Nokta varyasyon serisi. Dağılım ve gruplama serileri. Göreceli risk göstergesinin gelişim tarihi

Site bölümleri

Editörün Seçimi:

reklam

ev - Verber Bernard

RUSYA FEDERASYONU BAŞKANLIĞINDA RUSYA HALK EKONOMİSİ VE KAMU HİZMETLERİ AKADEMİSİ

ORLOV ŞUBESİ

Matematik Bölümü ve Yönetimde Matematiksel Yöntemler

Bağımsız iş

Matematik

"Varyasyonel seriler ve özellikleri" konulu

İktisat ve Yönetim Fakültesi tam zamanlı öğrencileri için

"Personel Yönetimi" eğitim alanları

Amaç: Matematiksel istatistik kavramlarına ve birincil veri işleme yöntemlerine hakim olmak.

Tipik görevleri çözme örneği.

Amaç 1.

Aşağıdaki veriler yoklama () ile elde edildi:

1 2 3 2 2 4 3 3 5 1 0 2 4 3 2 2 3 3 1 3 2 4 2 4 3 3 3 2 0 6

3 3 1 1 2 3 1 4 3 1 7 4 3 4 2 3 2 3 3 1 4 3 1 4 5 3 4 2 4 5

3 6 4 1 3 2 4 1 3 1 0 0 4 6 4 7 4 1 3 5

Gerekli:

1) Daha önce sıralanmış ayrık seçenekler serisini kaydetmiş olan bir varyasyon serisini (örneğin istatistiksel dağılımını) derleyin.

2) Frekans ve birikimli bir çokgen oluşturun.

3) Bir dizi göreli frekans (frekans) dağılımı oluşturun.

4) Temel sayısal özellikleri bulun varyasyon serisi(bunları bulmak için basitleştirilmiş formülleri kullanın): a) aritmetik ortalama, b) medyan Ben mi ve moda moe, c) varyans 2, d) standart sapma s, e) varyasyon katsayısı V.

5) Elde edilen sonuçların anlamını açıklayın.

Çözüm.

1) Oluşturmak için sıralı ayrık seçenek yelpazesi anket verilerini boyuta göre sıralayın ve artan düzende düzenleyin

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 6 6 6 7 7.

Tablonun ilk satırına gözlemlenen değerleri (seçenekler) ve ikincisine karşılık gelen frekansları yazarak bir varyasyon serisi oluşturalım (Tablo 1)

Tablo 1.

2) Frekans poligonu, noktaları birleştiren kesik bir çizgidir ( x ben; ben), Bence=1, 2,…, m, nerede m x.

Varyasyon serisinin frekanslarının poligonunu çizelim (Şekil 1).

1. Frekans poligonu

Ayrık bir varyasyon serisi için kümülatif eğri (kümülatif), noktaları birleştiren kesik bir çizgidir ( x ben; n ben nak), Bence=1, 2,…, m.

Birikmiş frekansları bulun n ben nak(kümülatif sıklık, bir özellik değeri daha düşük olan kaç değişkenin gözlemlendiğini gösterir. x). Bulunan değerler Tablo 1'in üçüncü satırına girilir.

Bir kümülatif oluşturalım (Şekil 2).

incir. 2. kümülata

3) Göreli frekansları (frekansları) bulalım, nerede, nerede m- özelliğin farklı değerlerinin sayısı x aynı doğrulukla hesaplanacaktır.

Tablo 2 şeklinde bir dizi göreli frekans (frekans) dağılımını yazalım.

Tablo 2

4) Varyasyon serisinin temel sayısal özelliklerini bulalım:

a) Basitleştirilmiş bir formül kullanarak aritmetik ortalamayı buluruz:

koşullu seçenekler nerede

Koyduk İle= 3 (gözlenen ortalama değerlerden biri), k= 1 (iki bitişik seçenek arasındaki fark) ve bir hesaplama tablosu hazırlayın (Tablo 3).

Tablo 3.

x ben	n Bence	sen ben	sen ben	sen ben 2 n ben
		-3	-12
		-2	-26
		-1	-14





toplam			-11

O zaman aritmetik ortalama

b) Medyan Ben mi varyasyon serisi, bir dizi gözlemin ortasına düşen bir özelliğin değeridir. Bu ayrık varyasyon serisi, çift sayıda terim içerir ( n= 80), bu, medyanın iki medyan seçeneğinin yarısına eşit olduğu anlamına gelir.

Moda moe varyasyon serisi, en yüksek frekansa karşılık gelen varyanttır. Belirli bir varyasyon serisi için en yüksek frekans n max = 24 varyanta karşılık gelir x= 3 moda demektir moe=3.

c) Dağılım 2 saçılmanın bir ölçüsü olan olası değerler gösterge x ortalaması etrafında basitleştirilmiş bir formül kullanarak buluruz:

, nerede sen ben- koşullu seçenekler

Tablo 3'e ara hesaplamaları da gireceğiz.

Sonra varyans

d) Standart sapma s formülle bulun:

e) Varyasyon katsayısı V: (),

Varyasyon katsayısı ölçülemez bir niceliktir, bu nedenle varyantları farklı boyutlara sahip varyasyon serilerinin saçılımını karşılaştırmak için uygundur.

varyasyon katsayısı

5) Elde edilen sonuçların anlamı, değerin özelliğin ortalama değerini karakterize etmesidir. x dikkate alınan örnek içinde, yani ortalama değer 2,86'dır. Standart sapma s gösterge değerlerinin mutlak dağılımını tanımlar x ve bu durumda s≈ 1.55. varyasyon katsayısı V göstergenin göreceli değişkenliğini karakterize eder x, yani, ortalama değerinin etrafındaki göreceli yayılma ve bu durumda öyle.

Yanıt vermek: ; ; ; .

Amaç 2.

Orta Rusya'daki en büyük 40 bankanın öz sermayesine ilişkin aşağıdaki veriler mevcuttur:

12,0	49,4	22,4	39,3	90,5	15,2	75,0	73,0	62,3	25,2
70,4	50,3	72,0	71,6	43,7	68,3	28,3	44,9	86,6	61,0
41,0	70,9	27,3	22,9	88,6	42,5	41,9	55,0	56,9	68,1
120,8	52,4	42,0	119,3	49,6	110,6	54,5	99,3	111,5	26,1

Gerekli:

1) Bir aralık varyasyon serisi oluşturun.

2) Ortalama örneği ve örnek varyansını hesaplayın

3) Standart sapmayı ve varyasyon katsayısını bulun.

4) Dağıtım frekanslarının bir histogramını oluşturun.

Çözüm.

1) Rastgele sayıda aralık seçelim, örneğin 8. O zaman aralığın genişliği:

Bir hesaplama tablosu oluşturalım:

Aralık seçeneği, x k –x k +1	Sıklık, ben	Aralığın ortası x ben	Koşullu seçenek, ve ben	ve ben	ve ben 2 ben	(ve ben + 1) 2 ben
10 – 25		17,5	– 3	– 12
25 – 40		32,5	– 2	– 10
40 – 55		47,5	– 1	– 11
55 – 70		62,5
70 – 85		77,5
85 – 100		92,5
100 – 115		107,5
115 – 130		122,5
toplam				– 5

Değer yanlış sıfır olarak seçildi c = 62.5 (bu seçenek, varyasyon sırasının yaklaşık olarak ortasında bulunur) .

Koşullu seçenekler formül tarafından belirlenir

İstatistiksel dağılım serisi- Bu, nüfus birimlerinin belirli bir değişken özelliğe göre gruplara sıralı bir dağılımıdır.
Bir dağılım serisinin oluşumunun altında yatan özelliğe bağlı olarak, nitelik ve varyasyon dağılım serileri.

Ortak bir özelliğin varlığı, tanımlama veya ölçüm sonuçları olan istatistiksel bir popülasyonun oluşumunun temelidir. ortak özellikler araştırma nesneleri.

İstatistikte çalışmanın konusu değişen (değişen) işaretler veya istatistiksel işaretlerdir.

İstatistiksel işaret türleri.

Dağılım serilerine niteliksel denir kalite kriterlerine dayanmaktadır. nitelik Adı olan bir işarettir (örneğin, meslek: terzi, öğretmen vb.).
Bir dizi dağıtımı tablo şeklinde düzenlemek gelenekseldir. Tablo 2.8, niteliksel dağılım serisini gösterir.
Tablo 2.8 - Avukatlar tarafından Rusya Federasyonu bölgelerinden birinin vatandaşlarına sağlanan adli yardım türlerinin dağılımı.

Varyasyon serisi Karakteristik değerleri (veya değer aralıkları) ve frekanslarıdır.
Dağılım serilerine varyasyon serileri denir. niceliksel olarak inşa edilmiştir. Herhangi bir varyasyon serisi iki unsurdan oluşur: seçenekler ve frekanslar.
Varyantlar, varyasyon serilerinde aldığı özelliğin bireysel değerleri olarak kabul edilir.
Frekanslar, bireysel varyantların veya varyasyon serisinin her bir grubunun sayısıdır, yani. bunlar, bir dağıtım serisinde bir veya başka bir varyantın ne sıklıkta meydana geldiğini gösteren sayılardır. Tüm frekansların toplamı, tüm popülasyonun sayısını, hacmini belirler.
Frekanslar, birin kesirleri veya toplamın yüzdesi olarak ifade edilen frekanslardır. Buna göre frekansların toplamı 1 veya %100'dür. Varyasyonlar dizisi, gerçek verileri kullanarak dağıtım yasasının şeklini tahmin etmemizi sağlar.

Özelliğin varyasyonunun doğasına bağlı olarak, ayırt edilirler. kesikli ve aralıklı varyasyon serileri.
Ayrık bir varyasyon serisinin bir örneği tabloda verilmiştir. 2.9.
Tablo 2.9 - 1989'da Rusya Federasyonu'nda ailelerin bireysel dairelerde işgal edilen oda sayısına göre dağılımı.

Tablonun ilk sütunu, ayrı varyasyon serilerinin varyantlarını, ikincisi - varyasyon serisinin frekanslarını, üçüncü - frekans göstergelerini gösterir.

Varyasyon serisi

Genel popülasyonda, belirli bir nicel özellik araştırılmaktadır. Ondan rastgele bir hacim örneği çıkarılır. n, yani örnekteki eleman sayısı n... İstatistiksel işlemenin ilk aşamasında, değişenörnekleme, yani sipariş numaraları x 1, x 2, ..., xn Artan. Gözlenen her değer x ben aranan varyant... Sıklık ben mi Değerin gözlem sayısı x benörnekte. Bağıl frekans (frekans) ben frekans oranı ben miörnek boyutuna n: .
Varyasyon serilerini incelerken, birikmiş frekans ve birikmiş frekans kavramları da kullanılır. İzin vermek x biraz sayı. Daha sonra seçenek sayısı , değerleri daha az olan x, birikmiş frekans olarak adlandırılır: x i için n birikmiş frekans w i max olarak adlandırılır.
Bireysel değerleri (varyantları) birbirinden sonlu bir değerle (genellikle bir tamsayı) farklıysa, bir özelliğe ayrık değişken denir. Böyle bir özelliğin varyasyon serisine ayrık varyasyon serisi denir.

Tablo 1. Frekansların ayrık varyasyon serilerinin genel görünümü

karakteristik değerler	x ben	x 1	x 2	…	x n
frekanslar	ben mi	m 1	m2	…	mn

Değerleri birbirinden keyfi olarak küçük bir miktar farklıysa, yani sürekli değişen bir özellik olarak adlandırılır. nitelik, belirli bir aralıkta herhangi bir değer alabilir. Böyle bir özellik için sürekli bir varyasyon serisine aralık denir.

Tablo 2. Frekansların aralık varyasyon serisinin genel görünümü

Tablo 3. Varyasyon serisinin grafik görüntüleri

Sıra	Çokgen veya histogram	ampirik dağıtım fonksiyonu
ayrık
Aralık

Gözlemlerin sonuçlarına bakarak, her bir belirli aralığa kaç seçeneğin değerinin düştüğünü belirlerler. Her aralığın uçlarından birine ait olduğu varsayılır: ya her durumda (daha sık) bırakılır ya da her durumda doğrudur ve frekanslar veya frekanslar, belirtilen sınırlara dahil edilen seçeneklerin sayısını gösterir. farklılıklar bir ben - bir ben +1 kısmi aralıklar denir. Sonraki hesaplamaları basitleştirmek için, aralık varyasyon serisi geleneksel olarak ayrı bir seri ile değiştirilebilir. Bu durumda ortanca değer Bence-th aralığı değişken olarak alınır x ben, ve karşılık gelen aralık frekansı ben mi- bu aralığın sıklığı için.
Varyasyon serilerinin grafiksel gösterimi için en çok poligon, histogram, kümülatif eğri ve ampirik dağılım fonksiyonu kullanılır.

Tablo 2.3 (Nisan 1994'te Rusya nüfusunun ortalama kişi başına gelire göre gruplandırılması) sunulmuştur. aralıklı varyasyon serisi.
Dağılımın şeklini değerlendirmeyi mümkün kılan bir grafik görüntü yardımıyla dağıtım serilerini analiz etmek uygundur. Varyasyon serilerinin frekanslarındaki değişimin doğası hakkında net bir fikir şu şekilde verilmektedir: çokgen ve histogram.
Çokgen, ayrık varyasyon serilerini görüntülerken kullanılır.
Örneğin, konut stokunun daire türlerine göre dağılımını grafiksel olarak gösterelim (Tablo 2.10).
Tablo 2.10 - Kentsel alandaki konut stokunun daire türlerine göre dağılımı (keyfi sayılar).

Pirinç. Konut stoku tahsis poligonu

Ordinat ekseninde sadece frekans değerleri değil, varyasyon serisinin frekansları da çizilebilir.
Aralık varyasyon serisinin görüntüsü için histogram alınır... Bir histogram oluştururken, aralıkların değerleri apsis ekseninde çizilir ve frekanslar karşılık gelen aralıklarla oluşturulan dikdörtgenlerle gösterilir. Eşit aralık olması durumunda çubukların yüksekliği frekanslarla orantılı olmalıdır. Histogram, bir serinin birbirine bitişik çubuklar şeklinde gösterildiği bir grafiktir.
Tabloda verilen aralık dağılım serilerini grafiksel olarak gösterelim. 2.11.
Tablo 2.11 - Kişi başına düşen yaşam alanı büyüklüğüne göre ailelerin dağılımı (keyfi sayılar).

Np / p	Kişi başına yaşam alanı büyüklüğüne göre aile grupları	Belirli bir yaşam alanına sahip aile sayısı	Birikmiş aile sayısı
1	3 – 5	10	10
2	5 – 7	20	30
3	7 – 9	40	70
4	9 – 11	30	100
5	11 – 13	15	115
TOPLAM		115	----

Pirinç. 2.2. Ailelerin kişi başına yaşam alanı büyüklüğüne göre dağılımının histogramı

Birikmiş serilerin verilerini kullanarak (Tablo 2.11), kümülatif dağılım.

Pirinç. 2.3. Kişi başına yaşam alanına göre ailelerin kümülatif dağılımı

Varyasyon serilerinin kümülatlar biçiminde temsili, frekansları, serilerin frekanslarının toplamına göre kesirler veya yüzdeler olarak ifade edilen varyasyon serileri için özellikle etkilidir.
Varyasyon serilerini kümülatif olarak grafiksel olarak gösterirken eksenleri değiştirirsek, o zaman şunu elde ederiz: ogive... İncirde. 2.4, Tablodaki verilere dayanarak oluşturulan ogive'yi göstermektedir. 2.11.
Bir histogram, dikdörtgenlerin kenarlarının orta noktalarını bularak ve daha sonra bu noktaları düz çizgilerle birleştirerek bir dağılım çokgenine dönüştürülebilir. Ortaya çıkan dağılım poligonu Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.2 noktalı çizgi ile.
Ordinat ekseni boyunca eşit olmayan aralıklarla varyasyon serisi dağılımının bir histogramını oluştururken, frekanslar değil, karşılık gelen aralıklardaki özellik dağılımının yoğunluğu çizilir.
Dağıtım yoğunluğu, birim aralık genişliği başına hesaplanan frekanstır, yani. aralığın birimi başına her grupta kaç birim vardır. Dağılım yoğunluğunun hesaplanmasına bir örnek tabloda sunulmuştur. 2.12.
Tablo 2.12 - İşletmelerin çalışan sayısına göre dağılımı (koşullu sayılar)

Np / p	Çalışan sayısına göre işletme grupları, insanlar	işletme sayısı	Aralık boyutu, kişiler	dağıtım yoğunluğu
	A	1	2	3=1/2
1	20'ye kadar	15	20	0,75
2	20 – 80	27	60	0,25
3	80 – 150	35	70	0,5
4	150 – 300	60	150	0,4
5	300 – 500	10	200	0,05
	TOPLAM	147	----	----

Varyasyon serisinin grafik gösterimi için de kullanılabilir kümülatif eğri... Birikimlerin (toplam eğri) yardımıyla, bir dizi birikmiş frekans görüntülenir. Birikmiş frekanslar, frekansların gruplara göre sırayla toplanmasıyla belirlenir ve popülasyonun kaç biriminin dikkate alınan değerden daha büyük olmayan bir karakteristik değere sahip olduğunu gösterir.

Pirinç. 2.4. Kişi başına düşen yaşam alanı büyüklüğüne göre ailelerin dağılım aralığı

Aralık varyasyon serisinin kümülatlarını oluştururken, serinin varyantları apsis ekseni boyunca çizilir ve birikmiş frekanslar ordinat ekseni boyunca çizilir.

Sürekli varyasyon serisi

Sürekli varyasyon serisi, nicel bir istatistiksel özellik temelinde oluşturulmuş bir seridir. Bir örnek. Cari yılın sonbahar-kış döneminde hükümlülerin ortalama hastalık süreleri (kişi başına gün sayısı):

7,0	6,0	5,9	9,4	6,5	7,3	7,6	9,3	5,8	7,2
7,1	8,3	7,5	6,8	7,1	9,2	6,1	8,5	7,4	7,8
10,2	9,4	8,8	8,3	7,9	9,2	8,9	9,0	8,7	8,5

varyasyonel nicel bir temelde oluşturulmuş dağıtım serileri olarak adlandırılır. Nüfusun bireysel birimlerindeki nicel özelliklerin değerleri sabit değildir, az ya da çok birbirinden farklıdır.

varyasyon- değişkenlik, popülasyon birimlerindeki özelliğin değerinin değişkenliği. İncelenen popülasyonda meydana gelen bir özelliğin bireysel sayısal değerlerine denir. seçenekler değerler. Nüfusun tam bir özelliği için ortalama değerin yetersizliği, ortalama değerleri, incelenen özelliğin değişkenliğini (varyasyonunu) ölçerek bu ortalamaların tipikliğini değerlendirmeyi mümkün kılan göstergelerle tamamlamayı gerekli kılar.

Varyasyonun varlığı, çok sayıda faktörün özelliğin seviyesinin oluşumu üzerindeki etkisinden kaynaklanmaktadır. Bu faktörler eşit olmayan bir güçle ve farklı yönlerde hareket eder. Karakteristiklerin değişkenlik ölçüsünü tanımlamak için varyasyon göstergeleri kullanılır.

Varyasyonun istatistiksel çalışmasının görevleri:

1) nüfusun bireysel birimlerindeki özelliklerin çeşitliliğinin doğası ve derecesinin incelenmesi;
2) agreganın belirli özelliklerinin değişmesinde bireysel faktörlerin veya gruplarının rolünün belirlenmesi.

İstatistikte, bir gösterge sisteminin kullanımına dayalı olarak varyasyonu incelemek için özel yöntemler kullanılır, İle varyasyonun ölçüldüğü yöntemdir.

Varyasyon çalışması önemlidir. Seçici gözlem, korelasyon ve varyans analizi vb. yapılırken varyasyonların ölçümü gereklidir. Ermolaev O.Yu. Psikologlar için matematiksel istatistikler: Ders Kitabı [Metin] / O.Yu. Yermolaev. - M.: Moskova Psikolojik ve Sosyal Enstitüsü Flint Yayınevi, 2012. - 335s.

Varyasyon derecesine göre, popülasyonun homojenliği, özelliklerin bireysel değerlerinin istikrarı ve ortalamanın tipikliği yargılanabilir. Temel olarak, işaretler arasındaki ilişkinin sıkılığının göstergeleri, örnek gözlemin doğruluğunu değerlendirmek için göstergeler geliştirilmiştir.

Uzaydaki varyasyon ile zamandaki varyasyonu ayırt edin.

Uzaydaki çeşitlilik, ayrı bölgeleri temsil eden popülasyon birimlerindeki bir özelliğin değerlerinin değişkenliği olarak anlaşılır. Zamandaki değişim, farklı zaman dilimlerinde bir özelliğin değerlerindeki değişiklik olarak anlaşılmaktadır.

Dağılım serisindeki varyasyonu incelemek için, nitelik değerlerinin tüm varyantları artan veya azalan sırada düzenlenir. Bu işleme satır sıralaması denir.

En basit varyasyon belirtileri şunlardır: minimum ve maksimum- özelliğin toplamdaki en küçük ve en büyük değeri. Özellik değerlerinin bireysel varyantlarının tekrar sayısı, tekrarlama oranı (fi) olarak adlandırılır. Frekansları frekanslarla değiştirmek uygundur - wi. Frekans, bir birimin kesirleri veya yüzde olarak ifade edilebilen ve varyasyon serilerini farklı sayıda gözlemle karşılaştırmanıza olanak tanıyan göreceli bir frekans göstergesidir. Formül ile ifade edilir:

burada Xmax, Xmin, toplamdaki özelliğin maksimum ve minimum değerleridir; n grup sayısıdır.

Bir özelliğin değişimini ölçmek için çeşitli mutlak ve göreli göstergeler kullanılır. Varyasyonun mutlak göstergeleri, varyasyon aralığını, ortalama doğrusal sapmayı, varyansı, standart sapmayı içerir. Göreceli salınım göstergeleri, salınım katsayısını, bağıl doğrusal sapmayı, varyasyon katsayısını içerir.

Bir varyasyon serisi bulma örneği

Egzersiz yapmak. Bu örnek için:

a) Varyasyon serisini bulun;
b) Dağıtım fonksiyonunu oluşturun;

Hayır = 42. Örnek öğeler:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Çözüm.

a) bir aralıklı varyasyon serisinin oluşturulması:
- 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
b) ayrık bir varyasyon serisinin oluşturulması.

Sturgess formülünü kullanarak varyasyon serisindeki grup sayısını hesaplayalım:

7'ye eşit grup sayısını alalım.

Grup sayısını bilerek, aralığın boyutunu hesaplıyoruz:

Tabloyu oluşturma kolaylığı için 8'e eşit grup sayısı alacağız, aralık 1 olacaktır.

Pirinç. bir Belirli bir süre için bir mal mağazasının satış hacmi

Oluşturulan satırlar nicel olarak arandı değişken.

Dağıtım serileri şunlardan oluşur: seçenekler(karakteristik değerler) ve frekanslar(grup sayısı). Göreceli değerler (kesirler, yüzdeler) olarak ifade edilen frekanslara denir. sık... Tüm frekansların toplamına dağıtım serisinin hacmi denir.

Türüne göre, dağıtım serileri ayrılır ayrık(karakteristiğin süreksiz değerleri temelinde inşa edilmiştir) ve Aralık(karakteristiğin sürekli değerleri üzerine inşa edilmiştir).

Varyasyon serisi iki sütunu (veya satırı) temsil eder; değişken özniteliğinin bireysel değerlerinin verildiği, seçenekler olarak adlandırılan ve X ile gösterilen; ve diğerinde - her seçeneğin kaç kez (ne sıklıkta) gerçekleştiğini gösteren mutlak sayılar. İkinci sütunun göstergelerine frekans denir ve geleneksel olarak f ile gösterilir. Bir kez daha, ikinci sütunda, bireysel değişkenlerin sıklığının toplam frekans toplamındaki payını karakterize eden göreli göstergelerin de kullanılabileceğini not ediyoruz. Bu göreli göstergelere frekanslar denir ve geleneksel olarak ω ile gösterilir. Bu durumda tüm frekansların toplamı bire eşittir. Ancak frekanslar yüzde olarak ifade edilebilir ve tüm frekansların toplamı %100'ü verir.

Varyasyon serilerinin varyantları ayrık miktarlar şeklinde ifade ediliyorsa, böyle bir varyasyon serisine denir. ayrık.

Sürekli özellikler için varyasyon serileri şu şekilde oluşturulur: Aralık, yani, içlerindeki özniteliğin değerleri "'den ..."e kadar ifade edilir. Aynı zamanda, böyle bir aralıktaki özniteliğin minimum değerlerine aralığın alt sınırı ve maksimum - üst sınır denir.

Aralıklı varyasyon serileri de geniş bir aralıkta değişen ayrık özellikler için oluşturulmuştur. Aralık satırları ile olabilir eşit ve eşit olmayan aralıklar.

Eşit aralıkların değerinin nasıl belirlendiğini düşünün. Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:

Bence- aralığın boyutu;

- popülasyonun birimleri için özniteliğin maksimum değeri;

- nüfusun birimleri için özelliğin minimum değeri;

n - ayrılan grup sayısı.

n biliniyorsa

Tahsis edilen grupların sayısını önceden belirlemek zorsa, o zaman yeterli bir popülasyon hacmi ile aralığın optimal değerini hesaplamak için 1926'da Sturgess tarafından önerilen formül önerilebilir:

n = 1+ 3.322 lg N, burada N, toplamdaki birim sayısıdır.

Eşit olmayan aralıkların boyutu, her bir durumda, çalışma nesnesinin özellikleri dikkate alınarak belirlenir.

Numunenin istatistiksel dağılımı bir seçenekler listesi ve bunlara karşılık gelen frekansları (veya göreli frekansları) arayın.

Numunenin istatistiksel dağılımı, seçeneklerin bulunduğu ilk sütunda ve ikincisinde - bu seçeneklere karşılık gelen frekanslar olan bir tablo şeklinde ayarlanabilir. hayır veya göreli frekanslar Pi .

Numunenin istatistiksel dağılımı

Varyasyon serileri, oluşumlarının altında yatan özelliklerin değerlerinin belirli sınırlar (aralıklar) içinde ifade edildiği aralık serileri olarak adlandırılır. Bu durumda frekanslar, bireysel karakteristik değerlere değil, tüm aralığa atıfta bulunur.

Aralıklı dağılım serileri, sürekli nicel özelliklere ve ayrıca önemli sınırlar içinde değişen ayrık özelliklere göre oluşturulmuştur.

Aralık serisi, örneğin aralıkları ve karşılık gelen frekansları gösteren istatistiksel dağılımı ile temsil edilebilir. Bu durumda, bu aralığa düşen varyantın frekanslarının toplamı, aralığın frekansı olarak alınır.

Nicel sürekli özelliklere göre gruplama yaparken, aralığın boyutunu belirlemek önemlidir.

Örnek ortalaması ve örnek varyansına ek olarak, varyasyon serisinin diğer özellikleri de kullanılır.

Moda frekansı en yüksek olan seçenek denir.

Belirli bir deney veya gözlemde incelenen parametrenin, büyüklük (artış veya azalma) olarak sıralanan değer kümesine varyasyon serisi denir.

Bir üst kan basıncı eşiği elde etmek için on hastada kan basıncını ölçtüğümüzü varsayalım: sistolik basınç, yani. sadece bir numara.

10 gözlemde arteriyel sistolik basıncın bir dizi gözleminin (istatistiksel toplam) aşağıdaki forma sahip olduğunu düşünelim (Tablo 1):

tablo 1

Varyasyon serisinin bileşenlerine varyantlar denir. Varyantlar, incelenen özelliğin sayısal değerini temsil eder.

İstatistiksel bir gözlem popülasyonundan bir varyasyon serisinin oluşturulması, tüm popülasyonun özelliklerini anlama yolunda yalnızca ilk adımdır. Daha sonra, çalışılan nicel özelliğin ortalama seviyesinin (ortalama kan proteini seviyesi, hastaların ortalama ağırlığı, ortalama anestezi başlama süresi, vb.)

Ortalama seviye, ortalamalar adı verilen kriterler kullanılarak ölçülür. Ortalama değer, tüm istatistiksel popülasyonu bir özelliğe göre bir sayı ile karakterize eden, niteliksel olarak homojen değerlerin genelleştirici sayısal bir özelliğidir. Ortalama değer, belirli bir gözlem kümesindeki bir özelliğin karakteristiği olan geneli ifade eder.

Yaygın olarak kullanılan üç tür ortalama vardır: mod (), medyan () ve aritmetik ortalama ().

Herhangi bir ortalama değeri belirlemek için, bireysel gözlemlerin sonuçlarını bir varyasyon serisi şeklinde kaydederek kullanmak gerekir (Tablo 2).

Moda- bir dizi gözlemde en sık meydana gelen değer. Örneğimizde mod = 120. Varyasyon serisinde tekrarlanan değerler yoksa modun olmadığı söylenir. Birkaç değer aynı sayıda tekrarlanırsa, mod olarak en küçüğü alınır.

Medyan- dağılımı, artan veya azalan düzende sıralanmış bir dizi gözlemin merkezi veya medyan değeri olan iki eşit parçaya bölen değer. Yani, varyasyon serisinde 5 değer varsa, medyanı varyasyon serisinin üçüncü terimine eşittir, dizide çift sayıda üye varsa, medyan ikisinin aritmetik ortalamasıdır. merkezi gözlemler, yani arka arkaya 10 gözlem varsa, medyan 5 ve 6 gözlemin aritmetik ortalamasına eşittir. Örneğimizde.

Modun ve medyanın önemli bir özelliğine dikkat edin: değerleri, aşırı değişkenlerin sayısal değerlerinden etkilenmez.

Aritmetik ortalama formülle hesaplanır:

-inci gözlemde gözlenen değer nerede ve gözlem sayısı. Bizim davamız için.

Aritmetik ortalamanın üç özelliği vardır:

Ortadaki, varyasyon serisinde orta konumu alır. Kesinlikle simetrik bir satırda.

Ortalama bir genelleme değeridir ve ortalama rastgele dalgalanmalar için bireysel verilerdeki farklılıklar görünmez. Tüm nüfus için tipik olanı yansıtır.

Tüm varyantların ortalamadan sapmalarının toplamı sıfıra eşittir:. Varyantın ortalamadan sapması belirtilir.

Varyasyon serisi, bir varyant ve karşılık gelen frekanslardan oluşur. Elde edilen on değerden 120 sayısı 6 kez, 115 - 3 kez, 125 - 1 kez meydana geldi. Frekans () - belirli bir varyantın varyasyon serisinde kaç kez meydana geldiğini gösteren toplamdaki bireysel varyantların mutlak sayısı.

Varyasyon serisi basit (frekans = 1) veya gruplandırılmış kısaltılmış, 3-5 seçenekli olabilir. Az sayıda gözlemle (), gruplandırılmış bir dizi - çok sayıda gözlemle () basit bir seri kullanılır.

Okumak:

Rusya, Ukrayna, Beyaz Rusya, sadece birlikte Kutsal Rusya'yız! Devrimden önce yazıldığı şekliyle Shuya ismi hakkında Shuya bilgisi «Benim Şehrim Shuya adı hikayesi Ryazan bölgesi, Kadom Polonya'daki anti-faşist direnişin kahramanları