matris yöntemi SLAU çözümleri denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına karşılık geldiği denklem sistemlerini çözmek için kullanılır. Yöntem en iyi düşük dereceli sistemleri çözmek için kullanılır. Lineer denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemi, matris çarpımının özelliklerinin uygulanmasına dayanır.

Bu şekilde, başka bir deyişle yöntem ters matris, buna denir, çünkü çözüm, ters matrisi bulmanız gereken çözüm için normal matris denklemine indirgenir.

matris çözüm yöntemi Determinantı sıfırdan büyük veya sıfırdan küçük olan bir SLAE aşağıdaki gibidir:

Bir SLE (doğrusal denklemler sistemi) olduğunu varsayalım. n bilinmeyen (rasgele bir alan üzerinde):

Bu nedenle, onu bir matris formuna çevirmek kolaydır:

AX=B, nerede A sistemin ana matrisidir, B ve X- sırasıyla sistemin serbest üyeleri ve çözümleri sütunları:

Soldaki bu matris denklemini şu şekilde çarpın: bir -1- matrisin tersi matris A: A -1 (AX)=A -1 B.

Çünkü A -1 A=E, anlamına geliyor, X=A −1B. Denklemin sağ tarafı, ilk sisteme bir çözüm sütunu verir. Matris yönteminin uygulanabilirliğinin koşulu, matrisin dejenere olmamasıdır. A. gerekli ve yeterli koşul bu matrisin determinantının sıfıra eşitsizliğidir. A:

detA≠0.

İçin homojen lineer denklem sistemi, yani eğer vektör B=0, tersi kural geçerlidir: sistem AX=0önemsiz olmayan (yani sıfıra eşit olmayan) bir çözümdür, yalnızca detA=0. Homojen ve homojen olmayan lineer denklem sistemlerinin çözümleri arasındaki bu bağlantıya denir. Fredholm'a alternatif.

Böylece SLAE'nin matris yöntemiyle çözümü formüle göre yapılır. . Veya, SLAE çözümü kullanılarak bulunur: ters matris bir -1.

kare matris olduğu bilinmektedir. ANCAK sipariş nüzerinde n ters matris var bir -1 sadece determinantı sıfır değilse. Böylece sistem n lineer cebirsel denklemler n bilinmeyenler, yalnızca sistemin ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, matris yöntemiyle çözülür.

Böyle bir yöntemi kullanma olasılığı üzerinde sınırlamalar olmasına ve katsayıların ve sistemlerin büyük değerleri için hesaplama zorlukları olmasına rağmen yüksek mertebe, yöntem bir bilgisayarda kolayca uygulanabilir.

Homojen olmayan bir SLAE çözme örneği.

İlk olarak, bilinmeyen SLAE'ler için katsayı matrisinin determinantının sıfıra eşit olup olmadığını kontrol edelim.

şimdi buluyoruz ittifak matrisi, devrik ve ters matrisi belirlemek için formülde yerine koy.

Değişkenleri formülde yerine koyarız:

Şimdi ters matrisi ve serbest terimler sütununu çarparak bilinmeyenleri buluyoruz.

Böyle, x=2; y=1; z=4.

SLAE'nin olağan biçiminden matris biçimine geçerken, sistem denklemlerindeki bilinmeyen değişkenlerin sırasına dikkat edin. örneğin:

Şu şekilde YAZMAYIN:

İlk olarak, sistemin her denklemindeki bilinmeyen değişkenleri sıralamak ve ancak bundan sonra matris notasyonuna geçmek gerekir:

Ek olarak, bilinmeyen değişkenlerin atanması yerine dikkatli olmanız gerekir. x 1 , x 2 , …, xn başka harfler olabilir. Örneğin:

matris formunda şunu yazıyoruz:

Sistemleri matris yöntemini kullanarak çözmek daha iyidir lineer denklemler denklemlerin sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakıştığı ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfıra eşit olmadığı. Sistemde 3'ten fazla denklem olduğunda, ters matrisi bulmak daha fazla hesaplama çabası gerektirecektir, bu nedenle, bu durumda, çözmek için Gauss yönteminin kullanılması tavsiye edilir.

konu 2 Lineer cebirsel denklem sistemlerini direkt yöntemlerle çözme.

Lineer cebirsel denklem sistemleri (SLAE olarak kısaltılır), şu şekildeki denklem sistemleridir:

veya matris formunda,

A × x = B , (2.2)

A - boyutlar sisteminin katsayı matrisi n ´ n

x - oluşan bilinmeyenlerin vektörü n bileşen

B - oluşan sistemin doğru parçalarının vektörü n bileşen.

A = x = B = (2.3)

SLAE çözümü böyle bir dizi n değerlerin yerine geçen sayılar x 1 , x 2 , … , x n (2.1) sistemine, tüm denklemlerde sol tarafların sağ taraflara eşit olmasını sağlar.

Matrislerin değerlerine bağlı olarak her SLAE A ve B sahip olabilir

Bir çözüm

Sonsuz sayıda çözüm

Tek bir çözüm değil.

Bu kursta, yalnızca benzersiz bir çözümü olan SLAE'leri ele alacağız. Bunun için gerekli ve yeterli bir koşul, matrisin determinantının A .

Lineer cebirsel denklem sistemleri üzerinde çözüm aramak için çözümlerini değiştirmeyen bazı dönüşümler yapılabilir. eşdeğer dönüşümler lineer denklem sistemlerine, çözümünü değiştirmeyen bu tür dönüşümler denir. Bunlar şunları içerir:

Sistemin herhangi iki denkleminin permütasyonu (aşağıda ele alınan bazı durumlarda bu dönüşümün kullanılamayacağına dikkat edilmelidir);

Sistemin herhangi bir denkleminin sıfıra eşit olmayan bir sayı ile çarpılması (veya bölünmesi);

Bir denklem sisteminin bir denklemine, diğer denkleminin sıfır olmayan bir sayı ile çarpılması (veya bölünmesi) eklenmesi.

SLAE'yi çözme yöntemleri, adı verilen iki büyük gruba ayrılır: doğrudan yöntemler ve yinelemeli yöntemler. Ayrıca, SLAE'yi çözme problemini, birkaç değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu bulma problemine indirgemenin bir yolu da vardır, ardından ekstremumu bulma yöntemleriyle çözümü takip eder (ilgili konuyu incelerken bu konuda daha fazlası). Doğrudan yöntemler, sistemin (varsa) kesin çözümünü tek adımda sağlar. Yinelemeli yöntemler (eğer yakınsamaları sağlanırsa), bazı yöntemlerin tekrar tekrar iyileştirilmesini mümkün kılar. ilk yaklaşım SLAE'nin istenen çözümüne ve genel olarak konuşursak, kesin çözüm asla verilmeyecektir. Ancak, doğrudan çözüm yöntemlerinin de hesaplamaların ara aşamalarında kaçınılmaz yuvarlama hataları nedeniyle ideal olarak doğru çözümler vermediği dikkate alındığında, yinelemeli yöntemler de yaklaşık olarak aynı sonucu verebilir.

SLAE'yi çözmek için doğrudan yöntemler. SLAE'leri çözmek için en yaygın olarak kullanılan doğrudan yöntemler şunlardır:

Kramer yöntemi,

Gauss yöntemi (ve modifikasyonu - Gauss-Jordan yöntemi)

Matris yöntemi (matriks ters çevirme kullanarak A ).

Cramer yöntemi ana matrisin determinantının hesaplanmasına dayalı A ve matris belirleyicileri A 1 , A 2 , …, Bir , matristen elde edilen A içindeki birini değiştirmek ( ben th) sütun ( ben= 1, 2,…, n) vektör öğelerini içeren bir sütuna B . Daha sonra SLAE'nin çözümleri bu determinantların değerlerinin oranı olarak belirlenir. Daha doğrusu, hesaplama formülleri şöyle görünür

(2.4)

örnek 1. SLAE'nin çözümünü Cramer yöntemiyle bulalım.

A = , B = .

Sahibiz

1 = , A2 = , 3 = , A4 = .

Beş matrisin tümünün determinantlarının değerlerini hesaplayalım (ortamın MOPRED işlevini kullanarak mükemmel). Almak

Matris determinantı olduğundan A sıfıra eşit değil - sistemin benzersiz bir çözümü var. Sonra formül (2.4) ile tanımlarız. Almak

Gauss yöntemi. SLAE'nin bu yöntemle çözümü, sistemin genişletilmiş bir matrisinin derlenmesini içerir. A * . Sistemin artırılmış matrisi, bir boyut matrisidir. nçizgiler ve n+1 orijinal matris dahil sütunlar A vektörü içeren sağda kendisine eklenmiş bir sütunla B .

A* = (2.4)

Burada a in+1 = b ben (ben = 1, 2, …, n ).

Gauss yönteminin özü azaltmaktır (aracılığıyla eşdeğer dönüşümler) sistemin genişletilmiş matrisinin üçgen bir forma dönüştürülmesi (böylece sadece sıfır eleman ana köşegeninin altında olacak şekilde).

A * =

Daha sonra son satırdan başlayıp yukarı doğru hareket ederek çözümün tüm bileşenlerinin değerlerini sırayla belirleyebiliriz.

Sistemin genişletilmiş matrisinin gerekli forma dönüşümlerinin başlangıcı, katsayıların değerlerine bakmaktır. x 1 ve maksimum mutlak değere sahip olduğu satırın seçilmesi (bu, sonraki hesaplamalarda hesaplama hatasının büyüklüğünü azaltmak için gereklidir). Artırılmış matrisin bu satırı, ilk satırıyla değiştirilmelidir (veya daha iyisi, ilk satıra ekleme (veya çıkarma) ve sonucu ilk satırın yerine koyma). Bundan sonra, bu yeni ilk satırın tüm öğeleri (son sütunundakiler dahil) bu katsayıya bölünmelidir. Bundan sonra, yeni elde edilen katsayı a 11 bire eşit olur. Matrisin kalan satırlarının her birinden ayrıca, ilk satırını, katsayı değeri ile çarpılarak çıkarmak gerekir. x 1 bu satırda (yani miktara göre bir ben 1 , nerede ben =2, 3, … n ). Bundan sonra, tüm satırlarda, ikinciden başlayarak, katsayılar x 1 (yani tüm katsayılar bir ben 1 (ben =2, …, n ) sıfır olacaktır. Sadece eşdeğer dönüşümler yaptığımız için yeni elde edilen SLAE'nin çözümü orijinal sistemden farklı olmayacaktır.

Ayrıca, matrisin ilk satırını değiştirmeden bırakarak, yukarıdaki tüm eylemleri matrisin kalan satırlarıyla ve sonuç olarak yeni elde edilen katsayı ile gerçekleştireceğiz. a 22 bire eşit olur ve tüm katsayılar bir ben 2 (ben =3, 4, …, n ) sıfır olur. Benzer eylemlere devam ederek, sonunda matrisimizi tüm katsayıların olduğu bir forma getireceğiz. bir ii = 1 (ben =1, 2, …, n) ve tüm katsayılar aij = 0 (ben =2, 3, …, n, j< ben). Eğer, bir adımda, katsayının en büyük mutlak değerini ararken xj sıfıra eşit olmayan bir katsayı bulamayacağız - bu, orijinal sistemin benzersiz bir çözümü olmadığı anlamına gelir. Bu durumda karar süreci sonlandırılmalıdır.

Eşdeğer dönüşüm süreci başarılı bir şekilde sona ererse, elde edilen "üçgen" genişletilmiş matris aşağıdaki lineer denklem sistemine karşılık gelecektir:

Bu sistemin son denkleminden değeri buluyoruz x n . Ayrıca, bu değeri sondan bir önceki denklemde yerine koyarsak, değeri buluruz. x n -1 . Daha sonra bulunan bu değerlerin ikisini de sistemin altından üçüncü denklemde yerine koyarak değeri buluyoruz. x n -2 . Böyle devam ederek ve bu sistemin denklemi boyunca aşağıdan yukarıya doğru ilerleyerek, diğer köklerin değerlerini art arda bulacağız. Ve son olarak, bulunan değerleri yerine koyarak x n , x n -1 , x n -2 , x 3 ve x 2 sistemin ilk denkleminde değeri buluyoruz x 1. Bulunan üçgen matris ile köklerin değerlerini aramak için böyle bir prosedür denir. geriye doğru. Orijinal artırılmış matrisin eşdeğer dönüşümlerle üçgen bir forma getirilmesi işlemine ne ad verilir? Düz bir çizgide Gauss yöntemi..

SLAE'yi Gauss yöntemiyle çözmek için yeterince ayrıntılı bir algoritma Şekil 2'de gösterilmektedir. .2.1 ve şek. 2.1a.

Örnek 2. Aynı SLAE'nin çözümünü daha önce Cramer yöntemiyle çözdüğümüz Gauss yöntemiyle bulun. Önce artırılmış matrisini oluşturalım. Almak

A * = .

Önce bu matrisin birinci ve üçüncü satırlarını değiştiriyoruz (çünkü ilk sütunu mutlak değerdeki en büyük öğeyi içeriyor) ve sonra bu yeni ilk satırın tüm öğelerini 3 değerine bölüyoruz.

A * = .

A * =

Sonra bu matrisin ikinci ve üçüncü satırlarını değiştiririz, permütasyonlu matrisin ikinci satırını 2.3333'e böleriz ve yukarıdakine benzer şekilde matrisin üçüncü ve dördüncü satırlarının ikinci sütunundaki katsayıları sıfıra ayarlarız. Almak

A * = .

Matrisin üçüncü ve dördüncü satırında benzer işlemleri yaptıktan sonra,

A * = .

Şimdi dördüncü satırı -5.3076'ya bölerek, sistemin genişletilmiş matrisini köşegen bir forma çizmeyi bitiriyoruz. Almak

Pirinç. 2.1. Gauss yöntemiyle lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için algoritma

Pirinç. 2.1a. makroblok"Çözüm değerlerinin hesaplanması".

A * = .

Son satırdan hemen alıyoruz x 4 = 0.7536. Şimdi matrisin satırlarına tırmanarak ve hesaplamalar yaparak, art arda şunu elde ederiz: x 3 = 0.7971, x 2 =- 0.1015 ve x 1 = 0.3333. Bu yöntemle elde edilen çözümle Cramer yöntemiyle elde edilen çözüm karşılaştırıldığında, bunların çakıştığını doğrulamak kolaydır.

Gauss-Ürdün yöntemi. Bu SLAE çözme yöntemi, birçok yönden Gauss yöntemine benzer. Temel fark, eşdeğer dönüşümler kullanılarak, denklem sisteminin genişletilmiş matrisinin üçgen bir forma değil, ana köşegen üzerinde birimlerin bulunduğu ve bunun dışında (sonuncusu hariç) köşegen bir forma indirgenmesidir. n +1 sütunlar) - sıfırlar. Böyle bir dönüşümün tamamlanmasından sonra, genişletilmiş matrisin son sütunu orijinal SLAE'nin çözümünü içerecektir (yani . x ben = a ben n +1 (ben = 1, 2, … , n ) elde edilen matriste). Çözüm bileşenlerinin değerlerinin son hesaplamaları için ters hareket (Gauss yönteminde olduğu gibi) gerekli değildir.

Matrisin köşegen bir forma indirgenmesi, temel olarak Gauss yönteminde olduğu gibi gerçekleştirilir. Sırada ise ben katsayısı x ben (ben = 1, 2, … , n ) mutlak değerde küçükse, dizi aranır j , hangi katsayının x ben mutlak değerde en büyük olacak bu ( j -i) dize eleman eleman eklenir ben - inci satır. Daha sonra tüm elemanlar ben - inci satır, öğenin değerine bölünür x ben Ancak Gauss yönteminden farklı olarak, bundan sonra her satırdan bir sayı ile bir çıkarma yapılır. j numaralı satırlar ben çarpılır bir ji , ama şart j > ben Gauss-Jordan yöntemi, her satırdan bir sayı ile çıkarır j , ve j # ben , numaralı satırlar ben çarpılır bir ji . Onlar. katsayılar ana köşegenin hem altında hem de üstünde sıfırlanır.

Gauss-Jordan yöntemiyle SLAE'yi çözmek için oldukça ayrıntılı bir algoritma Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.2.

Örnek 3. Aynı SLAE'nin çözümünü daha önce Cramer ve Gauss yöntemleriyle çözdüğümüz Gauss-Jordan yöntemiyle bulunuz.

Gauss yöntemine tamamen benzer şekilde, sistemin genişletilmiş matrisini oluşturuyoruz. Sonra bu matrisin birinci ve üçüncü satırlarını değiştiririz (çünkü ilk sütunu en büyük mutlak değer öğesini içerir) ve sonra bu yeni ilk satırın tüm öğelerini 3 değerine böleriz. Sonra, her satırdan çıkarırız. matris (birinci hariç) ilk satırın elemanlarının o satırın ilk sütunundaki katsayı ile çarpımı. Gauss yöntemindekiyle aynı şeyi elde ederiz

A * = .

Sonra bu matrisin ikinci ve üçüncü satırlarını değiştiririz, yeniden düzenlenen matrisin ikinci satırını 2.3333'e böleriz ve ( zaten Gauss yönteminin aksine) matrisin birinci, üçüncü ve dördüncü satırlarının ikinci sütunundaki katsayıları sıfıra ayarlayın. Almak

Lineer cebirsel denklemler sistemi. Temel kurallar. Matris gösterimi.

Lineer cebirsel denklemler sisteminin tanımı. Sistem çözümü. Sistemlerin sınıflandırılması.

Altında lineer cebirsel denklemler sistemi(SLAE) bir sistemi ima eder

aij parametreleri denir katsayılar ve bi ücretsiz üyeler SLAU. Bazen denklemlerin ve bilinmeyenlerin sayısını vurgulamak için “m × n lineer denklemler sistemi” derler ve böylece SLAE'nin m denklem ve n bilinmeyen içerdiğini gösterirler.

Tüm serbest terimler bi=0 ise SLAE denir homojen. Ücretsiz üyeler arasında sıfır dışında en az bir tane varsa, SLAE denir. heterojen.

SLAU kararı(1) herhangi bir sıralı sayı koleksiyonu (α1,α2,…,αn) olarak adlandırılır, eğer bu koleksiyonun elemanları, x1,x2,…,xn bilinmeyenleri için belirli bir sırayla ikame edilirse, her SLAE denklemini bir özdeşliğe dönüştürürse.

Herhangi bir homojen SLAE'nin en az bir çözümü vardır: sıfır(farklı bir terminolojide - önemsiz), yani. x1=x2=…=xn=0.

SLAE (1)'in en az bir çözümü varsa, buna denir. eklem yeriçözümler yoksa, uyumsuz. Bir ortak SLAE'nin tam olarak bir çözümü varsa, buna denir. kesin sonsuz sayıda çözüm varsa - belirsiz.

Lineer cebirsel denklemlerin yazı sistemlerinin matris formu.

Her bir SLAE ile birkaç matris ilişkilendirilebilir; ayrıca, SLAE'nin kendisi bir matris denklemi olarak yazılabilir. SLAE (1) için aşağıdaki matrisleri göz önünde bulundurun:

A matrisi denir sistem matrisi. Bu matrisin elemanları, verilen SLAE'nin katsayılarıdır.

A˜ matrisi denir genişletilmiş matris sistemi. Sistem matrisine b1,b2,...,bm serbest üyelerini içeren bir sütun eklenerek elde edilir. Genellikle bu sütun, netlik için dikey bir çizgiyle ayrılır.

Sütun matrisi B denir serbest terimler matrisi, ve sütun matrisi X bilinmeyenler matrisi.

Yukarıda tanıtılan notasyonu kullanarak, SLAE (1) bir matris denklemi biçiminde yazılabilir: A⋅X=B.

Not

Sistemle ilgili matrisler çeşitli şekillerde yazılabilir: her şey, dikkate alınan SLAE'nin değişkenlerinin ve denklemlerinin sırasına bağlıdır. Ancak her durumda, belirli bir SLAE'nin her denklemindeki bilinmeyenlerin sırası aynı olmalıdır.

Kronecker-Capelli teoremi. Doğrusal denklem sistemlerinin uyumluluk açısından incelenmesi.

Kronecker-Capelli teoremi

Bir lineer cebirsel denklem sistemi, ancak ve ancak sistemin matrisinin sırası, sistemin genişletilmiş matrisinin sırasına eşitse, yani, tutarlıdır. rankA=rankA˜.

En az bir çözümü olan bir sistem tutarlı olarak adlandırılır. Kronecker-Capelli teoremi şunu söyler: eğer rangA=rangA˜ ise, o zaman bir çözüm vardır; rangA≠rangA˜ ise, bu SLAE'nin çözümü yoktur (tutarsız). Bu çözümlerin sayısı ile ilgili sorunun cevabı Kronecker-Capelli teoreminin bir sonucu olarak verilmektedir. Sonuç formülasyonunda, verilen SLAE'nin değişken sayısına eşit olan n harfi kullanılır.

Kronecker-Capelli teoreminin sonucu

rangA≠rangA˜ ise, SLAE tutarsızdır (çözüm yoktur).

Eğer rankA=rankA˜ ise

rangA=rangA˜=n ise, SLAE kesindir (tam olarak bir çözümü vardır).

Formüle edilmiş teoremin ve sonucunun, SLAE'nin çözümünün nasıl bulunacağını göstermediğine dikkat edin. Onların yardımıyla, yalnızca bu çözümlerin var olup olmadığını ve varsa kaç tane olduğunu öğrenebilirsiniz.

SLAE'yi çözme yöntemleri

Cramer yöntemi

Cramer'in yöntemi, sistemin matrisinin determinantının sıfırdan farklı olduğu lineer cebirsel denklem sistemlerini (SLAE) çözmek için tasarlanmıştır. Doğal olarak bu, sistemin matrisinin kare olduğu anlamına gelir (determinant kavramı sadece kare matrisler için geçerlidir). Cramer yönteminin özü üç noktada ifade edilebilir:

Sistem matrisinin determinantını oluşturun (sistemin determinantı olarak da adlandırılır) ve sıfıra eşit olmadığından emin olun, yani. ∆≠0.

Her bir xi değişkeni için, i-inci sütunu verilen SLAE'nin serbest elemanlarının sütunu ile değiştirerek Δ determinantından elde edilen ΔXi determinantını oluşturmak gerekir.

Bilinmeyenlerin değerlerini xi= Δ X i /Δ formülüyle bulun

Ters matris kullanarak lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme.

Bir ters matris kullanarak lineer cebirsel denklemlerin (SLAE) sistemlerini çözmek (bazen bu yöntem ayrıca matris yöntemi veya ters matris yöntemi olarak da adlandırılır), SLAE'nin matris biçimi gibi bir konsepte önceden aşina olmayı gerektirir. Ters matris yöntemi, sistem matrisi determinantının sıfır olmadığı lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için tasarlanmıştır. Doğal olarak bu, sistemin matrisinin kare olduğu anlamına gelir (determinant kavramı sadece kare matrisler için geçerlidir). Ters matris yönteminin özü üç noktada ifade edilebilir:

Üç matris yazın: A sisteminin matrisi, X bilinmeyenlerinin matrisi, B serbest elemanlarının matrisi.

A -1 ters matrisini bulun.

X=A -1 ⋅B eşitliğini kullanarak verilen SLAE'nin çözümünü bulunuz.

Gauss yöntemi. Gauss yöntemiyle lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme örnekleri.

Gauss yöntemi, çözmenin en görsel ve basit yollarından biridir. lineer cebirsel denklem sistemleri(YAVAŞ): hem homojen hem de heterojen. Kısacası, bu yöntemin özü, bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasıdır.

Gauss yönteminde izin verilen dönüşümler:

İki satırın değişen yerleri;

Bir dizgenin tüm öğelerini sıfır olmayan bir sayı ile çarpma.

Herhangi bir faktörle çarpılarak bir satırın elemanlarına başka bir satırın karşılık gelen elemanlarının eklenmesi.

Tüm öğeleri sıfıra eşit olan bir çizgiyi geçmek.

Yinelenen satırları geçmek.

Son iki noktaya gelince: Gauss yöntemiyle çözümün herhangi bir aşamasında tekrar eden satırlar silinebilir - elbette bunlardan biri bırakılır. Örneğin, 2, 5, 6 numaralı satırlar tekrarlanırsa, bunlardan biri, örneğin 5 numaralı satır bırakılabilir. Bu durumda 2. ve 6. satırlar silinecektir.

Sıfır satırlar göründükleri gibi sistemin genişletilmiş matrisinden kaldırılır.

Kurs: Determinantlar ve lineer denklem sistemleri

1. İkinci ve üçüncü derecelerin belirleyicileri ve özellikleri

1.1. Matris kavramı ve ikinci dereceden determinant

Dikdörtgen sayılar tablosu

matris. Bir matris belirlemek için çift dikey

tireler veya parantezler. Örneğin:

1 7 9.2 1 7 9.2

28 20 18 28 20 18

6 11 2 -6 11 2

Bir matrisin satır sayısı sütun sayısı ile aynı ise matris denir.

Meydan. Matrisi oluşturan sayılara denir. elementler.

Dört elemandan oluşan bir kare matris düşünün:

(3.1) matrisine karşılık gelen ikinci dereceden determinant sayıdır.

ve sembolü ile gösterilir

Yani tanım gereği

Belirli bir determinantın matrisini oluşturan elemanlara genellikle denir.

bu belirleyicinin unsurları.

Aşağıdaki ifade doğrudur: yani ikincinin determinantı

sıra sıfıra eşitse, satırlarının öğelerinin (veya

sırasıyla sütunları) orantılıydı.

Bu iddiayı kanıtlamak için, her birinin

oranlar /

eşdeğerdir

Ve (3.2) sayesinde son eşitlik, determinantın yok olmasına eşdeğerdir.

1.2. İki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemi

İkinci dereceden belirleyicilerin çalışmak için nasıl kullanıldığını gösterelim ve

iki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemine çözüm bulma

(katsayılar,

ve ücretsiz üyeler,

verildiği varsayılır). bir çift sayı olduğunu hatırlayın

isminde

(3.3) sisteminin çözümü, bu sayıların yerine konması halinde

ve bu sistemde

her iki denklemi (3.3) özdeşliğe dönüştürür.

Sistemin (3.3) birinci denkleminin - ile çarpılması

Ve ikincisi - üzerinde -ve

sonra elde edilen eşitlikleri ekleyerek,

Benzer şekilde, (3.3) denklemlerini sırasıyla - ve ile çarparak şunları elde ederiz:

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:

Bu gösterimleri ve ikinci dereceden determinant için ifadeyi kullanma

(3.4) ve (3.5) denklemleri şu şekilde yeniden yazılabilir:

determinant,

sistemin (3.3) bilinmeyenlerinin katsayılarından oluşan,

bu sistemin belirleyicisi. belirleyicileri olduğunu unutmayın

ve elde edilir

sistem niteleyici

birinci veya sırasıyla ikinci sütununu serbest ile değiştirerek

İki durum olabilir: 1) sistem belirleyicisi

sıfırdan farklı; 2) bu determinant sıfıra eşittir.

Önce durumu düşün

0. Denklemlerden (3.7) hemen bilinmeyenler için formüller elde ederiz,

isminde Cramer formülleri:

Elde edilen Cramer formülleri (3.8), sistem (3.7) için bir çözüm verir ve bu nedenle

orijinal sistemin (3.3) çözümünün benzersizliği. Gerçekten de, sistem (3.7)

(3.3) sisteminin bir sonucudur, dolayısıyla (3.3) sisteminin herhangi bir çözümü (içinde

varsa!) da (3.7) sisteminin bir çözümü olmalıdır. Böyle,

Şimdiye kadar, orijinal sistem (3.3) için mevcutsa kanıtlanmıştır.

0 çözümü ise, bu çözüm Cramer formülleri (3.8) ile benzersiz bir şekilde belirlenir.

Bir çözümün varlığını doğrulamak da kolaydır, yani ne zaman

0 iki sayı ve

Cramer formülleri (3.8) ile tanımlanır. bilinmeyenin yerine koymak

denklemler (3.3) bu denklemleri özdeşliğe dönüştürür. (Okuyucuya izin verin

belirleyiciler için ifadeleri kendiniz yazın

Ve bu kimliklerin geçerliliğini doğrulamak için.)

Şu sonuca varıyoruz: determinant ise

sistem (3.3) sıfırdan farklıysa, o zaman var ve ayrıca buna benzersiz bir çözüm var

Cramer formülleri (3.8) tarafından tanımlanan sistem.

Şimdi determinantın olduğu durumu düşünün

sistem sıfır. Kendilerini tanıtabilir iki alt kasa: Ya da belki

belirleyicilerden biri

veya, farklı

sıfır; b) her iki belirleyici

ve sıfıra eşittir. (Eğer

belirleyici ve

iki belirleyiciden biri

ve sıfıra eşittir, o zaman

bu iki belirleyiciden diğeri sıfıra eşittir. Gerçekten, izin ver

örneğin = 0

O zaman bu oranlardan şunu elde ederiz

a) alt durumunda, (3.7) eşitliklerinden en az birinin imkansız olduğu ortaya çıkıyor, yani,

sistemin (3.7) çözümü yoktur ve bu nedenle çözümü yoktur ve orijinal sistem

(3.3) (sonucu sistem (3.7)'dir).

b) alt durumunda, orijinal sistem (3.3) sayılamayan bir çözüm kümesine sahiptir. AT

aslında, eşitliklerden

0 ve Sec sonundaki ifadeden. 1.1, sistemin ikinci denkleminin

(3.3) ilkinin bir sonucudur ve atılabilir. Ama bir denklem ile

iki bilinmeyen

sonsuz sayıda çözüme sahiptir (katsayılardan en az biri

ya da farklı

sıfır ve onunla ilişkili bilinmeyen denklem (3.9) ile belirlenebilir.

başka bir bilinmeyenin keyfi olarak verilen bir değeri aracılığıyla).

Böylece, eğer determinant

sistem (3.3) sıfıra eşittir, o zaman sistem (3.3) ya hiç çözüme sahip değildir (içinde

belirleyicilerden en az biri ise

veya farklı

sıfır) veya sonsuz sayıda çözüme sahip (durumda

0). Sonunda

durumda, iki denklem (3.3) bir ile değiştirilebilir ve çözülürken bir

bilinmeyen keyfi olarak verilir.

Yorum. Ücretsiz üyeler ne zaman

ve sıfıra eşit,

lineer sistem (3.3) denir homojen. Aynı olduğunu unutmayın

sistem her zaman sözde önemsiz çözüme sahiptir:

0, = 0 (bu ikisi

sayılar her iki homojen denklemi de özdeşliğe dönüştürür).

Homojen bir sistemin determinantı ise

sıfırdan farklıysa, bu sistemin yalnızca önemsiz bir çözümü vardır. Eğer

= 0, o zaman homojen sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır(oldukça

homojen bir sistem için, çözümlerin olmaması olasılığı hariç tutulur). Böyle

yol homojen sistemin önemsiz olmayan bir çözümü vardır, ancak ve ancak

determinant sıfır olduğunda.

Okulda bile, her birimiz denklemleri ve elbette denklem sistemlerini inceledik. Ancak pek çok insan onları çözmenin birkaç yolu olduğunu bilmiyor. Bugün, ikiden fazla eşitlikten oluşan bir lineer cebirsel denklem sistemini çözmek için tüm yöntemleri ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Öykü

Bugün denklemleri ve sistemlerini çözme sanatının eski Babil ve Mısır'dan geldiği bilinmektedir. Bununla birlikte, eşitlikler, 1556'da İngiliz matematikçi Record tarafından tanıtılan "=" eşittir işaretinin ortaya çıkmasından sonra olağan formlarında ortaya çıktı. Bu arada, bu işaret bir sebepten dolayı seçildi: iki paralel eşit parça anlamına geliyor. Gerçekten de, daha iyi bir eşitlik örneği yoktur.

Bilinmeyenlerin ve derecelerin işaretlerinin modern harf gösterimlerinin kurucusu bir Fransız matematikçidir, ancak tanımları günümüzünkinden önemli ölçüde farklıdır. Örneğin, bilinmeyen bir sayının karesini Q (lat. "quadratus") harfiyle ve küpü C harfiyle (lat. "cubus") gösterdi. Bu gösterimler şimdi garip görünüyor, ancak o zamanlar lineer cebirsel denklem sistemlerini yazmanın en anlaşılır yoluydu.

Bununla birlikte, o zamanki çözüm yöntemlerindeki bir dezavantaj, matematikçilerin yalnızca pozitif kökleri dikkate almalarıydı. Belki de bu, negatif değerlerin pratik bir kullanımının olmamasından kaynaklanmaktadır. Öyle ya da böyle, 16. yüzyılda negatif kökleri ilk düşünenler İtalyan matematikçiler Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ve Rafael Bombelli'ydi. Ve modern görüş, ana çözüm yöntemi (ayrımcı aracılığıyla), Descartes ve Newton'un çalışmaları sayesinde yalnızca 17. yüzyılda yaratıldı.

18. yüzyılın ortalarında, İsviçreli matematikçi Gabriel Cramer, lineer denklem sistemlerini çözmeyi kolaylaştırmanın yeni bir yolunu buldu. Bu yöntem daha sonra onun adını aldı ve bu güne kadar kullanıyoruz. Ancak Cramer'in yönteminden biraz sonra bahsedeceğiz, ancak şimdilik lineer denklemleri ve bunları sistemden ayrı çözme yöntemlerini tartışacağız.

Doğrusal denklemler

Doğrusal denklemler, değişken(ler) içeren en basit eşitliklerdir. Cebirsel olarak sınıflandırılırlar. genel biçimde aşağıdaki gibi yazın: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... ve n * x n \u003d b. Sistemleri ve matrisleri daha fazla derlerken bu formda temsillerine ihtiyacımız olacak.

Lineer cebirsel denklem sistemleri

Bu terimin tanımı şu şekildedir: ortak bilinmeyenleri ve ortak bir çözümü olan bir denklemler kümesidir. Kural olarak, okulda her şey iki hatta üç denklemli sistemlerle çözüldü. Ancak dört veya daha fazla bileşenli sistemler var. Önce bunları nasıl yazacağımızı bulalım, böylece daha sonra çözmek için uygun olur. İlk olarak, tüm değişkenler uygun indeks: 1,2,3 vb. ile x olarak yazılırsa, lineer cebirsel denklem sistemleri daha iyi görünecektir. İkinci olarak, tüm denklemler kanonik forma getirilmelidir: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Tüm bu işlemlerden sonra lineer denklem sistemlerinin çözümünün nasıl bulunacağını konuşmaya başlayabiliriz. Matrisler bunun için çok faydalıdır.

matrisler

Matris, satırlardan ve sütunlardan oluşan bir tablodur ve kesişimlerinde öğeleri bulunur. Bunlar belirli değerler veya değişkenler olabilir. Çoğu zaman, öğeleri belirtmek için alt simgeler altlarına yerleştirilir (örneğin, 11 veya 23). İlk dizin satır numarası ve ikincisi sütun numarası anlamına gelir. Matrislerde ve diğer herhangi bir matematiksel öğede çeşitli işlemler gerçekleştirebilirsiniz. Böylece şunları yapabilirsiniz:

2) Bir matrisi bir sayı veya vektörle çarpın.

3) Devir: matris satırlarını sütunlara ve sütunları satırlara dönüştürün.

4) Birinin satır sayısı diğerinin sütun sayısına eşitse matrisleri çarpın.

Tüm bu teknikleri ileride işimize yarayacakları için daha detaylı olarak ele alacağız. Matrisleri çıkarmak ve eklemek çok kolaydır. Aynı boyutta matrisler aldığımız için, bir tablonun her bir elemanı diğerinin her bir elemanına karşılık gelir. Böylece bu iki elemanı topluyoruz (çıkarıyoruz) (matrislerinde aynı yerde olmaları önemlidir). Bir matrisi bir sayı veya vektörle çarparken, matrisin her bir öğesini o sayı (veya vektör) ile çarpmanız yeterlidir. Transpozisyon çok ilginç bir süreç. Bazen gerçek hayatta, örneğin bir tabletin veya telefonun yönünü değiştirirken görmek çok ilginç. Masaüstündeki simgeler bir matristir ve konumu değiştirdiğinizde yer değiştirir ve genişler, ancak yüksekliği azalır.

Böyle bir süreci inceleyelim, bizim için faydalı olmayacak olsa da, yine de bilmek faydalı olacaktır. İki matrisi ancak bir tablodaki sütun sayısı diğerindeki satır sayısına eşitse çarpabilirsiniz. Şimdi bir matrisin bir satırının öğelerini ve diğerinin karşılık gelen sütununun öğelerini alalım. Bunları birbiriyle çarpar ve sonra toplarız (yani, örneğin, a 11 ve a 12 ile b 12 ve b 22 öğelerinin çarpımı şuna eşit olacaktır: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Böylece tablonun bir elemanı elde edilir ve benzer bir yöntemle doldurulur.

Şimdi lineer denklem sisteminin nasıl çözüldüğünü düşünmeye başlayabiliriz.

Gauss yöntemi

Bu konu okulda başlar. "İki doğrusal denklem sistemi" kavramını iyi biliyoruz ve bunları nasıl çözeceğimizi biliyoruz. Peki ya denklem sayısı ikiden fazlaysa? Bu bize yardımcı olacak

Tabii ki, sistemden bir matris çıkarırsanız, bu yöntemin kullanımı uygundur. Ama onu dönüştüremez ve saf haliyle çözemezsiniz.

Peki, lineer Gauss denklemleri sistemi bu yöntemle nasıl çözülür? Bu arada bu yöntem adının kendisinden alınmasına rağmen eski zamanlarda keşfedilmiştir. Gauss aşağıdakileri önermektedir: sonunda tüm kümeyi kademeli bir forma indirgemek için denklemlerle işlemler yapmak. Yani, ilk denklemden son denkleme doğru yukarıdan aşağıya (doğru yerleştirilmişse) bir bilinmeyenin azalması gerekir. Başka bir deyişle, diyelim ki üç denklem elde ettiğimizden emin olmalıyız: ilk - üç bilinmeyende, ikinci - iki, üçüncü - bir. Sonra son denklemden ilk bilinmeyeni buluruz, değerini ikinci veya birinci denklemde yerine koyarız ve sonra kalan iki değişkeni buluruz.

Cramer yöntemi

Bu yöntemde ustalaşmak için toplama, matris çıkarma becerilerinde ustalaşmak çok önemlidir ve ayrıca belirleyicileri bulabilmeniz gerekir. Bu nedenle, tüm bunları zayıf bir şekilde yaparsanız veya nasıl yapılacağını hiç bilmiyorsanız, öğrenmeniz ve pratik yapmanız gerekecektir.

Bu yöntemin özü nedir ve bir lineer Cramer denklemleri sistemi elde edilecek şekilde nasıl yapılır? Her şey çok basit. Bir lineer cebirsel denklemler sisteminin sayısal (neredeyse her zaman) katsayılarından bir matris oluşturmamız gerekir. Bunun için bilinmeyenlerin önündeki sayıları alıp sistemde yazıldığı sıraya göre tabloya koymamız yeterlidir. Sayının önünde bir "-" işareti varsa, negatif bir katsayı yazarız. Bu nedenle, ilk matrisi, eşittir işaretlerinden sonraki sayıları dahil etmeden, bilinmeyenlerin katsayılarından derledik (doğal olarak, denklem sadece sayı sağda olduğunda ve tüm bilinmeyenler ile kanonik forma indirgenmelidir). soldaki katsayılar). Ardından, her değişken için bir tane olmak üzere birkaç matris daha oluşturmanız gerekir. Bunu yapmak için, ilk matriste, sırayla, her sütunu, eşittir işaretinden sonra bir sayı sütunuyla katsayılarla değiştiririz. Böylece, birkaç matris elde ederiz ve sonra onların determinantlarını buluruz.

Belirleyicileri bulduktan sonra, mesele küçüktür. Bir başlangıç ​​matrisimiz var ve farklı değişkenlere karşılık gelen birkaç sonuç matrisi var. Sistemin çözümlerini elde etmek için, ortaya çıkan tablonun determinantını ilk tablonun determinantına böleriz. Ortaya çıkan sayı, değişkenlerden birinin değeridir. Benzer şekilde, tüm bilinmeyenleri buluruz.

Öbür metodlar

Doğrusal denklem sistemlerine çözüm elde etmek için birkaç yöntem daha vardır. Örneğin, ikinci dereceden bir denklem sistemine çözümler bulmak için kullanılan ve aynı zamanda matrislerin kullanımıyla da ilişkili olan Gauss-Jordan yöntemi. Lineer cebirsel denklemler sistemini çözmek için bir Jacobi yöntemi de vardır. Bir bilgisayara adapte edilmesi en kolay olanıdır ve bilgisayar teknolojisinde kullanılır.

zor vakalar

Karmaşıklık genellikle denklem sayısı değişken sayısından az olduğunda ortaya çıkar. O zaman kesin olarak söyleyebiliriz ki, ya sistem tutarsızdır (yani kökü yoktur) ya da çözümlerinin sayısı sonsuzdur. İkinci durumumuz varsa, lineer denklem sisteminin genel çözümünü yazmamız gerekir. En az bir değişken içerecektir.

Çözüm

İşte sona geliyoruz. Özetleyelim: Bir sistemin ve matrisin ne olduğunu analiz ettik, bir lineer denklem sistemine genel bir çözüm bulmayı öğrendik. Ayrıca diğer seçenekler de değerlendirildi. Bir lineer denklem sisteminin nasıl çözüldüğünü öğrendik: Gauss yöntemi ve Zor durumlar ve çözüm bulmanın diğer yolları hakkında konuştuk.

Aslında, bu konu çok daha kapsamlıdır ve daha iyi anlamak istiyorsanız, size daha özel literatür okumanızı tavsiye ederiz.