Seramik karo fabrikasında üretilen karoların %5'i kusurludur. Ürün kalite kontrolü sırasında kusurlu karoların sadece %40'ı bulunur. Kalan karolar satışa gönderilir. Satın alma sırasında rastgele seçilen bir karonun kusurlu olmama olasılığını bulun. Cevabınızı en yakın yüzlüğe yuvarlayın.

Çözüm

Ürün kalite kontrolü sırasında üretilen karoların %5'ini oluşturan kusurlu karoların %40'ı tespit edilmekte ve satışa sunulmamaktadır. Bu, üretilen karoların %0,4 %5 = %2'sinin satışa çıkmadığı anlamına gelir. Üretilen karoların geri kalanı - %100 - %2 = %98 satışa çıkıyor.

Üretilen karoların %100 - %95'inde kusur içermez. Satın alınan karonun kusurlu olmama olasılığı %95 : %98 = \frac(95)(98)\yaklaşık 0.97

Yanıt vermek

Şart

Pilin şarj edilmemiş olma olasılığı 0,15'tir. Mağazadaki müşteri, bu pillerden ikisini içeren rastgele bir paket satın alır. Bu paketteki her iki pilin de dolu olma olasılığını bulunuz.

Çözüm

Pilin dolu olma olasılığı 1-0.15 = 0.85'tir. Her iki pilin de şarj olması olayının olasılığını bulalım. A ve B ile "birinci akü şarj edildi" ve "ikinci akü şarj edildi" olaylarını belirtin. P(A) = P(B) = 0.85 elde ettik. "Her iki pil de şarj edildi" olayı, A \ cap B olaylarının kesişimidir, olasılığı eşittir P(A\capB) = P(A)\cdot P(B) = 0.85\cdot 0.85 = 0,7225.

Yanıt vermek

Kaynak: "Matematik. 2017 sınavına hazırlık. profil seviyesi. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Şart

Yeni bir çamaşır makinesinin bir yıl içinde tamir edilme olasılığı 0.065'tir. Belirli bir şehirde yıl boyunca 1200 çamaşır makinesi satıldı ve bunların 72'si garanti atölyesine devredildi. "Garanti kapsamında onarım" olayının meydana gelme sıklığının, bu şehirdeki olasılığından ne kadar farklı olduğunu belirleyin.

Çözüm

“Çamaşır makinesi bir yıl içinde garanti onarımına girecek” olayının sıklığı şuna eşittir: \frac(72)(1200) = 0.06. Olasılıktan 0.065-0.06=0.005 farklıdır.

Yanıt vermek

Kaynak: "Matematik. 2017 sınavına hazırlık. profil seviyesi. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Şart

Kalemin bozuk olma olasılığı 0,05'tir. Mağazadaki müşteri, iki kalem içeren rastgele bir paket satın alır. Bu paketteki her iki kalemin de iyi olma olasılığını bulunuz.

Çözüm

Kalemin iyi durumda olma olasılığı 1-0.05 = 0.95'tir. "Her iki tutamaç da çalışıyor" olayının olasılığını bulalım. A ve B ile "birinci tutamaç çalışıyor" ve "ikinci tutamaç çalışıyor" olaylarını belirtin. P(A) = P(B) = 0.95 elde ettik. “Her iki tutamaç da iyi” olayı A \ cap B olaylarının kesişimidir, olasılığı eşittir P(A\baş B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Yanıt vermek

Kaynak: "Matematik. 2017 sınavına hazırlık. profil seviyesi. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Şart

Resimde bir labirent görülüyor. Böcek, "Giriş" noktasında labirentin içine girer. Arkanı dön ve içine sürün ters yön böcek yapamaz, bu yüzden her çatalda henüz gitmediği yollardan birini seçer. Seçim yapılırsa böceğin D'den çıkma olasılığı nedir? daha ileri yol rastgele.

Çözüm

Okları böceğin hareket edebileceği yönlerde kavşaklara yerleştirelim (bkz. Şekil).

Kavşakların her birinde iki olası yön arasından bir yön seçelim ve kavşağa çarptığında böceğin seçtiğimiz yönde hareket edeceğini varsayalım.

Böceğin D çıkışına ulaşabilmesi için her kavşakta düz kırmızı çizgi ile gösterilen yön seçilmelidir. Toplamda, yön seçimi, önceki seçimden bağımsız olarak her seferinde 4 kez yapılır. Her seferinde düz kırmızı bir okun seçilme olasılığı \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Yanıt vermek

Kaynak: "Matematik. 2017 sınavına hazırlık. profil seviyesi. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Şart

Bölümde 16 sporcu var, aralarında iki arkadaş - Olya ve Masha. Sporcular rastgele 4 eşit gruba ayrılır. Olya ve Masha'nın aynı grupta olma olasılığını bulun.

11. sınıf olasılık teorisi dersinin tekrarı. Sınava hazırlık.

A + B olaylarının toplamı A veB bir olayın meydana gelmesinden oluşan bir olay denirA veya olaylarV , veyaİkisi de bu olaylar.

Örnek. İzin vermek A - yağmur yağıyor, B - o zaman kar yağıyor (A+B) - ya yağmur ya da kar ya da yağmur ve kar, yani yağış;

A - Diskoya git B - o zaman kütüphaneye gidelim (A+B) - ya diskoya ya da kütüphaneye gitti, yani. evden ayrıldı.

olaylar deniruyumsuzbunlardan birinin meydana gelmesi diğerlerinin meydana gelmesini dışlarsa. Yani, yalnızca belirli bir olay veya başka bir olay meydana gelebilir.

Örneğin, bir zar atarak, çift sayıda puan ve tek sayıda puan gibi olayları ayırt edebilirsiniz. Bu olaylar uyumsuz.

Uyumsuz olayların olasılıkları için toplama teoremi

teorem . Uyumsuz iki olaydan birinin meydana gelme olasılığı, hangisi olursa olsun, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A + B) = P(A) + P(B) .

Örnek. Bir kavanozda 30 top vardır: 10 kırmızı, 5 mavi ve 15 beyaz. Renkli bir topun gelme olasılığını bulun.

Çözüm . Renkli bir topun görünümü, kırmızı veya mavi bir topun görünümü anlamına gelir.

Kırmızı bir topun gelme olasılığı (a olayı)

P(A) = 10/30 = 1/3.

Mavi top olasılığı (B olayı)

P (B) \u003d 5/30 \u003d 1/6.

Olaylar A ve V tutarsızdır (bir renkteki bir topun görünümü, başka bir renkteki bir topun görünümünü hariç tutar), bu nedenle toplama teoremi geçerlidir.

Formüle göre, istenen olasılık

P(A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2 .

Örnek. Bir atışta bir zarda 5 veya 6 puan alma olasılığı 1/3 olacaktır. , çünkü her iki olay da (düşüş 5, düşüş 6) uyumsuzdur ve bir veya diğer olayın meydana gelme olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanır: 1/6 + 1/6 =1/3.

Tam bir etkinlik grubu.

Bir dizi uyumsuz olay formutüm etkinlik grubu eğer sonuç olarakbireysel test bu olaylardan biri mutlaka çıkacaktır.

Örnek. Bir zar için aşağıdaki seti dikkate almak tipiktir:

– zar atma sonucunda 1 puan düşecek;
– … 2 puan;
- … 3 puan;
– … 4 puan;
- … 5 puan;
- ... 6 puan.

Olaylar uyumsuz (çünkü herhangi bir yüzün görünümü, diğerlerinin aynı anda görünmesini hariç tutar) ve tam bir grup oluşturmak (çünkü bu altı olaydan biri mutlaka test sonucunda ortaya çıkacaktır) .

teorem . Olay olasılıklarının toplamıA 1 , A 2 , …, A n , tam bir grup oluşturan bire eşittir:

P(A 1 ) + P(A 2 ) + ... + P(A n ) = 1 .

zıt olaylar

Zıt tam bir grup oluşturan iki benzersiz olası olayı adlandırın. Zıt iki olaydan biri ile gösterilirseA , sonra diğeri genellikle gösterilir.

Örnek. Eğer bir zar atılırken olay A düşmekten oluşur 6 , o zaman ters olay düşmez 6 , yani bırakma 1, 2, 3, 4 veya 5 .

Örnek. Eğer A bir çift sayıdır, o zaman - garip numara Eğer A - o zaman kış - kış değil (sonbahar, yaz veya ilkbahar); Eğer A - sınavı geçti - sınavı geçmedi.

Teorem. Zıt olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir.

P(A) + P( ) = 1 veyaР(A) = 1 – Р( ).

Örnek. İki zar atıldığında farklı (aynı değil) puan alma olasılığı nedir?

A ile tanımlanan olayı belirtin. Karşı olay olaydır. , aynı sayıda puanın her iki zarın üzerine düştüğü gerçeğinden oluşur. Etkinlik altı temel olay lehinedir: (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Bu temel olayların her birinin olasılığı . Yani R( ) = . O halde Р(А) = 1 – Р( )= 1 - .

Bağımlı ve bağımsız olaylar. Şartlı olasılık.

iki olayA veV arananbağımsız , eğer her birinin meydana gelme olasılığı, başka bir olayın oluşup oluşmamasına bağlı değilse.

Örnek. Madeni para iki kez çevrilir. Olay A - "arması" ilk atışta düştü, olay B - "arma" ikinci atışta düştü. A ve B olayları bağımsızdır.

A ve B olayları denirbağımlı Bunlardan birinin gerçekleşme olasılığı, diğer olayın oluşup oluşmamasına bağlıysa.

B olayının olasılığı, A olayının zaten gerçekleştiği varsayımına göre hesaplanırsa, bu olasılığa denir.şartlı olasılık A olayı ile ilgili olarak B olayı. Tanım: P A (V).

Örnek. Zarf, St. Petersburg manzaralı 4 kartpostal ve Moskova manzaralı 3 kartpostal içeriyordu. A olayı St. Petersburg manzaralı bir kartpostalın çıkarılması olsun, B olayı Moskova manzaralı bir kartpostalın çıkarılması olsun. Olasılıkları düşünün. bu olaylarla ilişkilidir.

a) ilk başta St. Petersburg manzaralı bir kartpostal çıkardılarsa, ardından Moskova manzaralı bir kart çıkardılarsa, P A (B) = ;

b) önce Moskova manzaralı bir kartpostal çıkardılarsa, sonra St. Petersburg manzaralı, sonra R V (A) = .

Olasılıkların ürünü.

İki olayın ürünü A veV olayı araAB , bu olayların ortak oluşumundan (kombinasyonundan) oluşur.

Örnek. İzin vermek A - vazodan beyaz bir top çekildiğinde, B - vazodan beyaz bir top çekiliyor, sonra AB - semaverden çıkarıldı 2 beyaz toplar; Eğer A - yağmur yağıyor, B - Kar yağıyor AB - karla birlikte yağmur; A - çift bir sayı B - çoklu numara 3 , sonra AB - çoklu numara 6 .

Bağımsız olaylar için çarpma teoremi

teorem . İki bağımsız olayın çarpım olasılığıA veV olasılıklarının çarpımına eşittir:

P(AB) = P(A) P(B) .

Örnek. Zar iki kez atılıyor. İlk atışta 2, ikinci atışta 6 gelme olasılığı nedir?

A olayı 2 sayılık atış, B olayı 6 sayılık atış, C olayı ilk atışta 2 sayılık atış ve ikinci atışta 6 puan olsun.

A ve B olayları bağımsızdır, çünkü bir olayın meydana gelmesi başka bir olayın meydana gelmesine bağlı değildir. O zaman P(A) = ve P(B) = , sonra P(C) = P(A) P(B) = .

Bağımlı olaylar için çarpma teoremi.

teorem . A ve B olayları bağımlıysa, çarpımlarının olasılığı şuna eşittir:birinin olasılığının diğerinin koşullu olasılığı ile çarpımı

P(AB) = P(A) P A (B) .

Örnek. Zarf, St. Petersburg manzaralı 4 kartpostal ve Moskova manzaralı 3 kartpostal içeriyordu. A olayı, ilk kez St. Petersburg'un görüntülerinin çıkarılması olsun, B olayı - Moskova'nın ilk kez görüntülerinin çıkarılması. C olayı, önce St. Petersburg'un, sonra Moskova'nın manzarasının çekilmesi gerçeğinden oluşsun. O zaman, çarpma tanımı gereği C olayı A·B'ye eşittir. Açıkçası, bu durumda, A ve B olayları bağımlıdır. Hadi gösterelim.

Yani bağımlı olayların çarpımı için formüldeki teoremi kullanmanız gerekir, yani. P(C) = P(A)P A (B) . Böylece, P(C) = .

Örnek . okuma odası var 6 bilgisayar bilimi ders kitapları, bunlardan üç ciltli. kütüphaneci aldı 2 ders kitabı. olma olasılığını bulunuz. İkisi de ders kitapları ciltlenecektir.

Çözüm . Aşağıdaki olayları göz önünde bulundurun:
A 1 - kapaklı ilk alınan ders kitabı;
A 2 - ciltlemede alınan ikinci ders kitabı.

Etkinlik A=A 1 A 2 , alınan her iki ders kitabının da bağlı olduğu gerçeğinden oluşur. Olaylar A 1 ve A 2 bağımlıdır, çünkü bir olayın olma olasılığı A 2 olayın oluşumuna bağlı A 1 . Bu nedenle, olasılığı hesaplamak için formülü kullanırız. bağımlı olayların ürünleri .

Bir olayın olasılığı A 1 olasılığın klasik tanımına göre:

P(A 1 ) = m / n = 3/6 = 0,5 .

P A1 (A 2 ) bir olayın koşullu olasılığı olarak tanımlanır A 2 olay olması şartıyla A 1 zaten geldi:

P A1 (A 2 ) = 2/5 = 0,4 .

Daha sonra olayın meydana gelmesi için istenen olasılık A :

P (A) \u003d 0,5 0,4 \u003d 0,2 .

Ortak olay olasılıkları için toplama teoremi

İki olay denirbağlantı Birinin ortaya çıkması, diğerinin aynı duruşmada görünmesini dışlamıyorsa.

Örnek. A - zar atarken dört puanın görünümü; V - çift sayıda noktanın görünümü. Etkinlik A ve V - bağlantı.

teorem . İki ortak olaydan en az birinin meydana gelme olasılığıA veV Bu olayların ortak gerçekleşme olasılığı olmadan olasılıklarının toplamına eşittir.:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) .

Örnek. İki öğrenci kitap okuyor. İlk öğrenci kitabı 0.6 olasılıkla bitirecek; ikincisi 0.8'dir. Kitabın öğrencilerden en az biri tarafından okunma olasılığını bulunuz.

Çözüm . Kitabın her bir öğrenci tarafından okunma olasılığı tek bir öğrencinin sonucuna bağlı değildir, dolayısıyla olaylar A (ilk öğrenci kitabı okumayı bitirdi) ve B (ikinci öğrenci kitabı okumayı bitirdi) bağımsız ve işbirlikçidir. İstenen olasılık, ortak olayların olasılıklarını toplama formülüyle bulunur.

Olay Olasılığı AB (her iki öğrenci de kitabı okumayı bitirdi):

P(AB) = P(A) P(B) = 0,6 0,8 = 0,48.

O zamanlar

P(A + B) = 0,6 + 0,8 - 0,48 = 0,92.

Örnek. Alışveriş merkezinde iki özdeş otomat kahve satıyor. Gün sonunda makinenin kahvesinin bitme olasılığı 0,3'tür. Her iki makinede de kahvenin bitme olasılığı 0.12'dir. Günün sonunda kahve makinelerinden en az birinde (yani, birinde veya diğerinde veya aynı anda her ikisinde) bitme olasılığını bulalım.

Birinci olayın "kahve birinci makinede bitecek" olasılığı ile ikinci olayın "kahve ikinci makinede bitecek" koşulunun olasılığı 0,3'e eşittir. Etkinlikler işbirlikçidir.

İlk iki olayın ortak gerçekleşme olasılığı duruma göre 0,12'ye eşittir.

Bu, gün sonunda makinelerden en az birinin kahvesinin bitme olasılığının 0,3 + 0,3 - 0,12 = 0,48 olduğu anlamına gelir.

Örnek. Okulun 1200'ü kayak, 952'si paten olmak üzere toplam 1400 öğrencisi bulunmaktadır. 60 öğrenci kayak ve paten bilmiyor. Öğrencinin kayak ve paten yapabilme olasılığı nedir?

E'yi belirtin - bu okulun tüm öğrencileri. A olayı öğrencilerin kayak yapabilme yeteneği olsun. Etkinlik B - öğrencilerin paten yapma yeteneği. Etkinlik AB - öğrencilerin kayak ve paten yapma yeteneği. Etkinlik A + B - öğrencilerin kayak veya paten yapma yeteneği. .

Toplam Olasılık Formülü.

A olayı yalnızca B olaylarından biri yürütülürse gerçekleşebilirse 1 , V 2 , …, V n tam bir uyumsuz olaylar grubu oluşturan, daha sonra A olayının olasılığı formülle hesaplanır

P(A) = P(B 1 ) · R 1 İÇİNDE (A) + P(B 2 ) · R 2 İÇİNDE (A) + ... + P(B) n ) · R V n (A).

Bu formüle toplam olasılık formülü denir. 3 ) = .

A olayı, seçilen lambanın arızalı olması olsun; r 1 İÇİNDE (A) İlk fabrikada üretilen lambalardan arızalı bir lamba seçilmesi olayıdır. , P(B 2 ) - ikinci fabrikada, Р(В 3 ) - üçüncü tesiste. Sorunun durumundan şöyle:

r 1 İÇİNDE =0,034.

Bibliyografya.

Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. Olasılık teorisi ve istatistik. JSC "Moskova ders kitabı". M., 2008.

Shakhmeister A.Kh. Kombinatorik. İstatistik. Olasılık. MTsNMO. M., 2010.

rastgele olay Bazı deneyimlerin bir sonucu olarak meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek herhangi bir olay.

Olay Olasılığı r olumlu sonuçların sayısının oranına eşittir k tüm olası sonuçlar arasında. n, yani

p=\frac(k)(n)

Olasılık teorisinin toplanması ve çarpılması için formüller

\bar(A) olayı aranan A olayının tersi, eğer A olayı gerçekleşmediyse.

Olasılıkların toplamı zıt olaylar bire eşittir, yani.

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Bir olayın olasılığı 1'den büyük olamaz.
• Bir olayın olasılığı 0 ise o olay olmayacaktır.
• Bir olayın olasılığı 1 ise o olay gerçekleşir.

Olasılık toplama teoremi:

"Uyumsuz iki olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir."

P(A+B) = P(A) + P(B)

olasılık miktarlar iki ortak etkinlik ortak oluşumları dikkate alınmadan bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Olasılık çarpma teoremi

"İki olayın çarpımının olasılığı, birincisinin gerçekleşmesi koşuluyla hesaplanan, birinin olasılıklarının diğerinin koşullu olasılığı ile çarpımına eşittir."

P(AB)=P(A)*P(B)

Olaylar aranan uyumsuz, birinin görünümü diğerlerinin görünümünü dışlarsa. Yani, yalnızca belirli bir olay veya başka bir olay meydana gelebilir.

Olaylar aranan bağlantı, Bunlardan birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesine engel olmadıkça.

İki rastgele olay A ve B denir bağımsız, eğer birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelme olasılığını değiştirmiyorsa. Aksi takdirde, A ve B olaylarına bağımlı denir.

Matematikte sınavda olasılık teorisi, hem klasik olasılık tanımı için basit görevler şeklinde hem de karşılık gelen teoremlerin uygulanması için oldukça karmaşık olanlar şeklinde sunulabilir.

Bu bölümde, olasılık tanımını kullanmanın yeterli olduğu problemleri ele alıyoruz. Bazen burada ters olayın olasılığını hesaplamak için bir formül de uygulayacağız. Bu formülden burada vazgeçilebilse de, aşağıdaki problemleri çözerken yine de gerekli olacaktır.

teorik kısım

Rastgele olay, bir gözlem veya test sırasında meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek (önceden tahmin etmek imkansızdır) bir olaydır.

Test sırasında (bir madeni para veya zar atmak, sınav bileti çekmek vb.) eşit derecede olası sonuçların mümkün olduğunu varsayalım. Örneğin, bir yazı tura atıldığında, tüm sonuçların sayısı 2'dir, çünkü “yazı” veya “kartal” kaybı dışında başka bir sonuç olamaz. Bir zar atarken, 1'den 6'ya kadar olan sayıların herhangi biri zarın üst yüzünde görünebileceğinden 6 sonuç mümkündür.Ayrıca bazı A olayının sonuçlar tarafından tercih edilmesine izin verin.

Bir A olayının olasılığı, bu olay için uygun sonuçların sayısının aşağıdakilere oranıdır. toplam sayısı eşit derecede olası sonuçlar (bu, olasılığın klasik tanımıdır). Biz yazarız

Örneğin, A olayının bir zar atıldığında tek sayıda puan almasına izin verin. Toplamda 6 sonuç mümkündür: Kalıbın üst yüzünde 1, 2, 3, 4, 5, 6. Aynı zamanda, 1, 3, 5 düşmeli sonuçlar A olayı için uygundur. .

Çifte eşitsizliğin her zaman geçerli olduğuna dikkat edin, bu nedenle herhangi bir A olayının olasılığı aralıktadır, yani . Cevabınızın olasılığı birden büyükse, bir yerde hata yaptınız ve çözümü tekrar kontrol etmeniz gerekiyor.

A ve B olayları denir zıt eğer herhangi bir sonuç tam olarak bunlardan biri için uygunsa.

Örneğin, bir zar atıldığında, "tek sayı atıldı" olayı "çift sayı yuvarlandı" olayının tersidir.

A olayının tersi olay gösterilir. Zıt olayların tanımından çıkar
, anlamına geliyor,
.

Bir kümeden nesne seçmeyle ilgili sorunlar

Görev 1. Dünya Şampiyonasına 24 takım katılıyor. Kura ile, her biri altı takımdan oluşan dört gruba ayrılmalıdırlar. Kutuda grup numaralarına sahip karışık kartlar bulunur:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Takım kaptanları birer kart çeker. Rus takımının üçüncü grupta olma olasılığı nedir?

Toplam sonuç sayısı kart sayısına eşittir - bunlardan 24 tanesi 6 olumlu sonuç vardır (3 sayısı altı karta yazıldığı için). İstenen olasılık eşittir .

Cevap: 0.25.

Görev 2. Bir vazoda 14 kırmızı, 9 sarı ve 7 yeşil top vardır. Kutudan rastgele bir top çekiliyor. Bu topun sarı olma olasılığı kaçtır?

Toplam sonuç sayısı, top sayısına eşittir: 14 + 9 + 7 = 30. Bu olay için uygun sonuçların sayısı 9'dur. İstenen olasılık eşittir. .

Görev 3. Telefon tuş takımında 0'dan 9'a kadar 10 sayı vardır. Rastgele basılan bir sayının çift ve 5'ten büyük olma olasılığı nedir?

Buradaki sonuç belirli bir tuşa basmaktır, yani toplamda 10 eşit olası sonuç vardır. Belirtilen olay, sonuçlar tarafından tercih edilir, yani 6 veya 8 tuşuna basılması. Bu tür iki sonuç vardır. İstenen olasılık .

Cevap: 0.2.

Görev 4. 4'ten 23'e kadar rastgele seçilen bir doğal sayının 3'e tam bölünebilme olasılığı nedir?

4'ten 23'e kadar olan segmentte 23 - 4 + 1 = 20 var doğal sayılar, yani 20 olası sonuç vardır. Bu segmentte, aşağıdaki sayılar üçün katlarıdır: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Toplamda bu tür 6 sayı vardır, dolayısıyla 6 sonuç söz konusu olay lehinedir. İstenen olasılık eşittir .

Cevap: 0.3.

Görev 5. Sınavda sunulan 20 biletten sadece 17'sini cevaplayabilen öğrencidir. Öğrencinin rastgele seçilen bileti cevaplamama olasılığı nedir?

1. yol.

Öğrenci 17 bilete cevap verebildiği için 3 bilete cevap veremez. Bu biletlerden birini alma olasılığı, tanım gereği, .

2. yol.

A ile "öğrenci bilete cevap verebilir" olayını belirtin. O zamanlar . Karşı olayın olasılığı =1 - 0.85 = 0.15'tir.

Cevap: 0.15.

Görev 6. Ritmik jimnastik şampiyonasına 20 sporcu katılıyor: Rusya'dan 6, Almanya'dan 5, geri kalanı Fransa'dan. Jimnastikçilerin performans sırası kura ile belirlenir. Yedinci sporcunun Fransa'dan olma olasılığını bulun.

Toplamda 20 sporcu var ve hepsinin yedinci olmak için eşit şansları var. Bu nedenle, 20 eşit olası sonuç vardır. Fransa'dan 20 - 6 - 5 = 9 sporcu, yani bu etkinlik için 9 olumlu sonuç var. İstenen olasılık .

Cevap: 0.45.

Görev 7. Bilimsel konferans 5 gün sonra yapılır. Toplam 50 rapor planlanmıştır - ilk üç gün, her biri 12 rapor, geri kalanı dördüncü ve beşinci gün arasında eşit olarak dağıtılır. Raporların sırası bir çekilişle belirlenir. Profesör N.'nin raporunun konferansın son günü için planlanma olasılığı nedir?

İlk olarak, son gün için kaç rapor planlandığını bulalım. Raporlar ilk üç gün için planlanır. Kalan iki gün arasında eşit olarak dağıtılan 50 - 36 = 14 rapor hala vardır, bu nedenle raporlar son gün için planlanır.

Sonuç olarak Profesör N'nin raporunun seri numarasını ele alacağız. Bu tür 50 eşit olası sonuç vardır.Belirtilen olayı destekleyen 7 sonuç vardır (rapor listesindeki son 7 sayı). İstenen olasılık .

Cevap: 0.14.

Görev 8. Uçakta acil çıkışların yanında 10, kabinleri ayıran bölmelerin arkasında ise 15 koltuk bulunuyor. Koltukların geri kalanı uzun boylu yolcular için elverişsizdir. Yolcu K. uzun. Uçakta 200 koltuk varsa, check-in sırasında rastgele bir koltuk seçimiyle K. yolcusunun rahat bir koltuğa geçme olasılığını bulun.

Bu problemdeki sonuç, yer seçimidir. Toplamda 200 eşit olası sonuç vardır. "Seçilen yer uygun" olayını tercih edin 15 + 10 = 25 sonuç. İstenen olasılık .

Cevap: 0.125.

Görev 9. Fabrikada montajı yapılan 1000 adet kahve değirmeninden 7 tanesi arızalıdır. Uzman, bu 1000 öğütücüden rastgele seçilen birini kontrol ediyor. Kontrol edilen kahve öğütücünün arızalı olma olasılığını bulun.

Rastgele bir kahve değirmeni seçerken 1000 sonuç mümkündür, A "seçilen kahve değirmeni arızalı" olayı 7 sonuç için uygundur. Olasılığın tanımı gereği.

Cevap: 0.007.

Görev 10. Tesis buzdolapları üretiyor. Ortalama olarak, her 100 yüksek kaliteli buzdolabı için, gizli kusurlu 15 buzdolabı vardır. Satın alınan buzdolabının kaliteli olma olasılığını bulunuz. Sonucu en yakın yüzlüğe yuvarlayın.

Bu görev öncekine benzer. Ancak “her 100 kaliteli buzdolabına 15 kusurlu buzdolabı vardır” sözü bize şunu söylemektedir. kusurlu 15 adet 100 kaliteye dahil değildir. Bu nedenle, toplam sonuç sayısı 100 + 15 = 115 (toplam buzdolabı sayısına eşit), olumlu sonuçlar 100'dür. Gerekli olasılık . Bir kesrin yaklaşık değerini hesaplamak için köşeye bölmeyi kullanmak uygundur. 0,87 olan 0,869'u elde ederiz.

Cevap: 0.87.

Görev 11. Tenis şampiyonasının ilk turu başlamadan önce, katılımcılar kura ile rastgele oyun çiftlerine ayrılır. Toplamda, şampiyonaya Maxim Zaitsev de dahil olmak üzere Rusya'dan 7 katılımcı dahil olmak üzere 16 tenisçi katılıyor. Maxim Zaitsev'in ilk turda Rusya'dan herhangi bir tenisçiyle oynama olasılığını bulun.

Önceki görevde olduğu gibi, koşulu dikkatlice okumanız ve sonucun ne olduğunu ve olumlu sonucun ne olduğunu anlamanız gerekir (örneğin, olasılık formülünün düşüncesizce uygulanması yanlış cevaba yol açar).

İşte sonuç Maxim Zaitsev'in rakibi. Toplamda 16 tenisçi olduğundan ve Maxim kendi başına oynayamayacağından, 16 - 1 = 15 eşit olası sonuç vardır. Olumlu bir sonuç, Rusya'dan bir rakip. Böyle 7 olumlu sonuç var - 1 = 6 (Maxim'in kendisini Ruslar arasında hariç tutuyoruz). İstenen olasılık .

Cevap: 0.4.

Görev 12. Futbol bölümüne, aralarında Anton ve Dmitry olmak üzere iki erkek kardeş olmak üzere 33 kişi katılıyor. Bölüme katılanlar rastgele 11'er kişilik üç takıma ayrılır. Anton ve Dmitry'nin aynı takımda olma olasılığını bulun.

Anton ve Dmitry ile başlarken oyuncuları sırayla boş yerlere yerleştirerek takımlar oluşturalım. İlk olarak, Anton'u 33 boş yerden rastgele seçilen bir yere koyalım.Şimdi Dmitry'yi boş bir yere koyuyoruz (sonuç olarak onun için bir yer seçimini dikkate alacağız). Toplamda 32 boş yer var (bir tanesi Anton tarafından zaten alındı), yani toplamda 32 olası sonuç var. Anton ile aynı takımda 10 boş yer kaldı, bu nedenle "Anton ve Dmitry aynı takımda" etkinliği 10 sonuç tarafından tercih ediliyor. Bu olayın olasılığı .

Cevap: 0.3125.

Görev 13. On iki saatlik kadranlı mekanik saat bir noktada bozuldu ve çalışmayı durdurdu. olma olasılığını bulunuz. saat ibresi dondu, saat 11 işaretine ulaştı, ancak saat 2 işaretine ulaşamadı.

Geleneksel olarak, kadran, komşu sayıların işaretleri arasında bulunan 12 sektöre bölünebilir (12 ve 1, 1 ve 2, 2 ve 3, ..., 11 ve 12 arasında). Sonuç olarak belirtilen sektörlerden birinde akrebin durmasını dikkate alacağız. Toplamda 12 eşit olası sonuç vardır. Bu olay üç sonuç tarafından desteklenmektedir (11 ve 12, 12 ve 1, 1 ve 2 arasındaki sektörler). İstenen olasılık eşittir .

Cevap: 0.25.

özetle

Olasılık teorisindeki basit problemlerin çözümüne ilişkin materyali inceledikten sonra, bağımsız bir çözüm için görevleri tamamlamanızı öneriyorum, bu makaleyi şu adreste yayınlıyoruz. Telegram kanalımız. Ayrıca, uygulamanızın doğruluğunu, bilgilerinizi girerek de kontrol edebilirsiniz. önerilen formda cevaplar.

Makaleyi sosyal ağlarda paylaştığınız için teşekkür ederiz.

Kaynak “Sınava hazırlık. Matematik. Olasılık Teorisi”. F.F tarafından düzenlendi. Lysenko, S.Yu. Kulabükhov