Denklemlerin kullanımı hayatımızda yaygındır. Birçok hesaplamada, yapıların inşası ve hatta sporlarda kullanılırlar. Antik çağda kullanılan kişinin denklemleri ve o zamandan beri uygulamaları sadece artmaktadır. Fark denklemi, belirli bir araya tabi olan bir veya birkaç noktadaki değeri olan herhangi bir noktada belirli bir bilinmeyen fonksiyonun değerini birbirine bağlayan bir denklemdir. Misal:

\\ [Z + 1) \u003d ZG (z) \\]

Sabit katsayılı fark denklemleri için, kapalı bir formda bir çözüm bulmak için ayrıntılı yöntemler vardır. N-th emrinin homojen ve homojen fark denklemleri, \\ sabit katsayıların denklemlerle verilir.

Üniforma fark denklemleri.

N-sipariş denklemini göz önünde bulundurun

\\ [(A_NE ^ N + A (N - 1) E ^ N1 + \\ CDOTS + A_1E + A_1) Y (K) \u003d 0 \\]

Önerilen çözüm formunda aranmalıdır:

nerede, belirlenecek sabit bir değerdir. Denklem tarafından tanımlanan amaçlanan çözelti türü en yaygın değildir. İzin verilen değerler, \\ [e ^ r \\] 'dan polinomun kökleri olarak işlev görür. \\ [\\ Beta \u003d e ^ r \\] ile iddia edilen çözelti aşağıdakilere dönüşür:

burada \\ [\\ beta \\] belirlenecek sabit bir değerdir. Denklemi değiştirmek ve dikkate alınarak, aşağıdaki karakteristik denklemi elde ediyoruz:

Homojen olmayan fark denklemleri. Belirsiz katsayıların yöntemi. N-Siparişi fark denklemini düşünün

\\ [(A_NEN + A_ (N - 1) TR ^ -1 + \\ CDOTS + A_1E + A_1) Y (K) \u003d F (k) \\]

Cevap aşağıdaki gibidir:

Fark denklemini çevrimiçi olarak nereden çözebilirim?

Denklemini HTTPS: // site web sitemizde çözebilirsiniz. Ücretsiz bir çevrimiçi çözücü, herhangi bir karmaşıklığın çevrimiçi denklemini saniyeler içinde çözecektir. Yapmanız gereken tek şey sadece verilerinizi çözücüye girmek. Ayrıca video talimatını izleyebilir ve denklemi web sitemizde nasıl çözeceğinizi öğrenebilirsiniz. Herhangi bir sorunuz varsa, onlara vkontakte grubumuzda http://vk.com/pocketTeacher'ımıza sorabilirsiniz. Grubumuza katıl, sana yardım etmekten her zaman mutluyuz.

Sıradan doğrusal fark denklemlerinin çözümü

sabit katsayılarla

Doğrusal ayrık bir sistemin çıktısının ve girişinin bağlantısı, sabit katsayılarla sıradan bir lineer fark denklemi ile tanımlanabilir.

,

nerede y [n]- Şu anda çıkış sinyali n.,

x [n] - şu anda giriş sinyali n.,

ben,b K. - Kalıcı katsayılar.

Bu tür denklemleri çözmek için iki yöntem kullanılabilir

• Direkt yöntem
• Yöntem Z - dönüşüm.

Başlangıçta, doğrudan bir yöntem kullanarak doğrusal bir fark denkleminin çözümünü göz önünde bulundurun.

Ortak karar miktarına eşit olan doğrusal bir fark denkleminin homojendirilmesi (farklı bir kısmı) Çözümdoğrusal homojen fark denklemi ve Özel çözüm homojen olmayan denklem

Homojen bir fark denkleminin genel çözümü ( sıfır-giriştepki) y h [n]

formda belirlenir

.

Bu çözümü homojen bir denklem haline getirmek, biz

Böyle bir polinom denir Karakteristik polinom Sistemler. O sahip N. kökleri . Kökler geçerli veya karmaşık olabilir ve bazı kökler - çakışıyor (çoklu).

Eğer kökleri geçerli ve farklı, daha sonra homojen bir denklemin çözümü formu vardır.

katsayıların nerede olduğu

Bazı kök, örneğin, λ 1. Çokluk var m., sonra kararın karşılık gelen üyesi formu satın aldı

Homojen bir denklemin tüm katsayıları ve sırasıyla karakteristik polinomun geçerli olması durumunda, ardından basit kapsamlı bir konjuge köklere karşılık gelen çözümün iki üyesi Katsayılarda, formda (yazma) hayal edebiliyorsunuz. BirB.İlk koşullar ile tanımlanır.

Özel bir çözümün görüntüsü y p [n] Denklemler sağ tarafa (giriş sinyali) bağlıdır ve aşağıdaki tabloya göre belirlenir.

Tablo 1. Doğrudan farklı bir karakter için özel bir çözümün görüntüsü

Doğrusal fark denkleminin, Z yöntemiyle çözümü - dönüşüm kullanmaktır Z.- Doğrusallık ve geçici değişimin özelliklerini kullanarak bir denklemdeki dönüşümler. Sonuç olarak, doğrusal bir cebirsel denklem elde edilir Z. - İstediğiniz işlevin görüntüleri. Ters Z.- Dönüşüm, zaman alanında istenen çözeltiyi verir. Bir ters Z - dönüşüm elde etmek için, basit (ilköğretim) fraksiyonlardaki rasyonel ifadenin ayrışması en sık kullanılır, çünkü ayrı bir temel fraksiyonun ters dönüşümü basit bir görünüme sahiptir.

Ters Z - dönüşümün hesaplanmasının diğer yöntemlerinin geçici bir alana geçiş için de kullanılabilir.

Misal. Giriş sinyalinde, doğrusal fark denklemi ile tarif edilen sistemin yanıtını (çıkış sinyalini) belirleyin.

Karar.

1. Denklemi çözmek için doğrudan bir yöntem.

Üniforma denklemi. Karakteristik polinomu.

Polinom kökleri .

Homojen bir denklemin çözümü.

Çünkü özel çözüm biçiminde belirlenir .

Denklem için yerine

Sabit bulmak için İçin Enstitü n \u003d 2.. Sonra

Veya, k \u003d 2.33

Dolayısıyla özel çözüm ve fark denkleminin genel çözümü (1)

Sabitleri bulduk 1 ile. ve 2 ile. Bunu yapmak için, koymak n \u003d 0., sonra aldığımız ilk fark denkleminden. Bu denklem için

Bu nedenle. İfadesinden (1)

Dolayısıyla

.

(1) ifadesinden n \u003d 1. Sahibiz.
1 ve C 2 için aşağıdaki iki denklemi elde ediyoruz.

.

Bu sistemin çözeltisi aşağıdaki değerleri verir: C1 \u003d 0.486 ve C2 \u003d -0,816.

Sonuç olarak, bu denklemin genel çözümü

2. Çözüm Z - dönüşüm.

Geçici vardiyanın özelliği (teorem) verilen ilk fark denkleminden Z - dönüşümünü alın . Teslim almak

N-Siparişi fark denklemini düşünün

y (K) \u003d F (K) (92)

Diferansiyel denklemlere gelince, çözelti her zaman birinci dereceden denklemler için belirlenir ve genel durumda daha yüksek dereceli denklemler için bulunamaz.

Yardımcı çözüm.

Homojen birinci dereceden denklemi düşünün

a 1 (K) Y (K + 1) + A 0 (K) Y (K) \u003d 0, (93)

burada bir 0 (k) ≠ 0 ve 1 (k) ≠ 0. Formda yeniden yazılabilir

y (K + 1) \u003d A (K) Y (K). (94)

k \u003d 0,1,2'de ...

(1) \u003d a (0) y (0),

y (2) \u003d a (1) a (0) y (0)

y (3) \u003d a (2) a (1) a (0) y (0)

veya genel durumda,

böylece genel denklem çözümü (94) eşittir

Çalışmanın alt sınırı keyfidir, çünkü herhangi bir sabit sayıda çarpma sayısı A (0), A (1) ve A (2), ... keyfi sabit bir C ile birleştirilebilir.

Homojen bir denklemin çözeltisi, genel durumdaki ilk sıranın üstünde olduğu gibi ifade edilmez İlköğretim fonksiyonlarıDenklemlere (81) ve (82) dayanan prosedür ve katsayıların K katsayılarına bağlı olduğundan, adil olmaktan vazgeçer. Hepsi, bir kişi hariç, denklemin bağımsız çözümleri bilinirse, kalan çözümü tanımlayabilirsiniz. Diferansiyel denklemler için bir dizi bireysel vakada, açıkça bir çözüm elde etmek mümkündür. Denklemi görüntüleyin

a N F (K + N) Y (K + N) + ... + A 1 F (K + 1) Y (K + 1) + A N F (K) Y (K) \u003d 0,

a katsayılarının yerine sabit değerler olduğunda, z (k) \u003d f (k) y (k) yerine sabit değerler olduğunda, sabit katsayılarla bir fark denklemine indirgenir. Prosedür kısmen diferansiyel denklem için kullanılan Euler'e benzer, ancak bu durumda değiştirme bağımlı (ve bağımsız) değişkene tabidir. Bu yöntem, değişken katsayılarla denklemleri çözmede yaygın olarak kullanılır.

Otomatik düzenleme sistemlerinin diferansiyel denklemleri. Otomatik kontrol sistemlerinin diferansiyel denklemlerini derleme yöntemleri.

Genel açıklamalar.

Otomatik kontrol sistemleri, amaçlanan amaç ve yapıcı yürütmede çeşitlidir. SAR'ın davranışı, özel türevler, fark denklemler vb. Sıradan diferansiyel denklemler tarafından tanımlanabilir.

Herhangi bir SAR, birbirleriyle birbiriyle ilişkilendirilen bireysel elemanların bir kombinasyonunu temsil eder. SAR diferansiyel denklemlerinin hazırlanmasındaki ilk adım, sistemin bireysel elemanlara ayrılması ve bu elemanların diferansiyel denklemlerinin hazırlanmasına neden olur. Bireysel elemanlar arasındaki elementlerin ve bağlantıların denklemleri, düzenleyici sistemdeki işlemi tanımlar. Sistemin tüm koordinatlarının zamanını değiştirme. Elementlerin denklemlerini bilmek ve bağlantılar denklemleri yapılabilir yapısal şema SAR.

SAR yapısal şeması, sistemin geometrisini karakterize eder, yani. Hangi unsurların SAR'ın oluştuğu ve bu elemanların nasıl birbirine bağlanacağını gösterir. SAR'ın durumu, içine dahil olan eleman, bir dizi bağımsız değişken ile karakterizedir. Bu değişkenler elektriksel değerler (akım, voltaj vb.) Ve mekanik (hız, dönme açısı, hareket vb.) Gibi olabilir. Genellikle, sistemin durumunu veya elemanının durumunu karakterize etmek için, sistemin veya elemanın girişinde (g (t)) ve birinin (x (t)) girişinde bir genelleştirilmiş koordinatı seçin. Bazı durumlarda, böyle bir temsil imkansızdır, çünkü sistem veya elemanının birkaç giriş ve çıktı değeri olabilir. Çok boyutlu sistemlerde, SAR'ın giriş ve çıkış değerlerinin sayısıyla sırasıyla vektör giriş ve çıkış değerleri dikkate alınabilir.

Diferansiyel denklemlerin farkı ve doğrusallaştırılması sistem unsurları.

Diferansiyel SAR denklemlerinin derlenmesinde, ana görev, sistemin bireysel unsurlarının diferansiyel denklemlerini çekmektir. Bireysel unsurların denklemi, elemanın davranışını karakterize eden fiziksel yasalara dayanarak derlenir.

SAR'ın unsurlarının diferansiyel denklemlerinin hazırlanmasında, bu elemanın davranışını daha tam olarak tanımlamak mümkündür. Bununla birlikte, elde edilen denklemlerin karmaşıklığı, çözümlerinin özelliklerini incelemeyi zorlaştırır. Bu nedenle, diferansiyel denklemlerin hazırlanmasında, unsurun davranışının daha eksiksiz bir açıklaması ile elde edilen denklemlerin çalışma olasılığı arasında makul bir uzlaşma için çabalamak gerekir.

Eğer elemanın dinamikleri doğrusal bir diferansiyel denklem ile açıklanırsa, bu eleman denir doğrusalDiferansiyel denklem doğrusal değilse, öğe denir doğrusal olmayan.

Analizi basitleştirmek için, mümkün olduğunda, bu tür doğrusal denklemlerle yaklaşık olarak doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerin değiştirilmesi, çözeltisi, doğrusal olmayan denklemlerin çözeltilerine uygun bir doğruluk derecesi ile çakışır. Doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemi değiştirme işlemi doğrusal denir doğrusallaştırma.

Eğer elemanın diferansiyel denklemi, statik özelliğinin doğrusal olmayan olması nedeniyle doğrusal değildirse, denklem doğrusallaşması, elemanın doğrusal olmayan özelliklerini değiştirmek için azaltılır. x.=φ(g.) Biraz doğrusal fonksiyon x.= ag+ b.. Analitik olarak, bu değiştirme bir dizi Taylor fonksiyonunda ayrışma ile yapılır. x.=φ(g.) Yerleşik duruma karşılık gelen ve elemanın giriş değerinin sapma değerinin sapma değerinin tüm üyelerinin, birinci'nin üzerindeki dereceye kadar atılmasını atın. Geometrik olarak, bu eğriyi değiştirmek demektir. x.=φ(g.) Teğet tarafından, (x 0, g 0) noktasındaki eğriye (x 0, g 0), çalıştırılan elemanın belirlenmiş durumuna karşılık gelir (Şek. 29). Diğer durumlarda, doğrusallaştırma, fonksiyondan bir sıralı, az sapma yaparak gerçekleştirilir. x.=φ(g.) Öğenin giriş değerindeki istenen değişiklikler aralığında.

Doğrusallaştırılabilir özelliklerle birlikte, bu tür doğrusallaşmaya uygun olmayan özellikler vardır. Bunlar, örneğin, kararlı durumun mahallesinde bir dizi Taylor'da ayrışmayan özellikleri içerir. Bu özellikler denir Önemli ölçüde doğrusal olmayan.

Bir Taylor serisi kullanarak elemanın doğrusal olmayan denkleminin doğrusallaştırılması işlemini göz önünde bulundurun. Elemanın davranışını doğrusal olmayan diferansiyel denklem ile açıklamasına izin verin

F (xn, x ', x, g) \u003d 0 (1). Daha sonra elemanın belirlenmiş durumu, F (0, 0, X, G) \u003d 0 (2) denklemi ile karakterize edilir. G 0 ve X 0, sabit durumun değerleri olsun. Daha sonra G ve X koordinatları x \u003d x 0 + Δx, g \u003d g 0 + Δg formuna yazılabilir, burada ΔG ve ΔX, g ve x koordinatları ve x'in sabit durumdan sapmasıdır. Sapmalardaki denklem (1) formu vardır:

F (ΔX '', ΔX ', X 0 + ΔX, G 0 + ΔG) \u003d 0 (3).

Denklemin (3) sol kısmını, sabit durumun noktasına göre bir dizi Taylor'da (0, 0, x 0, g 0) ayrıştırıyoruz:

Denklemin sol tarafındaki (4) özel türevleri, değerleri F (x '', x ', x, g) işlevinin türüne ve Koordinat X 0 ve G'nin değerlerine bağlı olan bazı sayılardır. 0.

ΔG, ΔX, ΔX, Δx'ten, aynı zamanda küçük ve rengiyle olan zaman türevlerinin yanı sıra, f (x '', x ', x, g) işlevinin, noktanın mahallesindeki tüm argümanlarda yeterince pürüzsüz olduğunu düşünür. Yerleşik duruma karşılık gelen, denklem (4) içine atma, ΔG ve ΔX sapmalarını içeren tüm üyelerin yanı sıra, birinci yukarıdaki dereceye kadar olan tüm üyeler. Elde edilen denklem (5), sabit katsayılı doğrusal bir diferansiyel denklemdir. ,,,ve denklemin doğrusallaştırılmasının sonucunu temsil eder (1).

Doğrusallaşmanın gerekli durumunun, belirlenmiş duruma karşılık gelen bir noktanın mahallesinde F (x '', x ', x, g) bir dizi Taylor Fonksiyonunda ayrışma olasılığı olduğu açıktır.

Denklemin (1) doğrusallaştırma işlemi, aşağıdaki şekilde geometrik olarak yorumlanabilir. X '', x ', x, g, denklem (1) değişkenlerinin uzayında bir miktar yüzey belirler. Denklemden (1) lineer denklemin (5) geçişi, yüzeyin bir teğet düzlemi ile değiştirilmesi, yüzeyde yerleşik duruma karşılık gelen bir noktada gerçekleştirilir. Doğal olarak, böyle bir değiştirme ile ilgili hata, daha az farklı yüzey noktalarından daha azdır ve uçağın bir noktası birbirinden farklıdır. Bu, yalnızca sabit durumun küçük bir mahallesinde geçerlidir.

Kontrol edilebilirlik ve gözlemlenebilirlik kavramı.

Proses veya nesne, bazı durumlardan x (t 0), T 1 - T 0 nihai aralığı için bazı durum x (t 0) istenen denge x (t 1) durumuna çevrilebilirse, tam olarak kontrol edilir. Başka bir deyişle, işlem, son zaman aralığında belirlenen bir kontrol efekti varsa, son zaman aralığı t 0 ≤ t ≤ t 1'de belirlenen bir kontrol efekti varsa, bu da işlemin başlangıç \u200b\u200bdurumundan (t 0) istenen şekilde çevirir. T 1 - T 0 sırasında denge x (t 1) durumu.

Gerekli I. yeterli koşul Ayrık sistemler için tam olarak yönetilebilirlik aşağıdaki gibi formüle edilebilir.

N-TH'nin emrinin doğrusal ayrık işlemi, yalnızca vektörler ise tamamen kontrol edilir.

s 1 \u003d φ (-T) H (t),

s 2 \u003d φ (-t) h (t),

sn \u003d φ (-t) h (t)

doğrusal bağımsız.

Bu vektörler aşağıdaki dönüşümlerle bağlantılı olarak ortaya çıkar.

(T) \u003d balta (t) + d m (t),

hangi m (t) tek kontrol etkisidir. Tek bir kontrol maruziyetinin durumu, elde edilen ifadelerin yorumlanmasını kolaylaştırdığı düşünülmektedir. Sürecin geçiş durumu denklemi formu vardır.

burada φ (t) işlem geçişi matrisidir ve
.

Yönetilebilirlik kavramı, en iyi anlayışına katkıda bulunan başka bir yorumla da verilebilir. Doğrusal çok boyutlu işlemin bir vektör diferansiyel denklemiyle tanımlanmasına izin verin (t) \u003d x - n-boyutlu durum vektörü, burada balta (t) + d m (t);

m - kontrol maruziyetini temsil eden R boyutlu vektör;

A - n-sipariş katsayılarının ikinci dereceden bir matrisi;

D - kontrol boyutunun matrisi n × r.

Matris A, çapraz forma azaltılabilir

,

λ I, matrisin özdeğeri ve hepsi farklı olduğu varsayılan lineer işlemdir.

İkame Etme X \u003d TZ, denklemi kanonik biçimde yazın

(t) \u003d λz (t) + δ m (t),

nerede
. VectorZ, kanonik durum vektörü denir.

Denklem tarafından açıklanan işlem (t) \u003d Matris δ, tüm elemanların sıfır olan satır içermezse, (t) + d m (t) kontrol edilir; Sıfır olmayan tellere karşılık gelen koordinatlar, yönetilebilir olarak kabul edilir.

Misal:

Bazı SAR'da hassas bir eleman olarak kullanılan santrifüj sarkaçın diferansiyel denklemini çıkarın. Sarkaçın deseni şekilde tasvir edilmiştir. Giriş değeri, açısal hızdır Ω ve çıkış değeri X platformunun hareketidir. Dönme hızında artışla, santrifüj kuvvetinin etkisindeki toplar ayrılır ve platformu hareket ettirilir. Potform ayrıca, yayın esnekliğini, sönümleme kuvvetlerini ve ataletin gücünü etkiler.

Notasyonu tanıtıyoruz: C - İlkbaharın sertliğinin katsayısı; K - Viskoz Sürtünme Katsayısı; m - topun kütlesi; M - Öküz ekseni boyunca ilerici harekete dahil olan parçaların kütlesi; ω milin açısal hızıdır; F 0 - önceden ayarlanmış yayın gücü.

Bir santrifüj sarkaçın diferansiyel bir denklemini derlemek için, ikinci türün lagrange denklemini kullanın:
(İ \u003d 1, 2, ..., n) (*). Genelleştirilmiş bir koordinat X I olarak, Platform X'in hareketi olan çıkış koordinatını seçin. Kinetik Enerji T'nin ifadesini, P'nin potansiyel enerjisi ve dağıtıcı fonksiyon R merkezkaç sarkaçını buluruz. Şekilden itibaren açıktır.

ρ \u003d R + l günah α, x \u003d 2a (1 - cos α).

T \u003d T 1 + T2 + T3 sisteminin kinetik enerjisi, burada t 1 - eksen etrafındaki dönme hareketinde tı-kinetik enerji; T 2 - Topların kinetik enerjisi, a ve a 'noktalarının etrafındaki dönme hareketinde; T 3 - Eksen boyunca ilerici bir harekette kitlelerin kinetik enerjisi. Sahibiz:

,

,
. (*1)

Pendulum n \u003d p 1 + p2 + p3'ün potansiyel enerjisi, buradaki p 1, eksen'e paralel hareket eden kitlelerin potansiyel enerjisidir; P 2 - Potansiyel enerji; P 3 - Baharın potansiyel enerjisi. Dikkate alınan durum için:

,
,
. (*2)

Genelleştirilmiş bir dağıtıcı kuvveti buluruz Q R. Bir damperin varlığı nedeniyle, kuru sürtünme gücü, viskoz sürtünmenin kuvvetine kıyasla küçüktür ve ihmal edilebilir. Formüle göre
sahip olacak

. (*3)

Lagrange denkleminde (*) dahil olan bireysel terimlerin önemini hesaplıyoruz:

,

,

.

Alınan ifadelerin ikinci kibarlığın (*) lagrange denklemine takas ediyoruz.

Aşağıdaki gösterimi tanıtıyoruz:

,
,

; (*5)

. (*6)

Kabul edilen atamalar göz önüne alındığında, santrifüj pendulum denklemi olarak kaydedilir.

Denklem (* 7), doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemdir. Denge durumu (x 0, ω 0) denklemin bir çözümüdür

Sarkaçın küçük salınımlarını dengenin durumuna ilişkin olarak düşünün

x \u003d x 0 + ΔH, Ω \u003d Ω 0 + ΔΩ. (*dokuz)

F1 (x), f 2 (x), f 3 (x, ω) işlevlerini denge durumunun mahallesinde bir dizi Taylor'da (X 0, Ω 0) ayrıştırıyoruz.

f 1 (ΔX), F2 (ΔX), F 3 (ΔX, ΔΩ) işlevlerinin daha fazlası olduğu durumlarda yüksek düzeyde Δx ve δω ile karşılaştırıldığında ana. X '\u003d ΔX' ve X "\u003d Δx" olduğunu göz önünde bulundurarak ve ifadeleri (* 8), (* 9), (* 10), denklem (* 7) olarak yeniden yazılabilir.

nerede işleve

ile karşılaştırıldığında daha yüksek bir küçük miktarda
. İşlevi atarak
, Denge durumuna göre doğrusallaştırılmış bir sarkaç salınım denklemi elde ediyoruz (x 0, ω 0)

, (*11)

,

(*12)

.

Giriş

Son yıllarda, matematiksel yöntemler insani bilimlere ve özellikle ekonomiye giderek daha fazla nüfuz edilmektedir. Matematik ve etkin kullanımı sayesinde, devletin ekonomik büyümesini ve refahını umut etmek mümkündür. Matematik kullanmadan etkili, optimum gelişme imkansızdır.

Bu çalışmanın amacı, toplumun ekonomik alanındaki fark denklemlerinin kullanımını incelemektir.

Bu çalışmadan önce aşağıdaki görevler belirlenir: Fark denklemlerinin kavramını belirlemek; Birinci ve ikinci sıradaki doğrusal fark denklemlerinin dikkate alınması ve ekonomideki kullanımları.

Bir terim projesinde çalışırken, malzemeler erişilebilir kullanılmıştır. Öğreticiler ekonomide matematiksel analiz, önde gelen ekonomistlerin ve matematikçilerin çalışması, referans yayınları, internet yayınlarında yayınlanan bilimsel ve analitik makaleler.

Farklı denklemler

§bir. Temel kavramlar ve fark denklemlerinin örnekleri

Fark denklemleri ekonomik teoride büyük bir rol oynar. Birçok ekonomik kanun bu denklemlerin yardımı ile kanıtlandı. Fark denklemlerinin temel kavramlarını analiz edeceğiz.

TAMAM T Bağımsız bir değişken olarak hareket edelim ve bağımlı değişken T, T-1, T-2, vb. İçin belirlenir.

T zamanında değere göre belirtir; fonksiyonun değeri boyunca birim başına geri kaydırıldı (örneğin, önceki hafta, önceki haftada, vb.); Aracılığıyla - YERDE YERİN YERİNİN DEĞERİ, iki ünite geriye doğru kaydırıldığı vb.

Denklem

nerede - sabit, Sabit katsayılarla N-Siparişin bir farkına kadar inhomojen olmayan denklemi denir.

Denklem

\u003d 0'da, sabit katsayılarla homojen n-th sipariş denklemi olarak adlandırılır. N-TH Siparişinin Fark Denklemini Çözün - Bu denklemi gerçek bir kimliğe çeken bir fonksiyon bulmak anlamına gelir.

Keyfi sabit olmadığı çözelti, fark denkleminin özel bir çözümü denir; Çözüm keyfi bir sabitse, genel bir çözüm olarak adlandırılır. Aşağıdaki teoremler kanıtlanabilir.

Teorem 1.Homojen bir fark denklemi (2) çözümlere sahipse, çözümün de işlev göreceği

nerede ve keyfi sabit.

Teorem 2.Homojen olmayan bir fark denkleminin (1) özel bir çözeltisi ise ve - homojen bir denklemin genel çözümü (2), daha sonra homojen olmayan denklemin (1) genel çözeltisi bir fonksiyon olacaktır.

Keyfi sabit. Bu teoremler, diferansiyel denklemler için teoremlere benzer. Sabit katsayılı ilk siparişin doğrusal fark denklemleri, tip sistemi olarak adlandırılır.

nerede - Bilinmeyen fonksiyonlardan vektör - Bilinen fonksiyonlardan vektör.

Bir NN boyutu matrisi var.

Bu sistem, diferansiyel denklem sisteminin çözeltisi ile analoji ile N-Sipariş fark denklemine referansla çözülebilir.

§ 2. Fark denklemlerinin kararı

İlk siparişin fark denkleminin kararı.Homojen olmayan bir fark denklemi düşünün

Karşılık gelen homojen denklem

Bir fonksiyon olup olmadığını kontrol edin

denklemi çözerek (3).

Denklemde ikame (4), biz alırız

Sonuç olarak, bir denklem çözümü vardır (4).

Denklemin genel çözümü (4) bir fonksiyondur

c'nin keyfi bir sabit olduğu yer.

Homojen olmayan bir denklemin özel bir çözümü olmasına izin verin (3). Ardından, fark denkleminin genel çözümü (3) bir fonksiyondur

F (t) \u003d c, C'nin bazı değişken olduğunda, fark denkleminin (3) özel bir çözümünü bulun.

Sabit M şeklinde bir çözüm arayacağız. Sahip olmak

Bu Kalıcı Denklemlerin Değiştirilmesi

teslim almak

Sonuç olarak, fark denkleminin genel çözümü

Örnek 1. Sberbank'ta bir Nakit Katkı Büyüme Formülü A için bir diferansiyel denklem kullanılarak, yılda% P'nin altına girin.

Karar. Bir miktar, bir bankaya karmaşık bir yüzde P uyarınca yerleştirilirse, o zaman yılın sonuna kadar, boyutu olacaktır.

Bu homojen bir birinci dereceden fark denklemidir. Onun kararı

c, ilk koşullar kullanılarak hesaplanabilen bazı kalıcıdır.

Eğer alırsanız, c \u003d a, nerede

Bu, Sberbank'ta karmaşık bir yüzde altında döşenen para mevduatındaki artışın hesaplanması için iyi bilinen bir formüldür.

İkinci sıranın farklı denkleminin kararı.İkinci siparişin homojen olmayan farklı denklemini düşünün

ve karşılık gelen homojen denklem

K denklemin kökü ise

homojen bir denklemin çözümü vardır (6).

Gerçekten de, denklemin (6) 'nın sol kısmına ikame ederek (7), (7)

Böylece, K denklemin köküdür (7), sonra denklem çözeltisi (6). Denklem (7) denklem için karakteristik denklem denir (6). Ayrımcı karakteristik denklem (7) sıfırdan büyükse, denklem (7) iki farklı geçerli köklere sahiptir ve homojen bir denklemin (6) genel çözeltisi aşağıdaki forma sahiptir.

Kontrol soruları:

1. Izgara hangi işlevi denir?

2. Hangi denklem farkına varılır?

3. Hangi denklemler 1. sıraya göre fark denklem denir?

4. 1. siparişin tek tip olmayan fark denkleminin genel çözümü nasıldır?

5. Fark denkleminin temel adı verilen şey nedir?

6. Sabit katsayılarla homojen bir denklemin genel çözümü neden bir tür geometrik ilerlemeye sahiptir?

Görevler.

1. İlk sipariş denklemini ilk koşulla çözmek için bir prosedür yazın.

2. Belirli bir denklem için, genel ve özel çözümü analitik olarak bulun.

3. Tekrarlayan formül için hesaplamaların sonuçlarını analitik bir çözelti ile karşılaştırın.

4. İlk durumun bozulmasının, denklemin katsayılarının nasıl olduğunu, sağ tarafın sonucu etkilediğini öğrenin.

İlk siparişin fark denkleminin genel bir çözümünü bulun

. (1)

Nüks formülünü kullanırken homojen bir denklemin özel çözümü: . Her bir sonraki örgü düğümündeki Y'nin değeri olduğundan, bir mezaratör Q \u003d 2 ile geometrik bir ilerleme elde edilir:

Homojen olmayan denklemin özel çözümü formda bulacaktır: NEDEN A belirsiz bir katsayıdır. Ardından, ve değeri belirli bir sağ tarafa eşittir, bir belirsiz katsayı buluruz. Son olarak, genel çözüm: .

İlk durumu kullanarak bir sabit buluruz:. Son olarak, belirli bir birincil durum için belirli bir çözüm:

.

Çözümün sürdürülebilirliğini, kararın kendisinin ve ilk koşulun öfkesine yönelik sürdürülebilirliğini incelemek için aşağıdaki denklemi göz önünde bulundurun:

Öfkeli bir başlangıç \u200b\u200bdurumuyla

(İşte öfke büyüklüğü). Basılı ilk denklem (1), öfke için bir fark denklemi elde ediyoruz:

ilk durumla. Bu denklemin çözümü: . Herhangi bir düğümde küçük bir pertürbasyon bile, düğüm numarasındaki bir artışla katlanarak büyüyor.

Öğrencinin yukarıdakileri göstermelidir: ilk durumun bozulmalarının etkisini, doğru parçaların ve denklemin katsayılarının etkisini araştırmak için nüks formülünü değiştirir.

Günlükteki logadaki öğrenci numarasına göre, seçenek, C ++ programlama dilinde (Oluşturucu ortamının kullanımı) veya pascal'a izin verilmelidir (Delphi ortamına izin verilir).

1. Sayısal bir çözüm elde etmek için tekrarlayan formül.
2. Fark denkleminin analitik çözümü. Genel çözüm ve verilen ilk koşulları karşılayan özel çözüm.
3. Çözümün sürdürülebilirliğini, başlangıç \u200b\u200bdurumunun öfkelenmesine ve analitik olarak çözmeyi araştırın.

b) Denklem katsayılarının bozulması sırasında;

c) sağ kısmı bozulduğunda.

Konu: Fark Denklemleri 2 Prosedür

Kontrol soruları:

1. 2. Siparişin Fark Denklemlerine hangi denklemlere denir?

2. Karakteristik bir denklem nedir?

3. Karakteristik denklemin geçerli kökleri ile 2. sıranın homojen bir fark denkleminin özel çözümü neye benziyor?

4. Karakteristik denklemin karmaşık kökleri ile 2. sıranın homojen fark denkleminin belirli bir çözümü neye benziyor?

5. 2. sıranın düzgün olmayan fark denkleminin genel çözümü nasıldır?

6. 2. sıranın fark denkleminin sayısal ve analitik çözümü nedir?

7. Hangi görevler iyi durumda?

Görevler

1. Sınır koşulları olan ikinci dereceden denklem için bir fark sınırı değeri problemini çözme prosedürünü yazın.

2. Belirli bir denklem için, analitik olarak genel ve özel çözümü bulun ve koşullu kriteri kontrol edin.

3. Tekrarlayan formül için hesaplamaların sonuçlarını analitik bir çözelti ile karşılaştırın.

4. Sınır koşullarının ve sağ kısımın sonucu nasıl etkilediğini öğrenin.