Eşitlik kavramını, yani türlerinden biri olan sayısal eşitlikleri inceledikten sonra, bir başka önemli tür olan denklemlere geçebiliriz. Bu materyal çerçevesinde denklem ve kökünün ne olduğunu açıklayacağız, temel tanımları formüle edeceğiz ve çeşitli denklem örnekleri ve köklerini bulacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

denklem kavramı

Genellikle bir denklem kavramı okul cebir dersinin en başında incelenir. Daha sonra aşağıdaki gibi tanımlanır:

tanım 1

Denklem eşitlik denir bilinmeyen numara bulmak.

Bilinmeyenleri küçük Latin harfleriyle belirtmek gelenekseldir, örneğin, t, r, m, vb., ancak çoğu zaman x, y, z kullanılır. Başka bir deyişle, denklem kaydının biçimini belirler, yani eşitlik yalnızca belirli bir forma indirgendiğinde bir denklem olacaktır - bulunması gereken bir harf, bir harf içermesi gerekir.

İşte en basit denklemlerin bazı örnekleri. Bunlar, x = 5, y = 6, vb. biçimindeki eşitliklerin yanı sıra aşağıdakileri içeren eşitlikler olabilir. Aritmetik işlemler, örneğin, x + 7 = 38, z - 4 = 2,8 t = 4, 6: x = 3.

Parantez kavramı çalışıldıktan sonra parantezli denklem kavramı ortaya çıkar. Bunlara 7 (x - 1) = 19, x + 6 (x + 6 (x - 8)) = 3 vb. dahildir, örneğin x + 2 + 4 x - 2 - x = 10 denkleminde. Ayrıca bilinmeyenler sadece solda değil aynı zamanda sağda veya her iki kısımda da bulunabilir, örneğin x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 veya 8 x - 9 = 2 (x + 17).

Ayrıca öğrenciler bütün kavramı ile tanıştıktan sonra gerçek, rasyonel, doğal sayılar, logaritmalar, kökler ve güçlerin yanı sıra, tüm bu nesneleri içeren yeni denklemler ortaya çıkıyor. Bu tür ifadelerin örneklerine ayrı bir makale ayırdık.

7. sınıf programında değişken kavramı ilk kez karşımıza çıkıyor. Bunlar farklı anlamlar alabilen harflerdir (daha fazla ayrıntı için sayısal, değişmez ve değişken ifadeler hakkındaki makaleye bakın). Bu kavrama dayanarak, denklemi yeniden tanımlayabiliriz:

tanım 2

denklem Değerini değerlendirmek istediğiniz değişkeni içeren bir eşitliktir.

Yani, örneğin, x + 3 = 6 x + 7 ifadesi, x değişkenli bir denklemdir ve 3 y - 1 + y = 0, y değişkenli bir denklemdir.

Bir denklem bir değil iki veya daha fazla değişken içerebilir. Bunlara sırasıyla iki, üç değişkenli denklemler vb. denir. Tanımı yazalım:

tanım 3

İki (üç, dört veya daha fazla) değişkenli denklemler, karşılık gelen sayıda bilinmeyen içeren denklemlerdir.

Örneğin, 3, 7 x + 0, 6 = 1 biçimindeki bir eşitlik, bir x değişkenli bir denklemdir ve x - z = 5, x ve z olmak üzere iki değişkenli bir denklemdir. Üç değişkenli bir denklem örneği, x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 olacaktır.

Denklemin kökü

Bir denklemden bahsettiğimizde, hemen kök kavramını tanımlamamız gerekir. Bunun ne anlama geldiğini açıklamaya çalışalım.

örnek 1

Bize bir değişken içeren bir tür denklem verildi. Bilinmeyen harfin yerine bir sayı koyarsak, denklem sayısal bir eşitlik olur - doğru veya yanlış. Yani, denklemde a + 1 = 5 harfini 2 ile değiştirirsek, eşitlik yanlış olur ve 4 ise, o zaman ortaya çıkar. gerçek eşitlik 4 + 1 = 5 .

Değişkenin doğru eşitliğe dönüşeceği değerlerle tam olarak ilgileniyoruz. Bunlara kökler veya çözümler denir. Tanımını yazalım.

tanım 4

denklemin kökü verilen bir denklemi gerçek bir eşitliğe dönüştüren bir değişkenin değeri olarak adlandırılır.

Kök ayrıca bir çözüm olarak da adlandırılabilir veya bunun tersi de olabilir - bu kavramların her ikisi de aynı anlama gelir.

Örnek 2

Bu tanımı netleştirmek için bir örnek alalım. Yukarıda a + 1 = 5 denklemini verdik. Tanıma göre, bu durumda kök 4 olacaktır, çünkü bir harf yerine ikame edildiğinde doğru sayısal eşitliği verir ve 2 + 1 = 5 yanlış eşitliğe karşılık geldiği için iki çözüm olmaz.

Bir denklemin kaç kökü olabilir? Herhangi bir denklemin kökü var mı? Bu soruları cevaplayalım.

Tek kökü olmayan denklemler de vardır. Bir örnek 0 x = 5 olacaktır. İçine sonsuz miktarda koyabiliriz farklı sayılar, ancak hiçbiri onu gerçek bir eşitlik yapmaz, çünkü 0 ile çarpmak her zaman 0 verir.

Çok köklü denklemler de vardır. Hem sonlu hem de sonsuz sayıda köke sahip olabilirler.

Örnek 3

Yani, x - 2 = 4 denkleminde sadece bir kök var - altı, x 2 = 9'da iki kök var - üç ve eksi üç, x (x - 1) (x - 2) = 0'da üç tane var kökler - sıfır, bir ve iki, x = x denkleminde sonsuz sayıda kök vardır.

Şimdi denklemin köklerinin nasıl doğru yazılacağını açıklayalım. Eğer mevcut değillerse, şöyle yazarız: "denklemin kökü yoktur." Bu durumda boş kümenin ∅ işareti de gösterilebilir. Kökler varsa, bunları virgülle ayırarak yazarız veya küme parantezleri içine alarak bir kümenin öğeleri olarak belirtiriz. Yani, herhangi bir denklemin üç kökü varsa - 2, 1 ve 5, o zaman - 2, 1, 5 veya (- 2, 1, 5) yazarız.

Köklerin en basit eşitlikler şeklinde yazılmasına izin verilir. Yani, denklemdeki bilinmeyen y harfi ile gösteriliyorsa ve kökleri 2 ve 7 ise, o zaman y = 2 ve y = 7 yazarız. Bazen harflere alt simgeler eklenir, örneğin, x 1 = 3, x 2 = 5. Böylece köklerin numaralarını belirtiyoruz. Denklemin sonsuz sayıda çözümü varsa, cevabı sayısal bir aralık olarak yazarız veya genel kabul görmüş gösterimi kullanırız: doğal sayılar kümesi N, tam sayılar - Z, gerçek - R ile gösterilir. Diyelim ki, denklemin çözümünün herhangi bir tam sayı olacağını yazmamız gerekiyorsa, o zaman x ∈ Z yazıyoruz ve birden dokuza kadar herhangi bir reel sayı varsa, o zaman y ∈ 1, 9 yazıyoruz.

Bir denklemin iki, üç veya daha fazla kökü olduğunda, kural olarak, köklerden değil, denklemin çözümlerinden bahsedilir. Birkaç değişkenli bir denklemin çözümünün tanımını formüle edelim.

tanım 5

İki, üç veya daha fazla değişkenli bir denklemin çözümü, verilen denklemi gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştüren değişkenlerin iki, üç veya daha fazla değeridir.

Tanımı örneklerle açıklayalım.

Örnek 4

Diyelim ki iki değişkenli bir denklem olan x + y = 7 ifademiz var. Birinci yerine bir, ikinci yerine iki koyalım. Yanlış bir eşitlik elde edeceğiz, bu da bu değer çiftinin bir çözüm olmayacağı anlamına geliyor. bu denklem... 3 ve 4'ü bir çift alırsak, eşitlik gerçekleşir, bu da bir çözüm bulduğumuz anlamına gelir.

Bu tür denklemlerin kökleri de olmayabilir veya sonsuz sayıda olabilir. İki, üç, dört veya daha fazla değer yazmamız gerekirse, bunları parantez içinde virgülle ayırarak yazarız. Yani yukarıdaki örnekte cevap (3, 4) gibi olacaktır.

Uygulamada, çoğu zaman bir değişken içeren denklemlerle uğraşmak zorundadır. Denklemleri çözmeye ayrılmış makalede bunları çözmek için algoritmayı ayrıntılı olarak ele alacağız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Matematikte denklemlerin çözümünün özel bir yeri vardır. Bu süreçten önce, öğrencinin denklemleri çözmenin yollarını öğrendiği, formlarını belirlediği ve otomatizmi tamamlama becerisini kazandığı saatlerce teori çalışması gelir. Bununla birlikte, kökleri aramak her zaman mantıklı değildir, çünkü onlar basitçe var olmayabilirler. Kök bulmak için özel teknikler vardır. Bu yazıda ana işlevleri, tanım alanlarını ve köklerinin olmadığı durumları analiz edeceğiz.

Hangi denklemin kökü yoktur?

Denklemin aynı şekilde doğru olduğu hiçbir gerçek argüman yoksa, bir denklemin kökü yoktur. Bir meslekten olmayan için, bu formülasyon, çoğu matematiksel teorem ve formül gibi, çok belirsiz ve soyut görünüyor, ancak bu teoride. Uygulamada, her şey son derece basit hale gelir. Örneğin: 0 * x = -53 denkleminin çözümü yoktur, çünkü sıfır ile çarpımı sıfırdan başka bir şey verecek böyle bir x sayısı yoktur.

Şimdi en temel denklem türlerine bakacağız.

1. Doğrusal denklem

Sağ ve sol tarafları formda temsil ediliyorsa bir denklem lineer olarak adlandırılır. doğrusal fonksiyonlar: ax + b = cx + d veya genelleştirilmiş biçimde kx + b = 0. Burada a, b, c, d bilinen sayılardır ve x bilinmeyen bir niceliktir. Hangi denklemin kökü yoktur? Doğrusal denklem örnekleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Temel olarak, lineer denklemler, sayısal kısmın bir kısma ve x ile içeriğin diğerine aktarılmasıyla çözülür. m ve n'nin sayı olduğu ve x'in bilinmeyen olduğu mx = n biçiminde bir denklem elde edilir. x'i bulmak için her iki parçayı da m'ye bölmek yeterlidir. Sonra x = n / m. Genel olarak, lineer denklemlerin yalnızca bir kökü vardır, ancak sonsuz sayıda kökün olduğu veya hiç kökün olmadığı durumlar vardır. m = 0 ve n = 0 için denklem 0 * x = 0 şeklini alır. Böyle bir denklemin çözümü kesinlikle herhangi bir sayı olacaktır.

Ancak, hangi denklemin kökü yoktur?

m = 0 ve n = 0 için denklemin reel sayılar kümesinde kökü yoktur. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - bu denklemlerin kökü yoktur.

2. İkinci dereceden denklem

İkinci dereceden bir denklem, a = 0 için ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki bir denklemdir. En yaygın çözüm diskriminant yoluyladır. Diskriminant bulma formülü ikinci dereceden denklem: D = b 2 - 4 * a * c. Daha sonra iki kök x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a vardır.

D> 0 için denklemin iki kökü vardır, D = 0 için - bir kök. Ama hangi ikinci dereceden denklemin kökü yoktur? İkinci dereceden bir denklemin kök sayısını gözlemlemenin en kolay yolu, bir parabol olan fonksiyon grafiğidir. a> 0 için dallar yukarı doğru yönlendirilir, a için< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Diskriminantı hesaplamadan kök sayısını görsel olarak da belirleyebilirsiniz. Bunu yapmak için parabolün tepe noktasını bulmanız ve dalların hangi yöne yönlendirildiğini belirlemeniz gerekir. Köşenin x koordinatını aşağıdaki formülü kullanarak belirleyebilirsiniz: x 0 = -b / 2a. Bu durumda, tepe noktasının y-koordinatı, orijinal denklemdeki x 0 değerini basitçe değiştirerek bulunur.

İkinci dereceden x 2 - 8x + 72 = 0 denkleminin kökü yoktur, çünkü D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224'e sahiptir. Bu, parabolün apsis eksenine değmediği ve fonksiyonun asla 0 değerini almadığı, dolayısıyla denklemin gerçek kökleri olmadığı anlamına gelir.

3. Trigonometrik denklemler

Trigonometrik fonksiyonlar bir trigonometrik daire üzerinde düşünülür, ancak bir Kartezyen koordinat sisteminde de temsil edilebilirler. Bu yazıda iki ana konuya bakacağız. trigonometrik fonksiyonlar ve denklemleri: sinx ve cosx. Bu fonksiyonlar yarıçapı 1 olan trigonometrik bir daire oluşturduğundan, |sinx | ve |cosx | 1'den büyük olamaz. Peki hangi sinx denkleminin kökü yoktur? Düşünmek fonksiyon grafiği Aşağıdaki resimde gösterilen sinx.

Fonksiyonun simetrik olduğunu ve 2pi tekrar periyoduna sahip olduğunu görüyoruz. Buna dayanarak, bu fonksiyonun maksimum değerinin 1, minimum değerinin -1 olabileceğini söyleyebiliriz. Örneğin, modül birden büyük olduğundan, cosx = 5 ifadesinin kökleri olmayacaktır.

Bu, trigonometrik denklemlerin en basit örneğidir. Aslında bunları çözmek sayfalarca sürebilir ve sonunda yanlış formülü kullandığınızı anlarsınız ve her şeye yeniden başlamanız gerekir. Bazen, köklerin doğru bulunmasıyla bile, ODZ üzerindeki kısıtlamaları hesaba katmayı unutabilirsiniz, bu yüzden cevapta fazladan bir kök veya aralık belirir ve tüm cevap hatalı bir cevap haline gelir. Bu nedenle, tüm kısıtlamalara kesinlikle uyun, çünkü tüm kökler görevin kapsamına uymaz.

4. Denklem sistemleri

Bir denklem sistemi, küme veya köşeli parantezlerle birleştirilmiş bir denklemler topluluğudur. Kıvrımlı parantezler, tüm denklemlerin ortak yürütülmesini gösterir. Yani, denklemlerden en az birinin kökü yoksa veya bir diğeriyle çelişiyorsa, tüm sistemin çözümü yoktur. Köşeli parantezler "veya" kelimesini temsil eder. Bu, sistemin denklemlerinden en az birinin çözümü varsa, tüm sistemin bir çözümü olduğu anlamına gelir.

c sisteminin cevabı, bireysel denklemlerin tüm köklerinin kümesidir. Ve kaşlı ayraç sistemleri sadece ortak kökler... Denklem sistemleri kesinlikle çeşitli işlevleri içerebilir, bu nedenle bu tür bir karmaşıklık, hangi denklemin kökü olmadığını hemen söylemenize izin vermez.

Problemli kitaplarda ve ders kitaplarında farklı denklem türleri vardır: kökleri olanlar ve olmayanlar. Her şeyden önce, kökleri bulamıyorsanız, hiç orada olmadıklarını varsaymayın. Belki bir yerde bir hata yaptınız, o zaman kararınızı dikkatlice iki kez kontrol etmeniz yeterlidir.

En temel denklemleri ve türlerini inceledik. Şimdi hangi denklemin kökü olmadığını söyleyebilirsiniz. Çoğu durumda, bu hiç de zor değildir. Denklemleri çözmede başarı sadece dikkat ve konsantrasyon gerektirir. Daha fazla pratik yapın, bu, materyalde çok daha iyi ve daha hızlı gezinmenize yardımcı olacaktır.

Bu nedenle, aşağıdaki durumlarda denklemin kökü yoktur:

• v Doğrusal Denklem mx = n değeri m = 0 ve n = 0;
• ikinci dereceden bir denklemde, diskriminant sıfırdan küçükse;
• cosx = m / sinx = n biçimindeki bir trigonometrik denklemde, eğer | m | > 0, |n | > 0;
• bir denklem sisteminde, en az bir denklemin kökü yoksa küme parantezli ve tüm denklemlerin kökü yoksa köşeli parantezli.

İkinci dereceden bir denklem düşünün:
(1) .
ikinci dereceden kökler(1) aşağıdaki formüllerle belirlenir:
; .
Bu formüller şu şekilde birleştirilebilir:
.
İkinci dereceden denklemin kökleri bilindiğinde, ikinci derece polinom, faktörlerin bir ürünü olarak temsil edilebilir (faktörleştirilmiş):
.

Ayrıca, bunların gerçek sayılar olduğunu varsayıyoruz.
Düşünmek ikinci dereceden diskriminant:
.
Diskriminant pozitifse, ikinci dereceden denklem (1) iki farklı gerçek köke sahiptir:
; .
O halde kare üç terimlinin çarpanlara ayrılması:
.
Diskriminant sıfır ise, ikinci dereceden denklem (1) iki çoklu (eşit) gerçek köke sahiptir:
.
çarpanlara ayırma:
.
Diskriminant negatifse, ikinci dereceden denklem (1) iki karmaşık eşlenik köke sahiptir:
;
.
İşte hayali bir birim;
ve - köklerin gerçek ve hayali kısımları:
; .
O zamanlar

.

Grafik yorumlama

işlevi çizerseniz
,
hangi bir parabol ise, grafiğin eksenle kesişme noktaları denklemin kökleri olacaktır.
.
Grafik apsis eksenini (ekseni) iki noktada kestiğinde.
Grafik bir noktada apsis eksenine dokunduğunda.
Grafik apsis eksenini geçmediğinde.

Aşağıda bu tür grafiklere örnekler verilmiştir.

Faydalı İkinci Dereceden Denklemler

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için bir formülün türetilmesi

Dönüşümler gerçekleştirir ve formüller (f.1) ve (f.3) uygularız:




,
nerede
; .

Böylece, formda ikinci dereceden bir polinom için bir formül bulduk:
.
Dolayısıyla denklemin

gerçekleştirilen
ve .
Yani, onlar ikinci dereceden denklemin kökleridir.
.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini belirleme örnekleri

örnek 1

(1.1) .

.
Denklemimiz (1.1) ile karşılaştırıldığında, katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant pozitif olduğu için denklemin iki gerçek kökü vardır:
;
;
.

Bundan kare üç terimlinin çarpanlara ayrılmasını elde ederiz:

.

Fonksiyon grafiği y = 2 x 2 + 7 x + 3 apsis eksenini iki noktada keser.

fonksiyonu çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Apsis eksenini (ekseni) iki noktada keser:
ve .
Bu noktalar orijinal denklemin (1.1) kökleridir.

;
;
.

Örnek 2

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(2.1) .

İkinci dereceden denklemi genel formda yazalım:
.
Orijinal denklem (2.1) ile karşılaştırıldığında, katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant sıfır olduğundan, denklemin iki çoklu (eşit) kökü vardır:
;
.

O zaman üç terimlinin çarpanlara ayrılması:
.

Fonksiyon grafiği y = x 2 - 4 x + 4 apsis eksenine bir noktada temas eder.

fonksiyonu çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Apsis eksenine (eksene) bir noktada temas eder:
.
Bu nokta, orijinal denklemin (2.1) köküdür. Bu kök, çarpanlara ayırma işlemine iki kez girdiği için:
,
o zaman böyle bir kök genellikle çoklu olarak adlandırılır. Yani iki eşit kök olduğuna inanırlar:
.

;
.

Örnek 3

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(3.1) .

İkinci dereceden denklemi genel formda yazalım:
(1) .
Orijinal denklemi (3.1) yeniden yazalım:
.
(1) ile karşılaştırıldığında, katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant negatiftir. Bu nedenle, geçerli kökler yoktur.

Karmaşık kökler bulunabilir:
;
;

fonksiyonu çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Apsis (eksen) üzerinden geçmez. Bu nedenle, geçerli kökler yoktur.

Geçerli kök yok. Karmaşık kökler:
;
;
.