Terminoloji bilgisi ve ayrıca çeşitli özelliklerin bilgisi geometrik şekiller geometrideki birçok problemin çözümüne yardımcı olacaktır. Planimetri gibi bir bölümü inceleyen öğrenci genellikle "çokgen" terimiyle karşılaşır. Bu kavram hangi figürü karakterize ediyor?

Çokgen - geometrik bir şekil tanımlayın

Tüm bölümleri aynı düzlemde bulunan ve kendi kendine kesişen bölümleri olmayan kapalı bir çoklu çizgi, çokgen adı verilen geometrik bir şekil oluşturur. Kesik çizgi bağlantılarının sayısı en az 3 olmalıdır. Başka bir deyişle, çokgen, sınırı kapalı bir çoklu çizgi olan bir düzlemin parçası olarak tanımlanır.

Bir çokgenin katılımıyla problem çözme sürecinde, genellikle aşağıdaki gibi kavramlar ortaya çıkar:

• Çokgenin kenarı. Bu terim, gerekli şeklin kırık zincirinin bir bölümünü (bağlantısını) karakterize eder.
• Çokgen köşesi (iç) - 2 bitişik çoklu çizgi bağlantısının oluşturduğu açı.
• Çokgenin tepe noktası, çoklu çizginin tepe noktası olarak tanımlanır.
• Çokgen köşegen, çokgen şeklin herhangi 2 köşesini (komşu olanlar hariç) birleştiren bir çizgi parçasıdır.

Bu durumda, bir çokgen içindeki çoklu çizginin bağlantı sayısı ve köşe sayısı çakışır. Köşelerin (veya sırasıyla çoklu çizgi parçalarının) sayısına bağlı olarak, çokgenin türü de belirlenir:

• 3 köşe - üçgen.
• 4 köşe - bir dörtgen.
• 5 köşe - beşgen vb.

Bir çokgen şeklin eşit açıları ve buna göre kenarları varsa, bu çokgenin düzenli olduğunu söylerler.

çokgen türleri

Tüm çokgen geometrik şekiller 2 türe ayrılır - dışbükey ve içbükey.

• Çokgenin kenarlarından herhangi biri düz bir çizgide devam ettikten sonra gerçek şekil ile kesişme noktaları oluşturmuyorsa, önünüzde dışbükey bir çokgen şekil var demektir.
• Bir kenarı (herhangi bir) uzattıktan sonra, elde edilen düz çizgi çokgenle kesişirse, içbükey bir çokgenden bahsediyoruz.

çokgen özellikleri

İncelenen çokgen şeklin doğru olup olmadığına bakılmaksızın, aşağıdaki özelliklere sahiptir. Böyle:

• İç açıları toplamı (p - 2) * π oluşturur, burada

π - açılmamış açının radyan ölçüsü, 180 ° 'ye karşılık gelir,

p, bir çokgen şeklin (p-gon) köşelerinin (köşelerinin) sayısıdır.

• Herhangi bir çokgen şeklin köşegen sayısı, p * (p - 3) / 2 oranından belirlenir, burada

p, p-gon'un kenar sayısıdır.

§ 1 Üçgen kavramı

Bu derste üçgen ve çokgen gibi şekillere aşina olacaksınız.

Bir düz çizgi üzerinde olmayan üç nokta parçalarla birleştirilirse, bir üçgen elde edersiniz. Üçgenin üç köşesi ve üç kenarı vardır.

ABC üçgeninden önce, üç köşesi (A noktası, B noktası ve C noktası) ve üç kenarı (AB, AC ve CB) vardır.

Bu arada, aynı taraflar başka bir şekilde çağrılabilir:

AB = BA, AC = CA, CB = BC.

Üçgenin kenarları, üçgenin köşelerinde üç açı oluşturur. Resimde A açısını, B açısını, C açısını görebilirsiniz.

Dolayısıyla üçgen, tek bir doğru üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren üç parçanın oluşturduğu geometrik bir şekildir.

§ 2 Çokgen kavramı ve türleri

Üçgenlerin yanı sıra dörtgenler, beşgenler, altıgenler vb. Tek kelimeyle çokgenler olarak adlandırılabilirler.

Şekilde DMKE dörtgenini görebilirsiniz.

D, M, K ve E noktaları dörtgenin köşeleridir.

DM, MK, KE, ED segmentleri bu dörtgenin kenarlarıdır. Tıpkı bir üçgen durumunda olduğu gibi, bir dörtgenin kenarları, tahmin ettiğiniz gibi köşelerde dört köşe oluşturur, dolayısıyla adı - dörtgen. Bu dörtgen için resimde D açısını, M açısını, K açısını ve E açısını görebilirsiniz.

Hangi dörtgenleri zaten biliyorsun?

Kare ve dikdörtgen! Her birinin dört köşesi ve dört kenarı vardır.

Diğer bir çokgen türü beşgendir.

O, P, X, Y, T noktaları beşgenin köşeleridir ve TO, OP, PX, XY, YT parçaları bu beşgenin kenarlarıdır. Beşgenin sırasıyla beş köşesi ve beş kenarı vardır.

Sizce altıgenin kaç açısı ve kenarı vardır? Bu doğru, altı! Benzer bir şekilde akıl yürüterek, belirli bir çokgenin kaç kenarı, köşesi veya köşesi olduğunu söyleyebilirsiniz. Ve bir üçgenin aynı zamanda tam olarak üç köşesi, üç kenarı ve üç köşesi olan bir çokgen olduğu sonucuna varabiliriz.

Böylece, bu derste üçgen ve çokgen gibi kavramlarla tanıştınız. Bir üçgenin 3 köşesi, 3 kenarı ve 3 köşesi, dörtgen - 4 köşe, 4 kenar ve 4 köşe, beşgen - sırasıyla 5 kenar, 5 köşe, 5 köşe vb. olduğunu öğrendik.

Kullanılan literatür listesi:

1. Matematik 5. sınıf. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. ve diğerleri 31. baskı, silindi. - E: 2013.
2. 5. sınıf matematikte didaktik materyaller. Yazar - Popov M.A. - 2013 yılı
3. Hatasız hesaplıyoruz. 5-6. sınıflarda matematikte kendi kendine test ile çalışır. Yazar - Minaeva S.S. - yıl 2014
4. 5. sınıf matematikte didaktik materyaller. Yazarlar: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Kontrol ve bağımsız iş matematik 5. sınıfta. Yazarlar - Popov M.A. - yıl2012
6. Matematik. 5. sınıf: ders kitabı. genel eğitim öğrencileri için. kurumlar / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. baskı, Silindi. - E.: Mnemosina, 2009

Çokgen, her tarafı kapalı bir çoklu çizgi ile sınırlanan geometrik bir şekildir. Bu durumda, kopuk hat bağlantılarının sayısı üçten az olmamalıdır. Her bir çizgi parçası çifti ortak nokta ve köşeler oluşturur. Çoklu çizgi parçalarının sayısı ile birlikte köşe sayısı, bir çokgenin temel özellikleridir. Her çokgende, sınırlayıcı kapalı çoklu çizginin bağlantı sayısı köşe sayısıyla aynıdır.

Geometride, geometrik nesneyi sınırlayan kesikli çizginin bağlantılarını çağırmak gelenekseldir. Köşeler, iki bitişik tarafın temas noktalarıdır., çokgenlerin adlarını aldıkları sayıya göre.

Kapalı bir çoklu çizgi üç parçadan oluşuyorsa buna üçgen denir; sırasıyla, dört bölümden - bir dörtgen, beşten - bir beşgen, vb.

Bir üçgen veya dörtgen belirtmek için, köşelerini gösteren büyük Latin harfleri kullanılır. Harfler sırayla adlandırılır - saat yönünde veya saat yönünün tersine.

Temel konseptler

Bir çokgenin tanımını tanımlarken, akılda tutulması gereken bazı ilgili geometrik kavramlar vardır:

1. Köşeler bir kenarın uçları ise, bunlara bitişik denir.
2. Bir doğru parçası bitişik olmayan köşeleri birleştiriyorsa, buna köşegen denir. Bir üçgenin köşegenleri olamaz.
3. İç açı, iki kenarının oluşturduğu köşelerden birinin bu noktada yakınsadığı açıdır. Her zaman geometrik figürün iç bölgesinde bulunur. Çokgen dışbükey değilse, 180 dereceden büyük olabilir.
4. Belirli bir tepe noktasındaki dış açı, o noktada iç açıya bitişik olan açıdır. Başka bir deyişle, dış açı, 180 ° ile iç açının değeri arasındaki fark olarak kabul edilebilir.
5. Tüm segmentlerin değerlerinin toplamına çevre denir.
6. Tüm kenarlar ve tüm açılar eşitse buna doğru denir. Sadece dışbükey olanlar doğru olabilir.

Yukarıda bahsedildiği gibi, çokgen geometrik isimler köşe sayılarına dayanmaktadır. Bir şekilde n tane varsa, denir. n-gon:

1. Düzlemin sonunu sınırlayan bir çokgene düz denir. Bu geometrik şekil bir daire içine yazılabilir veya bir dairenin çevresine çizilebilir.
2. Bir n-gon, aşağıdaki koşullardan birini karşılayan bir dışbükeydir.
3. Şekil, iki bitişik köşeyi birleştiren düz bir çizginin bir tarafında bulunur.
4. Bu şekil, birkaç yarım düzlemin ortak bir parçası veya kesişimi olarak hizmet eder.
5. Köşegenler çokgenin içinde yer alır.
6. Bir doğrunun uçları bir çokgene ait noktalarda bulunuyorsa, doğrunun tamamı ona aittir.
7. Tüm bölümleri ve tüm açıları eşitse bir şekil doğru olarak adlandırılabilir. Örnekler arasında bir kare, bir eşkenar üçgen veya normal bir beşgen sayılabilir.
8. n-gon dışbükey değilse, tüm kenarları ve açıları eşittir ve köşeler bunlarla çakışır. normal n-gon, yıldız şeklinde denir. Bu tür rakamların kendi kendine kesişme noktaları olabilir. Örnekler pentagram veya heksagramdır.
9. Tüm köşeleri bir dairenin içine yerleştirildiğinde, bir daire içinde yazılı bir üçgen veya dörtgen denir. Bu şeklin kenarları bir daire ile temas noktalarına sahipse, bu belirli bir daire etrafında çevrelenmiş bir çokgendir.

Herhangi bir dışbükey n-gon üçgenlere bölünebilir... Bu durumda üçgen sayısı kenar sayısından 2'şer küçüktür.

Rakam türleri

Üç köşesi ve bunları birbirine bağlayan üç doğru parçası olan bir çokgendir. Bu durumda segmentlerin bağlantı noktaları tek bir doğru üzerinde yer almaz.

Doğru parçalarının bağlantı noktaları üçgenin köşeleri... Doğru parçalarının kendilerine üçgenin kenarları denir. Her üçgenin iç açıları toplamı 180° dir.

Kenarlar arasındaki oranlara göre, tüm üçgenler birkaç türe ayrılabilir:

1. Eşkenar- tüm bölümlerin uzunluğunun aynı olduğu.
2. İkizkenar- üçün iki parçasının eşit olduğu üçgenler.
3. Çok yönlü- tüm bölümlerin uzunluğu farklıysa.

Ek olarak, aşağıdaki üçgenleri ayırt etmek gelenekseldir:

1. Dar açılı.
2. dikdörtgen.
3. Geniş.

dörtgen

dörtgen denir düz şekil, 4 köşe ve onları seri olarak bağlayan 4 segmente sahip.

1. Bir dörtgenin tüm köşeleri düz ise bu şekle dikdörtgen denir.
2. Tüm kenarları aynı boyutta olan dikdörtgene kare denir.
3. Tüm kenarları eşit olan bir dörtgene eşkenar dörtgen denir.

Bir dörtgenin üç köşesi aynı anda bir doğru üzerinde olamaz.

Video

Bu videoda çokgenler hakkında daha fazla bilgi bulabilirsiniz.

Çokgen türleri:

dörtgenler

dörtgenler sırasıyla 4 kenar ve köşeden oluşur.

Karşılıklı kenar ve köşelere denir zıt.

Köşegenler dışbükey dörtgenleri üçgenlere böler (resme bakın).

Dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı 360 ° 'dir (formüle göre: (4-2) * 180 °).

paralelkenarlar

Paralelkenar zıttı olan bir dışbükey dörtgendir paralel kenarlar(1 numaranın altındaki şekilde).

Paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve açılar her zaman eşittir.

Ve kavşaktaki köşegenler yarıya iner.

Trapez

yamuk aynı zamanda bir dörtgendir ve trapez sadece iki taraf paraleldir, buna denir zemin... Diğer partiler yan taraflar.

Şekildeki yamuk 2 ve 7 olarak numaralandırılmıştır.

Üçgende olduğu gibi:

Kenarlar eşitse yamuk ikizkenar;

Köşelerden biri düz ise yamuk dikdörtgen.

Yamuğun orta çizgisi, tabanların toplamının yarısına eşittir ve onlara paraleldir.

Eşkenar dörtgen

Eşkenar dörtgen tüm kenarları eşit olan bir paralelkenardır.

Paralelkenarın özelliklerine ek olarak, eşkenar dörtgenlerin kendi özel özellikleri vardır - eşkenar dörtgenin köşegenleri diktir birbirine ve eşkenar dörtgenin köşelerini ikiye böl.

Şekil 5 numaralı bir eşkenar dörtgeni göstermektedir.

dikdörtgenler

Dikdörtgen- bu, her köşesi düz bir çizgi olan bir paralelkenardır (8 numara altındaki şekle bakınız).

Paralelkenarın özelliklerine ek olarak, dikdörtgenlerin kendi özel özellikleri vardır - dikdörtgenin köşegenleri.

kareler

Meydan tüm kenarları eşit (# 4) olan bir dikdörtgendir.

Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen özelliklerine sahiptir (çünkü tüm kenarlar eşittir).

Bu derste, şimdiden başlayacağız yeni Konu ve bizim için yeni bir konsept olan "poligon"u tanıtın. Çokgenlerle ilgili temel kavramları ele alacağız: kenarlar, köşeler, köşeler, dışbükeylik ve dışbükey olmama. Ardından, bir çokgenin iç açılarının toplamına ilişkin teorem, bir çokgenin dış açılarının toplamına ilişkin teorem gibi en önemli gerçekleri ispatlıyoruz. Sonuç olarak, daha sonraki derslerde ele alınacak olan çokgenlerin özel durumlarını incelemeye yaklaşacağız.

Tema: Dörtgenler

Ders: Çokgenler

Geometri dersinde, geometrik şekillerin özelliklerini inceliyoruz ve bunların en basitini zaten düşündük: üçgenler ve daireler. Aynı zamanda, bu şekillerin dikdörtgen, ikizkenar ve düzgün üçgenler gibi belirli özel durumlarını da tartıştık. Şimdi daha genel ve karmaşık şekillerden bahsetmenin zamanı geldi - çokgenler.

Özel bir durum ile çokgenler zaten aşinayız - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 1. Üçgen

Adın kendisi, bunun üç köşeli bir figür olduğunu zaten vurguluyor. Bu nedenle, çokgen birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin, bir beşgen çizelim (bkz. Şekil 2), yani. beş köşeli bir figür.

Pirinç. 2. Pentagon. Dışbükey Poligon

Tanım.Çokgen- birkaç noktadan (ikiden fazla) ve bunları seri olarak birbirine bağlayan karşılık gelen sayıda parçadan oluşan bir rakam. Bu noktalara denir zirvelerçokgen ve çizgi parçaları - partiler... Ayrıca, hiçbir iki bitişik kenar bir düz çizgi üzerinde bulunmaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez.

Tanım.düzgün çokgen tüm kenarları ve açıları eşit olan dışbükey bir çokgendir.

Herhangi çokgen uçağı iki alana ayırır: iç ve dış. İç alan olarak da adlandırılır çokgen.

Yani örneğin bir beşgenden bahsettiklerinde onun hem iç bölgesini hem de sınırını kastediyorlar. Ve çokgenin içinde kalan tüm noktalar da iç bölgeye, yani. nokta da beşgene aittir (bkz. Şekil 2).

Çokgenlere bazen bilinmeyen sayıda köşe (n adet) varlığının genel durumunun dikkate alındığını vurgulamak için n-gonlar da denir.

Tanım. çokgen çevre- çokgenin kenar uzunluklarının toplamı.

Şimdi çokgen türlerini tanımamız gerekiyor. ayrılırlar dışbükey ve dışbükey olmayan... Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen. 2 dışbükeydir ve Şek. 3 dışbükey olmayan.

Pirinç. 3. Dışbükey olmayan çokgen

Tanım 1. Çokgen aranan dışbükey herhangi bir kenarından düz bir çizgi çizerken, tüm çokgen bu düz çizginin sadece bir tarafında yer alır. Dışbükey olmayan geri kalan her şey çokgenler.

Şekil 5'teki beşgenin her iki tarafını uzatırken bunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizginin bir tarafında olacak, yani. dışbükeydir. Ancak, Şekil 1'deki bir dörtgen içinde düz bir çizgi çizerken. 3 zaten onu ikiye böldüğünü görüyoruz, yani. dışbükey değildir.

Ancak bir çokgenin dışbükeyliğinin başka bir tanımı daha vardır.

Tanım 2. Çokgen aranan dışbükey iç noktalarından herhangi ikisini seçip bunları bir doğru parçasına bağlarken, doğru parçasının tüm noktaları aynı zamanda çokgenin iç noktalarıdır.

Bu tanımın kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki segment oluşturma örneğinde görülebilir. 2 ve 3.

Tanım. Diyagonalçokgen, bitişik olmayan iki köşeyi birleştiren herhangi bir doğru parçasıdır.

Çokgenlerin özelliklerini açıklamak için açılarıyla ilgili iki önemli teorem vardır: dışbükey çokgenin iç açıları toplamı üzerine teorem ve bir dışbükey çokgenin dış açılarının toplamına ilişkin teorem... Onları düşünelim.

Teorem. Bir dışbükey çokgenin iç açıları toplamı üzerinde (n-gon).

Köşelerinin (yanların) sayısı nerede.

Kanıt 1. Şekilde tasvir ediyoruz. 4 dışbükey n-gon.

Pirinç. 4. Dışbükey n-gon

Tüm olası köşegenleri yukarıdan çizin. n-gon'u üçgenlere bölerler, çünkü çokgenin her bir kenarı, tepeye bitişik kenarlar dışında bir üçgen oluşturur. Şekilden, tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n-genin iç açılarının toplamına eşit olacağını görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı, bir n-genin iç açılarının toplamı olduğu için:

Q.E.D.

İspat 2. Bu teoremin bir başka ispatı da mümkündür. Şekilde benzer bir n-gon çizelim. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın.

Pirinç. 5.

Bir n-gon'un n üçgene bölünmesini elde ettik (üçgen sayısı kadar kenar). Tüm açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamına ve iç noktadaki açıların toplamına eşittir ve bu açıdır. Sahibiz:

Q.E.D.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoremden, bir n-gonun açılarının toplamının, kenarlarının sayısına (n'ye) bağlı olduğu açıktır. Örneğin, bir üçgende ve açıların toplamı. Bir dörtgende ve açıların toplamı vb.

Teorem. Bir dışbükey çokgenin dış açılarının toplamında (n-gon).

Köşelerinin (kenarlarının) sayısı nerede ve…, dış köşeler.

Kanıt. Şekilde dışbükey bir n-gon çizelim. 6 ve iç ve dış köşelerini belirleyin.

Pirinç. 6. İşaretli dış köşelere sahip dışbükey n-gon

Çünkü dış köşe iç köşeyle bitişik olarak ilişkilidir, daha sonra ve benzer şekilde dış köşelerin geri kalanı için. O zamanlar:

Dönüşümler sırasında, bir n-gonun iç açılarının toplamında zaten kanıtlanmış teoremi kullandık.

Kanıtlanmış.

Yukarıda ispatlanan teorem şu anlama gelir: ilginç gerçek bir dışbükey n-genin dış açılarının toplamı köşelerinin (yanların) sayısından. Bu arada, iç açıların toplamının aksine.

bibliyografya

1. Alexandrov A.D. ve diğerleri Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. sınıf. - E.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Ev ödevi