Ayrılık zamanı kök çıkarma yöntemleri... Köklerin özelliklerine, özellikle de herhangi bir negatif olmayan sayı b için geçerli olan eşitlik üzerine kuruludurlar.

Aşağıda, sırayla kök çıkarmanın ana yöntemlerine bir göz atacağız.

En basit durumla başlayalım - bir kareler tablosu, bir küp tablosu vb. kullanarak doğal sayılardan kök çıkarmak.

Eğer kareler, küpler vb. elde değil, o zaman radikal sayının asal faktörlere ayrıştırılmasını ima eden kökü çıkarma yöntemini kullanmak mantıklıdır.

Ayrı olarak, garip göstergelere sahip kökler için neyin mümkün olduğu üzerinde durmaya değer.

Son olarak, kök değerinin basamaklarını sırayla bulmanın bir yoluna bakalım.

Başlayalım.

Bir kareler tablosu, bir küp tablosu vb.

En basit durumlarda, kökleri çıkarmak için kareler, küpler vb. tabloları kullanabilirsiniz. Bu tablolar nelerdir?

0'dan 99'a kadar tam sayıların kareleri tablosu (aşağıda gösterilmiştir) iki bölgeden oluşur. Tablonun ilk bölgesi gri bir arka plan üzerinde bulunur, belirli bir satır ve belirli bir sütun seçerek 0'dan 99'a kadar bir sayı oluşturmanıza olanak tanır. Örneğin, 8. satır onluklar ve 3. sütun birlik seçelim, bununla 83 sayısını sabitledik. İkinci bölge tablonun geri kalanını kaplar. Hücrelerinin her biri, belirli bir satırın ve belirli bir sütunun kesişiminde bulunur ve karşılık gelen sayının karesini 0'dan 99'a kadar içerir. Seçtiğimiz 8 onluk sıra ile birler 3 sütununun kesişiminde, 83 sayısının karesi olan 6 889 numaralı bir hücre var.

Küp tabloları, 0'dan 99'a kadar olan sayıların dördüncü üslü tabloları vb. kareler tablosuna benzer, sadece ikinci bölgede küpler, dördüncü üsler vb. içerirler. karşılık gelen sayılar.

Kareler, küpler, dördüncü dereceler vb. kare kökleri, küp kökleri, dördüncü kökleri vb. çıkarmanıza izin verir. sırasıyla bu tablolardaki rakamlardan Kökleri çıkarırken uygulama prensibini açıklayalım.

Diyelim ki a sayısı n'inci güç tablosunda yer alırken, a sayısının n'inci kökünü çıkarmamız gerekiyor. Bu tablodan a = b n olacak şekilde bir b sayısı buluyoruz. Sonra , bu nedenle, b sayısı gerekli n'inci kök olacaktır.

Örnek olarak, 19.683'ün küp kökünün bir küp tablosu kullanılarak nasıl türetildiğini gösteriyoruz. Küp tablosunda 19 683 sayısını buluyoruz, ondan bu sayının 27 sayısının küpü olduğunu görüyoruz, bu nedenle, .

n'inci güç tablolarının kökleri çıkarmak için çok uygun olduğu açıktır. Ancak, genellikle elinizin altında değildirler ve derlenmeleri belirli bir süre gerektirir. Ayrıca, genellikle ilgili tablolarda yer almayan sayılardan kök çıkarmak gerekir. Bu durumlarda, diğer kök çıkarma yöntemlerine başvurmanız gerekir.

Bir radikal sayının asal çarpanlarına ayırma

Doğal bir sayıdan kökü çıkarmanın oldukça uygun bir yolu (tabii ki kök çıkarılırsa), radikal sayının asal çarpanlara genişletilmesidir. Onun özü aşağıdaki gibidir: Daha sonra, kök değerini elde etmenizi sağlayan, istenen üs ile bir güç şeklinde temsil etmek yeterince kolaydır. Bu noktayı açıklığa kavuşturalım.

n'inci kök a doğal sayısından çıkarılsın ve değeri b'ye eşit olsun. Bu durumda, a = b n eşitliği doğrudur. b sayısı herhangi biri olarak doğal sayı p 1, p 2, ..., pm tüm asal faktörlerinin bir çarpımı olarak p 1 p 2 ... n olarak temsil edilebilir. Bir sayının asal faktörlere ayrıştırılması benzersiz olduğundan, radikal sayısının asal faktörlere ayrıştırılması (p 1 · p 2 ·… · pm) n şeklinde olacaktır, bu da kökün değerini hesaplamayı mümkün kılar. olarak.

Bir radikal sayının çarpanlara ayrılması (p 1 · p 2 ·… · p m) n biçiminde gösterilemiyorsa, o zaman böyle bir a sayısının n'inci kökü tamamen çıkarılmaz.

Örnekleri çözerken çözelim.

Örnek.

144'ün karekökünü alın.

Çözüm.

Bir önceki paragrafta verilen kareler tablosuna dönersek, 144 = 12 2 olduğu açıkça görülür, bu nedenle 144'ün karekökünün 12 olduğu açıktır.

Ancak bu noktanın ışığında, 144 radikal sayısını asal çarpanlara ayırarak kökün nasıl çıkarıldığıyla ilgileniyoruz. Bu çözümü analiz edelim.

genişletelim 144 asal çarpanlara göre:

Yani 144 = 2 2 2 2 3 3. Elde edilen ayrışmaya dayanarak, aşağıdaki dönüşümler gerçekleştirilebilir: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2... Buradan, .

Köklerin derece ve özelliklerinin özelliklerini kullanarak, çözüm biraz farklı bir şekilde formüle edilebilir:

Cevap:

Malzemeyi pekiştirmek için iki örneğin daha çözümlerini düşünün.

Örnek.

Kök değerini hesaplayın.

Çözüm.

243 radikal sayısının asal çarpanlarına ayrılması 243 = 3 5'tir. Böylece, .

Cevap:

Örnek.

Kök değer bir tam sayı mı?

Çözüm.

Bu soruyu cevaplamak için, radikal sayıyı asal çarpanlarına ayıralım ve bir tamsayının küpü olarak gösterilip gösterilemeyeceğini görelim.

285 768 = 2 3 3 6 7 2 var. Ortaya çıkan ayrışma, bir tamsayının küpü olarak temsil edilmez, çünkü derece asal faktör 7 üçün katı değildir. Bu nedenle, 285 768 sayısının küp kökü tam olarak çıkarılmaz.

Cevap:

Numara.

Kesirli sayılardan kök çıkarma

Kesirli sayıdan kökün nasıl çıkarıldığını bulmanın zamanı geldi. Kesirli radikal sayı p / q olarak yazılsın. Bölümün kökünün özelliğine göre aşağıdaki eşitlik doğrudur. Bu eşitlik şu anlama gelir: kesir kökü: kesrin kökü, payın kökünün paydanın köküne bölümünün bölümüne eşittir.

Bir kesirden kök çıkarma örneğine bakalım.

Örnek.

karekökü nedir ortak kesir 25/169 .

Çözüm.

Kareler tablosundan, orijinal kesrin payının karekökünün 5 ve paydanın karekökünün 13 olduğunu bulduk. Sonra ... Bu, 25/169 ortak fraksiyonundan kökün çıkarılmasını tamamlar.

Cevap:

Ondalık veya karışık bir sayının kökü, radikal sayıların sıradan kesirlerle değiştirilmesinden sonra çıkarılır.

Örnek.

474.552 ondalık sayısının küp kökünü çıkarın.

Çözüm.

Orijinal ondalık kesri sıradan bir kesir olarak gösterelim: 474.552 = 474552/1000. Sonra ... Elde edilen kesrin pay ve paydasındaki küp köklerini çıkarmak için kalır. Çünkü 474 552 = 2 2 2 3 3 3 3 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 ve 1000 = 10 3, sonra ve ... Sadece hesaplamaları tamamlamak için kalır .

Cevap:

.

Negatif bir sayının kökünü çıkarma

Ayrı olarak, negatif sayılardan köklerin çıkarılması üzerinde durmaya değer. Kökleri incelerken, kök üssü tek bir sayı olduğunda, kök işaretinin altında negatif bir sayı olabileceğini söyledik. Bu tür girdilere şu anlamı verdik: negatif bir −a sayısı ve 2n − 1 kökünün tek bir üssü için, ... Bu eşitlik verir Negatif sayılardan tek kök çıkarma kuralı: negatif bir sayının kökünü çıkarmak için, zıt pozitif sayının kökünü çıkarmanız ve sonucun önüne eksi işareti koymanız gerekir.

Bir örneğin çözümünü ele alalım.

Örnek.

Kök değerini bulun.

Çözüm.

Kök işaretinin altında pozitif bir sayı olacak şekilde orijinal ifadeyi dönüştürelim: ... Şimdi karışık numara sıradan bir kesir ile değiştirin: ... Sıradan bir kesirden kök çıkarma kuralını uygularız: ... Elde edilen kesrin pay ve paydasındaki kökleri hesaplamak için kalır: .

İşte çözümün kısa bir kaydı: .

Cevap:

.

Kök değerini aşamalı olarak bulma

Genel durumda, kökün altında, yukarıda tartışılan teknikleri kullanarak herhangi bir sayının n'inci kuvveti olarak temsil edilemeyen bir sayı vardır. Ancak bu durumda verilen bir kökün değerini en azından belirli bir işarete kadar doğrulukla bilmek gerekir. Bu durumda, kökü çıkarmak için, istenen sayının basamaklarının yeterli sayıda değerini sırayla elde etmenizi sağlayan bir algoritma kullanabilirsiniz.

Bu algoritmanın ilk adımında, kök değerinin en önemli bitinin ne olduğunu bulmanız gerekir. Bunun için 0, 10, 100, ... sayıları, radikal sayıyı aşan bir sayı alınana kadar sırayla n kuvvetine yükseltilir. Daha sonra, önceki adımda n'ye yükselttiğimiz sayı, karşılık gelen en önemli biti gösterecektir.

Örnek olarak, beşin karekökünü çıkarırken algoritmanın bu adımını düşünün. 0, 10, 100, ... sayılarını alıp 5'ten büyük bir sayı elde edene kadar karelerini alıyoruz. 0 2 = 0 var<5 , 10 2 =100>5, bu da en önemli bitin birler yeri olacağı anlamına gelir. Bu bitin değeri ve alt olanlar, kök çıkarma algoritmasının sonraki adımlarında bulunacaktır.

Algoritmanın sonraki tüm adımları, en anlamlıdan başlayarak ve en küçüğüne doğru hareket ederek, kökün istenen değerinin sonraki basamaklarının değerlerinin bulunması nedeniyle, kökün değerini sırayla iyileştirmeyi amaçlamaktadır. önemli olanlar. Örneğin, ilk adımda kök değeri 2, ikinci - 2.2, üçüncü - 2.23, vb. 2.236067977…. Rakamların değerlerinin bulunmasının nasıl gerçekleştiğini anlatalım.

Rakamları bulma, numaralandırılarak gerçekleştirilir. olası değerler 0, 1, 2, ..., 9. Bu durumda, karşılık gelen sayıların n'inci kuvvetleri paralel olarak hesaplanır ve kök sayı ile karşılaştırılır. Bir aşamada derecenin değeri radikal sayıyı aşarsa, önceki değere karşılık gelen basamağın değerinin bulunduğu kabul edilir ve bu olmazsa, kökün çıkarılması için algoritmanın bir sonraki adımına geçiş yapılır. olur, o zaman bu basamağın değeri 9'dur.

Bu noktaları, beşin karekökünü çıkarmanın aynı örneğiyle açıklayalım.

İlk önce birler basamağının değerini buluyoruz. Kök sayısı 5'ten daha büyük bir değer elde edene kadar sırasıyla 0 2, 1 2,…, 9 2 hesaplayarak 0, 1, 2,…, 9 değerlerini yineleyeceğiz. Tüm bu hesaplamalar uygun bir şekilde bir tablo şeklinde sunulur:

Yani birler basamağının değeri 2'dir (çünkü 2 2<5 , а 2 3 >5) Onuncu basamağın değerini bulmaya dönüyoruz. Bu durumda, elde edilen değerleri radikal sayı 5 ile karşılaştırarak 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 sayılarının karesini alacağız:

2.2 2'den beri<5 , а 2,3 2 >5, o zaman ondalık basamak değeri 2'dir. Yüzdeler basamağının değerini bulmaya gidebilirsiniz:

Böylece beşin kökünün bir sonraki değeri bulundu, 2.23'e eşit. Ve böylece daha fazla değer bulmaya devam edebilirsiniz: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Malzemeyi pekiştirmek için, dikkate alınan algoritmayı kullanarak kökün çıkarılmasını yüzlerce doğrulukla analiz edeceğiz.

İlk olarak, en anlamlı biti belirliyoruz. Bunu yapmak için 0, 10, 100 vb. sayıların küpünü alıyoruz. 2.151.186'dan büyük bir sayı elde edene kadar. 0 3 = 0 var<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, dolayısıyla en anlamlı basamak onlar basamağıdır.

Anlamını tanımlayalım.

10 3'ten beri<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, o zaman onlar basamağının değeri 1'dir. Birimlere geçelim.

Böylece, birler basamağının değeri 2'dir. Onuncu sıraya geçiyoruz.

12.9 3 bile 2 151.186 kök sayısından küçük olduğundan, onuncu yerin değeri 9'dur. Algoritmanın son adımını gerçekleştirmek için kalır, bize kökün değerini gerekli doğrulukla verecektir.

Bu aşamada kökün değeri yüzde birlik doğrulukla bulunur: .

Bu makalenin sonunda, kök çıkarmanın daha birçok yolu olduğunu söylemek isterim. Ancak çoğu görev için yukarıda incelediklerimiz yeterlidir.

Bibliyografya.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf için ders kitabı Eğitim Kurumları.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı: 10 - 11 sınıf eğitim kurumları için ders kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir rehber).

Çevrimiçi mühendislik hesaplayıcısı

Herkese ücretsiz bir mühendislik hesap makinesi sunmak için acele ediyoruz. Onun yardımıyla, herhangi bir öğrenci çevrimiçi olarak çeşitli matematiksel hesaplamaları hızlı ve en önemlisi kolayca gerçekleştirebilir.

Göze batmayan ve anlaşılır bir arayüze sahip basit ve kullanımı kolay bir mühendislik hesap makinesi, en geniş İnternet kullanıcıları için gerçekten faydalı olacaktır. Şimdi, bir hesap makinesine ihtiyacınız olduğunda, web sitemizi ziyaret edin ve ücretsiz bir mühendislik hesap makinesi kullanın.

Bir mühendislik hesap makinesi hem basit aritmetik işlemleri hem de oldukça karmaşık matematiksel hesaplamaları gerçekleştirebilir.

Web20calc, örneğin tüm temel işlevlerin nasıl hesaplanacağı gibi çok sayıda işlevi olan bir mühendislik hesap makinesidir. Hesap makinesi ayrıca trigonometrik fonksiyonları, matrisleri, logaritmaları ve hatta grafikleri destekler.

Web20calc, basit çözümler arayan, arama motorlarında bir sorgu yazan bir grup insanın ilgisini çekecektir: çevrimiçi bir matematiksel hesap makinesi. Ücretsiz bir web uygulaması, örneğin çıkarma, toplama, bölme, kök çıkarma, bir güce yükseltme vb. gibi bazı matematiksel ifadelerin sonucunu anında hesaplamanıza yardımcı olur.

İfadede üs alma, toplama, çıkarma, çarpma, bölme, yüzde, sabit PI işlemlerini kullanabilirsiniz. Karmaşık hesaplamalar için parantez kullanın.

Mühendislik hesap makinesi özellikleri:

1. temel aritmetik işlemler;
2. standart bir biçimde sayılarla çalışın;
3. trigonometrik köklerin, fonksiyonların, logaritmaların, üslerin hesaplanması;
4. istatistiksel hesaplamalar: toplama, aritmetik ortalama veya standart sapma;
5. 2 değişkenli bir bellek hücresinin ve kullanıcı tanımlı fonksiyonların uygulanması;
6. radyan ve derece ölçülerinde açılarla çalışabilecektir.

Mühendislik hesaplayıcısı, çeşitli matematiksel işlevleri kullanmanıza olanak tanır:

Köklerin çıkarılması (kare kök, kübik ve n'inci kök);
ex (e üzeri x kuvveti), üs;
trigonometrik fonksiyonlar: sinüs - günah, kosinüs - kos, tanjant - tan;
ters trigonometrik fonksiyonlar: arksin - sin-1, arkkosin - cos-1, arktanjant - tan-1;
hiperbolik fonksiyonlar: sinüs - sinh, kosinüs - cosh, tanjant - tanh;
logaritmalar: ikili logaritma tabanı iki - log2x, ondalık logaritma on tabanı - log, doğal logaritma - ln.

Bu mühendislik hesaplayıcısı ayrıca çeşitli ölçüm sistemleri için fiziksel nicelikleri dönüştürme yeteneğine sahip bir miktar hesaplayıcı içerir - bilgisayar birimleri, mesafe, ağırlık, zaman vb. Bu fonksiyon ile mili kilometreye, poundu kilograma, saniyeyi saate vb. anında çevirebilirsiniz.

Matematiksel hesaplamalar yapmak için önce uygun alana bir dizi matematiksel ifade girin, ardından eşittir işaretine tıklayın ve sonucu görün. Değerleri doğrudan klavyeden girebilirsiniz (bunun için hesap makinesi alanı aktif olmalıdır, bu nedenle imleci giriş alanına koymak gereksiz olmayacaktır). Diğer şeylerin yanı sıra, hesap makinesinin düğmeleri kullanılarak veriler girilebilir.

Grafikler oluşturmak için, giriş alanına işlevi örneklerle alanda belirtildiği gibi yazın veya özel olarak tasarlanmış araç çubuğunu kullanın (ona gitmek için grafik şeklinde simgeli düğmeye tıklayın). Değerleri dönüştürmek için Birim'e basın, matrislerle çalışmak için - Matrix.

Örnekler:

\ (\ sqrt (16) = 2 \) çünkü \ (2 ^ 4 = 16 \)
\ (\ sqrt (- \ frac (1) (125)) \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (5) \), çünkü \ ((- \ frac (1) (5) ) ^ 3 \) \ (= \) \ (- \ frak (1) (125) \)

nth kökü nasıl hesaplanır?

\ (n \) - inci derecenin kökünü hesaplamak için kendinize şu soruyu sormanız gerekir: kök altında \ (n \) - th gücünde hangi sayı verecek?

Örneğin... Kökü hesaplayın \ (n \) - inci derece: a) \ (\ sqrt (16) \); b) \ (\ sqrt (-64) \); c) \ (\ sqrt (0.00001) \); d) \ (\ sqrt (8000) \); e) \ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) \).

a) \ (4 \) - inci derecede hangi sayı \ (16 \) verecek? Açıkçası, \ (2 \). Bu yüzden:

b) \ (3 \) -. dereceden hangi sayı \ (- 64 \) verir?

\ (\ kare (-64) = - 4 \)

c) \ (5 \) - inci derecede hangi sayı \ (0.00001 \) verecek?

\ (\ sqrt (0.00001) = 0.1 \)

d) \ (3 \) -. dereceden hangi sayı \ (8000 \) verir?

\ (\ kare (8000) = 20 \)

e) \ (4 \) - inci derecede \ (\ frac (1) (81) \) hangi sayıyı verecek?

\ (\ sqrt (\ frak (1) (81)) = \ frak (1) (3) \)

Kök \ (n \) - th derecesi ile en basit örnekleri düşündük. Köklerle daha karmaşık problemleri çözmek için \ (n \) - inci derece - onları bilmek hayati önem taşır.

Örnek. Hesaplamak:

n'inci kök ve karekök ilişkili mi?

Her halükarda, herhangi bir dereceden herhangi bir kök, bilinmeyen bir biçimde yazılmış olsa bile, sadece bir sayıdır.

n. derecenin kökünün özelliği

Kök \ (n \) - tek \ (n \) ile th gücü, negatif bile olsa herhangi bir sayıdan çıkarılabilir (başlangıçtaki örneklere bakın). Ancak \ (n \) çift ise (\ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \) ...), o zaman böyle bir kök çıkarılır sadece \ ( a ≥ 0 \) ise (bu arada, karekök aynıdır). Bunun nedeni, kök çıkarmanın üs almanın tersi olmasıdır.

Ve eşit bir güce yükseltmek, negatif bir sayıyı bile pozitif yapar. Nitekim, \ ((- 2) ^ 6 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) = 64 \). Bu nedenle, kök altında negatif bir sayının çift kuvvetini alamayız. Bu, negatif bir sayıdan böyle bir kök çıkaramayacağımız anlamına gelir.

Bu tür kısıtlamaların tek derecesi yoktur - tek bir güce yükseltilmiş negatif bir sayı negatif kalacaktır: \ ((- 2) ^ 5 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot ( -2) \ cdot (-2) = - 32 \). Bu nedenle, tek bir derecenin kökü altında negatif bir sayı elde edebilirsiniz. Bu, onu negatif bir sayıdan da çıkarabileceğiniz anlamına gelir.

Elektronik tablo kullanıcıları, bir sayının kökünü çıkarmak için işlevi kapsamlı bir şekilde kullanır. Verilerle çalışmak genellikle büyük sayıların işlenmesini gerektirdiğinden, elle sayım yapmak oldukça zor olabilir. Bu makalede, Excel'de herhangi bir derecenin kökünü çıkarma sorununun ayrıntılı bir analizini bulacaksınız.

Oldukça kolay bir iş, çünkü programın listeden alınabilecek ayrı bir işlevi var. Bunu yapmak için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

1. Fonksiyonu kaydetmek istediğiniz hücreyi farenin sol tuşu ile bir kez tıklayarak seçin. Siyah bir anahat görünür, etkin satır ve sütun turuncu ile vurgulanır ve ad adres hücresinde görünür.

   

2. Sütun adlarının üstünde, adres hücresinden sonra, formül çubuğunun önünde bulunan "fx" (İşlev Ekle) düğmesine tıklayın.

   

3. "Kök" işlevini bulmanız gereken bir açılır menü görünecektir. Bu, "Matematik" kategorisinde veya fare ile menüyü aşağı kaydırarak "Alfabetik listeyi tamamla" bölümünde yapılabilir.

   

4. Farenin sol tuşuyla bir kez tıklayarak "Kök" öğesini seçin, ardından - "Tamam" düğmesine basın.

   

5. Aşağıdaki menü belirir - "İşlev argümanları".

   

6. Bu ifadenin veya formülün daha önce yazıldığı bir sayı girin veya bir hücre seçin, bunun için "Sayı" satırına bir kez sol tıklayın, ardından imleci ihtiyacınız olan hücrenin üzerine getirin ve tıklayın. Hücre adı dizeye otomatik olarak doldurulacaktır.

   

7. "Tamam" düğmesine tıklayın.

   

8. Ve her şey hazır, fonksiyon karekökü hesapladı ve sonucu seçilen hücreye yazdı.

   

Bir sayı ve bir hücrenin (bu hücrede paketlenmiş veriler) veya iki hücrenin toplamının karekökünü çıkarmak da mümkündür, bunun için "Sayı" satırındaki değerleri girin. Numarayı yazın ve hücreye bir kez tıklayın, program ekleme işaretini kendisi koyacaktır.

Bir notta! Bu fonksiyon manuel olarak da girilebilir. Formül çubuğuna şu ifadeyi girin: "= KÖK (x)", burada x, aradığınız sayıdır.

3., 4. ve diğer derecelerin köklerinin çıkarılması.

Excel'de bu ifadeyi çözmek için ayrı bir işlev yoktur. n'inci kökü çıkarmak için önce onu matematiksel bir bakış açısıyla düşünmelisiniz.

n'inci kök, bir sayıyı zıt güce (1 / n) yükseltmeye eşittir. Yani karekök ½ (veya 0,5) kuvvetidir.

Örneğin:

• 16'nın dördüncü kökü ¼ üzeri 16'dır;
• 64 = 64 üzeri 1/3 kuvvetinin küp kökü;

Bunu bir elektronik tablo programında yapmanın iki yolu vardır:

1. İşlevi kullanma.
2. Derece simgesini “^” kullanarak ifadeyi manuel olarak girin.

Bir fonksiyon kullanarak herhangi bir derecenin kökünü çıkarma

1. İstediğiniz hücreyi seçin ve "Formüller" sekmesindeki "İşlev Ekle" seçeneğine tıklayın.

   

2. Kategori altındaki listeyi genişletin, Matematik veya Tam Alfabetik Liste altında Derece işlevini bulun.

   

   

3. “Sayı” satırına bir sayı (bizim durumumuzda bu 64 sayısıdır) veya bir kez tıklayarak hücrenin adını girin.

   

4. "Derece" satırına kökü yükseltmek istediğiniz dereceyi (1/3) yazın.

   

   Önemli! Bölme işaretini belirtmek için standart bölme işaretini ":" değil "/" işaretini kullanmalısınız.

5. "Tamam" ı tıklayın ve eylemin sonucu orijinal olarak seçilen hücrede görünecektir.

   

   

Not!İşlevlerle çalışma hakkında fotoğraflı en ayrıntılı talimatlar için yukarıdaki makaleye bakın.

"^" derece sembolünü kullanarak herhangi bir derecenin kökünü çıkarın

Not! Derece kesir veya ondalık sayı olarak yazılabilir. Örneğin, ¼ kesri 0.25 olarak yazılabilir. Onda bir, yüzde bir, binde bir vb. ayırmak için matematikte olduğu gibi virgül kullanın..

İfade yazma örnekleri

Tebrikler: bugün 8. sınıfın en beyin gerektiren konularından biri olan kökleri inceleyeceğiz. :)

Pek çok insanın kökleri karmaşık olduğu için değil (ki bu çok zor - birkaç tanım ve birkaç özellik) değil, çoğu okul ders kitabında kökler öyle bir ormanda belirleniyor ki, sadece kitabın yazarları böyle bir ormanda belirleniyor. ders kitaplarının kendileri bu karalamayı çözebilir. Ve sonra sadece bir şişe iyi viskiyle. :)

Bu nedenle, şimdi kökün en doğru ve en yetkin tanımını vereceğim - gerçekten hatırlamanız gereken tek tanım. Ve ancak o zaman açıklayacağım: tüm bunların neden gerekli olduğunu ve pratikte nasıl uygulanacağını.

Ama önce, birçok ders kitabı derleyicisinin bir nedenle "unuttuğu" önemli bir noktayı hatırlayın:

Kökler çift dereceli (en sevdiğimiz $ \ sqrt (a) $ yanı sıra her türlü $ \ sqrt (a) $ ve hatta $ \ sqrt (a) $) ve tek dereceli (her türlü $ \ sqrt) olabilir. (a) $, $ \ sqrt (a) $ vb.). Ve tek dereceli bir kökün tanımı, çift olandan biraz farklıdır.

İşte bu lanet olası "biraz farklı", köklerle ilgili tüm hataların ve yanlış anlamaların muhtemelen% 95'i gizlidir. Bu nedenle, terminolojiyi bir kez ve herkes için ele alalım:

Tanım. Hatta kök n$ a $'dan herhangi biri negatif olmayan$ ((b) ^ (n)) = bir $ olacak şekilde bir $ b $ sayısı. Ve aynı $ a $ sayısının tek kökü, genellikle aynı eşitliğin geçerli olduğu herhangi bir $ b $ sayısıdır: $ ((b) ^ (n)) = a $.

Her durumda, kök şu şekilde belirtilir:

\ (a) \]

Böyle bir kayıttaki $ n $ sayısına kökün üssü, $ a $ sayısına ise radikal ifade denir. Özellikle, $ n = 2 $ için "favori" karekökümüzü alırız (bu arada, bu bir çift köktür) ve $ n = 3 $ - kübik (tek derece) için de sıklıkla problemlerde bulunur ve denklemler.

Örnekler Klasik karekök örnekleri:

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ kare (81) = 9; \\ & \ kare (256) = 16. \\ \ bitiş (hizalama) \]

Bu arada, $ \ sqrt (0) = 0 $ ve $ \ sqrt (1) = 1 $. $ ((0) ^ (2)) = 0 $ ve $ ((1) ^ (2)) = 1 $ olduğundan bu oldukça mantıklıdır.

Kübik kökler de yaygındır - onlardan korkmayın:

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ kare (-64) = - 4; \\ & \ kare (343) = 7. \\ \ bitiş (hizalama) \]

Ve birkaç "egzotik örnek":

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ bitiş (hizalama) \]

Çift ve tek derece arasındaki farkın ne olduğunu anlamadıysanız, tanımı tekrar okuyun. Bu çok önemli!

Bu arada, çift ve tek göstergeler için ayrı bir tanım getirmemiz gerektiğinden, köklerin hoş olmayan bir özelliğini ele alacağız.

Neden köklere ihtiyacımız var?

Tanımı okuduktan sonra birçok öğrenci, "Matematikçiler bunu bulduklarında ne içtiler?" diye soracaktır. Gerçekten de: neden tüm bu köklere ihtiyacımız var?

Bu soruyu cevaplamak için, bir dakikalığına ilkokul sınıflarına geri dönelim. Unutmayın: ağaçların daha yeşil ve köftelerin daha lezzetli olduğu o uzak zamanlarda, asıl meselemiz sayıları doğru bir şekilde çarpmaktı. Şey, "beşte beş - yirmi beş" gibi bir şey, hepsi bu. Ancak sayıları çiftlerle değil, üçlü, dörtlü ve genel olarak tam kümelerle çarpabilirsiniz:

\ [\ başla (hizala) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ bitiş (hizalama) \]

Ancak, mesele bu değil. İşin püf noktası farklıdır: matematikçiler tembel insanlardır, bu yüzden on beşin çarpımını şöyle yazmak zorunda kaldılar:

Böylece derecelerle geldiler. Neden uzun bir dize yerine faktör sayısını üstlenmiyorsunuz? Bunun gibi:

Çok uygun! Tüm hesaplamalar zaman zaman azaltılır ve 5,183 not yazmak için bir sürü parşömen not defteri harcamanıza gerek yoktur. Böyle bir kayda bir sayının derecesi denildi, içinde bir sürü özellik buldular, ancak mutluluk kısa sürdü.

Derecelerin "keşfi" üzerine düzenlenen büyük bir içkiden sonra, özellikle inatçı bir matematikçi aniden sordu: "Ya bir sayının derecesini biliyorsak, ancak sayının kendisini bilmiyorsak?" Şimdi, gerçekten, eğer belirli bir sayının $ b $ olduğunu biliyorsak, örneğin 5. kuvvette 243 verir, o zaman $ b $ sayısının neye eşit olduğunu nasıl tahmin edebiliriz?

Bu sorunun ilk bakışta göründüğünden çok daha küresel olduğu ortaya çıktı. Çünkü "hazır" derecelerin çoğu için böyle bir "ilk" sayıların olmadığı ortaya çıktı. Kendiniz için yargıç:

\ [\ start (align) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Rightarrow b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Rightarrow b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Rightarrow b = 4. \\ \ bitiş (hizalama) \]

$ ((b) ^ (3)) = 50 $ ise ne olur? Üç kez çarpıldığında bize 50 verecek olan belirli bir sayıyı bulmanız gerektiği ortaya çıktı. Peki bu sayı nedir? 3 3 = 27 olduğundan açıkça 3'ten büyüktür.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yani. bu sayı üç ile dört arasında bir yerdedir, ancak neye eşittir - incir anlayacaksınız.

Bunun için matematikçiler $ n $ -th derecesinin köklerini icat ettiler. Bu nedenle $ \ sqrt (*) $ radikal sembolü tanıtıldı. Belirtilen dereceye kadar bize önceden bilinen bir değer verecek olan $ b $ sayısını belirtmek için

\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Sağ Ok ((b) ^ (n)) = a \]

Tartışmıyorum: bu kökler genellikle kolayca sayılır - yukarıda buna benzer birkaç örnek gördük. Yine de, çoğu durumda, rastgele bir sayı tahmin ederseniz ve ondan keyfi bir kök çıkarmaya çalışırsanız, acımasız bir serseri içindesiniz.

Oradaki ne! En basit ve en tanıdık $ \ sqrt (2) $ bile her zamanki formumuzla temsil edilemez - bir tamsayı veya kesir olarak. Ve bu numarayı hesap makinesine yazarsanız şunu göreceksiniz:

\ [\ kare (2) = 1.414213562 ... \]

Gördüğünüz gibi virgülden sonra hiçbir mantığa uymayan sonsuz bir sayı dizisi var. Elbette, diğer sayılarla hızlı bir şekilde karşılaştırmak için bu sayıyı yuvarlayabilirsiniz. Örneğin:

\ [\ sqrt (2) = 1.4142 ... \ yaklaşık 1,4 \ lt 1,5 \]

Veya işte başka bir örnek:

\ [\ kare (3) = 1.73205 ... \ yaklaşık 1.7 \ gt 1.5 \]

Ancak tüm bu yuvarlamalar, öncelikle oldukça kaba; ve ikincisi, yaklaşık değerlerle de çalışabilmeniz gerekir, aksi takdirde bir sürü belirgin olmayan hatayı yakalayabilirsiniz (bu arada, profil sınavında karşılaştırma ve yuvarlama becerisi zorunludur).

Bu nedenle, ciddi matematikte, kökler olmadan yapamazsınız - bunlar, uzun zamandır bize aşina olan kesirler ve tam sayıların yanı sıra, $ \ mathbb (R) $ tüm gerçek sayılar kümesinin aynı eşit temsilcileridir.

Bir kökü $ \ frac (p) (q) $ biçiminin bir kesri olarak temsil etmenin imkansızlığı, bu kökün olmadığı anlamına gelir. rasyonel sayı... Bu tür sayılara irrasyonel denir ve bir radikalin veya özel olarak tasarlanmış diğer yapıların (logaritmalar, dereceler, sınırlar, vb.) Ama bunun hakkında başka bir zaman.

Tüm hesaplamalardan sonra irrasyonel sayıların hala cevapta kalacağı birkaç örnek düşünün.

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ yaklaşık 2.236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32) )) = \ sqrt (-2) \ yaklaşık -1.2599 ... \\ \ bitiş (hizalama) \]

Doğal olarak, göre dış görünüş ondalık noktadan sonra hangi sayıların geleceğini tahmin etmek neredeyse imkansızdır. Bununla birlikte, bir hesap makinesine güvenebilirsiniz, ancak en mükemmel tarih hesaplayıcı bile bize bir irrasyonel sayının yalnızca ilk birkaç basamağını verir. Dolayısıyla cevapları $\sqrt (5)$ ve $\sqrt(-2)$ şeklinde yazmak çok daha doğru olur.

Bu yüzden icat edildiler. Cevaplarınızı rahatça kaydetmek için.

Neden iki tanım gerekli?

Dikkatli okuyucu muhtemelen örneklerde verilen tüm kareköklerin pozitif sayılardan türetildiğini fark etmiştir. Eh, sıfırdan son çare olarak. Ancak küp kökleri, pozitif veya negatif olsun, kesinlikle herhangi bir sayıdan sakince çıkarılır.

Neden oluyor? $ y = ((x) ^ (2)) $ fonksiyonunun grafiğine bir göz atın:

Bu grafiği kullanarak $\sqrt (4) $ hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, grafikte (kırmızı ile işaretlenmiş) yatay bir çizgi $ y = 4 $ çizilir, bu parabol ile iki noktada kesişir: $ ((x) _ (1)) = 2 $ ve $ ((x) ) _ (2)) = -2 $. Bu oldukça mantıklı, çünkü

İlk sayı ile her şey açıktır - pozitiftir, bu nedenle köktür:

Ama o zaman ikinci nokta ile ne yapmalı? Dördünün aynı anda iki kökü olması gibi mi? Sonuçta, −2 sayısının karesini alırsak 4 elde ederiz. Neden $ \ sqrt (4) = - 2 $ yazmıyorsunuz? Ve öğretmenler neden bu tür kayıtlara sizi yutmak istiyorlarmış gibi bakıyorlar? :)

Sorun şu ki, herhangi bir ek koşul empoze edilmezse, dördünün iki karekökü olacaktır - pozitif ve negatif. Ve herhangi bir pozitif sayı da iki tane olacaktır. Ancak negatif sayıların hiçbir kökü olmayacaktır - bu aynı grafikten görülebilir, çünkü parabol asla eksenin altına düşmez. y, yani negatif değerleri kabul etmez.

Eşit üslü tüm kökler için benzer bir sorun oluşur:

1. Kesin olarak söylemek gerekirse, her pozitif sayının iki kökü vardır ve üsleri çift $ n $'dır;
2. Negatif sayılardan, $ n $ bile olan kök hiç çıkarılmaz.

Bu nedenle $ n $ 'ın çift kuvvetinin kökü tanımında cevabın negatif olmayan bir sayı olması gerektiği özellikle şart koşulmuştur. Böylece belirsizlikten kurtuluruz.

Ancak tek $ n $ için böyle bir sorun yoktur. Bunu doğrulamak için $ y = ((x) ^ (3)) $ fonksiyonunun grafiğine bir göz atalım:

Bu grafikten iki sonuç çıkarılabilir:

1. Kübik bir parabolün dalları, alışılmışın aksine, her iki yönde de sonsuza gider - hem yukarı hem de aşağı. Bu nedenle, hangi yükseklikte yatay bir çizgi çizersek çizelim, bu çizgi mutlaka grafiğimizle kesişecektir. Sonuç olarak, küp kökü her zaman kesinlikle herhangi bir sayıdan çıkarılabilir;
2. Ek olarak, böyle bir kesişme her zaman tek olacaktır, bu nedenle hangi sayının "doğru" kökü dikkate alınacağını ve hangi sayının puanlanacağını düşünmeye gerek yoktur. Bu nedenle, tek bir derece için köklerin tanımı, çift bir dereceye göre daha basittir (negatif olmama şartı yoktur).

Bu basit şeylerin çoğu ders kitabında açıklanmaması üzücü. Bunun yerine, beyin her türlü aritmetik kök ve özellikleriyle bize doğru yüzmeye başlar.

Evet, tartışmıyorum: aritmetik kök nedir - ayrıca bilmeniz gerekir. Ve bunu ayrı bir eğitimde ayrıntılı olarak ele alacağım. Bugün bunun hakkında da konuşacağız, çünkü onsuz $ n $ -th çokluğunun kökleri hakkındaki tüm düşünceler eksik olurdu.

Ama önce yukarıda verdiğim tanımı net bir şekilde anlamanız gerekiyor. Aksi takdirde, terimlerin bolluğu nedeniyle kafanızda öyle bir karmaşa başlar ki sonunda hiçbir şey anlamazsınız.

Tek yapmanız gereken, çift ve tek göstergeler arasındaki farkı anlamaktır. Öyleyse bir kez daha, kökler hakkında gerçekten bilmeniz gereken her şeyi bir araya getirelim:

1. Bir çift kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan gelir ve kendisi her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Negatif sayılar için böyle bir kök tanımsızdır.
2. Ancak tek derecenin kökü herhangi bir sayıdan gelir ve kendisi de herhangi bir sayı olabilir: pozitif sayılar için pozitiftir ve negatif olanlar için, üst sınırın ima ettiği gibi, negatiftir.

Zor mu? Hayır, zor değil. Açık? Evet, genel olarak, açıktır! Şimdi bazı hesaplamalar yapacağız.

Temel özellikler ve sınırlamalar

kökleri çok var garip özellikler ve kısıtlamalar - bu ayrı bir ders olacak. Bu nedenle, şimdi yalnızca eşit üslü kökler için geçerli olan yalnızca en önemli "numarayı" ele alacağız. Bu özelliği bir formül şeklinde yazalım:

\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ sol | x \ sağ | \]

Başka bir deyişle, bir sayıyı eşit bir güce yükseltirseniz ve bundan sonra aynı gücün kökünü çıkarırsanız, orijinal sayıyı değil, modülünü elde ederiz. Bu, kanıtlanması kolay basit bir teoremdir (negatif olmayan $ x $'ı ayrı ayrı ve ardından negatif olanları ayrı ayrı düşünmek yeterlidir). Öğretmenler sürekli bunun hakkında konuşurlar, her okul ders kitabında verirler. Ancak, irrasyonel denklemleri (yani, kök işaretini içeren denklemleri) çözmeye gelir gelmez, öğrenciler bu formülü dostane bir şekilde unuturlar.

Soruyu detaylı anlamak için tüm formülleri bir dakikalığına unutalım ve iki sayıyı dümdüz saymaya çalışalım:

\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ dörtlü \ sqrt (((\ sol (-3 \ sağ)) ^ (4))) =? \]

Bunlar çok basit örnekler. İlk örnek çoğu kişi tarafından çözülecek, ancak ikincisinde çoğu kişi kalacak. Bu tür saçmalıkları sorunsuz bir şekilde çözmek için, her zaman eylem sırasını göz önünde bulundurun:

1. İlk olarak, sayı dördüncü güce yükseltilir. Bu biraz kolay. Çarpım tablosunda bile bulunabilecek yeni bir sayı alacaksınız;
2. Ve şimdi, bu yeni sayıdan dördüncü kökü çıkarmak gerekiyor. Onlar. köklerde ve derecelerde "indirgenme" olmaz - bunlar sıralı eylemlerdir.

İlk ifadeyle çalışıyoruz: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Açıkçası, önce kök altındaki ifadeyi hesaplamanız gerekir:

\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]

Sonra 81 sayısının dördüncü kökünü çıkarırız:

Şimdi aynısını ikinci ifadeyle yapalım. İlk olarak, -3 sayısını, 4 kez kendisiyle çarpmamız gereken dördüncü güce yükseltiyoruz:

\ [(\ sol (-3 \ sağ)) ^ (4)) = \ sol (-3 \ sağ) \ cdot \ sol (-3 \ sağ) \ cdot \ sol (-3 \ sağ) \ cdot \ sol (-3 \ sağ) = 81 \]

Çalışmadaki toplam eksi sayısı 4 parça olduğu için pozitif bir sayı aldık ve hepsi karşılıklı olarak yok edilecek (sonuçta eksi eksi artı bir artı verir). Sonra kökü tekrar çıkarıyoruz:

Prensipte bu satır yazılamazdı, çünkü cevabın aynı olması hiç de mantıklı değil. Onlar. aynı çift gücün çift kökü eksileri “yakıp gider” ve bu anlamda sonuç olağan modülden ayırt edilemez:

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ sol | 3 \ sağ | = 3; \\ & \ sqrt (((\ sol (-3 \ sağ)) ^ (4))) = \ sol | -3 \ sağ | = 3. \\ \ bitiş (hizalama) \]

Bu hesaplamalar, bir çift kökün tanımıyla iyi bir uyum içindedir: sonuç her zaman negatif değildir ve kök işaretinin altında her zaman negatif olmayan bir sayı vardır. Aksi takdirde, kök tanımsızdır.

Prosedür notu

1. $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ gösterimi, önce $ a $ sayısının karesini almamız ve ardından elde edilen değerden karekökü çıkarmamız anlamına gelir. Bu nedenle, her durumda $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ olduğundan, negatif olmayan bir sayının her zaman kök işaretinin altında olduğundan emin olabiliriz;
2. Ancak $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $ kaydı, aksine, önce belirli bir $ a $ sayısından kökü çıkardığımız ve ancak daha sonra sonucun karesini aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $ a $ sayısı hiçbir durumda negatif olamaz - bu tanımda zorunlu bir gerekliliktir.

Bu nedenle, hiçbir durumda kökleri ve dereceleri düşüncesizce azaltmamalısınız, böylece orijinal ifadeyi sözde "basitleştirmemelisiniz". Çünkü kökün altında negatif bir sayı varsa ve üssü çift ise, bir sürü sorunla karşılaşırız.

Ancak, tüm bu problemler sadece göstergeler için geçerlidir.

Kök işaretinden eksi kaldırma

Doğal olarak, tek göstergeli köklerin, prensipte çiftler için mevcut olmayan kendi sayaçları da vardır. Yani:

\ [\ sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]

Kısacası, eksiyi tek dereceli köklerin işaretinin altından çıkarabilirsiniz. Bu, tüm eksileri "atmanıza" izin veren çok kullanışlı bir özelliktir:

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ sol (- \ sqrt (32) \ sağ) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ bitiş (hizalama) \]

Bu basit özellik, birçok hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir. Şimdi endişelenmeye gerek yok: Ya kökün altına olumsuz bir ifade girdiyse ve kökteki derece eşitse? Sadece köklerin dışındaki tüm eksileri "atmak" yeterlidir, bundan sonra birbirleriyle çarpılabilir, bölünebilir ve genellikle "klasik" kökler söz konusu olduğunda bizi yönlendireceği garanti edilen birçok şüpheli şey yapar. bir hata.

Ve burada bir tanım daha devreye giriyor - çoğu okulda irrasyonel ifadelerin incelenmesinin başladığı tanım. Ve bunlar olmadan akıl yürütmemiz eksik kalır. Lütfen hoş geldiniz!

aritmetik kök

Bir an için kök işaretinin altında yalnızca pozitif sayıların veya en fazla sıfır olabileceğini varsayalım. Çift / tek göstergelerini unutalım, yukarıda verilen tüm tanımları unutalım - sadece negatif olmayan sayılarla çalışacağız. Sonra ne?

Ve sonra aritmetik kökü alıyoruz - kısmen "standart" tanımlarımızla örtüşüyor, ancak yine de onlardan farklı.

Tanım. Negatif olmayan bir $ a $ sayısının $ n $ inci derecesinin aritmetik kökü, $ ((b) ^ (n)) = a $ olacak şekilde negatif olmayan bir $ b $ sayısıdır.

Gördüğünüz gibi artık parite ile ilgilenmiyoruz. Bunun yerine, yeni bir kısıtlama ortaya çıktı: radikal ifade artık her zaman negatif değildir ve kökün kendisi de negatif değildir.

Aritmetik kökün normalden nasıl farklı olduğunu daha iyi anlamak için, zaten bilinen kare ve kübik parabol grafiklerine bir göz atın:

Gördüğünüz gibi, şu andan itibaren, grafiklerin yalnızca ilk koordinat çeyreğinde bulunan kısımlarıyla ilgileniyoruz - burada $ x $ ve $ y $ koordinatları pozitif (veya en az sıfır). Negatif bir sayıyı köklendirme hakkımız olup olmadığını anlamak için artık göstergeye bakmanıza gerek yok. Çünkü negatif sayılar artık prensipte dikkate alınmamaktadır.

Şunu sorabilirsiniz: "Peki, neden böyle hadım edilmiş bir tanıma ihtiyacımız var?" Veya: "Neden yukarıda verilen standart tanımla anlaşamıyorsunuz?"

Pekala, yeni tanımın uygun hale geldiği için sadece bir özellik vereceğim. Örneğin, üs alma kuralı:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

Lütfen dikkat: radikal ifadeyi herhangi bir güce yükseltebiliriz ve aynı zamanda kök üssü aynı güçle çarpabiliriz - ve sonuç aynı sayı olacaktır! İşte bazı örnekler:

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ bitiş (hizalama) \]

Önemli olan ne? Bunu neden daha önce yapamadık? İşte neden. Basit bir ifade düşünün: $ \ sqrt (-2) $ - bu sayı klasik anlamda oldukça normaldir, ancak aritmetik kök açısından kesinlikle kabul edilemez. Onu dönüştürmeye çalışalım:

$ \ start (hizalama) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ sol (-2 \ sağ)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ bitiş (hiza) $

Gördüğünüz gibi, ilk durumda, eksiyi radikalin altından çıkardık (gösterge tek olduğu için her hakkımız var) ve ikincisinde yukarıdaki formülü kullandık. Onlar. matematik açısından her şey kurallara göre yapılır.

O NE LAN ?! Aynı sayı nasıl hem pozitif hem de negatif olabilir? Mümkün değil. Sadece pozitif sayılar ve sıfır için harika çalışan üs formülü, negatif sayılar söz konusu olduğunda sapkın olmaya başlar.

Bu belirsizlikten kurtulmak için aritmetik kökler buldular. Tüm özelliklerini ayrıntılı olarak ele aldığımız onlara ayrı bir büyük ders ayrılmıştır. Şimdi onlar üzerinde durmayacağız - ders zaten çok uzun çıktı.

Cebirsel kök: daha fazlasını bilmek isteyenler için

Bu konuyu ayrı bir paragrafa alıp almama konusunda uzun süre düşündüm. Sonunda buradan ayrılmaya karar verdim. Bu materyal, kökleri daha da iyi anlamak isteyenler için tasarlanmıştır - ortalama bir "okul" düzeyinde değil, Olimpiyat düzeyine yakın bir düzeyde.

Yani: bir sayıdan $ n $ -th derecesinin kökünün "klasik" tanımına ve bununla ilişkili çift ve tek göstergelere bölünmesine ek olarak, pariteye ve diğerlerine bağlı olmayan daha "yetişkin" bir tanım vardır. incelikler hiç. Buna cebirsel kök denir.

Tanım. Herhangi bir $ a $'ın $ n $ inci derecesinin cebirsel kökü, $ ((b) ^ (n)) = a $ olacak şekilde $ b $ tüm sayıların kümesidir. Bu tür kökler için yerleşik bir tanım yoktur, bu yüzden üstüne bir tire koyduk:

\ [\ üst çizgi (\ sqrt [n] (a)) = \ sol \ (b \ sol | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ sağ. \ sağ \) \]

Dersin başında verilen standart tanımdan temel farkı, cebirsel kökün belirli bir sayı değil, bir küme olmasıdır. Gerçek sayılarla çalıştığımız için bu kümenin yalnızca üç türü vardır:

1. Boş küme. Negatif bir sayıdan çift dereceli bir cebirsel kök bulmak gerektiğinde oluşur;
2. Tek bir elemandan oluşan bir küme. Tek derecelerin tüm kökleri ve sıfırdan çift derecelerin kökleri bu kategoriye girer;
3. Son olarak, küme iki sayı içerebilir - üzerinde gördüğümüz aynı $ ((x) _ (1)) $ ve $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $ grafik ikinci dereceden fonksiyon. Buna göre, böyle bir hizalama ancak pozitif bir sayıdan çift kök çıkarıldığında mümkündür.

İkinci durum daha ayrıntılı bir değerlendirmeyi hak ediyor. Farkı anlamak için birkaç örnek sayalım.

Örnek. İfadeleri değerlendirin:

\ [\ üst çizgi (\ sqrt (4)); \ dörtlü \ üst çizgi (\ sqrt (-27)); \ dörtlü \ üst çizgi (\ sqrt (-16)). \]

Çözüm. İlk ifade basittir:

\ [\ üst çizgi (\ sqrt (4)) = \ sol \ (2; -2 \ sağ \) \]

Kümenin parçası olan iki sayıdır. Çünkü her biri karede dört veriyor.

\ [\ üst çizgi (\ sqrt (-27)) = \ sol \ (-3 \ sağ \) \]

Burada sadece bir sayıdan oluşan bir küme görüyoruz. Kök üs tek olduğu için bu oldukça mantıklı.

Son olarak, son ifade:

\ [\ üst çizgi (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]

Boş bir setimiz var. Çünkü dördüncü (yani hatta!) Dereceye yükseltildiğinde bize eksi -16 verecek olan tek bir gerçek sayı yoktur.

Son açıklama. Lütfen dikkat: Gerçek sayılarla çalıştığımızı her yerde belirtmem tesadüf değildi. Karmaşık sayılar da olduğu için - orada $ \ sqrt (-16) $ ve diğer birçok garip şeyi saymak oldukça mümkündür.

Ancak, modern okul matematik dersinde karmaşık sayılar neredeyse hiç bulunmaz. Yetkililerimiz bu konuyu "anlaşılması çok zor" bulduğu için çoğu ders kitabından silindiler.

Bu kadar. Bir sonraki derste, köklerin tüm temel özelliklerine bakacağız ve sonunda irrasyonel ifadeleri nasıl sadeleştireceğimizi öğreneceğiz. :)