В паралелограма точката лежи отстрани,. Изразете вектора чрез вектори и.

Решението на проблема

Този урок показва как чрез познатите вектори под формата на страничните страни на паралелограма да се изрази произволен сегмент под формата на композиция от оригиналните вектори. Този проблем не би могъл да има решение, ако не знаехме в какво съотношение една от страните на успоредника е разделена на точка, принадлежаща на искания отсечка. По-нататъшните действия се свеждат до определяне на началото и края на дадените вектори и вектори, на които е разделена страничната страна. Всичко това е необходимо, за да се използват правилно знаците при комбиниране на вектори. В крайна сметка е необходимо да се запомнят правилата за добавяне на вектори: сумата от вектори дава третия вектор, чието начало съвпада с началото на първия вектор, а краят - с края на втория; и правилото за изваждане на вектори: разликата на два вектора е третият вектор, чието начало съвпада с краищата на втория вектор, а краят с края на първия вектор. Въз основа на тези прости правила можете да получите комбинацията, от която се нуждаем.

Ще има и задачи за самостоятелно решение, на които можете да видите отговорите.

Векторна концепция

Преди да научите всичко за векторите и операциите върху тях, настройте се на решаването на прост проблем. Има вектор на вашата предприемчивост и вектор на вашите иновативни способности. Векторът на предприемачеството ви води до Цел 1, а векторът на иновативните способности до Цел 2. Правилата на играта са такива, че не можете да се движите в посоките на тези два вектора едновременно и да постигнете две цели едновременно. Векторите си взаимодействат или, в математически термини, се извършва някаква операция върху векторите. Резултатът от тази операция е векторът "Резултат", който ви отвежда до цел 3.

Сега ми кажете: резултатът от каква операция върху векторите "Предприятие" и "Иновативни способности" е векторът "Резултат"? Ако не можете да кажете веднага, не се обезкуражавайте. Докато напредвате в този урок, ще можете да отговорите на този въпрос.

Както вече видяхме по-горе, векторът задължително тръгва от някаква точка Апо права линия до някаква точка Б... Следователно всеки вектор има не само числова стойност - дължина, но и физическа и геометрична - насоченост. Това води до първото и най-просто определение на вектор. И така, векторът е насочен сегмент, минаващ от точка Акъм основния въпрос Б... Означава се, както следва:.

И да започна различно векторни операции , трябва да се запознаем с още една векторна дефиниция.

Векторът е вид представяне на точка, до която искате да стигнете от някаква начална точка. Например, триизмерен вектор обикновено се записва като (x, y, z) . Много просто, тези числа представляват колко разстояние е необходимо, за да се пътува в три различни посоки, за да се стигне до точка.

Нека е даден вектор. При което х = 3 (дясната ръка сочи надясно) г = 1 (лявата ръка сочи напред) z = 5 (под точката има стълбище, водещо нагоре). Според тези данни ще намерите точка, като извървите 3 метра в посоката, посочена от дясната ръка, след това 1 метър в посоката, посочена от лявата ръка, и след това ви очаква стълбище и, изкачвайки се 5 метра, накрая ще се окажете в крайната точка.

Всички останали термини са уточнения на горното обяснение, необходими за различни операции върху вектори, тоест решаване на практически проблеми. Нека преминем през тези по-строги дефиниции, спирайки се върху типичните векторни проблеми.

Физически примеривекторните величини могат да бъдат преместването на материална точка, движеща се в пространството, скоростта и ускорението на тази точка, както и силата, действаща върху нея.

Геометричен векторпредставени в двуизмерно и триизмерно пространство във формата насочен сегмент... Това е сегмент, който прави разлика между началото и края.

Ако Ае началото на вектора и Б- неговият край, тогава векторът се обозначава със символ или една малка буква. На фигурата краят на вектора е обозначен със стрелка (фиг. 1)

Дължина(или модул) на геометричен вектор е дължината на сегмента, който го генерира

Двата вектора се наричат равни ако могат да бъдат подравнени (ако посоките съвпадат) чрез паралелен трансфер, т.е. ако са успоредни, сочат в една и съща посока и имат еднакви дължини.

Във физиката често се разглежда закотвени векторидадена от точката на приложение, дължината и посоката. Ако точката на приложение на вектора няма значение, тогава той може да бъде прехвърлен, като се запази дължината и посоката към всяка точка от пространството. В този случай векторът се нарича Безплатно... Ще се съгласим да разгледаме само свободни вектори.

Линейни операции върху геометрични вектори

Умножаване на вектор по число

Продукт на вектор по числотосе нарича вектор, получен от вектор чрез разширяване (at) или чрез компресиране (at) по времена, като посоката на вектора се запазва if, и се променя на обратното, if. (фиг. 2)

От определението следва, че векторите и = винаги са разположени на една или на успоредни прави. Такива вектори се наричат колинеарна... (Можете също да кажете, че тези вектори са успоредни, но във векторната алгебра е обичайно да се казва "колинеарно".) Обратното също е вярно: ако векторите и са колинеарни, тогава те са свързани по отношение

Следователно равенството (1) изразява условието за колинеарност на два вектора.

Събиране и изваждане на вектори

Когато добавяте вектори, трябва да знаете това сумавектори и се нарича вектор, чието начало съвпада с началото на вектора, а краят - с края на вектора, при условие че началото на вектора е прикрепено към края на вектора. (фиг. 3)

Тази дефиниция може да бъде разпределена върху произволен краен брой вектори. Нека се даде място нсвободни вектори. При добавяне на няколко вектора за тяхната сума се приема затварящият вектор, чието начало съвпада с началото на първия вектор, а краят - с края на последния вектор. Тоест, ако прикачите началото на вектора към края на вектора, а началото на вектора към края на вектора и т.н. и накрая, до края на вектора - началото на вектора, тогава сумата от тези вектори е затварящият вектор чието начало съвпада с началото на първия вектор, а краят - с края на последния вектор. (фиг. 4)

Термините се наричат ​​компоненти на вектора, а формулираното правило е правило за многоъгълници... Този многоъгълник може да не е плосък.

Когато умножите вектор по -1, получавате противоположния вектор. Векторите и имат еднаква дължина и противоположни посоки. Тяхната сума дава нулев векторчиято дължина е нула. Посоката на нулевия вектор е неопределена.

Във векторната алгебра няма нужда да се разглежда отделно операцията на изваждане: изваждането на вектор от вектор означава добавяне на противоположния вектор към вектора, т.е.

Пример 1.Опростете израза:

.

,

тоест векторите могат да се добавят и умножават по числа по същия начин като полиномите (в частност, също и задачи за опростяване на изрази). Обикновено необходимостта от опростяване на линейно подобни изрази с вектори възниква преди изчисляването на произведенията на векторите.

Пример 2.Векторите и служат като диагонали на паралелограма ABCD (фиг. 4а). Изразете чрез двата вектора, и, които са страните на този паралелограм.

Решение. Пресечната точка на диагоналите на паралелограма разделя всеки диагонал наполовина. Намираме дължините на векторите, необходими в постановката на задачата или като половината от сумите на векторите, образуващи триъгълник с желаните, или като половината от разликите (в зависимост от посоката на вектора, който служи като диагонал), или като във втория случай половината от сумата, взета със знак минус. Резултатът е необходимите вектори в формулировката на проблема:

Има всички основания да вярваме, че вече сте отговорили правилно на въпроса за векторите за предприемачество и иновативни способности в началото на този урок. Правилен отговор: над тези вектори се извършва операция по събиране.

Решете сами векторни проблеми и след това вижте решения

Как да намеря дължината на сумата от вектори?

Тази задача заема специално място във векторните операции, тъй като включва използването на тригонометрични свойства. Да кажем, че се натъквате на задача като следната:

Като се имат предвид дължините на векторите и дължината на сбора от тези вектори. Намерете дължината на разликата на тези вектори.

Решения на този и други подобни проблеми и обяснения как да ги решим - в урока " Добавяне на вектор: дължина на векторната сума и косинусова теорема ".

И можете да проверите решението на такива проблеми на Онлайн калкулатор "Неизвестна страна на триъгълник (векторно събиране и косинусова теорема)" .

Къде са произведенията на векторите?

Произведенията на вектор от вектор не са линейни операции и се разглеждат отделно. И имаме уроците „Векторно точково произведение“ и „Векторно и смесено произведение на вектори“.

Проекция на вектор върху ос

Проекцията на вектора върху оста е равна на произведението на дължината на проектирания вектор от косинуса на ъгъла между вектора и оста:

Както знаете, проекцията на точката Авърху права линия (равнина) е основата на перпендикуляр, изпуснат от тази точка върху права линия (равнина).

Нека е произволен вектор (фиг. 5), а и е проекциите на неговото начало (точки А) и край (точки Б) на ос л... (За да построите проекция на точка А) по права линия през точката Аравнина, перпендикулярна на права линия. Пресечната точка на правата и равнината ще определи необходимата проекция.

Векторен компонент по оста lсе нарича вектор, лежащ върху тази ос, чието начало съвпада с проекцията на началото, а краят - с проекцията на края на вектора.

Проекцията на вектора върху оста лсе обади на номера

,

равна на дължината на компонентния вектор на тази ос, взета със знак плюс, ако посоката на компонентите съвпада с посоката на оста л, и със знак минус, ако тези посоки са противоположни.

Основни свойства на векторните проекции върху оста:

1. Проекциите на равни вектори върху една и съща ос са равни една на друга.

2. При умножаване на вектор по число неговата проекция се умножава по същото число.

3. Проекцията на сбора от вектори върху която и да е ос е равна на сбора от проекциите на сборовете на векторите върху същата ос.

4. Проекцията на вектора върху оста е равна на произведението на дължината на проектирания вектор от косинуса на ъгъла между вектора и оста:

.

Решение. Проектирайте вектори върху ос лкакто е дефинирано в теоретичната основа по-горе. От фиг. 5а е видно, че проекцията на сумата от вектори е равна на сумата от проекциите на векторите. Изчисляваме тези прогнози:

Намерете крайната проекция на сумата от вектори:

Връзка на вектор с правоъгълна декартова координатна система в пространството

Запознаване с в съответния урок се проведе правоъгълна декартова координатна система в пространството, желателно е да го отворите в нов прозорец.

В подредена координатна система 0xyzос волНаречен абсциса, ос 0г – y-ос, и оста 0z – ос приложи.

С произволна точка Мпространство, което свързваме вектор

Наречен радиус векторточки Ми го проектирайте върху всяка от координатните оси. Нека да обозначим стойностите на съответните проекции:

Числата x, y, zса наречени координати на точка М, съответно абсциса, ординати прилагат, и се записват като подредена точка от числа: M (x; y; z)(фиг. 6).

Нарича се вектор с единична дължина, чиято посока съвпада с посоката на оста единичен вектор(или ортом) ос. Нека означим с

Съответно, единичните вектори на координатните оси вол, Ой, Оз

Теорема.Всеки вектор може да бъде разширен по единичните вектори на координатните оси:

(2)

Равенство (2) се нарича разширение на вектора по координатните оси. Коефициентите на това разширение са проекциите на вектора върху координатните оси. Така коефициентите на разширение (2) на вектора по координатните оси са координатите на вектора.

След избора на определена координатна система в пространството, векторът и тройката от неговите координати се определят по уникален начин, така че векторът може да бъде записан във формата

Представленията на вектора във формата (2) и (3) са идентични.

Условие за колинеарност за вектори в координати

Както вече отбелязахме, векторите се наричат ​​колинеарни, ако са свързани чрез релацията

Нека вектори ... Тези вектори са колинеарни, ако координатите на векторите са свързани чрез релацията

,

тоест координатите на векторите са пропорционални.

Пример 6.Дадени вектори ... Тези вектори колинеарни ли са?

Решение. Нека разберем съотношението на координатите на тези вектори:

.

Координатите на векторите са пропорционални, следователно векторите са колинеарни или, което е същото, успоредни.

Дължина на вектора и косинуси на посоката

Поради взаимната перпендикулярност на координатните оси, дължината на вектора

е равна на дължината на диагонала на изграден върху вектори правоъгълен паралелепипед

и се изразява с равенството

(4)

Векторът се определя напълно чрез определяне на две точки (начало и край), така че координатите на вектора могат да бъдат изразени чрез координатите на тези точки.

Нека в дадена координатна система началото на вектора е в точката

и краят е в точката

От равенство

Следва това

или в координатна форма

следователно, координатите на вектора са равни на разликите на едноименните координати на края и началото на вектора ... Формула (4) в този случай приема формата

Посоката на вектора се определя от косинус на посоката ... Това са косинусите на ъглите, които векторът образува с осите вол, Ойи Оз... Нека означим съответно тези ъгли α , β и γ ... Тогава косинусите на тези ъгли могат да бъдат намерени по формулите

Насочените косинуси на вектор са също координатите на единичния вектор на този вектор и следователно векторния вектор

.

Като се има предвид, че дължината на векторната единица е равна на една единица, т.е

,

получаваме следното равенство за косинуси на посоката:

Пример 7.Намерете дължината на вектор х = (3; 0; 4).

Решение. Дължината на вектора е

Пример 8.Дават се точки:

Разберете дали триъгълникът, построен върху тези точки, е равнобедрен.

Решение. Използвайки формулата за дължината на вектора (6), намираме дължините на страните и установяваме дали между тях има две равни:

Намерени са две равни страни, следователно няма нужда да се търси дължината на третата страна, а даденият триъгълник е равнобедрен.

Пример 9.Намерете дължината на вектор и неговата посока косинуси, ако .

Решение. Дадени са векторни координати:

.

Дължината на вектора е равна на корен квадратен от сумата от квадратите на координатите на вектора:

.

Намерете косинусите на посоката:

Решете сами векторния проблем и след това вижте решението

Операции върху вектори, посочени в координатна форма

Нека са дадени два вектора и, дадени от техните проекции:

Нека посочим действията върху тези вектори.

Най-накрая се докопах до една обширна и дългоочаквана тема аналитична геометрия... Първо, малко за този раздел на висшата математика... Със сигурност сега ви напомня за училищен курс по геометрия с множество теореми, техните доказателства, чертежи и т.н. Какво да се крие, нелюбима и често неясна тема за значителна част от учениците. Аналитичната геометрия, колкото и да е странно, може да изглежда по-интересна и достъпна. Какво означава прилагателното аналитичен? Веднага ми идват на ум две щамповани математически обороти: „метод на графично решение“ и „метод на аналитично решение“. Графичен метод, разбира се, се свързва с изграждането на графики, чертежи. Аналитиченсъщото методвключва решаване на проблеми предимночрез алгебрични действия. В тази връзка алгоритъмът за решаване на почти всички проблеми на аналитичната геометрия е прост и прозрачен, често е достатъчно внимателно да приложите необходимите формули - и отговорът е готов! Не, разбира се, изобщо няма да мине без чертежи, освен това за по-добро разбиране на материала ще се опитам да ги цитирам извън необходимостта.

Отвореният курс на уроци по геометрия не претендира за теоретична пълнота, той е фокусиран върху решаването на практически задачи. Ще включа в лекциите си само това, което от моя гледна точка е важно от практическа гледна точка. Ако имате нужда от по-пълна помощ по който и да е подраздел, препоръчвам следната леснодостъпна литература:

1) Нещо, с което, без шега, няколко поколения са запознати: Училищен учебник по геометрия, автори - L.S. Атанасян и компания... Тази закачалка на училищната съблекалня вече издържа 20 (!) препечатки, което, разбира се, не е границата.

2) Геометрия в 2 тома... Автори L.S. Атанасян, Базилев В.Т... Това е гимназиална литература, ще ви трябва първи том... Редки задачи може да изпаднат от погледа ми и този урок ще бъде от неоценима помощ.

И двете книги могат да бъдат изтеглени безплатно в Интернет. Освен това можете да използвате моя архив с готови решения, които можете да намерите на страницата Изтеглете примери по висша математика.

От инструментариума отново предлагам моя собствена разработка - софтуерен пакетвърху аналитичната геометрия, което значително ще опрости живота и ще спести много време.

Предполага се, че читателят е запознат с основните геометрични понятия и форми: точка, права, равнина, триъгълник, успоредник, паралелепипед, куб и др. Препоръчително е да запомните някои теореми, поне теоремата на Питагор, здравейте на повторителите)

И сега ще разгледаме последователно: концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати. Освен това препоръчвам да прочетете важна статия Точково произведение на вектории също Вектор и смесен продукт на вектори... Локалната задача - Разделяне на сегмент в това отношение също няма да е излишна. Въз основа на горната информация можете да овладеете уравнение на права линия върху равнинас най-простите примери за решениякоето ще позволи научете се да решавате задачи по геометрия... Следните статии също са полезни: Уравнение на равнина в пространството, Уравнения на права линия в пространството, Основни задачи по правата и равнината, други раздели на аналитичната геометрия. Естествено, стандартните задачи ще бъдат разгледани по пътя.

Векторна концепция. Безплатен вектор

Първо, нека повторим училищната дефиниция за вектор. векторНаречен насоченисегмент, за който са посочени неговото начало и край:

В този случай началото на отсечката е точка, краят на отсечката е точка. Самият вектор се означава с. Посокае от съществено значение, ако пренаредите стрелката в другия край на сегмента, ще получите вектор и това вече е напълно различен вектор... Удобно е да се приравни концепцията за вектор с движението на физическо тяло: трябва да се съгласите, влизането през вратите на институт или излизането от вратите на института са напълно различни неща.

Удобно е да се разглеждат отделни точки от равнината, пространството като т.нар нулев вектор... Такъв вектор има един и същ край и начало.

!!! Забележка: По-нататък можете да приемете, че векторите лежат в една и съща равнина или можете да предположите, че са разположени в пространството - същността на представения материал е вярна както за равнината, така и за пространството.

легенда:Мнозина веднага забелязаха пръчка без стрелка в обозначението и казаха, че на същото място поставят стрелка отгоре! Вярно е, че можете да пишете със стрелка:, но също така е възможно запис, който ще използвам в бъдеще... Защо? Очевидно такъв навик се е развил от практически съображения, моите стрелци се оказаха твърде разнообразни и рошави в училище и университет. В учебната литература понякога изобщо не се занимават с клинопис, а подчертават буквите с удебелен шрифт:, като по този начин намекват, че това е вектор.

Това беше стилът, но сега относно начините за писане на вектори:

1) Векторите могат да бъдат написани с две главни латински букви:
и т.н. В този случай първата буква задължителнообозначава началната точка на вектора, а втората буква обозначава крайната точка на вектора.

2) Векторите също се пишат с малки латински букви:
По-специално, нашият вектор може да бъде преназначен за краткост с малка латиница.

Дължинаили модулненулев вектор е дължината на сегмента. Дължината на нулевия вектор е нула. Логично е.

Дължината на вектора се обозначава със знака за модул:,

Ще научим (или повторим, за кого как) малко по-късно как да намерим дължината на вектор.

Това бяха елементарна информация за вектора, позната на всички ученици. В аналитичната геометрия т.нар свободен вектор.

Ако е съвсем просто - вектор може да бъде отложен от всяка точка:

Преди наричахме такива вектори равни (определението за равни вектори ще бъде дадено по-долу), но от чисто математическа гледна точка това е ЕДИН И СЪЩИ ВЕКТОР или свободен вектор... Защо безплатно? Защото в хода на решаването на задачи можете да "прикачите" този или онзи "училищен" вектор към ВСЯКА КОЯТА ДА е точка от равнината или пространството, от което се нуждаете. Това е много готин имот! Представете си насочен сегмент с произволна дължина и посока - той може да бъде "клониран" безкраен брой пъти и във всяка точка от пространството, всъщност съществува НАВСЯКЪДЕ. Има такава студентска поговорка: Всеки лектор във f ** k a вектор. В крайна сметка, не само остроумна рима, всичко е почти правилно - може да се добави и насочен сегмент. Но не бързайте да се радвате, самите ученици страдат по-често =)

Така, свободен вектор- това е Много еднакви насочени сегменти. Училищното определение за вектор, дадено в началото на параграфа: "Векторът се нарича насочен сегмент ...", предполага специфичнинасочен сегмент, взет от дадено множество, който е свързан с определена точка в равнина или пространство.

Трябва да се отбележи, че от гледна точка на физиката, концепцията за свободен вектор като цяло е неправилна и точката на приложение има значение. Наистина, директен удар със същата сила в носа или по челото ще бъде достатъчен, за да развия моя глупав пример, води до различни последици. Въпреки това, не е безплатновектори се срещат и в хода на гимназията (не ходете там :)).

Действия с вектори. Колинеарни вектори

В училищния курс по геометрия се разглеждат редица действия и правила с вектори: събиране по правилото на триъгълника, събиране по правилото на успоредника, правилото на векторната разлика, умножение на вектор по число, скаларно произведение на векторите и др.За семето ще повторим две правила, които са особено подходящи за решаване на задачи от аналитичната геометрия.

Правилото за събиране на вектори според правилото на триъгълниците

Да разгледаме два произволни ненулеви вектора и:

Необходимо е да се намери сумата от тези вектори. Тъй като всички вектори се считат за свободни, оставяме настрана вектора от крайвектори:

Сборът от вектори е вектор. За по-добро разбиране на правилото е препоръчително да вложите физически смисъл в него: нека някое тяло направи път по вектор, а след това по вектор. Тогава сумата от векторите е векторът на получения път с начало в точката на тръгване и край в точката на пристигане. Подобно правило е формулирано за сумата от произволен брой вектори. Както се казва, тялото може да си върви силно по зигзаг, а може и на автопилот - според получения вектор на сбора.

Между другото, ако векторът е отложен от започнетевектор, получавате еквивалента правило на паралелограмадобавяне на вектори.

Първо, за колинеарността на векторите. Двата вектора се наричат колинеарнаако лежат на една права линия или на успоредни. Грубо казано, говорим за паралелни вектори. Но във връзка с тях винаги се използва прилагателното "колинеарен".

Представете си два колинеарни вектора. Ако стрелките на тези вектори са насочени в една и съща посока, тогава такива вектори се наричат съвместно режисиран... Ако стрелките сочат в различни посоки, тогава векторите ще бъдат противоположна посока.

легенда:колинеарността на векторите се записва с обичайния символ на паралелизъм:, докато детайлизирането е възможно: (векторите са ко-насочени) или (векторите са насочени противоположно).

По продуктна ненулев вектор по число е вектор, чиято дължина е равна, а векторите и са съвместно насочени и противоположно насочени към.

Правилото за умножение на вектор по число е по-лесно за разбиране с помощта на фигурата:

Нека разберем по-подробно:

1) Посока. Ако факторът е отрицателен, тогава векторът променя посокатакъм обратното.

2) Дължина. Ако факторът е в рамките на или, тогава дължината на вектора намалява... И така, дължината на вектора е половината от дължината на вектора. Ако модулът е по-голям от единица, тогава дължината на вектора се увеличавана време.

3) Моля, имайте предвид това всички вектори са колинеарни, докато един вектор се изразява чрез друг, например. Обратното също е вярно: ако един вектор може да бъде изразен чрез друг, тогава такива вектори задължително са колинеарни. Поради това: ако умножим вектор по число, получаваме колинеарни(по отношение на оригинала) вектор.

4) Векторите са съпосочени. Векторите и също са съпосочени. Всеки вектор от първата група е противоположно насочен спрямо всеки вектор от втората група.

Кои вектори са равни?

Два вектора са равни, ако са съпосочени и имат еднаква дължина... Забележете, че конасочеността предполага колинеарни вектори. Дефиницията ще бъде неточна (излишна), ако кажем: "Два вектора са равни, ако са колинеарни, съпосочени и имат еднаква дължина."

От гледна точка на концепцията за свободен вектор, равните вектори са един и същ вектор, който вече беше обсъден в предишния параграф.

Векторни координати в равнината и в пространството

Първата точка е да разгледаме вектори в равнина. Представяме декартовата правоъгълна координатна система и отделяме от началото на координатите единиченвектори и:

Вектори и ортогонална... Ортогонална = перпендикулярна. Препоръчвам бавно да свикнете с термините: вместо паралелизъм и перпендикулярност, ние използваме думите, респ. колинеарности ортогоналност.

Обозначаване:ортогоналността на векторите се записва с обичайния символ за перпендикулярност, например:.

Разглежданите вектори се наричат координатни векториили orts... Тези вектори се образуват основана повърхността. Какво е основа, мисля, че е интуитивно ясно за много, по-подробна информация може да се намери в статията Линейна (не) зависимост на векторите. Основа на векторитеС прости думи основата и произходът на координатите определят цялата система - това е един вид основа, върху която кипи пълен и богат геометричен живот.

Понякога се нарича изградената основа ортонормалноосновата на равнината: "орто" - тъй като координатните вектори са ортогонални, прилагателното "нормализиран" означава единица, т.е. дължините на векторите на основата са равни на единица.

Обозначаване:основата обикновено се пише в скоби, вътре в които в строга последователностосновни вектори са изброени, например:. Координатни вектори забранено епренареждам.

Всякаквивекторна равнина уникален начинизразено като:
, където - числатакоито се наричат векторни координатина тази основа. И самият израз Наречен разлагане на векторана базата .

Вечерята е сервирана:

Да започнем с първата буква от азбуката:. Чертежът ясно показва, че при разширяване на вектора по отношение на основата се използват току що разгледаните:
1) правилото за умножение на вектор по число: и;
2) събиране на вектори според правилото на триъгълника:.

Сега мислено отделете вектора от всяка друга точка на равнината. Съвсем очевидно е, че упадъкът му „ще го следва безмилостно“. Ето я, свободата на вектора – векторът „носи всичко със себе си“. Това свойство, разбира се, е вярно за всеки вектор. Забавно е, че самите основни (безплатни) вектори не трябва да се отлагат от началото, единият може да бъде нарисуван например долу вляво, а другият горе вдясно и нищо няма да се промени от това! Вярно е, че не е необходимо да правите това, защото учителят също ще покаже оригиналност и ще ви нарисува „кредитирани“ на неочаквано място.

Векторите илюстрират точно правилото за умножение на вектор по число, векторът е съпосочен с основния вектор, векторът е противоположен на основния вектор. Тези вектори имат една от координатите, равна на нула, тя може да бъде внимателно написана, както следва:


И основните вектори, между другото, са така: (всъщност те се изразяват чрез себе си).

И накрая:,. Между другото, какво е векторно изваждане и защо не говорих за правилото за изваждане? Някъде в линейната алгебра, не помня къде, отбелязах, че изваждането е специален случай на събиране. И така, разширенията на векторите "de" и "e" се записват тихо като сума:, ... Следвайте чертежа как доброто старо триъгълно събиране на вектори работи ясно в тези ситуации.

Разглежданото разлагане на формата понякога се нарича векторно разлагане в системата орт(т.е. в системата от единични вектори). Но това не е единственият начин за писане на вектор, следната опция е често срещана:

Или със знак за равенство:

Самите базисни вектори се записват, както следва: и

Тоест координатите на вектора са посочени в скоби. В практическите задачи се използват и трите опции за запис.

Съмнявах се дали да говоря, но все пак ще кажа: координатите на векторите не могат да бъдат пренаредени. Строго на първо мястозапишете координатата, която съответства на единичния вектор, строго на второ мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор. Всъщност и са два различни вектора.

Разбрахме координатите на самолета. Сега нека разгледаме векторите в 3D пространството, тук е почти същото! Ще бъде добавена само още една координата. Трудно е да се правят триизмерни чертежи, така че ще се огранича до един вектор, който за простота ще отложа от произхода:

Всякаквивектор на триизмерното пространство може единствения начинразширяване в ортонормална основа:
, където са координатите на вектора (числото) в дадената основа.

Пример от снимката: ... Нека видим как работят векторните правила тук. Първо, умножаване на вектор по число: (червена стрелка), (зелена стрелка) и (пурпурна стрелка). Второ, ето пример за добавяне на няколко, в този случай три вектора:. Векторът на сумата започва в началната точка на тръгване (началото на вектора) и завършва в крайната точка на пристигане (края на вектора).

Всички вектори на триизмерното пространство, разбира се, също са безплатни, опитайте се да отложите мислено вектора от всяка друга точка и ще разберете, че разлагането му „ще остане с него“.

Подобно на плоския калъф, в допълнение към писането широко се използват версии със скоби: или.

Ако един (или два) координатни вектора липсват в разширението, тогава на тяхно място се поставят нули. Примери:
вектор (внимателно ) - записвам;
вектор (внимателно) - записвам;
вектор (внимателно ) - ще го запишем.

Основните вектори се записват, както следва:

Тук, може би, са всички минимални теоретични знания, необходими за решаване на задачи в аналитичната геометрия. Може би има много термини и дефиниции, така че препоръчвам на манекените да препрочетат и разберат тази информация отново. И ще бъде полезно за всеки читател от време на време да се позовава на основния урок за по-добро усвояване на материала. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална основа, векторна декомпозиция - тези и други понятия често ще бъдат използвани в това, което следва. Отбелязвам, че материалите на сайта не са достатъчни за преминаване на теоретичен тест, колоквиум по геометрия, тъй като внимателно криптирам всички теореми (освен без доказателства) - в ущърб на научния стил на представяне, но плюс за вашето разбиране на субекта. За подробна теоретична информация, моля, следвайте поклона към професор Атанасян.

И преминаваме към практическата част:

Най-простите задачи на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координати

Много е желателно да се научите как да решавате задачите, които ще се разглеждат на пълна машина, и формулите запомни, дори не специално запомняйки, самите те ще бъдат запомнени =) Това е много важно, тъй като други проблеми на аналитичната геометрия се основават на най-простите елементарни примери и ще бъде досадно да прекарвате допълнително време в ядене на пионки. Няма нужда да закопчавате горните копчета на ризата, много неща са ви познати от училище.

Представянето на материала ще върви в паралелен курс - както за самолет, така и за космос. Поради причината, че всички формули ... ще видите сами.

Как да намерим вектор по две точки?

Ако са дадени две точки от равнината и, тогава векторът има следните координати:

Ако са дадени две точки от пространството и, тогава векторът има следните координати:

Това е, от координатите на края на векторатрябва да извадите съответните координати началото на вектора.

Упражнение:За същите точки запишете формулите за намиране на координатите на вектора. Формули в края на урока.

Пример 1

Дадени са две точки от равнината и. Намерете векторни координати

Решение:по съответната формула:

Като алтернатива може да се използва следният запис:

Естетите ще решат по следния начин:

Лично аз съм свикнал с първата версия на записа.

Отговор:

Съгласно условието не беше необходимо да се изгради чертеж (което е типично за задачи по аналитична геометрия), но за да обясня някои точки на манекените, няма да бъда твърде мързелив:

Наложително е да се разбере разлика между координатите на точката и векторните координати:

Координати на точкиТова са обичайните координати в правоъгълна координатна система. Мисля, че всеки знае как да поставя точки в координатната равнина още от 5-6 клас. Всяка точка има строго място в равнината и не можете да ги преместите никъде.

Координатите на същия векторДали неговото разширяване е в основата, в този случай. Всеки вектор е свободен, следователно, ако желаем или е необходимо, можем лесно да го отложим от друга точка на равнината. Интересно е, че за вектори е възможно изобщо да не се изграждат оси, правоъгълна координатна система, нужна е само база, в случая ортонормирана основа на равнината.

Записите на координатите на точките и координатите на векторите изглеждат подобни:, и значението на координатитеабсолютно различени трябва да сте наясно с тази разлика. Тази разлика, разбира се, важи и за пространството.

Дами и господа, ние пълним ръката си:

Пример 2

а) Дават се точки и. Намерете вектори и.
б) Дават се точки и . Намерете вектори и.
в) Дават се точки и. Намерете вектори и.
г) Дават се точки. Намерете вектори .

Стига, може би. Това са примери за самостоятелно решение, опитайте се да не ги пренебрегвате, ще се отплати ;-). Не е необходимо да се правят чертежи. Решения и отговори в края на урока.

Какво е важно при решаването на задачи от аналитичната геометрия?Важно е да бъдете ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНИ, за да избегнете грешката в сервиза „две плюс две е равно на нула“. Веднага се извинявам ако съм допуснал грешка =)

Как да намеря дължината на отсечката?

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака на модула.

Ако са дадени две точки от равнината и, тогава дължината на отсечката може да се изчисли по формулата

Ако са дадени две точки от пространството и, тогава дължината на сегмента може да се изчисли по формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати бъдат пренаредени: и, но първата опция е по-стандартна.

Пример 3

Решение:по съответната формула:

Отговор:

За по-голяма яснота ще направя рисунка

Раздел - това не е вектор, и разбира се, не можете да го преместите никъде. Освен това, ако завършите чертеж в мащаб: 1 единица. = 1 см (две клетки на тетрадката), тогава полученият отговор може да се провери с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на сегмента.

Да, решението е кратко, но има още няколко важни точки, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора поставяме измерението: "единици". Условието не казва КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно, математически правилно решение би било общата формулировка: „единици“ - съкратено като „единица“.

Второ, ще повторим училищния материал, който е полезен не само за разглеждания проблем:

обръщам внимание на важна техника – изваждане на фактор изпод корена... В резултат на изчисленията получихме резултата и добрият математически стил включва изваждането на фактора изпод корена (ако е възможно). По-подробно процесът изглежда така: ... Разбира се, оставянето на отговора във формуляра няма да бъде грешка - но със сигурност дефект и тежък аргумент за заяждане от страна на учителя.

Други често срещани случаи са:

Често под корена се получава доста голям брой, например. Какво да правим в такива случаи? На калкулатора проверете дали числото се дели на 4:. Да, беше разделено напълно, така: ... Или може би числото може да се раздели отново на 4? ... Поради това: ... Последната цифра на числото е нечетна, така че очевидно не е възможно да се раздели на 4 за трети път. Опитваме се да разделим на девет:. Като резултат:
Готов.

Изход:ако се получи неизвличащо число под корена, тогава се опитваме да премахнем множителя под корена - на калкулатора проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.н.

При решаването на различни задачи често се срещат корените, винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-ниска оценка и ненужни проблеми с усъвършенстването на вашите решения според забележка на учителя.

Нека повторим едновременно квадратурата и другите степени:

Правилата за справяне със степените в общи линии могат да се намерят в училищния учебник по алгебра, но мисля, че от дадените примери всичко или почти всичко вече е ясно.

Задание за самостоятелно решение със сегмент в пространството:

Пример 4

Дават се точки и. Намерете дължината на отсечката.

Решение и отговор в края на урока.

Как да намеря дължината на вектор?

Ако е даден плосък вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата.

Ако е даден вектор на пространството, тогава неговата дължина се изчислява по формулата .