Alanı bulma probleminde olduğu gibi, kendinize güvenen çizim becerilerine ihtiyacınız var - bu neredeyse en önemli şeydir (çünkü integrallerin kendileri genellikle kolay olacaktır). Kullanarak yetkin ve hızlı bir grafik tekniğinde ustalaşabilirsiniz. öğretim materyalleri ve Grafiklerin geometrik dönüşümleri. Ama aslında, derste çizimlerin önemi hakkında defalarca konuştum.

Genel olarak, integral hesabında birçok ilginç uygulama vardır, belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını, bir dönüş gövdesinin hacmini, bir yayın uzunluğunu, bir yüzeyin alanını hesaplayabilirsiniz. devrim ve çok daha fazlası. Bu yüzden eğlenceli olacak, lütfen iyimser olun!

Üzerinde düz bir figür hayal edin koordinat uçağı... sundunuz mu? ... Kimin ne sunduğunu merak ediyorum ... =))) Alanını çoktan bulduk. Ancak, ek olarak, bu şekil de döndürülebilir ve iki şekilde döndürülebilir:

- apsis ekseni etrafında;
- ordinat ekseni etrafında.

Bu makale her iki durumu da kapsayacaktır. İkinci döndürme yöntemi özellikle ilginçtir, en büyük zorluklara neden olur, ancak aslında çözüm, apsis ekseni etrafında daha yaygın olan döndürme ile pratik olarak aynıdır. Bonus olarak, geri döneceğim bir figürün alanını bulma sorunu, ve size alanı ikinci yoldan nasıl bulacağınızı anlatacağım - eksen boyunca. Materyal konuya tam olarak uyduğundan, bu bir bonus bile değil.

En popüler spin türüyle başlayalım.

bir eksen etrafında düz bir şekil

örnek 1

Çizgilerle sınırlandırılmış bir şekli bir eksen etrafında döndürerek elde edilen bir katının hacmini hesaplayın.

Çözüm: Alan bulma probleminde olduğu gibi, çözüm bir çizimle başlar düz şekil ... Yani, bir düzlemde çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir ve denklemin ekseni belirlediğini unutmayın. Bir çizimin nasıl daha verimli ve daha hızlı hale getirileceğini sayfalarda öğrenebilirsiniz. Temel Fonksiyonların Grafikleri ve Özellikleri ve Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır... Bu bir Çin hatırlatıcısıdır ve şu an Artık durmuyorum.

Buradaki çizim oldukça basit:

İstenen düz şekil mavi renkte gölgelenir, eksen etrafında dönen odur.Dönmenin bir sonucu olarak, eksen etrafında simetrik olan böyle hafif oval bir uçan daire elde edilir. Aslında, vücudun matematiksel bir adı var, ancak referans kitabı bir şeyi açıklığa kavuşturamayacak kadar tembel, bu yüzden daha ileri gidiyoruz.

Bir devrim gövdesinin hacmi nasıl hesaplanır?

Bir devrim gövdesinin hacmi formülle hesaplanabilir.:

Formülde, integralin önünde bir sayı bulunmalıdır. Öyle oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılı.

Sanırım "a" ve "bh" entegrasyon sınırlarının nasıl belirleneceği, tamamlanmış çizimden tahmin edilmesi kolay.

İşlev… bu işlev nedir? Çizime bir göz atalım. Düz bir şekil, üstte bir parabol grafiği ile sınırlandırılmıştır. Bu, formülde ima edilen fonksiyondur.

Pratik alıştırmalarda, bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki integralin karesi alınır: integral her zaman negatif değildir, bu oldukça mantıklı.

Bu formülü kullanarak devrim gövdesinin hacmini hesaplayalım:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basittir, asıl şey dikkatli olmaktır.

Cevap:

Cevapta, boyut - kübik birimler belirtilmelidir. Yani, devrim vücudumuzda yaklaşık 3.35 "küp" var. Neden tam olarak kübik birimler? Çünkü en evrensel formülasyon. Santimetre küp olabilir, olabilir Metreküp, belki kübik kilometre, vb., hayal gücünüzün bir uçan daireye kaç tane küçük yeşil adam yerleştireceği budur.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan bir cismin hacmini bulunuz,

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.

Pratikte de sıklıkla karşılaşılan iki karmaşık görevi düşünün.

Örnek 3

Çizgilerle sınırlanan şeklin apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayınız ve

Çözüm: Çizimde, denklemin ekseni tanımladığını unutmadan, çizgilerle sınırlanmış düz bir şekil çizin:

İstenilen şekil mavi gölgeli. Eksen etrafında döndürdüğünüzde, dört köşeli gerçeküstü bir çörek elde edersiniz.

Devir gövdesinin hacmi şu şekilde hesaplanır: vücut hacimlerindeki fark.

İlk olarak, kırmızı ile belirtilen şekle bakalım. Eksen etrafında döndüğünde, kesik bir koni elde edilir. Bu kesik koninin hacmini gösterelim.

Belirtilen şekli düşünün yeşil... Bu şekli eksen etrafında döndürürseniz, sadece biraz daha küçük olan kesik bir koni elde edersiniz. Hacmini ile gösterelim.

Ve açıkçası, hacimlerdeki fark tam olarak "çöreğimizin" hacmidir.

Bir devrim gövdesinin hacmini bulmak için standart formülü kullanırız:

1) Kırmızı daire içine alınmış şekil, yukarıdan düz bir çizgi ile sınırlandırılmıştır, bu nedenle:

2) Yeşil ile gösterilen şekil, üstte düz bir çizgi ile sınırlandırılmıştır, yani:

3) Aranan devrim gövdesinin hacmi:

Cevap:

Bu durumda çözümün, kesik bir koninin hacmini hesaplamak için okul formülü kullanılarak kontrol edilebilmesi ilginçtir.

Çözümün kendisi genellikle kısaltılır, bunun gibi bir şey:

Şimdi biraz dinlenelim ve geometrik illüzyonlardan bahsedelim.

Perelman'ın (bir başkası) kitapta belirttiği gibi, insanların genellikle ciltlerle ilgili yanılsamaları vardır. ilginç geometri... Çözülen problemdeki düz şekle bakın - alan olarak küçük görünüyor ve devrim gövdesinin hacmi 50 kübik birimin biraz üzerinde, ki bu çok büyük görünüyor. Bu arada, hayatı boyunca ortalama bir insan, alanı 18 olan bir oda hacmine sahip bir sıvı içer. metrekare, aksine, çok küçük görünüyor.

Genel olarak, SSCB'deki eğitim sistemi gerçekten en iyisiydi. 1950'de yayınlanan Perelman'ın aynı kitabı, mizahçının dediği gibi çok iyi gelişiyor, muhakeme ediyor ve orijinali aramayı öğretiyor. standart dışı çözümler sorunlar. Son zamanlarda bazı bölümleri büyük bir ilgiyle yeniden okudum, tavsiye ediyorum, beşeri bilimler için bile mevcut. Hayır, gülümsemeye gerek yok, boş zaman teklif ettim, bilgi ve iletişimde geniş bir bakış açısı harika bir şey.

Lirik arasözden sonra, yaratıcı görevi çözmek sadece uygundur:

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan bir cismin hacmini hesaplayın.

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Lütfen her şeyin bir şeritte gerçekleştiğini, yani aslında hazır entegrasyon limitlerinin verildiğini unutmayın. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini doğru çizin, size konuyla ilgili ders materyalini hatırlatmama izin verin. grafiklerin geometrik dönüşümleri: argüman ikiye bölünebiliyorsa:, grafikler eksen boyunca iki kez gerilir. En az 3-4 puan bulunması arzu edilir. trigonometrik tablolarlaçizimi daha doğru bir şekilde tamamlamak için. Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın. Bu arada, görev çok rasyonel değil, rasyonel olarak çözülebilir.

Döndürme ile oluşan bir cismin hacminin hesaplanması
bir eksen etrafında düz bir şekil

İkinci paragraf ilkinden daha da ilginç olacak. Ordinat ekseni etrafındaki bir dönüş gövdesinin hacmini hesaplama görevi de oldukça sık bir misafirdir. kontrol işleri... Yol boyunca, dikkate alınacaktır bir figürün alanını bulma sorunu ikinci yol - eksen boyunca entegrasyon, bu sadece becerilerinizi geliştirmenize izin vermeyecek, aynı zamanda size en karlı çözümü nasıl bulacağınızı da öğretecektir. Bunun da hayatta pratik bir anlamı var! Matematik öğretim yöntemleri öğretmenimin gülümseyerek hatırladığı gibi, birçok mezun ona şu sözlerle teşekkür etti: "Konunuz bize çok yardımcı oldu, şimdi etkili yöneticileriz ve personeli en iyi şekilde yönetiyoruz." Bu fırsatı değerlendirerek, özellikle edindiğim bilgiyi amacına uygun kullandığım için kendisine derin şükranlarımı sunuyorum =).

Okumak için herkese, hatta çaydanlıklar bile tavsiye ederim. Ayrıca ikinci bölümdeki materyalin asimilasyonu çift katlı integrallerin hesaplanmasında paha biçilmez yardım sağlayacaktır..

Örnek 5

Düz bir rakam verildi çizgilerle sınırlanmış , , .

1) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun.
2) Bu çizgilerle sınırlanmış düz bir cismin bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmini bulunuz.

Dikkat! Sadece ikinci paragrafı okumak isteseniz bile, önce mutlaka ilkini oku!

Çözüm: Görev iki bölümden oluşmaktadır. Kare ile başlayalım.

1) Çizimi uygulayalım:

Fonksiyonun parabolün üst dalını tanımladığını ve fonksiyonun parabolün alt dalını tanımladığını görmek kolaydır. Önümüzde "yan tarafında yatan" önemsiz bir parabol var.

Alanı bulunacak olan gerekli rakam mavi renkle gölgelenmiştir.

Bir şeklin alanı nasıl bulunur? Derste tartışılan "olağan" şekilde bulunabilir. Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır... Ayrıca şeklin alanı, alanların toplamı olarak bulunur:
- segmentte ;
- segmentte.

Bu yüzden:

Bu durumda olağan çözümde yanlış olan nedir? İlk olarak, iki integral var. İkincisi, integrallerin altındaki kökler, integrallerdeki kökler bir hediye değildir, ayrıca integralin sınırlarının ikamesinde kafa karıştırılabilir. Aslında, integraller elbette ölümcül değildir, ancak pratikte her şey çok daha üzücü olabilir, ben sadece görev için daha iyi fonksiyonlar seçtim.

Çözümün daha rasyonel bir yolu var: ters fonksiyonlar ve eksen boyunca entegrasyon.

Ters fonksiyonlara nasıl giderim? Kabaca söylemek gerekirse, "X" i "Y" ye kadar ifade etmeniz gerekir. Önce parabol ile ilgilenelim:

Bu kadarı yeter ama aynı fonksiyonun alt daldan da çekilebildiğinden emin olalım:

Düz bir çizgi ile her şey daha kolaydır:

Şimdi eksene bakalım: lütfen, açıklarken başınızı periyodik olarak 90 derece sağa doğru eğin (bu bir şaka değil!). İhtiyacımız olan şekil, kırmızı noktalı çizgi ile gösterilen segmentte yer almaktadır. Bu durumda, segmentte düz çizgi parabolün üzerinde bulunur, bu, şeklin alanının zaten aşina olduğunuz formül kullanılarak bulunması gerektiği anlamına gelir: ... Formülde neler değişti? Sadece bir mektup ve başka bir şey değil.

! Not: Eksen boyunca entegrasyon limitleri ayarlanmalıdır kesinlikle aşağıdan yukarıya!

Alanı bulun:

Bu nedenle segmentte:

Entegrasyonu nasıl yaptığıma dikkat edin, en çok bu rasyonel yol, ve ödevin bir sonraki paragrafında bunun nedeni açık olacaktır.

Entegrasyonun doğruluğu konusunda şüpheleri olan okuyucular için türevleri bulacağım:

Orijinal integral elde edilir, bu da entegrasyonun doğru yapıldığı anlamına gelir.

Cevap:

2) Bu şeklin eksen etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayalım.

Çizimi biraz farklı bir tasarımda yeniden çizeceğim:

Böylece mavi ile gölgelenen şekil eksen etrafında döner. Sonuç, kendi ekseni etrafında dönen bir "uçan kelebek".

Bir devrim gövdesinin hacmini bulmak için eksen boyunca integral alacağız. İlk önce ters fonksiyonlara gitmeniz gerekir. Bu zaten yapılmış ve önceki paragrafta detaylandırılmıştır.

Şimdi başımızı tekrar sağa yatırıyoruz ve figürümüzü inceliyoruz. Açıkçası, bir devrim kütlesinin hacmi, hacimlerdeki fark olarak bulunmalıdır.

Kırmızı ile özetlenen şekli eksen etrafında döndürerek kesik bir koni elde edin. Bu hacmi üzerinden belirleyelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürün ve elde edilen dönüş gövdesinin hacmiyle belirtin.

Bizim kelebeğimizin hacmi farka eşittir birimler.

Bir devrim kütlesinin hacmini bulmak için formülü kullanırız:

Önceki paragraftaki formülden farkı nedir? Sadece mektupta.

Ve işte son zamanlarda bahsettiğim entegrasyon avantajı, bulunması çok daha kolay ilk önce integrali 4. kuvvete yükseltmektense.

Cevap:

Ancak, hastalıklı bir kelebek.

Aynı düz şekli eksen etrafında döndürürseniz, elbette farklı hacimde, tamamen farklı bir dönüş gövdesi elde ettiğinizi unutmayın.

Örnek 6

Size çizgilerle ve bir eksenle sınırlanmış düz bir şekil verilir.

1) Ters fonksiyonlara gidin ve bu doğrularla sınırlanan düz bir şeklin alanını bir değişken üzerinden integral alarak bulun.
2) Bu çizgilerle sınırlandırılmış düz bir şekli bir eksen etrafında döndürerek elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın.

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. İlgilenenler ayrıca şeklin alanını "olağan" şekilde bulabilir, böylece 1. noktayı kontrol edebilir. Ama tekrar ediyorum, düz bir figürü bir eksen etrafında döndürürseniz, bu arada, doğru cevap (ayrıca çözmeyi sevenler için) farklı bir hacme sahip tamamen farklı bir dönüş gövdesi elde edersiniz.

Dersin sonunda ödevin önerilen iki noktasının tam çözümü.

Oh, bir de devrimin bedenlerini ve entegrasyon içindekileri anlamak için başınızı sağa eğmeyi unutmayın!

Parametrik olarak belirtilen çizgilerle sınırlandırılmış şekillerin alanlarını hesaplamaya izin veren elde edilen formülün uygulama örneklerini ele alalım.

Örnek.

Parametrik denklemleri forma sahip olan çizgi ile sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm.

Örneğimizde, parametrik olarak tanımlanan çizgi, yarım eksenleri 2 ve 3 birim olan bir elipstir. Hadi inşa edelim.

İlk çeyrekte bulunan bir elipsin dörtte birinin alanını bulun. Bu alan aralıkta yer alır. ... Ortaya çıkan değeri dört ile çarparak tüm şeklin alanını hesaplıyoruz.

Neyimiz var:

İçin k = 0 aralığını elde ederiz ... Bu aralıkta fonksiyon monoton olarak azalır (bkz. bölüm). Alanı hesaplamak için formülü uygularız ve Newton-Leibniz formülüyle belirli integrali buluruz:

Böylece, orijinal şeklin alanı .

Yorum Yap.

Mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: neden yarım değil de çeyrek elips aldık? Şeklin üst (veya alt) yarısı görülebiliyordu. o aralıkta ... Bu durumda alacağımız

Yani, k = 0 için bir aralık elde ederiz. Bu aralıkta fonksiyon monoton azalıyor.

Daha sonra elipsin yarısının alanı şu şekilde bulunur:

Ancak elipsin sağ veya sol yarısını alamazsınız.

Orijinde ve yarım eksende a ve b merkezli bir elipsin parametrik gösterimi şu şekildedir. Analiz edilen örnekte olduğu gibi hareket edersek, o zaman şunu elde ederiz: bir elipsin alanını hesaplamak için formül .

R yarıçapının koordinatlarının orijininde t parametresi aracılığıyla merkezlenen bir daire, bir denklem sistemi tarafından verilir. Elde edilen formülü bir elipsin alanı için kullanırsak, hemen yazabiliriz bir dairenin alanını bulmak için formül yarıçap R:.

Bir örnek daha çözelim.

Örnek.

Parametrik bir eğri ile sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm.

Biraz ileride koşan eğri, "uzun" bir astroiddir. (Astroid aşağıdaki parametrik gösterime sahiptir).

Şekli sınırlayan eğrinin yapısı üzerinde ayrıntılı olarak duralım. Nokta nokta inşa edeceğiz. Genellikle, böyle bir yapı çoğu sorunu çözmek için yeterlidir. Daha karmaşık durumlarda, parametrik olarak verilen bir fonksiyonun diferansiyel hesabı kullanan ayrıntılı bir çalışması şüphesiz gerekli olacaktır.

Örneğimizde.

Bu fonksiyonlar t parametresinin tüm gerçek değerleri için tanımlanmıştır ve sinüs ve kosinüsün özelliklerinden bunların iki pi periyodu ile periyodik olduklarını biliyoruz. Böylece, bazıları için fonksiyonların değerlerinin hesaplanması (Örneğin ), bir dizi puan alırız .

Kolaylık olması için değerleri tabloya girelim:

Düzlemdeki noktaları işaretliyoruz ve SONUÇ OLARAK onları bir çizgiyle birleştiriyoruz.

Birinci koordinat çeyreğinde yer alan alanın alanını hesaplayalım. Bu alan için .

NS k = 0 aralığını elde ederiz fonksiyon nerede monoton olarak azalır. Alanı bulmak için formülü uygularız:

Elde edilen belirli integraller Newton-Leibniz formülü kullanılarak hesaplanabilir ve Newton-Leibniz formülü için ters türevler, formun tekrarlayan bir formülü kullanılarak bulunabilir. , nerede .

Bu nedenle, bir rakamın dörtte birinin alanı , o zaman tüm şeklin alanı eşittir.

Benzer şekilde, biri şunu gösterebilir: astroid kare olarak bulunur , ve çizginin çevrelediği şeklin alanı formülle hesaplanır.

Sikloid kemerin tabanı etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini bulalım. Roberval, ortaya çıkan yumurta şeklindeki gövdeyi (Şekil 5.1) sonsuz ince katmanlara bölerek, bu katmanlara silindirler yazarak ve hacimlerini ekleyerek buldu. Kanıt uzun, sıkıcı ve tamamen kesin değildi. Bu nedenle, hesaplamak için daha yüksek matematiğe dönüyoruz. Sikloid denklemini parametrik olarak tanımlayalım.

İntegral hesabında, hacimleri incelerken aşağıdaki açıklamayı kullanır:

Eğrisel yamuğu sınırlayan eğri parametrik denklemlerle verilirse ve bu denklemlerdeki fonksiyonlar belirli bir integralde değişken değişimi teoreminin koşullarını sağlıyorsa, o zaman yamuğun Öküz ekseni etrafındaki dönüş gövdesinin hacmi formülle hesaplanmalıdır:

İhtiyacımız olan hacmi bulmak için bu formülü kullanalım.

Bu cismin yüzeyini de aynı şekilde hesaplıyoruz.

L = ((x, y): x = a (t - günah t), y = a (1 - maliyet), 0? T? 2р)

İntegral hesabında, bir segmentte (t 0? T? T 1) parametrik olarak tanımlanan bir eğrinin x ekseni etrafındaki bir dönüş gövdesinin yüzey alanını bulmak için aşağıdaki formül vardır:

Bu formülü sikloid denklemimize uygulayarak şunu elde ederiz:

Sikloid bir kemerin dönmesiyle oluşturulan başka bir yüzeyi de düşünün. Bunu yapmak için, tabanına göre sikloid kemerin ayna görüntüsünü oluşturun ve sikloid tarafından oluşturulan oval şekli ve KT ekseni etrafındaki yansımasını döndürün (Şekil 5.2)

İlk olarak, sikloid kemerin KT ekseni etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini bulalım. Hacmi formül (*) ile hesaplanacaktır:

Böylece bu şalgam gövdesinin yarısının hacmini hesapladık. O zaman tüm hacim eşit olacak

Dersler 8. Belirli bir integralin uygulamaları.

İntegralin fiziksel problemlere uygulanması, integralin bir küme üzerindeki toplamsallık özelliğine dayanır. Bu nedenle, integral kullanılarak, küme üzerinde kendileri toplamsal olan bu tür miktarlar hesaplanabilir. Örneğin bir şeklin alanı, parçalarının alanlarının toplamına eşittir.Yay uzunluğu, yüzey alanı, vücut hacmi, vücut ağırlığı aynı özelliklere sahiptir. Bu nedenle, tüm bu miktarlar belirli bir integral kullanılarak hesaplanabilir.

Sorunları çözmek için iki yöntem kullanabilirsiniz: integral toplamlar yöntemi ve diferansiyeller yöntemi.

İntegral toplamlar yöntemi, belirli bir integralin yapısını tekrarlar: bir bölüm oluşturulur, noktalar işaretlenir, onlarda bir fonksiyon hesaplanır, bir integral toplamı hesaplanır ve limite bir geçiş yapılır. Bu yöntemde asıl zorluk, limitte, problemde tam olarak ihtiyaç duyulanın ortaya çıkacağını kanıtlamaktır.

Diferansiyeller yöntemi belirsiz bir integral ve Newton - Leibniz formülünü kullanır. Belirlenecek değerin diferansiyeli hesaplanır ve daha sonra bu diferansiyelin integrali alınarak Newton-Leibniz formülü kullanılarak istenen değer elde edilir. Bu yöntemde asıl zorluk, hesaplananın başka bir şey değil, gerekli değerin diferansiyeli olduğunu kanıtlamaktır.

Düz rakamların alanlarının hesaplanması.

1. Şekil, Kartezyen koordinat sisteminde belirtilen bir fonksiyonun grafiği ile sınırlıdır.

Eğrisel bir yamuk alanı sorununun belirli bir integrali kavramına geldik (aslında, integral toplamlar yöntemini kullanarak). Fonksiyon sadece negatif olmayan değerler alıyorsa, segment üzerindeki fonksiyonun grafiğinin altındaki alan belirli bir integral kullanılarak hesaplanabilir. dikkat, ki bu nedenle, diferansiyeller yöntemi burada da görülebilir.

Ancak fonksiyon belirli bir segmentte negatif değerler alabilir, o zaman bu segment üzerindeki integral, alan tanımıyla çelişen negatif bir alan verecektir.

Formülü kullanarak alanı hesaplayabilirsiniz.S=. Bu, negatif değerler aldığı alanlarda fonksiyonun işaretini değiştirmekle eşdeğerdir.

Yukarıda bir fonksiyonun grafiğiyle ve aşağıdan bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, o zaman formülü kullanabilirsinS= , Çünkü .

Örnek. Düz çizgiler x = 0, x = 2 ve y = x 2, y = x 3 fonksiyonlarının grafikleri ile sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın.

(0,1) aralığında x 2> x 3 eşitsizliğinin geçerli olduğuna ve x> 1 için x 3> x 2 eşitsizliğinin geçerli olduğuna dikkat edin. Bu yüzden

2. Şekil, kutupsal koordinat sisteminde belirtilen fonksiyonun grafiği ile sınırlıdır.

Fonksiyonun grafiği bir kutupsal koordinat sisteminde verilsin ve iki ışınla sınırlanan eğrisel bir sektörün alanını ve bir kutupsal koordinat sisteminde fonksiyonun grafiğini hesaplamak istiyoruz.

Burada, fonksiyon grafiğinin bir daire yayı ile değiştirildiği temel sektörlerin alanlarının toplamının sınırı olarak eğrisel bir sektörün alanını hesaplayarak integral toplamlar yöntemini kullanabilirsiniz. .

Diferansiyel yöntemini de kullanabilirsiniz: .

Böyle akıl yürütebilirsin. Merkezi köşeye karşılık gelen temel eğrisel sektörü dairesel bir sektörle değiştirerek, orana sahibiz. Buradan ... Newton - Leibniz formülünü entegre ederek ve kullanarak, .

Örnek. Bir dairenin alanını hesaplayalım (formülü kontrol edin). İnanıyoruz. Çemberin alanı .

Örnek. Kardioid tarafından sınırlanan alanı hesaplayın .

3 Şekil, parametrik olarak belirtilen fonksiyonun grafiği ile sınırlıdır.

Fonksiyon, formda parametrik olarak belirtilebilir. formülü kullanıyoruz S= , yeni değişkene göre entegrasyon sınırlarını onun yerine koyarak. ... Genellikle, integral hesaplanırken, integralin belirli bir işarete sahip olduğu ve bir veya başka bir işarete sahip karşılık gelen alanın dikkate alındığı alanlar seçilir.

Örnek. Bir elips tarafından çevrelenen alanı hesaplayın.

Elipsin simetrisini kullanarak, ilk çeyrekte bulunan elipsin çeyreğinin alanını hesaplayın. Bu çeyrekte. Bu yüzden .

Vücut hacimlerinin hesaplanması.

1. Paralel bölümlerin alanlarına göre cisimlerin hacimlerinin hesaplanması.

Bir cismin hacmini hesaplamak için gerekli olsun V olsun ünlü meydanlar Bu cismin bölümleri, OX düz çizgisinin herhangi bir x noktasından çizilen, OX düz çizgisine dik düzlemler tarafından çizilir.

Diferansiyeller yöntemini uygulayalım. Temel hacmi göz önüne alındığında, taban alanı ve yüksekliği olan düz dairesel bir silindirin hacminin bir parçası üzerinde, ... Newton - Leibniz formülünü entegre ederek ve uygulayarak elde ederiz.

2. Devrim cisimlerinin hacimlerinin hesaplanması.

Hesaplamak için gerekli olsun ÖKÜZ.

Sonra .

Aynı şekilde, bir eksen etrafında dönen bir cismin hacmiOY, fonksiyon formda verilmişse formülle hesaplanabilir.

İşlev bir görünümde belirtilmişse ve bir eksen etrafındaki dönüş gövdesinin hacmini belirlemek istiyorsanızOY, daha sonra hacmi hesaplama formülü aşağıdaki gibi elde edilebilir.

Diferansiyele geçerek ve ikinci dereceden terimleri ihmal ederek, ... Newton - Leibniz formülünü entegre edip uyguluyoruz.

Örnek. Topun hacmini hesaplayın.

Örnek. Bir yüzey ve bir düzlemle sınırlanmış bir dik dairesel koninin hacmini hesaplayın.

Hacmi, OZ ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan bir dönüş gövdesinin hacmi olarak hesaplıyoruz. sağ üçgen OXZ düzleminde, bacakları OZ ekseni ve düz çizgi z = H üzerinde uzanır ve hipotenüs düz çizgi üzerinde uzanır.

x'i z cinsinden ifade edersek, .

Yayın uzunluğunu hesaplayın.

Bir yayın uzunluğunu hesaplamak için formüller elde etmek için, 1. yarıyılda türetilen yay uzunluğunun diferansiyeli formüllerini hatırlayın.

Yay, sürekli türevlenebilir bir fonksiyonun grafiği ise, yay uzunluğu farkı formülle hesaplanabilir

... Bu yüzden

Düzgün bir yay parametrik olarak tanımlanırsa, sonra

... Bu yüzden .

Yay bir kutupsal koordinat sisteminde belirtilmişse, sonra

... Bu yüzden .

Örnek. Fonksiyonun grafiğinin yay uzunluğunu hesaplayın. .

Bölümler: Matematik

Ders türü: birleşik.

Dersin amacı:İntegralleri kullanarak devrim cisimlerinin hacimlerini hesaplamayı öğrenir.

Görevler:

• çeşitli geometrik şekillerden eğrisel yamukları seçme yeteneğini pekiştirmek ve eğri yamukların alanlarını hesaplama becerisini uygulamak;
• hacimsel figür kavramını tanımak;
• devrim cisimlerinin hacimlerini hesaplamayı öğrenmek;
• gelişimine katkıda bulunmak mantıksal düşünme, yetkin matematiksel konuşma, çizimlerin yapımında doğruluk;
• konuya ilgiyi teşvik etmek, matematiksel kavramlar ve görüntülerle çalışmak, nihai sonuca ulaşmada irade, bağımsızlık, azim geliştirmek.

Dersler sırasında

I. Organizasyonel an.

Grup selamlaması. Ders hedeflerini öğrencilere iletmek.

Refleks. Sakin melodi.

- Bugünün dersine bir benzetmeyle başlamak istiyorum. “Her şeyi bilen bir bilge vardı. Bir kişi bilgenin her şeyi bilmediğini kanıtlamak istedi. Kelebeği avucunun içinde tutarak sordu: "Söyle bana bilge, hangi kelebeğin elimde: ölü mü diri mi?" Ve kendisi şöyle düşünüyor: "Yaşayan diyecek - onu öldüreceğim, ölü diyecek - onu serbest bırakacağım." Bilge, düşünerek cevap verdi: "Herşey senin elinde". (Sunum.Kaymak)

“Bu nedenle bugün verimli çalışalım, yeni bir bilgi birikimi edinelim ve edindiğimiz beceri ve yetenekleri gelecekteki hayatımızda ve pratik faaliyetlerde uygulayalım. "Herşey senin elinde".

II. Daha önce çalışılan materyalin tekrarı.

- Daha önce çalışılan materyalin ana noktalarını hatırlayalım. Bunu yapmak için görevi tamamlayacağız "Fazla kelimeyi ortadan kaldırın."(Kaymak.)

(Öğrenci bir silgi yardımıyla I.D.'ye gider fazladan bir kelimeyi siler.)

- Doğru "Diferansiyel". Kalan kelimeleri bir olarak adlandırmaya çalışın ortak kelime... (Integral hesabı.)

- İntegral hesabı ile ilgili ana aşamaları ve kavramları hatırlayalım.

"Matematiksel küme".

Egzersiz yapmak. Boşlukları kurtarın. (Öğrenci dışarı çıkar ve kalemle gerekli kelimeleri yazar.)

- İntegrallerin uygulanması hakkında daha sonra bir özet duyacağız.

Defterlerde çalışın.

- Newton-Leibniz formülü İngiliz fizikçi Isaac Newton (1643-1727) ve Alman filozof Gottfried Leibniz (1646-1716) tarafından türetilmiştir. Ve bu şaşırtıcı değil, çünkü matematik, doğanın kendisi tarafından konuşulan dildir.

- Çözerken nasıl olduğunu düşünün pratik görevler bu formül kullanılır.

Örnek 1: Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Çözüm: Koordinat düzleminde fonksiyonların grafiklerini oluşturalım ... Bulunacak şeklin alanını seçin.

III. Yeni materyal öğrenmek.

- Ekrana dikkat edin. İlk resimde ne gösteriliyor? (Kaymak) (Şekil düz bir rakamı göstermektedir.)

- İkinci resimde ne gösteriliyor? Bu rakam düz mü? (Kaymak) (Şekil üç boyutlu bir figürü göstermektedir.)

- Uzayda, dünyada ve Gündelik Yaşam sadece düz rakamlarla değil, aynı zamanda üç boyutlu olanlarla da tanışıyoruz, ancak bu tür cisimlerin hacmini nasıl hesaplayacağız? Örneğin, bir gezegenin hacmi, kuyruklu yıldız, göktaşı vb.

- Hem ev inşa ederken hem de bir kaptan diğerine su dökerken hacmi düşünürler. Hacimleri hesaplamak için kurallar ve teknikler ortaya çıkmalıydı, ne kadar doğru ve makul oldukları başka bir mesele.

Öğrenci mesajı. (Vera Tyurina.)

1612 yılı, ünlü astronom Johannes Kepler'in yaşadığı Avusturya şehri Linz'in sakinleri için özellikle üzüm için çok verimli geçti. İnsanlar şarap fıçıları hazırlıyorlardı ve hacimlerini pratik olarak nasıl belirleyeceklerini bilmek istiyorlardı. (Slayt 2)

- Böylece, Kepler'in dikkate alınan çalışmaları, 17. yüzyılın son çeyreğinde doruğa ulaşan bütün bir araştırma akışının temelini attı. I. Newton ve G.V.'nin eserlerinde kayıt Leibniz diferansiyel ve integral hesabı. O zamandan beri büyüklük değişkenlerinin matematiği, matematiksel bilgi sisteminde önde gelen bir yer işgal etti.

- Bugün bu tür pratik faaliyetlerde bulunacağız, bu nedenle,

Dersimizin konusu: "Belirli bir integral kullanarak devrim cisimlerinin hacimlerinin hesaplanması." (Kaymak)

- Aşağıdaki görevi tamamlayarak bir devrim bedeninin tanımını öğreneceksiniz.

"Labirent".

Labirent (Yunanca kelime) bir zindana girmek anlamına gelir. Labirent - birbirleriyle iletişim kuran karmaşık bir yollar, geçitler, odalar ağı.

Ama "çarptı" tanımı, ok şeklinde ipuçları var.

Egzersiz yapmak. Karışıklıktan kurtulmanın bir yolunu bulun ve tanımı yazın.

Kaymak. “Harita talimatı” Hacimlerin hesaplanması.

Belirli bir integral kullanarak, bir cismin hacmini, özellikle de bir dönüş cismi hesaplayabilirsiniz.

Bir dönüş gövdesi, kavisli bir yamuğun tabanı etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir gövdedir (Şekil 1, 2)

Bir devrim gövdesinin hacmi, formüllerden biri kullanılarak hesaplanır:

1. OX ekseni etrafında.

2. kavisli yamuğun dönüşü ise OS ekseni etrafında.

Her öğrenciye bir talimat kartı verilir. Eğitmen ana noktaları vurgular.

- Öğretim elemanı çözümü tahtada örneklerle açıklar.

Aleksandr Puşkin'in ünlü peri masalı "Çar Saltan'ın, onun şanlı ve güçlü kahramanı Prens Gvidon Saltanovich ve güzel prenses Lebed'in Hikayesi"nden bir alıntıyı ele alalım. (Slayt 4):

…..
Ve sarhoş bir haberci getirdi
Aynı gün, sipariş aşağıdaki gibidir:
“Kral boyarlarına emrediyor,
zaman kaybetmemek
Ve kraliçe ve yavru
Gizlice suların uçurumuna atın”.
Yapacak bir şey yok: boyarlar,
Egemen için bastırdıktan sonra
Ve genç kraliçe,
Kalabalık bir halde yatak odasına geldiler.
Kralın iradesini açıkladılar -
O ve oğlu çok kötü durumda.
Kararnameyi yüksek sesle oku,
Ve kraliçe aynı saatte
Oğlumu bir fıçıya koydular,
Taşlanmış, sürülmüş
Ve okiyan'a girmesine izin verdiler -
Çar Saltan'ın emrettiği buydu.

Kraliçe ve oğlunun sığabileceği namlunun hacmi ne olmalıdır?

- Aşağıdaki görevleri göz önünde bulundurun

1. Eğri yamuğun ordinat ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini, çizgilerle sınırlandırılmış olarak bulun: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Cevap: 1163 santimetre 3 .

Bir parabolik yamuğun apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmini bulunuz. y =, x = 4, y = 0.

IV. Yeni malzemenin güvenliğini sağlamak

Örnek 2. Petalın apsis ekseni etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayın y = x 2, y 2 = x.

Fonksiyonun grafiklerini oluşturalım. y = x 2, y 2 = x... Takvim y2 = x forma dönüştürmek y= .

Sahibiz V = V1 - V2 Her fonksiyonun hacmini hesaplayalım

- Şimdi, harika bir Rus mühendisin projesine göre inşa edilmiş Shabolovka'da Moskova'da bir radyo istasyonu için bir kule düşünelim, fahri akademisyen V.G. Shukhov. Parçalardan oluşur - devrimin hiperboloidleri. Ayrıca, her biri bitişik daireleri birbirine bağlayan doğrusal metal çubuklardan yapılmıştır (Şekil 8, 9).

- Sorunu düşünün.

Hiperbolün yaylarını döndürerek elde edilen cismin hacmini bulun Şekilde gösterildiği gibi hayali ekseni etrafında 8 nerede

yavru. birimler

Grup atamaları. Öğrenciler görevler ile kura çeker, Whatman kağıdına çizimler yapar, grup temsilcilerinden biri çalışmayı savunur.

1. grup.

Vurmak! Vurmak! Bir darbe daha!
Kapıya bir top uçar - TOP!
Ve bu bir karpuz topu
Yeşil, yuvarlak, lezzetli.
Daha iyi görün - ne top!
Aynı çevrelerden yapılmıştır.
Karpuzu daireler halinde kesin
Ve onları tadın.

Fonksiyonun OX ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun.

Hata! Yer imi tanımlanmadı.

- Söyle bana, lütfen, bu figürle nerede buluşuyoruz?

Ev. 1 grup için görev. SİLİNDİR (kaymak) .

"Silindir - nedir?" - Babama sordum.
Baba güldü: Silindir şapka şapkadır.
Doğru bir fikre sahip olmak,
Silindir, diyelim ki bir konserve kutusu.
Buharlı pişirici borusu - silindir,
Çatımızdaki baca da,

Tüm borular bir silindire benzer.
Ve şöyle bir örnek verdim -
Kaleydoskop Aşkım,
gözlerini ondan alamazsın
Ve aynı zamanda bir silindire benziyor.

- Egzersiz yapmak. Ödev fonksiyonun grafiğini çizin ve hacmi hesaplayın.

2. grup. KONİ (kaymak).

Annem dedi ki: Ve şimdi
Benim hikayem koni hakkında olacak.
Yüksek şapkalı astrolog
Tüm yıl boyunca yıldızları saymak.
KONİ - Astrolog şapkası.
O bu. Anlaşıldı? Bu kadar.
Annem masada durdu,
Şişelere yağ döktü.
- Huni nerede? Huni yok.
Bakmak. Kenarda durma.
- Anne, kımıldamam,
Bize koni hakkında daha fazla bilgi verin.
- Huni, sulama kabı şeklindedir.
Hadi, bir an önce onu benim için bul.
huni bulamadım,
Ama annem bir çanta yaptı
kartonu parmağımın etrafında büktüm
Ve ustaca bir ataşla tutturdu.
Yağ dökülüyor, anne memnun
Koni tam olarak ihtiyacımız olan şey çıktı.

Egzersiz yapmak. Apsis ekseni etrafında döndürülerek elde edilen cismin hacmini hesaplayın

Ev. 2. grubun görevi. PİRAMİT(kaymak).

Resmi gördüm. Bu resimde
Kumlu çölde bir PİRAMİT var.
Piramidin içindeki her şey olağanüstü
İçinde bir tür gizem ve gizem var.
Kızıl Meydan'da bir Spasskaya Kulesi
Hem çocuklara hem de yetişkinlere çok iyi aşinadır.
Kule bakıyorsun - sıradan görünüyor,
Üstünde ne var? Piramit!

Egzersiz yapmak. Fonksiyonu grafiklendirmek ve piramidin hacmini hesaplamak için ev ödevi

- Bir integral kullanarak cisimlerin hacimlerinin temel formülüne dayanarak çeşitli cisimlerin hacimlerini hesapladık.

Bu, belirli integralin matematik çalışması için bir temele sahip olduğunun bir başka teyididir.

- Şimdi biraz dinlenelim.

Bir çift bul.

Matematiksel bir domino melodisi çalıyor.

"Kendimin aradığı yol asla unutulmayacak..."

Araştırma. İntegralin ekonomi ve teknolojide uygulanması.

Güçlü öğrenenler ve matematik futbolu için testler.

Matematiksel simülatör.

2. Belirli bir fonksiyonun tüm ters türevlerinin kümesine denir.

A) belirsiz bir integral,

B) fonksiyon,

C) farklılaşma.

7. Çizgilerle sınırlanmış, eğri bir yamuk apsis ekseni etrafında döndürülerek elde edilen cismin hacmini bulun:

D / Z. Devrim cisimlerinin hacimlerini hesaplayın.

Refleks.

Formda yansıma alımı senkron(beş ayet).

1. satır - konu adı (bir isim).

2. satır - konunun iki kelimeyle, iki sıfatla açıklaması.

3. satır - bu konu çerçevesindeki eylemin üç kelimeyle açıklaması.

4. satır - dört kelimelik bir cümle, konuyla olan ilişkiyi gösterir (tüm cümle).

5. satır, konunun özünü tekrarlayan bir eş anlamlıdır.

1. Ses.
2. Belirli integral, integrallenebilir fonksiyon.
3. İnşa ediyoruz, döndürüyoruz, hesaplıyoruz.
4. Kavisli bir yamuğun (tabanının etrafında) döndürülmesiyle elde edilen gövde.
5. Devir gövdesi (katı geometrik gövde).

Çıktı (kaymak).

• Belirli bir integral, pratik içerikli problemlerin çözümüne yeri doldurulamaz bir katkı sağlayan matematik çalışması için bir temeldir.
• “İntegral” konusu matematik ve fizik, biyoloji, ekonomi ve teknoloji arasındaki bağlantıyı açıkça göstermektedir.
• Gelişim modern bilim integral kullanılmadan düşünülemez. Bu bağlamda, ortaöğretim uzmanlık eğitimi çerçevesinde çalışmaya başlamak gerekir!

Derecelendirme. (Yorum ile.)

Büyük Omar Khayyam bir matematikçi, şair, filozoftur. Kaderinizin efendisi olmaya çağırıyor. Çalışmalarından bir alıntı dinliyoruz:

Bu hayat bir an diyeceksiniz.
Onu takdir edin, ondan ilham alın.
Harcadıkça geçecek.
Unutma: o senin eserin.