.

За да разберете по -добре как аритметичният корен се различава от обичайния, разгледайте вече познатите квадратни и кубични параболни графики:

Както можете да видите, отсега нататък ние се интересуваме само от онези части от графиките, които се намират в първото координатно тримесечие - където координатите $ x $ и $ y $ са положителни (или поне нула). Вече не е нужно да гледате индикатора, за да разберете дали имаме право да изкореним отрицателно число или не. Защото отрицателните числа вече не се разглеждат по принцип.

Може да попитате: "Е, защо имаме нужда от такова кастрирано определение?" Или: „Защо не можете да се справите със стандартната дефиниция, дадена по -горе?“

Е, ще дам само едно свойство, поради което новото определение става подходящо. Например, правилото за степенуване е:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

Моля, обърнете внимание: можем да повдигнем радикалния израз на всяка степен и в същото време да умножим кореновия показател с една и съща степен - и резултатът ще бъде същото число! Ето няколко примера:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ край (подравняване) \]

И така, каква е голямата работа? Защо не можехме да направим това по -рано? Ето защо. Помислете за един прост израз: $ \ sqrt (-2) $ - това число е съвсем нормално в нашия класически смисъл, но абсолютно неприемливо от гледна точка на аритметичния корен. Нека се опитаме да го трансформираме:

$ \ begin (align) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ left (-2 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ end (align) $

Както можете да видите, в първия случай премахнахме минуса под радикала (имаме всички права, тъй като показателят е нечетен), а във втория използвахме горната формула. Тези. от гледна точка на математиката всичко се прави според правилата.

WTF ?! Как едно и също число може да бъде както положително, така и отрицателно? Няма начин. Просто формулата за степенуване, която работи чудесно за положителни числа и нула, започва да дава пълна ерес в случай на отрицателни числа.

За да се отърват от тази неяснота, те измислиха аритметични корени. На тях е посветен отделен голям урок, където разглеждаме подробно всичките им свойства. Така че сега няма да се спираме на тях - урокът вече се оказа твърде дълъг.

Алгебричен корен: за тези, които искат да знаят повече

Дълго мислех дали да поставя тази тема в отделен параграф или не. В крайна сметка реших да напусна тук. Този материал е предназначен за тези, които искат да разберат корените още по -добре - не на средно „училищно“ ниво, а на ниво близко до нивото на олимпиадата.

И така: в допълнение към „класическата“ дефиниция на $ n $ -тия корен на число и свързаното с него разделение на четни и нечетни показатели, има и по -дефиниция за „възрастни“, която изобщо не зависи от паритета и други тънкости . Това се нарича алгебричен корен.

Определение. Алгебричният корен на $ n $ -тата степен на всеки $ a $ е множеството от всички числа $ b $, така че $ ((b) ^ (n)) = a $. Няма добре установено обозначение за такива корени, затова просто поставяме тире отгоре:

\ [\ overline (\ sqrt [n] (a)) = \ left \ (b \ left | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ надясно. \ right \) \]

Основната разлика от стандартната дефиниция, дадена в началото на урока, е, че алгебричният корен не е конкретно число, а множество. И тъй като работим с реални числа, има само три вида от този набор:

1. Празен комплект. Възниква, когато се изисква да се намери алгебричен корен от четна степен от отрицателно число;
2. Комплект, състоящ се от един елемент. Всички корени с нечетни степени, както и корени с четни степени от нула, попадат в тази категория;
3. И накрая, множеството може да включва две числа - същите $ ((x) _ (1)) $ и $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $, които видяхме на квадратичната функция на графиката. Съответно такова подравняване е възможно само при извличане на четен корен от положително число.

Последният случай заслужава по -подробно разглеждане. Нека преброим няколко примера, за да разберем разликата.

Пример. Оценете изразите:

\ [\ overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)). \]

Решение. Първият израз е прост:

\ [\ overline (\ sqrt (4)) = \ наляво \ (2; -2 \ надясно \) \]

Това са две числа, които съставляват множеството. Защото всеки от тях на квадрата дава четворка.

\ [\ overline (\ sqrt (-27)) = \ наляво \ (-3 \ надясно \) \]

Тук виждаме набор, състоящ се само от едно число. Това е съвсем логично, тъй като показателят на корена е нечетен.

И накрая, последният израз:

\ [\ overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]

Имаме празен комплект. Тъй като няма нито едно реално число, което при повишаване до четвъртата (т.е. дори!) Степен ще ни даде отрицателно число -16.

Заключителна забележка. Моля, обърнете внимание: не случайно отбелязах навсякъде, че работим с реални числа. Тъй като има и комплексни числа - там е напълно възможно да се изчислят $ \ sqrt (-16) $ и много други странни неща.

В съвременния училищен курс по математика обаче почти никога не се откриват комплексни числа. Те бяха изтрити от повечето учебници, защото нашите служители смятат тази тема за „твърде трудна за разбиране“.

Това е всичко. В следващия урок ще разгледаме всички ключови свойства на корените и накрая ще научим как да опростяваме ирационалните изрази. :)