Някои определения:

1. Многостене геометрично тяло, ограничено от краен брой плоски многоъгълници, всеки два от които, имащи обща страна, не лежат в една равнина. В този случай самите многоъгълници се наричат ​​лица, техните страни са ръбовете на многостена, а върховете им са върховете на многостена.
2. Фигурата, образувана от всички лица на полиедър, се нарича негова повърхност ( пълна повърхност), а сумата от площите на всички негови лица е (пълна) площ на повърхността.
3. е многостен с шест лица, които са равни квадрати. Страните на квадратите се наричат ​​ръбове на куба, а върховете се наричат ​​върхове на куба.
4. е многостен, който има шест лица и всяко от тях е успоредник. Страните на успоредника се наричат ​​ръбове на паралелепипеда, а върховете им се наричат ​​върхове на паралелепипеда. Двете страни на паралелепипеда се наричат противоположност, ако нямат общ ръб, а тези с общ ръб се наричат свързани. Понякога произволни две противоположни страни на паралелепипеда се избират и извикват основания, след това останалите лица странични лица, а техните страни, свързващи върховете на основите на паралелепипеда, са негови странични ребра.
5. Прав паралелепипед- това е паралелепипед, чиито странични лица са правоъгълници. е паралелепипед, чиито лица са правоъгълници. Имайте предвид, че всеки паралелепипед е правоъгълен паралелепипед, но не всеки паралелепипед е правоъгълен паралелепипед.
6. противоположност. Нарича се отсечка, свързваща противоположните върхове на паралелепипед диагоналпаралелепипед. Паралелепипедът има само четири диагонала.
7. призма ( н- въглища)е многостен, чиито две страни са равни н-gons и останалите нлицата са успоредници. Равен н-гоновете се наричат основания, и успоредниците странични стени на призмата- това е такава призма, в която страничните лица са правоъгълници. Правилно н- въглеродна призма- това е призма, в която всички странични стени са правоъгълници, а основите й са правилни н-gons.
8. Сумата от площите на страничните стени на призмата се нарича неговата странична повърхност(означено Сстрана). Сумата от площите на всички лица на призмата се нарича повърхност на призмата(означено Спълен).
9. пирамида ( н- въглища)- това е многостен, който има едно лице - някои н-гон и останалите нлица - триъгълници с общ връх; н-гон се нарича база; триъгълници, които имат общ връх се наричат странични лица, а общият им връх се нарича върха на пирамидата. Страните на стените на пирамидата се наричат ​​нейни ребра, а ръбовете, които се срещат във връх, се наричат страничен.
10. Сумата от площите на страничните стени на пирамидата се нарича странична повърхност на пирамидата(означено Сстрана). Сумата от площите на всички лица на пирамидата се нарича повърхност на пирамидата(обозначава се повърхността Спълен).
11. Правилнон- въглищна пирамида- това е такава пирамида, чиято основа е правилната н-gon и всички странични ръбове са равни един на друг. Страничните стени на правилната пирамида са равнобедрени триъгълници, равни един на друг.
12. Триъгълната пирамида се нарича тетраедърако всички негови лица са еднакви правилни триъгълници. Тетраедърът е специален случай на правилна триъгълна пирамида (т.е. не всяка правилна триъгълна пирамида ще бъде тетраедър).

Аксиоми на стереометрията:

1. През всеки три точки, които не лежат на една права, има само една равнина.
2. Ако две точки от една права лежат в равнина, тогава всички точки от правата лежат в тази равнина.
3. Ако две равнини имат обща точка, то те имат обща права, на която лежат всички общи точки на тези равнини.

Следствия от аксиомите на стереометрията:

• Теорема 1.Има само една равнина през права и точка извън нея.
• Теорема 2.Има само една равнина през две пресичащи се прави.
• Теорема 3.Има само една равнина през две успоредни прави.

Построяване на сечения в стереометрията

За решаване на проблеми в стереометрията е спешно необходимо да можете да изграждате секции от полиедри (например пирамида, паралелепипед, куб, призма) в чертеж от определена равнина. Нека дадем няколко дефиниции, обясняващи какво е раздел:

• режеща равнинаПирамида (призма, паралелепипед, куб) е такава равнина, от двете страни на която има точки на тази пирамида (призма, паралелепипед, куб).
• напречно сечение на пирамида(призма, паралелепипед, куб) е фигура, състояща се от всички точки, които са общи за пирамидата (призма, паралелепипед, куб) и режещата равнина.
• Режещата равнина пресича лицата на пирамидата (паралелепипед, призма, куб) по сегменти, следователно разделе многоъгълник, лежащ в секущата, страните на който са посочените сегменти.

За да се построи сечение на пирамида (призма, паралелепипед, куб), е възможно и необходимо да се построят пресечните точки на секущата равнина с ръбовете на пирамидата (призма, паралелепипед, куб) и да се свържат всеки две от тях, лежащи в едно лице. Имайте предвид, че последователността на конструиране на върховете и страните на сечението не е от съществено значение. Изграждането на сечения от полиедри се основава на две задачи за конструиране:

1. Линии на пресичане на две равнини.

Да се ​​построи права, по която се пресичат две равнини α и β (например секущата равнина и равнината на лицето на полиедъра), трябва да изградите техните две общи точки, тогава линията, минаваща през тези точки, е линията на пресичане на равнините α и β .

1. Пресечни точки на права и равнина.

Да се ​​построи пресечна точка на права ли самолет α начертайте пресечната точка на линията ли директно л 1 , по която се пресича равнината α и всяка равнина, съдържаща права л.

Взаимно разположение на прави и равнини в стереометрията

определение:В хода на решаването на задачи по стереометрия се наричат ​​две прави линии в пространството паралеленако лежат в една равнина и не се пресичат. Ако прав аи b, или ABи CDса успоредни, пишем:

Няколко теореми:

• Теорема 1.През всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, има само една права, успоредна на дадената права.
• Теорема 2.Ако една от двете успоредни прави пресича дадена равнина, то другата права пресича тази равнина.
• Теорема 3(знак за успоредни прави). Ако две прави са успоредни на трета права, тогава те са успоредни една на друга.
• Теорема 4(в пресечната точка на диагоналите на паралелепипед). Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и разполовяват тази точка.

Има три случая на взаимно разположение на права линия и равнина в стереометрията:

• Правата лежи в равнината (всяка точка от правата лежи в равнината).
• Правата и равнината се пресичат (имат една обща точка).
• Правата и равнината нямат една обща точка.

определение:Права и равнина се наричат паралеленако нямат допирни точки. Ако прав ауспоредна на равнината β , тогава пишат:

Теореми:

• Теорема 1(знак за успоредност на права и равнина). Ако права, която не лежи в дадена равнина, е успоредна на някаква права, лежаща в тази равнина, то тя е успоредна на дадената равнина.
• Теорема 2.Ако самолетът (на фигурата - α ) преминава през права линия (на фигурата - с), успоредна на друга равнина (на фигурата - β ), и пресича тази равнина, след това линията на пресичане на равнините (на фигурата - д) е успоредна на дадената права:

Ако две различни прави лежат в една и съща равнина, тогава те или се пресичат, или са успоредни. Но в пространството (т.е. в стереометрията) е възможен и трети случай, когато няма равнина, в която да лежат две прави (в този случай те нито се пресичат, нито са успоредни).

определение:Двете линии се наричат кръстосване, ако няма равнина, в която да лежат и двете.

Теореми:

• Теорема 1(знак за пресичащи се линии). Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата права пресича тази равнина в точка, която не принадлежи на първата права, тогава тези линии са наклонени.
• Теорема 2.През всяка от двете пресичащи се прави има една равнина, успоредна на другата права.

Сега въвеждаме концепцията за ъгъла между косите линии. Позволявам аи b Ов пространството и начертайте прави линии през него. а 1 и b 1 успоредни на прави линии аи bсъответно. Ъгъл между наклонени линии аи bнаречен ъгъл между построените пресичащи се прави а 1 и b 1 .

Въпреки това, на практика точката Опо-често избирайте така, че да принадлежи към една от правите линии. Това обикновено е не само елементарно по-удобно, но и по-рационално и правилно по отношение на конструирането на чертеж и решаването на задача. Следователно за ъгъла между косите линии даваме следната дефиниция:

определение:Позволявам аи bса две пресичащи се линии. Вземете произволна точка Она един от тях (в нашия случай на права линия b) и начертайте линия през него, успоредна на друг от тях (в нашия случай а 1 паралел а). Ъгъл между наклонени линии аи bе ъгълът между построената права и правата, съдържаща точката О(в нашия случай това е ъгълът β между прави линии а 1 и b).

определение:Двете линии се наричат взаимно перпендикулярни(перпендикуляр), ако ъгълът между тях е 90°. Пресичащите се прави могат да бъдат перпендикулярни, както и прави, лежащи и пресичащи се в една и съща равнина. Ако прав аперпендикулярна на правата b, тогава пишат:

определение:Двата самолета се наричат паралелен, ако не се пресичат, т.е. нямат допирни точки. Ако два самолета α и β паралелно, тогава, както обикновено, напишете:

Теореми:

• Теорема 1(знак за успоредни равнини). Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две прави от друга равнина, то тези равнини са успоредни.
• Теорема 2(за свойството на противоположните лица на паралелепипед). Противоположните лица на паралелепипед лежат в успоредни равнини.
• Теорема 3(по линиите на пресичане на две успоредни равнини с трета равнина). Ако две успоредни равнини са пресечени от трета, тогава техните пресечни линии са успоредни една на друга.
• Теорема 4.Отсечките от успоредни прави, разположени между успоредни равнини, са равни.
• Теорема 5(за съществуването на единствена равнина, успоредна на дадена равнина и минаваща през точка извън нея). През точка, която не лежи в дадена равнина, преминава само една равнина, успоредна на дадената.

определение:Права, пресичаща равнина, се нарича перпендикулярна на равнината, ако е перпендикулярна на всяка права в тази равнина. Ако прав аперпендикулярна на равнината β , след това напишете, както обикновено:

Теореми:

• Теорема 1.Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на трета права, то другата права също е перпендикулярна на тази права.
• Теорема 2.Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на равнина, то другата права също е перпендикулярна на тази равнина.
• Теорема 3(за успоредността на прави, перпендикулярни на равнината). Ако две прави са перпендикулярни на една и съща равнина, тогава те са успоредни.
• Теорема 4(знак за перпендикулярност на права и равнина). Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнина, тогава тя е перпендикулярна на тази равнина.
• Теорема 5(за равнина, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на дадена права). През всяка точка от пространството има само една равнина, перпендикулярна на дадената права.
• Теорема 6(за права, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на дадена равнина). През всяка точка от пространството има само една права, перпендикулярна на дадената равнина.
• Теорема 7(относно свойството на диагонала на правоъгълен паралелепипед). Квадратът на дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на дължините на трите му ръба, които имат общ връх:

Последица:И четирите диагонала на правоъгълен паралелепипед са равни един на друг.

Теорема за трите перпендикуляра

Нека точката НОне лежи плоско α . Да минем през точката НОправа линия, перпендикулярна на равнината α , и означете с буквата Опресечната точка на тази права с равнината α . Перпендикуляр, прекаран от точка НОдо самолета α , се нарича сегмент АД, точка Онаречена основа на перпендикуляра. Ако АД- перпендикулярна на равнината α , а Ме произволна точка от тази равнина, различна от точката О, след това сегмента сутринтасе нарича наклон, изтеглен от точка НОдо самолета α , и точката М- наклонена основа. Линеен сегмент ОМ- ортогонална проекция (или накратко проекция) наклонена сутринтадо самолета α . Сега представяме теорема, която играе важна роля при решаването на много проблеми.

Теорема 1 (за три перпендикуляра): Права линия, начертана в равнина и перпендикулярна на проекцията на наклонена равнина върху тази равнина, също е перпендикулярна на самата наклонена. Обратното също е вярно:

Теорема 2 (за три перпендикуляра): Права линия, начертана в равнина и перпендикулярна на наклонена, също е перпендикулярна на своята проекция върху тази равнина. Тези теореми, за обозначението от чертежа по-горе, могат да бъдат формулирани накратко, както следва:

Теорема:Ако от една точка, взета извън равнината, се начертаят перпендикулярна и две наклонени линии към тази равнина, тогава:

• две наклонени, имащи равни проекции, са равни;
• от двете наклонени по-голяма е тази, чиято проекция е по-голяма.

Дефиниции на разстояния от обекти в пространството:

• Разстоянието от точка до равнина е дължината на перпендикуляра, прекаран от тази точка до тази равнина.
• Разстоянието между успоредните равнини е разстоянието от произволна точка на една от успоредните равнини до друга равнина.
• Разстоянието между права и успоредна на нея равнина е разстоянието от произволна точка на правата до равнината.
• Разстоянието между косите линии е разстоянието от една от косите линии до равнина, минаваща през другата линия и успоредна на първата линия.

определение:В стереометрията, ортогонална проекция на права линия адо самолета α се нарича проекция на тази права върху равнина α ако правата линия, определяща посоката на проектиране, е перпендикулярна на равнината α .

коментар:Както можете да видите от предишното определение, има много прогнози. Други (с изключение на ортогонални) проекции на права линия върху равнина могат да бъдат конструирани, ако правата линия, която определя посоката на проекцията, не е перпендикулярна на равнината. Но това е ортогоналната проекция на права линия върху равнина, с която ще се сблъскаме в проблеми в бъдеще. И ще наричаме ортогоналната проекция просто проекция (както е на чертежа).

определение:Ъгълът между права линия, която не е перпендикулярна на равнина, и тази равнина е ъгълът между права линия и нейната ортогонална проекция върху дадена равнина (ъгълът AOA“ на чертежа по-горе).

Теорема:Ъгълът между права и равнина е най-малкият от всички ъгли, които дадена права образува с прави, лежащи в дадена равнина и минаващи през пресечната точка на правата и равнината.

Определения:

• двустенен ъгълФигура се нарича фигура, образувана от две полуравнини с обща гранична линия и част от пространството, за което тези полуравнини служат като граница.
• Линеен двустенен ъгълНарича се ъгъл, чиито страни са лъчи с общ произход на ръба на двустенния ъгъл, които са начертани в лицата му перпендикулярно на ръба.

По този начин линейният ъгъл на двустенния ъгъл е ъгълът, образуван от пресечната точка на двустенния ъгъл с равнина, перпендикулярна на неговия ръб. Всички линейни ъгли на двустенния ъгъл са равни един на друг. Градусната мярка на двустенния ъгъл е градусната мярка на неговия линеен ъгъл.

Двустенният ъгъл се нарича прав (остър, тъп), ако градусната му мярка е 90° (по-малко от 90°, повече от 90°). В бъдеще, когато решаваме задачи в стереометрията, под двустен ъгъл винаги ще разбираме този линеен ъгъл, чиято градусна мярка отговаря на условието:

Определения:

• Двустенен ъгъл при ръб на полиедър е двустенен ъгъл, чийто ръб съдържа ръба на многостена, а лицата на двустенния ъгъл съдържат лицата на многостена, които се пресичат по дадения ръб на многостена.
• Ъгълът между пресичащите се равнини е ъгълът между прави линии, начертани съответно в тези равнини, перпендикулярни на тяхната пресечна линия през някои от нейните точки.
• Две равнини се наричат ​​перпендикулярни, ако ъгълът между тях е 90°.

Теореми:

• Теорема 1(знак за перпендикулярност на равнините). Ако една от двете равнини минава през права, перпендикулярна на другата равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.
• Теорема 2.Права, лежаща в една от двете перпендикулярни равнини и перпендикулярна на линията, в която те се пресичат, е перпендикулярна на другата равнина.

Симетрия на фигурите

Определения:

1. точки Ми М 1 се наричат симетричен спрямо точка О , ако Ое средата на сегмента ММ 1 .
2. точки Ми М 1 се наричат симетричен спрямо права линия л ако е прав л ММ 1 и перпендикулярна на него.
3. точки Ми М 1 се наричат симетричен спрямо равнината α ако самолетът α минава през средата на сегмента ММ 1 и е перпендикулярна на този сегмент.
4. Точка О(направо л, самолет α ) е наречен център (ос, равнина) на симетрияфигура, ако всяка точка от фигурата е симетрична спрямо точка О(направо л, самолет α ) до някаква точка на същата фигура.
5. Изпъкнал многостен се нарича правилно, ако всичките му лица са правилни многоъгълници, равни един на друг и същият брой ръбове се събират във всеки връх.

Призма

Определения:

1. Призма- полиедър, две лица на който са равни многоъгълници, лежащи в успоредни равнини, а останалите лица са успоредници, които имат общи страни с тези многоъгълници.
2. основания -това са две лица, които са равни многоъгълници, лежащи в успоредни равнини. На чертежа е: А Б В Г Ди KLMNP.
3. Странични лица- всички лица с изключение на основите. Всяка странична страна е задължително успоредник. На чертежа е: ABLK, BCML, CDNM, DEPNи EAKP.
4. Странична повърхност- съюз на странични лица.
5. Пълна повърхност- съединението на основите и страничната повърхност.
6. Странични ребраса общите страни на страничните лица. На чертежа е: АК, БЛ, СМ, DNи ЕП.
7. Височина- сегмент, свързващ основите на призмата и перпендикулярен на тях. На чертежа напр. KR.
8. Диагонал- сегмент, свързващ два върха на призма, които не принадлежат на едно и също лице. На чертежа напр. BP.
9. Диагонална равнинае равнината, минаваща през страничния ръб на призмата и диагонала на основата. Друго определение: диагонална равнина- равнина, минаваща през два странични ръба на призмата, които не принадлежат на едно и също лице.
10. Диагонално сечение- пресечната точка на призмата и диагоналната равнина. В сечението се образува успоредник, включително понякога неговите специални случаи - ромб, правоъгълник, квадрат. На чертежа напр. EBLP.
11. Перпендикулярно (ортогонално) сечение- пресечната точка на призмата и равнината, перпендикулярна на нейния страничен ръб.

Свойства и формули за призма:

• Основите на призмата са равни многоъгълници.
• Страничните стени на призмата са успоредници.
• Страничните ръбове на призмата са успоредни и равни.
• Обем на призматаравна на произведението на нейната височина и площта на основата:

където: Сбаза - площта на основата (на чертежа, например, А Б В Г Д), ч- височина (на чертежа е MN).

• Обща повърхност на призматае равна на сумата от площта на неговата странична повърхност и удвоената площ на основата:

• Перпендикулярното сечение е перпендикулярно на всички странични ръбове на призмата (на чертежа по-долу перпендикулярното сечение е А 2 б 2 ° С 2 д 2 д 2).
• Ъглите на перпендикулярно сечение са линейните ъгли на двустенните ъгли при съответните странични ръбове.
• Перпендикулярно (ортогонално) сечение е перпендикулярно на всички странични лица.
• Обем на наклонена призмае равно на произведението на площта на перпендикулярното сечение и дължината на страничното ребро:

където: Ссек - площта на перпендикулярното сечение, л- дължината на страничното ребро (на чертежа по-долу, например, АА 1 или BB 1 и така нататък).

• Площ на страничната повърхностна произволна призма е равна на произведението на периметъра на перпендикулярното сечение и дължината на страничния ръб:

където: П sec - периметърът на перпендикулярно сечение, ле дължината на страничния ръб.

Видове призми в стереометрията:

• Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на основата, тогава се нарича такава призма косо(на снимката по-горе). Основите на такава призма, както обикновено, са разположени в успоредни равнини, страничните ръбове не са перпендикулярни на тези равнини, а успоредни един на друг. Страничните лица са успоредници.
• - призма, в която всички странични ръбове са перпендикулярни на основата. В права призма страничните ръбове са височините. Страничните стени на права призма са правоъгълници. А площта и периметърът на основата са равни съответно на площта и периметъра на перпендикулярното сечение (за права призма, най-общо казано, цялото перпендикулярно сечение е същата фигура като основата). Следователно площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на основата и дължината на страничния ръб (или в този случай височината на призмата):

където: Поснова - периметърът на основата на права призма, л- дължината на страничния ръб, равна в права призма на височината ( ч). Обемът на права призма се намира по общата формула: V = Сосновен ∙ ч = Сосновен ∙ л.

• Правилна призма- призма, в основата на която лежи правилен многоъгълник (т.е. такъв, в който всички страни и всички ъгли са равни един на друг), а страничните ръбове са перпендикулярни на равнините на основата. Примери за правилни призми:

Свойства на правилната призма:

1. Основите на правилната призма са правилни многоъгълници.
2. Страничните стени на правилната призма са равни правоъгълници.
3. Страничните ръбове на правилната призма са равни един на друг.
4. Правилната призма е права.

Определение: паралелепипед -Това е призма, чиито основи са успоредници. В това определение ключовата дума е "призма". По този начин паралелепипедът е специален случай на призма, който се различава от общия случай само по това, че основата му не е произволен многоъгълник, а паралелограм. Следователно всички горни свойства, формули и определения относно призмата остават актуални за паралелепипеда. Има обаче няколко допълнителни свойства, характерни за паралелепипеда.

Други свойства и определения:

• Две лица на паралелепипед, които нямат общ ръб, се наричат противоположност, и с общ ръб - свързани.
• Наричат ​​се два върха на паралелепипед, които не принадлежат на едно и също лице противоположност.
• Нарича се отсечка, свързваща противоположни върхове диагоналпаралелепипед.
• Паралелепипедът има шест лица и всички те са успоредници.
• Противоположните страни на паралелепипеда са равни и успоредни по двойки.
• Паралелепипедът има четири диагонала; всички те се пресичат в една точка и всяка от тях се разполовява от тази точка.
• Ако четирите странични лица на паралелепипед са правоъгълници (а основите са произволни успоредници), тогава той се нарича директен(в този случай, както при права призма, всички странични ръбове са перпендикулярни на основите). Всички свойства и формули за права призма са приложими за прав паралелепипед.
• Паралелепипедът се нарича косоако не всички негови странични лица са правоъгълници.
• Обем на права или наклонена кутиясе изчислява по общата формула за обем на призма, т.е. е равно на произведението на площта на основата на паралелепипеда и неговата височина ( V = Сосновен ∙ ч).
• Прав паралелепипед, в който и шестте лица са правоъгълници (т.е. освен страничните лица правоъгълници са и основите), се нарича правоъгълен. За паралелепипед са приложими всички свойства на кубоид, както и:
  • ди ребрата му а, b, ° Ссвързани със съотношението:

д 2 = а 2 + b 2 + ° С 2 .

• • От общата формула за обем на призма може да се получи следната формула за обем на кубоид:

• Нарича се правоъгълен паралелепипед, чиито лица са равни квадрати куб. Освен всичко друго, кубът е правилна четириъгълна призма и като цяло правилен многостен. За куб са валидни всички свойства на правоъгълния паралелепипед и свойствата на правилните призми, както и:
  • Абсолютно всички ръбове на куб са равни помежду си.
  • куб диагонал ди дължината на ръба му асвързани със съотношението:

• От формулата за обема на правоъгълен паралелепипед може да се получи следната формула за обем на куба:

Пирамида

Определения:

• Пирамидае полиедър, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх. Според броя на ъглите на основата пирамидите биват триъгълни, четириъгълни и т.н. Фигурата показва примери: четириъгълни и шестоъгълни пирамиди.

• Базае многоъгълник, на който върхът на пирамидата не принадлежи. На чертежа основата е BCDE.
• Лица, различни от основата, се наричат страничен. На чертежа е: ABC, ACD, ADEи AEB.
• Общият връх на страничните лица се нарича върха на пирамидата(именно върха на цялата пирамида, а не само връх, както всички други върхове). На чертежа го А.
• Ръбовете, които свързват върха на пирамидата с върха на основата, се наричат страничен. На чертежа е: AB, AC, ADи AE.
• Обозначавайки пирамидата, първо наричат ​​нейния връх, а след това - върховете на основата. За пирамида от чертеж обозначението ще бъде както следва: А Б В Г Д.

• Височинапирамидинаречен перпендикуляр, прекаран от върха на пирамидата към нейната основа. Дължината на този перпендикуляр се означава с буквата з. На чертежа височината е АГ. Забележка: само ако пирамидата е правилна четириъгълна пирамида (както е на чертежа), височината на пирамидата пада върху диагонала на основата. В други случаи това не е така. В общия случай за произволна пирамида пресечната точка на височината и основата може да бъде навсякъде.
• апотема -височина на страничния ръб правилнопирамида, начертана от върха й. На чертежа напр. AF.
• Диагонално сечение на пирамида- сечение на пирамидата, минаващо през върха на пирамидата и диагонала на основата. На чертежа напр. ACE.

Друг стереометричен чертеж със символи за по-добро запаметяване(на фигурата правилната триъгълна пирамида):

Ако всички странични ръбове ( SA, SB, SC, SDна чертежа по-долу) пирамидите са равни, тогава:

• В близост до основата на пирамидата може да се опише кръг, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център (точка О). С други думи, височина (линия ТАКА), спусната от върха на такава пирамида до основата ( ABCD), попада в центъра на описаната около основата окръжност, т.е. в точката на пресичане на перпендикулярните среди на основата.
• Страничните ребра образуват еднакви ъгли с основната равнина (на чертежа по-долу това са ъглите SAO, SBO, SCO, SDO).

Важно:Обратното също е вярно, т.е. ако страничните ръбове образуват равни ъгли с основната равнина или ако може да се опише кръг близо до основата на пирамидата и върхът на пирамидата се проектира в нейния център, тогава всички страничните ръбове на пирамидата са равни.

Ако страничните повърхности са наклонени към основната равнина под един ъгъл (ъглите DMN, DKN, DLNна чертежа по-долу са равни), тогава:

• В основата на пирамидата може да се впише кръг, а върхът на пирамидата да се проектира в нейния център (точка н). С други думи, височина (линия DN), спусната от върха на такава пирамида до основата, попада в центъра на кръга, вписан в основата, т.е. до точката на пресичане на ъглополовящите на основата.
• Височините на страничните лица (апотемите) са равни. На чертежа по-долу DK, DL, DM- равни апотеми.
• Площта на страничната повърхност на такава пирамидаравна на половината от произведението на периметъра на основата и височината на страничната повърхност (апотема).

където: П- периметър на основата, а- дължина на апотемата.

Важно:Обратното също е вярно, т.е. ако в основата на пирамидата може да се впише окръжност и върхът на пирамидата се проектира в нейния център, тогава всички странични стени са наклонени към основната равнина под същия ъгъл и височините на страничните лица (апотемата) са равни.

Правилна пирамида

определение:Пирамидата се нарича правилно, ако основата му е правилен многоъгълник, а върхът е проектиран в центъра на основата. Тогава той има следните свойства:

• Всички странични ръбове на правилна пирамида са равни.
• Всички странични стени на правилната пирамида са наклонени към равнината на основата под един ъгъл.

Важна забележка:Както можете да видите, правилните пирамиди са едни от тези пирамиди, които включват свойствата, описани малко по-горе. Наистина, ако основата на правилната пирамида е правилен многоъгълник, тогава центърът на вписаната и описаната окръжност съвпадат и върхът на правилната пирамида се проектира точно в този център (по дефиниция). Важно е обаче да разберете това не само правилнопирамидите могат да имат свойствата, споменати по-горе.

• В правилната пирамида всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници.
• Във всяка правилна пирамида можете както да впишете сфера, така и да опишете сфера около нея.
• Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата.

Формули за обем и площ на пирамида

Теорема(върху обема на пирамиди с равни височини и равни площи на основите). Две пирамиди, които имат равни височини и равни площи на основите, имат равни обеми (разбира се, вероятно вече знаете формулата за обема на пирамида, добре, или я виждате няколко реда по-долу и това твърдение ви се струва очевидно, но всъщност, съдейки "на око", тогава тази теорема не е толкова очевидна (вижте фигурата по-долу).Между другото, това важи и за други полиедри и геометрични форми: външният им вид е измамен, следователно, наистина, в математиката вие трябва да се доверявате само на формули и правилни изчисления).

• обем на пирамидатаможе да се изчисли по формулата:

където: Сосновата е площта на основата на пирамидата, че височината на пирамидата.

• Странична повърхност на пирамидатае равна на сумата от площите на страничните стени. За площта на страничната повърхност на пирамидата може формално да се напише следната стереометрична формула:

където: Сстранична повърхност, С 1 , С 2 , С 3 - области на странични лица.

• Пълна повърхност на пирамидатаравна на сумата от площта на страничната повърхност и площта на основата:

Определения:

• - най-простият многостен, чиито лица са четири триъгълника, с други думи, триъгълна пирамида. За тетраедър всяко от лицата му може да служи като основа. Общо тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба.
• Тетраедърът се нарича правилноако всичките му лица са равностранни триъгълници. За правилен тетраедър:
  1. Всички ръбове на правилен тетраедър са равни.
  2. Всички лица на правилен тетраедър са равни едно на друго.
  3. Периметрите, площите, височините и всички други елементи на всички лица са съответно равни помежду си.

Чертежът показва правилен тетраедър, докато триъгълниците ABC, ADC, CBD, лошоса равни. От общите формули за обема и площите на пирамидата, както и знанията от планиметрията, не е трудно да се получат формули за обем и площ на правилен тетраедър(а- дължина на ребрата):

определение:При решаване на задачи по стереометрия се нарича пирамидата правоъгълен, ако един от страничните ръбове на пирамидата е перпендикулярен на основата. В този случай този ръб е височината на пирамидата. По-долу са дадени примери за триъгълни и петоъгълни правоъгълни пирамиди. Картината отляво SAе ръб, който също е височина.

Пресечена пирамида

Дефиниции и свойства:

• пресечена пирамидасе нарича полиедър, затворен между основата на пирамидата и режеща равнина, успоредна на нейната основа.
• Фигурата, получена в пресечната точка на режещата равнина и оригиналната пирамида, също се нарича базапресечена пирамида. И така, пресечената пирамида на чертежа има две основи: ABCи А 1 б 1 ° С 1 .
• Страничните стени на пресечената пирамида са трапецовидни. На чертежа напр. АА 1 B1б.
• Страничните ръбове на пресечена пирамида се наричат ​​части от ръбовете на оригиналната пирамида, затворени между основите. На чертежа напр. АА 1 .
• Височината на пресечена пирамида е перпендикуляр (или дължината на този перпендикуляр), прекаран от някаква точка в равнината на едната основа към равнината на другата основа.
• Пресечената пирамида се нарича правилно, ако е полиедър, който е отсечен от равнина, успоредна на основата правилнопирамиди.
• Основите на правилната пресечена пирамида са правилни многоъгълници.
• Страничните стени на правилната пресечена пирамида са равнобедрени трапеци.
• апотемаправилна пресечена пирамида се нарича височината на нейното странично лице.
• Площта на страничната повърхност на пресечена пирамида е сумата от площите на всичките й странични лица.

Формули за пресечена пирамида

Обемът на пресечената пирамида е:

където: С 1 и С 2 - базови площи, че височината на пресечената пирамида. На практика обаче е по-удобно да търсите обема на пресечена пирамида, както следва: можете да завършите пресечената пирамида до пирамидата, като разширите страничните ръбове до пресечната точка. Тогава обемът на пресечената пирамида може да се намери като разликата между обемите на цялата пирамида и завършената част. Площта на страничната повърхност може също да се намери като разликата между площите на страничната повърхност на цялата пирамида и завършената част. Странична повърхност на правилна пресечена пирамидае равно на полупроизведението на сбора от периметрите на основите и апотемата:

където: П 1 и П 2 - базови периметри правилнопресечена пирамида, а- дължина на апотемата. Общата площ на всяка пресечена пирамида очевидно се намира като сумата от площите на основите и страничната повърхност:

Пирамида и топка (сфера)

Теорема:Около пирамидата опишете обхватакогато в основата на пирамидата лежи вписан многоъгълник (т.е. многоъгълник, около който може да се опише сфера). Това условие е необходимо и достатъчно. Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнините, минаващи през средните точки на ръбовете на пирамидата, перпендикулярни на тях.

Забележка: От тази теорема следва, че сфера може да бъде описана както около всяка триъгълна, така и около всяка правилна пирамида. Но списъкът с пирамиди, в близост до които може да се опише сфера, не се ограничава до тези типове пирамиди. На чертежа вдясно, на височина SHтрябва да изберете точка О, на еднакво разстояние от всички върхове на пирамидата: ТАКА = ОВ = операционна система = OD = ОА. Тогава точката Ое центърът на описаната сфера.

Теорема:Можете в пирамидата впишете сферакогато симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

коментар:Явно не си разбрал какво си прочел на горния ред. Важно е обаче да запомните това всяка правилна пирамида е тази, в която може да бъде вписана сфера. В същото време списъкът от пирамиди, в които може да бъде вписана сфера, не се изчерпва с правилните.

Определение: Симетрална равнинаразделя двустенния ъгъл наполовина и всяка точка от равнината на ъглополовящата е на еднакво разстояние от лицата, образуващи двустенния ъгъл. Фигурата в дясната равнина γ е равнината на ъглополовящата на двустенния ъгъл, образуван от равнините α и β .

Стереометричният чертеж по-долу показва топка, вписана в пирамида (или пирамида, описана близо до топката), докато точката Ое центърът на вписаната сфера. Тази точка Она еднакво разстояние от всички лица на топката, например:

ОМ = ОО 1

пирамида и конус

В стереометрията конус се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат, а основата му е вписана в основата на пирамидата. Освен това е възможно да се впише конус в пирамида само когато апотемите на пирамидата са равни една на друга (необходимо и достатъчно условие).

Конусът се нарича вписан близо до пирамидатакогато върховете им съвпадат, а основата му е описана близо до основата на пирамидата. Освен това е възможно да се опише конус близо до пирамидата само когато всички странични ръбове на пирамидата са равни един на друг (необходимо и достатъчно условие).

Важно свойство:

пирамида и цилиндър

За цилиндъра се казва, че е вписан в пирамида, ако едната му основа съвпада с окръжността на равнина, вписана в сечението на пирамидата, успоредна на основата, а другата основа принадлежи на основата на пирамидата.

Казва се, че цилиндърът е описан близо до пирамидата, ако върхът на пирамидата принадлежи на една от нейните основи, а другата й основа е описана близо до основата на пирамидата. Освен това е възможно да се опише цилиндър близо до пирамидата само когато в основата на пирамидата има вписан многоъгълник (необходимо и достатъчно условие).

Сфера и топка

Определения:

1. Сфера- затворена повърхност, геометричното място на точките в пространството, еднакво отдалечени от дадена точка, т.нар центъра на сферата. Сферата също е тяло на въртене, образувано от въртенето на полукръг около неговия диаметър. радиус на сфератасе нарича сегмент, свързващ центъра на сферата с произволна точка от сферата.
2. хордойсфера е сегмент, който свързва две точки от сферата.
3. диаметърсфера се нарича хорда, минаваща през нейния център. Центърът на сфера разделя всеки от нейните диаметри на два равни сегмента. Всеки диаметър на сферата с радиус Ре 2 Р.
4. Топка- геометрично тяло; съвкупността от всички точки в пространството, които са на разстояние не по-голямо от определено разстояние от определен център. Това разстояние се нарича радиус на топката. Топката се формира чрез въртене на полукръг около фиксирания й диаметър. Забележка:повърхността (или границата) на една сфера се нарича сфера. Възможно е да се даде следното определение за топка: геометрично тяло се нарича топка, състояща се от сфера и част от пространството, ограничено от тази сфера.
5. Радиус, акорди диаметъртопка се наричат ​​радиус, хорда и диаметър на сферата, която е границата на тази топка.
6. Разликата между топка и сфера е подобна на разликата между кръг и кръг. Кръгът е права, а окръжността също е всички точки вътре в тази права. Сферата е обвивка, а топката също са всички точки вътре в тази обвивка.
7. Равнината, минаваща през центъра на сферата (топката), се нарича диаметрална равнина.
8. Сечение на сфера (топка) с диаметрална равнина се нарича голям кръг (голям кръг).

Теореми:

• Теорема 1(върху сечението на сфера с равнина). Сечението на сфера с равнина е окръжност. Обърнете внимание, че твърдението на теоремата остава вярно дори ако равнината минава през центъра на сферата.
• Теорема 2(върху сечението на сфера с равнина). Сечението на топка с равнина е окръжност, а основата на перпендикуляра, прекаран от центъра на топката към равнината на сечението, е центърът на окръжността, получена в сечението.

Най-големият кръг от тези, които могат да бъдат получени в сечение на дадена топка от равнина, лежи в сечение, минаващо през центъра на топката О. Нарича се големият кръг. Неговият радиус е равен на радиуса на сферата. Всякакви две големи окръжности се пресичат в диаметъра на топката AB. Този диаметър е и диаметърът на пресичащите се големи окръжности. През две точки на сферична повърхност, разположени в краищата на същия диаметър (на фиг. Аи б), можете да нарисувате безкраен брой големи кръгове. Например, през полюсите на Земята могат да бъдат начертани безкраен брой меридиани.

Определения:

1. Допирателна равнина към сферасе нарича равнина, която има само една обща точка със сферата, а тяхната обща точка се нарича допирна точка на равнината и сферата.
2. Допирателна равнина към топкатасе нарича допирателната равнина към сферата, която е границата на тази топка.
3. Всяка права, лежаща в допирателната равнина на сферата (топката) и минаваща през точката на контакт, се нарича допирателна към права линия към сфера (топка). По дефиниция допирателната равнина има само една обща точка със сферата, следователно допирателната също има само една обща точка със сферата - точката на контакт.

Теореми:

• Теорема 1(признак на допирателната равнина към сферата). Равнина, перпендикулярна на радиуса на сферата и минаваща през нейния край, лежащ върху сферата, докосва сферата.
• Теорема 2(за свойството на допирателната равнина към сферата). Допирателната равнина към сферата е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на контакт.

Полиедри и сфера

определение:В стереометрията се нарича полиедър (като пирамида или призма). вписан в обхватаако всичките му върхове лежат на сфера. В този случай сферата се нарича описана близо до полиедър (пирамиди, призми). По същия начин: полиедърът се нарича вписан в топкаако всички негови върхове лежат на границата на тази топка. В този случай се казва, че топката е вписана близо до полиедъра.

Важно свойство: Центърът на сферата, описана около многостена, е на разстояние, равно на радиуса Рсфери, от всеки връх на полиедъра.Ето примери за полиедри, вписани в сферата:

определение:Полиедърът се нарича описано за сферата (топката), ако сферата (топката) се докосне всичколица на полиедър. В този случай сферата и топката се наричат ​​вписани в полиедъра.

Важно: Центърът на сфера, вписана в многостен, е на разстояние, равно на радиуса rсфери, от всяка от равнините, съдържащи лицата на многостена.Ето примери за полиедри, описани близо до сферата:

Обем и повърхност на сфера

Теореми:

• Теорема 1(относно площта на сферата). Площта на една сфера е:

където: Ре радиусът на сферата.

• Теорема 2(относно обема на топката). Обемът на сфера с радиус Ризчислено по формулата:

Топка сегмент, пласт, сектор

В стереометрията топка сегментнаречена част от топката, отсечена от режещата равнина. В този случай съотношението между височината, радиуса на основата на сегмента и радиуса на топката:

където: ч− височина на сегмента, r− радиус на основата на сегмента, Р− радиус на топката. Площта на основата на сферичния сегмент:

Площта на външната повърхност на сферичния сегмент:

Пълна площ на сегмента на топката:

Обем на сегмента на топката:

В стереометрията сферичен слойЧастта от сфера, затворена между две успоредни равнини, се нарича. Площта на външната повърхност на сферичния слой:

където: че височината на сферичния слой, Р− радиус на топката. Пълна повърхност на сферичния слой:

където: че височината на сферичния слой, Р− радиус на топката, r 1 , r 2 са радиусите на основите на сферичния слой, С 1 , С 2 са площите на тези бази. Обемът на един сферичен слой се намира най-просто като разликата между обемите на два сферични сегмента.

В стереометрията сектор за топкачаст от топката, състояща се от сферичен сегмент и конус с връх в центъра на топката и основа, съвпадаща с основата на сферичния сегмент. Тук се приема, че сегментът на топката е по-малък от половината на топката. Пълна повърхност на сферичния сектор:

където: че височината на съответния сферичен сегмент, rе радиусът на основата на сферичния сегмент (или конуса), Р− радиус на топката. Обемът на сферичния сектор се изчислява по формулата:

Определения:

1. В някаква равнина разгледайте кръг с център Ои радиус Р. През всяка точка от окръжността начертаваме линия, перпендикулярна на равнината на окръжността. Цилиндрична повърхностсе нарича фигурата, образувана от тези линии, а самите линии се наричат образувайки цилиндрична повърхност. Всички генератори на цилиндричната повърхност са успоредни една на друга, тъй като са перпендикулярни на равнината на окръжността.

1. Прав кръгъл цилиндърили просто цилиндърнаречено геометрично тяло, ограничено от цилиндрична повърхност и две успоредни равнини, които са перпендикулярни на генераторите на цилиндричната повърхност. Неофициално можете да мислите за цилиндър като за права призма с кръг в основата. Това ще ви помогне лесно да разберете и, ако е необходимо, да извлечете формули за обема и площта на страничната повърхност на цилиндъра.
2. Странична повърхност на цилиндърасе нарича частта от цилиндричната повърхност, разположена между режещите равнини, които са перпендикулярни на нейната генератриса, а частите (кръгове), отрязани от цилиндричната повърхност на успоредни равнини, се наричат цилиндрови основи. Основите на цилиндъра са две равни окръжности.
3. Образуваща на цилиндърнарича сегмент (или дължината на този сегмент) от генератора на цилиндрична повърхност, разположена между успоредни равнини, в които лежат основите на цилиндъра. Всички образуващи на цилиндъра са успоредни и равни една на друга, а също и перпендикулярни на основите.
4. Ос на цилиндъранарича сегмент, свързващ центровете на окръжностите, които са основите на цилиндъра.
5. височина на цилиндъранаречен перпендикуляр (или дължината на този перпендикуляр), изтеглен от някаква точка в равнината на едната основа на цилиндъра към равнината на другата основа. В цилиндър височината е равна на образуващата.
6. Радиус на цилиндърасе нарича радиус на неговите основи.
7. Цилиндърът се нарича равностраненако височината му е равна на диаметъра на основата.
8. Цилиндър може да се получи чрез завъртане на правоъгълник около една от страните му на 360°.
9. Ако режещата равнина е успоредна на оста на цилиндъра, тогава сечението на цилиндъра е правоъгълник, две страни на който са генератори, а другите две са акордите на основите на цилиндъра.
10. Аксиално сечениеЦилиндърът е сечение на цилиндър от равнина, минаваща през неговата ос. Аксиалното сечение на цилиндъра е правоъгълник, две страни на който са образуващи на цилиндъра, а другите две са диаметрите на неговите основи.
11. Ако режещата равнина е перпендикулярна на оста на цилиндъра, тогава в сечението, равно на основите, се образува кръг. На чертежа по-долу: вляво - аксиален разрез; в центъра - участък, успореден на оста на цилиндъра; отдясно - разрез, успореден на основата на цилиндъра.

Цилиндър и призма

Казва се, че призмата е вписана в цилиндърако основите му са вписани в основите на цилиндъра. В този случай се казва, че цилиндърът е описан около призма. Височината на призмата и височината на цилиндъра в този случай ще бъдат равни. Всички странични ръбове на призмата ще принадлежат към страничната повърхност на цилиндъра и ще съвпадат с неговите генератори. Тъй като под цилиндър имаме предвид само прав цилиндър, в такъв цилиндър може да бъде вписана и само права призма. Примери:

Казва се, че призмата е описана около цилиндър, ако основите му са описани близо до основите на цилиндъра. В този случай се казва, че цилиндърът е вписан в призма. Височината на призмата и височината на цилиндъра в този случай също ще бъдат равни. Всички странични ръбове на призмата ще бъдат успоредни на образуващата на цилиндъра. Тъй като под цилиндър разбираме само прав цилиндър, такъв цилиндър може да бъде вписан само в права призма. Примери:

Цилиндър и сфера

Сфера (топка) се нарича вписана в цилиндърако докосне основите на цилиндъра и всеки от неговите генератори. В този случай цилиндърът се нарича описан около сфера (топка). Сфера може да бъде вписана в цилиндър само ако е равностранен цилиндър, т.е. неговият основен диаметър и височина са равни. Центърът на вписаната сфера ще бъде средата на оста на цилиндъра, а радиусът на тази сфера ще съвпадне с радиуса на цилиндъра. Пример:

За цилиндъра се казва, че е вписан в сфера, ако окръжностите на основите на цилиндъра са сечения на сферата. Казва се, че цилиндър е вписан в сфера, ако основите на цилиндъра са секции на сферата. В този случай топката (сферата) се нарича вписана близо до цилиндъра. Около всеки цилиндър може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде и средата на оста на цилиндъра. Пример:

Въз основа на Питагоровата теорема е лесно да се докаже следната формула, свързваща радиуса на описаната сфера ( Р), височина на цилиндъра ( ч) и радиус на цилиндъра ( r):

Обем и площ на страничните и пълните повърхности на цилиндъра

Теорема 1(за площта на страничната повърхност на цилиндъра): Площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на произведението на обиколката на основата му и височината:

където: Ре радиусът на основата на цилиндъра, ч- неговото високо. Тази формула лесно се извлича (или доказва) въз основа на формулата за страничната повърхност на права призма.

Пълна повърхност на цилиндъра, както обикновено в стереометрията, е сумата от площите на страничната повърхност и двете основи. Площта на всяка основа на цилиндъра (т.е. само площта на кръг) се изчислява по формулата:

Следователно общата повърхност на цилиндъра Спълен цилиндър се изчислява по формулата:

Теорема 2(за обема на цилиндър): Обемът на цилиндър е равен на произведението от площта на основата и височината:

където: Ри чса съответно радиуса и височината на цилиндъра. Тази формула също така лесно се извежда (доказва) въз основа на формулата за обем на призма.

Теорема 3(Архимед): Обемът на една сфера е един и половина пъти по-малък от обема на цилиндъра, описан около нея, а повърхността на такава топка е един и половина пъти по-малка от общата повърхност на ​същият цилиндър:

Конус

Определения:

1. Конус (по-точно кръгъл конус)наречено тяло, което се състои от кръг (нар основа на конус), точка, която не лежи в равнината на тази окръжност (наречена върха на конуса) и всички възможни сегменти, свързващи върха на конуса с точките на основата. Неформално можете да възприемете конуса като правилна пирамида, която има кръг в основата. Това ще ви помогне лесно да разберете и, ако е необходимо, да извлечете формули за обема и площта на страничната повърхност на конуса.

1. Отсечките (или техните дължини), свързващи върха на конуса с точките на окръжността на основата, се наричат образувайки конус. Всички образуващи на прав кръгов конус са равни една на друга.
2. Повърхността на конуса се състои от основата на конуса (окръжността) и страничната повърхност (съставена от всички възможни образуващи).
3. Обединението на образуващите на конус се нарича образуваща (или странична) повърхност на конуса. Образуващата на конуса е конична повърхнина.
4. Конусът се нарича директенако правата, свързваща върха на конуса с центъра на основата, е перпендикулярна на равнината на основата. По-нататък ще разглеждаме само десния конус, наричайки го просто конус за краткост.
5. Нагледно прав кръгов конус може да си представим като тяло, получено чрез въртене на правоъгълен триъгълник около катета му като ос. В този случай страничната повърхност на конуса се образува от въртенето на хипотенузата, а основата се образува от въртенето на крака, който не е ос.
6. радиус на конусанаречен радиус на основата му.
7. височина на конусанаречен перпендикуляр (или неговата дължина), спуснат от върха му до равнината на основата. За прав конус основата на височината съвпада с центъра на основата. Оста на прав кръгов конус е права линия, съдържаща неговата височина, т.е. права линия, минаваща през центъра на основата и горната част.
8. Ако режещата равнина минава през оста на конуса, тогава сечението е равнобедрен триъгълник, чиято основа е диаметърът на основата на конуса, а страните са генератора на конуса. Такъв разрез се нарича аксиален.

1. Ако режещата равнина минава през вътрешната точка на височината на конуса и е перпендикулярна на нея, тогава сечението на конуса е кръг, центърът на който е пресечната точка на височината и тази равнина.
2. Височина ( ч), радиус ( Р) и дължината на образуващата ( л) на прав кръгов конус отговарят на очевидното съотношение:

Обем и площ на страничните и пълните повърхности на конуса

Теорема 1(върху областта на страничната повърхност на конуса). Площта на страничната повърхност на конуса е равна на произведението на половината от обиколката на основата и генератора:

където: Ре радиусът на основата на конуса, ле дължината на образуващата на конуса. Тази формула лесно се извежда (или доказва) въз основа на формулата за страничната повърхност на правилна пирамида.

Пълна повърхност на конусае сумата от площта на страничната повърхност и площта на основата. Площта на основата на конуса (т.е. само площта на кръга) е: Сбаза = πR 2. Следователно общата повърхност на конуса Спълен конус се изчислява по формулата:

Теорема 2(върху обема на конус). Обемът на конус е равен на една трета от основната площ, умножена по височината:

където: Ре радиусът на основата на конуса, ч- неговото високо. Тази формула също така лесно се извежда (доказва) въз основа на формулата за обема на пирамидата.

Определения:

1. Равнина, успоредна на основата на конус и пресичаща конуса, отрязва по-малък конус от него. Останалото се нарича пресечен конус.

1. Основата на първоначалния конус и окръжността, получена в сечението на този конус с равнина, се наричат основания, а сегментът, свързващ центровете им - височина на пресечен конус.
2. Правата, минаваща през височината на пресечения конус (т.е. през центровете на основите му), е неговата ос.
3. Частта от страничната повърхност на конуса, която ограничава пресечения конус, се нарича негова странична повърхност, а сегментите от образуващата на конуса, разположени между основите на пресечения конус, се наричат ​​негови генериране.
4. Всички образуващи на пресечен конус са равни една на друга.
5. Пресечен конус може да се получи чрез завъртане на правоъгълен трапец на 360° около неговата страна, перпендикулярна на основите.

Формули за пресечен конус:

Обемът на пресечен конус е равен на разликата между обемите на пълен конус и конус, отсечен от равнина, успоредна на основата на конуса. Обемът на пресечен конус се изчислява по формулата:

където: С 1 = π r 1 2 и С 2 = π r 2 2 - площи на бази, че височината на пресечения конус, r 1 и r 2 - радиуси на горната и долната основа на пресечения конус. На практика обаче все още е по-удобно да се търси обемът на пресечен конус като разликата между обемите на оригиналния конус и отрязаната част. Площта на страничната повърхност на пресечен конус може също да бъде намерена като разликата между площите на страничната повърхност на оригиналния конус и отрязаната част.

Всъщност площта на страничната повърхност на пресечен конус е равна на разликата между площите на страничните повърхности на пълен конус и конус, отрязан от равнина, успоредна на основата на конуса. Площ на страничната повърхност на пресечен конусизчислено по формулата:

където: П 1 = 2π r 1 и П 2 = 2π r 2 - периметри на основите на пресечен конус, л- дължината на образуващата. Обща площ на пресечен конус, очевидно, се намира като сума от площите на основите и страничната повърхност:

Моля, обърнете внимание, че формулите за обема и площта на страничната повърхност на пресечен конус са получени от формули за подобни характеристики на правилна пресечена пирамида.

Конус и сфера

За конус се казва, че е вписан в сфера(топка), ако нейният връх принадлежи на сферата (границата на топката), а обиколката на основата (самата основа) е сечение на сферата (топката). В този случай сферата (топката) се нарича описана близо до конуса. Около прав кръгов конус винаги може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще лежи на права линия, съдържаща височината на конуса, а радиусът на тази сфера ще бъде равен на радиуса на окръжността, описана около аксиалното сечение на конуса (този участък е равнобедрен триъгълник) . Примери:

Сфера (топка) се нарича вписана в конус, ако сферата (топката) докосне основата на конуса и всяка от неговите образуващи. В този случай конусът се нарича вписан близо до сферата (топката). Сфера винаги може да бъде вписана в прав кръгов конус. Центърът му ще лежи на височината на конуса, а радиусът на вписаната сфера ще бъде равен на радиуса на окръжността, вписана в аксиалното сечение на конуса (това сечение е равнобедрен триъгълник). Примери:

Конус и пирамида

• Конус се нарича вписан в пирамида (пирамида е описана близо до конус), ако основата на конуса е вписана в основата на пирамидата и върховете на конуса и пирамидата съвпадат.
• Пирамида се нарича вписана в конус (конус е описан близо до пирамида), ако нейната основа е вписана в основата на конуса, а страничните ръбове са генератори на конуса.
• Височините на такива конуси и пирамиди са равни една на друга.

Забележка: Повече подробности за това как в твърдата геометрия конусът се вписва в пирамида или се описва близо до пирамида, вече бяха обсъдени в

Как да се подготвим успешно за КТ по ​​физика и математика?

За да се подготвите успешно за КТ по ​​физика и математика, освен всичко друго, трябва да бъдат изпълнени три критични условия:

1. Проучете всички теми и изпълнете всички тестове и задачи, дадени в учебните материали на този сайт. За да направите това, не ви трябва абсолютно нищо, а именно: всеки ден да отделяте три до четири часа за подготовка за CT по физика и математика, изучаване на теория и решаване на задачи. Факт е, че CT е изпит, при който не е достатъчно само да знаете физика или математика, трябва също така да можете бързо и без грешки да решавате голям брой задачи по различни теми и различна сложност. Последното може да се научи само чрез решаване на хиляди проблеми.
2. Научете всички формули и закони във физиката и формули и методи в математиката. Всъщност също е много лесно да се направи това, има само около 200 необходими формули във физиката и дори малко по-малко в математиката. Във всеки от тези предмети има около дузина стандартни методи за решаване на проблеми с основно ниво на сложност, които също могат да бъдат научени и по този начин напълно автоматично и без затруднения да се реши по-голямата част от дигиталната трансформация в точното време. След това ще трябва да мислите само за най-трудните задачи.
3. Явете се и на трите етапа на репетиционното изпитване по физика и математика. Всеки RT може да бъде посетен два пъти, за да се решат и двете опции. Отново, на DT, в допълнение към способността за бързо и ефективно решаване на проблеми и познаването на формули и методи, е необходимо също да можете да планирате правилно времето, да разпределяте силите и най-важното да попълвате правилно формуляра за отговор , без да бъркате нито номерата на отговорите и задачите, нито собственото си име. Освен това по време на RT е важно да свикнете със стила на задаване на въпроси в задачите, което може да изглежда много необичайно за неподготвен човек на DT.

Успешното, усърдно и отговорно изпълнение на тези три точки ще ви позволи да покажете отличен резултат на CT, максимума от това, на което сте способни.

Открихте грешка?

Ако, както ви се струва, сте намерили грешка в учебните материали, моля, пишете за това по пощата. Можете също да пишете за грешката в социалната мрежа (). В писмото посочете предмета (физика или математика), името или номера на темата или теста, номера на задачата или мястото в текста (страницата), където според вас има грешка. Също така опишете каква е предполагаемата грешка. Писмото ви няма да остане незабелязано, грешката или ще бъде коригирана, или ще ви бъде обяснено защо не е грешка.

\((\color(red)(\textbf(Факт 1. За успоредните прави)))\)
\(\bullet\) Две прави в пространството са успоредни, ако лежат в една равнина и не се пресичат.
\(\bullet\) Има само една равнина, минаваща през две успоредни прави.
\(\bullet\) Ако една от двете успоредни прави пресича равнина, тогава другата права също пресича тази равнина.
\(\bullet\) Ако правата \(a\) е успоредна на правата \(b\) , която от своя страна е успоредна на правата \(c\) , тогава \(a\паралелно c\) .
\(\bullet\) Нека равнината \(\alpha\) и \(\beta\) се пресичат по правата \(a\), равнините \(\beta\) и \(\pi\) се пресичат по правата линия \(b \) , равнините \(\pi\) и \(\alpha\) се пресичат по правата \(p\) . Тогава ако \(a\паралелно b\) , тогава \(p\паралелно a\) (или \(p\паралелно b\) ):

\((\color(red)(\textbf(Факт 2. За успоредността на права и равнина)))\)
\(\bullet\) Има три вида взаимно разположение на права и равнина:
1. правата има две общи точки с равнината (т.е. лежи в равнината);
2. правата има точно една обща точка с равнината (т.е. пресича равнината);
3. правата няма общи точки с равнината (т.е. тя е успоредна на равнината).
\(\bullet\) Ако права \(a\), която не лежи в равнината \(\pi\), е успоредна на някаква права \(p\), лежаща в равнината \(\pi\), тогава тя е успоредна към дадената равнина.

\(\bullet\) Нека правата \(p\) е успоредна на равнината \(\mu\) . Ако равнината \(\pi\) минава през правата \(p\) и пресича равнината \(\mu\) , тогава пресечната линия на равнините \(\pi\) и \(\mu\) е правата \(m\) - успоредна на правата \(p\) .

\((\color(red)(\textbf(Факт 3. За успоредните равнини)))\)
\(\bullet\) Ако две равнини нямат общи точки, тогава те се наричат ​​успоредни равнини.
\(\bullet\) Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина, тогава тези равнини ще бъдат успоредни.

\(\bullet\) Ако две успоредни равнини \(\alpha\) и \(\beta\) се пресичат от трета равнина \(\gamma\) , тогава пресечните линии на равнините също са успоредни: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

\(\bullet\) Отсечки от успоредни прави, затворени между успоредни равнини, са равни на: \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]

\((\color(red)(\textbf(Факт 4. За пресичащите се прави)))\)
\(\bullet\) Две прави в пространството се наричат ​​пресичащи се, ако не лежат в една и съща равнина.
\(\bullet\) знак:
Нека правата \(l\) лежи в равнината \(\lambda\) . Ако правата \(s\) пресича равнината \(\lambda\) в точка \(S\), която не лежи на правата \(l\), тогава правите \(l\) и \(s\) пресичат се.

\(\bullet\) алгоритъм за намиране на ъгъла между косите линии \(a\) и \(b\):

Стъпка 2. В равнината \(\pi\) намерете ъгъла между правите \(a\) и \(p\) (\(p\паралел b\) ). Ъгълът между тях ще бъде равен на ъгъла между наклонените прави \(a\) и \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(Факт 5. За перпендикулярността на права и равнина)))\)
\(\bullet\) Правата се нарича перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на която и да е права в тази равнина.
\(\bullet\) Ако две прави са перпендикулярни на равнина, те са успоредни.
\(\bullet\) Знак: ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в дадена равнина, тогава тя е перпендикулярна на тази равнина.

\((\color(red)(\textbf(Факт 6. За разстоянията)))\)
\(\bullet\) За да намерите разстоянието между успоредни прави, трябва да пуснете перпендикуляр от всяка точка на една права към друга права. Дължината на перпендикуляра е разстоянието между тези прави.
\(\bullet\) За да намерите разстоянието между равнина и успоредна на нея права, трябва да пуснете перпендикуляр към тази равнина от всяка точка на правата. Дължината на перпендикуляра е разстоянието между тази права и равнината.
\(\bullet\) За да намерите разстоянието между успоредни равнини, трябва да спуснете перпендикуляра към другата равнина от всяка точка на една равнина. Дължината на този перпендикуляр е разстоянието между успоредните равнини.
\(\bullet\) алгоритъм за намиране на разстоянието между косите линии \(a\) и \(b\):
Стъпка 1. През една от двете пресичащи се прави \(a\) начертайте равнина \(\pi\), успоредна на другата права \(b\) . Как се прави: начертайте равнината \(\beta\) през правата \(b\), така че да пресича правата \(a\) в точката \(P\) ; начертайте права през точката \(P\) \(p\паралел b\) ; тогава равнината, минаваща през \(a\) и \(p\), е равнината \(\pi\) .
Стъпка 2. Намерете разстоянието от всяка точка на правата \(b\) до равнината \(\pi\) . Това разстояние е разстоянието между косите линии \(a\) и \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(Факт 7. За теоремата за трите перпендикуляра (TTP))))\)
\(\bullet\) Нека \(AH\) е перпендикулярът на равнината \(\beta\) . Нека \(AB, BH\) е наклонена линия и нейната проекция върху равнината \(\beta\) . Тогава правата \(x\) в равнината \(\beta\) ще бъде перпендикулярна на наклонената ако и само ако е перпендикулярна на проекцията: \[\begin(aligned) &1. AH\perp \beta, \AB\perp x\quad \Rightarrow\quad BH\perp x\\ &2. AH\perp \beta, \ BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp x\end(aligned)\]

Обърнете внимание, че правата \(x\) не трябва да минава през точката \(B\) . Ако не минава през точката \(B\) , тогава се построява права \(x"\), минаваща през точката \(B\) и успоредна на \(x\) . Ако например \( x"\perp BH\ ) , тогава и \(x\perp BH\) .

\((\color(red)(\textbf(Факт 8. За ъгъла между права и равнина, както и за ъгъла между равнините)))\)
\(\bullet\) Ъгълът между наклонена права и равнина е ъгълът между тази права и нейната проекция върху дадената равнина. Така този ъгъл приема стойности от интервала \((0^\circ;90^\circ)\) .
Ако правата лежи в равнина, тогава ъгълът между тях се счита за равен на \(0^\circ\) . Ако правата е перпендикулярна на равнината, тогава, въз основа на определението, ъгълът между тях е \(90^\circ\) .
\(\bullet\) За да намерите ъгъла между наклонена права и равнина, е необходимо да отбележите точка \(A\) на тази права и да начертаете перпендикуляр \(AH\) към равнината. Ако \(B\) е пресечната точка на правата с равнината, тогава \(\angle ABH\) е желаният ъгъл.

\(\bullet\) За да намерите ъгъла между равнините \(\alpha\) и \(\beta\) , можете да използвате следния алгоритъм:
Маркирайте произволна точка \(A\) в равнината \(\alpha\) .
Начертайте \(AH\perp h\) , където \(h\) е пресечната линия на равнините.
Начертайте \(AB\) перпендикулярно на равнината \(\beta\) .
Тогава \(AB\) е перпендикуляр на равнината \(\beta\) , \(AH\) е наклонен, следователно \(HB\) е проекция. След това чрез TTP \(HB\perp h\) .
Следователно \(\angle AHB\) е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между равнините. Градусната мярка на този ъгъл е градусната мярка на ъгъла между равнините.

Обърнете внимание, че имаме правоъгълен триъгълник \(\триъгълник AHB\) (\(\ъгъл B=90^\circ\) ). Като правило е удобно да се намери \(\ъгъл AHB\) от него.

\((\color(red)(\textbf(Факт 9. За перпендикулярността на равнините)))\)
\(\bullet\) Знак: ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, тогава тя е перпендикулярна на тази равнина. \

\(\bullet\) Обърнете внимание, че тъй като има безкрайно много равнини през \(a\), има безкрайно много равнини, перпендикулярни на \(\beta\) (и минаващи през \(a\)).

За да се реши адекватно изпитът по математика, на първо място е необходимо да се изучи теоретичният материал, който въвежда множество теореми, формули, алгоритми и т.н. На пръв поглед може да изглежда, че това е доста просто. Но намирането на източник, в който теорията за Единния държавен изпит по математика е представена лесно и разбираемо за ученици с всякакво ниво на обучение, всъщност е доста трудна задача. Училищните учебници не винаги могат да бъдат под ръка. А намирането на основните формули за изпита по математика може да бъде трудно дори в интернет.

Защо е толкова важно да се учи теория по математика, не само за тези, които се явяват на изпит?

1. Защото разширява хоризонтите ви. Изучаването на теоретичен материал по математика е полезно за всеки, който иска да получи отговори на широк кръг от въпроси, свързани с познанието за света. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Именно това е отразено в науката, чрез която е възможно да се разбере света.
2. Защото развива интелекта. Изучавайки справочни материали за изпита по математика, както и решавайки различни задачи, човек се научава да мисли и разсъждава логично, да формулира мисли правилно и ясно. Той развива способността да анализира, обобщава, прави изводи.

Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход към систематизирането и представянето на учебни материали.

Видео курсът "Get an A" включва всички теми, необходими за успешното полагане на изпита по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профила USE по математика. Подходящ и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със сто точки, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, капани и тайни на изпита. Всички съответни задачи от част 1 от задачите на Банката на FIPI са анализирани. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове USE задачи. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на комплексни задачи от 2-ра част на изпита.