Някои дефиниции:

1. Полиедъре геометрично тяло, ограничено от краен брой плоски многоъгълници, всеки два от които, имайки обща страна, не лежат в една и съща равнина. В този случай самите многоъгълници се наричат ​​лица, техните страни са ръбове на полиедъра, а върховете им са върхове на многогранника.
2. Фигурата, образувана от всички лица на полиедър, се нарича неговата повърхност ( пълна повърхност), а сборът от площите на всичките му лица е (пълна) площ.
3. е полиедър с шест лица, които са равни квадрати. Страните на квадратите се наричат ​​ръбове на куба, а върховете се наричат ​​върхове на куба.
4. е полиедър, който има шест лица и всяка от тях е успоредник. Страните на паралелограмите се наричат ​​ръбове на паралелепипеда, а техните върхове се наричат ​​върхове на паралелепипеда. Двете страни на паралелепипед се наричат противоположно, ако нямат общ ръб и се наричат ​​тези, които имат общ ръб свързани. Понякога се избират и извикват всякакви две противоположни страни на паралелепипеда основания, след това останалите лица странични лица, а техните страни, свързващи върховете на основите на паралелепипеда, са неговите странични ребра.
5. Десен паралелепипед- това е паралелепипед, чиито странични лица са правоъгълници. е паралелепипед, чиито лица са всички правоъгълници. Забележете, че всеки кубоид е кубоид, но не всеки кубоид е кубоид.
6. противоположно. Нарича се отсечка, свързваща противоположни върхове на паралелепипед диагоналпаралелепипед. Паралелепипедът има само четири диагонала.
7. призма ( н- въглища)е полиедър, чиито две лица са равни н-гони и останалото нлицата са успоредни. Равно н-гоните се наричат основания, и паралелограмите страничните повърхности на призмата- това е такава призма, в която страничните лица са правоъгълници. правилно н- въглеродна призма- това е призма, в която всички странични лица са правоъгълници, а основите й са правилни н-гончета.
8. Сборът от площите на страничните страни на призмата се нарича неговата странична повърхност(означено Сстрана). Сборът от площите на всички лица на призмата се нарича площ на призмата(означено Спълен).
9. пирамида ( н- въглища)- това е полиедър, който има едно лице - някакво н-гон и останалото нлица - триъгълници с общ връх; н-гон се нарича основа; се наричат ​​триъгълници, които имат общ връх странични лица, а техният общ връх се нарича върха на пирамидата. Страните на лицата на пирамидата се наричат ​​нейни ребра, а ръбовете, които се срещат във връх, се наричат страничен.
10. Сборът от площите на страничните лица на пирамидата се нарича страничната повърхност на пирамидата(означено Сстрана). Нарича се сборът от площите на всички лица на пирамидата площ на пирамидата(повърхностната площ е обозначена Спълен).
11. правилнон- въглищна пирамида- това е такава пирамида, чиято основа е правилната н-gon и всички странични ръбове са равни един на друг. Страничните лица на правилната пирамида са равнобедрени триъгълници, равни един на друг.
12. Триъгълната пирамида се нарича тетраедърако всичките му лица са равни на правилни триъгълници. Тетраедърът е специален случай на правилна триъгълна пирамида (т.е. не всяка правилна триъгълна пирамида ще бъде тетраедър).

Аксиоми на стереометрията:

1. През всякакви три точки, които не лежат на една и съща права, има само една равнина.
2. Ако две точки от права лежат в равнина, тогава всички точки на правата лежат в тази равнина.
3. Ако две равнини имат обща точка, тогава те имат обща права, върху която лежат всички общи точки на тези равнини.

Последици от аксиомите на стереометрията:

• Теорема 1.Има само една равнина през права и точка не е върху нея.
• Теорема 2.Има само една равнина през две пресичащи се прави.
• Теорема 3.Има само една равнина през две успоредни прави.

Построяване на разрези в стереометрия

За решаване на проблеми в стереометрията е спешно необходимо да можете да изградите секции от полиедри (например пирамида, паралелепипед, куб, призма) в чертеж от определена равнина. Нека дадем няколко дефиниции, обясняващи какво е раздел:

• режеща равнинаПирамида (призма, паралелепипед, куб) е такава равнина, от двете страни на която има точки от тази пирамида (призма, паралелепипед, куб).
• напречно сечение на пирамида(призма, паралелепипед, куб) е фигура, състояща се от всички точки, които са общи за пирамидата (призма, паралелепипед, куб) и равнината на сечение.
• Режещата равнина пресича лицата на пирамидата (паралелепипед, призма, куб) по сегменти, следователно разделе многоъгълник, лежащ в секащата равнина, чиито страни са посочените сегменти.

За да се построи разрез на пирамида (призма, паралелепипед, куб), е възможно и необходимо да се построят пресечните точки на секащата равнина с ръбовете на пирамидата (призма, паралелепипед, куб) и да се свържат всеки две от тях, лежащи в едно лице. Имайте предвид, че последователността на изграждане на върховете и страните на сечението не е от съществено значение. Изграждането на секции от полиедри се основава на две задачи за изграждане:

1. Линии на пресичане на две равнини.

Да се ​​построи права, по която се пресичат някои две равнини α и β (например сечащата равнина и равнината на лицето на полиедъра), трябва да изградите техните две общи точки, тогава линията, минаваща през тези точки, е линията на пресичане на равнините α и β .

1. Точки на пресичане на права и равнина.

Построяване на пресечна точка на права ли самолет α начертайте пресечната точка на линията ли директно л 1 , по която се пресича равнината α и всяка равнина, съдържаща права л.

Взаимно подреждане на прави линии и равнини в стереометрията

определение:В хода на решаването на задачи по стереометрия се наричат ​​две прави линии в пространството успоредноако лежат в една и съща равнина и не се пресичат. Ако прави аи б, или ABи CDса успоредни, пишем:

Няколко теореми:

• Теорема 1.През всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, има само една права, успоредна на дадената права.
• Теорема 2.Ако една от двете успоредни прави пресича дадена равнина, тогава другата права пресича тази равнина.
• Теорема 3(знак на успоредни прави). Ако две прави са успоредни на трета права, тогава те са успоредни една на друга.
• Теорема 4(на пресечната точка на диагоналите на паралелепипед). Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и разполовяват тази точка.

Има три случая на взаимно подреждане на права линия и равнина в стереометрията:

• Правата лежи в равнината (всяка точка от правата лежи в равнината).
• Правата и равнината се пресичат (има една обща точка).
• Правата и равнината нямат една обща точка.

определение:Правата и равнината се наричат успоредноако нямат общи точки. Ако прави ауспоредно на равнината β , тогава те пишат:

теореми:

• Теорема 1(признак за успоредност на права и равнина). Ако права, която не лежи в дадена равнина, е успоредна на някаква права, лежаща в тази равнина, тогава тя е успоредна на дадената равнина.
• Теорема 2.Ако самолетът (на фигурата - α ) преминава през права линия (на фигурата - С), успоредна на друга равнина (на фигурата - β ), и пресича тази равнина, след това линията на пресичане на равнините (на фигурата - д) е успореден на дадената права:

Ако две различни прави лежат в една и съща равнина, тогава те или се пресичат, или са успоредни. Но в пространството (т.е. в стереометрията) е възможен и трети случай, когато няма равнина, в която да лежат две прави (в този случай те нито се пресичат, нито са успоредни).

определение:Двете линии се наричат кръстосване, ако няма равнина, в която лежат и двамата.

теореми:

• Теорема 1(знак за пресичащи се прави). Ако едната от двете прави лежи в определена равнина, а другата пресича тази равнина в точка, която не принадлежи на първата права, тогава тези прави са изкривени.
• Теорема 2.През всяка от двете пресичащи се прави има една равнина, успоредна на другата права.

Сега въвеждаме концепцията за ъгъла между косите линии. Позволявам аи б Ов пространството и начертайте прави линии през него. а 1 и б 1 успоредни на прави линии аи бсъответно. Ъгъл между изкривените линии аи бнаречен ъгъл между построените пресичащи се прави а 1 и б 1 .

Въпреки това, на практика точката Опо-често избирайте така, че да принадлежи на една от правите линии. Това обикновено е не само елементарно по-удобно, но и по-рационално и правилно по отношение на изграждането на чертеж и решаването на задача. Следователно за ъгъла между изкривените линии даваме следното определение:

определение:Позволявам аи бса две пресичащи се прави. Вземете произволна точка Она един от тях (в нашия случай по права линия б) и начертайте линия през нея, успоредна на друг от тях (в нашия случай а 1 паралел а). Ъгъл между изкривените линии аи бе ъгълът между построената линия и линията, съдържаща точката О(в нашия случай това е ъгълът β между прави линии а 1 и б).

определение:Двете линии се наричат взаимно перпендикулярни(перпендикулярно), ако ъгълът между тях е 90°. Пресичащите се линии могат да бъдат перпендикулярни, както и линиите, лежащи и пресичащи се в една и съща равнина. Ако прави аперпендикулярно на линията б, тогава те пишат:

определение:Двете равнини се наричат успоредно, ако не се пресичат, т.е. нямат общи точки. Ако два самолета α и β паралелно, след това, както обикновено, напишете:

теореми:

• Теорема 1(знак на успоредни равнини). Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две прави от друга равнина, тогава тези равнини са успоредни.
• Теорема 2(на свойството на противоположни лица на паралелепипед). Противоположните страни на паралелепипед лежат в успоредни равнини.
• Теорема 3(на линиите на пресичане на две успоредни равнини с трета равнина). Ако две успоредни равнини се пресичат от трета, тогава техните пресечни линии са успоредни една на друга.
• Теорема 4.Сегменти от успоредни прави, разположени между успоредни равнини, са равни.
• Теорема 5(за съществуването на уникална равнина, успоредна на дадена равнина и минаваща през точка извън нея). През точка, която не лежи в дадена равнина, има само една равнина, успоредна на дадената.

определение:Права, пресичаща равнина, се казва, че е перпендикулярна на равнината, ако е перпендикулярна на всяка права в тази равнина. Ако прави аперпендикулярно на равнината β , след което напишете, както обикновено:

теореми:

• Теорема 1.Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на трета права, тогава другата права също е перпендикулярна на тази права.
• Теорема 2.Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на равнина, тогава другата права също е перпендикулярна на тази равнина.
• Теорема 3(за успоредността на правите, перпендикулярни на равнината). Ако две прави са перпендикулярни на една и съща равнина, тогава те са успоредни.
• Теорема 4(знак за перпендикулярност на права линия и равнина). Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнина, тогава тя е перпендикулярна на тази равнина.
• Теорема 5(за равнина, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на дадена права). През всяка точка от пространството има само една равнина, перпендикулярна на дадената права.
• Теорема 6(за права линия, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на дадена равнина). През всяка точка от пространството има само една права, перпендикулярна на дадената равнина.
• Теорема 7(на свойството на диагонала на правоъгълен паралелепипед). Квадратът на дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на дължините на трите му ръба, които имат общ връх:

Последица:Всичките четири диагонала на правоъгълен паралелепипед са равни един на друг.

Теорема за трите перпендикуляри

Нека точката НОне лежи плоско α . Да преминем през точката НОправа линия, перпендикулярна на равнината α , и се обозначава с буквата Оточката на пресичане на тази права с равнината α . Перпендикуляр, изтеглен от точка НОкъм самолета α , се нарича сегмент АД, точка Онаречена основа на перпендикуляра. Ако АД- перпендикулярно на равнината α , а Ме произволна точка от тази равнина, различна от точката О, след това сегментът AMсе нарича наклон, изтеглен от точка НОкъм самолета α , и точката М- наклонена основа. Линеен сегмент ОМ- ортогонална проекция (или, накратко, проекция) наклонена AMкъм самолета α . Сега представяме една теорема, която играе важна роля при решаването на много проблеми.

Теорема 1 (около три перпендикуляра): права линия, начертана в равнина и перпендикулярна на проекцията на наклонена равнина върху тази равнина, също е перпендикулярна на самата наклонена равнина. Обратното също е вярно:

Теорема 2 (около три перпендикуляра): Права линия, начертана в равнина и перпендикулярна на наклонена, също е перпендикулярна на проекцията си върху тази равнина. Тези теореми, за обозначението от чертежа по-горе, могат да бъдат формулирани накратко, както следва:

теорема:Ако от една точка, извадена извън равнината, се начертаят перпендикуляр и две наклонени линии към тази равнина, тогава:

• две наклонени, имащи равни проекции, са равни;
• от двата наклонени по-голям е този, чиято проекция е по-голяма.

Дефиниции на разстоянията по обекти в пространството:

• Разстоянието от точка до равнина е дължината на перпендикуляра, изтеглен от тази точка до тази равнина.
• Разстоянието между успоредните равнини е разстоянието от произволна точка на една от успоредните равнини до друга равнина.
• Разстоянието между права и успоредна на нея равнина е разстоянието от произволна точка на правата до равнината.
• Разстоянието между косите линии е разстоянието от една от изкривените линии до равнина, минаваща през другата права и успоредна на първата.

определение:В стереометрията, ортогонална проекция на права линия акъм самолета α се нарича проекция на тази права върху равнина α ако правата линия, определяща посоката на проектиране, е перпендикулярна на равнината α .

коментар:Както можете да видите от предишната дефиниция, има много прогнози. Други (освен ортогонални) проекции на права линия върху равнина могат да бъдат конструирани, ако правата линия, която определя посоката на проекцията, не е перпендикулярна на равнината. Въпреки това, ортогоналната проекция на права линия върху равнина ще срещнем при проблеми в бъдеще. И ще наречем ортогоналната проекция просто проекция (както на чертежа).

определение:Ъгълът между права линия, която не е перпендикулярна на равнина, и тази равнина е ъгълът между права линия и нейната ортогонална проекция върху дадена равнина (ъгълът AOA“ в чертежа по-горе).

теорема:Ъгълът между права и равнина е най-малкият от всички ъгли, които дадена права образува с прави, лежащи в дадена равнина и минаващи през точката на пресичане на правата и равнината.

Определения:

• двугранен ъгълФигура се нарича фигура, образувана от две полуравнини с обща гранична линия и част от пространството, за което тези полуравнини служат като граница.
• Линеен двуграничен ъгълНарича се ъгъл, чиито страни са лъчи с общ произход на ръба на двугранния ъгъл, които са начертани в неговите лица перпендикулярно на ръба.

По този начин линейният ъгъл на двугранния ъгъл е ъгълът, образуван от пресичането на двугранния ъгъл с равнина, перпендикулярна на неговия ръб. Всички линейни ъгли на двугранен ъгъл са равни един на друг. Градусната мярка на двугранния ъгъл е градусната мярка на неговия линеен ъгъл.

Двугранният ъгъл се нарича прав (остър, тъп), ако степента му е 90° (по-малко от 90°, повече от 90°). В бъдеще, когато решаваме задачи в стереометрията, под двугранен ъгъл винаги ще разбираме този линеен ъгъл, чиято степенна мярка удовлетворява условието:

Определения:

• Двугранният ъгъл при ръба на полиедъра е двустенен ъгъл, чийто ръб съдържа ръба на полиедъра, а лицата на двугранния ъгъл съдържат лицата на многогранника, които се пресичат по дадения ръб на полиедъра.
• Ъгълът между пресичащите се равнини е ъгълът между прави линии, начертани съответно в тези равнини, перпендикулярни на тяхната пресечна линия през някои от нейните точки.
• За две равнини се казва, че са перпендикулярни, ако ъгълът между тях е 90°.

теореми:

• Теорема 1(знак за перпендикулярност на равнините). Ако една от двете равнини минава през права, перпендикулярна на другата равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.
• Теорема 2.Права, лежаща в една от двете перпендикулярни равнини и перпендикулярна на линията, в която те се пресичат, е перпендикулярна на другата равнина.

Симетрия на фигурите

Определения:

1. точки Ми М 1 се наричат симетрични около точка О , ако Ое средата на сегмента ММ 1 .
2. точки Ми М 1 се наричат симетрични спрямо права линия л ако права л ММ 1 и перпендикулярно на него.
3. точки Ми М 1 се наричат симетрични спрямо равнината α ако самолетът α преминава през средата на сегмента ММ 1 и е перпендикулярна на този сегмент.
4. точка О(направо л, самолет α ) е наречен център (ос, равнина) на симетрияфигура, ако всяка точка от фигурата е симетрична около точка О(направо л, самолет α ) до някаква точка от същата фигура.
5. Изпъкнал многоедър се нарича правилно, ако всичките му лица са правилни многоъгълници, равни един на друг и един и същ брой ръбове се събират във всеки връх.

призма

Определения:

1. призма- полиедър, чиито две страни са равни многоъгълници, лежащи в успоредни равнини, а останалите лица са успоредни, които имат общи страни с тези многоъгълници.
2. Основания -това са две лица, които са равни многоъгълници, лежащи в успоредни равнини. На чертежа е: А Б В Г Ди KLMNP.
3. Странични лица- всички лица с изключение на основите. Всяка странична страна е задължително успоредник. На чертежа е: ABLK, BCML, CDNM, DEPNи EAKP.
4. Странична повърхност- обединение на страничните лица.
5. Пълна повърхност- съединението на основите и страничната повърхност.
6. Странични ребраса общите страни на страничните повърхности. На чертежа е: АК, BL, СМ, DNи EP.
7. Височина- сегмент, свързващ основите на призмата и перпендикулярен на тях. В чертежа, напр. KR.
8. Диагонал- сегмент, свързващ два върха на призма, които не принадлежат на едно и също лице. В чертежа, напр. BP.
9. Диагонална равнинае равнината, минаваща през страничния ръб на призмата и диагонала на основата. Друго определение: диагонална равнина- равнина, минаваща през два странични ръба на призмата, които не принадлежат на едно и също лице.
10. Диагонално сечение- пресечната точка на призмата и диагоналната равнина. В сечението се образува успоредник, включващ, понякога, неговите специални случаи - ромб, правоъгълник, квадрат. В чертежа, напр. EBLP.
11. Перпендикулярно (ортогонално) сечение- пресечната точка на призмата и равнината, перпендикулярна на страничния й ръб.

Свойства и формули за призма:

• Основите на призмата са равни многоъгълници.
• Страничните повърхности на призмата са успоредни.
• Страничните ръбове на призмата са успоредни и равни.
• Обем на призматаравно на произведението на неговата височина и площта на основата:

където: Соснова - площта на основата (на чертежа, напр. А Б В Г Д), з- височина (на чертежа е така MN).

• Обща повърхност на призматае равна на сумата от площта на страничната му повърхност и удвоената площ на основата:

• Перпендикулярното сечение е перпендикулярно на всички странични ръбове на призмата (на чертежа по-долу перпендикулярното сечение е А 2 Б 2 ° С 2 д 2 Е 2).
• Ъглите на перпендикулярно сечение са линейните ъгли на двугранните ъгли при съответните странични ръбове.
• Перпендикулярно (ортогонално) сечение е перпендикулярно на всички странични повърхности.
• Обем на наклонена призмае равно на произведението на площта на перпендикулярното сечение и дължината на страничното ребро:

където: С sec - площта на перпендикулярното сечение, л- дължината на страничното ребро (на чертежа по-долу, напр. AA 1 или BB 1 и така нататък).

• Площ на страничната повърхностна произволна призма е равно на произведението на периметъра на перпендикулярното сечение и дължината на страничния ръб:

където: П sec - периметърът на перпендикулярно сечение, ле дължината на страничния ръб.

Видове призми в стереометрията:

• Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на основата, тогава такава призма се нарича наклонена(на снимката по-горе). Основите на такава призма, както обикновено, са разположени в успоредни равнини, страничните ръбове не са перпендикулярни на тези равнини, а успоредни един на друг. Страничните лица са успоредни.
• - призма, в която всички странични ръбове са перпендикулярни на основата. В дясна призма страничните ръбове са височините. Страничните страни на права призма са правоъгълници. И площта и периметърът на основата са равни, съответно, на площта и периметъра на перпендикулярното сечение (за права призма, най-общо казано, цялото перпендикулярно сечение е същата фигура като основата). Следователно, площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на основата и дължината на страничния ръб (или в този случай на височината на призмата):

където: Поснова - периметърът на основата на права призма, л- дължината на страничния ръб, равна в права призма на височината ( з). Обемът на права призма се намира по общата формула: V = Сглавен ∙ з = Сглавен ∙ л.

• Правилна призма- призма, в основата на която лежи правилен многоъгълник (тоест такъв, в който всички страни и всички ъгли са равни една на друга), а страничните ръбове са перпендикулярни на равнините на основата. Примери за правилни призми:

Свойства на правилната призма:

1. Основите на правилната призма са правилни многоъгълници.
2. Страничните страни на правилната призма са равни правоъгълници.
3. Страничните ръбове на правилната призма са равни един на друг.
4. Правилната призма е права.

Определение: паралелепипед -Това е призма, чиито основи са паралелограми. В това определение ключовата дума е "призма". Така паралелепипедът е специален случай на призма, който се различава от общия случай само по това, че основата му не е произволен многоъгълник, а успоредник. Следователно всички горни свойства, формули и дефиниции по отношение на призмата остават релевантни за паралелепипеда. Има обаче няколко допълнителни свойства, характерни за паралелепипеда.

Други свойства и дефиниции:

• Наричат ​​се две лица на паралелепипед, които нямат общ ръб противоположнои имащи общ ръб - свързани.
• Два върха на паралелепипед, които не принадлежат на едно и също лице, се наричат противоположно.
• Извиква се отсечка, свързваща противоположни върхове диагоналпаралелепипед.
• Паралелепипедът има шест лица и всички те са паралелограми.
• Противоположните страни на паралелепипеда са равни и успоредни по двойки.
• Паралелепипедът има четири диагонала; всички те се пресичат в една точка и всяка от тях се разполовява от тази точка.
• Ако четирите странични лица на паралелепипед са правоъгълници (а основите са произволни паралелограми), тогава той се нарича директен(в този случай, както при права призма, всички странични ръбове са перпендикулярни на основите). Всички свойства и формули за права призма са от значение за десен паралелепипед.
• Паралелепипедът се нарича наклоненаако не всичките му странични лица са правоъгълници.
• Обем на права или наклонена кутиясе изчислява по общата формула за обема на призма, т.е. е равно на произведението на площта на основата на паралелепипеда и неговата височина ( V = Сглавен ∙ з).
• Десен паралелепипед, в който всичките шест лица са правоъгълници (т.е. в допълнение към страничните, основите също са правоъгълници), се нарича правоъгълна. За кубоид са от значение всички свойства на кубоида, както и:
  • ди ребрата му а, б, ° Ссвързани със съотношението:

д 2 = а 2 + б 2 + ° С 2 .

• • От общата формула за обема на призмата може да се получи следната формула за обем на кубоид:

• Нарича се правоъгълен паралелепипед, чиито лица са равни квадрати куб. Освен всичко друго, кубът е правилна четириъгълна призма и като цяло правилен полиедър. За куб са валидни всички свойства на правоъгълен паралелепипед и свойствата на правилните призми, както и:
  • Абсолютно всички ръбове на куб са равни едно на друго.
  • куб диагонал ди дължината на ръба му асвързани със съотношението:

• От формулата за обема на правоъгълен паралелепипед може да се получи следната формула за кубичен обем:

пирамида

Определения:

• пирамидае полиедър, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх. Според броя на ъглите на основата пирамидите биват триъгълни, четириъгълни и т.н. Фигурата показва примери: четириъгълни и шестоъгълни пирамиди.

• Базае многоъгълник, на който върхът на пирамидата не принадлежи. На чертежа основата е BCDE.
• Лица, различни от основата, се наричат страничен. На чертежа е: ABC, ACD, ADEи AEB.
• Общият връх на страничните лица се нарича върха на пирамидата(точно върхът на цялата пирамида, а не само връх, както всички други върхове). На чертежа го А.
• Ръбовете, които свързват върха на пирамидата с върха на основата, се наричат страничен. На чертежа е: AB, AC, АДи AE.
• Обозначавайки пирамидата, първо наричат ​​нейния връх, а след това - върховете на основата. За пирамида от чертеж обозначението ще бъде както следва: А Б В Г Д.

• Височинапирамидинаречен перпендикуляр, изтеглен от върха на пирамидата до основата й. Дължината на този перпендикуляр се обозначава с буквата Х. На чертежа височината е AG. Забележка: само ако пирамидата е правилна четириъгълна пирамида (както на чертежа), височината на пирамидата пада върху диагонала на основата. В други случаи това не е така. В общия случай за произволна пирамида точката на пресичане на височината и основата може да бъде навсякъде.
• апотема -височина на страничния ръб правилнопирамида, изтеглена от върха му. В чертежа, напр. AF.
• Диагонално сечение на пирамида- сечение на пирамидата, минаващо през върха на пирамидата и диагонала на основата. В чертежа, напр. ACE.

Още една стереометрична рисунка със символи за по-добро запомняне(на фигурата правилната триъгълна пирамида):

Ако всички странични ръбове ( SA, SB, SC, SDна чертежа по-долу) пирамидите са равни, тогава:

• Близо до основата на пирамидата може да бъде описан кръг, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център (точка О). С други думи, височина (линия ТАКА), спуснат от върха на такава пирамида до основата ( ABCD), попада в центъра на описаната окръжност около основата, т.е. в пресечната точка на средните точки на перпендикуляра на основата.
• Страничните ребра образуват равни ъгли с основната равнина (на чертежа по-долу това са ъглите SAO, SBO, ШОС, SDO).

Важно:Обратното също е вярно, тоест ако страничните ръбове образуват равни ъгли с основната равнина или ако може да се опише кръг близо до основата на пирамидата и върхът на пирамидата се проектира в нейния център, тогава всички страничните ръбове на пирамидата са равни.

Ако страничните повърхности са наклонени към основната равнина под един ъгъл (ъглите DMN, DKN, DLNна чертежа по-долу са равни), тогава:

• В основата на пирамидата може да бъде вписан кръг, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център (точка н). С други думи, височина (линия DN), спуснат от върха на такава пирамида към основата, попада в центъра на окръжността, вписана в основата, т.е. до точката на пресичане на симетралите на основата.
• Височините на страничните лица (апотемите) са равни. На чертежа по-долу DK, DL, DM- равни апотеми.
• Площта на страничната повърхност на такава пирамидаравно на половината от произведението на периметъра на основата и височината на страничната повърхност (апотема).

където: П- периметър на основата, а- дължина на апотема.

Важно:Обратното също е вярно, тоест ако в основата на пирамидата може да бъде вписана окръжност и върхът на пирамидата се проектира в нейния център, тогава всички странични лица са наклонени към основната равнина под същия ъгъл и височините на страничните лица (апотеми) са равни.

Правилна пирамида

определение:Пирамидата се нарича правилно, ако основата му е правилен многоъгълник и върхът е проектиран в центъра на основата. Тогава той има следните свойства:

• Всички странични ръбове на правилната пирамида са равни.
• Всички странични лица на правилната пирамида са наклонени към равнината на основата под един ъгъл.

Важна забележка:Както можете да видите, обикновените пирамиди са едни от онези пирамиди, които включват свойствата, описани точно по-горе. Всъщност, ако основата на правилна пирамида е правилен многоъгълник, тогава центърът на нейните вписани и описани кръгове съвпадат и върхът на правилна пирамида се проектира точно в този център (по дефиниция). Важно е обаче да се разбере това не само правилнопирамидите могат да имат свойствата, споменати по-горе.

• В правилната пирамида всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници.
• Във всяка правилна пирамида можете както да впишете сфера, така и да опишете сфера около нея.
• Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотема.

Формули за обем и площ на пирамида

Теорема(на обема на пирамиди с еднакви височини и равни площи на основите). Две пирамиди, които имат еднакви височини и равни площи на основите, имат равни обеми (разбира се, вероятно вече знаете формулата за обема на пирамида, добре, или я виждате няколко реда по-долу и това твърдение ви изглежда очевидно, но всъщност, съдейки "на око", тогава тази теорема не е толкова очевидна (виж фигурата по-долу). Между другото, това важи и за други полиедри и геометрични фигури: външният им вид е измамен, следователно наистина в математиката вие трябва да се доверявате само на формули и правилни изчисления).

• обем на пирамидатаможе да се изчисли по формулата:

където: Сосновата е площта на основата на пирамидата, зе височината на пирамидата.

• Странична повърхност на пирамидатае равна на сбора от площите на страничните лица. За площта на страничната повърхност на пирамидата може формално да се напише следната стереометрична формула:

където: Сстранична - странична повърхност, С 1 , С 2 , С 3 - зони на страничните лица.

• Пълна повърхност на пирамидатаравна на сумата от площта на страничната повърхност и площта на основата:

Определения:

• - най-простият полиедър, чиито лица са четири триъгълника, с други думи, триъгълна пирамида. За тетраедър всяка от неговите лица може да служи като основа. Общо тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба.
• Тетраедърът се нарича правилноако всичките му лица са равностранни триъгълници. За правилен тетраедър:
  1. Всички ръбове на правилния тетраедър са равни.
  2. Всички лица на правилния тетраедър са равни една на друга.
  3. Периметри, площи, височини и всички други елементи на всички лица са съответно равни помежду си.

Чертежът показва правилен тетраедър, докато триъгълниците ABC, ADC, CBD, лошоса равни. От общите формули за обема и площите на пирамидата, както и знанията от планиметрията, не е трудно да се получат формули за обем и площ на правилен тетраедър(а- дължина на ребрата):

определение:При решаване на задачи по стереометрия се нарича пирамидата правоъгълна, ако един от страничните ръбове на пирамидата е перпендикулярен на основата. В този случай този ръб е височината на пирамидата. По-долу са дадени примери за триъгълни и петоъгълни правоъгълни пирамиди. Картината вляво SAе ръб, който също е височина.

Пресечена пирамида

Дефиниции и свойства:

• пресечена пирамидасе нарича полиедър, затворен между основата на пирамидата и режеща равнина, успоредна на нейната основа.
• Фигурата, получена в пресечната точка на режещата равнина и оригиналната пирамида, също се нарича основапресечена пирамида. И така, пресечената пирамида на чертежа има две основи: ABCи А 1 Б 1 ° С 1 .
• Страничните повърхности на пресечената пирамида са трапецоиди. В чертежа, напр. AA 1 B1Б.
• Страничните ръбове на пресечена пирамида се наричат ​​части от ръбовете на оригиналната пирамида, затворени между основите. В чертежа, напр. AA 1 .
• Височината на пресечена пирамида е перпендикуляр (или дължината на този перпендикуляр), изтеглен от някаква точка в равнината на една основа до равнината на другата основа.
• Нарича се пресечената пирамида правилно, ако е полиедър, който е отсечен от равнина, успоредна на основата правилнопирамиди.
• Основите на правилна пресечена пирамида са правилни многоъгълници.
• Страничните лица на правилната пресечена пирамида са равнобедрени трапеци.
• апотемаправилна пресечена пирамида се нарича височина на нейната странична повърхност.
• Площта на страничната повърхност на пресечена пирамида е сумата от площите на всички нейни странични лица.

Формули за пресечена пирамида

Обемът на пресечена пирамида е:

където: С 1 и С 2 - основни площи, зе височината на пресечена пирамида. На практика обаче е по-удобно да търсите обема на пресечена пирамида, както следва: можете да завършите пресечена пирамида до пирамидата, като разширите страничните ръбове до пресечната точка. Тогава обемът на пресечена пирамида може да се намери като разлика между обемите на цялата пирамида и завършената част. Площта на страничната повърхност може да се намери и като разлика между страничните повърхности на цялата пирамида и завършената част. Странична повърхност на правилна пресечена пирамидае равно на полупроизведението от сбора на периметрите на неговите основи и апотема:

където: П 1 и П 2 - базови периметри правилнопресечена пирамида, а- дължина на апотема. Общата повърхност на всяка пресечена пирамида очевидно се намира като сума от площите на основите и страничната повърхност:

Пирамида и топка (сфера)

теорема:Около пирамидата опишете обхватакогато в основата на пирамидата лежи вписан многоъгълник (т.е. многоъгълник, около който може да бъде описана сфера). Това условие е необходимо и достатъчно. Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнините, минаващи през средните точки на ръбовете на пирамидата, перпендикулярни на тях.

Забележка: От тази теорема следва, че една сфера може да бъде описана както около всяка триъгълна, така и около всяка правилна пирамида. Въпреки това, списъкът с пирамиди, близо до които може да бъде описана сфера, не се ограничава до тези видове пирамиди. На чертежа вдясно, на височина SHтрябва да изберете точка О, на еднакво разстояние от всички върхове на пирамидата: ТАКА = OB = операционна система = OD = ОА. Тогава точката Ое центърът на описаната сфера.

теорема:Можеш в пирамидата впишете сферакогато ъглови равнините на вътрешните двугранни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

коментар:Явно не си разбрал какво прочете в горния ред. Важно е обаче да запомните това всяка правилна пирамида е тази, в която може да бъде вписана сфера. В същото време списъкът с пирамиди, в които може да бъде вписана сфера, не се изчерпва с правилните.

Определение: Бисектрична равнинаразделя двугранния ъгъл наполовина и всяка точка от ъглополовящата равнина е еднакво отдалечена от лицата, образуващи двугранния ъгъл. Фигурата в дясната равнина γ е ъглополовящата равнина на двугранния ъгъл, образуван от равнините α и β .

Стереометричният чертеж по-долу показва топка, вписана в пирамида (или пирамида, описана близо до топката), докато точката Ое центърът на вписаната сфера. Тази точка Она еднакво разстояние от всички лица на топката, например:

ОМ = OO 1

пирамида и конус

В стереометрията конус се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата му е вписана в основата на пирамидата. Освен това е възможно да се впише конус в пирамида само когато апотемите на пирамидата са равни една на друга (необходимо и достатъчно условие).

Конусът се нарича вписан близо до пирамидатакогато върховете им съвпадат, а основата му е описана близо до основата на пирамидата. Освен това е възможно да се опише конус близо до пирамидата само когато всички странични ръбове на пирамидата са равни един на друг (необходимо и достатъчно условие).

Важна собственост:

пирамида и цилиндър

Твърди се, че цилиндърът е вписан в пирамида, ако една от основите му съвпада с окръжността на равнина, вписана в сечението на пирамидата, успоредна на основата, а другата основа принадлежи на основата на пирамидата.

Твърди се, че цилиндърът е описан близо до пирамидата, ако върхът на пирамидата принадлежи на една от основите й, а другата й основа е описана близо до основата на пирамидата. Освен това е възможно да се опише цилиндър близо до пирамидата само когато има вписан многоъгълник в основата на пирамидата (необходимо и достатъчно условие).

Сфера и топка

Определения:

1. Сфера- затворена повърхност, т.нар центъра на сферата. Сферата също е тяло на въртене, образувано от въртенето на полукръг около диаметъра му. радиус на сфератасе нарича отсечка, свързваща центъра на сферата с която и да е точка от сферата.
2. Чордойсферата е отсечка, която свързва две точки от сферата.
3. диаметърсфера се нарича хорда, минаваща през нейния център. Центърът на сфера разделя всеки от нейните диаметри на два равни сегмента. Всякакъв диаметър на сфера с радиус Ре 2 Р.
4. топка- геометрично тяло; съвкупността от всички точки в пространството, които са на разстояние не по-голямо от определено разстояние от определен център. Това разстояние се нарича радиус на топката. Топка се образува чрез завъртане на полукръг около фиксирания си диаметър. Забележка:повърхността (или границата) на сфера се нарича сфера. Възможно е да се даде следното определение за топка: геометрично тяло се нарича топка, състояща се от сфера и част от пространството, ограничено от тази сфера.
5. Радиус, акорди диаметъртопка се наричат ​​радиус, хорда и диаметър на сферата, която е границата на тази топка.
6. Разликата между топка и сфера е подобна на разликата между кръг и кръг. Кръгът е линия, а кръгът също е всички точки вътре в тази права. Сферата е черупка, а топката също са всички точки вътре в тази черупка.
7. Нарича се равнината, минаваща през центъра на сферата (топката). диаметрална равнина.
8. Нарича се разрез на сфера (топка) с диаметрална равнина страхотен кръг (голям кръг).

теореми:

• Теорема 1(на разрез на сфера от равнина). Сечението на сфера от равнина е кръг. Забележете, че твърдението на теоремата остава вярно дори ако равнината минава през центъра на сферата.
• Теорема 2(на разрез на сфера от равнина). Сечението на топка от равнина е окръжност, а основата на перпендикуляра, изтеглен от центъра на топката към равнината на сечението, е центърът на окръжността, получена в сечението.

Най-големият кръг, измежду тези, които могат да бъдат получени в сечение на дадена топка от равнина, се намира в участък, минаващ през центъра на топката О. Нарича се големият кръг. Радиусът му е равен на радиуса на сферата. Всякакви две големи окръжности се пресичат в диаметъра на топката AB. Този диаметър е и диаметърът на пресичащите се големи кръгове. През две точки на сферична повърхност, разположени в краищата със същия диаметър (на фиг. Аи Б), можете да нарисувате безкраен брой големи кръгове. Например, безкраен брой меридиани могат да бъдат начертани през полюсите на Земята.

Определения:

1. Допирателна равнина към сферасе нарича равнина, която има само една обща точка със сферата, а общата им точка се нарича допирна точка на равнината и сферата.
2. Допирателна равнина към топкатасе нарича допирателна равнина към сферата, която е границата на тази топка.
3. Всяка права, лежаща в допирателната равнина на сферата (топката) и минаваща през точката на контакт, се нарича допирателна към права линия към сфера (топка). По дефиниция допирателната равнина има само една обща точка със сферата, следователно, допирателната линия също има само една обща точка със сферата - точката на контакт.

теореми:

• Теорема 1(знак на допирателната равнина към сферата). Равнина, перпендикулярна на радиуса на сферата и минаваща през нейния край, лежащ върху сферата, докосва сферата.
• Теорема 2(относно свойството на допирателната равнина към сферата). Допирателната равнина към сферата е перпендикулярна на радиуса, изтеглен до точката на контакт.

Полиедри и сфера

определение:В стереометрията се нарича полиедър (като пирамида или призма). вписан в обхватаако всичките му върхове лежат върху сфера. В този случай сферата се нарича описана близо до полиедър (пирамиди, призми). По същия начин: полиедърът се нарича вписана в топкаако всичките му върхове лежат на границата на тази топка. В този случай се казва, че топката е вписана близо до полиедъра.

Важно свойство: Центърът на сферата, описана около полиедъра, е на разстояние, равно на радиуса Рсфери, от всеки връх на полиедъра.Ето примери за полиедри, вписани в сферата:

определение:Полиедърът се нарича описано за сферата (топката), ако сферата (топката) се докосне всичкомногостенни лица. В този случай сферата и топката се наричат ​​вписани в полиедъра.

Важно: Центърът на сфера, вписана в полиедър, е на разстояние, равно на радиуса rсфери, от всяка от равнините, съдържащи лицата на полиедъра.Ето примери за полиедри, описани близо до сферата:

Обем и повърхност на сфера

теореми:

• Теорема 1(за площта на сферата). Площта на една сфера е:

където: Ре радиусът на сферата.

• Теорема 2(за обема на топката). Обемът на сфера с радиус Ризчислено по формулата:

Топчен сегмент, слой, сектор

В стереометрията топчен сегментнарича се частта от топката, отсечена от режещата равнина. В този случай съотношението между височината, радиуса на основата на сегмента и радиуса на топката:

където: з- височина на сегмента, r- радиус на основата на сегмента, Р− радиус на топката. Площта на основата на сферичния сегмент:

Площта на външната повърхност на сферичния сегмент:

Пълна повърхност на сегмента на топката:

Обем на сегмента на топката:

В стереометрията сферичен слойНарича се частта от сфера, затворена между две успоредни равнини. Площта на външната повърхност на сферичния слой:

където: зе височината на сферичния слой, Р− радиус на топката. Пълна повърхност на сферичния слой:

където: зе височината на сферичния слой, Р- радиус на топката, r 1 , r 2 са радиусите на основите на сферичния слой, С 1 , С 2 са площите на тези бази. Обемът на сферичен слой се намира най-просто като разликата между обемите на два сферични сегмента.

В стереометрията топки секторнарича се частта от топката, състояща се от сферичен сегмент и конус с връх в центъра на топката и основа, съвпадаща с основата на сферичния сегмент. Тук се приема, че сегментът на топката е по-малък от половината от топката. Пълна площ на сферичния сектор:

където: зе височината на съответния сферичен сегмент, rе радиусът на основата на сферичния сегмент (или конуса), Р− радиус на топката. Обемът на сферичния сектор се изчислява по формулата:

Определения:

1. В някаква равнина разгледайте кръг с център Ои радиус Р. През всяка точка от окръжността прокарваме линия, перпендикулярна на равнината на окръжността. Цилиндрична повърхностфигурата, образувана от тези линии, се нарича, а самите линии се наричат образувайки цилиндрична повърхност. Всички генератори на цилиндричната повърхност са успоредни един на друг, тъй като са перпендикулярни на равнината на окръжността.

1. Прав кръгъл цилиндърили просто цилиндърнарича се геометрично тяло, ограничено от цилиндрична повърхност и две успоредни равнини, които са перпендикулярни на образуващите на цилиндричната повърхност. Неофициално можете да си представите цилиндъра като права призма с кръг в основата. Това ще помогне лесно да се разбере и, ако е необходимо, да се изведат формули за обема и площта на страничната повърхност на цилиндъра.
2. Странична повърхност на цилиндърачастта от цилиндричната повърхност, разположена между режещите равнини, които са перпендикулярни на нейната образуваща, се наричат, а частите (кръговете), отрязани от цилиндричната повърхност на успоредни равнини, се наричат основи на цилиндъра. Основите на цилиндъра са две равни окръжности.
3. Генератор на цилиндъранарича се сегмент (или дължината на този сегмент) от образуващата на цилиндрична повърхност, разположена между успоредни равнини, в които лежат основите на цилиндъра. Всички генератори на цилиндъра са успоредни и равни един на друг, а също и перпендикулярни на основите.
4. Ос на цилиндъранаречен сегмент, свързващ центровете на окръжностите, които са основите на цилиндъра.
5. височина на цилиндъранаречен перпендикуляр (или дължината на този перпендикуляр), изтеглен от някаква точка в равнината на едната основа на цилиндъра до равнината на другата основа. В цилиндър височината е равна на генериращата.
6. Радиус на цилиндърасе нарича радиус на неговите основи.
7. Цилиндърът се нарича равностраненако височината му е равна на диаметъра на основата.
8. Цилиндър може да се получи чрез завъртане на правоъгълник около една от страните му на 360°.
9. Ако режещата равнина е успоредна на оста на цилиндъра, тогава сечението на цилиндъра е правоъгълник, две страни на който са генератори, а другите две са хордите на основите на цилиндъра.
10. Аксиален разрезЦилиндърът е разрез на цилиндър от равнина, минаваща през неговата ос. Аксиалното сечение на цилиндъра е правоъгълник, две страни на който са генератори на цилиндъра, а другите две са диаметрите на основите му.
11. Ако режещата равнина е перпендикулярна на оста на цилиндъра, тогава в сечението, равно на основите, се образува кръг. На чертежа по-долу: вляво - аксиален разрез; в центъра - участък, успореден на оста на цилиндъра; вдясно - участък, успореден на основата на цилиндъра.

Цилиндър и призма

Казват, че призмата е вписана в цилиндърако основите му са вписани в основите на цилиндъра. В този случай се казва, че цилиндърът е описан около призма. Височината на призмата и височината на цилиндъра в този случай ще бъдат равни. Всички странични ръбове на призмата ще принадлежат на страничната повърхност на цилиндъра и ще съвпадат с неговите генератори. Тъй като под цилиндър разбираме само прав цилиндър, в такъв цилиндър може да бъде вписана и само права призма. Примери:

Казва се, че призмата е описана около цилиндър, ако основите му са описани близо до основите на цилиндъра. В този случай се казва, че цилиндърът е вписан в призма. Височината на призмата и височината на цилиндъра в този случай също ще бъдат равни. Всички странични ръбове на призмата ще бъдат успоредни на образуващата на цилиндъра. Тъй като под цилиндър разбираме само прав цилиндър, такъв цилиндър може да бъде вписан само в права призма. Примери:

Цилиндър и сфера

Сфера (топка) се нарича вписана в цилиндърако докосне основите на цилиндъра и всеки от неговите генератори. В този случай цилиндърът се нарича описан около сфера (топка). Сфера може да бъде вписана в цилиндър само ако е равностранен цилиндър, т.е. основният му диаметър и височина са равни. Центърът на вписаната сфера ще бъде средата на оста на цилиндъра, а радиусът на тази сфера ще съвпада с радиуса на цилиндъра. пример:

Твърди се, че цилиндърът е вписан в сфера, ако кръговете на основите на цилиндъра са секции от сферата. Цилиндърът се казва, че е вписан в сфера, ако основите на цилиндъра са секции от сферата. В този случай топката (сферата) се нарича вписана близо до цилиндъра. Сфера може да бъде описана около всеки цилиндър. Центърът на описаната сфера също ще бъде средата на оста на цилиндъра. пример:

Въз основа на Питагоровата теорема е лесно да се докаже следната формула, отнасяща радиуса на описаната сфера ( Р), височина на цилиндъра ( з) и радиус на цилиндъра ( r):

Обем и площ на страничната и пълната повърхност на цилиндъра

Теорема 1(за площта на страничната повърхност на цилиндъра): Площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на произведението на обиколката на основата му и височината:

където: Ре радиусът на основата на цилиндъра, з- неговата висока. Тази формула се извлича лесно (или се доказва) въз основа на формулата за страничната повърхност на права призма.

Пълна площ на цилиндъра, както обикновено в стереометрията, е сборът от площите на страничната повърхност и двете основи. Площта на всяка основа на цилиндъра (т.е. само площта на кръг) се изчислява по формулата:

Следователно, общата повърхност на цилиндъра Спълен цилиндърът се изчислява по формулата:

Теорема 2(за обема на цилиндъра): Обемът на цилиндъра е равен на произведението на площта на основата и височината:

където: Ри зса съответно радиусът и височината на цилиндъра. Тази формула също лесно се извлича (доказва) въз основа на формулата за обема на призмата.

Теорема 3(Архимед): Обемът на сфера е един и половина пъти по-малък от обема на описания около нея цилиндър, а повърхността на такава топка е един и половина пъти по-малка от общата повърхност на същия цилиндър:

конус

Определения:

1. Конус (по-точно кръгъл конус)наречено тяло, което се състои от кръг (нареч конусна основа), точка, която не лежи в равнината на тази окръжност (нареч горната част на конуса) и всички възможни сегменти, свързващи горната част на конуса с точките на основата. Неофициално можете да възприемете конуса като правилна пирамида, която има кръг в основата. Това ще помогне лесно да се разбере и ако е необходимо, да се изведат формули за обема и площта на страничната повърхност на конуса.

1. Сегментите (или техните дължини), свързващи върха на конуса с точките на окръжността на основата, се наричат образувайки конус. Всички генератори на десен кръгов конус са равни един на друг.
2. Повърхността на конуса се състои от основата на конуса (окръжността) и страничната повърхност (съставена от всички възможни генератори).
3. Обединението на генераторите на конус се нарича образуваща (или странична) повърхност на конуса. Образуващата на конуса е конична повърхност.
4. Конусът се нарича директенако линията, свързваща върха на конуса с центъра на основата, е перпендикулярна на равнината на основата. По-нататък ще разгледаме само десния конус, наричайки го просто конус за краткост.
5. Визуално прав кръгъл конус може да се представи като тяло, получено чрез завъртане на правоъгълен триъгълник около крака му като ос. В този случай страничната повърхност на конуса се образува от въртенето на хипотенузата, а основата се образува от въртенето на крака, който не е ос.
6. радиус на конусанаречен радиус на основата му.
7. височина на конусанаречен перпендикуляр (или неговата дължина), спуснат от върха му до равнината на основата. За десен конус основата на височината съвпада с центъра на основата. Оста на десен кръгов конус е права линия, съдържаща неговата височина, т.е. права линия, минаваща през центъра на основата и върха.
8. Ако режещата равнина минава през оста на конуса, тогава сечението е равнобедрен триъгълник, чиято основа е диаметърът на основата на конуса, а страните са образуващата на конуса. Такъв разрез се нарича аксиален.

1. Ако режещата равнина минава през вътрешната точка на височината на конуса и е перпендикулярна на нея, тогава сечението на конуса е кръг, чийто център е точката на пресичане на височината и тази равнина.
2. височина ( з), радиус ( Р) и дължината на образуващата ( л) на десен кръгов конус удовлетворяват очевидното отношение:

Обем и площ на страничната и пълната повърхност на конуса

Теорема 1(в областта на страничната повърхност на конуса). Площта на страничната повърхност на конуса е равна на произведението на половината от обиколката на основата и образуващата:

където: Ре радиусът на основата на конуса, ле дължината на образуващата на конуса. Тази формула се извлича лесно (или се доказва) въз основа на формулата за страничната повърхност на правилна пирамида.

Пълна площ на конусае сумата от страничната повърхност и основната площ. Площта на основата на конуса (т.е. само площта на окръжността) е: Соснова = πR 2. Следователно общата повърхност на конуса Спълен конусът се изчислява по формулата:

Теорема 2(на обема на конус). Обемът на конуса е равен на една трета от основната площ, умножена по височината:

където: Ре радиусът на основата на конуса, з- неговата висока. Тази формула също лесно се извлича (доказва) въз основа на формулата за обема на пирамидата.

Определения:

1. Равнина, успоредна на основата на конуса и пресичаща конуса, отрязва по-малък конус от него. Останалото се нарича пресечен конус.

1. Наричат ​​се основата на първоначалния конус и окръжността, получена в сечението на този конус с равнина основания, и сегментът, свързващ техните центрове - височина на пресечения конус.
2. Правата линия, минаваща през височината на пресечения конус (т.е. през центровете на неговите основи), е неговата ос.
3. Частта от страничната повърхност на конуса, която ограничава пресечения конус, се нарича негова странична повърхност, а отсечките на образуващата на конуса, разположени между основите на пресечения конус, се наричат ​​неговите генериране.
4. Всички генератори на пресечен конус са равни един на друг.
5. Пресечен конус може да се получи чрез завъртане на правоъгълен трапец на 360° около неговата страна, перпендикулярна на основите.

Формули за пресечен конус:

Обемът на пресечения конус е равен на разликата между обемите на пълен конус и конус, отрязан от равнина, успоредна на основата на конуса. Обемът на пресечен конус се изчислява по формулата:

където: С 1 = π r 1 2 и С 2 = π r 2 2 - площи на основи, зе височината на пресечения конус, r 1 и r 2 - радиуси на горната и долната основа на пресечения конус. На практика обаче все още е по-удобно да се търси обемът на пресечен конус като разликата между обемите на оригиналния конус и отрязаната част. Площта на страничната повърхност на пресечен конус може да се намери и като разлика между страничните повърхности на оригиналния конус и отрязаната част.

Всъщност площта на страничната повърхност на пресечения конус е равна на разликата между площите на страничните повърхности на пълен конус и конус, отрязан от равнина, успоредна на основата на конуса. Странична повърхност на пресечен конусизчислено по формулата:

където: П 1 = 2π r 1 и П 2 = 2π r 2 - периметри на основите на пресечен конус, л- дължината на образуващата. Обща повърхност на пресечен конус, очевидно се намира като сума от площите на основите и страничната повърхност:

Моля, обърнете внимание, че формулите за обема и площта на страничната повърхност на пресечен конус са получени от формули за подобни характеристики на правилна пресечена пирамида.

Конус и сфера

Казват, че конусът е вписан в сфера(топка), ако нейният връх принадлежи на сферата (границата на топката), а обиколката на основата (самата основа) е сечение от сферата (топка). В този случай сферата (топката) се нарича описана близо до конуса. Сфера винаги може да бъде описана около десен кръгъл конус. Центърът на описаната сфера ще лежи върху права линия, съдържаща височината на конуса, а радиусът на тази сфера ще бъде равен на радиуса на окръжността, описана около аксиалното сечение на конуса (това сечение е равнобедрен триъгълник) . Примери:

Сфера (топка) се нарича вписана в конус, ако сферата (топката) докосва основата на конуса и всеки от неговите генератори. В този случай конусът се нарича вписан близо до сферата (топката). Сфера винаги може да бъде вписана в десен кръгов конус. Центърът му ще лежи на височината на конуса, а радиусът на вписаната сфера ще бъде равен на радиуса на окръжността, вписана в аксиалното сечение на конуса (това сечение е равнобедрен триъгълник). Примери:

Конус и пирамида

• Конусът се нарича вписан в пирамида (пирамидата е описана близо до конус), ако основата на конуса е вписана в основата на пирамидата, а върховете на конуса и пирамидата съвпадат.
• Пирамида се нарича вписана в конус (конусът е описан близо до пирамида), ако основата й е вписана в основата на конуса, а страничните ръбове са генератори на конуса.
• Височините на такива конуси и пирамиди са равни една на друга.

Забележка: Повече подробности за това как в твърдата геометрия конусът се вписва в пирамида или е описан близо до пирамида, вече са обсъдени в

Как да се подготвим успешно за CT по физика и математика?

За да се подготвите успешно за CT по физика и математика, наред с други неща, трябва да бъдат изпълнени три критични условия:

1. Проучете всички теми и изпълнете всички тестове и задачи, дадени в учебните материали на този сайт. За да направите това, нямате нужда от нищо, а именно: да отделяте три до четири часа всеки ден за подготовка за CT по физика и математика, изучаване на теория и решаване на задачи. Факт е, че CT е изпит, при който не е достатъчно само да знаете физика или математика, също така трябва да можете бързо и без неуспехи да решавате голям брой задачи по различни теми и различна сложност. Последното може да се научи само чрез решаване на хиляди задачи.
2. Научете всички формули и закони във физиката и формули и методи в математиката. Всъщност това също е много лесно да се направи, има само около 200 необходими формули във физиката и дори малко по-малко в математиката. Във всеки от тези предмети има около дузина стандартни методи за решаване на задачи от основно ниво на сложност, които също могат да бъдат научени и по този начин напълно автоматично и без затруднения да се реши по-голямата част от цифровата трансформация в точното време. След това ще трябва да мислите само за най-трудните задачи.
3. Посетете и трите етапа на репетиционното тестване по физика и математика. Всеки RT може да бъде посетен два пъти, за да се решат и двете опции. Отново, на DT, в допълнение към способността за бързо и ефективно решаване на проблеми и познаването на формули и методи, е необходимо също така да можете правилно да планирате времето, разпределяте силите и най-важното е да попълвате правилно формуляра за отговори , без да бъркате нито номерата на отговорите и задачите, нито собствената си фамилия. Също така по време на RT е важно да свикнете със стила на поставяне на въпроси в задачите, което може да изглежда много необичайно за неподготвен човек в DT.

Успешното, усърдно и отговорно изпълнение на тези три точки ще ви позволи да покажете отличен резултат на CT, максимума на това, на което сте способни.

Намерихте грешка?

Ако, както ви се струва, сте открили грешка в учебните материали, моля, пишете за това по пощата. Можете също да пишете за грешката в социалната мрежа (). В писмото посочете предмета (физика или математика), името или номера на темата или теста, номера на задачата или мястото в текста (страницата), където според вас има грешка. Също така опишете каква е предполагаемата грешка. Вашето писмо няма да остане незабелязано, грешката или ще бъде коригирана, или ще ви бъде обяснено защо не е грешка.

Видео курсът "Вземете A" включва всички теми, необходими за успешно полагане на изпита по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профил USE по математика. Подходяща и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). А това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито един стоточков ученик, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, капани и тайни на изпита. Анализирани са всички релевантни задачи от част 1 от задачите на Bank of FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми, всяка по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови проблеми и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи за използване. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни измамници, развитие на пространствено въображение. Тригонометрия от нулата – към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на сложни задачи от 2-ра част на изпита.

Видео курсът "Вземете A" включва всички теми, необходими за успешно полагане на изпита по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профил USE по математика. Подходяща и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). А това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито един стоточков ученик, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, капани и тайни на изпита. Анализирани са всички релевантни задачи от част 1 от задачите на Bank of FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми, всяка по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови проблеми и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи за използване. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни измамници, развитие на пространствено въображение. Тригонометрия от нулата – към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на сложни задачи от 2-ра част на изпита.

\((\color(red)(\textbf(Факт 1. Относно успоредните прави)))\)
\(\bullet\) Две прави в пространството са успоредни, ако лежат в една и съща равнина и не се пресичат.
\(\bullet\) Има само една равнина, минаваща през две успоредни прави.
\(\bullet\) Ако една от двете успоредни прави пресича равнина, тогава другата права също пресича тази равнина.
\(\bullet\) Ако правата \(a\) е успоредна на правата \(b\) , която от своя страна е успоредна на правата \(c\) , тогава \(a\parallel c\) .
\(\bullet\) Нека равнината \(\alpha\) и \(\beta\) се пресичат по линията \(a\) , равнините \(\beta\) и \(\pi\) се пресичат по протежение на линия \(b \) , равнините \(\pi\) и \(\alpha\) се пресичат по линията \(p\) . Тогава ако \(a\parallel b\) , то \(p\parallel a\) (или \(p\parallel b\) ):

\((\color(red)(\textbf(Факт 2. За успоредността на права и равнина)))\)
\(\bullet\) Има три вида взаимно подреждане на права и равнина:
1. правата има две общи точки с равнината (т.е. лежи в равнината);
2. правата има точно една обща точка с равнината (т.е. пресича равнината);
3. правата няма общи точки с равнината (т.е. успоредна е на равнината).
\(\bullet\) Ако права \(a\), която не лежи в равнината \(\pi\), е успоредна на някаква права \(p\), лежаща в равнината \(\pi\) , тогава тя е успоредна към дадената равнина.

\(\bullet\) Нека правата \(p\) е успоредна на равнината \(\mu\) . Ако равнината \(\pi\) минава през правата \(p\) и пресича равнината \(\mu\) , тогава линията на пресичане на равнините \(\pi\) и \(\mu\) е правата \(m\) - успоредна на правата \(p\) .

\((\color(red)(\textbf(Факт 3. За успоредните равнини)))\)
\(\bullet\) Ако две равнини нямат общи точки, тогава те се наричат ​​успоредни равнини.
\(\bullet\) Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина, тогава тези равнини ще бъдат успоредни.

\(\bullet\) Ако две успоредни равнини \(\alpha\) и \(\beta\) се пресичат от трета равнина \(\gamma\) , тогава пресечните линии на равнините също са успоредни: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \\beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

\(\bullet\) Сегменти от успоредни линии, затворени между успоредни равнини, са равни на: \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]

\((\color(red)(\textbf(Факт 4. Относно пресичащите се линии)))\)
\(\bullet\) Две прави в пространството се наричат ​​пресичащи се, ако не лежат в една и съща равнина.
\(\bullet\) Знак:
Нека правата \(l\) лежи в равнината \(\lambda\) . Ако правата \(s\) пресича равнината \(\lambda\) в точка \(S\), която не лежи на правата \(l\) , тогава правите \(l\) и \(s\) пресичат се.

\(\ куршум\) алгоритъм за намиране на ъгъла между изкривени линии \(a\) и \(b\):

Стъпка 2. В равнината \(\pi\) намерете ъгъла между правите \(a\) и \(p\) (\(p\parallel b\) ). Ъгълът между тях ще бъде равен на ъгъла между изкривените линии \(a\) и \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(Факт 5. За перпендикулярността на права и равнина)))\)
\(\bullet\) Правата се казва, че е перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на която и да е права в тази равнина.
\(\bullet\) Ако две прави са перпендикулярни на равнина, тогава те са успоредни.
\(\bullet\) Знак: ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в дадена равнина, тогава тя е перпендикулярна на тази равнина.

\((\color(red)(\textbf(Факт 6. За разстоянията)))\)
\(\bullet\) За да намерите разстоянието между успоредните прави, трябва да пуснете перпендикуляр от която и да е точка на една права в друга. Дължината на перпендикуляра е разстоянието между тези линии.
\(\bullet\) За да намерите разстоянието между равнина и права, успоредна на нея, трябва да пуснете перпендикуляр на тази равнина от всяка точка на правата. Дължината на перпендикуляра е разстоянието между тази права и равнината.
\(\bullet\) За да намерите разстоянието между успоредните равнини, трябва да спуснете перпендикуляра на другата равнина от всяка точка на една равнина. Дължината на този перпендикуляр е разстоянието между успоредните равнини.
\(\ куршум\) алгоритъм за намиране на разстоянието между косите линии \(a\) и \(b\):
Стъпка 1. През една от двете пресичащи се прави \(a\) начертайте равнина \(\pi\), успоредна на другата права \(b\) . Как да го направя: начертайте равнината \(\beta\) през правата \(b\), така че да пресича правата \(a\) в точка \(P\) ; начертайте права през точката \(P\) \(p\parallel b\) ; тогава равнината, минаваща през \(a\) и \(p\) е равнината \(\pi\) .
Стъпка 2. Намерете разстоянието от всяка точка на правата \(b\) до равнината \(\pi\) . Това разстояние е разстоянието между изкривените линии \(a\) и \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(Факт 7. За теоремата за трите перпендикуляри (TTP))))\)
\(\bullet\) Нека \(AH\) е перпендикулярът на равнината \(\beta\) . Нека \(AB, BH\) е наклонена и нейната проекция върху равнината \(\beta\) . Тогава правата \(x\) в равнината \(\beta\) ще бъде перпендикулярна на наклонената, ако и само ако е перпендикулярна на проекцията: \[\begin(подравнен) &1. AH\perp \beta, \AB\perp x\quad \Rightarrow\quad BH\perp x\\ &2. AH\perp \beta, \ BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp x\end(подравнен)\]

Имайте предвид, че правата \(x\) не трябва да минава през точката \(B\) . Ако не минава през точка \(B\) , тогава се конструира права \(x"\), минаваща през точка \(B\) и успоредна на \(x\) . Ако например \( x"\perp BH\ ) , тогава е и \(x\perp BH\) .

\((\color(red)(\textbf(Факт 8. Относно ъгъла между права и равнина, както и ъгъла между равнините)))\)
\(\bullet\) Ъгълът между наклонена права и равнина е ъгълът между тази права и нейната проекция върху дадената равнина. По този начин този ъгъл приема стойности от интервала \((0^\circ;90^\circ)\) .
Ако правата лежи в равнина, тогава ъгълът между тях се счита за равен на \(0^\circ\) . Ако правата е перпендикулярна на равнината, тогава, въз основа на дефиницията, ъгълът между тях е \(90^\circ\) .
\(\bullet\) За да се намери ъгълът между наклонена права и равнина, е необходимо да се отбележи някаква точка \(A\) на тази права и да се начертае перпендикуляр \(AH\) на равнината. Ако \(B\) е точката на пресичане на правата с равнината, тогава \(\angle ABH\) е желаният ъгъл.

\(\bullet\) За да намерите ъгъла между равнините \(\alpha\) и \(\beta\), можете да използвате следния алгоритъм:
Маркирайте произволна точка \(A\) в равнината \(\alpha\) .
Начертайте \(AH\perp h\) , където \(h\) е пресечната линия на равнините.
Начертайте \(AB\) перпендикулярно на равнината \(\beta\) .
Тогава \(AB\) е перпендикуляр на равнината \(\beta\) , \(AH\) е наклонен, следователно \(HB\) е проекция. След това чрез TTP \(HB\perp h\) .
Следователно \(\angle AHB\) е линейният ъгъл на двугранния ъгъл между равнините. Градусната мярка на този ъгъл е градусната мярка на ъгъла между равнините.

Имайте предвид, че имаме правоъгълен триъгълник \(\триъгълник AHB\) (\(\angle B=90^\circ\) ). Като правило е удобно да се намери \(\ъгъл AHB\) от него.

\((\color(red)(\textbf(Факт 9. Относно перпендикулярността на равнините)))\)
\(\bullet\) Знак: ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, тогава тя е перпендикулярна на тази равнина. \

\(\bullet\) Забележете, че тъй като има безкрайно много равнини през \(a\) , има безкрайно много равнини, перпендикулярни на \(\beta\) (и минаващи през \(a\) ).

За да се реши адекватно изпита по математика, на първо място е необходимо да се проучи теоретичния материал, който въвежда множество теореми, формули, алгоритми и т.н. На пръв поглед може да изглежда, че това е доста просто. Въпреки това, намирането на източник, в който теорията за Единния държавен изпит по математика е представена по лесен и разбираем начин за ученици с всякакво ниво на подготовка, всъщност е доста трудна задача. Училищните учебници не винаги са под ръка. А намирането на основните формули за изпита по математика може да бъде трудно дори в интернет.

Защо е толкова важно да се изучава теория по математика, не само за тези, които се явяват на изпита?

1. Защото разширява кръгозора ви. Изучаването на теоретичния материал по математика е полезно за всеки, който иска да получи отговори на широк кръг въпроси, свързани с познанието за света. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Именно това е отразено в науката, чрез която е възможно да се разбере света.
2. Защото развива интелекта. Изучавайки справочните материали за изпита по математика, както и решаването на различни задачи, човек се научава да мисли и разсъждава логически, да формулира мислите правилно и ясно. Развива способността да анализира, обобщава, прави изводи.

Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход към систематизиране и представяне на образователни материали.