En büyük doğal sayı a ve b sayılarının kalansız bölündüğü sayılara denir en büyük ortak böleni bu sayılar. OBEB(a, b)'yi belirtin.

18 ve 60 gibi iki doğal sayı örneğini kullanarak OBEB'yi bulmayı düşünün:

324 , 111 ve 432

Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Faktörleri ikinci ve üçüncü sayılarda olmayan ilk sayıdan silin, şunu elde ederiz:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

GCD'nin bir sonucu olarak( 324 , 111 , 432 )=3

Öklid Algoritması ile GCD'yi Bulma

kullanarak en büyük ortak böleni bulmanın ikinci yolu Öklid'in algoritması. Öklid'in algoritması en etkili yol bulma GCD, onu kullanarak sayıların bölümünün kalanını sürekli bulmanız ve uygulamanız gerekir. tekrarlayan formül.

tekrarlayan formül GCD için, gcd(a, b)=gcd(b, bir mod b), burada a mod b, a'yı b'ye bölmenin kalanıdır.

Öklid'in algoritması

Örnek Sayıların En Büyük Ortak Bölenini Bulun 7920 ve 594

GCD'yi bulalım( 7920 , 594 ) Öklid algoritmasını kullanarak, bir hesap makinesi kullanarak bölmenin kalanını hesaplayacağız.

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Sonuç olarak, GCD'yi elde ederiz( 7920 , 594 ) = 198

En küçük ortak Kat

Bulmak için ortak payda kesirler ile toplama ve çıkarma yaparken farklı paydalar bilmeli ve hesaplayabilmeli en küçük ortak Kat(NOC).

"a" sayısının katı, kendisi "a" sayısına kalansız bölünebilen bir sayıdır.

8'in katı olan sayılar (yani bu sayılar 8'e kalansız bölünecektir): bunlar 16, 24, 32 ...

9'un katları: 18, 27, 36, 45…

Aynı sayının bölenlerinin aksine, verilen bir a sayısının sonsuz katı vardır. Bölenler - sonlu bir sayı.

İki doğal sayının ortak katı, bu iki sayıya da tam bölünebilen sayılardır..

En küçük ortak Kat(LCM), iki veya daha fazla doğal sayının kendisi bu sayıların her birine bölünebilen en küçük doğal sayıdır.

NOC nasıl bulunur

LCM iki şekilde bulunabilir ve yazılabilir.

LCM'yi bulmanın ilk yolu

Bu yöntem genellikle küçük sayılar için kullanılır.

1. Her iki sayının da katı olana kadar bir satırda sayıların her birinin katlarını yazarız.
2. "a" sayısının bir katı büyük "K" harfi ile gösterilir.

Örnek. LCM 6 ve 8'i bulun.

LCM'yi bulmanın ikinci yolu

Bu yöntem, üç veya daha fazla sayı için LCM'yi bulmak için kullanışlıdır.

Sayıların açılımlarında aynı çarpanların sayısı farklı olabilir.

En az ortak katı (LCM) bulmayı aşağıdaki gibi de resmileştirebilirsiniz. LCM'yi (12, 16, 24) bulalım.

24 = 2 2 2 3

Sayıların açılımından görebileceğimiz gibi, 12'nin tüm çarpanları 24'ün (sayıların en büyüğü) açılımına dahil edilir, bu yüzden LCM'ye 16 sayısının açılımından sadece bir 2 ekliyoruz.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Cevap: LCM (12, 16, 24) = 48

NOC'leri bulmanın özel durumları

Örneğin, LCM(60, 15) = 60
Asal sayıların ortak asal böleni olmadığı için en küçük ortak katları bu sayıların çarpımına eşittir.

Sitemizde, hesaplamalarınızı kontrol etmek için en az yaygın olan çoklu çevrimiçi bulmak için özel bir hesap makinesi de kullanabilirsiniz.

Bir doğal sayı yalnızca 1'e ve kendisine bölünebiliyorsa bu sayıya asal sayı denir.

Herhangi bir doğal sayı her zaman 1'e ve kendisine bölünür.

2 sayısı en küçük asal sayıdır. Bu tek çift asal sayıdır, geri kalan asal sayılar tektir.

Birçok asal sayı vardır ve bunlardan ilki 2 sayısıdır. Ancak, son asal sayı yoktur. "Çalışma İçin" bölümünde, 997'ye kadar olan asal sayılar tablosunu indirebilirsiniz.

Ancak birçok doğal sayı, diğer doğal sayılara eşit olarak bölünebilir.

• 12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünür;
• 36, 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya tam bölünür.

Bir sayının tam bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) sayının bölenleri denir.

Bir doğal sayının böleni, verilen "a" sayısını kalansız bölen bir doğal sayıdır.

İkiden fazla çarpanı olan doğal sayılara bileşik sayı denir.

12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğuna dikkat edin. Bunlar sayılardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir.

"a" ve "b" verilen iki sayının ortak böleni, verilen "a" ve "b" sayılarının ikisinin de kalansız bölündüğü sayıdır.

En büyük ortak böleni(gcd) verilen iki "a" ve "b" sayısının en büyük sayı"a" ve "b" sayılarının ikisi de kalansız bölünebilir.

Kısaca "a" ve "b" sayılarının en büyük ortak böleni aşağıdaki gibi yazılır.:

Örnek: gcd (12; 36) = 12 .

Çözüm kaydındaki sayıların bölenleri büyük harf "D" ile gösterilir.

7 ve 9 sayılarının tek bir ortak böleni vardır - 1 sayısı. Böyle sayılar denir asal sayılar.

asal sayılar tek bir ortak böleni olan doğal sayılardır - 1 sayısı. Onların GCD'si 1'dir.

En büyük ortak bölen nasıl bulunur

İki veya daha fazla doğal sayının gcd'sini bulmak için ihtiyacınız olan:

• sayıların bölenlerini asal çarpanlarına ayırır;

Hesaplamalar, dikey bir çubuk kullanılarak kolayca yazılır. Satırın soluna, önce böleni, sağına - böleni yazın. Ayrıca sol sütunda özel değerleri yazıyoruz.

Hemen bir örnekle açıklayalım. 28 ve 64 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.

Her iki sayıda da aynı asal çarpanların altını çizin.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Aynı asal çarpanların çarpımını buluyoruz ve cevabı yazıyoruz;
OBEB (28; 64) = 2 2 = 4

Cevap: OBEB (28; 64) = 4

GCD'nin konumunu iki şekilde düzenleyebilirsiniz: bir sütunda (yukarıda yapıldığı gibi) veya "bir satırda".

GCD yazmanın ilk yolu

GCD 48 ve 36'yı bulun.

OBEB (48; 36) = 2 2 3 = 12

GCD yazmanın ikinci yolu

Şimdi GCD arama çözümünü bir satıra yazalım. GCD 10 ve 15'i bulun.

Bilgi sitemizde, hesaplamalarınızı kontrol etmek için yardımcı programı kullanarak çevrimiçi olarak en büyük ortak böleni de bulabilirsiniz.

En az ortak katı bulma, yöntemler, LCM bulma örnekleri.

Aşağıda sunulan materyal, LCM - En Az Ortak Katlı, tanım, örnekler, LCM ve GCD arasındaki ilişki başlığı altındaki makaledeki teorinin mantıklı bir devamıdır. Burada hakkında konuşacağız en küçük ortak katı bulma (LCM) ve örnek çözmeye özellikle dikkat edin. Önce iki sayının LCM'sinin bu sayıların GCD'si cinsinden nasıl hesaplandığını gösterelim. Ardından, sayıları asal çarpanlara ayırarak en küçük ortak katı bulmayı düşünün. Bundan sonra, üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmaya odaklanacağız ve ayrıca negatif sayıların LCM'sinin hesaplanmasına da dikkat edeceğiz.

Sayfa gezintisi.

gcd aracılığıyla en küçük ortak katın (LCM) hesaplanması

En az ortak katı bulmanın bir yolu, LCM ve GCD arasındaki ilişkiye dayanmaktadır. LCM ve GCD arasındaki mevcut ilişki, bilinen en büyük ortak bölen aracılığıyla iki pozitif tamsayının en küçük ortak katını hesaplamanıza olanak tanır. Karşılık gelen formül forma sahiptir LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Yukarıdaki formüle göre LCM bulma örneklerini düşünün.

126 ve 70 sayılarının en küçük ortak katını bulun.

Bu örnekte a=126 , b=70 . LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) formülüyle ifade edilen LCM ile GCD bağlantısını kullanalım. Yani önce 70 ve 126 sayılarının en büyük ortak bölenini bulmalıyız, ardından bu sayıların LCM'sini yazılı formüle göre hesaplayabiliriz.

Euclid'in algoritmasını kullanarak gcd(126, 70)'i bulun: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dolayısıyla gcd(126, 70)=14 .

Şimdi gerekli en küçük ortak katı buluyoruz: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

LCM(68, 34) nedir?

68, 34 ile eşit olarak bölünebildiğinden, gcd(68, 34)=34 . Şimdi en küçük ortak katı hesaplıyoruz: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Önceki örneğin, a ve b pozitif tam sayıları için LCM'yi bulmak için aşağıdaki kurala uyduğunu unutmayın: a sayısı b ile bölünebiliyorsa, bu sayıların en küçük ortak katı a'dır.

Sayıları Asal Faktörlere Ayırarak LCM'yi Bulma

En küçük ortak katı bulmanın başka bir yolu da sayıları asal çarpanlara ayırmaktır. Bu sayıların tüm asal çarpanlarının çarpımını yaparsak, sonra bu sayıların açılımlarında bulunan tüm ortak asal çarpanları bu çarpımdan çıkarırsak, elde edilen çarpım bu sayıların en küçük ortak katına eşit olacaktır.

LCM'yi bulmak için ilan edilen kural, LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) eşitliğinden kaynaklanmaktadır. Gerçekten de, a ve b sayılarının çarpımı, a ve b sayılarının açılımlarında yer alan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Sırasıyla, gcd(a, b), a ve b sayılarının açılımlarında aynı anda mevcut olan tüm asal faktörlerin ürününe eşittir (sayıların asal faktörlere ayrıştırılmasını kullanarak gcd'yi bulma bölümünde açıklanmıştır). ).

Bir örnek alalım. 75=3 5 5 ve 210=2 3 5 7 olduğunu bilelim. Bu açılımların tüm faktörlerinin çarpımını oluşturun: 2 3 3 5 5 5 7 . Şimdi hem 75 sayısının açılımında hem de 210 sayısının açılımında mevcut olan tüm faktörleri (bu çarpanlar 3 ve 5'tir) bu üründen çıkarıyoruz, o zaman ürün 2 3 5 5 7 şeklini alacaktır. Bu ürünün değeri 75 ve 210'un en küçük ortak katına eşittir, yani LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayırdıktan sonra, bu sayıların en küçük ortak katını bulun.

441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

441=3 3 7 7 ve 700=2 2 5 5 7 elde ederiz.

Şimdi bu sayıların açılımlarında yer alan tüm faktörlerin bir çarpımını yapalım: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Her iki açılımda da aynı anda mevcut olan tüm faktörleri bu üründen çıkaralım (böyle bir faktör var - bu 7 sayısı): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Öyleyse LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

Sayıların asal faktörlere ayrıştırılmasını kullanarak LCM'yi bulma kuralı biraz farklı formüle edilebilir. a sayısının açılımından elde edilen çarpanlara b sayısının açılımından eksik çarpanları toplarsak, elde edilen ürünün değeri a ve b sayılarının en küçük ortak katına eşit olacaktır.

Örneğin, 75 ve 210 numaralı aynı sayıları alalım, bunların asal çarpanlarına açılımları şu şekildedir: 75=3 5 5 ve 210=2 3 5 7 . 75 sayısının açılımından 3, 5 ve 5 çarpanlarına, 210 sayısının açılımından eksik 2 ve 7 çarpanlarını ekliyoruz, değeri LCM(75 olan 2 3 5 5 7 ürününü elde ediyoruz. , 210) .

84 ve 648'in en küçük ortak katını bulun.

Önce 84 ve 648 sayılarının asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ederiz. 84=2 2 3 7 ve 648=2 2 2 3 3 3 3 gibi görünüyorlar. 84 sayısının açılımından 2 , 2 , 3 ve 7 çarpanlarına 648 sayısının açılımından eksik çarpanlar 2 , 3 , 3 ve 3'ü eklersek 2 2 2 3 3 3 3 7 çarpımını elde ederiz , 4 536'ya eşittir. Böylece 84 ve 648 sayılarının en küçük ortak katı istenen en küçük ortak kat 4,536'dır.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma

Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, iki sayının LCM'sini art arda bularak bulunabilir. Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın bir yolunu veren ilgili teoremi hatırlayın.

a 1 , a 2 , …, ak pozitif tam sayıları verilsin, bu sayıların en küçük ortak katı mk sıralı hesaplamada bulunur m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk-1 , ak) .

Dört sayının en küçük ortak katını bulma örneğinde bu teoremin uygulamasını düşünün.

140 , 9 , 54 ve 250 dört sayısının LCM'sini bulun .

İlk önce m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) 'u buluyoruz. Bunu yapmak için, Öklid algoritmasını kullanarak gcd(140, 9) belirledik, 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dolayısıyla gcd( 140, 9)=1 , buradan LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Yani, m 2 =1 260 .

Şimdi m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) buluyoruz. Öklid algoritması tarafından da belirlenen gcd(1 260, 54) üzerinden hesaplayalım: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Sonra gcd(1 260, 54)=18 , buradan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Yani, m 3 \u003d 3 780.

Geriye m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) bulmak kalıyor. Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBÜ(3 780, 250) buluyoruz: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Bu nedenle, gcd(3 780, 250)=10 , dolayısıyla LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Yani, m 4 \u003d 94 500.

Yani orijinal dört sayının en küçük ortak katı 94.500'dür.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

Çoğu durumda, üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, verilen sayıların asal çarpanlarına ayırmaları kullanılarak kolayca bulunur. Bu durumda aşağıdaki kurala uyulmalıdır. Birkaç sayının en küçük ortak katı, çarpımına eşittir, bu şu şekilde oluşur: ikinci sayının açılımından gelen eksik çarpanlar, birinci sayının açılımından gelen tüm çarpanlara, eksik çarpanlar, açılımından gelen tüm çarpanlara eklenir. üçüncü sayı elde edilen faktörlere eklenir, vb.

Sayıların asal faktörlere ayrıştırılmasını kullanarak en küçük ortak katı bulma örneğini ele alalım.

84 , 6 , 48 , 7 , 143 beş sayının en küçük ortak katını bulun.

İlk olarak, bu sayıların asal çarpanlarına ayrıştırmalarını elde ederiz: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 bir asal sayıdır, asal çarpanlarına ayrıştırılmasıyla çakışır) ve 143=11 13 .

Bu sayıların LCM'sini bulmak için, ilk sayı 84'ün (bunlar 2 , 2 , 3 ve 7'dir) çarpanlarına ikinci sayının 6 açılımından eksik çarpanları eklemeniz gerekir. 6 sayısının açılımı eksik çarpanları içermez, çünkü hem 2 hem de 3 birinci sayının 84 açılımında zaten mevcuttur. 2 , 2 , 3 ve 7 faktörlerine ek olarak , üçüncü sayı 48'in açılımından 2 ve 2 eksik faktörleri ekliyoruz , bir dizi faktör 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ve 7 elde ediyoruz . 7 zaten içinde bulunduğundan, bir sonraki adımda bu kümeye faktör eklemeye gerek yoktur. Son olarak, 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ve 7 çarpanlarına 143 sayısının açılımından eksik olan 11 ve 13 çarpanlarını ekliyoruz . 48 048'e eşit olan 2 2 2 2 3 7 11 13 ürününü elde ederiz.

Bu nedenle, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

Negatif Sayıların En Küçük Ortak Katını Bulma

Bazen bir, birkaç veya tüm sayıların negatif olduğu en az ortak sayı katını bulmanız gereken görevler vardır. Bu durumlarda, tüm negatif sayılar, karşıt sayılarla değiştirilmelidir, bundan sonra pozitif sayıların LCM'si bulunmalıdır. Negatif sayıların LCM'sini bulmanın yolu budur. Örneğin, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) ve LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Bunu yapabiliriz çünkü a'nın katları kümesi −a'nın katları kümesiyle aynıdır (a ve −a zıt sayılardır). Gerçekten de, b, a'nın bir katı olsun, o zaman b, a ile bölünebilir ve bölünebilirlik kavramı, b=a q olacak şekilde bir q tamsayısının varlığını ileri sürer. Ancak b=(−a)·(−q) eşitliği de doğru olacaktır; bu, aynı bölünebilirlik kavramı sayesinde, b'nin −a ile bölünebilir olduğu anlamına gelir, yani b, −a'nın bir katıdır. Tersi ifade de doğrudur: eğer b, −a'nın bir katıysa, o zaman b de a'nın bir katıdır.

−145 ve −45 negatif sayıların en küçük ortak katını bulun.

−145 ve −45 negatif sayılarını karşıt sayıları 145 ve 45 ile değiştirelim. Elimizde LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) var. gcd(145, 45)=5'i belirledikten sonra (örneğin, Öklid algoritmasını kullanarak), LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305'i hesaplıyoruz. Böylece, −145 ve −45 negatif tam sayılarının en küçük ortak katı 1.305'tir.

www.cleverstudents.ru

Bölümü okumaya devam ediyoruz. Bu derste, gibi kavramlara bakacağız. GCD ve NOC.

GCD en büyük ortak bölendir.

NOC en küçük ortak katıdır.

Konu oldukça sıkıcı ama anlamak gerekiyor. Bu konuyu anlamadan, matematikte gerçek bir engel olan kesirler ile etkili bir şekilde çalışamazsınız.

En büyük ortak böleni

Tanım. Sayıların En Büyük Ortak Bölenleri a ve B a ve B kalansız bölünür.

Bu tanımı iyi anlamak için değişkenler yerine ikame yapıyoruz. a ve Börneğin bir değişken yerine herhangi iki sayı a 12 sayısını değiştirin ve değişken yerine B 9. Şimdi bu tanımı okumaya çalışalım:

Sayıların En Büyük Ortak Bölenleri 12 ve 9 olan en büyük sayıdır 12 ve 9 kalansız bölünür.

12 ve 9 sayılarının ortak bölenden bahsettiğimiz tanımdan açıkça anlaşılmaktadır ve bu bölen mevcut tüm bölenlerin en büyüğüdür. Bu en büyük ortak bölen (gcd) bulunmalıdır.

İki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için üç yöntem kullanılır. İlk yöntem oldukça zaman alıcıdır, ancak konunun özünü iyi anlamanıza ve tüm anlamını hissetmenize olanak tanır.

İkinci ve üçüncü yöntemler oldukça basittir ve GCD'yi hızlı bir şekilde bulmayı mümkün kılar. Her üç yöntemi de ele alacağız. Ve pratikte ne uygulanacağını - siz seçin.

İlk yol, iki sayının tüm olası bölenlerini bulmak ve bunlardan en büyüğünü seçmektir. Bu yöntemi aşağıdaki örnekte ele alalım: 12 ve 9 sayılarının en büyük ortak bölenini bulun.

İlk önce 12 sayısının tüm olası bölenlerini buluruz. Bunu yapmak için 12'yi 1'den 12'ye kadar olan tüm bölenlere böleriz. Bölen 12'yi kalansız bölmemize izin veriyorsa, onu mavi renkle vurgulayacağız ve parantez içinde uygun bir açıklama yapın.

12: 1 = 12
(12'ye kalansız bölünür, yani 1 12'nin böleni olur)

12: 2 = 6
(12 bölü 2'ye kalansız, yani 2, 12'nin böleni olur)

12: 3 = 4
(12 bölü 3'e kalansız, yani 3, 12'nin tam bölenidir)

12: 4 = 3
(12 kalansız 4'e bölünür, yani 4 12'nin böleni olur)

12:5 = 2 (2 sol)
(12 sayısı 5'e kalansız bölünemez, dolayısıyla 5 12'nin tam böleni değildir)

12: 6 = 2
(12 bölü 6'ya kalansız, yani 6, 12'nin böleni olur)

12: 7 = 1 (5 sol)
(12 sayısı 7'ye kalansız bölünemez, dolayısıyla 7 12'nin tam böleni değildir)

12: 8 = 1 (4 sol)
(12, 8'e kalansız bölünemez, dolayısıyla 8, 12'nin tam böleni değildir.

12:9 = 1 (3 sol)
(12, 9'a kalansız bölünemez, dolayısıyla 9, 12'nin tam böleni değildir.)

12: 10 = 1 (2 sol)
(12, 10'a kalansız bölünemez, dolayısıyla 10, 12'nin tam böleni değildir.

12:11 = 1 (1 sol)
(12, 11'e kalansız bölünemez, dolayısıyla 11, 12'nin tam böleni değildir.

12: 12 = 1
(12'ye kalansız bölünür, yani 12, 12'nin böleni olur.

Şimdi 9 sayısının bölenlerini bulalım. Bunu yapmak için 1'den 9'a kadar tüm bölenleri kontrol edin.

9: 1 = 9
(9 kalansız 1'e bölünür, yani 1 9'un böleni olur)

9: 2 = 4 (1 sol)
(9, 2'ye kalansız bölünemez, dolayısıyla 2, 9'un tam böleni değildir)

9: 3 = 3
(9 bölü 3'e kalansız, yani 3, 9'un böleni olur)

9: 4 = 2 (1 sol)
(9, 4'e kalansız bölünemez, yani 4, 9'un tam böleni değildir.)

9:5 = 1 (4 sol)
(9, 5'e kalansız bölünemez, yani 5, 9'un tam böleni değildir)

9: 6 = 1 (3 sol)
(9 6'ya kalansız bölünmedi, bu nedenle 6, 9'un tam böleni değildir)

9:7 = 1 (2 sol)
(9, 7'ye kalansız bölünemez, dolayısıyla 7, 9'un tam böleni değildir.)

9:8 = 1 (1 sol)
(9, 8'e kalansız bölünemez, yani 8, 9'un tam böleni değildir.)

9: 9 = 1
(9 bölü 9'a kalansız, yani 9, 9'un tam bölenidir)

Şimdi her iki sayının da bölenlerini yazın. Mavi ile vurgulanan sayılar bölenlerdir. Bunları yazalım:

Bölenleri yazdıktan sonra, hangisinin en büyük ve en yaygın olduğunu hemen belirleyebilirsiniz.

Tanım olarak, 12 ve 9'un en büyük ortak böleni, 12 ve 9'un eşit olarak bölünebildiği sayıdır. 12 ve 9 sayılarının en büyük ve ortak böleni 3 sayısıdır

Hem 12 sayısı hem de 9 sayısı 3 ile kalansız bölünür:

Yani gcd (12 ve 9) = 3

GCD'yi bulmanın ikinci yolu

Şimdi en büyük ortak böleni bulmanın ikinci yolunu düşünün. Bu yöntemin özü, her iki sayıyı da asal çarpanlara ayırıp ortak sayıları çarpmaktır.

örnek 1. 24 ve 18 numaralı GCD'yi bulun

İlk olarak, her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım:

Şimdi onları çarpalım Ortak faktörler. Kafa karıştırmamak için ortak faktörlerin altı çizilebilir.

24 sayısının ayrıştırılmasına bakıyoruz. İlk çarpanı 2'dir. Aynı çarpanı 18 sayısının ayrıştırılmasında da arıyoruz ve orada da olduğunu görüyoruz. Her ikisinin de altını çiziyoruz:

Yine 24 sayısının ayrışımına bakıyoruz. İkinci çarpanı da 2. 18 sayısının ayrışımında da aynı çarpanı arıyoruz ve ikinci kez orada olmadığını görüyoruz. O zaman hiçbir şeyi vurgulamıyoruz.

24 sayısının açılımında sonraki ikisi de 18 sayısının açılımında eksiktir.

24 sayısının ayrıştırılmasında son faktöre geçiyoruz. Bu 3. faktördür. 18 sayısının ayrıştırılmasında da aynı çarpanı arıyoruz ve orada da olduğunu görüyoruz. Her iki üçü de vurguluyoruz:

Yani 24 ve 18 sayılarının ortak çarpanları 2 ve 3 çarpanlarıdır. OBEB'i elde etmek için bu çarpanlar çarpılmalıdır:

Yani gcd (24 ve 18) = 6

GCD'yi bulmanın üçüncü yolu

Şimdi en büyük ortak böleni bulmanın üçüncü yolunu düşünün. Bu yöntemin özü, en büyük ortak böleni aranacak sayıların asal çarpanlarına ayrıştırılmasında yatmaktadır. Daha sonra birinci sayının ayrıştırılmasından ikinci sayının ayrıştırılmasında yer almayan faktörler silinir. İlk genişlemede kalan sayılar çarpılır ve GCD elde edilir.

Örneğin 28 ve 16 sayıları için OBEB'i bu şekilde bulalım. Her şeyden önce, bu sayıları asal çarpanlarına ayırıyoruz:

İki genişletmemiz var: ve

Şimdi birinci sayının açılımından ikinci sayının açılımında yer almayan çarpanları siliyoruz. İkinci sayının genişlemesi yediyi içermez. İlk genişlemeden sileceğiz:

Şimdi kalan faktörleri çarpıyoruz ve GCD'yi alıyoruz:

4 sayısı 28 ve 16 sayılarının en büyük ortak bölenidir. Bu sayıların ikisi de 4'e kalansız bölünür:

Örnek 2 100 ve 40 sayılarının GCD'sini bulun

100 sayısını çarpanlara ayırma

40 sayısını çarpanlara ayırma

İki genişletmemiz var:

Şimdi birinci sayının açılımından ikinci sayının açılımında yer almayan çarpanları siliyoruz. İkinci sayının genişlemesi bir beşi içermez (sadece bir beş vardır). İlk ayrışmadan siliyoruz

Kalan sayıları çarpın:

20 cevabını aldık. Yani 20 sayısı 100 ve 40 sayılarının en büyük ortak bölenidir. Bu iki sayı 20'ye kalansız bölünür:

OBEB (100 ve 40) = 20.

Örnek 3 72 ve 128 sayılarının gcd'sini bulun

72 sayısını çarpanlara ayırma

128 sayısını çarpanlara ayırma

2×2×2×2×2×2×2

Şimdi birinci sayının açılımından ikinci sayının açılımında yer almayan çarpanları siliyoruz. İkinci sayının genişlemesi iki üçlü içermez (hiçbiri yoktur). Bunları ilk genişlemeden siliyoruz:

Cevabı 8 aldık. Yani 8 sayısı 72 ve 128 sayılarının en büyük ortak bölenidir. Bu iki sayı 8'e kalansız bölünür:

OBEB (72 ve 128) = 8

Birden Fazla Numara için GCD Bulma

En büyük ortak bölen sadece iki sayı için değil, birkaç sayı için bulunabilir. Bunun için en büyük ortak böleni aranacak sayılar asal çarpanlarına ayrılarak bu sayıların ortak asal çarpanlarının çarpımı bulunur.

Örneğin, 18, 24 ve 36 sayıları için GCD'yi bulalım.

18 sayısını çarpanlara ayırma

24 sayısını çarpanlara ayırma

36 sayısını çarpanlara ayırma

Üç genişletmemiz var:

Şimdi bu sayılardaki ortak çarpanları seçip altını çizelim. Ortak çarpanlar her üç sayıya da dahil edilmelidir:

18, 24 ve 36 sayılarının ortak çarpanlarının 2 ve 3 çarpanları olduğunu görüyoruz. Bu çarpanları çarparak aradığımız OBEB'i elde ederiz:

Cevabı 6 aldık. Yani 6 sayısı 18, 24 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir. Bu üç sayı 6'ya kalansız bölünür:

OBEB (18, 24 ve 36) = 6

Örnek 2 12, 24, 36 ve 42 sayıları için gcd'yi bulun

Her sayıyı çarpanlarına ayıralım. Daha sonra bu sayıların ortak çarpanlarının çarpımını buluruz.

12 sayısını çarpanlara ayırma

42 sayısını çarpanlara ayırma

Dört genişletmemiz var:

Şimdi bu sayılardaki ortak çarpanları seçip altını çizelim. Ortak çarpanlar dört sayının tamamına dahil edilmelidir:

12, 24, 36 ve 42 sayılarının ortak çarpanlarının 2 ve 3 çarpanları olduğunu görüyoruz. Bu çarpanları çarparak aradığımız OBEB'i elde ederiz:

Cevabı 6 aldık. Yani 6 sayısı 12, 24, 36 ve 42 sayılarının en büyük ortak bölenidir. Bu sayılar 6'ya kalansız bölünür:

gcd(12, 24, 36 ve 42) = 6

Bir önceki dersten, bir sayının diğeriyle kalansız bölünmesine bu sayının katı denildiğini biliyoruz.

Bir katın birkaç sayı için ortak olabileceği ortaya çıktı. Ve şimdi mümkün olduğu kadar küçük olmasına rağmen iki sayının katı ile ilgileneceğiz.

Tanım. Sayıların en küçük ortak katı (LCM) a ve B- a ve B a ve sayı B.

Tanım iki değişken içerir a ve B. Bu değişkenlerin yerine herhangi iki sayı koyalım. Örneğin, bir değişken yerine a 9 sayısını değiştirin ve değişken yerine B 12 sayısını yerine koyalım. Şimdi tanımı okumaya çalışalım:

Sayıların en küçük ortak katı (LCM) 9 ve 12 - katı olan en küçük sayıdır 9 ve 12 . Başka bir deyişle, o kadar küçük bir sayıdır ki, sayıya kalansız bölünür. 9 ve numarada 12 .

LCM'nin 9 ve 12'ye kalansız bölünebilen en küçük sayı olduğu tanımdan açıktır. Bu LCM'nin bulunması gerekir.

En küçük ortak katı (LCM) bulmanın iki yolu vardır. İlk yol, iki sayının ilk katlarını yazabilmeniz ve ardından bu katlar arasından hem sayılar için ortak hem de küçük olacak bir sayı seçebilmenizdir. Bu yöntemi uygulayalım.

Öncelikle 9 sayısının ilk katlarını bulalım 9'un katlarını bulmak için bu dokuzu 1'den 9'a kadar olan sayılarla sırasıyla çarpmanız gerekir.Alacağınız cevaplar 9 sayısının katları olacaktır. , Hadi başlayalım. Katlar kırmızıyla vurgulanacaktır:

Şimdi 12 sayısının katlarını buluyoruz. Bunu yapmak için sırayla 1'den 12'ye kadar olan tüm sayılarla 12'yi çarpıyoruz.

En büyük ortak bölen, kesirlerle çalışmayı kolaylaştıran bir başka göstergedir. Çok sık olarak, hesaplamalar sonucunda, pay ve paydanın çok büyük değerleriyle kesirler elde edilir. Bu sayıları aşamalı olarak azaltmak mümkündür, ancak bu son derece uzundur, bu nedenle GCD'yi hemen bulmak ve azaltmak daha kolaydır. Konuya daha yakından bakalım.

NOD nedir?

Bir sayı dizisinin en büyük ortak böleni (GCD), dizideki sayıların her birinin kalansız bölünebildiği en büyük sayıdır.

NOD nasıl bulunur?

OBEB'i bulmak için sayıların her birini asal çarpanlara ayırmak ve ortak kısmı vurgulamak gerekir.

Bunun için özel bir formül bulamadılar ama bir hesaplama algoritması var.

İki doğal sayının en büyük ortak bölenini bulmaya bir örnek verelim: 540 ve 252. 640'ı asal çarpanlarına ayıralım. Eylemlerin sırası aşağıdaki gibidir:

• Sayıyı mümkün olan en küçük asal sayıya böleriz. Yani, sayı 2, 3 veya 5'e bölünebiliyorsa, önce 5'e bölmeniz gerekir, böylece kafanız karışmaz.
• Ortaya çıkan sonuç, mümkün olan en küçük asal sayıya bölünür.
• Asal bir sayı elde edene kadar elde edilen her sonucun bölünmesini tekrar ederiz.

Şimdi aynı işlemi pratikte de uygulayacağız.

• 540: 2=270
• 270:2=135
• 135: 3 =45
• 45: 3=15
• 15: 5 = 3

Sonucu 540=2*2*3*3*3*5 denklemi olarak yazalım. Sonucu yazmak için, elde edilen son sayıyı tüm bölenlerle çarpmanız gerekir.

Aynısını 252 sayısı için de yapalım:

• 252: 2=126
• 126: 2=63
• 63: 3=21
• 21: 3 = 7

Sonucu yazalım: 252=2*2*3*3*7.

Her genişleme aynı sayılara sahiptir. Onları bulalım, bunlar iki sayı 2 ve iki sayı 3. Sadece 7 ve 3 * 5 farklıdır.

OBEB'i bulmak için ortak çarpanları çarpmanız gerekir. Yani üründe iki ikili ve iki üçlü olacaktır.

EBOB=2*2*3*3=36

Bu nasıl kullanılabilir?

Görev: $252\over540$$ kesrini azaltın.

Bu iki sayı için GCD'yi zaten bulduk, şimdi sadece önceden hesaplanmış değeri kullanacağız.

Kesrin payını ve paydasını 36 azaltalım ve cevabı alalım.

$$(252\over540) =(7\over15)$$ - hızlı bir şekilde azaltmak için sayıların açılımına bakın.

540=2*2*3*3*3*5 ve OBEB=36=2*2*3*3 ise, 540 = 36*3*5. 540'ı 36'ya bölersek 3*5=15 elde ederiz.

GCD olmasaydı, kısaltmaları uzun bir satıra yazmamız gerekirdi. Ayrıca, bir kesrin azaltılıp azaltılamayacağının net olmadığı durumlar da vardır. Matematikteki bu gibi durumlar için sayıların asal faktörlere ve GCD'ye ayrıştırılmasını buldular.

Ne öğrendik?

Bir sayı çiftinin en büyük ortak böleninin ne olduğunu öğrendik, göstergenin pratikte nasıl kullanılacağını anladık, OBEB bulma ve kesirleri azaltmak için OBEB kullanma problemini çözdük. OBEB kullanımıyla, pay ve payda için OBEB'yi bularak hacimli kesirleri azaltmanın daha kolay ve hızlı olduğunu fark ettik.

Konu testi

Makale değerlendirmesi

Ortalama puanı: 4.3. Alınan toplam puan: 204.

Belirli bir bölen tarafından kalansız bölünebilen bir temettü olarak da adlandırılır. çoklu. Örneğin, 48, 8'in bir katıdır, 48 bir kattır ve 8 bir bölendir.

Bir sayı bir değil katı olabilir, ancak aynı anda birkaç sayı olabilir, böyle bir sayıya denir Ortak çoklu. Örneğin, 77 sayısı 1, 7, 11, 77 sayılarının ortak katıdır.

Başka bir örnek. 3 sayısı 12, 15, 24, 27, 30 vb.'nin katıdır. 5 sayısı 10, 15, 25, 30, 35 vb.'nin katıdır. 3 ve 5 sayılarının ortak katları 15 ve 30'dur. .

Birkaç sayının ortak katını bulmak oldukça basittir, bu sayıları basitçe çarpabilirsiniz, sonuç olarak bu sayıların çarpımı onların ortak katı olacaktır.

NOC

Verilen sayıların tüm ortak katları arasında en küçük ortak kat özellikle ilgi çekicidir.

En küçük ortak Kat(kısaltılmış LCM), verilen sayıların her birine eşit olarak bölünebilen en küçük sayıdır.

Örneğin, üç sayı için: 3, 5 ve 12, en küçük ortak kat 60 sayısıdır, çünkü 60'tan küçük hiçbir sayı 3, 5 ve 12'ye tam bölünemez.

Genellikle en az ortak kat şu şekilde yazılır: LCM ( a, B, ...) = x.

Buna göre 3, 5 ve 12 sayılarının en küçük ortak katını yazıyoruz:

LCM (3, 5, 12) = 60.

NOC hesaplayıcı

Bu hesaplayıcı, sayıların en az ortak katını bulmanıza yardımcı olacaktır. Boşluk veya virgülle ayrılmış sayıları girin ve LCM Hesapla düğmesini tıklayın.

Aşağıda sunulan materyal, LCM - en küçük ortak kat, tanım, örnekler, LCM ve GCD arasındaki ilişki başlığı altındaki makaledeki teorinin mantıklı bir devamıdır. Burada hakkında konuşacağız en küçük ortak katı bulma (LCM) ve örnek çözmeye özellikle dikkat edin. Önce iki sayının LCM'sinin bu sayıların GCD'si cinsinden nasıl hesaplandığını gösterelim. Ardından, sayıları asal çarpanlara ayırarak en küçük ortak katı bulmayı düşünün. Bundan sonra, üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmaya odaklanacağız ve ayrıca negatif sayıların LCM'sinin hesaplanmasına da dikkat edeceğiz.

Sayfa gezintisi.

gcd aracılığıyla en küçük ortak katın (LCM) hesaplanması

En az ortak katı bulmanın bir yolu, LCM ve GCD arasındaki ilişkiye dayanmaktadır. LCM ve GCD arasındaki mevcut ilişki, bilinen en büyük ortak bölen aracılığıyla iki pozitif tamsayının en küçük ortak katını hesaplamanıza olanak tanır. Karşılık gelen formül forma sahiptir LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Yukarıdaki formüle göre LCM bulma örneklerini düşünün.

Örnek.

126 ve 70 sayılarının en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Bu örnekte a=126 , b=70 . LCM ve GCD arasındaki formülle ifade edilen ilişkiyi kullanalım. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Yani önce 70 ve 126 sayılarının en büyük ortak bölenini bulmalıyız, ardından bu sayıların LCM'sini yazılı formüle göre hesaplayabiliriz.

Euclid'in algoritmasını kullanarak gcd(126, 70)'i bulun: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dolayısıyla gcd(126, 70)=14 .

Şimdi gerekli en küçük ortak katı buluyoruz: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Yanıt vermek:

LCM(126, 70)=630.

Örnek.

LCM(68, 34) nedir?

Çözüm.

Çünkü 68, 34 ile eşit olarak bölünebilir, ardından gcd(68, 34)=34 . Şimdi en küçük ortak katı hesaplıyoruz: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Yanıt vermek:

LCM(68, 34)=68 .

Önceki örneğin, pozitif a ve b tam sayıları için LCM'yi bulmak için aşağıdaki kurala uyduğunu unutmayın: a sayısı b ile bölünebiliyorsa, bu sayıların en küçük ortak katı a'dır.

Sayıları Asal Faktörlere Ayırarak LCM'yi Bulma

En küçük ortak katı bulmanın başka bir yolu da sayıları asal çarpanlara ayırmaktır. Bu sayıların tüm asal çarpanlarının çarpımını yaparsak, sonra bu sayıların açılımlarında bulunan tüm ortak asal çarpanları bu çarpımdan çıkarırsak, elde edilen çarpım bu sayıların en küçük ortak katına eşit olacaktır.

LCM'yi bulmak için ilan edilen kural eşitlikten kaynaklanmaktadır. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Gerçekten de, a ve b sayılarının çarpımı, a ve b sayılarının açılımlarında yer alan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Sırasıyla, gcd(a, b), a ve b sayılarının açılımlarında aynı anda mevcut olan tüm asal faktörlerin ürününe eşittir (sayıların asal faktörlere ayrıştırılmasını kullanarak gcd'yi bulma bölümünde açıklanmıştır). ).

Bir örnek alalım. 75=3 5 5 ve 210=2 3 5 7 olduğunu bilelim. Bu açılımların tüm faktörlerinin çarpımını oluşturun: 2 3 3 5 5 5 7 . Şimdi hem 75 sayısının açılımında hem de 210 sayısının açılımında mevcut olan tüm faktörleri (bu çarpanlar 3 ve 5'tir) bu üründen çıkarıyoruz, o zaman ürün 2 3 5 5 7 şeklini alacaktır. Bu çarpım değeri 75 ve 210 sayılarının en küçük ortak katına eşittir. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Örnek.

441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayırdıktan sonra, bu sayıların en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

441=3 3 7 7 ve 700=2 2 5 5 7 elde ederiz.

Şimdi bu sayıların açılımlarında yer alan tüm faktörlerin bir çarpımını yapalım: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Her iki açılımda da aynı anda mevcut olan tüm faktörleri bu üründen çıkaralım (böyle bir faktör var - bu 7 sayısı): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Böylece, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Yanıt vermek:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Sayıların asal faktörlere ayrıştırılmasını kullanarak LCM'yi bulma kuralı biraz farklı formüle edilebilir. b sayısının açılımından eksik çarpanları a sayısının ayrıştırılmasından elde edilen çarpanlara eklersek, elde edilen ürünün değeri a ve b sayılarının en küçük ortak katına eşit olacaktır..

Örneğin, 75 ve 210 numaralı aynı sayıları alalım, bunların asal çarpanlarına açılımları şu şekildedir: 75=3 5 5 ve 210=2 3 5 7 . 75 sayısının açılımından 3, 5 ve 5 çarpanlarına, 210 sayısının açılımından eksik 2 ve 7 çarpanlarını ekliyoruz, değeri LCM(75 olan 2 3 5 5 7 ürününü elde ediyoruz. , 210) .

Örnek.

84 ve 648'in en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Önce 84 ve 648 sayılarının asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ederiz. 84=2 2 3 7 ve 648=2 2 2 3 3 3 3 gibi görünüyorlar. 84 sayısının açılımından 2 , 2 , 3 ve 7 çarpanlarına 648 sayısının açılımından eksik çarpanlar 2 , 3 , 3 ve 3'ü eklersek 2 2 2 3 3 3 3 7 çarpımını elde ederiz , 4 536'ya eşittir. Böylece 84 ve 648 sayılarının en küçük ortak katı istenen en küçük ortak kat 4,536'dır.

Yanıt vermek:

LCM(84, 648)=4 536 .

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma

Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, iki sayının LCM'sini art arda bularak bulunabilir. Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın bir yolunu veren ilgili teoremi hatırlayın.

Teorem.

a 1 , a 2 , …, ak pozitif tam sayıları verilsin, bu sayıların en küçük ortak katı mk sıralı hesaplamada bulunur m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk-1 , ak) .

Dört sayının en küçük ortak katını bulma örneğinde bu teoremin uygulamasını düşünün.

Örnek.

140 , 9 , 54 ve 250 dört sayısının LCM'sini bulun .

Çözüm.

Bu örnekte a 1=140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

ilk biz buluruz m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Bunu yapmak için, Öklid algoritmasını kullanarak gcd(140, 9) belirledik, 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dolayısıyla gcd( 140, 9)=1 , nereden LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Yani, m 2 =1 260 .

şimdi buluyoruz m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Öklid algoritması tarafından da belirlenen gcd(1 260, 54) üzerinden hesaplayalım: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Sonra gcd(1 260, 54)=18 , buradan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Yani, m 3 \u003d 3 780.

Bulmak için sol m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBÜ(3 780, 250) buluyoruz: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Bu nedenle, gcd(3 780, 250)=10 , buradan gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Yani, m 4 \u003d 94 500.

Yani orijinal dört sayının en küçük ortak katı 94.500'dür.

Yanıt vermek:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

Çoğu durumda, üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, verilen sayıların asal çarpanlarına ayırmaları kullanılarak kolayca bulunur. Bu durumda aşağıdaki kurala uyulmalıdır. Birkaç sayının en küçük ortak katı, çarpımına eşittir, bu şu şekilde oluşur: ikinci sayının açılımından gelen eksik çarpanlar, birinci sayının açılımından gelen tüm çarpanlara, eksik çarpanlar, açılımından gelen tüm çarpanlara eklenir. üçüncü sayı elde edilen faktörlere eklenir, vb.

Sayıların asal faktörlere ayrıştırılmasını kullanarak en küçük ortak katı bulma örneğini ele alalım.

Örnek.

84 , 6 , 48 , 7 , 143 beş sayının en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

İlk olarak, bu sayıların asal çarpanlara açılımlarını elde ederiz: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 asal çarpan) ve 143=11 13 .

Bu sayıların LCM'sini bulmak için, ilk sayının 84 çarpanlarına (bunlar 2 , 2 , 3 ve 7 ) ikinci sayının 6 açılımından eksik çarpanları eklemeniz gerekir. 6 sayısının açılımı eksik çarpanları içermez, çünkü hem 2 hem de 3 birinci sayının 84 açılımında zaten mevcuttur. 2 , 2 , 3 ve 7 faktörlerine ek olarak , üçüncü sayı 48'in açılımından 2 ve 2 eksik faktörleri ekliyoruz , bir dizi faktör 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ve 7 elde ediyoruz . 7 zaten içinde bulunduğundan, bir sonraki adımda bu kümeye faktör eklemeye gerek yoktur. Son olarak, 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ve 7 çarpanlarına 143 sayısının açılımından eksik olan 11 ve 13 çarpanlarını ekliyoruz . 48 048'e eşit olan 2 2 2 2 3 7 11 13 ürününü elde ederiz.

Gadget'lara yerleşik hesap makinelerini yerinde ve yerinde kullanmaya alışmış modern okul çocukları için sorun yaratan görevlerden biri, iki veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini (GCD) bulmaktır.

Gerçekte ne istendiği bilinmiyorsa, herhangi bir matematik problemini çözmek imkansızdır. Bunu yapmak için, bunun veya bu ifadenin ne anlama geldiğini bilmeniz gerekir. matematikte kullanılır.

Genel kavramlar ve tanımlar

Bilmem gerek:

1. Dokuz sütun, on altı ev gibi çeşitli nesneleri saymak için belirli bir sayı kullanılabiliyorsa, bu doğaldır. En küçüğü bir olacak.
2. Bir doğal sayı başka bir doğal sayıya bölünebildiğinde, küçük sayı büyük sayının böleni olarak adlandırılır.
3. İki veya daha fazla farklı sayı belirli bir sayıya kalansız bölünebiliyorsa, ikincisinin ortak bölenleri (OD) olacağını söylerler.
4. OD'lerin en büyüğüne en büyük ortak bölen (GCD) denir.
5. Böyle bir durumda, bir sayının yalnızca iki doğal böleni (kendisi ve bir) varsa, bu sayıya asal denir. Aralarında en küçüğü ikilidir, ayrıca serilerindeki tek çift sayıdır.
6. İki sayının maksimum ortak böleni bir ise, bunlar aralarında asal olacaktır.
7. İkiden fazla böleni olan sayılara bileşik sayı denir.
8. Matematikte birbiriyle çarpıldığında çarpımdaki ilk değeri verecek olan tüm asal faktörlerin bulunduğu sürece asal faktörlere ayrıştırma denir. Ayrıca genişlemede aynı etkenler birden fazla kez meydana gelebilir.

Matematikte aşağıdaki gösterimler kabul edilir:

1. Bölenler D (45) = (1; 3; 5; 9; 45).
2. OD (8;18) = (1;2).
3. OBEB (8;18) = 2.

GCD'yi bulmanın çeşitli yolları

Cevaplaması en kolay soru NOD nasıl bulunur küçük sayı büyük sayının böleni olduğunda. Bu durumda en büyük ortak bölen olacaktır.

Örneğin, OBEB (15;45) = 15, OBEB (48;24) = 24.

Ancak matematikte bu tür durumlar çok nadirdir, bu nedenle, GCD'yi bulmak için daha karmaşık teknikler kullanılır, ancak çalışmaya başlamadan önce bu seçeneğin kontrol edilmesi şiddetle tavsiye edilir.

Asal faktörlere ayrıştırma yöntemi

İki veya daha fazla farklı sayının GCD'sini bulmanız gerekiyorsa, her birini basit faktörlere ayırmanız ve ardından sayıların her birinde bulunanları çarpma işlemini gerçekleştirmeniz yeterlidir.

örnek 1

GCD 36 ve 90'ı nasıl bulacağınızı düşünün:

1. 36 = 1*2*2*3*3;
2. 90 = 1*2*3*3*5;

OBEB (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

Şimdi aynısını nasıl bulacağımıza bakalım üç sayı olması durumunda, örneğin 54'ü alın; 162; 42.

36'yı nasıl ayrıştıracağımızı zaten biliyoruz, gerisini halledelim:

1. 162 = 1*2*3*3*3*3;
2. 42 = 1*2*3*7;

Böylece, OBEB (36;162;42) = 1*2*3 = 6.

Unutulmamalıdır ki genişletmede birimin yazılması kesinlikle isteğe bağlıdır.

yolu düşün çarpanlara ayırmak ne kadar kolay, bunun için sol tarafa ihtiyacımız olan sayıyı, sağ tarafa ise basit bölenleri yazacağız.

Sütunlar, bölme işareti veya basit bir dikey çubuk ile ayrılabilir.

1. 36/2 bölme işlemimize devam edeceğiz;
2. 18 / 2 daha fazla;
3. 9 / 3 ve tekrar;
4. 3 / 3 artık oldukça basit;
5. 1 - sonuç hazır.

İstenilen 36 \u003d 2 * 2 * 3 * 3.

Öklid yolu

Bu seçenek, eski Yunan uygarlığı zamanından beri insanlık tarafından bilinmektedir, çok daha basittir ve daha önce çok benzer algoritmalar kullanılmasına rağmen, büyük matematikçi Öklid'e atfedilir. Bu yöntem aşağıdaki algoritmayı kullanmaktır, büyük sayıyı küçük sayıya böleriz. Daha sonra böleni kalana böleriz ve bölme işlemi tamamlanıncaya kadar daire şeklinde bu şekilde işlemeye devam ederiz. Son değer, istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

Bu algoritmayı kullanmaya bir örnek verelim:

816 ve 252 için hangi GCD'yi bulmaya çalışalım:

1. 816 / 252 = 3 ve kalan 60'tır. Şimdi 252'yi 60'a böleriz;
2. 252 / 60 = 4 bu sefer kalan 12 olacak. Dairesel işlemimize devam edelim, altmışı ikiye bölelim;
3. 60 / 12 = 5. Bu sefer kalan almadığımız için sonuç hazır, aradığımız değer on iki olacak.

Yani işlemimizin sonunda NOD aldık (816;252) = 12.

İkiden fazla değer belirtilmişse GCD'nin belirlenmesi gerekiyorsa yapılacak işlemler

İki farklı sayı olması durumunda ne yapacağımızı zaten anladık, şimdi varsa nasıl davranacağımızı öğreneceğiz. 3 veya daha fazla.

Görünen karmaşıklığa rağmen, bu görev bize herhangi bir soruna neden olmayacak. Şimdi herhangi iki sayıyı seçip aradığımız değeri belirliyoruz. Bir sonraki adım, elde edilen sonuç ve verilen değerlerin üçüncüsü için GCD'yi bulmaktır. Sonra yine dördüncü beşinci madde için zaten bildiğimiz ilkeye göre hareket ederiz ve bu böyle devam eder.

Çözüm

Yani, başlangıçta önümüze konan görevin görünüşte büyük karmaşıklığı ile, aslında, her şey basittir, asıl mesele bölme işlemini hatasız yapabilmektir. ve yukarıda açıklanan iki algoritmadan herhangi birine bağlı kalın.

Her iki yöntem de oldukça kabul edilebilir olsa da, kapsamlı bir okulda ilk yöntem çok daha yaygın olarak kullanılmaktadır.. Bunun nedeni, aşağıdakileri incelerken asal çarpanlara ayırmanın gerekli olacağı gerçeğidir. öğrenme konusu- en büyük ortak katın (LCM) belirlenmesi. Ancak yine de tekrar belirtmekte fayda var - Öklid algoritmasının kullanımı hiçbir şekilde hatalı olarak kabul edilemez.

Video

Video yardımıyla en büyük ortak böleni nasıl bulacağınızı öğrenebilirsiniz.