Sınıf: 8

Dersin amacı: bir dairenin denklemini tanıtın, öğrencilere bitmiş bir çizime göre bir daire denklemi çizmeyi öğretin, verilen bir denkleme göre bir daire inşa edin.

Teçhizat: etkileşimli tahta.

Ders planı:

1. Organizasyonel an - 3 dk.
2. Tekrarlama. Zihinsel aktivitenin organizasyonu - 7 dak.
3. Yeni malzemenin açıklaması. Daire denkleminin türetilmesi - 10 dak.
4. İncelenen materyalin konsolidasyonu - 20 dak.
5. Ders özeti - 5 dak.

Dersler sırasında

2. Tekrar:

− (ek 1 slayt 2) segmentin ortasının koordinatlarını bulmak için formülü yazın;

− (Slayt 3) Z noktalar arasındaki mesafenin formülünü yazın (parçanın uzunluğu).

3. Yeni malzemenin açıklaması.

(Slayt 4 - 6) Bir dairenin denklemini tanımlayın. Bir noktada ortalanmış bir dairenin denklemlerini türet ( a;b) ve orijinde ortalanır.

(X – a ) 2 + (de – b ) 2 = R 2 - merkezli daire denklemi İle (a;b) , yarıçap R , X ve de – daire üzerinde rastgele bir noktanın koordinatları .

X 2 + y 2 = R 2, orijinde merkezli bir dairenin denklemidir.

(Slayt 7)

Bir dairenin denklemini yazmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

• merkezin koordinatlarını bilir;
• yarıçapın uzunluğunu bilin;
• daire denkleminde merkezin koordinatlarını ve yarıçapın uzunluğunu değiştirin.

4. Problem çözme.

1 - 6 No'lu görevlerde, bitmiş çizimlere göre dairenin denklemlerini çizin.

(Slayt 14)

№ 7. Tabloda doldurunuz.

(Slayt 15)

№ 8. Denklemlerle verilen defterde daireler oluşturun:

a) ( X – 5) 2 + (de + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (de– 7) 2 = 7 2 .

(Slayt 16)

№ 9. Merkezin koordinatlarını ve yarıçapın uzunluğunu bulun. AB dairenin çapıdır.

(Slayt 17)

№ 10. Noktadan geçen orijinde merkezli bir daire için bir denklem yazın İle(-12;5).

Karar.

R2 = Tamam 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Daire denklemi: x 2 + y 2 = 169 .

(Slayt 18)

№ 11. Orijinden geçen ve bu noktada ortalanmış bir daire için bir denklem yazın İle(3; - 1).

Karar.

R2= işletim sistemi 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Çember denklemi: ( X - 3) 2 + (+ 1) 2 = 10.

(Slayt 19)

№ 12. Merkezi olan bir dairenin denklemini yazın ANCAK(3;2) içinden geçen AT(7;5).

Karar.

1. Çemberin merkezi - ANCAK(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Çember denklemi ( X – 3) 2 + (de − 2) 2 = 25.

(Slayt 20)

№ 13. Noktaların yalan olup olmadığını kontrol edin ANCAK(1; -1), AT(0;8), İle(-3; -1) denklemi ile verilen çember üzerinde ( X + 3) 2 + (de − 4) 2 = 25.

Karar.

İ. Noktanın koordinatlarını değiştirin ANCAK(1; -1) daire denklemine:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - eşitlik yanlış, yani ANCAK(1; -1) yalan söylemez denklem tarafından verilen daire üzerinde ( X + 3) 2 + (de − 4) 2 = 25.

II. Noktanın koordinatlarını değiştirin AT(0;8) daire denklemine:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
AT(0;8)yalanlar X + 3) 2 + (de − 4) 2 = 25.

III. Noktanın koordinatlarını değiştirin İle(-3; -1) daire denklemine:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - eşitlik doğrudur, yani İle(-3; -1) yalanlar denklem tarafından verilen daire üzerinde ( X + 3) 2 + (de − 4) 2 = 25.

Dersin özeti.

1. Tekrar edin: bir dairenin denklemi, orijinde merkezli bir dairenin denklemi.
2. (Slayt 21)Ödev.

Bir düzlemde bir çizginin denklemi

Önce iki boyutlu bir koordinat sisteminde bir doğrunun denklemi kavramını tanıtalım. Kartezyen koordinat sisteminde rastgele bir $L$ doğrusu oluşturulsun (Şekil 1).

Şekil 1. Koordinat sistemindeki rastgele çizgi

tanım 1

$x$ ve $y$ olmak üzere iki değişkenli bir denklem, eğer bu denklem $L$ doğrusuna ait herhangi bir noktanın koordinatları tarafından sağlanıyorsa ve bu denklem, $L$ doğrusuna ait olmayan herhangi bir nokta tarafından sağlanmıyorsa, $L$ doğrusu denklemi olarak adlandırılır. satır $L.$

daire denklemi

$xOy$ Kartezyen koordinat sisteminde daire denklemini türetelim. $C$ çemberinin merkezi $(x_0,y_0)$ koordinatlarına sahip olsun ve çemberin yarıçapı $r$'a eşit olsun. $(x,y)$ koordinatlı $M$ noktası bu dairenin rastgele bir noktası olsun (Şekil 2).

Şekil 2. Kartezyen koordinatlarda daire

Dairenin merkezinden $M$ noktasına olan uzaklık aşağıdaki gibi hesaplanır.

Ancak, $M$ daire üzerinde bulunduğundan, $CM=r$ elde ederiz. Sonra aşağıdakileri elde ederiz

Denklem (1), $(x_0,y_0)$ noktasında ve $r$ yarıçapında merkezli bir dairenin denklemidir.

Özellikle, dairenin merkezi orijine denk geliyorsa. O zaman dairenin denklemi şu şekildedir:

Düz bir çizginin denklemi.

Kartezyen koordinat sistemi $xOy$'da $l$ doğrusunun denklemini türetelim. $A$ ve $B$ noktaları sırasıyla $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ ve $\(x_2,\ y_2\)$ koordinatlarına ve $A$ ve $B noktalarına sahip olsun. $, $l$ doğrusu $AB$ doğru parçasına dik açıortay olacak şekilde seçilir. $l$ satırına ait rastgele bir $M=\(x,y\)$ noktası seçiyoruz (Şekil 3).

$l$ doğrusu $AB$ doğru parçasına dik açıortay olduğundan, $M$ noktası bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır, yani $AM=BM$.

Noktalar arasındaki uzaklık formülünü kullanarak bu kenarların uzunluklarını bulun:

Buradan

$a=2\sol(x_1-x_2\sağ),\ b=2\sol(y_1-y_2\sağ),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 ile belirtin -(y_1)^2$, Kartezyen koordinat sistemindeki bir doğrunun denkleminin aşağıdaki forma sahip olduğunu elde ederiz:

Kartezyen koordinat sisteminde doğruların denklemlerini bulmak için bir problem örneği

örnek 1

$(2,\ 4)$ noktasında merkezli bir dairenin denklemini bulun. Orijinden geçen ve merkezinden geçen $Ox,$ eksenine paralel bir doğru.

Karar.

Önce verilen çemberin denklemini bulalım. Bunu yapmak için dairenin genel denklemini kullanacağız (yukarıda türetilmiştir). Dairenin merkezi $(2,\ 4)$ noktasında bulunduğundan, şunu elde ederiz:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

$(2,\ 4)$ noktasından $(0,0)$ noktasına olan uzaklık olarak dairenin yarıçapını bulun.

Çemberin denklemini şu şekilde elde ederiz:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Şimdi özel durum 1'i kullanarak daire denklemini bulalım.

çevre düzlemde verilen bir noktadan eşit uzaklıkta olan noktalar kümesidir ve merkez adı verilir.

C noktası dairenin merkezi ise, R onun yarıçapıdır ve M daire üzerinde keyfi bir nokta ise, o zaman bir dairenin tanımı gereği

Eşitlik (1) daire denklemi C noktasında ortalanmış R yarıçapı.

Dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi (Şekil 104) ve bir C noktası ( a; b) yarıçapı R olan bir çemberin merkezidir. М( X; de) bu dairenin keyfi bir noktasıdır.

|CM|'den beri = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), o zaman denklem (1) aşağıdaki gibi yazılabilir:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R2 (2)

Denklem (2) denir genel denklemçevreler veya noktasında merkezlenmiş R yarıçaplı bir dairenin denklemi ( a; b). Örneğin, denklem

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

(1; -3) noktasında ortalanmış R = 5 yarıçaplı bir dairenin denklemidir.

Çemberin merkezi orijine denk geliyorsa, denklem (2) şu şekli alır:

x 2 + de 2 = R2 . (3)

Denklem (3) denir çemberin kanonik denklemi .

Görev 1. Orijinde merkezlenmiş R = 7 yarıçaplı bir daire için denklemi yazın.

Yarıçap değerini doğrudan denklem (3)'e koyarak, şunu elde ederiz:

x 2 + de 2 = 49.

Görev 2. C(3; -6) noktasında ortalanmış R = 9 yarıçaplı bir daire için denklemi yazın.

C noktasının koordinatlarının değerini ve yarıçapın değerini formül (2)'de değiştirerek elde ederiz.

(X - 3) 2 + (de- (-6) 2 = 81 veya ( X - 3) 2 + (de + 6) 2 = 81.

Görev 3. Bir dairenin merkezini ve yarıçapını bulun

(X + 3) 2 + (de-5) 2 =100.

karşılaştırma verilen denklem genel daire denklemi (2) ile görüyoruz ki a = -3, b= 5, R = 10. Bu nedenle, С(-3; 5), R = 10.

Görev 4. Denklemin olduğunu kanıtlayın

x 2 + de 2 + 4X - 2y - 4 = 0

daire denklemidir. Merkezini ve yarıçapını bulun.

Bu denklemin sol tarafını dönüştürelim:

x 2 + 4X + 4- 4 + de 2 - 2de +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (de - 1) 2 = 9.

Bu denklem (-2; 1) merkezli bir dairenin denklemidir; dairenin yarıçapı 3'tür.

Görev 5. A (2; -1), B(-1; 3) ise AB düz çizgisine dokunan C(-1; -1) noktasında merkezli bir dairenin denklemini yazın.

AB düz çizgisinin denklemini yazalım:

veya 4 X + 3y-5 = 0.

Çember verilen doğruya teğet olduğu için temas noktasına çizilen yarıçap bu doğruya diktir. Yarıçapı bulmak için, C noktasından (-1; -1) - dairenin merkezinden düz çizgiye 4 olan mesafeyi bulmanız gerekir. X + 3y-5 = 0:

İstenen çemberin denklemini yazalım

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Bırak girsin dikdörtgen sistem daire verilen koordinatlar x 2 + de 2 = R2 . Keyfi noktası M( X; de) (Şek. 105).

yarıçap vektörü olsun OM> M noktası bir büyüklük açısı oluşturur t O ekseninin pozitif yönü ile X, daha sonra M noktasının apsisi ve ordinatı buna bağlı olarak değişir. t

(0 t x ve y t, bulduk

x= Rcos t ; y= R günah t , 0 t

Denklem (4) denir orijinde merkezli bir dairenin parametrik denklemleri.

Görev 6. Daire denklemler tarafından verilir

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Bu çember için kanonik denklemi yazın.

Koşuldan geliyor x 2 = 3 çünkü 2 t, de 2 = 3 günah 2 t. Bu eşitlikleri terim terim toplayarak,

x 2 + de 2 = 3(çünkü 2 t+ günah 2 t)

veya x 2 + de 2 = 3