Изчисляване на площта на фигураТова е може би един от най-трудните проблеми в теорията на площите. В училищната геометрия те се учат да намират областите на главния геометрични формикато например триъгълник, ромб, правоъгълник, трапец, кръг и др. Въпреки това, често трябва да се справяте с изчисляването на площите на по-сложни фигури. Именно при решаването на такива задачи е много удобно да се използва интегрално смятане.

Определение.

Криволинеен трапецнарича се някаква фигура G, ограничена от правите y = f(x), y = 0, x = a и x = b, а функцията f(x) е непрекъсната на отсечката [a; b] и не променя знака си върху него (Фиг. 1).Площта на криволинейния трапец може да се означи с S(G).

Определеният интеграл ʃ a b f(x)dx за функцията f(x), която е непрекъсната и неотрицателна на отсечката [a; b], и е площта на съответния криволинеен трапец.

Тоест, за да намерите площта на фигура G, ограничени с линии y \u003d f (x), y = 0, x \u003d a и x \u003d b, е необходимо да се изчисли определеният интеграл ʃ a b f (x) dx.

По този начин, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Ако функцията y = f(x) не е положителна върху [a; b], тогава площта на криволинейния трапец може да се намери по формулата S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Пример 1

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y \u003d x 3; y = 1; х = 2.

Решение.

Дадените линии образуват фигурата ABC, която е показана със щриховка ориз. 2.

Желаната площ е равна на разликата между площите на криволинейния трапец DACE и квадрата DABE.

Използвайки формулата S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), намираме границите на интегриране. За целта решаваме система от две уравнения:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Така имаме x 1 \u003d 1 - долната граница и x \u003d 2 - горната граница.

И така, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (квадратни единици).

Отговор: 11/4 кв. единици

Пример 2

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии y \u003d √x; y = 2; х = 9.

Решение.

Дадените прави образуват фигурата ABC, която е ограничена отгоре от графиката на функцията

y \u003d √x, а отдолу графиката на функцията y \u003d 2. Получената фигура е показана чрез щриховане на ориз. 3.

Желаната площ е равна на S = ʃ a b (√x - 2). Нека намерим границите на интегриране: b = 9, за да намерим a, решаваме системата от две уравнения:

(y = √x,
(y = 2.

Така имаме, че x = 4 = a е долната граница.

И така, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (квадратни единици).

Отговор: S = 2 2/3 кв. единици

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Решение.

Нека начертаем функцията y \u003d x 3 - 4x за x ≥ 0. За да направим това, намираме производната y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1.1 са критични точки.

Ако начертаем критичните точки на реалната ос и поставим знаците на производната, получаваме, че функцията намалява от нула до 2/√3 и нараства от 2/√3 до плюс безкрайност. Тогава x = 2/√3 е минималната точка, минималната стойност на функцията y е min = -16/(3√3) ≈ -3.

Нека определим пресечните точки на графиката с координатните оси:

ако x \u003d 0, тогава y \u003d 0, което означава, че A (0; 0) е точката на пресичане с оста Oy;

ако y = 0, тогава x 3 - 4x = 0 или x (x 2 - 4) = 0, или x (x - 2) (x + 2) = 0, откъдето x 1 = 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (не е подходящо, защото x ≥ 0).

Точки A(0; 0) и B(2; 0) са пресечните точки на графиката с оста Ox.

Дадените линии образуват фигурата OAB, която е показана чрез щриховка ориз. четири.

Тъй като функцията y \u003d x 3 - 4x приема (0; 2) отрицателна стойност, тогава

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Имаме: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, от където S \u003d 4 квадратни метра. единици

Отговор: S = 4 кв. единици

Пример 4

Намерете площта на фигурата, ограничена от параболата y \u003d 2x 2 - 2x + 1, правите x \u003d 0, y \u003d 0 и допирателната към тази парабола в точката с абсцисата x 0 = 2.

Решение.

Първо съставяме уравнението на допирателната към параболата y \u003d 2x 2 - 2x + 1 в точката с абсцисата x₀ \u003d 2.

Тъй като производната y' = 4x - 2, тогава за x 0 = 2 получаваме k = y'(2) = 6.

Намерете ординатата на допирната точка: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Следователно уравнението на допирателната има формата: y - 5 \u003d 6 (x - 2) или y \u003d 6x - 7.

Нека изградим фигура, ограничена от линии:

y = 2x 2 - 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - парабола. Пресечни точки с координатните оси: A(0; 1) - с оста Oy; с оста Ох - няма пресечни точки, т.к уравнението 2x 2 - 2x + 1 = 0 няма решения (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, т.е. върхът на точката на параболата B има координати B (1/2; 1/2).

И така, фигурата, чиято площ трябва да се определи, е показана чрез щрихиране ориз. 5.

Имаме: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Намерете координатите на точка D от условието:

6x - 7 = 0, т.е. x \u003d 7/6, след това DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Намираме площта на триъгълника DBC по формулата S ADBC ​​​​= 1/2 · DC · BC. По този начин,

S ADBC ​​​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 кв. единици

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (квадратни единици).

Накрая получаваме: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (кв. единици).

Отговор: S = 1 1/4 кв. единици

Разгледахме примери намиране на областите на фигурите ограничени дадени линии . За успешно решаване на такива задачи е необходимо да можете да изграждате прави и графики на функции в равнина, да намирате точките на пресичане на прави, да прилагате формула за намиране на областта, което предполага способността и уменията за изчисляване на определени интеграли.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Теорема 1.

Площта на квадрат е равна на квадрата на неговата страна.

Нека докажем, че площта S на квадрат със страна a е равна на a 2 . Нека вземем квадрат със страна 1 и го разделим на n равни квадрата, както е показано на фигура 1. геометрична площ фигура теорема

Снимка 1.

Тъй като страната на квадрат е 1, площта на всеки малък квадратравен. Страната на всеки малък квадрат е равна, т.е. равно на a. Следва, че. Теоремата е доказана.

Теорема 2.

Площта на успоредник е равна на произведението на неговата страна от височината, начертана към тази страна (фиг. 2.):

S = a * h.

Нека ABCD е даден успоредник. Ако не е правоъгълник, тогава един от неговите ъгли A или B е остър. Нека за яснота ъгълът А е остър (фиг. 2.).

Фигура 2.

Нека спуснем перпендикуляра AE от върха A към правата CB. Площта на трапеца AECD е равна на сбора от площите на успоредника ABCD и триъгълника AEB. Нека пуснем перпендикуляра DF ​​от върха D до правата CD. Тогава площта на трапеца AECD е равна на сумата от площите на правоъгълника AEFD и триъгълника DFC. Правоъгълните триъгълници AEB и DFC са еднакви и следователно имат равни площи. От това следва, че площта на успоредника ABCD е равна на площта на правоъгълника AEFD, т.е. е равно на AE*AD. Сегмент AE е височината на успоредника, спуснат до страната AD, и следователно, S = a * h.Теоремата е доказана.

Теорема 3

Площта на триъгълник е половината от произведението на неговата страна и височината, начертана към нея.(фиг.3.):

Фигура 3

Доказателство.

Нека ABC е дадения триъгълник. Нека го добавим към успоредника ABCD, както е показано на фигурата (фиг. 3.1.).

Фигура 3.1.

Площта на успоредника е равна на сумата от площите на триъгълниците ABC и CDA. Тъй като тези триъгълници са еднакви, площта на успоредника е два пъти по-голяма от площта на триъгълника ABC. Височината на успоредника, съответстващ на страната CB, е равна на височината на триъгълника, начертан на страната CB. Това предполага твърдението на теоремата.Теоремата е доказана.

Теорема 3.1.

Площта на триъгълника е половината от произведението на двете му страни и синуса на ъгъла между тях.(Фигура 3.2.).

Фигура 3.2.

Доказателство.

Нека въведем координатна система с начало в точка C, така че B да лежи на положителната полуос C x , а точка A да има положителна ордината. Площта на даден триъгълник може да се изчисли по формулата, където h е височината на триъгълника. Но h е равно на ординатата на точка А, т.е. h=b sin C. Следователно, . Теоремата е доказана.

Теорема 4.

Площта на трапец е половината от сбора на основите му, умножен по височината му(фиг.4.).

Фигура 4

Доказателство.

Нека ABCD е даден трапец (фиг. 4.1.).

Фигура 4.1.

Диагонал AC на трапец го разделя на два триъгълника: ABC и CDA.

Следователно площта на трапец е равна на сумата от площите на тези триъгълници.

Площта на триъгълник ACD е равна на площта на триъгълник ABC. Височините AF и CE на тези триъгълници са равни на разстоянието h между успоредните прави BC и AD, т.е. височина на трапец. Следователно,. Теоремата е доказана.

Областите на фигурите са от голямо значение в геометрията, както и в науката. В крайна сметка площта е една от най-важните величини в геометрията. Без познаване на областите е невъзможно да се решат много геометрични проблеми, да се докажат теореми и да се обосноват аксиоми. Областите на фигурите са били от голямо значение преди много векове, но не са загубили значението си в модерен свят. Концепциите за площ се използват в много професии. Използват се в строителството, проектирането и в много други човешки дейности. От това можем да заключим, че без развитието на геометрията, по-специално на концепциите за площи, човечеството не би могло да направи такъв голям пробив в областта на науката и технологиите.

За да решавате задачи в геометрията, трябва да знаете формули - като площта на триъгълник или площта на успоредник - както и прости трикове, за които ще говорим.

Първо, нека научим формулите за площите на фигурите. Специално сме ги събрали в удобна таблица. Отпечатайте, научете и прилагайте!

Разбира се, не всички геометрични формули са в нашата таблица. Например за решаване на задачи по геометрия и стереометрия във втората част профилен изпитв математиката се използват и други формули за площта на триъгълник. Определено ще ви разкажем за тях.

Но какво, ако трябва да намерите не площта на трапец или триъгълник, а площта на някаква сложна фигура? Има универсални начини! Ще ги покажем с помощта на примери от банката задачи на FIPI.

1. Как да намерите площта на нестандартна фигура? Например произволен четириъгълник? Проста техника - нека разделим тази фигура на тези, за които всички знаем, и да намерим нейната площ - като сумата от площите на тези фигури.

Разделете този четириъгълник с хоризонтална линия на два триъгълника с обща основа, равна на . Височините на тези триъгълници са и . Тогава площта на четириъгълника е равна на сумата от площите на двата триъгълника: .

Отговор: .

2. В някои случаи площта на фигурата може да бъде представена като разлика на всякакви области.

Не е толкова лесно да се изчисли на какво са равни основата и височината в този триъгълник! Но можем да кажем, че неговата площ е равна на разликата между площите на квадрат със страна и три правоъгълни триъгълника. Виждате ли ги на снимката? Получаваме: .

Отговор: .

3. Понякога в една задача е необходимо да се намери площта не на цялата фигура, а на част от нея. Обикновено говорим за площта на сектора - част от окръжността Намерете площта на сектора на окръжността с радиус , чиято дължина на дъгата е равна на .

На тази снимка виждаме част от кръг. Площта на целия кръг е равна на , тъй като . Остава да разберете каква част от кръга е изобразена. Тъй като дължината на цялата окръжност е (тъй като), а дължината на дъгата на този сектор е , следователно дължината на дъгата е няколко пъти по-малка от дължината на цялата окръжност. Ъгълът, на който се опира тази дъга, също е пъти по-малък от пълен кръг (т.е. градуси). Това означава, че площта на сектора ще бъде няколко пъти по-малка от площта на целия кръг.

клас: 5

Според мен задачата на учителя е не само да преподава, но и да развива познавателния интерес на ученика. Затова при възможност свързвам темите на урока с практически задачи.

В урока учениците, под ръководството на учител, съставят план за решаване на проблеми за намиране на площта на "комплексна фигура" (за изчисляване на оценките за ремонт), консолидират уменията за решаване на проблеми за намиране областта; развитие на вниманието, способност за изследователска дейност, възпитание на активност, самостоятелност.

Работата по двойки създава ситуация на общуване между тези, които имат знания, и тези, които ги придобиват; основата на такава работа е да се подобри качеството на обучението по предмета. Насърчава развитието на интерес към учебния процес и по-задълбочено усвояване на учебния материал.

Урокът не само систематизира знанията на учениците, но и допринася за развитието на творческите, аналитични способности. Използването на задачи с практическо съдържание в урока ви позволява да покажете уместността на математическите знания в ежедневието.

Цели на урока:

Образователни:

• консолидиране на знанията за формулите за площта на правоъгълник, правоъгълен триъгълник;
• анализ на задачи за изчисляване на площта на "сложна" фигура и методи за тяхното изпълнение;
• самостоятелно изпълнение на задачи за проверка на знания, умения, способности.

Разработване:

• разработване на методи за умствена и изследователска дейност;
• развиване на способността да слушате и да обяснявате хода на решението.

Образователни:

• да възпитава у учениците умения за възпитателна работа;
• да се култивира култура на устна и писмена математическа реч;
• да култивира приятелството в класната стая и способността за работа в групи.

Тип урок:комбинирани.

Оборудване:

• Математика: учебник за 5 клетки. общо образование институции / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др., М.: Мнемозина, 2010.
• Карти за групи ученици с фигури за изчисляване на площта на сложна фигура.
• Инструменти за рисуване.

План на урока:

1. Организиране на времето.
2. Актуализация на знанията.
   а) Теоретични въпроси(тест).
   б) Постановка на проблема.
3. Научен нов материал.
   а) намиране на решение на проблема;
   б) решаване на проблема.
4. Фиксиране на материала.
   а) колективно решаване на проблеми;
   Физкултминутка.
   б) самостоятелна работа.
5. Домашна работа.
6. Обобщение на урока. Отражение.

По време на часовете

I. Организационен момент.

Нека започнем урока с тези насърчителни думи:

Математика, приятели,
Абсолютно всеки има нужда от него.
Работете здраво в клас
И успехът ви очаква!

II. Актуализация на знанията.

а)Фронтална работа със сигнални карти (всеки ученик има карти с числата 1, 2, 3, 4; при отговор на тестов въпрос ученикът вдига карта с номера на верния отговор).

1. Квадратният сантиметър е:

1. площта на квадрат със страна 1 cm;
2. квадрат със страна 1 см;
3. квадрат с обиколка 1 см.

2. Площта на фигурата, показана на фигурата, е:

1. 8 dm;
2. 8 dm 2;
3. 15 dm 2.

3. Вярно ли е че равни фигуриимат равни периметри и равни повърхнини?

4. Площта на правоъгълник се определя по формулата:

1. S = a 2;
2. S = 2 (a + b);
3. S = a b.

5. Площта на фигурата, показана на фигурата, е:

1. 12 см;
2. 8 см;
3. 16 см

б) (Формулиране на проблема). Задача. Колко боя е необходима за боядисване на под със следната форма (вижте фиг.), Ако се консумират 200 g боя на 1 m 2?

III. Учене на нов материал.

Какво трябва да знаем, за да решим последния проблем? (Намерете площта на пода, която изглежда като "сложна фигура.")

Учениците формулират темата и целите на урока (ако е необходимо, учителят помага).

Помислете за правоъгълник ABCD. Нека начертаем линия в него KPMNчрез разчупване на правоъгълника ABCDна две части: АБНМПКи KPMNCD.

Каква е площта ABCD? (15 см 2)

Каква е площта на фигурата АБМНПК? (7 см 2)

Каква е площта на фигурата KPMNCD? (8 cm 2)

Анализирайте резултатите. (15==7+8)

Заключение? (Площта на цялата фигура е равна на сумата от площите на нейните части.

S = S 1 + S 2

Как можем да използваме това свойство, за да решим проблема си? (Нека разделим сложната фигура на части, намерим площите на частите, след това площта на цялата фигура.)

S 1 \u003d 7 2 \u003d 14 (m 2)
S 2 \u003d (7 - 4) (8 - 2 - 3) \u003d 3 3 \u003d 9 (m 2)
S 3 \u003d 7 3 \u003d 21 (m 2)
S \u003d S 1 + S 2 + S 3 \u003d 14 + 9 + 21 \u003d 44 (m 2)

Да се ​​сдобрим план за решаване на проблеми за намиране на площта на "сложна фигура":

1. Разделяме фигурата на прости фигури.
2. Намиране на областта на простите фигури.

а) Задача 1. Колко плочки ще са необходими за оформяне на платформа със следните размери:

S = S 1 + S 2
S 1 \u003d (60 - 30) 20 \u003d 600 (dm 2)
S 2 \u003d 30 50 \u003d 1500 (dm 2)
S \u003d 600 + 1500 \u003d 2100 (dm 2)

Има ли друг начин за решаване? (Разглеждаме предложените варианти.)

Отговор: 2100 dm 2.

Задача 2. (колективно решение на дъската и в тетрадките.)Колко m 2 линолеум е необходим за ремонт на стая със следната форма:

S = S 1 + S 2
S 1 \u003d 3 2 \u003d 6 (m 2)
S 2 \u003d ((5 - 3) 2): 2 \u003d 2 (m 2)
S \u003d 6 + 2 \u003d 8 (m 2)

Отговор: 8 m 2.

Физкултминутка.

Сега, момчета, ставайте.
Те бързо вдигнаха ръце.
Настрани, напред, назад.
Обърна се надясно, наляво.
Седнахме тихо, обратно към работата.

б) Самостоятелна работа (образователен) .

Учениците се разделят на групи (№ 5–8 са по-силни). Всяка група е ремонтен екип.

Задача за отборите: определете колко боя е необходима за боядисване на пода, който има формата на фигурата, показана на картата, ако са необходими 200 g боя на 1 m 2.

Изграждате тази фигура в тетрадката си и, записвайки всички данни, пристъпвате към задачата. Можете да обсъдите решението (но само във вашата група!). Ако групата се справи бързо със задачата, тогава тя - допълнителна задача (след проверка на самостоятелна работа).

Задачи за групи:

V. Домашна работа.

т. 18, № 718, № 749.

Допълнителна задача.План-схема на лятната градина (Санкт Петербург). Изчислете неговата площ.

VI. Резултати от урока.

Отражение.Продължете фразата:

• Днес разбрах...
• Беше интересно…
• Беше трудно…
• Сега мога…
• Урокът ме научи за цял живот...

Ако планирате сами да направите ремонт, тогава ще трябва да направите оценка за строителни и довършителни материали. За да направите това, ще трябва да изчислите площта на стаята, в която планирате да извършите ремонт. Основният помощник в това е специално разработена формула. Площта на стаята, а именно нейното изчисление, ще ви позволи да спестите много пари за строителни материалии насочване на освободените финансови средства в по-подходяща посока.

Геометричната форма на стаята

Формулата за изчисляване на площта на стаята директно зависи от нейната форма. Най-характерните за битовите структури са правоъгълни и квадратни стаи. Въпреки това, по време на преустройството стандартната форма може да бъде изкривена. Стаите са:

• Правоъгълна.
• Квадрат.
• Сложна конфигурация (например кръгла).
• С ниши и первази.

Всеки от тях има свои собствени характеристики на изчисление, но като правило се използва една и съща формула. Площта на стая с всякаква форма и размер, по един или друг начин, може да бъде изчислена.

Правоъгълна или квадратна стая

За да изчислите площта на правоъгълна или квадратна стая, просто помнете училищни уроцигеометрия. Следователно не трябва да ви е трудно да определите площта на стаята. Формулата за изчисление изглежда така:

S стаи=A*B, където

А е дължината на стаята.

B е ширината на стаята.

За да измерите тези стойности, ще ви трябва обикновена рулетка. За да получите най-точните изчисления, струва си да измерите стената от двете страни. Ако стойностите не се сближават, вземете средната стойност на получените данни като основа. Но не забравяйте, че всички изчисления имат свои собствени грешки, така че материалът трябва да бъде закупен с марж.

Помещение със сложна конфигурация

Ако вашето помещение не попада под определението "типово", т.е. има формата на кръг, триъгълник, многоъгълник, тогава може да се нуждаете от различна формула за изчисления. Можете да опитате условно да разделите площта на стаята с такава характеристика на правоъгълни елементи и да направите изчисления по стандартния начин. Ако това не е възможно за вас, използвайте следните методи:

• Формулата за намиране на площта на кръг:

S стая \u003d π * R 2, където

R е радиусът на помещението.

• Формулата за намиране на площта на триъгълник е:

S стая = √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), където

P е полупериметърът на триъгълника.

A, B, C са дължините на страните му.

Следователно P \u003d A + B + C / 2

Ако в процеса на изчисляване имате някакви трудности, тогава е по-добре да не се измъчвате и да се обърнете към професионалисти.

Стайна площ с первази и ниши

Често стените са украсени с декоративни елементи под формата на различни ниши или первази. Освен това тяхното присъствие може да се дължи на необходимостта да скриете някои неестетични елементи от стаята си. Наличието на первази или ниши на вашата стена означава, че изчислението трябва да се извършва на етапи. Тези. първо се намира площта на плоска част от стената и след това към нея се добавя площта на нишата или перваза.

Площта на стената се намира по формулата:

S стени \u003d P x C, където

P - периметър

C - височина

Също така трябва да вземете предвид наличието на прозорци и врати. Тяхната площ трябва да се извади от получената стойност.

Стая с таван на няколко нива

Многостепенният таван не усложнява изчисленията толкова, колкото изглежда на пръв поглед. Ако има прост дизайн, тогава изчисленията могат да бъдат направени на принципа на намиране на площта на стените, усложнена от ниши и первази.

Въпреки това, ако дизайнът на вашия таван има дъгообразни и вълнообразни елементи, тогава е по-целесъобразно да определите неговата площ, като използвате площта на пода. За целта са ви необходими:

1. Намерете размерите на всички прави участъци от стените.
2. Намерете площта на пода.
3. Умножете дължината и височината на вертикалните секции.
4. Сумирайте получената стойност с площта на пода.

Инструкции стъпка по стъпка за определяне на общата сума

подово пространство

1. Освободете стаята от ненужни неща. В процеса на измерване ще ви е необходим свободен достъп до всички части на стаята ви, така че трябва да се отървете от всичко, което може да попречи на това.
2. Визуално разделете стаята на секции с правилна и неправилна форма. Ако стаята ви има строго квадратна или правоъгълна форма, тогава тази стъпка може да бъде пропусната.
3. Направете произволно оформление на стаята. Този чертеж е необходим, така че всички данни да са винаги на една ръка разстояние. Освен това няма да ви даде възможност да се объркате в многобройни измервания.
4. Измерванията трябва да се правят няколко пъти. Това е важно правило за избягване на грешки в изчисленията. Освен това, ако използвате, уверете се, че лъчът лежи плоско върху повърхността на стената.
5. Намерете общата площ на стаята. Формулата за общата площ на една стая е да се намери сумата от всички площи на отделните секции на стаята. Тези. S общо = S стени + S подове + S тавани