Bölüm. Kesim uzunluğu. Üçgen.

1. Bu paragrafta bazı geometri kavramları ile tanışacaksınız. Geometri- "Dünya Ölçümü" bilimi. Bu kelime Latin kelimelerden geliyor: GEO - Dünya ve Metr - ölçü, ölçü. Geometride farklı çalışılır geometrik nesneler, özellikleri, dış dünyayla bağlantıları. En basit geometrik nesneler bir nokta, çizgi, yüzeydir. Örneğin, daha karmaşık geometrik nesneler, geometrik rakamlar Ve bedenler en basitten oluşturulur.

İki noktaya A ve Cetvel'de ve bu noktaları birbirine bağlayan bir satırı harcamak için, o zaman alacağız bölüm, AV veya VA olarak adlandırılır (oku: "A - BE", "BE- A"). A ve C adlı puan kesim kesimleri (Resim 1). Uzunluk birimlerinde ölçülen segmentin bölümleri arasındaki mesafe denir lena Kesmekka.

Uzunluk birimleri: m - metre, cm - santimetre, DM - dekimetre, mm - milimetre, km - kilometre, vb. (1 km \u003d 1000 m; 1m \u003d 10 dm; 1 dm \u003d 10 cm; 1 cm \u003d 10 mm).Segmentlerin uzunluğunu ölçmek için rulet, rulet kullanın. Segmentin uzunluğunu ölçün, bir veya başka bir uzunluğun içinde kaç kez istiflendiğini bulmak demektir.

Eşit İki segment denir ve bu da bir diğerine empoze edilerek birleştirilebilir (Şekil 2). Örneğin, segmentlerden gerçek veya zihinsel olarak kesebilir ve uçlarının çakışması için diğerine takabilirsiniz. AB ve SC'nin bölümleri eşitse, ab \u003d sc yazarlar. Eşit segmentler eşit uzunluklara sahiptir. Doğrudur: eşit uzunluklara sahip iki bölüm eşittir. İki segmentin farklı uzunlukları varsa, onlar eşit değildir. İki eşit olmayan segmentin, diğer segmentin bir parçası olan kişidir. Segmentleri bir devre kullanarak kaplama ile karşılaştırabilirsiniz.

Zihinsel olarak AB segmentini her iki taraftaki sonsuzluğa kadar uzatırsanız, bir fikir alacağız. düz AB (Şekil 3). Düz bir çizgi üzerinde yatan herhangi bir nokta onu ikiye ayırır ray(Şekil 4). İki için iki koparma ile nokta ray SA ve AD Tosca c denir kirişin başlangıcı.

2. Bir düz çizgide yatan üç nokta varsa, segmentleri bağlayın, sonra aranan bir rakam alırız. Üçgen.Veri noktaları denir verterler Üçgen ve bunları bağlayan segmentler, partiler Üçgen (Şekil 5). FNM bir üçgen, fn, nm, fm - üçgen taraflar, nokta f, n, m - üçgen köşeleridir. Tüm üçgenlerin kenarları aşağıdaki mülke sahiptir: lina üçgenin kenarlarından herhangi biri her zaman diğer ikisinin uzunluğunun toplamından daha azdır.

Zihinsel olarak her yöne uzatırsanız, örneğin, tablo kapağının yüzeyi, o zaman bir fikir alırız uçak. Puanlar, segmentler, düz, ışınlar düzlemde bulunur (Şekil 6).

Blok 1. Ek

Yaşadığımız dünya, bizi çevreleyen, eski doğa veya yer denir. Yaşadığımız alan, üç boyutlu olarak kabul edilir, yani. Üç boyutu var. Sık sık denirler: uzunluk, genişlik ve yükseklik (örneğin, oda uzunluğu 4 m, oda genişliği 2 m ve yükseklik 3 m).

Geometrik (matematiksel) nokta fikri bize gece gökyüzünde bir yıldız, bu cümlenin sonundaki nokta, iğneden bir iz vb. Bununla birlikte, listelenen tüm nesnelerin boyutları vardır, bunların aksine, geometrik noktaların boyutları sıfır olarak kabul edilir (ölçümleri sıfırdır). Bu nedenle, gerçek bir matematiksel nokta sadece zihinsel olarak sunulabilir. Ayrıca nerede olduğunu da söyleyebilirsiniz. Dizüstü bilgisayara not defterine işaret etmek için, geometrik bir nokta göstermeyeceğiz, ancak inşa edilen nesnenin bir geometrik nokta olduğunu varsayıyoruz (Şekil 6). Puanlar Latin alfabesinin büyük harflerle gösterilir: A., B., C., D., (oku " a noktası, nokta, nokta ce, nokta de ") (Şekil 7).

Sütunlarda asılı olan teller, ufkun görünür çizgisi (gökyüzü ve toprak arasındaki sınır), haritada gösterilen nehir yatağı, jimnastik çemberi, su jeti, çeşmeden yenen, bize bir fikir veriyor çizgilerin.

Kapalı ve kilidi açılmış çizgiler, pürüzsüz ve pürüzsüz olmayan çizgiler, kendi kendine kesişmeli çizgiler ve kendi kendine tamsayı olmadan (Şekil 8 ve 9).

Kağıt, lazer diski, futbol topu kabuğu, paketleme kutusu karton, yılbaşı plastik maske, vb. bize bir fikir ver yüzeyler(Şekil 10). Zemin boyandığında veya araba olduğunda, boya zeminin veya arabanın yüzeyidir.

İnsan vücudu, taş, tuğla, peynir kafası, top, buzikül, vb. bize bir fikir ver geometrikbedenler (Şekil 11).

Tüm çizgilerin en basit olanı - bu düz. Bir kitabın bir kağıda koyduk ve doğrudan bir çizgi boyunca bir kalem taşıyoruz. Zihinsel olarak bu çizgiyi her iki yönde de sonsuzluğa devam ediyor, düz bir çizgi fikri alacağız. Doğrudanın bir boyutuna sahip olduğuna inanılmaktadır ve ölçümlerinin diğer ikisi sıfırdır (Şekil 12).

Sorunları çözerken, doğrudan kalem veya tebeşir çizgisi boyunca gerçekleştirilen bir satır biçiminde tasvir edilmiştir. Doğrudan Latin harfleri ile gösterilir: A, B, N, M (Şekil 13). Doğrudan, üzerinde yatan noktalara karşılık gelen iki harfle gösterilebilir. Örneğin, düz n. Şekil 13'te, belirleyebilirsiniz: AV veya VA veD. veyaD.FAKAT,D.İçinde veya içindeD..

Puanlar düz bir çizgide (doğrudan aittir) yalan söyleyebilir ve düz bir çizgide yatmayın (çizgiye ait değil). Şekil 13, A, D, B, düz bir ab (doğrudan AB'ye ait) yatan noktalarını göstermektedir. Aynı zamanda yazıyorlar. Oku: A noktası, doğrudan AB'dir, B'nin AB'ye ait olduğu, D noktası A AV'ye aittir. D noktası da doğrudan m aittir, denir genel Nokta. D noktasında D, düz AB ve m kesişir. P ve R noktalarını doğrudan AB ve M'ye ait değildir:

Her zaman iki nokta boyunca doğrudan ve sadece bir tane harcayabilirsiniz .

Herhangi bir iki nokta bağlayan her türlü satırdan, en küçük uzunluk, uçların noktaları olan bir segment vardır (Şekil 14).

Noktalardan oluşan ve segmentlerini birbirine bağlayan figür kırılmış (Şekil 15). Kırık oluşturan bölümler denir linkler kırık ve uçları - verterlerkırık. Örneğin, tüm köşeleri, örneğin, kırılmış bir ABCDEFG olarak sıralanan bir kırık (gösterilmiş) olarak adlandırılır. Kırıklığın uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamı denir. Böylece, kırılan ABCDEFG'nin uzunluğu toplamına eşittir: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Kapalı hurda denilen çokgen, köşeleri denir bir çokgenin üstleriVe onun bağlantıları partiler çokgen (Şekil 16). Herhangi bir köşeli, örneğin bir çokgen (Sevenfone) Abcdefg, Poligon (Pentagon) RTPKL ile başlayan tüm köşeleri sırayla listelenen bir çokgen olarak adlandırılır (gösterilir).

Poligonun her tarafının uzunluklarının toplamı denir çevre çokgen ve belirlenmiş latince mektupp. (Oku: pe). Şekil 13'teki çokgenlerin perimeti:

P ABCDEFG \u003d AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL \u003d RT + TP + PK + KL + LR.

Masa örtüsünün veya pencere camının yüzeyini her yöne sonsuzluğa zihinsel olarak genişletti, denilen yüzey hakkında bir fikir ediniriz. uçak (Şekil 17). Yunan alfabesinin küçük harfleriyle uçakları belirtir: α, β, γ, δ, ... (Oku: alfa, betta, gama, delta vb. Düzlem vb.).

Blok 2. Sözlük.

§2'den yeni terimler ve tanımlar sözlüğü yapın. Bunu yapmak için, masanın boş satırlarında, aşağıdaki terimler listesinden kelimeleri girin. Tablo 2 Satır numaralarına göre terim şartlarını belirtir. Sözlüğü bir kez daha §2 ve blok 2.1'e bakmadan önce önerilir.

Blok 3. Yazışmaları (ABD) yükleyin.

Geometrik figürler.

Blok 4. Kendi kendine test.

Bir cetvel kullanarak segment ölçümü.

AB'nin santimetre cinsinden segmentini ölçmek için, onu 1 cm uzunluğuyla karşılaştırmak ve bu segmentlerin 1cm'inden kaçının AV segmentine nasıl yerleştirildiğini öğrenmek anlamına gelir. Segment'i diğer uzunluklarda ölçmek için, benzer şekilde gelin.

Görevleri gerçekleştirmek için, tablonun sol sütununda gösterilen plana göre çalışın. Aynı zamanda, kağıt sayfasını kapatmak için doğru sütun önerilir. Sonra sonuçlarınızı sağdaki masada verilen çözümlerle karşılaştırabilirsiniz.

Blok 5. Bir dizi eylem (UE) oluşturun.

Belirli bir uzunlukta bir segment inşa etmek.

seçenek 1. Tablo, belirli bir uzunluğun bir bölümünü oluşturmak için şaşkın bir algoritma (karıştı prosedür) kaydedildi (örneğin, uçağın \u003d 7cm'nin bir bölümünü inşa ediyoruz). Sol sütunda, bu işlemin sağ tarafındaki eylemi belirtendir. Tablonun satırlarını yeniden düzenleyin, böylece verilen bir uzunluğun bir bölümünü oluşturmak için doğru algoritma elde edilir. Doğru eylemler dizisini yazın.

Seçenek 2. Aşağıdaki tabloda, bunun yerine bir cm \u003d n cm oluşturmak için bir algoritmayı göstermektedir. n. Herhangi bir numarayı değiştirebilirsiniz. Bu düzenlemede, eylem ve sonuç arasında bir eşleşme yoktur. Bu nedenle, sonucunu seçmek için her işlem için bir eylem dizisi ayarlamak gerekir. Cevap formda yazma: 2a, 1b, 4b, vb.

Seçenek 3. Seçenek 2'nin algoritmasını kullanarak, not defterinde N \u003d 3 cm, n \u003d 10 cm, n \u003d 12 cm ile bir bölüm oluşturun.

Blok 6. Yüz testi.

Kesim, ray, düz, uçak.

Cephe testinin görevlerinde, resimler ve kayıtlar tablo 1'de verilen 1 - 12 numaralarının altında kullanılır. Bu görevler oluşturulur. Ardından sonra test edilen görevlerin gereksinimlerini ekleyin kelimeleri birleştirmek "BU." Görevlerin cevapları "eşit" kelimesinden sonra yerleştirilir. Görev seti Tablo 2'de gösterilmiştir. Örneğin, görev 6.15.19, aşağıdaki gibidir: "Görev 6 Şekil 6 kullanıyorsa , Z.durum 15 numara altında eklenir, görevin gerekliliği 19 sayılıdır. "

13) dört nokta oluşturmak için her üçünün bir düz çizgide yatmadığı için;

14) Her iki noktayı doğrudan geçirin;

15) Kutunun yüzeylerinin her biri, sonsuzluğa her yöne zihinsel olarak uzatmak;

16) Şekildeki farklı segmentlerin sayısı;

17) Şekildeki farklı ışınların sayısı;

18) Şekildeki farklı düz çizgiler sayısı;

19) farklı uçakların sayısı;

20) Santimetre cinsinden uzunluk uzunluğu;

21) Kilometre cinsinden AB uzunluğu;

22) DC segment uzunluğu metre cinsinden;

23) PRQ üçgen çevre;

24) QPRMN Kırık uzunluğu;

25) RMN ve PRQ üçgenlerinin özel perimetreleri;

26) Kesim uzunluğu ed;

27) Kesim uzunluğu;

28) doğrudan kesişme işleminin sayısı;

29) Elde edilen üçgenlerin sayısı;

30) Uçağın bölündüğü parçaların sayısı;

31) Ölçer cinsinden ifade edilen çokgenin çevresi;

32) Ondonluklarda ifade edilen çokgenin çevresi;

33) Santimetre cinsinden ifade edilen poligonun çevresi;

34) Milimetre cinsinden ifade edilen poligonun çevresi;

35) Kilometre cinsinden ifade edilen poligonun çevresi;

Eşit derecede (eşit, görünüme sahip):

a) 70; b) 4; c) 217; d) 8; e) 20; e) 10; g) 8 ∙ b; h) 800 ∙ b; ve) 8000 ∙ b; k) 80 ∙ b; l) 63000; m) 63; H) 63000000; o) 3; n) 6; p) 630000; c) 6300000; T) 7; y) 5; f) 22; x) 28.

Blok 7. Hadi oynayalım.

7.1. Matematiksel labirent.

Labirent, her biri üç kapılı on odadan oluşur. Odaların her biri geometrik nesnelerden biridir (odanın duvarına çekilir). Bu nesne hakkında bilgi, labirentteki "rehberlik" dedir. Onu okuma, rehber kitapta yazılan odaya taşınmanız gerekir. Labirentin odalarından geçmek, rotanızı çizin. Son iki odada çıkışlar var.

Labirent rehberi

1. Labirenth'de oturum açın Geometrik nesnenin bulunduğu odada gereklidir, ancak başlangıcı yoktur, ancak iki uç vardır.
2. Bu odanın geometrik nesnesi boyutları yoktur, o gece gökyüzünde uzak bir yıldız gibidir.
3. Bu odanın geometrik amacı, üç ortak noktaya sahip dört bölümden oluşur.
4. Bu geometrik nesne dört ortak noktalı dört bölümden oluşur.
5. Bu odada her biri başlangıcı olan, ancak bitmeyen geometrik nesneler var.
6. İşte başlangıcı olmayan iki geometrik nesne, ancak biriyle ortak nokta.

1. Bu geometrik nesnenin fikri, topçu kabuklarının uçuşunu verir

(Hareketin yörüngesi).

1. Bu odada üç köşeli geometrik bir nesne var, ancak bir dağ değil

1. Bu geometrik nesne bir bumeranga uçuşunu verir (avcılık

avustralya yerli silahlar). Fizikte, bu çizginin yörünge denir.

vücut hareketi.

1. Bu geometrik nesnenin fikri, gölün yüzeyini verir.

açık hava.

Şimdi labirentten ayrılabilirsin.

Labirentte geometrik nesneler vardır: düzlem, açık çizgi, düz, üçgen, nokta, kapalı çizgi, kırık, kesilmiş, ray, kuadricricle.

7.2. Geometrik şekillerin çevresi.

Çizimlerde, geometrik şekilleri vurgulayın: üçgenler, kuadricles, beş - ve altıgenler. Çizgiyi (milimetre cinsinden) kullanarak, bazılarının perimeterini belirleyin.

7.3. Geometrik nesnelerin röle.

Görevlerde, röle boş bir çerçeveye sahiptir. Kaçırılan sözcüğü onlara koyun. Ardından bu kelimeyi okun gösterdiği başka bir çerçeveye aktarın. Bu durumda, bu kelimenin durumunu değiştirebilirsiniz. Rölenin aşamalarını geçerek, gerekli yapıları gerçekleştirin. Baton doğru geçiyorsa, sonunda kelimeyi alacaksınız: çevre.

7.4. Geometrik nesnelerin kalesi.

§ 2'yi okuyun, geometrik nesnelerin adını metinden yazın. Ardından bu kelimeleri kalenin boş hücrelerine girin.

7. Birçok nokta ve doğrudan uçak uçağa yerleştirilir. Ne almak noktalar ve düz uçaklar inşa etmek mümkündür; Uygulamada, çizgi doğrudan oluşturmak için kullanılır.

Her iki yönde de uçsuz doğru uzanır. Cher'de. 4 Direkt AB; Hayal gücü her iki tarafa da bitmeden devam edebilir. Herhangi bir nokta oluşturursanız, örneğin O, O, düz bir CD'de (cher. 4) noktasında, düz çizgi 2 parçaya ayrılır: bir kısmı O noktadan sağa doğru uzanır, diğeri ise O noktadan sola doğru sola. Bu parçaların her birinin kiriş denir. Burada 2 ışınımız var: OD ışın ve OC Ray.

Her nokta boyunca sayısız ışın oluşturabiliriz.

Örneğin, düz bir KL (cher. 4) nokta E ve F üzerinde düz bir 2 puan alırsak, o zaman bu noktaların arasındaki düz çizginin bir kısmı bir segment denir. Çizimde bir segment ef var.

8. 2 segment verilerini karşılaştırın AB ve CD (CH. 5).

CD segmentini, C noktasının A'ya çarpması ve CD segmenti AB bölümüne kadar A noktasına yaklaştıracak şekilde taşırız. Bu ulaşıldığında, D noktasının düştüğü durumdayız: B'ye düşerse, segmentlerimiz eşittir; Eğer D, A ve B'nin (örneğin, M) noktaları arasında bir yere düşerse, CD segmenti AB segmentinden daha az kabul edilir ve B noktası B (örneğin, n) başına düşerse, CD daha fazla ab daha az segment.

"Karşılaştırın" iki segment, eşit olup olmadıklarını, diğerinden daha fazla olup olmadıklarını anlamaktadır.

9. İki segment verisinin toplamını bulun.

AB ve CD'nin iki kesimi (cher. 6) alınır; Bu segmentleri katlamalıyız.

Bunu yapmak için, CD segmentini taşır, böylece C noktasının B'ye çarpması ve daha sonra B'ye devam edene kadar b döndürün. D noktasının düştüğünü not ediyoruz; K Kesim BK \u003d CD ve AK \u003d AB + BK veya AK \u003d AB + CD'sini keserse.

Her segment, birkaç terimin toplamı için ara noktalarla kırılabilir; Örneğin:

AB \u003d AC + CD + DE + EF + FB (CH. 7)

Bizim için açık segmentlerin miktarı, terimlerin permütasyonundan geçmez .

10. İki segment arasındaki farkı bulun.

AB ve CD'nin (8) kesimi verilmiştir; Daha küçük bir CD'yi düşürmek için daha büyük bir Ab'den daha fazla gereklidir.

CD segmentini taşır, böylece D noktasının B noktasına gelmesi ve B BA yönünde çıkana kadar B etrafına dönecektir; Bu, c noktasının düştüğü yere ulaştığında not ederiz. C K, sonra KB \u003d CD ve AK \u003d AB - KB veya AK \u003d AB - CD'ye düşerse.

Bu segment 2, 3, 4, 4 ile çarpılabilir., Yani 2, 3, vb. İle tekrarlayın.

PP'den. 8-10 BT'nin 1) 'ı) segmentlerin yanı sıra aşağıdaki kavramların yanı sıra "eşit", "daha" ve "daha az"; 2) "Toplam ve iki bölümün farkı" kavramları tamamen kesin bir anlamı vardır.

Uygulamada, buna eşit bir segmentin yapımı için bir dairesel kullanılır.

11. Egzersizler. 1. Aşağıdaki görüntülerin her birinde segmentleri ve toplamlarını arayın; Yaz (Cher. A).

2. Aynı çizimlerde, hangi segmentin diğer iki bölümün farkı olarak değerlendirilebileceğini gösterir; yazmak

3. Bu segment 4, 4 terimde 3'e bölünür; yazmak

4. Bu segment, diğer iki segment arasındaki fark olarak gösterilir.

12. Biz inşa edebiliriz bir noktadan giden iki ışından oluşan figür- Bu rakam bir açı denir. Cher'de. Şekil 9, OA ve Ob ışınlarından oluşan bir açıyı göstermektedir. O noktasından enerjilendirilir. Bu nokta açının zirvesi olarak adlandırılır ve her bir ışının yanına denir. "Köşe" kelimesi ∠ işareti ile değiştirilir. Açıyla, birinin üstüne yerleştirildiği üç harf olarak adlandırılır ve diğer ikisine açının kenarlarında herhangi bir yerde, harf, köşe adının ortasına yerleştirilir. Cher'de. 9 Biz ∠AOB veya ∠BOA var; Bazen açı, üstüne bir kitap olarak adlandırılır. Açının (ışınların) tarafı bitmeden çalıştırılmalıdır.

Bir açıdan özel bir durum, tarafları bir düz çizgi oluşturduğunda kendilerini tanıtır; Böyle özel bir açı düzeltilir veya genişletilmiş açı (Cher'de. 12, düzleştirilmiş açıları AOB ve 1 O 1 B 1'i gösterir.

Her açı, düzlemi 2 parçaya iki bölüme ayırır. Bu parçalardan biri denir İç alan açı ve açının içinde yattığını ve başka bir arama olduğunu söyle dış bölge Açı ve köşenin dışında yattığını söyleyin. Bu iki parçadan tam olarak harici bir alan denir ve hangi iç durum durumdadır. Örneğin, alanın, bölgeyi içsel olarak görülmelidir. Parçalar arasındaki iç bölgeye çizilen eğri çizgilerinin açısının iç alanını gözlemleyeceğiz; Cher'de. 10 ABC, def ve düzeltilmiş ∠KLM'nin iç köşeleri açıklandı.

İnce bir karton sacın köşelerini kesmek için faydalıdır: bir karton parçası, uçağın bir kısmının kaba bir görüntüsüdür; Üzerinde bir noktadan iki kiriş çizer ve bu parçayı köşenin kenarlarında keser, bir karton parçasını 2 parçaya böleriz; Açının içinde yattığına inanmak istediğimiz bu parçalardan birini alın, diğer delete, daha sonra iç alanıyla birlikte bir açı modeline sahip olacağız. Bu modelin doğru yorumlanması için, bir karton parçasının uçağın sadece bir kısmının bir görüntüsüne sahip olduğunu ve uçağın sonu olmadan uzanmadığını unutmayın.

13. İki köşe verisini karşılaştırın ∠ABC ve ∠DEF (CH. 11).

"Karşılaştır" iki açı, bu açıların eşit olup olmadığını veya birinin diğerinden daha fazla olduğunu belirlemek anlamına gelir. Bunu yapmak için, diğerine bir açı uygulayacağız, böylece iç alanlarının birbirine geçmesi için: köşelerin köşelerinin ve birleştirilecek köşelerin kenarlarına ve tarafını elde etmenin mümkün olması durumunda, bu köşelerin eşit olduğunu söylüyoruz; Eğer zirvelerimiz ve köşelerimizin bir tarafında çakışırsa, diğer taraflar aynı olmasa da, köşeler eşit değildir ve iç bölgenin iç bölgesinde karşılaşacak olan köşeleri bile okumuyoruz.

Egzersiz. Köşelerin kağıt modellerinden iç alanlarıyla ve bu modelleri birbirine örtüşerek, yukarıda açıklanan davaların olasılığını belirlemek; Bir açının modelini kesmek, ardından açı modelini kendisine eşitleyin ve köşelerin modelleri eşit değildir (daha büyük veya daha küçük).

ABC ve DEF'in köşelerine dönün (Cher. 11); Her birinin iç alanı çizimde işaretlenmiştir. ∠DEF'ye devredildi, böylece BC noktasına ve yani EF'nin BC'nin yanına girmesi gerektiği gibi, - o zaman köşelerin iç alanları diğerinde bir tane olacaktır. ED tarafı yan tarafa gidiyorsa, ∠DEF \u003d ∠ABC; ED partisi ∠ABC'ye gidiyorsa, örneğin BM Ray, sonra ∠DEF< ∠ABC (здесь внутренняя область угла DEF уляжется на внутренней области ∠ABC, и еще останется незанятой область ABM); если сторона ED пойдет вне ∠ABC, напр., по лучу BN, то ∠DEF > ∠ABC.

ABC ve def açıları (işaretli iç alanlarda), cher üzerindeki veriler için aynı argümanları tekrarlamak faydalıdır. 11 bis.

Seviyelendirilmiş yöntemi iki açıdan iki düzleştirilmiş köşeye göre karşılaştırın. Dahili alanların çizimde işaretlenmiş olan 2 düzleştirilmiş açı ∠AOB ve ∠A1O1B1 (Cher. 12) bulundurmamıza izin verin. Bu açılardan birini diğerine dayatmak, böylece birinin erix o 1'in diğerinin üstüne düşmesi ve O 1 A 1'in OA OA'nın yanına gitmesi için, bu açıların diğer taraflarının olduğu sonucuna varacağız. O 1 B1 ve OB çakıştı, çünkü 1 o 1 B1 ve AOB çizgileri düz olduğundan, pozisyon iki nokta ile belirlenir. (Bazen, AOB hattının doğrudan olduğunu söylemek yerine "OB OB'nin devamı var" diyorlar. Bu nedenle, sonuca vardık:

Tüm düzleştirilmiş köşeler aralarında eşittir.

14. Düzeltilmiş ∠AOB (Cher. 12), düzlemi iç ve dış üzerinde 2 alana böler. Düzlemi düz bir AOB'de sıfırlarsanız, bu bölümlerin her ikisi de tesadüf yapılır. Bu nedenle, düzleştirilmiş açıda iç ve dış alanların aralarında eşit olduğu varsayılabilir.

Herhangi bir dengesiz açı varsa, örneğin, ∠DEF (Cher. 11 veya Cher. 11 bis), daha sonra bir tarafa devam eden, örneğin, DE'nin yönü (uzatma çizimlerinde çizilmez), bunu göreceğiz Köşemiz, daha az düzleştirilmiş (Cher. 11) veya daha fazlası (Cher. 11 BIS); Açlığın iç alanı için uçağın iki bölümünün hangisine bağlıdır. Genellikle, bu açının daha az düzleştirilmesi için bir iç açı alanını seçin ve bu durumda, açının iç alanını not etmemektedir. Bazen açının kökeni, iç bölgenin uçağın açının daha düzleştirileceği bir kısmını göz önünde bulundurması gerektiğini gösterecektir. Bu durumlar bazen gerçekleşecek ve daha sonra iç köşe alanını zaten not etmeliyiz.

15. İki köşenin toplamını bulun: ∠AOB ve ∠PNM (Cher. 13) veya katlanmış ∠AOB ve ∠PNM.

Burada çizimde, köşelerin iç alanları işaretlenmemiş; Önceki kişinin gözlemine göre, her açının daha az düzleştirilmesi için seçilmeleri gerektiği anlamına gelir ve bu alanları açıkça görüyoruz.

∠PNM'yi aktarıyoruz, böylece Vertex N, AOB açısı O ile örtüştü ve o noktasının yakınındaki dönme, NP tarafının ob tarafına geçtiğini; Sonra köşelerinizin iç alanları birbirine uygulanacaktır - bu durum köşelerin eklenmesi için esastır. Daha sonra NM tarafının nasıl geçtiğini not edeceğiz: örneğin, OC'nin ışınına devam edecektir. Sonra iki köşenin toplamı için kabul edilen yeni bir ∠Aox'u alıyoruz. Yazabiliriz:

1) ∠BOC \u003d ∠PNM, 2) ∠AOC \u003d ∠AOB + ∠BOC
ve 3) (1'e göre) ∠AOC \u003d ∠AOB + ∠PNM.

Ayrıca birkaç köşe ekleyebilirsiniz; Bu açıyı birkaç terime ayırabilirsiniz. Cher'de. 14 Biz var:

∠AOE \u003d ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE.

Birbirlerine bağlı iki veya birkaç açı inşa etmek kolaydır, böylece toplamları düzeltilmiş köşeye eşittir. Birkaç açının toplamının daha düzleştirilmiş bir açı (CH. 15) olması mümkündür, bu miktarın iç alanı belirtilmelidir.

Yine de, bileşenlerin iç alanları birbirlerine, tüm düzlemin birbirine takılı olduğunda kendileri ile kaplandığında hala bir ek köşe vakası vardır. Cher'de. 16 Böyle açılarımız var: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE, ∠EOF ve ∠FOA. Bu durumda, OA ışınının devamı olan bir OM ışını oluşturarak, köşelerinizin toplamının iki düzleştirilmiş köşeden oluştuğunu görüyoruz: 1) İç bölgenin bir düzeyli tarafından belirtilen düzleştirilmiş bir ∠om Hat ve 2) Dahili bölge, çift kıvrımlı çizgiler işaretlenmiş düzleştirilmiş bir ∠om. Burada sahibiz:

∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA \u003d 2 düzeltilmiş köşeler.

Onlar söylüyor: Noktayı çevreleyen tüm seri açıların toplamı, iki düzleştirilmiş köşeyedir..

Köşelerin bileşenleri varsa, cher üzerinde inşa edilmiştir. Şekil 16, aynı ilk düzleştirilmiş köşede aynı şekilde başvurmaları gerekecek ve daha sonra toplam, üç düzleştirilmiş köşeye, üçten fazla düzleştirilmiş açı, vb. Eşit ikiden fazla düzleştirilmiş açı ile elde edilir.

16. İki köşe arasındaki farkı bulun: ∠AOB ve ∠MNP (Cher. 17) veya ∠AOB'den ∠MNP'yi çıkarın, ∠MNP'ye inanıyor< ∠AOB.

∠MNP'yi aktarıyoruz, böylece köşesi A'nın AOB'nin üstüne çarpar; O noktaya yakın döndürme, o zaman ob tarafına gitmek için NM tarafına ulaşacak ve bu açıların iç alanları bir diğerine yerleştirilecektir. NP tarafının OC ışınına girmesine izin verin; Sonra yeni bir ∠AOC alıyoruz, bununla ilgili olarak ∠AOC + ∠COB \u003d ∠AOB'nin, katmanın belirlenmesine göre, ters ilavenin eylemleri olarak, aldık;

∠AOC \u003d ∠AOB - ∠COB,
ama ∠COB \u003d ∠MNP; yani
∠AOC \u003d ∠AOB - ∠MNP.

PP'den. 13-16 Kavramların köşelere ve segmentlere bağlı olduğu fikrini öğrenmeliyiz: daha fazla, daha az, eşitve toplamın kavramları ve iki açının farkı belli bir anlamı vardır.

17. Egzersizler. 1. Birbirine tutturulmuş iki açı oluşturun, harfleri, toplamlarını belirtin ve bu köşelerin eklenmesini yazın.

2. Aynı çizimde, köşelerinden birinin diğer ikisi arasındaki fark olduğunu; Onu kaydet.

3. Aşağıdaki çizimlerde (bkz. Cher. B) ∠AOB diğer iki köşedeki farkı ifade eder.

4. Bu açı, 4 terim üzerine 3, 3'e bölünür; Kayıt yaptırmanın; Doğru bir açıyla aynı şeyi yapın.

5. Bu açı, düzeltilmiş ve diğer herhangi bir açı arasındaki fark biçiminde sunulur. Bunun için ne tür bir inşaat gereklidir?

6. Kağıttan kesilmiş köşelerin modellerini kullanarak köşelerin eklenmesini ve çıkarılması.

18. Gelecekte, sık sık numaralandırılmış açılara gidiyoruz, numaraları arayın, harfi azaltın. Sayılar köşeleri, köşe yakınındaki her açıyla yazacaktır.

∠AOB (Cher. 18) inşa ediyoruz ve ∠1'i arayacak. Böyle bu açı düzeltildi. Görevin iki çözümü var: OA ışınının devamı olarak hizmet veren bir OC Ray'i oluşturuyoruz; Sonra ∠BOC ya da ∠2'yi alırız, bunu gördüğümüz gibi, gereksinimi gideririz.

∠1 + ∠2 \u003d düzeltilmiş köşe.

Burada, miktar düzeltilmiş köşeye eşit olduğunda, iki açının eklenmesinin bir örneğine sahibiz, - bu tür açılardan bitişik açıların özü olarak adlandırılır. 2 açının "rahatlatıcı" adı olarak adlandırılması için, 1) birbirlerine ve 2'ye uygulandıkları için gereklidir, böylece toplamları düzleştirilmiş köşeye eşittir veya bu açıların bir Toplam Vertex (Açılar 1 ve 2 Toplam Vertex O), bir ortak tarafta (köşelerimizde, OB genel tarafında) ve diğer iki tarafın birbirinin bir devamı olmasıdır (OC OA'nın devamıdır).

Görevimize ikinci çözüm, OB'nin tarafına devam ederseniz, OD'nin bir devamı olduğuna izin verin; Sonra ∠1'e bitişik olan başka bir ∠AOD veya ∠4 alırız. Aynı morina açısını ∠3 ile arayalım.

Sorunumuza 2 çözüm keşfediyoruz, yani ∠2 ve ∠4. Konumun özelliğini görüyoruz ∠2 ve ∠4: Ortak bir vertex o var, onlardan birinin tarafları, diğerlerinin taraflarının devamıdır, yani OC, OA ve geri bir sürede devam ediyor ve OB OD ve Sırtın devamı, bu iki köşe dikey denir.

O zaman hem ∠2 hem de ∠4'ün her birini ayrı ayrı ∠1'i düzeltildiğini biliyoruz; Buradan bunu sonlandırıyoruz

İşte son düşüncenin daha ayrıntılı bir ifadesi. İnşaata göre, biz var:

1) ∠1 + ∠2 \u003d düzeltilmiş köşe;
2) ∠1 + ∠4 \u003d düzeltilmiş köşe.

Her iki eklemenin de aynı miktarda yol açtığını görüyoruz (tüm düzleştirilmiş açılar onlar arasında eşittir) ve ayrıca, her iki ilave de bir terim (yani ∠1) aynıdır; Buradan, diğer terimlerin aralarında eşit olması gerektiği sonucuna vardık, yani ∠2 \u003d ∠4.

İki kesişen düz çizgi oluşturursanız, iki çift dikey açı alırız. Cher'de. 18 Doğrudan AC ve BD var, bir çift dikey açı ∠2 ve ∠4 ve diğer ∠1 ve ∠3'tür. Önceki tüm dikey açılar için geçerlidir; Örneğin, ∠1 ve ∠3 çifti için, her birinin düzeltilmesi için ∠2'yi tamamladı, bu nedenle, ∠1 \u003d ∠3. Bu nedenle, teorem var:
Dikey açılar aralarında eşittir.

Egzersiz. Noktadan üç düz çizgi oluşturun ve elde edilen dikey açıları belirtin; Eşitliklerini kaydedin.

İki segment AB ve CD verelim (Şek.). CD segmentini CD segmentine bırakalım, böylece bir noktaya C noktasıyla çakışır ve Segment AV CD segmentiyle gönderilir. Eğer nokta D noktası D ile çakışırsa, AB ve CD'nin bölümleri eşittir; AV \u003d CD.

KO ve EM'nin iki bölümünü karşılaştırın (Şek.).

CO'nun segmentini segmentte bırakalım, böylece işaretler ve e çakışması için. Segment yoluyla göndermek için. O nokta, E ve m noktaları arasında bir yerde olacaksa, segmentin CO'nun segmentinden daha büyük olduğunu söylüyorlar; Daha az parçaya bölün.

Bu kaydedildi: Em\u003e Co.

Buna eşit bir segment oluşturmak, dolaşımla.

dolaşımın bir ayağı, Ab segmentinin bir ucuna, diğeri - sonunun bir başka ucuna ve dolaşımın bir başka ucuna ve dolaşımın çözeltisini değiştirmeden, bir bacağın sonu bir miktar noktaya değinerek doğrudan tolere ettiler. n, daha sonra başka bir dairesel bacağın sonu, aynı düz bir p noktasını fark edecektir. NP segmenti avın kesimine eşit olacaktır.

Segmentlerin eklenmesi ve çıkarılması.

Bu şöyle yazılmıştır:

NM \u003d AV + CD.

Aynı şekilde birkaç segment toplamı vardır (Şekil)

Mn \u003d AV + CD + EF.

Segmentler eklendiğinde, aritmetik olduğu gibi, sayılar eklendiğinde, yasalar gerçekleştirilir: Moveless and Apout.

AV + CD \u003d CD + AV;

(AV + CD) + EF \u003d AV + (CD + EF).

Ab ve CD arasındaki iki bölüm arasındaki farkı bulmak (Şek.),

bunun sonundan daha büyük bir segmentte (AB) gereklidir, örneğin, A'nın A, daha küçük bir segmenti (CD) erteleme. Daha büyük bir segmentin kalan kısmı (KB) ve bu bölümler arasındaki fark olacaktır:

AV - CD \u003d kare.

Bir tamsayı için bir parçanın çarpılması ve bölümü.

MN'yi kes, 5 numaraya bir parça segment parçası var.

b) Şekilde, MN segmenti beş eşit segmentten oluşur, yani MN segmenti beşe ayrılmıştır. eşit parçalar. Her biri Mn segmentinin 1/5 kısmıdır.

b) segment'i bu şekilde bir dolaşım kullanarak eşit parçalara ayırmak. Örneğin, segmentiyi iki eşit parçaya bölmeniz gerekirse, sirk göze taşınır, böylece dairesel çözelti segmentin yaklaşık yarısıdır. Ardından, bu bölümde sonundan itibaren, sırayla birbiri ardına, dolaşımın iki bölümüne katlanır. Nihai bölüm miktarının bu segmentinkinden daha az olması durumunda, dolaşım çözümü arttırılır; Miktar bu segmentten daha büyükse, dolaşım çözümü azalır. Bu nedenle, hatayı yavaş yavaş düzeltir, segmentin oldukça doğru bir şekilde yarısını bulabilirsiniz (Şekil).

Aynı şekilde, segmentin yaklaşık bölünmesi 3, 4, 5 vb. Eşit parçalar yapılır. Sadece bu durumda göze 1/3 alınmalıdır; on dört; 1/5 ... Kes ve erteleme Segmenti 3, 4, 5 ... kere çekilmiş, bu segmentten ne kadar eşit parçalara bölünmesi gerektiğine bağlı olarak.

Açının kenarlarında düz paralel kesen segmentlerin özellikleri

AVN açısının kenarında, VM \u003d MK \u003d COP (Şekil) eşit parçalarının (Şekil) ve M, K ve C'nin noktaları ile aynı açının yanını geçerek paralel düz çizgilerdir.

Bu tarafta üç segment kuruldu: VM ', M'K' ve K '. VM '\u003d M'K' \u003d K's 'olduğunu kanıtlamak zorundadır.

M 've k' noktalarını kanıtlamak için, düz, paralel av. Üçgenler VMM ', M'EK' ve K'R'leri alacağız. Bu üçgenleri karşılaştırın.

İlk önce, MVM 've M'EK'ün üçgenlerini karşılaştırın. Bu üçgenlerde sahibiz:

∠1 \u003d ∠2, paralel VA ve M ve lacant BN ile uygun açılar olarak;

∠3 \u003d ∠4, keskin açılar 1 gibi sırasıyla paralel taraflarla (AV || M'E ve mm '|| kk').

VM \u003d MK yapımında;

MK \u003d M ', paralelogramın zıt tarafları olarak.

1. ve 4.'lik açıların hem aptalca olduğu ortaya çıkabilir, ancak bu durumda eşit kalacaklar ve bu nedenle teoremin kanıtı değişmeyecek.

Sonuç olarak, vm \u003d m'e. Böylece, δвmm '\u003d Δm'ek' (yanında ve iki bitişik açı). Dolayısıyla VM '\u003d M'K' nin izler.

Ayrıca VM '\u003d K', yani VM '\u003d M'K' \u003d k's 'olduğunu kanıtlayabilirsiniz. Teorem'in ispatlanması durumunda, segmentlerin segmentlerinin açının üstünden başladıklarını ortaya koyduk, ancak teorem, segmentlerin segmentasyonunun açının üstünden gelmediği durum için de geçerlidir. ancak bölümünün herhangi bir noktasından.

Bu durumda, çizimdeki açının zirvesi not edilemez (Şekil).

Teorem, doğrudan CO ve MR'nin paralel olduğunda durum için de geçerlidir.

Orantılı segmentler

Aritmetikten, iki ilişkinin eşitliğinin orantılı olarak adlandırıldığı bilinmektedir. Örneğin: 16/4 \u003d 20/5; 2/3 \u003d 4/6 aynı ve geometride: İki çift segment verilirse, ilişkiler eşittir, o zaman bir oran kazanabilirsiniz.

Esley a. / b. \u003d 4/3 ve c. / d. \u003d 4/3 (lanet 351), o zaman oranı alırız a. / b. = c. / d. ;

segmentler a, b, c, d aranan orantılı.

Tutum a. / b. Aritmetik olduğu gibi, ilk tutum, c. / d. - İkinci Tutum; fakat ve d. oranın aşırı üyeleri denir b. ve dan - orta üyeler.

Oranlarda, yerlerdeki ilişkiyi değiştirebilirsiniz; Aşırı üyeleri, orta elemanları yeniden düzenleyebilirsiniz; Bunları ve diğerlerini aynı anda yeniden düzenleyebilirsiniz.

Orantılı olarak a. / b. = c. / d. Harfler altında, segmentlerin uzunluklarını ifade eden sayılar zımni, daha sonra aşırı üyelerin ürünü orta elemanların ürününe eşittir. Buradan, oranın üç üyesini bilmek, bilinmeyen bir dördüncü üye bulabilirsiniz. Yani, orantılı olarak a. / x. = c. / d. x. = Bir D. / c.

Bazı teoremlerin kanıtının tadını çıkarmak için ve problem çözerken daha fazla oranın bazı özelliklerini not ederiz.

a) Bir oranının üç üyesi sırasıyla başka bir oranın üç üyesine eşitse, bu oranların dördüncü üyeleri eşittir.

Eğer bir a. / b. = c. / x. ve a. / b. = c. / y. T. x \u003d W.. Aslında, x. = M.Ö. / a. , w. = m.Ö. / a. , yani ve h. ve w. aynı numaraya eşit m.Ö. / a. .

b) eğer oranlarda önceki üyeler eşittir, sonra aşağıdakiler, yani, i.E. a. / x. = a. / y. T. X \u003d W..

Bundan emin olmak için, ortalama üyeleri bu oranda yeniden düzenleyin.

Alıyoruz: a. / a. = x. / y. . Fakat a. / a. \u003d 1. Sonuç olarak ve x. / y. = 1.

Ve bu, yalnızca fraksiyonun numeratörü ve paydası eşitse, yani mümkündür.

x \u003d W..

c) Sonraki üyeler eşitse, daha önce olanlar, yani, eğer x. / a. = y. / a. T. X \u003d W..

Bu mülkün adaletinde, kendinizi görmeye davetlisiniz. Bunu yapmak için öncekine benzer bir akıl yürütme yapın.

Oransal segmentlerin yapımı

İki doğrudan EF ve ORS'nin üç paralel düz AV, CD ve MN'yi geçmesine izin verin (Şek.).

Paralel Secandes arasında sonuçlanan AU, CM, CD ve DN'nin bölümlerinin orantılı olduğundan, yani, I.E.

AC / CM \u003d BD / DN

AU'nun bölümünün uzunluğunun eşit olmasına izin verin rve segment cm uzunluğu eşittir s..

Örneğin, r \u003d 4 cm ve s. \u003d 5 cm.

Hoparlörleri ve cm'leri 1 cm'ye eşit ve bölünme noktalarından bölünürüz, doğrudan, doğrudan AV, CD ve MN'ye paralel olarak, Şekilde gösterildiği gibi doğrudan harcayacağız.

Daha sonra kendi aralarında eşit olan segmentler düz dönemi koyarken, BD segmentinde 4 olacak ve DN - 5 bölümünde bulunur.

AC'nin cm'ye oranı 4/5'e eşittir, CD'nin DN'ye oranı 4/5'tir.

Dolayısıyla AC / CM \u003d BD / DN.

Böylece, AU, CM, CD ve DN'nin bölümleri orantılıdır. AC, AM, BD ve BN'nin segmentleri de orantılıdır, yani AC / AM \u003d BD / BN,

aC / AM \u003d 4/9 ve BD / BN \u003d 4/9'dan beri

Teorem, diğer herhangi bir tamsayı değerleri için de geçerli olacaktır. r ve s..

AC ve cm segmentlerinin uzunlukları, belirli bir ölçüm biriminde (örneğin, bir santimetre) tamsayılarda ifade edilmezse, bu kadar küçük bir birimi (örneğin, bir milimetre veya mikron) almak gerekir. AC ve CM'nin bölümlerinin uzunlukları, pratik olarak tamsayılarda ifade edilir.

Kanıtlanmış teoremi geçerlidir ve paralel sekanslardan biri doğrudan verilerin kesişme noktasından geçer durumunda geçerlidir. Ayrıca, segmentlerin doğrudan tek tek olmadığı, ancak bir aralıktan sonra geciktiği durumlarda geçerlidir.