Bölen, başka bir tamsayının kalansız bölünebildiği bir tamsayıdır. Birkaç sayı için, aralarında en büyüğü olacak ortak bölenleri bulabilirsiniz. Bir dizi faydalı özelliğe sahip en büyük ortak bölendir.

En büyük ortak böleni

Bir A tamsayının böleni, A'nın kalansız bölünebildiği bir B tamsayıdır. Örneğin 24 sayısının bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24'tür. Her sayı kendisine ve bire tam bölünebildiği için bu bölenleri yok sayabiliriz. Yalnızca kendilerine ve bire bölünebilen sayılar asal kabul edilir ve bir takım benzersiz özelliklere sahiptir. Bununla birlikte, çoğu sayı için, bazıları ortak olacak olan bölenleri alabiliriz. Örneğin 36 sayısı için bu tür bölenler 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 olur. Çoğu yukarıdaki 24 sayısının bölenleriyle çakışır ama en büyüğü 12'dir. 24 ve 36 çiftinin GCD'si, her zaman bir olduğu için en küçük ortak bölen kavramı mantıklı değildir.

GCD'yi bulma

GCD'yi hesaplamak için üç yöntem kullanılır. Birincisi, anlaşılması en kolay ama aynı zamanda en zahmetli olanı, bir çiftin tüm bölenlerinin basit bir numaralandırılması ve en büyüğünün seçilmesidir. Örneğin 12 ve 16 GCD için aşağıdaki gibidir:

• 12 - 2, 3, 4 ve 6 için bölenleri yazın;
• 16 - 2, 4 ve 8 için bölenleri yazın;
• sayıların ortak bölenlerini belirler - 2, 4;
• en büyüğünü seçin - 4.

İkinci yol, anlaşılması daha zor, ancak hesaplamalar açısından daha verimli. Bu durumda, OBEB sayıları asal çarpanlara ayırarak bulunur. Asal çarpanlara ayırma için, kalansız bir sayıyı 2, 3, 5, 7, 11, 13 ...

Aynı sayılar için GCD aşağıdaki şemaya göre hesaplanır:

• 12'yi asal çarpanlara ayırıp 2 × 2 × 3 elde ederiz;
• 16 - 2 × 2 × 2 × 2 düzenleyin;
• uyumsuz faktörleri filtreleriz ve 2 × 2 elde ederiz;
• faktörleri çarpın ve gcd = 4'ü belirleyin.

Üçüncü yöntem, keyfi olarak büyük sayıların herhangi bir çiftinin GCD'sini belirlemek için en uygun yöntemdir. Euclid'in algoritması, A>B verilen bir çift A ve B tamsayısının en büyük ortak bölenini bulmak için bir yöntemdir.

Algoritmaya göre, A'yı B'ye bölmeliyiz, bu da şu sonucu verecektir:

A1 bir tam sayı olduğunda, C bölümün geri kalanıdır.

Bundan sonra, B'yi kalan C'ye böleriz ve sonucu B1 olarak gösteririz. Şimdi elimizde yeni bir A1 ve B1 çifti var.

Adımları tekrarlayalım. A1'i B1'e bölersek sonuç olarak A2 ve C1 elde ederiz. Bundan sonra B1'i C1'e bölüp B2'yi elde ederiz. Algoritma, kalan Cn sıfır olana kadar tekrar eder.

1729 ve 1001 sayıları üzerinde detaylı olarak ele alalım. İşlem şu şekildedir. Bir çiftimiz var (101, 1729). Öklid algoritmasını kullanmak için çiftteki ilk sayı daha büyük olmalıdır. Algoritmanın doğru çalışması için bir dönüşüm yapalım - daha küçük sayıyı yerinde bırakacağız ve daha büyük olanı farklarıyla değiştireceğiz, çünkü her iki sayı da GCD tarafından bölünebiliyorsa, farkları da bölünebilir. (1001, 728) alırız. Hesaplamaları yapalım:

• (1001, 728) = (728, 273) = (273, 182) - farkı defalarca aramak yerine 728'i 273'e bölmenin kalanını yazabilirsiniz.
• (273, 182) = (91, 182) = (91, 0) = 91.

Böylece, 1001 ve 1729 çiftinin GCD'si 91'dir.

GCD'nin Kullanımı

Uygulamada, en büyük ortak bölen, ax + by = d biçimindeki Diophantine denklemlerinin çözümünde kullanılır. gcd (a, b), d'yi kalansız bölmezse, bu durumda denklem tamsayılarla çözülemez. Bu nedenle, Diophantine denkleminin yalnızca d / gcd (a, b) oranı bir tam sayı olması durumunda tamsayı kökleri vardır.

Çevrimiçi hesap makinemiz, hem bir çift hem de herhangi bir rastgele sayıda sayı için en büyük ortak böleni hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar.

Gerçek hayattan örnekler

okul görevi

Aritmetik probleminde, dört sayının GCD'sini bulmak gerekir: 21, 49, 56, 343. Hesap makinesini kullanarak çözmek için sadece sayıları belirtmemiz ve bunları uygun hücrelere girmemiz gerekir. Bundan sonra gcd (21, 49, 56, 343) = 7 cevabını alacağız.

diofant denklemi

1001 x + 1729 y = 104650 biçiminde bir Diophantine denklemimiz olduğunu varsayalım. Tamsayılarda çözülebilirliği kontrol etmemiz gerekiyor. Öklid algoritmasını kullanarak bu çift için GCD'yi zaten hesaplamıştık. Hesaplamaların doğruluğunu kontrol edelim ve hesap makinesinde GCD'yi yeniden hesaplayalım. Nitekim, gcd (1001, 1729) = 91. d / gcd (a, b) = 104650/91 = 1150 koşuluna göre bir tamsayı çözümünün olasılığını kontrol ediyoruz. Dolayısıyla bu denklemin tamsayı kökleri vardır.

Çözüm

Okuldaki en büyük ortak bölenden geçiyoruz, ancak gelecekte neden gerekli olduğunu her zaman anlamıyoruz. Ancak, OBEB sayılar teorisinde önemli bir terimdir ve matematiğin birçok alanında uygulanmaktadır. Herhangi bir sayıdaki sayının GCD'sini bulmak için hesap makinemizi kullanın.

Ancak birçok doğal sayı, diğer doğal sayılara eşit olarak bölünebilir.

Örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünür;

36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya tam bölünür.

Sayının bölünebildiği sayılara (12 için 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayı bölenleri. Bir doğal sayının böleni a verilen sayıyı bölen doğal sayıdır a iz bırakmadan. İkiden fazla çarpanı olan doğal sayılara denir bileşik. 12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğunu unutmayın. Bunlar sayılardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir.

Verilen iki sayının ortak böleni a ve b Verilen her iki sayının da kalansız bölünebildiği sayıdır a ve b. Çoklu Sayıların Ortak Bölenleri (GCD) her biri için bölen görevi gören sayıdır.

Kısaca sayıların en büyük ortak böleni a ve bşöyle yazılır:

Örnek: gcd (12; 36) = 12.

Çözüm kaydındaki sayıların bölenleri büyük harf "D" ile gösterilir.

Örnek:

gcd (7; 9) = 1

7 ve 9 sayılarının yalnızca bir ortak böleni vardır - 1 sayısı. Bu tür sayılara denir. asalchi slam.

asal sayılar tek bir ortak böleni olan doğal sayılardır - 1 sayısı. Bunların gcd'si 1'dir.

En Büyük Ortak Bölen (GCD), özellikler.

• Ana özellik: en büyük ortak bölen m ve n bu sayıların herhangi bir ortak böleniyle bölünebilir. Örnek: 12 ve 18 sayıları için en büyük ortak bölen 6'dır; bu sayıların tüm ortak bölenleri ile bölünebilir: 1, 2, 3, 6.
• Sonuç 1: ortak bölenler kümesi m ve n gcd bölenleri kümesiyle çakışır( m, n).
• Sonuç 2: ortak katlar kümesi m ve n birden çok LCM kümesiyle çakışır ( m, n).

Bu, özellikle, bir kesri indirgenemez bir forma indirgemek için payını ve paydasını gcd'lerine bölmek gerektiği anlamına gelir.

• Sayıların En Büyük Ortak Bölenleri m ve n tüm lineer kombinasyonlarının kümesinin en küçük pozitif elemanı olarak tanımlanabilir:

ve bu nedenle sayıların doğrusal bir birleşimi olarak temsil edilir m ve n:

Bu oran denir Bezout'un oranı ve katsayılar sen ve v — boşluk katsayıları. Bézout katsayıları, genişletilmiş Öklid algoritması tarafından verimli bir şekilde hesaplanır. Bu ifade, doğal sayı kümelerine genelleştirilmiştir - anlamı, küme tarafından oluşturulan grubun alt grubunun döngüsel olduğu ve bir öğe tarafından oluşturulduğudur: gcd ( a 1 , a 2 , … , bir).

En büyük ortak bölenin (gcd) hesaplanması.

İki sayının gcd'sini hesaplamanın etkili yolları şunlardır: Öklid'in algoritması ve ikilialgoritma. Ayrıca, GCD değeri ( m,n) sayıların kanonik açılımı biliniyorsa kolayca hesaplanabilir m ve n asal faktörler için:

nerede farklı asal sayılardır ve ve negatif olmayan tam sayılardır (karşılık gelen asal ayrıştırmada değilse, bunlar sıfır olabilir). Sonra gcd ( m,n) ve LCM ( m,n) şu formüllerle ifade edilir:

İkiden fazla sayı varsa: , GCD'leri aşağıdaki algoritmaya göre bulunur:

- bu istenen GCD'dir.

Ayrıca bulmak için en büyük ortak böleni, verilen sayıların her birini asal çarpanlara ayırabilirsiniz. Ardından, yalnızca verilen tüm sayılara dahil edilen faktörleri ayrı ayrı yazın. Sonra kendi aralarında yazılan sayıları çarparız - çarpmanın sonucu en büyük ortak bölendir .

Adım adım en büyük ortak bölen hesaplamasını inceleyelim:

1. Sayıların bölenlerini asal çarpanlara ayırın:

Hesaplamalar, dikey bir çubuk kullanılarak kolayca yazılır. Satırın soluna, önce temettü, sağa - böleni yazın. Ayrıca sol sütunda özel değerleri yazıyoruz. Hemen bir örnekle açıklayalım. 28 ve 64 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.

2. Her iki sayıda da aynı asal çarpanların altını çiziyoruz:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Aynı asal çarpanların çarpımını buluyoruz ve cevabı yazıyoruz:

OBEB (28; 64) = 2. 2 = 4

Cevap: OBEB (28; 64) = 4

GCD'nin konumunu iki şekilde düzenleyebilirsiniz: bir sütunda (yukarıda yapıldığı gibi) veya "bir satırda".

GCD yazmanın ilk yolu:

GCD 48 ve 36'yı bulun.

OBEB (48; 36) = 2 . 2. 3 = 12

GCD yazmanın ikinci yolu:

Şimdi GCD arama çözümünü bir satıra yazalım. GCD 10 ve 15'i bulun.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

İki veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini nasıl bulacağınızı öğrenmek için doğal, asal ve karmaşık sayıların ne olduğunu anlamanız gerekir.

Doğal sayı, tamsayıları saymak için kullanılan herhangi bir sayıdır.

Bir doğal sayı sadece kendisine ve bire bölünebiliyorsa bu sayıya asal sayı denir.

Tüm doğal sayılar kendilerine ve bire bölünebilir, ancak tek çift asal sayı 2'dir, diğerleri ikiye bölünebilir. Bu nedenle, yalnızca tek sayılar asal olabilir.

Çok sayıda asal sayı vardır, bunların tam listesi yoktur. GCD'yi bulmak için, bu tür sayılarla özel tablolar kullanmak uygundur.

Doğal sayıların çoğu yalnızca bire değil, diğer sayılara da bölünebilir. Örneğin, 15 sayısı 3 ve 5'e bölünebilir. Hepsine 15 sayısının bölenleri denir.

Böylece, herhangi bir A'nın böleni, kalansız bölünebildiği sayıdır. Bir sayının ikiden fazla doğal böleni varsa bileşik denir.

30 sayısının 1, 3, 5, 6, 15, 30 gibi bölenleri vardır.

15 ve 30'un aynı 1, 3, 5, 15 bölenlerine sahip olduğunu görebilirsiniz. Bu iki sayının en büyük ortak böleni 15'tir.

Böylece, A ve B sayılarının ortak böleni, onları tam olarak bölebileceğiniz sayıdır. Maksimum, bölünebilecekleri maksimum toplam sayı olarak kabul edilebilir.

Sorunları çözmek için aşağıdaki kısaltılmış yazıt kullanılır:

GCD (A; B).

Örneğin, OBEB (15; 30) = 30.

Bir doğal sayının tüm bölenlerini yazmak için şu notasyon kullanılır:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

gcd (9; 15) = 1

Bu örnekte, doğal sayıların yalnızca bir ortak böleni vardır. Sırasıyla asal olarak adlandırılırlar, birim onların en büyük ortak bölenidir.

Sayıların en büyük ortak böleni nasıl bulunur

Birkaç sayının GCD'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

Her bir doğal sayının tüm bölenlerini ayrı ayrı bulun, yani onları çarpanlara ayırın (asal sayılar);

Verilen sayılar için aynı faktörleri seçin;

Onları birlikte çarpın.

Örneğin, 30 ve 56'nın en büyük ortak bölenini hesaplamak için şunu yazarsınız:

İle karıştırılmaması için, çarpanları dikey sütunlar kullanarak yazmak uygundur. Çizginin sol tarafında, temettü ve sağda - bölen yerleştirmeniz gerekir. Temettü altında, ortaya çıkan bölümü belirtmelisiniz.

Bu nedenle, sağ sütunda çözüm için gereken tüm faktörler olacaktır.

Aynı bölenlerin (bulunan faktörler) kolaylık olması için altı çizilebilir. Yeniden yazılmalı ve çarpılmalı ve en büyük ortak bölen yazılmalıdır.

OBEB (30; 56) = 2 * 5 = 10

Sayıların en büyük ortak bölenini bulmak gerçekten bu kadar basit. Biraz pratikle, neredeyse otomatik olarak yapabilirsiniz.

En büyük ortak böleni bulmanın iki yolunu düşünün.

Faktoring Yoluyla Bulmak

İlk yol, verilen sayıları asal çarpanlara ayırarak en büyük ortak böleni bulmaktır.

Birkaç sayının GCD'sini bulmak için, onları asal çarpanlara ayırmak ve verilen tüm sayılarda ortak olanları kendi aralarında çarpmak yeterlidir.

örnek 1 OBEB'i (84, 90) bulalım.

84 ve 90 sayılarını asal çarpanlarına ayırıyoruz:

Böylece, tüm ortak asal faktörlerin altını çizdik, onları kendi aralarında çarpmak kalıyor: 1 2 3 = 6.

Yani gcd(84, 90) = 6.

Örnek 2 OBEB'yi (15, 28) bulalım.

15 ve 28'i asal çarpanlarına ayırıyoruz:

15 ve 28 sayıları en büyük ortak bölenleri bir olduğu için aralarında asaldır.

gcd (15, 28) = 1.

Öklid'in algoritması

İkinci yöntem (Öklid yöntemi olarak da adlandırılır), ardışık bölme yoluyla OAB'yi bulmaktır.

İlk olarak, bu yöntemi sadece verilen iki sayıya uygulanmış olarak inceleyeceğiz ve ardından onu üç veya daha fazla sayıya nasıl uygulayacağımızı bulacağız.

Verilen iki sayıdan büyük olanı küçüğüne bölünebiliyorsa, küçük olan sayı onların en büyük ortak böleni olacaktır.

örnek 1 27 ve 9 sayılarını alalım. 27 9'a ve 9 da 9'a bölünebildiğine göre 9, 27 ve 9 sayılarının ortak böleni olur. Bu bölen de en büyüğüdür çünkü 9 hiçbir sayıya bölünemez. 9'dan büyük. Bu nedenle, gcd (27, 9) = 9.

Diğer durumlarda, iki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için aşağıdaki prosedür kullanılır:

1. Verilen iki sayıdan büyük olan sayı küçük olana bölünür.
2. Daha sonra, küçük sayı, büyük sayının küçük sayıya bölünmesinden elde edilen kalana bölünür.
3. Ayrıca, ilk kalan, daha küçük sayının birinci kalana bölünmesiyle elde edilen ikinci kalana bölünür.
4. İkinci kalan üçüncüye bölünür, bu da birinci kalanı ikinciye bölerek elde edilir ve bu böyle devam eder.
5. Böylece kalan sıfır olana kadar bölme işlemi devam eder. Son bölen en büyük ortak bölen olacaktır.

Örnek 2 140 ve 96 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım:

1) 140: 96 = 1 (kalan 44)

2) 96: 44 = 2 (kalan 8)

3) 44: 8 = 5 (kalan 4)

Son bölen 4'tür, yani gcd(140, 96) = 4'tür.

Sıralı bölme ayrıca bir sütuna da yazılabilir:

Verilen üç veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini bulmak için aşağıdaki prosedürü kullanın:

1. İlk olarak, birden çok veri kümesinden herhangi iki sayının en büyük ortak bölenini bulun.
2. Sonra bulunan bölenin OBEB'ini ve verilen üçüncü bir sayıyı buluruz.
3. Sonra en son bulunan bölenin OBEB'ini ve verilen dördüncü sayıyı buluruz, vb.

Örnek 3 140, 96 ve 48 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım. Önceki örnekte 140 ve 96 sayılarının EBOB'unu bulduk (bu 4 sayısı). Geriye 4 sayısının ve verilen üçüncü sayının en büyük ortak bölenini bulmak kalıyor - 48:

48 sayısı 4'e kalansız bölünür. Yani gcd(140, 96, 48) = 4.

ortak bölen birkaç sayı, verilen sayıların her birinin bölünebildiği sayıdır. Örneğin, iki sayı verilmiştir: 6 ve 9. 6 sayısının 1, 2, 3, 6 bölenleri vardır. 9 sayısının 1, 3, 9 bölenleri vardır. 6 ve 9 sayılarının 1 ve 3 ortak bölenleri olduğunu görüyoruz.

En büyük ortak böleni(GCD olarak kısaltılır) birkaç sayıdan oluşursa, bu sayıların her birinin kalansız bölünebildiği ortak bölenlerin en büyüğüne denir.

Böylece, 6 ve 9'un tüm ortak bölenlerinin en büyük ortak böleni 3'tür.

Genellikle en büyük ortak bölen şu şekilde yazılır: gcd ( a, b, ...) = x.

Buna göre 6 ve 9 sayılarının en büyük ortak bölenini yazıyoruz:

gcd(6, 9) = 3.

gcd'si bir olan sayılara denir asal sayılar. Örneğin, 14 ve 15 sayıları nispeten asaldır: gcd(14, 15) = 1.

GCD hesaplayıcı

Bu hesaplayıcı, sayıların en büyük ortak bölenini bulmanıza yardımcı olacaktır. Boşluk veya virgülle ayrılmış sayıları girin ve GCD Hesapla düğmesini tıklayın.