sonra rastgele değişken diyorlar ξ sahip olasılık dağılım yoğunluğu f (x).

Tanım.İzin vermek . Sürekli dağıtım fonksiyonu için F teorik α-kuantil denklemin çözümü denir.

Bu çözüm tek olmayabilir.

nicelik düzeyi ½ teorik olarak adlandırılan medyan , seviye nicelikleri ¼ ve ¾ -alt ve üst çeyrekler sırasıyla.

Aktüeryal uygulamalarda önemli bir rol oynar. Chebyshev eşitsizliği:

herhangi

Beklenen değerin sembolü.

Şöyle yazıyor: modülün, bölünen modülün matematiksel beklentisinden büyük veya ona eşit olma olasılığı.

Rastgele bir değişken olarak yaşam süresi

Ölüm anının belirsizliği, hayat sigortalarında önemli bir risk faktörüdür.

Bir bireyin ölüm anı hakkında kesin bir şey söylenemez. Bununla birlikte, büyük bir homojen insan grubuyla uğraşıyorsak ve bu gruptan bireysel insanların kaderiyle ilgilenmiyorsak, frekans kararlılığı özelliğine sahip kütle rastgele fenomen bilimi olarak olasılık teorisi çerçevesindeyiz. .

Sırasıyla, yaşam beklentisi hakkında rastgele bir değişken T olarak konuşabiliriz.

hayatta kalma fonksiyonu

Olasılık teorisinde, herhangi bir rastgele değişkenin stokastik doğasını tanımlarlar. T dağıtım işlevi F(x), rastgele değişkenin olma olasılığı olarak tanımlanan T sayıdan az x:

.

Aktüeryal matematikte, bir dağıtım fonksiyonu ile değil, ek bir dağıtım fonksiyonu ile çalışmak hoştur. . Uzun yaşamla ilgili olarak, bu, bir kişinin yaşlanana kadar yaşama olasılığıdır. x yıllar.

aranan hayatta kalma fonksiyonu(hayatta kalma fonksiyonu):

Hayatta kalma işlevi aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Yaşam tablolarında, genellikle bazı şeylerin olduğu varsayılır. yaş sınırı (sınırlama yaşı) (kural olarak, yıllar) ve buna göre x>.

Ölümlülüğü analitik yasalarla tanımlarken, genellikle yaşam süresinin sınırsız olduğu düşünülür, ancak yasaların türü ve parametreleri, belirli bir yaşın üzerindeki yaşam olasılığının ihmal edilebilir olacağı şekilde seçilir.

Hayatta kalma fonksiyonunun basit bir istatistiksel anlamı vardır.

Diyelim ki, ölüm anlarını gözlemlediğimiz ve kaydedebildiğimiz bir grup yenidoğanı (kural olarak) gözlemliyoruz.

Bu grubun yaşları boyunca yaşayan temsilcilerinin sayısını belirleyelim. O zamanlar:

.

sembol E burada ve aşağıda matematiksel beklentiyi belirtmek için kullanılır.

Dolayısıyla, hayatta kalma işlevi, belirli bir sabit yenidoğan grubundan yaşa kadar hayatta kalan yenidoğanların ortalama oranına eşittir.

Aktüeryal matematik genellikle bir hayatta kalma işleviyle değil, yeni girilen değerle (ilk grup boyutunu sabitleyerek) çalışır.

Hayatta kalma işlevi yoğunluğa göre geri yüklenebilir:

Yaşam beklentisi özellikleri

Pratik bir bakış açısından, aşağıdaki özellikler önemlidir:

1 . Ortalamaömür

,
2 . Dağılımömür

,
nerede
,

1.1. Kombinatoriklerden bazı bilgiler

1.1.1. Konaklama

Bir dizi nesnenin seçimi ve konumu ile ilgili en basit kavramları düşünün.
Bu eylemlerin gerçekleştirilebileceği yolların sayısını saymak, genellikle olasılık problemlerini çözerken yapılır.
Tanım... Konaklama n tarafından elemanlar k (k ≤n) herhangi bir sıralı alt küme olarak adlandırılır. k oluşan kümenin elemanları nçeşitli unsurlar.
Örnek. Aşağıdaki sayı dizileri, kümenin 3 elemanından (1; 2; 3) 2 elemanlı yerleşimlerdir: 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Yerleşimlerin, kurucu öğelerinin sırasına ve bileşimlerine göre farklılık gösterdiğine dikkat edin. 12 ve 21 numaralı yerleşimler aynı sayıları içerir, ancak sıralamaları farklıdır. Bu nedenle, bu yerleşimler farklı olarak kabul edilir.
Farklı yerleşimlerin sayısı n tarafından elemanlar k formülle gösterilir ve hesaplanır:
,
nerede n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(okur " n- faktöriyel ").
1, 2, 3 rakamlarından herhangi bir basamak tekrarlanmamak kaydıyla oluşturulabilecek iki basamaklı sayıların sayısı :'ye eşittir.

1.1.2. permütasyonlar

Tanım... gelen permütasyonlar n elemanlara bu tür yerleşimler denir n Yalnızca öğelerin düzeninde farklılık gösteren öğeler.
permütasyon sayısı n elementler P n formülle hesaplanır: P n=n!
Örnek. 5 kişi kaç farklı şekilde sıraya girebilir? Yol sayısı, 5 elementin permütasyon sayısına eşittir, yani.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Tanım... arasında ise n elementler k aynı, sonra bunları yeniden düzenleyin n elementlere tekrarlı permütasyon denir.
Örnek. 6 kitaptan 2 özdeş kitap olsun. Raftaki tüm kitapların herhangi bir düzenlemesi - tekrarlı permütasyon.
Tekrarlı farklı permütasyonların sayısı ( n dahil olmak üzere elemanlar közdeş) şu formülle hesaplanır:
Örneğimizde, raftaki kitapları düzenleyebileceğiniz yolların sayısı:.

1.1.3. kombinasyonlar

Tanım... kombinasyonları n tarafından elemanlar k bu tür yerleşimler n tarafından elemanlar k birbirinden en az bir unsurla farklılık gösteren
Farklı kombinasyonların sayısı n tarafından elemanlar k formül ile gösterilir ve hesaplanır:.
Tanım olarak, 0!=1.
Aşağıdaki özellikler kombinasyonlar için geçerlidir:
1.
2.
3.
4.
Örnek. Farklı renklerde 5 çiçek var. Buket için 3 çiçek seçilir. 5 çiçekten 3'ünün farklı buketlerinin sayısı şuna eşittir:

1.2. Rastgele olaylar

1.2.1. Olaylar

Doğa bilimlerinde gerçeklik bilgisi, testler (deney, gözlem, deneyim) sonucunda gerçekleşir.
Ölçek veya deneyim, istenildiği kadar çoğaltılabilen belirli bir dizi koşulun gerçekleştirilmesidir.
Rastgele bazı test (deneyim) sonucunda meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek olaya denir.
Böylece olay bir test sonucu olarak kabul edilir.
Örnek. Bozuk para atmak bir meydan okumadır. Bir kartalın fırlatıldığında ortaya çıkması bir olaydır.
Gözlemlediğimiz olaylar, meydana gelme olasılıklarının derecesi ve birbirleriyle olan bağlantılarının doğası bakımından farklılık gösterir.
olay denir dürüst Bu test sonucunda mutlaka ortaya çıkacaksa.
Örnek. Bir öğrencinin sınavdan olumlu veya olumsuz not alması, sınavın olağan kurallara göre ilerlemesi durumunda güvenilir bir olaydır.
olay denir imkansız eğer bu test sonucunda ortaya çıkmazsa.
Örnek.İçinde sadece renkli (beyaz olmayan) toplar bulunan bir kavanozdan beyaz bir topun çıkarılması imkansız bir olaydır. Diğer deneysel koşullar altında beyaz bir topun görünümünün hariç tutulmadığına dikkat edin; bu nedenle, bu olay yalnızca bizim deneyimimizin koşulları altında imkansızdır.
Bundan sonra, rastgele olaylar büyük Latin harfleri A, B, C ile gösterilecektir ... Güvenilir bir olay Ω harfi ile, imkansız - Ø ile gösterilecektir.
İki veya daha fazla olay denir eşit derecede mümkün Bu testte, bu olayların hiçbirinin diğerlerinden daha fazla veya daha az mümkün olmadığına inanmak için bir neden varsa.
Örnek. Bir zarın atılmasıyla, 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 puanın ortaya çıkması - tüm bu olaylar eşit derecede mümkündür. Zarların elbette tek tip bir malzemeden yapıldığı ve doğru şekle sahip olduğu varsayılır.
iki olay denir tutarsız Belirli bir testte, birinin görünümü diğerinin görünümünü engelliyorsa ve bağlantı aksi halde.
Örnek. Kutu standart ve standart olmayan parçalar içerir. İyi şanslar için bir detay alalım. Standart bir parçanın görünümü, standart olmayan bir parçanın görünümünü ortadan kaldırır. Bu olaylar tutarsız.
Birkaç olay formu tam bir etkinlik grubu bu testte, eğer bu test sonucunda bunlardan en az biri mutlaka gerçekleşecektir.
Örnek.Örnekteki olaylar, eşit derecede mümkün ve ikili olarak uyumsuz olaylardan oluşan eksiksiz bir grup oluşturur.
Belirli bir denemede tam bir olaylar grubunu oluşturan iki uyumsuz olaya denir. zıt olaylar.
Bunlardan biri ile gösterilirse A, sonra diğeri genellikle ("değil" okuyun) ile gösterilir. A»).
Örnek. Bir hedefe tek atışla vurmak ve ıskalamak zıt olaylardır.

1.2.2. Olasılığın klasik tanımı

olay olasılığı - saldırı olasılığının sayısal bir ölçüsü.
Etkinlik A aranan elverişli Etkinlik V eğer bir olay meydana geldiğinde A, olay da geliyor V.
Olaylar A 1 , A 2 , ..., An form vaka diyagramı , Eğer onlar:
1) eşit derecede mümkündür;
2) ikili uyumsuz;
3) tam bir grup oluşturun.
Durum şemasında (ve sadece bu şemada) olasılığın klasik bir tanımı vardır. P(A) Etkinlikler A... Burada, eşit olarak mümkün ve ikili olarak uyumsuz olayların seçilen tam grubuna ait olayların her birine bir durum denir.
Eğer n Programdaki tüm vakaların sayısı ve m- olay için elverişli vaka sayısı A, sonra olay olasılığı A eşitlik ile tanımlanır:

Aşağıdaki özellikler olasılık tanımından çıkar:
1. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.
Gerçekten de, eğer olay kesin ise, o zaman olaylar örüntüsündeki her olay, olay lehinedir. Bu durumda m = n ve bu nedenle

2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.
Gerçekten de, eğer bir olay imkansızsa, o zaman olaylar şemasındaki olayların hiçbiri olayın lehine değildir. Böyle m= 0 ve dolayısıyla

Rastgele bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasında pozitif bir sayıdır.
Gerçekten de, vaka şemasındaki toplam vaka sayısının sadece bir kısmı rastgele bir olayı desteklemektedir. Bu nedenle 0<m<n, ve bu nedenle, 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P (A) < 1.
Böylece, herhangi bir olayın olasılığı eşitsizlikleri sağlar
0 ≤ P (A) ≤ 1.
Şu anda, olasılığın özellikleri, A.N. tarafından formüle edilen aksiyomlar şeklinde tanımlanmaktadır. Kolmogorov.
Klasik olasılık tanımının ana avantajlarından biri, bir olayın olasılığını doğrudan hesaplama yeteneğidir, yani. mantıksal akıl yürütme ile değiştirilen deneylere başvurmadan.

Olasılıkların doğrudan hesaplanması sorunları

Görev 1.1... Bir kalıp rulosunda çift sayıda noktanın (olay A) meydana gelme olasılığı nedir?
Çözüm... Olayları göz önünde bulundurun ABence- düştü Bence puan, Bence= 1, 2, ..., 6. Açıkçası, bu olaylar bir vaka diyagramı oluşturur. Daha sonra tüm vakaların sayısı n= 6. Durumlarda çift sayıda puan tercih edilir A 2 , A 4 , A 6, yani m= 3. Sonra .
Görev 1.2... Vazoda 5 beyaz ve 10 siyah top bulunmaktadır. Toplar iyice karıştırılır ve rastgele 1 top alınır. Dışarı atılan bir topun beyaz çıkma olasılığı nedir?
Çözüm... Toplamda bir vaka diyagramı oluşturan 15 vaka vardır. Ayrıca beklenen olay A- beyaz bir topun görünümü, 5 tanesi lehte, bu nedenle .
Görev 1.3... Çocuk alfabenin altı harfiyle oynar: A, A, E, K, P, T. Yanlışlıkla CARETA kelimesini ekleme olasılığını bulun (A olayı).
Çözüm... Karar, harfler arasında aynı olduğu gerçeğiyle karmaşıktır - iki harf "A". Bu nedenle, bu testteki tüm olası vakaların sayısı, 6 harfli tekrarlı permütasyonların sayısına eşittir:
.
Bu durumlar eşit derecede mümkündür, ikili olarak uyumsuzdur ve eksiksiz bir olaylar grubu oluşturur, yani. bir durum diyagramı oluşturun. Sadece bir olay bir olayı destekliyor A... Böyle
.
Görev 1.4... Tanya ve Vanya, Yeni Yılı 10 kişilik bir şirkette kutlamayı kabul ettiler. İkisi de gerçekten yan yana oturmak istiyorlardı. Arkadaşları arasında kura ile yer dağıtmak adetse, dileklerinin gerçekleşme olasılığı nedir?
Çözüm... ile belirtelim A olay "Tanya ve Vanya'nın isteklerinin yerine getirilmesi". 10 masaya 10 kişi oturabilir! Farklı yollar. bunlardan kaç tanesi n= 10! Tanya ve Vanya için eşit derecede olası yollar uygun mu? Tanya ve Vanya yan yana oturarak 20 farklı pozisyon alabilirler. Aynı zamanda, sekiz arkadaşı masa 8'e oturabilir! farklı şekillerde, bu nedenle m= 20 ∙ 8 !. Buradan,
.
Görev 1.5... 5 kadın ve 20 erkekten oluşan bir grup üç delege seçer. Aynı olasılığa sahip olanlardan her birinin seçilebileceğini varsayarak, iki kadın ve bir erkeğin seçilme olasılığını bulun.
Çözüm... Eşit olası deneme sonuçlarının toplam sayısı, 25 kişiden üç delegenin seçilebileceği yolların sayısına eşittir, yani. ... Şimdi uygun durumların sayısını sayalım, yani. ilgilenilen olayın gerçekleştiği vaka sayısı. Bir erkek delege yirmi şekilde seçilebilir. Bu durumda diğer iki delege kadın olmalı ve beş kadından ikisini seçebilirsiniz. Buradan, . Böyle
.
Görev 1.6. Dört top rastgele dört deliğe dağılır, her top aynı olasılıkla ve diğerlerinden bağımsız olarak bir veya başka bir deliğe çarpar (birkaç top için aynı deliğe çarpmanın önünde hiçbir engel yoktur). Deliklerden birinde, diğerinde üç top olması ve diğer iki delikte hiç top olmaması olasılığını bulun.
Çözüm. Toplam vaka sayısı n= 4 4. Üç bilyeli bir deliği seçebileceğiniz yol sayısı. Bir topun olacağı bir deliği seçebileceğiniz yol sayısı. Dört top arasından seçim yapabileceğiniz yol sayısı, onları ilk deliğe yerleştirmek için üçtür. Toplam olumlu vaka sayısı. Olay olasılığı:
Görev 1.7. Kutuda 1, 2,…, 10 sayılarıyla işaretlenmiş 10 özdeş top var. Şans için altı top çekildi. Çıkarılan toplar arasında şunlar olma olasılığını bulun: a) top # 1; b) # 1 ve # 2 numaralı toplar.
Çözüm... a) Olası temel test sonuçlarının toplam sayısı, on üzerinden altı topun çıkarılabileceği yolların sayısına eşittir, yani.
Bizi ilgilendiren olaya uygun sonuç sayısını bulalım: seçilen altı top arasında 1 numaralı top var ve bu nedenle diğer beş topun farklı numaraları var. Bu tür sonuçların sayısı, açıkça, kalan dokuz top arasından beş topun seçilebileceği yolların sayısına eşittir, yani.
İstenen olasılık, dikkate alınan olay için uygun olan sonuçların sayısının olası temel sonuçların toplam sayısına oranına eşittir:
b) Bizi ilgilendiren olaya uygun sonuçların sayısı (seçilen toplar arasında 1 ve 2 numaralı toplar vardır, bu nedenle dört top farklı sayılara sahiptir) dört topun çıkarılabileceği yolların sayısına eşittir. kalan sekizden, yani olasılık arayışı

1.2.3. istatistiksel olasılık

Olasılığın istatistiksel tanımı, bir deneyin sonuçları eşit derecede mümkün olmadığında kullanılır.
Olayın göreli sıklığı A eşitlik ile tanımlanır:
,
nerede m- olayın gerçekleştiği deneme sayısı A gelmek n- gerçekleştirilen toplam test sayısı.
J. Bernoulli, deney sayısındaki sınırsız bir artışla, bir olayın nispi oluşma sıklığının pratik olarak belirli bir sabit sayıdan çok az farklı olacağını kanıtladı. Bu sabit sayının bir olayın meydana gelme olasılığı olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, doğal olarak, yeterince fazla sayıda test içeren bir olayın göreceli sıklığı, daha önce tanıtılan olasılığın aksine istatistiksel olasılık olarak adlandırılır.
Örnek 1.8... Göldeki yaklaşık balık sayısı nasıl tahmin edilir?
göle girmesine izin ver x balık. Ağı atıyoruz ve diyelim ki içinde bulduk n balık. Her birini işaretliyoruz ve geri bırakıyoruz. Birkaç gün sonra, aynı havada ve aynı yerde aynı ağı attık. İçinde m balık bulduğumuzu varsayalım. k etiketli. olay olsun A- “yakalanan balık etiketlenir”. Daha sonra bağıl frekansın tanımına göre.
Ama eğer göldeyse x balık ve içine saldık n etiketli yani.
Çünkü r * (A) » r(A), sonra .

1.2.4. Olaylarla ilgili işlemler. Olasılık toplama teoremi

Toplam veya birkaç olayın birleştirilmesine, bu olaylardan en az birinin (aynı testte) meydana gelmesinden oluşan bir olay denir.
toplam A 1 + A 2 + … + An aşağıdaki gibi gösterilir:
veya .
Örnek... İki zar atılır. olay olsun A 1 zarda 4 puan kaybından oluşur ve olay V- diğer kalıp 5 puanlık düşüşte. Olaylar A ve V ortaktır. Bu nedenle olay A +V aynı anda ilk zarda 4 puan veya ikinci zarda 5 puan veya ilk zarda 4 puan ve ikinci zarda 5 puan atmaktan oluşur.
Örnek. Etkinlik A- 1 kredi, etkinlik için kazanç V- 2. krediden elde edilen kazançlar. sonra olay A + B- en az bir kredi kazanmak (muhtemelen aynı anda iki tane).
Ürüne göre veya birkaç olayın kesişimi, tüm bu olayların ortak görünümünden oluşan bir olaydır (aynı testte).
Çalışmak V Etkinlikler A 1 , A 2 , …, An aşağıdaki gibi gösterilir:
.
Örnek. Olaylar A ve V Enstitüye girerken sırasıyla I ve II turlarının başarıyla tamamlanmasından oluşur. sonra olay A× B her iki turu da başarıyla tamamlamaktan ibarettir.
Olayların toplamı ve çarpımı kavramlarının net bir geometrik yorumu vardır. olay olsun A bölgede bir nokta vuruşu var A ve olay V- bölgede bir noktaya vurmak V... sonra olay A + B bu alanların birleşiminde bir nokta var (Şekil 2.1) ve olay AV bu alanların kesiştiği noktada bir nokta vuruşu var (Şekil 2.2).

Pirinç. 2.1 Şek. 2.2
teorem... eğer olaylar bir ben(Bence = 1, 2, …, n) ikili olarak tutarsızsa, olayların toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:
.
İzin vermek A ve Ā - zıt olaylar, yani bir + Ā= Ω, burada Ω geçerli bir olaydır. Toplama teoreminden şu sonuç çıkar
P (Ω) = r(A) + r(Ā ) = 1, bu nedenle
r(Ā ) = 1 – r(A).
eğer olaylar A 1 ve A 2 tutarlıysa, iki ortak olayın toplamının olasılığı:
r(A 1 + A 2) = r(A 1) + r(A 2) - P ( A 1 × A 2).
Olasılıkların eklenmesi teoremleri, olasılıkların doğrudan hesaplanmasından karmaşık olayların meydana gelme olasılıklarının belirlenmesine kadar gitmeye izin verir.
Görev 1.8... Atıcı hedefe tek atış yapar. 10 puanı nakavt etme olasılığı (olay A), 9 puan (etkinlik V) ve 8 puan (etkinlik İLE) sırasıyla 0.11'e eşittir; 0.23; 0.17. Tek atışta atıcının 8 puandan az puan alma olasılığını bulun (olay D).
Çözüm... Ters olaya geçelim - tek atışta atıcı en az 8 sayı vuracak. Bir olay gerçekleşirse gerçekleşir A veya V, veya İLE, yani ... olaylardan beri A, B, İLE ikili olarak tutarsızdır, o zaman toplama teoremi ile,
, nerede .
Görev 1.9... 6 erkek ve 4 kadından oluşan tugay ekibinden sendika konferansına iki kişi seçilir. Seçilen kadınlardan en az birinin (olay A).
Çözüm... Bir olay meydana gelirse A, o zaman aşağıdaki tutarsız olaylardan biri kesinlikle gerçekleşecektir: V- “bir erkek ve bir kadın seçildi”; İLE- “iki kadın seçildi”. Bu nedenle şunları yazabiliriz: A = B + C... Olayların olasılığını bulun V ve İLE... 10 kişiden 2'si bir şekilde seçilebilir. 4 kadından ikisi farklı şekillerde seçilebilir. Bir erkek ve bir kadın 6 × 4 şekilde seçilebilir. O zamanlar . olaylardan beri V ve İLE tutarsızdır, o zaman, toplama teoremi ile,
P (A) = P (B + C) = P (B) + P (C)) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Görev 1.10. Kitaplıktaki bir rafa beşi ciltli on beş ders kitabı rastgele dizilmiştir. Kütüphaneci rastgele üç ders kitabı alır. Alınan ders kitaplarından en az birinin ciltlenmiş olma olasılığını bulun (olay A).
Çözüm... İlk yol. Aşağıdaki üç tutarsız olaydan herhangi biri meydana gelirse, gereklilik - alınan üç ciltli ders kitabından en az biri - karşılanacaktır: V- bir ciltli ders kitabı, İLE- iki ciltli ders kitabı, D- üç ciltli ders kitabı.
Bizi ilgilendiren olay A olayların toplamı olarak temsil edilebilir: A = B + C + D... Toplama teoremi ile,
P (A) = P (B) + P (C) + P (D). (2.1)
Olayların olasılığını bulun M.Ö ve D(kombinatoryal şemalara bakınız):

Bu olasılıkları eşitlikte (2.1) temsil ederek, sonunda elde ederiz.
P (A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
İkinci yol. Etkinlik A(Alınan üç ders kitabından en az biri ciltlidir) ve Ā (alınan ders kitaplarının hiçbiri ciltli değildir) zıttır, yani P (A) + P (Ā) = 1 (zıt iki olayın olasılıklarının toplamı 1'dir). Buradan P (A) = 1 – P (Ā). olay olasılığı Ā (alınan ders kitaplarının hiçbiri ciltli değildir)
olasılık arayışı
P (A) = 1 -P (Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Şartlı olasılık. Olasılık çarpma teoremi

Şartlı olasılık P (B/A), A olayının zaten meydana geldiği varsayımı altında hesaplanan B olayının olasılığıdır.
teorem... İki olayın birlikte meydana gelme olasılığı, birinci olayın zaten meydana geldiği varsayımı altında hesaplanan, birinin olasılıklarının diğerinin koşullu olasılığı ile çarpımına eşittir:
P (A∙B) = P (A) ∙ Р ( V/A). (2.2)
Herhangi birinin meydana gelmesi, diğerinin meydana gelme olasılığını değiştirmiyorsa, iki olay bağımsız olarak adlandırılır, yani.
P (A) = P (A / B) veya P (B) = P (B/A). (2.3)
eğer olaylar A ve V bağımsızdır, o zaman formül (2.2) ve (2.3) ima eder
P (A∙B) = P (A)∙P (B). (2.4)
Bunun tersi de doğrudur, yani. eşitlik (2.4) iki olay için geçerliyse, bu olaylar bağımsızdır. Gerçekten de, formüller (2.4) ve (2.2) şunları ima eder:
P (A∙B) = P (A)∙P (B) = P (A) × P (B/A), nerede P (A) = P (B/A).
Formül (2.2), sonlu sayıda olay durumuna genelleştirilebilir A 1 , A 2 ,…,Bir:
P (A 1 ∙A 2 ∙…∙Bir)=P (A 1)∙P (A 2 /A 1)∙P (A 3 /A 1 A 2)∙…∙Tava/A 1 A 2 …Bir -1).
Görev 1.11... 5 beyaz ve 10 siyah topun bulunduğu semaverden arka arkaya iki top çıkarın. Her iki topun da beyaz olma olasılığını bulun (olay A).
Çözüm... Olayları düşünün: V- çıkarılan ilk top beyazdır; İLE- kaldırılan ikinci top beyazdır. O zamanlar A = M.Ö..
Deney iki şekilde yapılabilir:
1) geri dönüşlü: çıkarılan top, rengi sabitledikten sonra urn'e geri gönderilir. Bu durumda olaylar V ve İLE bağımsız:
P (A) = P (B)∙P (C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) geri dönüş yok: çıkarılan top yana yatırılır. Bu durumda olaylar V ve İLE bağımlı:
P (A) = P (B)∙P (C/V).
Bir etkinlik için Vşartlar aynı ve İLE durum değişti. Olmuş V, bu nedenle, vazoda 4'ü beyaz olmak üzere 14 top kaldı.
Böyle, .
Görev 1.12... 50 ampulden 3 tanesi standart değildir. Aynı anda alınan iki ampulün standart dışı olma olasılığını bulun.
Çözüm... Olayları düşünün: A- ilk ışık standart dışıdır, V- ikinci ışık standart değildir, İLE- her iki ampul de standart değildir. açık ki C = Bir∙V... Etkinlik A 50 vakadan 3'ü olumludur, yani. P (A) = 3/50. eğer olay A zaten geldi, sonra olay V 49 vakadan ikisi olumludur, yani. P (B/A) = 2/49. Buradan,
.
Hedef 1.13... İki sporcu birbirinden bağımsız olarak bir hedefe ateş eder. Birinci sporcunun hedefi vurma olasılığı 0,7, ikincisi ise 0,8'dir. Hedefin vurulma olasılığı nedir?
Çözüm... Hedef, birinci atıcıyı, ikinciyi veya her ikisini birden vurursa, yani hedef vurulur. bir olay gerçekleşecek A + B olay nerede A hedefi vuran ilk atlet ve olay V- ikinci. O zamanlar
P (A+V)=P (A)+P (B)–P (A∙V)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Görev 1.14. Okuma odasında üçü ciltli olmak üzere olasılık teorisi üzerine altı ders kitabı var. Kütüphaneci rastgele iki ders kitabı aldı. İki ders kitabının ciltlenme olasılığını bulun.
Çözüm... Olayların notasyonunu tanıtalım : A- alınan ilk ders kitabı ciltlidir, V- ikinci ders kitabı ciltlenmiştir. İlk ders kitabının ciltlenmiş olma olasılığı
P (A) = 3/6 = 1/2.
Alınan ilk ders kitabının ciltlenmesi şartıyla ikinci ders kitabının ciltli olma olasılığı, yani. bir olayın koşullu olasılığı V, bu: P (B/A) = 2/5.
Olayların olasılıkları için çarpma teoremi ile her iki ders kitabının da bağlı olma olasılığının aranması
P (AB) = P (A) ∙ P (B/A)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Görev 1.15. Atölyede 7 erkek ve 3 kadın çalışmaktadır. Personel sayılarına göre rastgele üç kişi seçilmiştir. Seçilen tüm bireylerin erkek olma olasılığını bulun.
Çözüm... Olayların notasyonunu tanıtalım: A- önce adam seçildi, V- ikinci bir adam seçildi, İLE -üçüncüsü bir erkek. Önce bir erkeğin seçilme olasılığı, P (A) = 7/10.
Bir erkeğin daha önce seçilmiş olması koşuluyla, bir erkeğin ikinci seçilme olasılığı, yani. bir olayın koşullu olasılığı V sonraki : P (B / A) = 6/9 = 2/3.
İki kişinin önceden seçilmiş olması koşuluyla, bir kişinin üçüncü olarak seçilme olasılığı, yani. bir olayın koşullu olasılığı İLE bu: P (C/AB) = 5/8.
Seçilen üç kişinin hepsinin erkek olma olasılığını araştırarak, P (ABC) = P (A) P (B/A) P (C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.

1.2.6. Toplam olasılık formülü ve Bayes formülü

İzin vermek B 1 , B 2 ,…, ben- ikili uyumsuz olaylar (hipotezler) ve A- sadece bunlardan biriyle birlikte meydana gelebilecek bir olay.
Ek olarak, bildiğimize izin verin P (B ben) ve P (A/ben) (Bence = 1, 2, …, n).
Bu koşullar altında aşağıdaki formüller geçerlidir:
(2.5)
(2.6)
Formül (2.5) denir toplam olasılık formülü ... Bir olayın olasılığını hesaplar A(tam olasılık).
Formül (2.6) denir Bayes formülü ... Olay varsa hipotezlerin olasılıklarını yeniden hesaplamanıza izin verir. A olmuş.
Örnekleri derlerken, hipotezlerin tam bir grup oluşturduğunu varsaymak uygundur.
Hedef 1.16... Sepet aynı türden dört ağaçtan elma içerir. Tüm elmaların ilk - % 15'inden, ikinci - % 35'inden, üçüncü - %20'sinden, dördüncü - %30'undan. Olgun elmalar sırasıyla %99, %97, %98, %95'tir.
a) Rastgele alınan bir elmanın olgun olma olasılığı nedir? A).
b) Rastgele alınan elmanın olgun olması şartıyla ilk ağaçtan olma olasılığını hesaplayınız.
Çözüm... a) 4 hipotezimiz var:
B 1 - rastgele alınan bir elma 1. ağaçtan çıkarılır;
B 2 - rastgele alınan bir elma 2. ağaçtan çıkarılır;
B 3 - rastgele alınan bir elma 3. ağaçtan çıkarılır;
B 4 - Rastgele alınan elma 4. ağaçtan alınır.
Koşullara göre olasılıkları: P (B 1) = 0,15; P (B 2) = 0,35; P (B 3) = 0,2; P (B 4) = 0,3.
Koşullu olay olasılıkları A:
P (A/B 1) = 0,99; P (A/B 2) = 0,97; P (A/B 3) = 0,98; P (A/B 4) = 0,95.
Rastgele alınan bir elmanın olgun olma olasılığı, toplam olasılık formülü ile bulunur:
P (A)=P (B 1)∙P (A/B 1)+P (B 2)∙P (A/B 2)+P (B 3)∙P (A/B 3)+P (B 4)∙P (A/B 4)=0,969.
b) Bizim durumumuz için Bayes formülü şöyle görünür:
.
Görev 1.17.İçinde iki top bulunan bir kavanoza beyaz bir top atılıyor ve ondan rastgele bir top alınıyor. Topların ilk bileşimi (renge göre) hakkında tüm olası varsayımlar eşit derecede mümkünse, çıkarılan topun beyaz olma olasılığını bulun.
Çözüm... ile belirtelim A olay - beyaz top kaldırılır. Topların ilk bileşimi hakkında aşağıdaki varsayımlar (hipotezler) mümkündür: B1- beyaz top yok, 2 İÇİNDE- bir beyaz top, 3'TE- iki beyaz top.
Toplamda üç hipotez olduğundan ve hipotezlerin olasılıklarının toplamı 1 olduğundan (tam bir olay grubu oluşturduklarından), hipotezlerin her birinin olasılığı 1/3'tür, yani.
P (B 1) = P (B 2)= P (B 3) = 1/3.
Kutuda başlangıçta hiç beyaz top olmaması koşuluyla, beyaz bir topun çekileceği koşullu olasılığı, P (A/B 1) = 1/3. Kutuda orijinal olarak bir beyaz top olduğu göz önüne alındığında, beyaz bir topun çekileceği koşullu olasılığı, P (A/B 2) = 2/3. Kutuda başlangıçta iki beyaz top olması koşuluyla, beyaz bir topun çekileceği koşullu olasılığı P (A/B 3)=3/ 3=1.
Toplam olasılık formülünü kullanarak beyaz topun çekilmesi için istenen olasılığı buluyoruz:
r(A)=P (B 1)∙P (A/B 1)+P (B 2)∙P (A/B 2)+P (B 3)∙P (A/B 3) = 1/3 1/3 + 1/3 2/3 + 1/3 1 = 2/3 .
Hedef 1.18... İki makine, ortak bir konveyöre giden özdeş parçalar üretir. Birinci makinenin üretkenliği, ikinci makinenin iki katıdır. İlk otomatik makine, mükemmel kalitede parçaların ortalama% 60'ını ve ikinci -% 84'ünü üretiyor. Montaj hattından rastgele alınan parçanın mükemmel kalitede olduğu ortaya çıktı. Bu parçanın ilk makine tarafından üretilmiş olma olasılığını bulunuz.
Çözüm... ile belirtelim A etkinlik mükemmel kalitede bir öğedir. İki varsayım yapılabilir: B1- parça birinci makine tarafından üretilir, ayrıca (birinci makine ikinci makinenin iki katı kadar parça ürettiği için) P (A/B 1) = 2/3; B 2 - parça ikinci makine tarafından üretilir ve P (B 2) = 1/3.
Parçanın ilk otomatik makine tarafından üretilmesi durumunda mükemmel kalitede olma koşullu olasılığı, P (A/B 1)=0,6.
Parçanın ikinci otomatik makine tarafından üretilmesi durumunda mükemmel kalitede olma koşullu olasılığı, P (A/B 1)=0,84.
Toplam olasılık formülüne göre, rastgele alınan bir parçanın mükemmel kalitede çıkma olasılığı,
P (A)=P (B 1) ∙P (A/B 1)+P (B 2) ∙P (A/B 2) = 2/3 0,6 + 1/3 0,84 = 0,68.
Bayes formülüne göre, alınan mükemmel parçanın birinci otomat tarafından üretilme olasılığının aranması, şuna eşittir:

Hedef 1.19... Her biri 20 parçadan oluşan üç parti var. Birinci, ikinci ve üçüncü partideki standart parça sayısı sırasıyla 20, 15, 10'dur. Seçilen partiden standart olduğu anlaşılan bir parça rastgele çıkarılmıştır. Parçalar partiye geri gönderilir ve ikinci kez aynı partiden bir parça rasgele çıkarılır ve bunun da standart olduğu ortaya çıkar. Parçaların üçüncü partiden geri kazanılmış olma olasılığını bulun.
Çözüm... ile belirtelim A olay - iki testin her birinde (geri dönüşlü) standart bir parça çıkarıldı. Üç varsayım (hipotez) yapılabilir: B 1 - ilk partiden parçalar çıkarılır, V 2 - ikinci partiden parçalar çıkarılır, V 3 - üçüncü partiden parçalar çıkarılır.
Ayrıntılar, alınan partiden rastgele alınmıştır, bu nedenle hipotezlerin olasılıkları aynıdır: P (B 1) = P (B 2) = P (B 3) = 1/3.
Koşullu olasılığı bulun P (A/B 1), yani iki standart parçanın birinci partiden art arda çıkarılma olasılığı. Bu olay güvenilir çünkü ilk partide tüm parçalar standarttır, bu nedenle P (A/B 1) = 1.
Koşullu olasılığı bulun P (A/B 2), yani iki standart parçanın ikinci partiden sırayla (geri ile birlikte) çıkarılma olasılığı: P (A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Koşullu olasılığı bulun P (A/B 3), yani iki standart parçanın üçüncü partiden sırayla (geri ile birlikte) çıkarılma olasılığı: P (A/B 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Bayes formülünü kullanarak, çıkarılan her iki standart parçanın da üçüncü bir partiden olma olasılığını aramak,

1.2.7. tekrarlanan testler

Birkaç test yapılırsa ve bir olayın olasılığı A her denemede diğer denemelerin sonuçlarına bağlı değilse, bu tür denemelere denir A olayına ilişkin bağımsızÇeşitli bağımsız denemelerde, olay A farklı olasılıklara veya aynı olasılığa sahip olabilir. Ayrıca, yalnızca olayın gerçekleştiği bu tür bağımsız testleri ele alacağız. A aynı olasılığa sahiptir.
Üretilmesine izin ver P her birinde bir olay olan bağımsız testler A görünebilir veya görünmeyebilir. Bir olayın olasılığını kabul edelim. A her testte aynıdır, yani eşittir R. Bu nedenle, olayın gerçekleşmeme olasılığı A her testte de sabittir ve 1– R. Böyle bir olasılık şeması denir Bernoulli şeması... için şu olasılığı hesaplama görevini kendimize koyalım: P Bernoulli test olayı A tam olarak gerçekleşecek k bir Zamanlar ( k Başarı sayısı) ve bu nedenle gerçekleştirilmeyecek P- bir Zamanlar. olayının gerekli olmadığını vurgulamak önemlidir. A aynen tekrarlandı k kez belirli bir sırayla. Gerekli olasılık ile gösterilir Pn (k). Örneğin, sembol r 5 (3), beş testte olayın tam olarak 3 kez ortaya çıkma ve dolayısıyla 2 kez gerçekleşmeme olasılığı anlamına gelir.
Sorun sözde kullanılarak çözülebilir Bernoulli formülleri, hangi gibi görünüyor:
.
Görev 1.20. Bir gün boyunca elektrik tüketiminin belirlenen normu geçmeme olasılığı şuna eşittir: r= 0.75. Önümüzdeki 6 gün içinde 4 günlük güç tüketiminin normu aşmama olasılığını bulun.
Çözüm. 6 günün her birinde normal elektrik tüketimi olasılığı sabittir ve şuna eşittir: r= 0.75. Sonuç olarak, günde aşırı elektrik tüketimi olasılığı da sabittir ve şuna eşittir: q = 1–r=1–0,75=0,25.
Bernoulli formülüyle istenen olasılık,
.
Hedef 1.21... İki eşdeğer satranç oyuncusu satranç oynar. Hangisi daha olasıdır: dört maçın ikisinde veya altı oyunun üçünde (beraberlik dikkate alınmaz) kazanmak için mi?
Çözüm... Eşdeğer satranç oyuncuları oynar, dolayısıyla kazanma olasılığı r= 1/2, bu nedenle, kaybetme olasılığı Q ayrıca 1/2'dir. Çünkü tüm oyunlarda kazanma olasılığı sabittir ve oyunların hangi sırayla kazanılacağı önemli değildir, o zaman Bernoulli formülü uygulanabilir.
Dört oyundan ikisinin kazanılma olasılığını bulalım:

Altı oyundan üçünün kazanılma olasılığını bulalım:

Çünkü P 4 (2) > P 6 (3), altıda üçten dörtte iki oyun kazanma olasılığı daha yüksektir.
Ancak, büyük değerler için Bernoulli formülünün kullanılmasının n oldukça zordur, çünkü formül çok büyük sayılar üzerinde eylemler gerçekleştirmeyi gerektirir ve bu nedenle hesaplama sürecinde hatalar birikir; sonuç olarak, nihai sonuç gerçek olandan önemli ölçüde farklı olabilir.
Bu sorunu çözmek için, çok sayıda test durumunda kullanılan birkaç limit teoremi vardır.
1. Poisson teoremi
Bernoulli şemasına göre çok sayıda test gerçekleştirirken (ile n=> ∞) ve az sayıda olumlu sonuçla k(bu durumda, başarı olasılığının P küçüktür), Bernoulli'nin formülü Poisson'un formülüne yaklaşır
.
Örnek 1.22. Bir işletme tarafından bir üretim birimi üretildiğinde evlilik olasılığı şuna eşittir: P= 0.001. 5000 adet ürünün piyasaya sürülmesiyle 4'ten az kusurlu ürün olma olasılığı nedir (olay A Çözüm... Çünkü n büyükse, yerel Laplace teoremini kullanırız:

hadi hesaplayalım x:
İşlev - çift, bu nedenle φ (–1.67) = φ (1.67).
Ek A.1'deki tabloya göre φ (1,67) = 0,0989 buluyoruz.
olasılık arayışı P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Laplace integral teoremi
eğer olasılık r bir olayın meydana gelmesi A Bernoulli şemasına göre her testte sabittir ve sıfırdan ve birden farklıdır, daha sonra çok sayıda testle n, olasılık Pn (k 1 , k 2) olayın meydana gelmesi A bu testlerde k 1 ila k 2 katı yaklaşık olarak eşittir
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x "") – Φ ( x "), nerede
- Laplace işlevi,

Laplace fonksiyonundaki belirli integral, analitik fonksiyonlar sınıfında hesaplanmaz, bu nedenle hesaplamak için Tablo 1 kullanılır. A.2, ekte verilmiştir.
Örnek 1.24. Yüz bağımsız denemenin her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı sabittir ve şuna eşittir: P= 0.8. Olayın meydana gelme olasılığını bulun: a) en az 75 kez ve 90 defadan fazla olmamak üzere; b) en az 75 kez; c) en fazla 74 kez.
Çözüm... Laplace'ın integral teoremini kullanacağız:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x "") – Φ( x "), nerede Ф ( x) Laplace fonksiyonu,

a) Şartla, n = 100, P = 0,8, Q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Hesapla x "" ve x " :


Laplace fonksiyonunun tek olduğu düşünüldüğünde, yani. Ф (- x) = - Ф ( x), alırız
P 100 (75; 90) = Ф (2,5) - Ф (–1,25) = Ф (2,5) + Ф (1,25).
Tabloya göre. A.2. uygulamaları bulacağız:
F (2.5) = 0.4938; Ф (1,25) = 0,3944.
olasılık arayışı
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Olayın en az 75 kez görünmesi şartı, olayın oluşum sayısının 75 veya 76, ... veya 100'e eşit olabileceği anlamına gelir. Dolayısıyla, bu durumda kabul edilmelidir. k 1 = 75, k 2 = 100. O zaman

.
Tabloya göre. A.2. uygulamalarda Ф (1,25) = 0,3944; Ф (5) = 0,5.
olasılık arayışı
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Olay - " A en az 75 kez göründü "ve" A 74 defadan fazla görünmedi "zıttır, bu nedenle bu olayların olasılıklarının toplamı 1'dir. Bu nedenle, istenen olasılık
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Pratik aktivite için, olayları meydana gelme olasılıklarının derecesine göre karşılaştırabilmek gerekir. Klasik durumu düşünün. Vazoda 8 adet beyaz, 2 adet siyah olmak üzere 10 top bulunmaktadır. Açıktır ki, “kutudan beyaz bir top çıkarılacak” olayı ve “kutudan siyah bir top çıkarılacak” olayının farklı derecelerde gerçekleşme olasılıkları vardır. Bu nedenle, olayları karşılaştırmak için belirli bir nicel ölçü gereklidir.

Bir olayın meydana gelme olasılığının nicel bir ölçüsü, olasılık ... En yaygın olanı, bir olayın olasılığının iki tanımıdır: klasik ve istatistiksel.

Klasik tanım olasılık, olumlu bir sonuç kavramıyla ilişkilidir. Bunun üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım.

Bazı testlerin sonuçlarının tam bir olay grubu oluşturmasına ve eşit derecede mümkün olmasına izin verin, yani. tek mümkün, bağdaşmaz ve eşit derecede mümkün olandır. Bu tür sonuçlara denir temel sonuçlar, veya vakalar... Aynı zamanda, testin azaltıldığını söylüyorlar. vaka diyagramı veya " urn şeması", Çünkü böyle bir test için herhangi bir olasılık problemi, farklı renkteki çömleği ve topları olan eşdeğer bir problemle değiştirilebilir.

Çıkış denir elverişli Etkinlik A bu olayın meydana gelmesi bir olayın meydana gelmesini gerektiriyorsa A.

Klasik tanıma göre olay olasılığı A, bu olay için uygun olan sonuç sayısının toplam sonuç sayısına oranına eşittir., yani

nerede P (A)- bir olayın olasılığı A; m- olay için elverişli vaka sayısı A; n- toplam vaka sayısı.

Örnek 1.1. Bir zar atarken altı sonuç mümkündür - 1, 2, 3, 4, 5, 6 puan düşürülür. Noktaların çift sayıda gelme olasılığı nedir?

Çözüm. Her şey n= 6 sonuç, tam bir olay grubu oluşturur ve eşit derecede mümkündür, yani. tek mümkün, bağdaşmaz ve eşit derecede mümkün olandır. A Olayı - "çift sayıda puanın ortaya çıkması" - 3 sonuç (durum) olumludur - 2, 4 veya 6 puan düşürülür. Bir olayın olasılığı için klasik formüle göre, elde ederiz

P (A) = = . ◄

Bir olayın olasılığının klasik tanımına dayanarak, özelliklerini not ediyoruz:

1. Herhangi bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasındadır, yani.

0 ≤ r(A) ≤ 1.

2. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.

3. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Daha önce belirtildiği gibi, olasılığın klasik tanımı, yalnızca olası sonuçların simetrisi olan denemeler sonucunda ortaya çıkabilecek olaylar için geçerlidir, yani. vaka şemasına indirgenmiştir. Bununla birlikte, olasılıkları klasik tanım kullanılarak hesaplanamayan geniş bir olay sınıfı vardır.

Örneğin, madalyonun basık olduğunu varsayarsak, o zaman “armanın ortaya çıkması” ve “yazıların ortaya çıkması” olaylarının eşit derecede mümkün kabul edilemeyeceği açıktır. Bu nedenle, klasik şemaya göre olasılığı belirleme formülü bu durumda geçerli değildir.

Ancak, belirli bir olayın gerçekleştirilen testlerde ne sıklıkta görüneceğine bağlı olarak, olayların olasılığını değerlendirmek için farklı bir yaklaşım vardır. Bu durumda, istatistiksel bir olasılık tanımı kullanılır.

istatistiksel olasılıkA olayına, gerçekleştirilen n testte bu olayın meydana gelmesinin nispi frekansı (frekansı) denir, yani.

,

(1.2)

nerede P * (A)- bir olayın istatistiksel olasılığı A; WA)- olayın göreceli sıklığı A; m- olayın meydana geldiği deneme sayısı A; n- toplam test sayısı.

Matematiksel olasılığın aksine P (A) klasik tanımda ele alındığında, istatistiksel olasılık P * (A) bir karakteristiktir Tecrübeli, deneysel... Başka bir deyişle, olayın istatistiksel olasılığı A göreli frekansın stabilize edildiği (ayarlanmış) sayıdır WA) aynı koşullar altında gerçekleştirilen test sayısında sınırsız bir artış ile.

Örneğin, bir atıcının hedefi 0.95 olasılıkla vurduğu söylendiğinde, bu, belirli koşullar altında (aynı mesafedeki aynı hedef, aynı tüfek vb.) ortalama olarak yaklaşık 95 başarılı kişi var. Doğal olarak, her yüzde 95 başarılı atış olmayacak, bazen daha az, bazen daha fazla olacak, ancak ortalama olarak, aynı koşullar altında birden fazla atış tekrarı ile, bu isabet yüzdesi değişmeden kalacaktır. Atıcının becerisinin bir göstergesi olan 0.95 sayısı genellikle çok kararlı, yani Çoğu atışta isabet yüzdesi, belirli bir atıcı için hemen hemen aynı olacaktır, yalnızca nadir durumlarda ortalama değerinden önemli ölçüde sapar.

Klasik olasılık tanımının bir başka dezavantajı ( 1.1 ), kullanımını sınırlamak, sınırlı sayıda olası deneme sonucunu varsaymasıdır. Bazı durumlarda, bu dezavantaj, geometrik bir olasılık tanımı, yani. bir noktanın belirli bir alana (parça, bir düzlemin parçası, vb.) çarpma olasılığını bulma.

Düz bir rakam olsun G düz bir figürün bir parçasını oluşturur G(şekil 1.1). Şekilde G rastgele bir nokta atılır. Bu, bölgenin tüm noktalarının G Atılan rastgele bir nokta ile vurmaya göre "Eşit". Bir olayın olasılığını varsayarsak A- şekil üzerinde atılan noktayı vurmak G- bu rakamın alanıyla orantılıdır ve bulunduğu yere göre bağlı değildir. G ne de formdan G, bulmak

Herhangi bir rastgele olayın meydana gelme olasılığını değerlendirirken, ilgilendiğimiz bir olayın meydana gelme olasılığının (bir olayın olasılığının) diğer olayların nasıl geliştiğine bağlı olup olmadığına dair iyi bir ön anlayışa sahip olmak çok önemlidir. Klasik şema durumunda, tüm sonuçlar eşit derecede olası olduğunda, bizi ilgilendiren belirli olayın olasılık değerlerini bağımsız olarak zaten tahmin edebiliriz. Olay birkaç temel sonucun karmaşık bir koleksiyonu olsa bile bunu yapabiliriz. Birkaç rastgele olay aynı anda veya sırayla meydana gelirse ne olur? Bu, bizi ilgilendiren olayın olasılığını nasıl etkiler? Zarı birkaç kez atarsam ve altı gelmesini istersem, ancak her zaman şanslı değilsem, bu, bahsi artırmam gerektiği anlamına mı gelir, çünkü olasılık teorisine göre, şanslı ol? Ne yazık ki, olasılık teorisi böyle bir şey ifade etmez. Ne zarlar, ne kartlar, ne de madeni paralar geçen sefer bize gösterdiklerini hatırlamıyor. Bugün ilk kez veya onuncu kez olsun, kaderimi deniyorum onlar için hiç önemli değil. Atışı her tekrarladığımda, sadece bir şey biliyorum: ve bu sefer "altı" alma olasılığı yine altıda bire eşittir. Tabii bu, ihtiyacım olan sayının asla düşmeyeceği anlamına gelmiyor. Bu sadece, ilk atıştan sonraki ve diğer atışlardan sonraki kaybımın bağımsız olaylar olduğu anlamına gelir. A ve B olaylarından birinin uygulanması başka bir olayın olasılığını herhangi bir şekilde etkilemiyorsa bağımsız olarak adlandırılır. Örneğin, bir hedefi iki silahtan ilki ile vurma olasılıkları, hedefin başka bir silahla vurulup vurulmadığına bağlı değildir, dolayısıyla "ilk silah hedefi vurdu" ve "ikinci top hedefi vurdu" olayları bağımsızdır. . İki A ve B olayı bağımsızsa ve her birinin olasılığı biliniyorsa, hem A olaylarının hem de B olaylarının (AB ile gösterilir) aynı anda meydana gelme olasılığı aşağıdaki teorem kullanılarak hesaplanabilir.

Bağımsız olaylar için olasılıklar için çarpma teoremi

P (AB) = P (A) * P (B) iki bağımsız olayın aynı anda meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir.

örnek 1... Birinci ve ikinci silahları ateşlerken hedefi vurma olasılıkları sırasıyla eşittir: p 1 = 0.7; p2 = 0.8. Her iki silahla aynı anda tek vole ile vurma olasılığını bulunuz.

A (ilk silahla vurulan) ve B (ikinci silahla vurulan) olaylarını daha önce gördüğümüz gibi, bağımsızdır, yani. P (AB) = P (A) * P (B) = p1 * p2 = 0,56. Başlatan olaylar bağımsız değilse tahminlerimize ne olur? Önceki örneği biraz değiştirelim.

Örnek 2. Müsabakalarda iki atıcı hedeflere ateş eder ve eğer biri isabetli atış yaparsa rakip gerginleşir ve sonuçları kötüleşir. Bu gündelik durumu matematiksel bir probleme nasıl dönüştürebilir ve onu çözmenin yollarını nasıl özetleyebilirim? Olayların gelişimi için iki senaryoyu bir şekilde ayırmanın, esasen iki senaryo, iki farklı görev tasarlamanın gerekli olduğu sezgisel olarak açıktır. İlk durumda, rakip ıskalarsa, senaryo gergin sporcu için uygun olacak ve doğruluğu daha yüksek olacaktır. İkinci durumda, rakip şansını yeterince fark ettiyse, ikinci sporcunun hedefi vurma olasılığı azalır. Olayların olası senaryolarını (genellikle hipotez olarak adlandırılır) ayırmak için genellikle bir "olasılık ağacı" şeması kullanacağız. Bu şema, muhtemelen daha önce ele aldığınız karar ağacına benzer. Her dal, olayların gelişiminin ayrı bir senaryosunu temsil eder, ancak şimdi koşullu olasılık olarak adlandırılan kendi değerine sahiptir (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Bu şema, sıralı rastgele olayları analiz etmek için çok uygundur. Bir önemli soruyu daha açıklığa kavuşturmak için kalır: Gerçek durumlarda olasılıkların ilk değerleri nereden geliyor? Sonuçta, olasılık teorisi aynı madeni para ve zarlarla çalışmıyor mu? Genellikle bu tahminler istatistiklerden alınır ve istatistikler olmadığında kendi araştırmamızı yaparız. Ve çoğu zaman veri toplamakla değil, genellikle hangi bilgilere ihtiyacımız olduğu sorusuyla başlamamız gerekir.

Örnek 3. Diyelim ki yüz bin nüfuslu bir şehirde, çok önemli olmayan yeni bir ürün için, örneğin boyalı saç bakımı için bir balsam için pazar büyüklüğünü tahmin etmemiz gerekiyor. Bir "olasılık ağacı" şeması düşünün. Bu durumda, her bir "dal" üzerindeki olasılığın değerini yaklaşık olarak tahmin etmemiz gerekir. Yani, pazar büyüklüğü tahminlerimiz:

1) Şehrin tüm sakinlerinin %50'sinin kadın olması,

2) tüm kadınların sadece %30'u saçlarını sık sık boyar,

3) sadece %10'u boyalı saçlar için balzam kullanır,

4) bunlardan sadece %10'unun yeni bir ürün deneme cesaretini toplayabildiği,

5) %70'i genellikle her şeyi bizden değil, rakiplerimizden alıyor.

Olasılıkların çarpımı yasasına göre, bizi ilgilendiren olayın olasılığını belirliyoruz A = (şehir sakini bu yeni balsamı bizden satın alıyor) = 0.00045. Bu olasılığın değerini şehrin sakinlerinin sayısıyla çarpalım. Sonuç olarak, sadece 45 potansiyel müşterimiz var ve bu paranın bir balonunun birkaç ay için yeterli olduğunu düşünürsek, ticaret çok canlı değil. Yine de, değerlendirmelerimizin bazı faydaları var. İlk olarak, farklı iş fikirlerinin tahminlerini karşılaştırabiliriz, diyagramlarda farklı “çatalları” olacak ve elbette olasılık değerleri de farklı olacaktır. İkinci olarak, daha önce de söylediğimiz gibi, rastgele bir değişken hiçbir şeye bağlı olmadığı için rastgele olarak adlandırılmaz. Sadece kesin anlamı önceden bilinmemektedir. Ortalama alıcı sayısının artırılabileceğini biliyoruz (örneğin, yeni bir ürünün reklamını yaparak). Bu nedenle, olasılık dağılımının bize özellikle uymadığı “çatallara”, etkileyebildiğimiz faktörlere odaklanmak mantıklıdır. Alışveriş davranışı araştırmasının başka bir nicel örneğini düşünün.

Örnek 3. Gıda pazarını günde ortalama 10.000 kişi ziyaret etmektedir. Bir pazar ziyaretçisinin bir mandıra köşküne girme olasılığı 1/2'dir. Bu pavyonda günde ortalama 500 kg çeşitli ürün satıldığı biliniyor. Bir pavyonda ortalama bir satın almanın sadece 100 gr ağırlığında olduğunu söyleyebilir miyiz?

Tartışma.

Tabii ki değil. Pavyona giren herkesin oradan bir şeyler satın almadığı açık.

Diyagramda görüldüğü gibi ortalama satın alma ağırlığı ile ilgili soruya cevap verebilmek için pavyona giren bir kişinin oradan bir şey satın alma olasılığı nedir sorusunun cevabını bulmalıyız. Elimizde bu tür veriler yoksa ve onlara ihtiyacımız varsa, pavyon ziyaretçilerini bir süre gözlemledikten sonra bunları kendimiz elde etmek zorunda kalacağız. Diyelim ki gözlemlerimiz pavyonu ziyaret edenlerin sadece beşte birinin bir şey satın aldığını gösterdi. Bu tahminleri alır almaz, görev zaten basitleşiyor. Pazara gelen 10.000 kişiden 5.000'i süt ürünleri pavyonuna girecek ve sadece 1.000 alım olacak.Ortalama alım ağırlığı 500 gram. Olanların tam bir resmini oluşturmak için, koşullu "dallanma" mantığının, akıl yürütmemizin her aşamasında sanki "belirli" bir durumla çalışıyormuşuz gibi açık bir şekilde tanımlanması gerektiğini belirtmek ilginçtir. olasılıklarla.

Kendi kendini test etme görevleri.

1. Her biri birbirinden bağımsız çalışan n tane seri bağlı elemandan oluşan bir elektrik devresi olsun. Her elemanın başarısız olma olasılığı p bilinmektedir. Zincirin tüm bölümünün (a olayı) doğru çalışma olasılığını belirleyin.

2. Öğrenci 25 sınav sorusundan 20'sini bilir. Öğrencinin, sınav görevlisi tarafından önerilen üç soruyu biliyor olma olasılığını bulun.

3. Üretim, her biri ekipmanın çalıştığı, bir sonraki ay içinde arıza olasılığının sırasıyla p 1, p 2, p 3 ve p 4'e eşit olduğu dört ardışık aşamadan oluşur. Bir ay içinde ekipman arızası nedeniyle üretim kesintisi olmaması olasılığını bulun.