Diferansiyel formun denklemi denir

P(x, y)dx + Q(x, y)ölmek = 0 ,

burada sol taraf, iki değişkenli bazı fonksiyonların toplam diferansiyeli.

İki değişkenin bilinmeyen fonksiyonunu gösteririz (toplam diferansiyellerde denklemleri çözerken bulmamız gereken şey budur) F ve yakında ona geri döneceğiz.

Dikkat etmeniz gereken ilk şey: Denklemin sağ tarafında sıfır olmalı ve sol tarafta iki terimi birleştiren işaret artı olmalıdır.

İkinci olarak, verilen diferansiyel denklemin toplam diferansiyellerde bir denklem olduğunun bir teyidi olan bir miktar eşitlik gözlemlenmelidir. Bu kontrol, toplam diferansiyellerde denklem çözme algoritmasının zorunlu bir parçasıdır (bu dersin ikinci paragrafındadır), bu nedenle bir fonksiyon bulma süreci F için oldukça zaman alıcı ve önemli İlk aşama zaman kaybetmeyeceğimizden emin olun.

Böylece, bulunacak bilinmeyen fonksiyon ile gösterildi. F... Tüm bağımsız değişkenler üzerindeki kısmi diferansiyellerin toplamı, toplam diferansiyeli verir. Bu nedenle, denklem bir toplam diferansiyel denklem ise, denklemin sol tarafı kısmi diferansiyellerin toplamıdır. O zaman tanım gereği

dF = P(x, y)dx + Q(x, y)ölmek .

İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini hesaplama formülünü hatırlıyoruz:

Son iki eşitliği çözerek yazabiliriz.

.

İlk eşitlik "oyun" değişkenine göre türevlenebilir, ikincisi - "x" değişkenine göre:

.

bu, verilen diferansiyel denklemin gerçekten de toplam diferansiyellerde bir denklem olması koşuludur.

Toplam diferansiyellerde diferansiyel denklemleri çözmek için algoritma

Aşama 1. Denklemin toplam diferansiyel denklem olduğunu doğrulayın. ifade için bazı fonksiyonların toplam diferansiyeli idi F(x, y), gerekli ve yeterlidir. Başka bir deyişle, göre kısmi türevi almanız gerekir. x ve göre kısmi türev y başka bir terim ve eğer bu türevler eşitse, o zaman denklem toplam diferansiyellerde bir denklemdir.

Adım 2. Fonksiyonu oluşturan bir kısmi diferansiyel denklem sistemi yazın F:

Aşama 3. Sistemin ilk denklemini entegre edin - x (y F:

,
y.

Alternatif bir seçenek (eğer bu şekilde integrali bulmak daha kolaysa) sistemin ikinci denklemini entegre etmektir. y (x sabit kalır ve integral işaretinden çıkarılır). Böylece fonksiyon da geri yüklenir F:

,
hala bilinmeyen işlevi nerede x.

Adım 4. 3. adımın sonucunun (bulunan ortak integral) aşağıdakilere göre türevini alın: y(alternatif olarak - tarafından x) ve sistemin ikinci denklemine eşittir:

,

ve alternatif olarak, sistemin ilk denklemine:

.

Ortaya çıkan denklemden (alternatif olarak) belirleriz

Adım 5. Entegre edin ve 4. adımın sonucunu bulun (alternatif olarak bulun).

Adım 6. 5. adımın sonucunu 3. adımın sonucuyla değiştirin - kısmi entegrasyonla geri yüklenen fonksiyona F... keyfi sabit C daha sık eşittir işaretinden sonra yazılır - denklemin sağ tarafında. Böylece elde ederiz ortak karar diferansiyel denklem tam diferansiyellerde. Daha önce de belirtildiği gibi, formu vardır F(x, y) = C.

Toplam diferansiyellerde diferansiyel denklem çözümlerine örnekler

Örnek 1.

Aşama 1. toplam diferansiyel denklem x ifadenin sol tarafında bir terim

ve göre kısmi türev y başka bir terim
toplam diferansiyel denklem .

Adım 2. F:

Aşama 3.üzerinde x (y sabit kalır ve integral işaretinden çıkarılır). Böylece, işlevi geri yükleriz F:

hala bilinmeyen işlevi nerede y.

Adım 4. y

.

.

Adım 5.

Adım 6. F... keyfi sabit C :
.

Burada en olası hata hangisidir? En yaygın hatalar, fonksiyonların çarpımının olağan integrali için değişkenlerden birinin kısmi integralini almak ve parçalara veya bir ikame değişkene göre integral almaya çalışmak ve ayrıca iki faktörün kısmi türevini de çarpanın türevi olarak almaktır. fonksiyonların çarpımı ve ilgili formüle göre türevi arayın.

Şunu unutmamak gerekir: değişkenlerden birine göre kısmi integral hesaplanırken diğeri sabittir ve integral işaretinden çıkarılır ve değişkenlerden birine göre kısmi türev hesaplanırken diğeri de bir sabittir. sabit ve ifadenin türevi, "etkili" değişkenin bir sabitle çarpımının türevi olarak bulunur.

Arasında toplam diferansiyellerde denklemler nadir değil - üslü örnekler. Bu bir sonraki örnek. Çözümünde alternatif bir seçeneğin kullanılması da dikkat çekicidir.

Örnek 2. Diferansiyel denklemi çöz

.

Aşama 1. denkleminin olduğunu doğrulayalım. toplam diferansiyel denklem ... Bunu yapmak için, göre kısmi türevi buluyoruz x ifadenin sol tarafında bir terim

ve göre kısmi türev y başka bir terim
... Bu türevler eşittir, yani denklem toplam diferansiyel denklem .

Adım 2. Fonksiyonu oluşturan kısmi diferansiyel denklemler sistemini yazıyoruz. F:

Aşama 3. Sistemin ikinci denklemini entegre edelim - bitti y (x sabit kalır ve integral işaretinden çıkarılır). Böylece, işlevi geri yükleriz F:

hala bilinmeyen işlevi nerede x.

Adım 4. 3. adımın sonucu (bulunan genel integral) şu şekilde türetilir: x

ve sistemin ilk denklemine eşittir:

Ortaya çıkan denklemden şunları belirleriz:
.

Adım 5. 4. adımın sonucunu entegre ediyoruz ve şunu buluyoruz:
.

Adım 6. Adım 5'in sonucunu, adım 3'ün sonucuyla - kısmi entegrasyonla geri yüklenen işlevle değiştiririz F... keyfi sabit C eşittir işaretinden sonra yazarız. Böylece geneli elde ederiz. bir diferansiyel denklemin toplam diferansiyellerde çözümü :
.

Aşağıdaki örnekte, alternatiften ana olana geri dönüyoruz.

Örnek 3. Diferansiyel denklemi çöz

Aşama 1. denkleminin olduğunu doğrulayalım. toplam diferansiyel denklem ... Bunu yapmak için, göre kısmi türevi buluyoruz y ifadenin sol tarafında bir terim

ve göre kısmi türev x başka bir terim
... Bu türevler eşittir, yani denklem toplam diferansiyel denklem .

Adım 2. Fonksiyonu oluşturan kısmi diferansiyel denklemler sistemini yazıyoruz. F:

Aşama 3. Sistemin ilk denklemini entegre ediyoruz - üzerinde x (y sabit kalır ve integral işaretinden çıkarılır). Böylece, işlevi geri yükleriz F:

hala bilinmeyen işlevi nerede y.

Adım 4. 3. adımın sonucu (bulunan genel integral) şu şekilde türetilir: y

ve sistemin ikinci denklemine eşittir:

Ortaya çıkan denklemden şunları belirleriz:
.

Adım 5. 4. adımın sonucunu entegre ediyoruz ve şunu buluyoruz:

Adım 6. Adım 5'in sonucunu, adım 3'ün sonucuyla - kısmi entegrasyonla geri yüklenen işlevle değiştiririz F... keyfi sabit C eşittir işaretinden sonra yazarız. Böylece geneli elde ederiz. bir diferansiyel denklemin toplam diferansiyellerde çözümü :
.

Örnek 4. Diferansiyel denklemi çöz

Aşama 1. denkleminin olduğunu doğrulayalım. toplam diferansiyel denklem ... Bunu yapmak için, göre kısmi türevi buluyoruz y ifadenin sol tarafında bir terim

ve göre kısmi türev x başka bir terim
... Bu türevler eşittir, yani denklem toplam diferansiyellerde bir denklemdir.

Adım 2. Fonksiyonu oluşturan kısmi diferansiyel denklemler sistemini yazıyoruz. F:

Aşama 3. Sistemin ilk denklemini entegre ediyoruz - üzerinde x (y sabit kalır ve integral işaretinden çıkarılır). Böylece, işlevi geri yükleriz F:

hala bilinmeyen işlevi nerede y.

Adım 4. 3. adımın sonucu (bulunan genel integral) şu şekilde türetilir: y

ve sistemin ikinci denklemine eşittir:

Ortaya çıkan denklemden şunları belirleriz:
.

Adım 5. 4. adımın sonucunu entegre ediyoruz ve şunu buluyoruz:

Adım 6. Adım 5'in sonucunu, adım 3'ün sonucuyla - kısmi entegrasyonla geri yüklenen işlevle değiştiririz F... keyfi sabit C eşittir işaretinden sonra yazarız. Böylece geneli elde ederiz. bir diferansiyel denklemin toplam diferansiyellerde çözümü :
.

Örnek 5. Diferansiyel denklemi çöz

.

Aşama 1. denkleminin olduğunu doğrulayalım. toplam diferansiyel denklem ... Bunu yapmak için, göre kısmi türevi buluyoruz y ifadenin sol tarafında bir terim

ve göre kısmi türev x başka bir terim
... Bu türevler eşittir, yani denklem toplam diferansiyel denklem .

Diferansiyel denklemin sol tarafı olabilir

bazı fonksiyonların toplam diferansiyeli:

ve dolayısıyla denklem (7) şeklini alır.

Eğer fonksiyon denklem (7) için bir çözümse, o zaman ve bu nedenle,

nerede bir sabittir ve bunun tersi, eğer bir fonksiyon son denklemi (8) bir özdeşliğe dönüştürürse, o zaman ortaya çıkan özdeşliği türevlendirerek elde ederiz ve bu nedenle, keyfi bir sabit nerede, orijinal denklemin genel integralidir .

İlk değerler verilirse, sabit (8)'den belirlenir ve

gerekli kısmi integraldir. Bir noktada ise, denklem (9)'un örtük bir fonksiyonu olarak tanımlanır.

Denklem (7)'nin sol tarafının bir fonksiyonun toplam diferansiyeli olması için gerekli ve yeterlidir.

Euler tarafından belirtilen bu koşul sağlanırsa, Denklem (7) kolayca entegre edilebilir. Yok canım, . Diğer tarafta, . Buradan,

İntegrali hesaplarken, miktar bir sabit olarak kabul edilir, bu nedenle keyfi bir fonksiyonudur. Fonksiyonu tanımlamak için bulunan fonksiyonun türevini alırız ve elde ederiz.

Bu denklemden belirliyoruz ve entegre ederek buluyoruz.

Kurstan bildiğiniz gibi matematiksel analiz, herhangi bir yol boyunca sabit bir nokta ile değişken koordinatlara sahip bir nokta arasındaki eğrisel integrali alarak toplam diferansiyeline göre bir fonksiyonu tanımlamak daha da kolaydır:

Çoğu zaman, koordinat eksenlerine paralel iki bağlantıdan oluşan bir entegrasyon yolu olarak kesik bir çizgi almak uygundur; bu durumda

Örnek. .

Denklemin sol tarafı, bazı fonksiyonların toplam diferansiyelidir, çünkü

Bu nedenle, genel integral şu ​​şekildedir:

Bir işlevi tanımlamanın başka bir yöntemi uygulanabilir:

Başlangıç ​​noktası için, örneğin, entegrasyon yolu - bozuk olarak koordinatların kökenini seçiyoruz. O zamanlar

ve genel integral forma sahiptir

Bu, önceki sonuçla aynıdır ve ortak bir payda ile sonuçlanır.

Bazı durumlarda, denklem (7)'nin sol tarafı tam bir diferansiyel olmadığında, denklem (7)'nin sol tarafının toplam diferansiyele dönüştüğü çarpıldıktan sonra bir fonksiyon bulmak kolaydır. Bu işlev denir entegre etme faktörü... Bir bütünleştirici faktörle çarpmanın, bu faktörü sıfır yapan gereksiz özel çözümlerin ortaya çıkmasına yol açabileceğini unutmayın.

Örnek. .

Açıkçası, bir faktörle çarpıldıktan sonra, sol taraf tam bir diferansiyel olur. Gerçekten, çarptıktan sonra elde ederiz

veya, entegre,. 2 ile çarpma ve güçlendirme, sahip olacağız.

Elbette, bütünleştirici faktörü seçmek her zaman o kadar kolay değildir. Genel durumda, integrasyon faktörünü bulmak için, kısmi diferansiyel denklemin özdeş olarak sıfır olmayan veya genişletilmiş formdaki en az bir özel çözümünü seçmek gerekir.

bölündükten ve bazı terimleri eşitliğin diğer tarafına aktardıktan sonra, forma indirgenir.

Genel durumda, bu kısmi diferansiyel denklemin entegrasyonu, orijinal denklemin entegrasyonundan hiçbir şekilde daha basit bir problem değildir; ancak bazı durumlarda, denklem (11) için özel bir çözümün seçimi zor değildir.

Ek olarak, integral alma faktörünün yalnızca bir argümanın bir fonksiyonu olduğunu varsayarsak (örneğin, sadece bir fonksiyondur veya sadece bir fonksiyondur veya sadece bir fonksiyondur veya sadece, vb.), denklemi (11) herhangi bir argüman olmadan entegre etmek zaten mümkündür. zorluk ve dikkate alınan türde bir bütünleştirici faktörün bulunduğu koşulları belirtin. Böylece, integral faktörünün kolayca bulunabileceği denklem sınıfları ayırt edilir.

Örneğin, denklemin yalnızca aşağıdakilere bağlı bir integral alma faktörüne sahip olduğu koşulları bulalım, yani. ... Bu durumda denklem (11) basitleştirilir ve sürekli bir fonksiyon varsayıldığında elde ettiğimiz şekli alır.

Eğer sadece fonksiyonu ise, o zaman sadece bağlı olan integral alma faktörü var olur ve (12)'ye eşittir, aksi halde formun integral alma faktörü mevcut değildir.

Yalnızca bağlı bir bütünleştirici faktörün varlığı için koşul yerine getirilir, örneğin, Doğrusal Denklem veya . Gerçekten ve bu nedenle. Formun bütünleştirici faktörlerinin varlığı için koşullar, vb., tam olarak aynı şekilde bulunabilir.

Örnek. Denklemin, formun bütünleştirici bir faktörü var mı?

belirtelim. Denklem (11) şu şekilde, nereden veya

Belirli bir formun bütünleştirici bir faktörünün varlığı için, onun sadece bir fonksiyon olması zorunludur ve süreklilik varsayımı altında. Bu durumda, bu nedenle, bütünleştirici faktör vardır ve (13)'e eşittir. Aldığımızda. Orijinal denklemi ile çarparak forma getiriyoruz.

Entegrasyon, elde ederiz ve güçlenmeden sonra veya kutupsal koordinatlarda - bir logaritmik spiraller ailesi elde ederiz.

Örnek... Belirli bir noktadan yayılan tüm ışınları belirli bir yöne paralel olarak yansıtan bir aynanın şeklini bulun.

Koordinatların orijinini belirli bir noktaya yerleştiririz ve apsis eksenini problem koşullarında belirtilen yöne paralel olarak yönlendiririz. Işın bir noktada aynanın üzerine düşsün. Apsis ekseninden geçen bir düzlem ve bir noktanın aynanın kesitini ele alalım. Ayna yüzeyinin dikkate alınan kısmına bir noktada teğet bir çizgi çizelim. Işının gelme açısı yansıma açısına eşit olduğundan üçgen ikizkenardır. Buradan,

Elde edilen homojen denklem, değişkenler değiştirilerek kolayca entegre edilebilir, ancak paydadaki mantıksızlıktan kurtulduktan sonra, formda yeniden yazmak daha da kolaydır. Bu denklemin bariz bir integral alma faktörü vardır,,, (parabol ailesi).

Bu problemin koordinatlarda çözülmesi daha da kolaydır ve bu durumda, aranan yüzeylerin enine kesit denklemi şeklini alır.

Fonksiyonlar ve sürekli türevlere sahipse ve bunlardan en az biri varsa, belirli bir alanda kısmi diferansiyel denklemin (11) sıfır olmayan bir çözümünün varlığını veya aynı olan bir integral faktörünün varlığını kanıtlamak mümkündür. fonksiyonlar kaybolmaz. Bu nedenle, integral alma faktörü yöntemi şu şekilde görülebilir: genel yöntem formun denklemlerini entegre etme, ancak, integral alma faktörünü bulmanın zorluğu nedeniyle, bu yöntem en çok entegrasyon faktörünün açık olduğu durumlarda kullanılır.

Standart formda $ P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + Q \ left (x, y \ sağ) \ cdot dy = 0 $, burada sol taraf $ F fonksiyonunun toplam diferansiyeli \ sol ( x, y \ sağ) $, toplam diferansiyel denklem olarak adlandırılır.

Toplam diferansiyellerdeki denklem her zaman $ dF \ left (x, y \ right) = 0 $ olarak yeniden yazılabilir, burada $ F \ left (x, y \ right) $ öyle bir fonksiyondur ki $ dF \ sol (x, y \ sağ) = P \ sol (x, y \ sağ) \ cdot dx + Q \ sol (x, y \ sağ) \ cdot dy $.

$ dF \ sol (x, y \ sağ) = 0 $: $ \ int dF \ sol (x, y \ sağ) = F \ sol (x, y \ sağ) $ denkleminin her iki tarafını da entegre ederiz; sıfır sağ tarafın integrali rastgele bir $C $ sabitine eşittir. Yani genel çözüm bu denklemörtük olarak $ F \ left (x, y \ right) = C $ biçimindedir.

Bu diferansiyel denklemin toplam diferansiyellerde bir denklem olması için $ \ frac (\ kısmi P) (\ kısmi y) = \ frac (\ kısmi Q) (\ kısmi x) $ koşulunun sağlanması gerekli ve yeterlidir. Belirtilen koşul karşılanırsa, yazabileceğiniz böyle bir $ F \ left (x, y \ right) $ işlevi vardır: $ dF = \ frac (\ kısmi F) (\ kısmi x) \ cdot dx + \ frac (\ kısmi F) (\ kısmi y) \ cdot dy = P \ sol (x, y \ sağ) \ cdot dx + Q \ sol (x, y \ sağ) \ cdot dy $, nereden iki tane alırız ilişkiler: $ \ frac (\ kısmi F) (\ kısmi x) = P \ sol (x, y \ sağ) $ ve $ \ frac (\ kısmi F) (\ kısmi y) = Q \ sol (x, y \ doğru) $.

$ \ frac (\ kısmi F) (\ kısmi x) = P \ sol (x, y \ sağ) $ ilk ilişkisini $ x $ üzerine entegre ediyoruz ve $ F \ left (x, y \ right) = \ int elde ediyoruz P \ sol (x, y \ sağ) \ cdot dx + U \ sol (y \ sağ) $, burada $ U \ sol (y \ sağ) $, $ y $'ın keyfi bir işlevidir.

$ \ frac (\ kısmi F) (\ kısmi y) = Q \ sol (x, y \ sağ) $ ikinci ilişkisini sağlayacak şekilde seçelim. Bunu yapmak için, $ F \ left (x, y \ right) $ için elde edilen ilişkiyi $ y $ ile farklılaştırıyoruz ve sonucu $ Q \ left (x, y \ right) $ ile eşitliyoruz. Alırız: $ \ frac (\ kısmi) (\ kısmi y) \ sol (\ int P \ sol (x, y \ sağ) \ cdot dx \ sağ) + U "\ sol (y \ sağ) = Q \ sol ( x, y \ sağ) $.

Diğer çözüm aşağıdaki gibidir:

• son eşitlikten $ U "\ left (y \ right) $;
• $ U "\ left (y \ right) $'ı entegre edin ve $ U \ left (y \ right) $'ı bulun;
• $ U \ left (y \ right) $ ifadesini $ F \ left (x, y \ right) = \ int P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + U \ left (y \ sağ) eşitliğinde değiştirin $ ve son olarak $ F \ left (x, y \ right) $ fonksiyonunu elde ederiz.

Farkı Bul:

$ U "\ left (y \ right) $'ı $ y $ üzerinden entegre ediyoruz ve $ U \ left (y \ right) = \ int \ left (-2 \ right) \ cdot dy = -2 \ cdot y $ buluyoruz.

Sonucu buluyoruz: $ F \ sol (x, y \ sağ) = V \ sol (x, y \ sağ) + U \ sol (y \ sağ) = 5 \ cdot x \ cdot y ^ (2) +3 \ cdot x \ cdot y-2 \ cdot y $.

Genel çözümü $ F \ left (x, y \ right) = C $ biçiminde yazıyoruz, yani:

Belirli bir çözüm bulun $ F \ sol (x, y \ sağ) = F \ sol (x_ (0), y_ (0) \ sağ) $, burada $ y_ (0) = 3 $, $ x_ (0) = 2 $:

Belirli bir çözüm şudur: $ 5 \ cdot x \ cdot y ^ (2) +3 \ cdot x \ cdot y-2 \ cdot y = 102 $.

Tanım 8.4. formun diferansiyel denklemi

nerede
toplam diferansiyellerde denklem denir.

Böyle bir denklemin sol tarafının bazı fonksiyonların toplam diferansiyeli olduğuna dikkat edin.
.

Genel durumda, denklem (8.4) şu şekilde temsil edilebilir:

Denklem (8.5) yerine, denklem düşünülebilir

,

çözümü denklem (8.4)'ün genel integralidir. Bu nedenle (8.4) denklemini çözmek için fonksiyonu bulmak gerekir.
... Denklem (8.4) tanımına uygun olarak,

(8.6)

İşlev
bu koşullardan (8.6) birini sağlayan bir fonksiyon arayacağız:

nerede bağımsız keyfi bir işlevdir .

İşlev
ifadenin ikinci koşulu (8.6) sağlanacak şekilde tanımlanır

(8.7)

(8.7) ifadesinden fonksiyon belirlenir
... ifadesinin yerine koyarak
ve orijinal denklemin genel integralini alın.

Görev 8.3.İntegral Denklemi

Burada
.

Sonuç olarak, bu denklem toplam diferansiyellerdeki diferansiyel denklemlerin türüne aittir. İşlev
formda arayacağız

.

Diğer tarafta,

.

Bazı durumlarda, koşul
yürütülemez.

Daha sonra bu tür denklemler, genel durumda yalnızca veya .

Bazı denklemlerin yalnızca , daha sonra formül tarafından belirlenir

ilişki nerede sadece bir fonksiyon olmalı .

Benzer şekilde, sadece bağlı bir bütünleştirici faktör , formül tarafından belirlenir

ilişki nerede
sadece bir fonksiyon olmalı .

Değişkenin ilk durumunda, yukarıdaki ilişkilerde yokluk , ve ikincisinde - değişken , bu denklem için bütünleştirici bir faktörün varlığının bir işaretidir.

Görev 8.4. Bu denklemi toplam diferansiyellerde bir denkleme indirgeyin.

.

Bir ilişki düşünün:

.

Konu 8.2. Lineer diferansiyel denklemler

Tanım 8.5... diferansiyel denklem
gerekli fonksiyona göre lineer ise lineer olarak adlandırılır. , türevi ve gerekli fonksiyon ve türevinin çarpımını içermez.

Doğrusal bir diferansiyel denklemin genel görünümü, aşağıdaki ilişki ile temsil edilir:

(8.8)

(8.8) ile ilgili ise, sağ taraf
, o zaman böyle bir denklem doğrusal homojen olarak adlandırılır. Sağ taraf olduğunda
, o zaman böyle bir denklem doğrusal homojen olmayan olarak adlandırılır.

(8.8) denkleminin dörtgenlerle integrallenebilir olduğunu gösterelim.

İlk aşamada doğrusal homojen bir denklem düşünün.

Böyle bir denklem ayrılabilir bir denklemdir. Yok canım,

;

/

Son bağıntı, lineer homojen bir denklemin genel çözümünü belirler.

Lineer homojen olmayan bir denkleme genel bir çözüm bulmak için, bir sabitin türevinin varyasyon yöntemi kullanılır. Yöntemin fikri, lineer homojen olmayan bir denklemin genel çözümünün, karşılık gelen homojen denklemin çözümüyle aynı biçimde, ancak keyfi bir sabit olmasıdır. bazı işlevlerle değiştirildi
belirlenecek. Böylece sahibiz:

(8.9)

(8.8) ile ilgili ifadeleri ilişkilendirmede
ve
, alırız

(8.9) bağıntısındaki son ifade yerine konularak lineer homojen olmayan denklemin genel integrali elde edilir.

Bu nedenle, doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümü iki kare ile belirlenir: doğrusal homojen bir denklemin genel çözümü ve doğrusal homojen olmayan bir denklemin özel bir çözümü.

Görev 8.5.İntegral Denklemi

Bu nedenle, orijinal denklem lineer homojen olmayan diferansiyel denklemlerin tipine aittir.

İlk aşamada lineer homojen denklemin genel çözümünü bulacağız.

;

İkinci aşamada formda aranan lineer homojen olmayan denklemin genel çözümünü belirliyoruz.

,

nerede
- tanımlanacak fonksiyon.

Böylece sahibiz:

ilişkileri yerine koymak ve orijinal lineer homojen olmayan denklemde şunu elde ederiz:

;

;

.

Lineer homojen olmayan bir denklemin genel çözümü şu şekilde olacaktır:

.

Bu konuda, bir fonksiyonu tam diferansiyelinden kurtarmak için bir yöntem ele alacağız ve çözümün tam bir analizi ile problem örnekleri vereceğiz.

Öyle olur ki, P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 biçimindeki diferansiyel denklemler (DE), sol taraftaki bazı fonksiyonların toplam diferansiyellerini içerebilir. Daha sonra, fonksiyonu toplam diferansiyelinden geri yüklersek, genel DE integralini bulabiliriz.

örnek 1

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 denklemini göz önünde bulundurun. Sol tarafı, bazı fonksiyonların diferansiyelini içerir. U (x, y) = 0... Bunun için ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x koşulu sağlanmalıdır.

U (x, y) = 0 fonksiyonunun toplam diferansiyeli d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y şeklindedir. ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x koşulunu dikkate alarak şunları elde ederiz:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Ortaya çıkan denklem sisteminden ilk denklemi dönüştürerek şunları elde edebiliriz:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

φ (y) fonksiyonunu daha önce elde edilen sistemin ikinci denkleminden bulabiliriz:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ ydy

Bu şekilde gerekli U (x, y) = 0 fonksiyonunu bulduk.

Örnek 2

DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 için genel çözümü bulun.

Çözüm

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Şartımız karşılanmıştır.

Hesaplamalara dayanarak, orijinal DE'nin sol tarafının, bazı U (x, y) = 0 fonksiyonunun toplam diferansiyeli olduğu sonucuna varabiliriz. Bu fonksiyonu bulmamız gerekiyor.

(x 2 - y 2) d x - 2 x y d y, U (x, y) = 0 fonksiyonunun toplam diferansiyeli olduğundan,

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Sistemin ilk denklemini x üzerinden entegre ediyoruz:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Şimdi elde edilen sonucu y'ye göre türevlendirelim:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Sistemin ikinci denklemini dönüştürerek şunu elde ederiz: ∂ U ∂ y = - 2 x y. Demek oluyor
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

burada C keyfi bir sabittir.

Şunu elde ederiz: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Orijinal denklemin ortak integrali x 3 3 - x y 2 + C = 0'dır.

Bilinen bir toplam diferansiyelden bir fonksiyon bulmak için başka bir yöntem düşünelim. Sabit bir noktadan (x 0, y 0) değişken koordinatlara (x, y) sahip bir noktaya eğrisel bir integralin uygulanmasını içerir:

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

Bu gibi durumlarda, integralin değeri hiçbir şekilde entegrasyon yoluna bağlı değildir. Bağlantıları koordinat eksenlerine paralel olan bir çoklu çizgiyi entegrasyon yolu olarak alabiliriz.

Örnek 3

(y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulun.

Çözüm

∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Diferansiyel denklemin sol tarafının, bir U (x, y) = 0 fonksiyonunun toplam diferansiyeli ile temsil edildiği ortaya çıktı. Bu fonksiyonu bulmak için noktadan eğrisel integrali hesaplamak gerekir. (1 ; 1) önceki (x, y)... İntegrasyon yolu olarak, bölümleri düz bir çizgi boyunca geçecek olan bir çoklu çizgiyi alalım. y = 1(1, 1) noktasından (x, 1) noktasına ve ardından (x, 1) noktasından (x, y) noktasına:

∫ (1, 1) (x, y) y - y 2 dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ (1, 1) (x, 1) (y - y 2) dx + (x - 2 xy ) dy + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ 1 x (1 - 1 2) dx + ∫ 1 y (x - 2 xy) dy = (xy - xy 2) y 1 = = xy - xy 2 - (x 1 - x 1 2) = xy - xy 2

x y - x y 2 + C = 0 biçimindeki bir diferansiyel denkleme genel bir çözüm elde ettik.

Örnek 4

y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulun.

Çözüm

∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

∂ (y cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x olduğundan, koşul sağlanmayacaktır. Bu, diferansiyel denklemin sol tarafının fonksiyonun toplam diferansiyeli olmadığı anlamına gelir. Bu ayrılabilir bir diferansiyel denklemdir ve diğer çözümler onu çözmek için uygundur.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın