Konumsal sayı sistemlerinde aritmetik işlemler

İkili sayı sistemindeki aritmetik işlemleri daha ayrıntılı olarak ele alalım. İkili sayı sisteminin aritmetiği, rakamların toplama, çıkarma ve çarpma tablolarının kullanımına dayanmaktadır. Aritmetik işlenenler tabloların en üst satırında ve ilk sütununda yer alır ve sonuçlar sütunların ve satırların kesişim noktasındadır:

Her işlemi ayrıntılı olarak ele alalım.

İlave.İkili toplama tablosu son derece basittir. Sadece bir durumda, ekleme yapıldığında 1+1, üst rütbeye transfer edilir. ,

Çıkarma.Çıkarma işlemi yapılırken mutlak değerde daima küçük sayı büyük sayıdan çıkarılır ve buna karşılık gelen işaret konur. Çıkarma tablosunda çubuklu 1, yüksek dereceli bir kredi anlamına gelir.

Çarpma işlemi.Çarpma işlemi, ondalık sayı sisteminde kullanılan olağan şemaya göre çarpım tablosu kullanılarak, çarpanın çarpanın bir sonraki basamağı ile art arda çarpılmasıyla gerçekleştirilir.

Bölünme. Bölme işlemi, ondalık sayı sistemindeki bölme işlemi algoritmasına benzer bir algoritmaya göre gerçekleştirilir.

Amaç:

İkili sistemde aritmetik işlemleri yapabilir.

Egzersiz yapmak

Egzersiz yapın 1. Egzersizi yapmadan önce konuyla ilgili materyali inceleyin 2.1.4 alt bölümünden.

1. Egzersiz

Görev Formülasyonu

1001 (2) ve 101 (2) sayıları verilmiştir. Bu sayıların toplamını bulunuz.

Çözüm

1001 (2)

+ 101 (2)

1. Tablo 2'ye göre iki birim eklerken 10 alıyoruz. En az anlamlı bitte şunu yazıyoruz 0 , ve 1 bir konum sola hareket ettirilir.

100 1 (2)

+ 10 1 (2)

2. İki sıfır eklerken 0 elde ederiz. En az anlamlı bitten aktarılan 1'i unutmayınız. 0 ve 1 eklerken şunu elde ederiz: 1 .

10 01 (2)

+ 1 01 (2)

3. 0 ve 1 eklerken şunu elde ederiz: 1 .

1 001 (2)

+ 101 (2)

1 110 (2)

4. Büyükler kategorisinde sadece 1 .

5 Kontrol edelim.

1001 (2) =9 (10) , 101 (2) =5 (10) , 1110 (2) =14 (10)

Egzersiz 2

Görev Formülasyonu

1101 (2) ve 11 (2) sayıları verilmiştir. Bu sayılar arasındaki farkı bulunuz.

Çözüm

0'dan bir çıkarıldığında, 0'dan farklı olan en yakın en yakın basamaktan bir birim alınır. Aynı zamanda, en yüksek basamakta yer alan bir birim, en az anlamlı basamakta 2 ve en yüksek arasındaki tüm basamaklarda bir birim verir. ve en düşük.

muayene

1101 2 =2 3 +2 2 +1=13 10

1010 2 =2 3 +2=10 10

Egzersiz 3

Görev Formülasyonu

111 (2) ve 101 (2) sayıları verilmiştir. Bu sayıların çarpımını bulunuz.

Çarpma işlemi tekrarlanan kaydırma ve toplama işlemine indirgenir

Örnek

muayene

111 2 =2 2 +2+1=7 10

101 2 =2 2 +1=5 10

100011 2 =2 5 +2+1=32+3=35 10 =7*5.

Mantıksal formüller için doğruluk tabloları oluşturma

Amaç

Verilen mantıksal formüller için doğruluk tabloları oluşturabilme.

Egzersiz yapmak

Egzersiz yapın 1. Egzersizi yapmadan önce konuyla ilgili materyali inceleyin 2.1.4, 2.1.5 alt bölümlerinden, 2.1.6, 2.1.7 .

1. Egzersiz

Görev Formülasyonu

Mantıksal bir formül verildi . Verilen formül için bir doğruluk tablosu oluşturun.

Çözüm:

1. Operasyonların yürütülmesine öncelik veriyoruz:

1) - ifadenin olumsuzlanması işlemi V. İşlemin sonucu bir değişkene atanır.

2) ve deyimlerinin mantıksal çarpımı (bağlacı) işlemidir. İşlemin sonucu bir değişkene atanır.

3) ifadelerin mantıksal sonucunun (içermesinin) işlemidir ve . İşlemlerin sonucu değişkene atanır.

2. Beş sütundan oluşan bir tablo oluşturuyoruz:

V İlk veri tablolar ifadelerin adlarını yazar A ve V. Kalan üç sütuna, mantıksal işlemlerin sonuçlarını atadığımız değişkenlerin adlarını yazıyoruz.

3. İlk veri tablolar, ifadelerin olası anlam kombinasyonlarıyla doldurulur A ve V(birinci seçenek, her iki ifadenin de doğru olduğu zamandır; ikinci ve üçüncü seçenek, ifadelerden birinin doğru ve diğerinin yanlış olduğu zamandır; dördüncü seçenek, her iki ifadenin de yanlış olduğu zamandır).

5. Sütunun değerlerini adla doldurun Y. Bunun için ana mantıksal işlemlerin doğruluk tablosuna göre bağlaç işleminin değerini belirliyoruz. Y=0 (ne zaman A=1 ve x=0), vb.

Algoritma ve programlamanın temelleri

Amaç

· Sözel algoritma uygulayabilme.

· Basit problemleri çözmek için akış şemaları şeklinde algoritmalar sunmayı ve bunlara dayalı programlar yazmayı öğrenin.

Not

Öğrenci görevi iki şekilde tamamlamalıdır:

· Sözlü bir algoritma çalıştırın ve sonucunu kaydedin.

· Sözel algoritmayı akış şeması ve program şeklinde sunun. Programı girin, çalıştırın, sonucu alın.

Egzersiz yapmak

Egzersizi tamamlayın 1. Egzersizi yapmadan önce konuyla ilgili materyali inceleyin.

1. Egzersiz

Doğrusal algoritma

Görev Formülasyonu

2) Bir blok diyagram çizin ve verilen bir algoritmaya göre bir program yazın.

Kelime Algoritması

Doğrusal algoritmanın bir sonucu olarak:

değişkenlerin değerini bulun: k, n, m.

Çözüm:

1) Sözel algoritma sırayla yürütülür.

· k = 8 değeri m =k+2=10 olarak değiştirilir.

· k = 8, m =10 değeri n =k+m =18 olarak değiştirilir.

· Yeni bir k = n – 2 * k =18 – 2 * 8 = 2 hesaplanır.

· Yeni m:=k+n=2+18=20 hesaplanır.

Doğrusal algoritma sonucunda değişkenlerin değerleri eşittir:

n=18, k=2, m=20.

2) Görev algoritmasının blok şeması Şekil 19'da gösterilmiştir.

Şekil 19'da sunulan algoritmanın programı.

k, m, n: tam sayı;

Writeln('k'yi giriniz'); (Ekranda bir ipucu görüntülenir - parantez içindeki metin)

readln(k); (Klavye giriş değişkeni k)

Writeln ('k=', k,' n=', n,' m=', m); (k, n, m değişkenlerinin çıktısı)

Operatörlere yönelik açıklamalar (yorumlar) süslü parantez içinde verilmiştir.

Şekil 20'de gösterilen blok diyagramda değişkenin değeri k klavyeden girilir. Bu nedenle, programda bu blok, klavyeden değişkenin herhangi bir değerini girmenize izin veren giriş operatörüne karşılık gelir. k.

Çözüm

İşlemlerin bir listesi olarak verilen doğrusal tip bir algoritma çok daha karmaşık olabilir. Sonuç olarak, sözlü hesaplama hatası olasılığı (görev 1) artar. Algoritmayı bir akış şeması şeklinde sunarsak, işlem sırası açıkça görülebilir. Algoritma, bir değişken tanıtılarak karmaşık hale getirilebilir. k klavyeden.

Algoritmayı bir program olarak yazmak, Şekil 20'deki akış şemasını izlerseniz büyük ölçüde basitleşir.

Blok 1, BEGIN (başlangıç) kelimesine karşılık gelir.

Blok 2, Readln (k) giriş operatörüne karşılık gelir.

3¸6 blokları Şekil 20'den kopyalanmıştır.

Blok 7, Writeln çıktı operatörüne ('k=', k,' n=', n,' m=', m) karşılık gelir.

Blok 8, END (programın sonu) kelimesine karşılık gelir.

Doğrusal tipte bir programın yürütülmesi sonucunda her değişken için yalnızca bir değer elde edilebilir. Klavyeden farklı bir değer girerseniz k, daha sonra çıktı ifadesi aşağıdaki sonucu üretecektir.

Bir değişken değiştiğinde bir değerler tablosu hesaplamanız gerekiyorsa k, daha sonra döngüsel bir algoritma seçilmelidir.

Şekil 20 - Doğrusal algoritmanın blok şeması

Egzersiz 2

Dallanma Algoritması

Görev Formülasyonu

1) Sözel bir algoritma çalıştırın. Sonucu yazın.

Kelime Algoritması

Algoritmanın bir parçası verilmiştir:

W > R ise, R=W+R, aksi takdirde W=R-W.

Bu algoritmanın başlangıç ​​değerleriyle yürütülmesinin bir sonucu olarak: W=-7, R=55

ekran şunu gösterecek: W R

Çözüm:

1) Başlangıç ​​değerleri için: W=-7, R=55, W > R koşulu sağlanmaz. Bu durumda, ikinci dal W=R-W=55+7=62 yürütülür.

Algoritma sonucunda değişkenlerin değerleri eşittir: W=62, R=55.

2) Sözel algoritmanın blok diyagramı Şekil 21'de gösterilmiştir.

Şekil 21'de, koşulun kontrol edildiği yeni bir blok 3 ortaya çıkmıştır. Durum kontrol bloğu, algoritmada iki yönde bir dal oluşturur.

Blok diyagram, w>r koşuluna bağlı olarak, algoritmanın dallarından birinin yürütüldüğünü gösterir. Ardından hesaplamanın sonucu görüntülenir.

Şekil 21 - Dallanma algoritması

Blok 2, Readln (w, r) giriş operatörüne karşılık gelir.

Blok 3, eğer w > r ise, o zaman w:= w + r ise r:=r-w ise koşul ifadesine karşılık gelir.

Blok 4, w = w+r atama operatörüne karşılık gelir.

Blok 5, atama operatörü r=r-w'ye karşılık gelir.

Blok 6, Writeln (' w =', w, ' r =', r) çıktı deyimine karşılık gelir.

Şekil 21'de gösterilen dallanma algoritmasının programı.

Writeln('w tipi, r'); (Ekranda bir ipucu görüntülenir - parantez içindeki metin)

readln(w,r); (w, r değişkenlerinin klavye girişi)

w > r ise

Writeln (' w =', w, ' r =', r); (sonuç çıktısı)

Egzersiz 3

algoritmalar. döngüler

Görev Formülasyonu

1) Sözel bir algoritma çalıştırın. Sonucu yazın.

2) Bir blok diyagram yapın ve algoritmaya göre bir program yazın.

Örnek 1

Döngü sayacına sahip döngüsel bir algoritma, sözlü bir açıklama şeklinde verilir.

1'den 3'e kadar i için döngü başlangıcı

döngü sonu; Sonuç d, s.

Çözüm:

1) Algoritma, sayacın aralığını belirtir Bence, burada üç döngünün gerçekleştirilmesi gerektiği görülebilir.

· Birinci çevrimin yürütülmesinden sonra değişkenlerin değerleri d=2, s=2'ye eşittir.

· Elde edilen değerler ikinci çevrimde değiştirilir.

· İkinci döngünün yürütülmesinden sonra değişkenlerin değerleri d=4, s=6'ya eşittir.

· İkinci çevrimde elde edilen değerler, üçüncü çevrim yürütüldüğünde yerine geçer.

· Algoritma yürütmesi sonucunda değişkenlerin değerleri: d=8, s=14'tür.

2) Sayaçlı sözel döngü algoritmasının blok şeması Şekil 22'de gösterilmiştir.

Şekil 22 - Sayaçlı bir döngü için algoritma

Blok 1, BEGIN hizmet kelimesine karşılık gelir.

Blok 2, readln(n) giriş ifadesine karşılık gelir.

· Blok 3, atama operatörlerine karşılık gelir s:=0; d:=1;

· Blok 4, i:=1 ila n do için sayacı olan çevrim operatörüne karşılık gelir.

Blok 5, atama operatörlerine karşılık gelir d: =2 * d; s: =s + d;

Blok 6, Writeln ('d=', d, 's = ', s) çıktı deyimine karşılık gelir;

Blok 7, END hizmet kelimesine karşılık gelir.

Şekil 22'de gösterilen sayaçlı döngü algoritmasının programı.

s, d, i, n:tamsayı;

writeln('döngü sayısını girin-n');

i:=1 için n do (parametreli döngü ifadesi)

Writeln (' d= ', d, ' s = ', s);

son; (döngü sonu ifadesi)

Örnek 2

Ön koşullu döngüsel bir algoritma, sözlü bir açıklama şeklinde verilir.

Değişkenlerin ilk değerleri ayarlanır:

Döngünün başlangıcı. y>x yürütülürken:

döngü sonu;

Döngü sayısını belirleyin k ve değişken değerler y döngüden çıktıktan sonra.

Çözüm

1) Döngü, y>x koşulu sağlanana kadar yürütülür.

y=5, x=1 olduğundan, y>x koşulu sağlanır ve değer y y = y - x formülüyle hesaplanır.

· Birinci çevrim y=4'ün yürütülmesinin bir sonucu olarak.

· İkinci çevrimde y>x koşulu sağlanır, ikinci çevrimden sonra y=3 değeri sağlanır.

· Üçüncü çevrimde y>x koşulu sağlanır, üçüncü çevrimin bitiminden sonra y=2 değeri sağlanır.

· Dördüncü döngüde, y>x koşulu sağlanır, döngünün yürütülmesinden sonra y=1 değeri.

· y=1, x=1 değerleri için y>x koşulu sağlanmaz, döngü yürütülmez. Bu nedenle, döngü sona erecek ve dört döngü yürütülecektir.

Döngüden çıkışta değişkenlerin değerleri eşit olacaktır: k=4, y=1, x=1.

2) Şekil 12'de gösterilen bir ön koşullu döngü algoritmasının programı.

k, x, y: tam sayı;

writeln('x,y girin');

while y>x do (ön koşullu döngü ifadesi)

writeln (' k=', k , ' y= ' , y);

son; (ön koşullu döngü sonu ifadesi)

Programda, döngü yürütülmeden önce k'nin başlangıç ​​değeri ayarlanmaz. Varsayılan olarak sıfırdır.

Örnek, bu örnekte y>x ise yürütülen bir önkoşullu bir döngü ifadesi kullanır. Döngüye girerken koşul kontrol edilir. Döngünün gövdesinde sayaç, tamamlanan döngülerin sayısını döndüren bir atama operatörü k:=k+1 olarak belirtilir.

Örnek3

Bir son koşullu döngü operatörünü kullanarak örnek 2'nin döngüsel algoritmasını yeniden yazın. Sonuç aynı olacaktır.

Şekil 13'te gösterilen bir son koşullu döngü algoritmasının programı.

k, x, y: tam sayı;

writeln ('x, y,' giriniz);

tekrarla (sonkoşullu döngü ifadesi)

readln (' k=' , k , ' y= ', y);

y'ye kadar<=x; {конец оператора цикла с постусловием }

Egzersiz 4

Tek Boyutlu Diziler

örnek 1

Tek boyutlu bir dizinin maksimum elemanını ve numarasını dizideki sırayla bulmak gerekir. Problemin algoritmasını akış şeması şeklinde gösteriniz ve buna göre bir program yazınız.

Çözüm

1) Arama algoritması: İçine dizinin 1. öğesini yazdığımız Max değişkenini girin. Daha sonra döngüde sonraki her bir elemanı Max ile karşılaştırırız. Geçerli öğede saklanan sayı, Maks'ta depolanandan büyükse, geçerli öğeden gelen sayı Maks'a yazılır.

Tek boyutlu bir dizinin maksimum elemanını ve numarasını bulan program:

x: tamsayı dizisi;

k, max, n, i: tamsayı;

Writeln ('n dizisinin eleman sayısını girin');

i için:=1 için n yapmak

readln(x[i]); (giriş dizisi öğeleri)

i için:=1 için n yapmak

x[i]>max ise

writeln(' maks = ' , maks , ' k =' , k);

Tek boyutlu bir dizinin maksimum elemanını ve sayısını bulma algoritmasının blok şeması Şekil 23'te gösterilmiştir.

Blok 2 - tek boyutlu bir dizinin eleman sayısının girişi.

Blok 3 - tek boyutlu bir dizinin öğelerinin girileceği döngünün başlangıcı.

Blok 4 - bir döngüde tek boyutlu bir dizinin elemanlarının girişi.

Blok 5 - tek boyutlu bir dizinin ilk öğesinin değeri, maksimum öğeye atanır.

Blok 6 - blok 7'de tek boyutlu bir dizinin maksimum elemanının koşulunun kontrol edildiği ve blok 8'de tek boyutlu bir dizinin maksimum elemanının değeri ve sayısının sabitlendiği döngünün başlangıcı.

Blok 9, tek boyutlu bir dizinin maksimum öğesini ve numarasını görüntüler.

Şekil 23 - Tek boyutlu bir dizinin maksimum elemanını ve sayısını bulmak için algoritma

2B diziler

Örnek 2

N satır ve M sütun içeren iki boyutlu bir dizi verildiğinde, 3 sütunun öğelerinin toplamını bulun.

Çözüm

tanımlayıcı tablo

3 sütunlu iki boyutlu bir dizinin elemanlarının toplamını bulan program:

a: tamsayı dizisi[ 1..10, 1..10];

s, i, j, n, m:tamsayı;

writeln('satır sayısını girin - n ve sütun - m');

i için:=l'den n'ye

j için:=l'den m'ye

writeln(' dizi öğesini girin a[ ', i , ' , ' , j , ' ]= ');

readln(a,); (dizi elemanı girişi)

writeln(a); (çıkış dizisi öğesi)

i için:=1 için n yapmak

s:=s+a[ ben, 3]; (3 sütunun elemanlarının toplamı)

writeln('s=',s,);

Ölçek

Görevleri tamamla kontrol işi konuya göre:

1. Sayı sistemleri.

2. Mantık cebiri.

3. Algoritma ve programlama.

Not: 1'e eşit iki sayı toplanırken bu basamakta 0 elde edilir ve 1. en anlamlı basamağa aktarılır.

Örnek_21: 101 (2) ve 11 (2) numaraları verilmiştir. Bu sayıların toplamını bulunuz.

burada 101 (2) = 5 (10), 11 (2) = 3 (10), 1000 (2) = 8 (10) .

Kontrol: 5+3=8.

0'dan bir çıkarıldığında, 0'dan farklı olan en yakın en yakın basamaktan bir birim alınır. Aynı zamanda, en yüksek basamakta yer alan bir birim, en az anlamlı basamakta 2 ve en yüksek arasındaki tüm basamaklarda bir birim verir. ve en düşük.

Örnek_22: 101 (2) ve 11 (2) numaraları verilmiştir. Bu sayılar arasındaki farkı bulunuz.

burada 101 (2) =5 (10), 11 (2) =3 (10), 10 (2) =2 (10) .

Kontrol: 5-3=2.

Çarpma işlemi tekrarlanan kaydırma ve toplama işlemine indirgenir.

Örnek_23: 11 (2) ve 10 (2) sayıları verilmiştir. Bu sayıların çarpımını bulunuz.

burada 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Kontrol edin: 3*2=6.

Sekizli sayı sisteminde aritmetik işlemler

Bu kategoride toplamı 8 olan iki sayı toplandığında 0 elde edilir ve 1. en yüksek sıraya aktarılır.

Örnek_24: 165 (8) ve 13 (8) numaraları verilmiştir. Bu sayıların toplamını bulunuz.

burada 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayı çıkarıldığında, 0'dan farklı en yakın basamaktan bir birim alınır. Aynı zamanda, en yüksek basamakta bulunan bir birim, en az anlamlı basamakta 8 verir.

Örnek_25: 114 (8) ve 15 (8) sayıları verilmiştir. Bu sayılar arasındaki farkı bulunuz.

burada 114 (8) =76 (10), 15 (8) =13 (10), 77 (8) =63 (10) .

Onaltılık sayı sisteminde aritmetik işlemler

İki sayı toplanırken toplam 16 bu kategoriye 0 yazılır ve 1 en üst sıraya aktarılır.

Örnek_26: 1B5 (16) ve 53 (16) numaraları verilmiştir. Bu sayıların toplamını bulunuz.

burada 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayı çıkarıldığında, 0'dan başka en yakın basamaktan bir birim alınır. Aynı zamanda, en yüksek basamakta bulunan bir birim, en az anlamlı basamakta 16 verir.

Örnek_27: 11A (16) ve 2C (16) numaraları verilmiştir. Bu sayılar arasındaki farkı bulunuz.

burada 11A (16) =282 (10), 2C (16) =44 (10), EE (16) =238 (10) .

Bilgisayar veri kodlaması

Bilgisayardaki veriler, farklı sıralarda birler ve sıfırlardan oluşan bir kod olarak temsil edilir.

kod– bilgi sunmak için bir dizi sembol. Kodlama, bilgiyi bir kod biçiminde sunma sürecidir.

Sayı kodları

Bir bilgisayarda aritmetik işlemler yaparken, doğrudan, ters ve ek olarak sayı kodları.

Doğrudan kod

Düz ikili sayının kodu (işaretli mutlak bir değer biçiminde temsil), değerini temsil eden tüm rakamların aşağıdaki gibi yazıldığı ikili sayının kendisidir. matematiksel gösterim, ve sayının işareti ikili basamak olarak yazılır.

Tamsayılar bir bilgisayarda işaretli veya işaretsiz olarak gösterilebilir.

İşaretsiz tamsayılar genellikle bir veya iki bayt bellek kaplar. İşaretli tamsayıları saklamak için bir, iki veya dört bayt tahsis edilirken, en önemli (en soldaki) bit, sayının işaretinin altına tahsis edilir. Sayı pozitif ise bu bite 0, negatif ise 1 yazılır.

Örnek_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

Bilgisayardaki pozitif sayılar her zaman doğrudan bir kod kullanılarak temsil edilir. Numaranın doğrudan kodu, makinenin hücresine numaranın girilmesiyle tamamen örtüşür. Negatif bir sayının doğrudan kodu, karşılık gelen pozitif sayının doğrudan kodundan yalnızca işaret bitinin içeriğinde farklıdır.

Doğrudan kod, sayıları bilgisayar belleğine kaydederken ve ayrıca çarpma ve bölme işlemlerini gerçekleştirirken kullanılır, ancak sayıları doğrudan kodda temsil etme biçimi, pozitif ve negatif sayıların toplanması ve çıkarılması yapıldığından hesaplamalarda kullanım için uygun değildir. farklıdır ve bu nedenle işaret işlenen bitlerini analiz etmek gerekir. Bu nedenle, doğrudan kod, ALU'daki tamsayılar üzerinde aritmetik işlemler uygularken pratik olarak kullanılmaz. Ancak negatif tamsayılar bilgisayarda doğrudan bir kodla temsil edilmez. Bu format yerine sayıları tersten gösteren formatlar ve ek kodlar yaygınlaşmıştır.

ters kod

ters kod pozitif bir sayının doğrudan bir sayı ile çakışması ve negatif bir sayı yazarken, sayının işaretini temsil eden rakam dışındaki tüm rakamları zıt olanlarla değiştirilir (0, 1 ile değiştirilir ve 1, 0 ile değiştirilir) ).

Örnek_29:

Örnek_30:

Negatif bir sayının doğrudan kodunu ters koddan geri yüklemek için, sayının işaretini temsil eden rakam dışındaki tüm rakamlar zıt olanlarla değiştirilmelidir.

Ek kod

Ek kod pozitif bir sayının sayısı doğrudan olanla çakışır ve ters koda 1 eklenerek negatif bir sayının kodu oluşturulur.

Örnek_31:

Örnek_32:

Örnek_33:

-32 (10) bir tamsayı için ek bir kod yazın.

1. 32 (10) sayısını ikili sayı sistemine dönüştürdükten sonra şunu elde ederiz:

32 (10) =100000 (2) .

2. Pozitif sayı 32 (10) için doğrudan kod 0010 0000'dır.

3. Negatif bir sayı -32 (10) için, doğrudan kod 1010 0000'dır.

4. -32 (10) sayısının ters kodu 1101 1111'dir.

5. -32 (10) numarasının ek kodu 1110 0000'dır.

Örnek_34:

Sayının ek kodu 0011 1011'dir. Sayının değerini ondalık gösterimde bulun.

1. Numaranın ilk (işaret) basamağı 0 011 1011 0'dır, yani sayı pozitiftir.

2. Pozitif bir sayı için ek, ters ve doğrudan kodlar aynıdır.

3. İkili sistemdeki sayı, doğrudan kod - 111011 (2) kaydından elde edilir (en yüksek rakamlardan sıfırları atarız).

4. 111011 (2) sayısı ondalık sayı sistemine çevrildikten sonra 59 (10) olur.

Örnek_35:

Sayının ek kodu 1011 1011'dir. Sayının değerini ondalık gösterimde bulun.

1. Bir sayının basamağı 1 011 1011 1'dir, yani sayı negatiftir.

2. Numaranın ters kodunu belirlemek için ek koddan bir tane çıkarın. ters kod 1 011 1010.

3. Doğrudan kod, sayının tüm ikili basamaklarını zıt olanlarla değiştirerek (1 için 0, 1 için 0) tersten elde edilir. Numaranın doğrudan kodu 1 100 0101 (işaret bitinde 1 yazıyoruz).

4. İkili sistemdeki sayı, doğrudan kodun kaydından elde edilir - -100 0101 (2).

4. Ondalık sayıya dönüştürüldükten sonra -1000101 (2) sayısı -69 (10)'a eşittir.

Benzer bilgiler.

Çeşitli sayı sistemlerinde ve tabanlarında değerleri belirleme görevleri

1. Egzersiz.@, $, &, % karakterleri iki basamaklı ardışık ikili sayılarla kodlanmıştır. İlk karakter 00 sayısına karşılık gelir. Bu karakterler kullanılarak şu sıra kodlanmıştır: $% [e-posta korumalı]$. Bu sıranın kodunu çözün ve sonucu onaltılık sayıya dönüştürün.

Çözüm.

1. İkili sayıları kodladıkları karakterlerle karşılaştıralım:
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %

3. İkili sayıyı onaltılık sayı sistemine çevirelim:
0111 1010 0001 = 7A1

Yanıt vermek. 7A1 16 .

Görev 2. Bahçede 33 adet elma ağacı, 22 adet elma ağacı olmak üzere 100 adet meyve ağacı bulunmaktadır.
- armut, 16 x - erik, 17 x - kiraz. (x) sayı sisteminin tabanı nedir?

Çözüm.

1. Tüm terimlerin iki basamaklı sayılar olduğuna dikkat edin. Herhangi bir sayı sisteminde, aşağıdaki gibi temsil edilebilirler:
a * x 1 + b * x 0 = a ve b, sayının karşılık gelen basamaklarının basamaklarıdır.
Üç basamaklı bir sayı için şöyle olurdu:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = eksen 2 + bx + c

2. Problemin durumu şu şekildedir:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Formüllerdeki sayıları değiştirin:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. İkinci dereceden denklemi çözün:
-x2 + 7x + 18 = 0
D \u003d 7 2 - 4 * (-1) * 18 \u003d 49 + 72 \u003d 121. Kare kök D'den 11'dir.
kökler ikinci dereceden denklem:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 veya x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Negatif bir sayı, sayı sisteminin temeli olamaz. Yani x sadece 9'a eşit olabilir.

Yanıt vermek. Sayı sisteminin istenen tabanı 9'dur.

Görev 3. Bazı tabanlı bir sayı sisteminde, 12 ondalık sayısı 110 olarak yazılır. Bu tabanı bulun.

Çözüm.

İlk olarak konumsal sayı sistemlerinde sayı yazma formülü üzerinden 110 sayısını yazalım ve ondalık sayı sistemindeki değeri bulalım ve ardından kaba kuvvetle tabanı bulalım.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

12 almamız gerekiyor. 2: 2 2 + 2 = 6'yı deniyoruz. 3: 3 2 + 3 = 12'yi deniyoruz.

Yani sayı sisteminin tabanı 3'tür.

Yanıt vermek. Sayı sisteminin istenen tabanı 3'tür.

Onaltılık ve sekizli sayı sistemleri

1. Egzersiz. Onaltılık sayıdaki hangi sayı 11000101 sayısına karşılık gelir?

Çözüm.

İkili bir sayıyı onaltılıya dönüştürürken, ilki sondan başlayarak dört basamaklı gruplara bölünür. Basamak sayısı dörde bölünemiyorsa, ilk dördü önüne sıfır gelecek şekilde eklenir. Her dörtlü benzersiz bir şekilde onaltılık sayı sisteminin bir basamağına karşılık gelir.

11000101 = 1100 0101 = C5 16

Gözünüzün önünde bir yazışma masası olmasına gerek yok. İlk 15 sayının ikili sayımı akılda yapılabilir veya sıralı olarak boyanabilir. Unutulmamalıdır ki ondalık olarak 10, onaltılık olarak A, 11 ila B, 12 ila C, 13 ila D, 14 ila E, 15 ila F'ye karşılık gelir.

Yanıt vermek. 11000101 = C5 16

Görev 2. x = 10100 ve y = 10101 ile x ve y ikili sayılarının toplamını hesaplayın. Sonuçları sekizlik bir sayı olarak ifade edin.

Çözüm.

İki sayı ekleyelim. İkili ve ondalık aritmetik kuralları aynıdır:

İkili bir sayıyı sekizliğe dönüştürürken, ilki sondan başlayarak üç basamaklı gruplara bölünür. Basamak sayısı üçe bölünemiyorsa, ilk üçü önünde sıfır olacak şekilde eklenir:

Yanıt vermek. Sekizli olarak gösterilen 10100 ve 10101 ikili sayılarının toplamı 51'dir.

İkili sayı sistemine dönüştürün

1. Egzersiz.İkili sayı sisteminde 37 sayısı nedir?

Çözüm.

2'ye bölüp kalanları ters sırada birleştirerek dönüştürebilirsiniz.

Başka bir yol, sayıyı, en yüksek olandan başlayarak, hesaplanan sonucu verilen sayıdan daha az olan iki kuvvetin toplamına genişletmektir. Çevirirken, bir sayının eksik güçleri sıfırlarla değiştirilmelidir:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Yanıt vermek. 37 10 = 100101 2 .

Görev 2. 73 ondalık sayısının ikili gösteriminde kaç tane anlamlı sıfır vardır?

Çözüm.

73 sayısını, en yüksekten başlayarak ve eksik kuvvetleri sıfırlarla ve mevcut olanları bir ile çarparak iki kuvvetlerin toplamına ayırırız:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Yanıt vermek. 73 numaralı ondalık sayı için ikili gösterimde dört önemli sıfır vardır.

Görev 3. x = D2 16 , y = 37 8 için x ve y'nin toplamını hesaplayın . Sonucu ikili sayı sisteminde sunun.

Çözüm.

Onaltılık bir sayının her bir basamağının dört ikili basamaktan oluştuğunu, sekizli bir sayının her bir basamağının üç olduğunu hatırlayın:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Sayıları ekleyelim:

Yanıt vermek.İkili sistemde temsil edilen D2 16 ve y = 37 8 sayılarının toplamı 11110001'dir.

Görev 4. Verilen: a= D7 16 , B= 331 8 . sayılardan hangisi C, ikili gösterimde yazılmış, koşulu karşılıyor a< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Çözüm.

Sayıları ikili sayı sistemine çevirelim:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Tüm sayıların ilk dört hanesi aynıdır (1101). Bu nedenle, karşılaştırma, en az anlamlı dört basamaklı bir karşılaştırmaya basitleştirilmiştir.

Listedeki ilk numara numaradır B, bu nedenle, uymuyor.

İkinci sayı şundan büyük B. Üçüncü sayı a.

Yalnızca dördüncü sayı uyuyor: 0111< 1000 < 1001.

Yanıt vermek. Dördüncü seçenek (11011000) koşulu karşılar a< c < b .

Ondalık sayı sistemine dönüştür

1. Egzersiz. Ondalık sayı sisteminde hangi sayı 24 16 sayısına karşılık gelir?

Çözüm.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Yanıt vermek. 24 16 = 36 10

Görev 2. X = 12 4 + 4 5 + 101 2 olduğu bilinmektedir. Ondalık gösterimde X sayısı nedir?

Çözüm.

12 4 = 1 * 4 1 + 2 * 4 0 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Sayıyı bulun: X = 6 + 4 + 5 = 15

Yanıt vermek. X = 15 10

Görev 3. 10 2 + 45 8 + 10 16 toplamının değerini ondalık gösterimde hesaplayın.

Çözüm.

Her terimi ondalık sayı sistemine çevirelim:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Toplam: 2 + 37 + 16 = 55

Yanıt vermek. 55 10

İkili sistemde aritmetik işlemler

Sayı sistemleri

Konu numarası:

İkili sayı sisteminde aritmetik işlemler ondalık sayı sisteminde olduğu gibi aynı kurallara göre yapılır, çünkü ikisi de konumsaldır (sekizlik, onaltılık vb. ile birlikte).

İlave

Tek basamaklı ikili sayıların eklenmesi aşağıdaki kurallara göre yapılır:

İkinci durumda, iki birim eklendiğinde, düşük sıralı bit taşar ve birim, yüksek sıralı bit'e aktarılır. Toplam sayı sisteminin tabanına eşitse (bu durumda bu 2 sayısıdır) veya ondan büyükse (bu ikili sayı sistemi için geçerli değildir) bir taşma meydana gelir.

Örneğin, herhangi iki ikili sayı ekleyelim:

Çıkarma

Tek basamaklı ikili sayıların çıkarılması aşağıdaki kurallara göre yapılır:

0 - 1 = (yüksek dereceden ödünç alma) 1

Çarpma işlemi

Tek basamaklı ikili sayıların çarpımı aşağıdaki kurallara göre yapılır:

Bölünme

Bölme, ondalık sayı sistemindekiyle aynı şekilde gerçekleştirilir: