5.3 Matematiksel analiz

kurucular modern bilim- Copernicus, Kepler, Galileo ve Newton - doğa çalışmasına matematik olarak yaklaştılar. Matematikçiler hareketi incelerken, bir fonksiyon veya değişkenler arasındaki bir ilişki gibi temel bir kavram geliştirdiler, örneğin d = kt2, burada d, serbest düşen bir cismin kat ettiği mesafedir ve t, cismin içinde bulunduğu saniye sayısıdır. serbest düşüş. Fonksiyon kavramı, belirli bir andaki hızın ve hareketli bir cismin ivmesinin belirlenmesinde hemen merkezi hale geldi. Bu problemin matematiksel zorluğu, vücudun her an sıfır zamanda sıfır mesafe kat etmesiydi. Bu nedenle, mesafeyi zamana bölerek bir andaki hızın değerini belirleyerek, matematiksel olarak anlamsız 0/0 ifadesine geleceğiz.

Çeşitli niceliklerin anlık değişim hızlarını belirleme ve hesaplama sorunu, Barrow, Fermat, Descartes ve Wallis dahil olmak üzere neredeyse tüm on yedinci yüzyıl matematikçilerinin dikkatini çekti. Önerdikleri farklı fikirler ve yöntemler, Newton ve G. Leibniz (1646 - 1716), yaratıcıları tarafından sistematik, evrensel olarak uygulanabilir bir biçimsel yöntemde birleştirildi. diferansiyel hesap. Newton'un Leibniz'i intihalle suçlamasıyla, bu hesabı geliştirmenin önceliği konusunda aralarında hararetli bir tartışma vardı. Ancak bilim tarihçilerinin çalışmalarının gösterdiği gibi, Leibniz matematiksel analizi Newton'dan bağımsız olarak yarattı. Çatışmanın bir sonucu olarak, kıta Avrupası matematikçileri ile İngiltere arasındaki fikir alışverişi, İngiliz tarafının zararına uzun yıllar kesintiye uğradı. İngiliz matematikçiler analiz fikirlerini geometrik bir yönde geliştirmeye devam ederken, I. Bernoulli (1667 - 1748), Euler ve Lagrange dahil olmak üzere kıta Avrupası matematikçileri cebirsel veya analitik yaklaşımı izleyerek kıyaslanamayacak kadar büyük bir başarı elde ettiler.

Tüm matematiksel analizlerin temeli limit kavramıdır. Zamandaki hız, t sıfıra yaklaştıkça ortalama hızın eğilim gösterdiği sınır olarak tanımlanır. Diferansiyel hesap, hesaplamalarda kolaylık sağlar genel yöntem Herhangi bir x değeri için bir fonksiyonun değişim oranını bulma. Bu hıza türev denir. Notasyonun genelliğinden, türev kavramının sadece hız veya ivme bulma ihtiyacıyla ilgili problemlerde değil, aynı zamanda herhangi bir fonksiyonel bağımlılıkla, örneğin ekonomikten bir orana göre de uygulanabilir olduğu görülebilir. teori. Diferansiyel hesabın ana uygulamalarından biri sözdedir. maksimum ve minimum için görevler; Bir diğer önemli problem aralığı, verilen bir eğriye teğet bulmaktır.

Hareket problemleriyle çalışmak için özel olarak icat edilen türevin yardımıyla, sırasıyla eğriler ve yüzeylerle sınırlanan alanları ve hacimleri bulmanın da mümkün olduğu ortaya çıktı. Öklid geometrisinin yöntemleri uygun genelliğe sahip değildi ve gerekli nicel sonuçların elde edilmesine izin vermiyordu. 17. yüzyıl matematikçilerinin çabalarıyla. Şu veya bu tür eğrilerle sınırlanmış şekillerin alanlarını bulmayı mümkün kılan çok sayıda özel yöntem oluşturuldu ve bazı durumlarda bu problemler ile fonksiyonların değişim oranını bulma problemleri arasında bir bağlantı kaydedildi. Ancak, diferansiyel hesap durumunda olduğu gibi, yöntemin genelliğini fark eden ve böylece integral hesabın temellerini atanlar Newton ve Leibniz'di.

Newton-Leibniz yöntemi, belirlenecek alanı sınırlayan eğriyi, Yunanlılar tarafından icat edilen tükenme yöntemine benzer şekilde, ona yaklaşan bir dizi kesik çizgi ile değiştirerek başlar. Tam alan, n sonsuza giderken n dikdörtgenin alanlarının toplamının sınırına eşittir. Newton, bir fonksiyonun değişim oranını bulma sürecini tersine çevirerek bu sınırın bulunabileceğini gösterdi. Farklılaşmanın ters işlemine entegrasyon denir. Toplamın farklılaşmayı tersine çevirerek gerçekleştirilebileceği ifadesine matematiksel analizin temel teoremi denir. Farklılaşma, hız ve ivme arayışından çok daha geniş bir problem sınıfına uygulanabilir olduğu gibi, entegrasyon da herhangi bir toplama problemine, örneğin kuvvetlerin eklenmesini içeren fiziksel problemlere uygulanabilir.

Dijkstra'nın algoritması

GRAFİK TEORİSİ, bir özelliği nesnelerin çalışmasına geometrik bir yaklaşım olan ayrık bir matematik alanıdır. Grafik teorisinin ana amacı, grafik ve onun genellemeleridir...

Olağanüstü istatistik insanları. P.L. Chebyshev

Chebyshev'in çalışmalarının en büyük sayısı matematiksel analize ayrılmıştır. Chebyshev, 1847'de ders verme hakkı konusundaki tezinde, cebirsel fonksiyonlar ve logaritmalardaki bazı irrasyonel ifadelerin bütünleştirilebilirliğini araştırıyor...

Cebir üzerine ders kitaplarını ve Kolmogorov A.N. gibi yazarlar tarafından matematiksel analizin başlangıçlarını analiz edelim. ve Mordkovich A.G. 2008 yılı 10-11 sınıfları için ders kitabında Eğitim Kurumları A.N. tarafından düzenlendi. Yazarları olan Kolmogorov: A.N...

Rastgele değişkenlerin özelliklerini incelemek, deney planlamak ve verileri analiz etmek

Dayanım ölçüm yönteminin doğruluğunun A, C, E faktörlerine bağımlılığını elde edelim. z0j = (zmaxj + zminj)/2 (41) ?zj = (zmaxj - zminj)/2 (42) hesaplayalım. ) zj (43) Bir planlama matrisi yapalım...

Doğrusal olmayan otomatik kontrol sistemleri için bir parametreye göre çözüme devam etme yönteminin incelenmesi

Doğrusal olmayan sistemlerin çözümünü açıklayan yukarıdaki grafik ve test materyalini analiz ettikten sonra cebirsel denklemler Parametreye göre çözüme devam ederek aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz: 1...

Regresyon, bir Y değerinin ortalama değerinin başka bir X değerine bağımlılığıdır. Regresyon kavramı bir anlamda fonksiyonel bağımlılık kavramını y = f(x) genelleştirir...

İdeal bir Fermi-Dirac gazındaki basıncın sıcaklığına istatistiksel bağımlılığının araştırılması

Doğrusal regresyon Yöntemle a ve b katsayılarını bulmak için en küçük kareler aşağıdaki gerekli parametreler hesaplanmıştır: = 3276.8479; = 495.4880; = 2580.2386; = 544.33; Bizim durumumuzda, a ve b katsayıları sırasıyla eşittir: . Buradan...

Görüntü Yeniden Oluşturma için Yinelemeli Cebirsel Yöntemler

Bu problemler için hesaplama verilerini incelersek, bu yöntem için denklem sayısı ve bilinmeyenlerin sayısının önemli bir rol oynadığını söyleyebiliriz ...

matematik ve modern dünya

Şu veya bu fenomenin herhangi bir kesin açıklaması matematikseldir ve tam tersine, kesin olan her şey matematiktir. Herhangi bir kesin açıklama, karşılık gelen matematiksel dilde bir açıklamadır...

Otomatik kontrol sistemlerinin hesaplanması ve tasarımı problemlerinde matematiksel modelleme

Düzeltilmemiş sistemi Mikhailov ve Hurwitz kriterlerini kullanarak analiz edelim. Bulalım transfer fonksiyonu tüm sistemin Hurwitz matrisini oluşturun a0=1; a1=7.4; a2=19; a3=10; Bunun için Hurwitz kriterine göre...

en küçük kareler yöntemi

Varyansın regresyon analizi kavramıyla başlayalım. Bu kavramı bir örnekle inceleyelim. doğrusal bağımlılık. MNC'ye göre şunu hayal edebiliriz: , nerede. Burada ikinci bağıntı bulunan regresyon denklemidir, rastgele değer ortalama ile...

Minimax ve çok amaçlı optimizasyon

Optimizasyon probleminin kendisini düşünmeye başlamadan önce, hangi matematiksel aparatı kullanacağımız konusunda anlaşacağız. Problemleri tek kriterle çözmek için tek değişkenli bir fonksiyonla çalışabilmek yeterlidir...

Sürekli rastgele değişken

Regresyon analizi- ölçülen verileri modelleme ve özelliklerini inceleme yöntemi. Veriler, bağımlı değişken (yanıt değişkeni) ve bağımsız değişken (açıklayıcı değişken) değer çiftlerinden oluşur...

Matematik dilinin özellikleri

Yaşam dünyasının zamanı, insanın varoluşunun zamanı olarak anlaşılan zamanı tanımlamak için fenomenolojinin dili en uygunudur. Ama zamanın ve sonsuzluğun fenomenolojik betimlemesi matematiksel dili pekala kullanabilir...

Sayısal yöntemler sıradan diferansiyel denklemler ve sistemler

"Yırtıcı-av" türüne göre birbirleriyle etkileşime giren ve tür içi etkileşimi dikkate alan iki türün popülasyonlarının dinamiklerini tanımlayan birinci dereceden diferansiyel denklemler sisteminin çözümünün grafiksel gösteriminden, biri görebilir. ...

19. yüzyıl, matematik tarihinde yeni, dördüncü bir dönemin başlangıcıdır - modern matematik dönemi.

Dördüncü dönemde matematiğin gelişiminin ana yönlerinden birinin, tüm matematikte ispatların kesinliğinin güçlendirilmesi, özellikle matematiksel analizin mantıksal bir temelde yeniden yapılandırılması olduğunu zaten biliyoruz. XVIII yüzyılın ikinci yarısında. matematiksel analizi yeniden yapılandırmak için sayısız girişimde bulunuldu: limit tanımının tanıtılması (D'Alembert ve diğerleri), oranın limiti olarak türevin tanımı (Euler ve diğerleri), Lagrange ve Carnot'un sonuçları, vb. ., ancak bu işler bir sistemden yoksundu ve bazen başarısız oldular. Ancak 19. yüzyılda perestroikanın zeminini hazırlamışlardır. gerçekleştirilebilirdi. 19. yüzyılda matematiksel analizin bu gelişme yönü lider oldu. O. Koshi, B. Bolzano, K. Weierstrass ve diğerleri tarafından alındılar.

1. Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Paris'teki Politeknik Okulu ve İletişim Enstitüsü'nden mezun oldu. 1816'dan beri Paris Akademisi üyesi ve Politeknik Okulu'nda profesör. 1830-1838'de. cumhuriyet yıllarında monarşist inançları nedeniyle sürgündeydi. 1848'den beri Cauchy, Paris Üniversitesi Sorbonne'da profesör oldu. Matematik, diferansiyel denklemler, karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi, cebir, sayı teorisi, geometri, mekanik, optik vb. konularda 800'den fazla makale yayınladı. Başlıca bilimsel ilgi alanları kalkülüs ve bir kompleksin fonksiyonları teorisiydi. değişken.

Cauchy, Politeknik Okulu'nda verilen analiz derslerini üç kompozisyon halinde yayınladı: "Analiz Kursu" (1821), "Sonsuz Küçükler Hesabı Üzerine Derslerin Özeti" (1823), "Analizin Geometriye Uygulamaları Üzerine Ders", 2 cilt (1826, 1828). Bu kitaplarda ilk kez matematiksel analiz limitler teorisine dayanmaktadır. matematiksel analizde radikal bir yeniden yapılanmanın başlangıcını işaret ettiler.

Cauchy, bir değişkenin limitinin aşağıdaki tanımını verir: "Aynı değişkene art arda atanan değerler, sabit bir değere süresiz olarak yaklaşıyorsa ve sonunda ondan keyfi olarak çok az farklıysa, o zaman ikincisine limit denir. diğerleri." Konunun özü burada iyi ifade edilmiştir, ancak "keyfi olarak küçük" kelimelerinin kendilerinin tanımlanması gerekir ve ayrıca, bir fonksiyonun limiti değil, bir değişkenin limitinin tanımı burada formüle edilmiştir. Ayrıca yazar, limitlerin çeşitli özelliklerini kanıtlar.

Daha sonra Cauchy, bir fonksiyonun sürekliliğinin aşağıdaki tanımını verir: eğer argümanın sonsuz küçük bir artışı, fonksiyonun sonsuz küçük bir artışını üretiyorsa, yani modern dilde bir fonksiyona sürekli (bir noktada) denir.

Sonra sürekli fonksiyonların çeşitli özelliklerine sahiptir.

İlk kitapta seri teorisini de ele alıyor: bir sayı serisinin toplamını kısmi toplamının sınırı olarak tanımlar, yakınsama için bir dizi yeterli koşul sunar. sayı serisi, güç serileri ve yakınsaklık bölgelerinin yanı sıra - tüm bunlar hem gerçek hem de karmaşık alanlarda.

İkinci kitapta diferansiyel ve integral hesabı açıklıyor.

Cauchy, bir fonksiyonun türevini, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlar. Buradan şu çıkıyor. Daha sonra, türevler için genel formülleri ele alacağız; yazar genellikle Lagrange'ın ortalama değer teoremini kullanır.

İntegral hesapta, Cauchy ilk kez temel bir kavram olarak ortaya koymaktadır. kesin integral. Ayrıca bunu ilk kez integral toplamların limiti olarak tanıtıyor. Burada sürekli bir fonksiyonun integrallenebilirliği hakkında önemli bir teoremi kanıtlıyoruz. Belirsiz integral, argümanın böyle bir fonksiyonu olarak tanımlanır.Ayrıca, burada Taylor ve Maclaurin serilerindeki fonksiyonların açılımları ele alınır.

XIX yüzyılın ikinci yarısında. bazı bilim adamları: B. Riemann, G. Darboux ve diğerleri, bir fonksiyonun integrallenebilirliği için yeni koşullar buldular ve hatta belirli bir integralin tanımını, bazı süreksiz fonksiyonların entegrasyonuna uygulanabilecek şekilde değiştirdiler.

Diferansiyel denklemler teorisinde, Cauchy esas olarak temelde önemli varoluş teoremlerini kanıtlamakla meşguldü: önce birinci, sonra da üçüncü mertebeden bir adi diferansiyel denklemin çözümünün varlığı; lineer bir kısmi diferansiyel denklem sistemi için bir çözümün varlığı.

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisinde, Cauchy kurucudur; makalelerinin çoğu buna ayrılmıştır. XVIII yüzyılda. Euler ve d'Alembert sadece bu teorinin temelini attılar. Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi üzerine üniversite dersinde, sürekli olarak Cauchy adıyla karşılaşırız: bir türevin varlığı için Cauchy - Riemann koşulları, Cauchy integrali, Cauchy integral formülü, vb.; Bir fonksiyonun kalıntıları üzerine birçok teorem de Cauchy'den kaynaklanmaktadır. B. Riemann, K. Weierstrass, P. Laurent ve diğerleri de bu alanda çok önemli sonuçlar elde ettiler.

Matematiksel analizin temel kavramlarına dönelim. Yüzyılın ikinci yarısında, Çek bilim adamı Bernard Bolzano'nun (1781 - 1848) Cauchy ve Weierstrasse'den önce doğrulama analizi alanında çok şey yaptığı ortaya çıktı. Cauchy'den önce, bir fonksiyonun limiti, sürekliliği ve bir sayı serisinin yakınsaması tanımlarını verdi, bir sayı dizisinin yakınsaması için bir kriter kanıtladı ve ayrıca, Weierstrass'ta ortaya çıkmadan çok önce bir teorem: eğer bir sayı kümesi yukarıdan (aşağıdan) sınırlandırılırsa, tam bir üst (tam alt) kenarı vardır. Sürekli fonksiyonların bir takım özelliklerini düşündü; Üniversitenin matematiksel analiz dersinde, bir segment üzerinde sürekli fonksiyonlar üzerine Bolzano-Cauchy ve Bolzano-Weierstrass teoremleri olduğunu hatırlayın. Bolzano ayrıca matematiksel analizin bazı konularını da araştırdı, örneğin, bir segment üzerinde sürekli olan ancak segmentin herhangi bir noktasında türevi olmayan bir fonksiyonun ilk örneğini yaptı. Bolzano, yaşamı boyunca yalnızca beş küçük eser yayınlayabildi, bu nedenle sonuçları çok geç biliniyordu.

2. Matematiksel analizde, fonksiyonun net bir tanımının olmaması gitgide daha net bir şekilde hissediliyordu. Bir fonksiyonun ne anlama geldiği konusundaki anlaşmazlığın çözümüne önemli bir katkı Fransız bilim adamı Jean Fourier tarafından yapılmıştır. Bir katıda ısı iletiminin matematiksel teorisi ile uğraştı ve bununla bağlantılı olarak trigonometrik serileri (Fourier serisi) kullandı.

bu seriler daha sonra matematiksel fizikte yaygın olarak kullanılmaya başlandı - fizikte karşılaşılan kısmi diferansiyel denklemleri incelemek için matematiksel yöntemlerle ilgilenen bir bilim. Fourier, herhangi bir sürekli eğrinin, hangi heterojen parçalardan oluştuğundan bağımsız olarak, tek bir analitik ifadeyle - bir trigonometrik seriyle tanımlanabileceğini ve bunun süreksizliğe sahip bazı eğriler için de yapılabileceğini kanıtladı. Fourier tarafından yürütülen bu tür serilerin incelenmesi, bir fonksiyon ile ne kastedildiği sorusunu tekrar gündeme getirdi. Böyle bir eğrinin bir fonksiyonu tanımladığını varsayabilir miyiz? (Bu, işlev ve formül arasındaki ilişki hakkındaki eski 18. yüzyıl tartışmasının yeni bir düzeyde yenilenmesidir.)

1837'de Alman matematikçi P. Dierechle ilk kez bir fonksiyonun modern bir tanımını yaptı: “bir değişkenin bir fonksiyonu var (eğer segmentte, her değer (bu segmentte) tamamen belirli bir değere karşılık geliyorsa) ve Bu yazışmanın nasıl kurulduğu önemli değil - analitik bir formül, grafik, tablo veya hatta sadece kelimelerle". Şu ekleme dikkat çekicidir: "Bu yazışmanın nasıl kurulduğunun hiçbir önemi yoktur." Direkhlet'in tanımı oldukça hızlı bir şekilde genel kabul gördü. Doğru, artık yazışmanın kendisini bir işlev olarak adlandırmak gelenekseldir.

3. Matematiksel analizde modern titizlik standardı ilk olarak Weierstrass'ın (1815-1897) çalışmalarında ortaya çıktı, uzun süre spor salonlarında matematik öğretmeni olarak çalıştı ve 1856'da Berlin Üniversitesi'nde profesör oldu. Derslerinin dinleyicileri, Weierstrass'ın derslerinin içeriğinin Avrupa'da iyi bilinmesi sayesinde, onları yavaş yavaş ayrı kitaplar halinde yayınladılar. Matematiksel analizde dili sistematik olarak kullanmaya başlayan Weierstrass'dı.Bir dizinin limitinin tanımını, dilde bir fonksiyonun limitinin tanımını (genellikle yanlış olarak Cauchy'nin tanımı olarak adlandırılır), kesinlikle kanıtlanmış teoremleri verdi. limitler üzerinde ve sözde Weierstrass teoremi monoton bir dizinin limiti üzerinde: yukarıdan (aşağıdan) sınırlanan artan (azalan) bir dizi, sonlu bir limite sahiptir. Sayısal bir kümenin tam üst ve alt sınırları kavramlarını, bir kümenin sınır noktası kavramını kullanmaya başladı, bir teoremi kanıtladı (başka bir yazarı olan Bolzano): sınırlı bir sayısal kümenin bir sınır noktası vardır, sürekli fonksiyonların bazı özellikleri olarak kabul edilir. Weierstrass, karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisine birçok çalışma ayırdı ve bunu kuvvet serilerinin yardımıyla doğruladı. Ayrıca varyasyon hesabı, diferansiyel geometri ve lineer cebir üzerinde çalıştı.

4. Sonsuz kümeler teorisi üzerinde duralım. Yaratıcısı Alman matematikçi Kantor'du. Georg Kantor (18451918) uzun yıllar Halle Üniversitesi'nde profesör olarak çalıştı. 1870'den itibaren küme teorisi üzerine eserler yayınladı. Gerçek sayılar kümesinin sayılamazlığını kanıtladı, böylece eşdeğer olmayan sonsuz kümelerin varlığını ortaya koydu. Genel kavram yetkileri belirledi, güçleri karşılaştırma ilkelerini öğrendi. Kantor, en düşük, en küçük transfinit sayıyı sayılabilir bir kümenin (özellikle, doğal sayılar kümesinin) kardinalitesine, gerçek sayılar kümesinin kardinalitesine - daha yüksek, daha büyük transfinit sayı, vb.; bu onun doğal sayılar için sıradan aritmetiklere benzer bir transfinit sayılar için bir aritmetik oluşturmasını sağladı. Cantor, gerçek sonsuzluğu sistematik olarak kullandı, örneğin, ondan önce 19. yüzyılın matematiğinde doğal sayı dizilerini tamamen "yorma" olasılığını. sadece potansiyel sonsuzluk kullanıldı.

Cantor'un küme teorisi, ilk ortaya çıktığında birçok matematikçinin itirazlarını uyandırdı, ancak topolojiyi doğrulamak için büyük önemi ve gerçek bir değişkenin fonksiyonları teorisi netleştiğinde yavaş yavaş kabul edildi. Ancak teorinin kendisinde mantıksal boşluklar kaldı, özellikle küme teorisinin paradoksları keşfedildi. İşte en ünlü paradokslardan biri. Kendilerinin elemanı olmayan tüm bu tür kümeleri küme ile belirtin. Dahil etme aynı zamanda bir öğe değildir ve bir öğe değildir, çünkü koşula göre yalnızca bu tür kümeler, kendilerinin öğesi olmayan öğeler olarak dahil edilir; koşula göre, içerme-çelişkisi her iki durumda da geçerliyse.

Bu paradokslar, bazı kümelerin iç tutarsızlığıyla bağlantılıydı. Matematikte tüm kümelerin kullanılamayacağı anlaşıldı. Paradoksların varlığı, daha 20. yüzyılın başlarında yaratılış tarafından aşıldı. Özellikle şu soruyu cevaplayan aksiyomatik küme teorisi (E. Zermelo, A. Frenkel, D. Neumann, vb.): Matematikte hangi kümeler kullanılabilir? Boş kümenin, verilen kümelerin birleşiminin, belirli bir kümenin tüm alt kümelerinin kümesinin vb. kullanılabileceği ortaya çıktı.

Önümüzdeki 10 yıl içinde doğa bilimleri, insanlığın karmaşık sorularına cevap vermek için beşeri bilimlerle bir araya gelecek. Ve matematik dili bunda büyük rol oynayacak. Tarihteki yeni trendleri keşfetmek, açıklamak ve hatta gelecekte neler olacağını tahmin etmek mümkün olacak. Bu yılın Şubat ayında bir TED konuşması yapan ve matematiğin tarihçiler için nasıl yararlı olabileceği konusundaki bakış açısını ortaya koyan tarih araştırmacısı Jean-Baptiste Michel böyle söylüyor.

Jean-Baptiste Michel kısa (6 dakikalık) konuşmasında, dijitalleştirilmiş tarihin, dildeki değişiklikler veya savaşların ölümcüllüğü gibi temel eğilimleri ortaya çıkarma yolunda nasıl ilerlediğinden bahsediyor.

konuşma metni

Matematik dilinin güçlü bir araç olduğu ortaya çıktı. Fizik, biyoloji ve ekonomide önemli ilerlemelere katkıda bulundu, ancak beşeri bilimler ve tarihte değil. Belki insanlar bunun imkansız olduğunu düşünüyor - insanlığın yaptıklarını saymak veya tarihi ölçmek imkansız. Ancak, aksini düşünüyorum. İşte bazı örnekler.

Meslektaşım Erez ve ben şunu düşünüyorduk: Farklı yüzyıllarda yaşayan iki kral kesinlikle konuşuyorlar. farklı diller. Bu güçlü bir tarihsel güçtür.Örneğin, İngiltere Kralı Büyük Alfred'in kullandığı kelime dağarcığı ve gramer kuralları, hip-hop kralı Jay-Z'nin konuşmasından çok farklıydı. (Gülüşmeler) Yapabileceğin bir şey yok. Zamanla, dil değişir ve bu etkili bir faktördür.

Erez ve ben bu konuda daha fazla bilgi edinmek istedik. Bu nedenle, fiildeki "-ed" sonunun geçmiş zamanda bir eylemi ifade ettiği geçmiş zaman çekimi sınıfına döndük. "Bugün yürüyorum." [Bugün yürüyorum] "Dün yürüdüm." [Dün yürüdüm]. Ancak tüm fiiller doğru değildir. Örneğin, "Dün düşündüm." [Dün düşünüyordum]. İlginç bir şekilde, bugün Jay-Z'nin zamanında, Alfred'in zamanında olduğundan daha fazla düzenli fiil var. Örneğin, "evlenmek" [evlenmek] fiili doğru oldu.

Erez ve ben, 12 asırlık tarih boyunca 100'ün üzerinde düzensiz fiilin akıbetinin izini sürdük. İngilizcede ve bu karmaşık tarihsel değişimin oldukça basit bir şekilde özetlenebileceğini fark etti. Matematik formülü: Bir fiil diğerlerinden 100 kat daha sık kullanılırsa, 10 kat daha yavaş doğru olur.İşte size matematiksel bir sarmalayıcıda tarihi bir gerçek.

Bazı durumlarda matematik, tarihsel olayların versiyonlarını açıklamaya veya önermeye yardımcı olur. Steve Pinker ile birlikte son iki yüzyılın savaşlarının ölçeğini düşündük. Bilinen bir model var: 100 kat daha fazla can alan savaşlar, 10 kat daha az sıklıkta gerçekleşti. Örneğin, 30 savaş öldürücülük açısından Altı Gün Savaşı'na benziyordu ve sadece 4 savaş, Birincinin yaptığından 100 kat daha fazla can aldı. Dünya Savaşı. Peki buna yol açan tarihsel mekanizma nedir? Kök neden nedir?

Matematiksel analizi kullanarak, Steve ve ben bunun beynimizin çok basit bir özelliğine dayandığına inanıyoruz. Bu, ışık yoğunluğu veya hacim gibi göreceli değerleri anlamanın iyi bilinen bir özelliğidir.Örneğin, savaş için 10.000 askeri seferber etmemiz gerekirse, rakam bize çok büyük görünecektir, özellikle de geçen sefer sadece 1.000 asker seferber edilmişse. Ama bu hiç de fazla değil, nispeten az, kimse fark etmeyecek şimdiki an 100.000 asker seferber edildi. Rakamları temsil etme şeklimiz nedeniyle, savaş devam ettikçe, seferber edilen ve yaralananların sayısı lineer olarak artacak - 10.000, 11.000, 12.000, ama katlanarak: 10.000, 20.000, 40.000. Bu, daha önce bahsettiğimiz modeli açıklıyor.

Matematik bilinen özellikleri ilişkilendirebilir İnsan beyni yüzyıllara ve kıtalara yayılan uzun vadeli bir tarihsel desene sahip.

Bu birkaç örneğin önümüzdeki 10 yıl içinde sıradanlaşacağını düşünüyorum. Bu, tarihi belgelerin yüksek oranda dijitalleştirilmesi nedeniyle mümkün olacaktır.Zamanın başlangıcından bu yana yaklaşık 130 milyon kitap yazılmıştır. Birçok kitap Google gibi şirketler tarafından dijitalleştirildi - 20 milyondan fazla kitap. Ne zaman tarihsel gerçekler dijital formda mevcut, matematiksel analiz kullanarak tarihimizdeki ve kültürümüzdeki eğilimleri kolayca ve hızlı bir şekilde görüntüleyebilirsiniz.

Bu nedenle önümüzdeki 10 yıl içinde doğa bilimlerinin insanlığın karmaşık sorularına cevap verebilmek için beşeri bilimlere daha da yaklaşacağını düşünüyorum. Ve matematik dili bunda büyük rol oynayacak. Tarihteki yeni trendleri keşfetmek, açıklamak ve hatta gelecekte neler olacağını tahmin etmek mümkün olacak.

Çok teşekkürler.

(Alkış)

Tercüme: Olga Dmitrochenkova

Arapça Bulgarca Çince Hırvatça Çekçe Danca Hollandaca İngilizce Estonca Fince Fransızca Almanca Yunanca İbranice Hintçe Macarca İzlandaca Endonezyaca İtalyanca Japonca Korece Letonca Litvanyaca Madagaskarca Norveççe Farsça Polonyaca Portekizce Rumence Rusça Sırpça Slovakça Slovence İspanyolca İsveççe Tayca Türkçe Vietnamca

tanım - Matematiksel_analiz

V Eğitim süreci analiz şunları içerir:

Aynı zamanda isteğe bağlı olarak fonksiyonel analizin unsurları ve Lebesgue integrali teorisi verilir ve TFKP, varyasyon hesabı, diferansiyel denklemler teorisi ayrı derslerde okunur. Sunumun titizliği, 19. yüzyılın sonlarına ait kalıpları takip eder ve özellikle saf küme teorisini kullanır.

Rusya Federasyonu üniversitelerinde öğretilen analiz kursu programı kabaca Anglo-Amerikan kursu "Calculus" programına karşılık gelir.

Öykü

Matematiksel analizin öncüleri, eski tükenme yöntemi ve bölünmezler yöntemiydi. Analiz de dahil olmak üzere her üç yönün de ortak bir başlangıç ​​fikri vardır: doğası fikrin yazarlarına oldukça belirsiz görünen sonsuz küçük öğelere ayrıştırma. cebirsel yaklaşım ( sonsuz küçük hesap) Wallis, James Gregory ve Barrow'da görünmeye başlar. Bir sistem olarak yeni hesap, tam olarak Newton tarafından yaratıldı, ancak keşiflerini uzun süre yayınlamadı.

Diferansiyel hesabın resmi doğum tarihi, Leibniz'in ilk makaleyi yayınladığı Mayıs olarak kabul edilebilir. "Yeni Bir Yüksekler ve Alçaklar Yöntemi...". Bu makale, özlü ve erişilemez bir biçimde, diferansiyel hesap adı verilen yeni bir yöntemin ilkelerini özetledi.

Leibniz ve öğrencileri

Bu tanımlar geometrik olarak Şekil 2'de açıklanmıştır. sonsuz küçük artışlar sonlu olarak tasvir edilmiştir. Değerlendirme iki gereksinime (aksiyomlara) dayanmaktadır. Öncelikle:

Birbirinden yalnızca sonsuz küçük bir miktar farklı olan iki niceliğin, [ifadeleri sadeleştirirken?] birbirinden farklı olarak alınabilmesi gerekir.

Bu tür her bir doğrunun devamına eğriye teğet denir. Noktadan geçen teğeti inceleyen Lopital, büyük önem boyut

eğrinin bükülme noktalarında uç değerlere ulaşırken, ilişkiye özel bir önem verilmemektedir.

Ekstremum noktalarının bulunması dikkat çekicidir. Çapta sürekli bir artışla, ordinat önce artar ve sonra azalırsa, diferansiyel önce pozitif ve sonra negatiftir.

Ama sürekli artan veya azalan herhangi bir nicelik, sonsuzdan veya sıfırdan geçmeden pozitiften negatife dönüşemez... Buradan en büyük ve en küçük büyüklük diferansiyeli sıfıra veya sonsuzluğa eşit olmalıdır.

İlk şartı hatırlayacak olursak, bu formülasyon muhtemelen kusursuz değildir: diyelim ki, o zaman birinci şart sayesinde

sıfırda, sağ taraf sıfırdır, ancak sol taraf değildir. Görünüşe göre, maksimum noktada olacak şekilde birinci gereksinime göre dönüştürmenin mümkün olduğu söylenmeliydi. . Örneklerde, her şey açıklayıcıdır ve yalnızca bükülme noktaları teorisinde Lopital, maksimum noktada sıfıra eşit olduğunu ve bölünerek sıfıra eşit olduğunu yazar.

Ayrıca, yalnızca diferansiyellerin yardımıyla, bir ekstremum için koşullar formüle edilir ve esas olarak düzlemdeki diferansiyel geometri ile ilgili çok sayıda karmaşık problem göz önünde bulundurulur. Kitabın sonunda, ch. 10'da, şimdi L'Hopital kuralı olarak adlandırılan şey, oldukça sıradan bir biçimde olmasa da belirtilmiştir. Eğrinin ordinatının değeri, payı ve paydası 'de kaybolan bir kesir olarak ifade edilsin. O zaman eğrinin noktası, payın diferansiyeli ile paydanın diferansiyeline oranına eşit bir ordinata sahiptir, .

L'Hopital'in fikrine göre, yazdığı şey Analizin ilk kısmıydı, ikincisinin ise integral hesabı, yani değişkenlerin bağlantılarını diferansiyellerinin bilinen bağlantısıyla bulma yöntemini içermesi gerekiyordu. İlk sergisi Johann Bernoulli tarafından onun kitabında verilmiştir. İntegral yöntemiyle ilgili matematiksel dersler. Burada, çoğu temel integrali almak için bir yöntem verilmiş ve birçok birinci mertebeden diferansiyel denklemi çözme yöntemleri belirtilmiştir.

Yeni yöntemin pratik kullanışlılığına ve basitliğine işaret eden Leibniz şunları yazdı:

Bu hesabı bilen bir adamın üç satırda tam olarak elde edebileceğini, diğer en bilgili adamlar karmaşık dolambaçlı yolları izleyerek aramaya zorlandılar.

Euler

Sonraki yarım yüzyılda meydana gelen değişiklikler Euler'in kapsamlı incelemesine yansır. Analizin sunumu, temel işlevlerin çeşitli temsilleri üzerine araştırmaları içeren iki ciltlik "Giriş" i açar. "İşlev" terimi ilk olarak yalnızca Leibniz'de ortaya çıkar, ancak onu ilk rollere öne süren Euler'di. Bir fonksiyon kavramının orijinal yorumu, bir fonksiyonun bir sayma ifadesi olduğuydu (Almanca. Rechnungsausdrϋck) veya analitik ifade.

Değişken bir niceliğin işlevi, bu değişken nicelik ve sayılardan veya sabit niceliklerden bir şekilde oluşan analitik bir ifadedir.

Euler, "fonksiyonlar arasındaki temel farkın, onların değişkenlerden ve sabitlerden oluşma biçiminde yattığını" vurgulayarak, "miktarların birleştirilebileceği ve birbirleriyle karıştırılabileceği; bu eylemler şunlardır: toplama ve çıkarma, çarpma ve bölme, üs alma ve köklerin çıkarılması; [cebirsel] denklemlerin çözümü de buraya dahil edilmelidir. Cebirsel olarak adlandırılan bu işlemlere ek olarak, üstel, logaritmik gibi aşkın ve integral hesabı tarafından verilen sayısız başka işlemler de vardır. Böyle bir yorum, çok değerli fonksiyonlarla kolayca başa çıkmayı mümkün kıldı ve fonksiyonun hangi alan üzerinden ele alındığının bir açıklamasını gerektirmedi: sayım ifadesi, bu olmadığında bile değişkenlerin karmaşık değerleri için tanımlanır. İncelenen sorun için gerekli.

İfadedeki işlemlere yalnızca sonlu bir sayıda izin verildi ve aşkın, sonsuz yardımıyla nüfuz etti. Büyük bir sayı. İfadelerde, bu sayı ile birlikte kullanılır doğal sayılar. Örneğin, üs için böyle bir ifade geçerli kabul edilir.

ancak daha sonra yazarlar sınıra geçişi gördü. Analitik ifadelerle çeşitli dönüşümler yapıldı, bu da Euler'in temel fonksiyonlar için seriler, sonsuz ürünler vb. şeklinde temsiller bulmasına izin verdi. yazılı formüllerden her biri için bir noktada bir fonksiyonun değerini hesaplama.

L'Hôpital'in aksine Euler, aşkın fonksiyonları ve özellikle en çok çalışılan iki sınıfını - üstel ve trigonometrik - ayrıntılı olarak ele alır. Her şeyin olduğunu keşfeder temel fonksiyonlar kullanılarak ifade edilebilir Aritmetik işlemler ve iki işlem - logaritmayı ve üssü alarak.

Kanıtlamanın gidişatı, sonsuz büyük olanı kullanma tekniğini mükemmel bir şekilde göstermektedir. Trigonometrik daireyi kullanarak sinüs ve kosinüsü belirledikten sonra Euler, toplama formüllerinden aşağıdakileri çıkarır:

koyarak ve, o alır

daha yüksek bir düzenin sonsuz küçük değerlerini atmak. Euler bu ve benzeri bir ifadeyi kullanarak ünlü formülünü de elde eder.

Şimdi temel olarak adlandırılan fonksiyonlar için çeşitli ifadeler belirten Euler, elin serbest hareketiyle çizilen düzlemdeki eğrileri dikkate almaya devam ediyor. Ona göre, bu tür her eğri için tek bir analitik ifade bulmak mümkün değildir (ayrıca bkz. İp Tartışması). 19. yüzyılda, Casorati'nin önerisiyle, bu ifade hatalı kabul edildi: Weierstrass teoremine göre, modern anlamda herhangi bir sürekli eğri yaklaşık olarak polinomlarla tanımlanabilir. Aslında, Euler buna pek ikna olmamıştı, çünkü hala sınıra geçişi sembolünü kullanarak yeniden yazmamız gerekiyor.

Euler'in diferansiyel hesabı sunumu, sonlu farklar teorisi ile başlar, ardından üçüncü bölümde, Euler'in çağdaşlarına pek uymayan, "sonsuz küçük bir nicelik tam olarak sıfırdır" şeklindeki felsefi bir açıklama gelir. Daha sonra, sonsuz küçük bir artışla sonlu farklardan ve Newton'un enterpolasyon formülünden, Taylor formülünden diferansiyeller oluşturulur. Bu yöntem esas olarak Taylor'un (1715) çalışmasına kadar gider. Bu durumda, Euler kararlı bir orana sahiptir, ancak bu oran iki sonsuz küçükün oranı olarak kabul edilir. Son bölümler, seriler kullanılarak yaklaşık hesaplamaya ayrılmıştır.

Üç hacimli integral hesabında Euler, integral kavramını şu şekilde yorumlar ve sunar:

Diferansiyeline integral adı verilen ve önüne yerleştirilen işaret ile gösterilen bu fonksiyon.

Genel olarak, Euler'in incelemesinin bu bölümü, modern bir bakış açısıyla diferansiyel denklemlerin bütünleştirilmesine ilişkin daha genel soruna ayrılmıştır. Aynı zamanda, Euler yeni fonksiyonlara, örneğin -fonksiyonlara, eliptik fonksiyonlara, vb. yol açan bir dizi integral ve diferansiyel denklem bulur. 1830'larda Jacobi tarafından eliptik fonksiyonlar ve Liouville tarafından (temel fonksiyonlara bakınız).

Lagrange

Analiz kavramının gelişmesinde önemli rol oynayan bir sonraki büyük çalışma, teori analitik fonksiyonlar Lagrange ve Lagrange'ın çalışmalarının kapsamlı bir yeniden anlatımı, Lacroix tarafından biraz eklektik bir tarzda yapılmıştır.

Sonsuz küçükten tamamen kurtulmak isteyen Lagrange, türevler ile Taylor serisi arasındaki bağlantıyı tersine çevirdi. Analitik bir fonksiyonla, Lagrange, analiz yöntemleriyle araştırılan keyfi bir fonksiyonu anladı. Bağımlılığı yazmak için grafiksel bir yol vererek işlevin kendisini olarak atadı - daha önce Euler yalnızca değişkenlerle yönetiyordu. Lagrange'a göre analiz yöntemlerini uygulamak için fonksiyonun bir diziye genişlemesi gerekir.

katsayıları 'nin yeni fonksiyonları olacak. Geriye türevi (diferansiyel katsayı) aramak ve olarak atamak kalır. Böylece, türev kavramı, incelemenin ikinci sayfasında ve sonsuz küçüklerin yardımı olmadan tanıtılmaktadır. Şunu not etmek kalır

yani katsayı, türevin türevinin iki katıdır, yani.

Türev kavramının yorumlanmasına yönelik bu yaklaşım, modern cebirde kullanılır ve Weierstrass analitik fonksiyonlar teorisinin yaratılmasının temelini oluşturur.

Lagrange formel gibi seriler üzerinde çalıştı ve bir dizi dikkate değer teorem elde etti. Özellikle, ilk kez ve oldukça titiz bir şekilde, formal kuvvet serilerinde adi diferansiyel denklemler için başlangıç ​​probleminin çözülebilirliğini kanıtladı.

Taylor serisinin kısmi toplamları tarafından sağlanan yaklaşıklıkların doğruluğunu tahmin etme sorunu ilk olarak Lagrange tarafından ortaya atıldı: sonunda Analitik fonksiyonlar teorilerişimdi Taylor'ın Lagrange kalan formülü denen şeyi türetmişti. Ancak, modern yazarların aksine, Lagrange bu sonucu Taylor serisinin yakınsaklığını doğrulamak için kullanma gereğini görmedi.

Analizde kullanılan fonksiyonların gerçekten bir kuvvet serisinde genişletilip genişletilemeyeceği sorusu daha sonra tartışma konusu oldu. Elbette Lagrange, bazı noktalarda temel fonksiyonların bir kuvvet serisine genişleyemeyebileceğini biliyordu, ancak bu noktalarda hiçbir şekilde türevlenemezler. Koshy onun içinde cebirsel analiz işlevi bir karşı örnek olarak verdi

sıfırda sıfır ile uzatılır. Bu fonksiyon gerçek eksende her yerde düzgündür ve sıfırda sıfır Maclaurin serisine sahiptir, bu nedenle yakınsamaz. Bu örneğe karşı Poisson, Lagrange'ın bir fonksiyonu tek bir analitik ifade olarak tanımlamasına, Cauchy'nin örneğinde ise fonksiyonun sıfırda ve 'de farklı verildiğine itiraz etti. Ancak 19. yüzyılın sonunda Pringsheim, Maclaurin serisinin ayrıldığı tek bir ifadeyle verilen sonsuz türevlenebilir bir fonksiyonun var olduğunu kanıtladı. Böyle bir işlevin bir örneği şu ifadeyi verir:

Daha fazla gelişme

19. yüzyılın son üçte birinde Weierstrass geometrik doğrulamanın yetersiz olduğunu düşünerek bir analiz aritmetikleştirmesi yapmış ve limitin ε-δ-dili cinsinden klasik tanımını önermiştir. Ayrıca gerçek sayılar kümesinin ilk titiz teorisini yarattı. Aynı zamanda, Riemann integrallenebilirlik teoremini geliştirme girişimleri, gerçek fonksiyonların süreksizliğine ilişkin bir sınıflandırmanın yaratılmasına yol açtı. "Patolojik" örnekler de keşfedildi (hiçbir yerde türevlenemez sürekli fonksiyonlar, boşluk doldurma eğrileri). Bu bağlamda Ürdün, ölçü teorisini ve Kantor küme teorisini geliştirdi ve 20. yüzyılın başında matematiksel analiz onların yardımıyla resmileştirildi. Diğer önemli olay XX yüzyıl, analizin gerekçelendirilmesine alternatif bir yaklaşım olarak standart dışı analizin gelişmesiydi.

Matematiksel analiz bölümleri

Ayrıca bakınız

bibliyografya

ansiklopedi makaleleri

eğitim literatürü

Standart ders kitapları

Uzun yıllar boyunca, aşağıdaki ders kitapları Rusya'da popüler olmuştur:

Bazı üniversitelerin analiz için kendi yönergeleri vardır:

• Matematik teknik Üniversite Toplamak öğretim yardımcıları 21. ciltte.

• Bogdanov Yu.S. Matematiksel analiz üzerine dersler (iki bölüm halinde). - Minsk: BGU, 1974. - 357 s.

Gelişmiş ders kitapları

Öğreticiler:

• Rudin W. Matematiksel analizin temelleri. M., 1976 - çok açık ve özlü yazılmış küçük bir kitap.

Artan karmaşıklığın görevleri:

• G. Polia, G. Sege, Analizden problemler ve teoremler.

antik çağ

Antik çağda, daha sonra integral kalkülüse yol açan bazı fikirler ortaya çıktı, ancak o çağda bu fikirler katı, sistematik bir şekilde geliştirilmedi. İntegral hesabın amaçlarından biri olan hacim ve alan hesaplamaları, Mısır'dan Moskova Matematik Papirüsü'nde (MÖ 1820 dolayları) bulunabilir, ancak formüller, herhangi bir yöntem belirtilmeden daha fazla talimattır ve bazıları sadece hatalıdırlar. Yunan matematiği çağında, Eudoxus (c. 408-355 BC) limit kavramını öngören alanları ve hacimleri hesaplamak için tükenme yöntemini kullandı ve daha sonra bu fikir Arşimet (c. 287-212 BC) tarafından daha da geliştirildi. integral hesabı yöntemlerine benzeyen buluşsal yöntemler icat ederek. Tükenme yöntemi daha sonra Çin'de MS 3. yüzyılda Liu Hui tarafından bir dairenin alanını hesaplamak için icat edildi. MS 5. yüzyılda Zu Chongzhi, daha sonra Cavalieri ilkesi olarak adlandırılacak olan bir topun hacmini hesaplamak için bir yöntem geliştirdi.

Orta Çağlar

14. yüzyılda, Hintli matematikçi Madhava Sangamagrama ve Kerala astronomik-matematik okulu, Taylor serisi, sonsuz seri yaklaşımı, integral yakınsama testi, erken türevlendirme biçimleri, terim terim entegrasyon, yinelemeli yöntemler gibi kalkülüsün birçok bileşenini tanıttı. lineer olmayan denklemleri çözme ve eğrinin altındaki hangi alanın integrali olduğunu belirleme. Bazıları Yuktibhaza'nın (Yuktibhāṣā) kalkülüs üzerine ilk çalışma olduğunu düşünür.

Modern çağ

Avrupa'da, Bonaventure Cavalieri'nin incelemesi, hacimlerin ve alanların sonsuz ince bir bölümün hacimlerinin ve alanlarının toplamı olarak hesaplanabileceğini savunduğu temel bir çalışma haline geldi. Fikirler Arşimet'in Metod'da ortaya koyduğu fikirlere benziyordu, ancak Arşimet'in bu incelemesi 20. yüzyılın ilk yarısına kadar kayboldu. Cavalieri'nin çalışmaları, yöntemleri hatalı sonuçlara yol açabileceğinden tanınmadı ve sonsuz küçük değerler için şüpheli bir itibar yarattı.

Cavalieri'nin sonlu farklar hesabıyla birleştirdiği sonsuz küçükler hesabının biçimsel çalışması, aşağı yukarı aynı zamanda Avrupa'da yürütülüyordu. Pierre Fermat, bunu Diophantus'tan ödünç aldığını iddia ederek, sonsuz küçük bir hataya varan eşitlik anlamına gelen "yarı-eşitlik" (eng. denklik) kavramını ortaya atmıştır. John Wallis, Isaac Barrow ve James Gregory de önemli katkılarda bulundu. 1675 civarındaki son ikisi, kalkülüsün ikinci temel teoremini kanıtladı.

Vakıflar

Matematikte temeller, kesin aksiyomlardan ve tanımlardan başlayarak bir konunun katı bir tanımına atıfta bulunur. Üzerinde İlk aşama Kalkülüsün geliştirilmesinde, sonsuz küçük miktarların kullanımı katı olmadığı kabul edildi, başta Michel Rolle ve Bishop Berkeley olmak üzere birçok yazar tarafından sert eleştirilere maruz kaldı. Berkeley, 1734'te The Analyst adlı kitabında sonsuz küçükleri "ölü miktarların hayaletleri" olarak tanımladı. Matematik için titiz temellerin geliştirilmesi, Newton ve Leibniz'den sonra bir asırdan fazla bir süredir matematikçileri meşgul etti ve bugün hala bir şekilde aktif bir araştırma alanı.

Maclaurin de dahil olmak üzere birçok matematikçi, sonsuz küçükleri kullanmanın geçerliliğini kanıtlamaya çalıştı, ancak bu ancak 150 yıl sonra, sonunda sonsuz küçüklerin basit "küçük şeylerden" nasıl kaçınılacağının yollarını bulan Cauchy ve Weierstrass'ın çalışmalarıyla yapıldı. diferansiyel ve integral hesabı atıldı. Cauchy'nin yazılarında, sonsuz küçükler cinsinden sürekliliğin tanımını ve farklılaşma tanımındaki (ε, δ)-limit tanımının (biraz kesin olmayan) prototipini içeren evrensel bir temel yaklaşımlar yelpazesi buluyoruz. Weierstrass, çalışmasında limit kavramını resmileştirir ve sonsuz küçük miktarları ortadan kaldırır. Weierstrass'ın bu çalışmasından sonra Ortak zemin Matematik, sonsuz küçük miktarlar değil, sınırlar haline geldi. Bernhard Riemann bu fikirleri integralin kesin bir tanımını vermek için kullandı. Ayrıca, bu dönemde, kalkülüs fikirleri Öklid uzayına ve karmaşık düzleme genelleştirildi.

Modern matematikte, hesabın temelleri, aşağıdakileri içeren gerçek analiz bölümünde yer almaktadır. tam tanımlar ve kalkülüs teoremlerinin ispatları. Matematik araştırmalarının kapsamı çok daha geniş hale geldi. Henri Lebesgue, küme ölçüleri teorisini geliştirdi ve onu en egzotik fonksiyonların dışındaki tüm fonksiyonların integrallerini tanımlamak için kullandı. Laurent Schwartz, herhangi bir fonksiyonun türevlerini hesaplamak için kullanılabilecek genelleştirilmiş fonksiyonları tanıttı.

Limitlerin getirilmesi, hesabın temeline yönelik tek titiz yaklaşımı belirlemedi. Bir alternatif, örneğin Abraham Robinson'ın standart dışı analizi olabilir. 1960'larda geliştirilen Robinson'ın yaklaşımı, teknik araçlar Newton-Leibniz'in orijinal konseptinde olduğu gibi, sonsuz küçük ve sonsuz büyük sayılarla gerçek sayılar sistemini genişletmek için matematiksel mantıktan. Hipergerçekler olarak adlandırılan bu sayılar, Leibniz'in yaptığına benzer şekilde, hesabın olağan kurallarında kullanılabilir.

Önem

Kalkülüs ile ilgili bazı fikirler daha önce Mısır, Yunanistan, Çin, Hindistan, Irak, İran ve Japonya'da geliştirilmiş olsa da, kalkülüsün modern kullanımı 17. yüzyılda Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz'in öncekilerin çalışmaları üzerine inşa ettikleri Avrupa'da başladı. matematikçilerin temel ilkeleri. Analizin gelişimi, daha önceki anlık hareket ve bir eğri altındaki alan kavramlarına dayanıyordu.

Diferansiyel hesap, hız ve ivme, eğri açısı ve optimizasyon ile ilgili hesaplamalarda kullanılır. İntegral hesabın uygulamaları alanları, hacimleri, yay uzunluklarını, kütle merkezlerini, işi ve basıncı içeren hesaplamaları içerir. Daha karmaşık uygulamalar, güç serilerinin ve Fourier serilerinin hesaplamalarını içerir.

hesap [ ] ayrıca uzay, zaman ve hareketin doğası hakkında daha doğru bir anlayış kazanmak için kullanılır. Yüzyıllar boyunca matematikçiler ve filozoflar, sıfıra bölme veya sonsuz bir sayı dizisinin toplamını bulma ile ilgili paradokslarla mücadele ettiler. Bu sorular hareket etüdünde ve alanların hesaplanmasında ortaya çıkar. Antik Yunan filozofu Elealı Zeno, bu tür paradoksların birkaç ünlü örneğini verdi. Matematik, özellikle limitler ve sonsuz seriler olmak üzere bu paradoksları çözmek için araçlar sağlar.

Limitler ve sonsuz küçükler

notlar

1. morris kline, Antik çağlardan modern zamanlara matematiksel düşünce, Cilt. Bence
2. Arşimet, yöntem, içinde Arşimet'in Eserleri ISBN 978-0-521-66160-7
3. Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonne. Archimdes ve Liu Hui'nin çevreler üzerine yaptığı çalışmaların bir karşılaştırması (İngilizce): dergi. - Springer, 1966. - Cilt. 130 - S. 279. - ISBN 0-792-33463-9., Bölüm, s. 279
4. Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. Matematik: Erken Aşkınlar (belirsiz). - 3. - Jones & Bartlett Öğrenimi (İngilizce)Rusça, 2009. - S. xxvii. - ISBN 0-763-75995-3., 27. sayfadan alıntı
5. Hint matematiği
6. von Neumann, J., "The Mathematician", Heywood'da, R.B., ed., Aklın İşleri, University of Chicago Press, 1947, s. 180-196. Bródy, F., Vámos, T., eds., Neumann Dergisi, Dünya Bilimsel Yayıncılık A.Ş. bölüm Ltd., 1995, ISBN 9810222017, s. 618-626.
7. André Weil: Sayı teorisi. Tarih boyunca bir yaklaşım. Hammurapi'den Legendre'ye. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9, s. 28.
8. Leibniz, Gottfried Wilhelm. Leibniz'in Erken Matematik El Yazmaları. Cosimo, Inc., 2008. Sayfa 228. Kopya
9. Ünlü, Elif Maria Gaetana Agnesi (belirsiz) . Agnes Scott Koleji (Nisan 1995). 5 Eylül 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi.

Bağlantılar

• Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010). "Calculus", 9. baskı, Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
• McQuarrie, Donald A. (2003). Bilim Adamları ve Mühendisler için Matematiksel Yöntemler, Üniversite Bilim Kitapları. ISBN 978-1-891389-24-5
• James Stewart (2008). Matematik: Erken Aşkınlar, 6. baskı, Brooks Cole Cengage Learning.