Son zamanlarda matematik dünyasının fraktallar gibi ilginç nesnelerini öğrendim. Ama onlar sadece matematikte mevcut değiller. Her yerde bizi çevreliyorlar. Fraktallar doğaldır. Fraktalların ne olduğu, fraktal türleri hakkında, bu nesnelerin örnekleri ve uygulamaları hakkında bu makalede anlatacağım. Başlangıç ​​olarak, size kısaca fraktalın ne olduğunu anlatacağım.

Fraktal (lat. fraktus - ezilmiş, kırılmış, kırılmış), kendine benzerlik özelliğine sahip karmaşık bir geometrik şekildir, yani her biri bir bütün olarak bütün şekle benzeyen birkaç parçadan oluşur. Daha geniş anlamda, fraktallar, Öklid uzayında kesirli bir metrik boyuta (Minkowski veya Hausdorff anlamında) veya topolojik dışında bir metrik boyuta sahip nokta kümeleri olarak anlaşılır. Örneğin, dört farklı fraktalın resmini ekleyeceğim.

Size biraz fraktalların tarihçesinden bahsedeyim. 70'lerin sonlarında ortaya çıkan fraktal ve fraktal geometri kavramları, 80'lerin ortalarından beri matematikçilerin ve programcıların günlük yaşamında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. "Fractal" kelimesi, 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından, incelediği düzensiz fakat kendine benzer yapılara atıfta bulunmak için tanıtıldı. Fraktal geometrinin doğuşu genellikle Mandelbrot'un The Fraktal Geometri of Nature kitabının 1977'de yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. Çalışmalarında, 1875-1925 döneminde aynı alanda çalışan diğer bilim adamlarının (Poincare, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff) bilimsel sonuçlarından yararlanılmıştır. Ancak sadece bizim zamanımızda çalışmalarını tek bir sistemde birleştirmek mümkün oldu.

Fraktalların birçok örneği var, çünkü dediğim gibi, bizi her yerde çevreliyorlar. Benim düşünceme göre, tüm Evrenimiz bile devasa bir fraktaldır. Sonuçta, atomun yapısından Evrenin kendisinin yapısına kadar içindeki her şey birbirini aynen tekrarlar. Ancak, elbette, farklı alanlardan daha spesifik fraktal örnekleri var. Örneğin fraktallar karmaşık dinamiklerde bulunur. Ordalar doğrusal olmayan çalışmalarda doğal olarak görünür dinamik sistemler. En çok çalışılan durum, dinamik sistemin bir polinom veya holomorfik sistemin yinelemeleri tarafından tanımlandığı durumdur. bir değişkenler kompleksinin işlevi yüzeyde. Bu türün en ünlü fraktallarından bazıları Julia kümesi, Mandelbrot kümesi ve Newton havzalarıdır. Aşağıda, sırayla, resimler yukarıdaki fraktalların her birini göstermektedir.

Fraktallara başka bir örnek de fraktal eğrilerdir. Fraktal eğrileri örneğini kullanarak bir fraktalın nasıl oluşturulacağını açıklamak en iyisidir. Böyle bir eğri, sözde Koch Kar Tanesi'dir. basit vardüzlemde fraktal eğriler elde etme prosedürü. Jeneratör adı verilen sınırlı sayıda bağlantıya sahip keyfi bir kesik çizgi tanımlarız. Ardından, içindeki her parçayı bir jeneratörle değiştiririz (daha doğrusu, jeneratöre benzer kesikli bir çizgi). Ortaya çıkan kesik çizgide, her segmenti tekrar bir jeneratörle değiştiriyoruz. Sonsuza kadar devam edersek, limitte fraktal bir eğri elde ederiz. Aşağıda bir Koch kar tanesi (veya eğri) gösterilmiştir.

Ayrıca birçok fraktal eğri var. Bunların en ünlüsü, daha önce bahsedilen Koch Kar Tanesi, ayrıca Levy eğrisi, Minkowski eğrisi, kırık Ejderha, Piyano eğrisi ve Pisagor ağacıdır. Bu fraktalların ve tarihlerinin bir görüntüsünü, dilerseniz Wikipedia'da kolayca bulabileceğinizi düşünüyorum.

Üçüncü örnek veya fraktal türü, stokastik fraktallardır. Bu tür fraktallar, Brown hareketinin yörüngesini içerir. bir düzlemde ve uzayda, Schramm-Löwner evrimleri, çeşitli rasgele fraktal türleri, yani, her adımda rasgele bir parametrenin tanıtıldığı özyinelemeli bir prosedür kullanılarak elde edilen fraktallar.

Ayrıca tamamen matematiksel fraktallar da vardır. Bunlar örneğin Cantor seti, Menger süngeri, Sierpinski üçgeni ve diğerleridir.

Ama belki de en ilginç fraktallar doğal olanlardır. Doğal fraktallar, doğada fraktal özelliklere sahip nesnelerdir. Ve zaten büyük bir liste var. Her şeyi listelemeyeceğim, çünkü muhtemelen hepsini listeleyemem ama bazılarını anlatacağım. Örneğin, canlı doğada bu tür fraktallar, dolaşım sistemimizi ve akciğerlerimizi içerir. Ve ayrıca ağaçların taçları ve yaprakları. Ayrıca burada denizyıldızı, deniz kestanesi, mercanlar, deniz kabukları, lahana veya brokoli gibi bazı bitkilere yer verebilirsiniz. Aşağıda, vahşi yaşamdan bu tür birkaç doğal fraktal açıkça gösterilmiştir.

Cansız doğayı ele alırsak, yaşayan doğadan çok daha ilginç örnekler vardır. Şimşek, kar taneleri, herkesin bildiği bulutlar, soğuk günlerde pencerelerdeki desenler, kristaller, dağ sıraları - bunların hepsi cansız doğadan doğal fraktal örnekleridir.

Örnekleri ve fraktal türlerini inceledik. Fraktalların kullanımına gelince, çeşitli bilgi alanlarında kullanılırlar. Fizikte, türbülanslı sıvı akışı, karmaşık difüzyon-adsorpsiyon süreçleri, alevler, bulutlar vb. gibi doğrusal olmayan süreçleri modellerken fraktallar doğal olarak ortaya çıkar. Fraktallar, örneğin petrokimyada, gözenekli malzemeleri modellerken kullanılır. Biyolojide, popülasyonları modellemek ve iç organ sistemlerini (kan damarları sistemi) tanımlamak için kullanılırlar. Koch eğrisinin oluşturulmasından sonra, kıyı şeridinin uzunluğunun hesaplanmasında kullanılması önerildi. Ayrıca fraktallar radyo mühendisliğinde, bilgisayar bilimlerinde ve bilgisayar teknolojisinde, telekomünikasyonda ve hatta ekonomide aktif olarak kullanılmaktadır. Ve elbette, fraktal görüş, çağdaş sanat ve mimaride aktif olarak kullanılmaktadır. İşte fraktal resimlere bir örnek:

Ve böylece, fraktal gibi alışılmadık bir matematiksel fenomen hakkındaki hikayemi tamamlamayı düşünüyorum. Bugün fraktalın ne olduğunu, nasıl ortaya çıktığını, fraktal çeşitlerini ve örneklerini öğrendik. Ayrıca uygulamalarından bahsettim ve bazı fraktalları net bir şekilde gösterdim. Umarım şaşırtıcı ve büyüleyici fraktal nesnelerin dünyasına bu kısa geziyi beğenmişsinizdir.

Bilimdeki en dahiyane keşifler insan yaşamını kökten değiştirebilir. İcat edilen aşı milyonlarca insanı kurtarabilir, silahların yaratılması tam tersine bu canları alır. Daha yakın zamanlarda (insan evrimi ölçeğinde) elektriği "ehlileştirmeyi" öğrendik - ve şimdi elektrik kullanan tüm bu kullanışlı cihazlar olmadan hayatı hayal edemiyoruz. Ancak, hayatımızı büyük ölçüde etkilemelerine rağmen, çok az insanın önem verdiği keşifler de var.

Bu “algılanamaz” keşiflerden biri de fraktallardır. Muhtemelen bu akılda kalıcı kelimeyi duymuşsunuzdur, ancak bunun ne anlama geldiğini ve bu terimde kaç tane ilginç şeyin gizlendiğini biliyor musunuz?

Her insanın doğal bir merakı, etrafındaki dünya hakkında bilgi edinme arzusu vardır. Ve bu özlemde, kişi yargılarda mantığa bağlı kalmaya çalışır. Etrafında meydana gelen süreçleri analiz ederek, olup bitenlerin mantığını bulmaya ve bir miktar düzenlilik çıkarmaya çalışır. Gezegendeki en büyük beyinler bu görevle meşgul. Kabaca konuşursak, bilim adamları olmaması gereken bir model arıyorlar. Bununla birlikte, kaosta bile, olaylar arasında bir bağlantı bulunabilir. Ve bu bağlantı bir fraktaldır.

Dört buçuk yaşındaki küçük kızımız, “Neden?” Sorularının sayısının arttığı o harika yaşta şimdi. yetişkinlerin vermek için zamanları olan cevapların sayısından çok daha fazla. Çok uzun zaman önce, yerden kaldırılmış bir dala bakarken, kızım aniden düğümleri ve dalları olan bu dalın kendisinin bir ağaca benzediğini fark etti. Ve elbette, ebeveynlerin çocuğun anlayabileceği basit bir açıklama araması gereken olağan “Neden?” Sorusunu takip etti.

Tek bir dalın, bir çocuğun keşfettiği bütün bir ağaçla benzerliği, doğadaki öz-benzerlik ilkesini bir kez daha kanıtlayan çok doğru bir gözlemdir. Doğada pek çok organik ve inorganik form benzer şekilde oluşur. Bulutlar, deniz kabukları, bir salyangozun "evi", ağaçların kabuğu ve tepesi, dolaşım sistemi ve benzeri - tüm bu nesnelerin rastgele şekilleri fraktal bir algoritma ile tanımlanabilir.

⇡ Benoit Mandelbrot: fraktal geometrinin babası

"Fractal" kelimesi, parlak bilim adamı Benoît B. Mandelbrot sayesinde ortaya çıktı.

Bu terimi 1970'lerde kendisi icat etti ve kelimenin tam anlamıyla "kırık" veya "ezilmiş" anlamına gelen fraktus kelimesini Latince'den ödünç aldı. Bu ne? Günümüzde "fraktal" kelimesi en çok kendisine benzeyen bir yapının daha büyük ölçekte grafik temsili anlamında kullanılmaktadır.

Fraktallar teorisinin ortaya çıkışının matematiksel temeli, Benoit Mandelbrot'un doğumundan yıllar önce atıldı, ancak bu ancak bilgi işlem cihazlarının ortaya çıkmasıyla gelişebildi. Bilimsel kariyerinin başında Benoit, IBM araştırma merkezinde çalıştı. O sırada, merkezin çalışanları uzaktan veri aktarımı üzerinde çalışıyorlardı. Araştırma sırasında bilim adamları, gürültü girişiminden kaynaklanan büyük kayıplar sorunuyla karşı karşıya kaldılar. Benoit zor ve çok önemli bir görevle karşı karşıya kaldı - istatistiksel yöntem etkisiz olduğunda elektronik devrelerde gürültü girişiminin oluşumunun nasıl tahmin edileceğini anlamak.

Gürültü ölçümlerinin sonuçlarına bakan Mandelbrot, garip bir kalıba dikkat çekti - farklı ölçeklerdeki gürültü grafikleri aynı görünüyordu. Bir gün, bir hafta veya bir saat için bir gürültü grafiği olup olmadığına bakılmaksızın özdeş bir model gözlemlendi. Grafiğin ölçeğini değiştirmeye değerdi ve resim her seferinde tekrarlandı.

Benoit Mandelbrot yaşamı boyunca defalarca formüllerle ilgilenmediğini, sadece resimlerle oynadığını söyledi. Bu adam çok mecazi düşündü ve herhangi bir cebirsel problemi, ona göre doğru cevabın her zaman açık olduğu geometri alanına çevirdi.

Fraktal geometrinin babası olanın bu kadar zengin bir uzaysal hayal gücüne sahip bir adam olması şaşırtıcı değil. Sonuçta, fraktalların özünün kavranması, tam olarak çizimleri incelemeye başladığınızda ve garip girdap desenlerinin anlamını düşündüğünüzde gelir.

Bir fraktal desen aynı öğelere sahip değildir, ancak herhangi bir ölçekte benzerliğe sahiptir. Böyle bir görüntüyü yüksek derecede ayrıntılı bir şekilde manuel olarak oluşturmak daha önce imkansızdı, gerekliydi. büyük miktar bilgi işlem. Örneğin, Fransız matematikçi Pierre Joseph Louis Fatou, bu seti Benoit Mandelbrot'un keşfinden yetmiş yıldan fazla bir süre önce tanımladı. Kendine benzerlik ilkeleri hakkında konuşursak, Leibniz ve Georg Cantor'un eserlerinde bahsedildi.

Fraktalın ilk çizimlerinden biri, Gaston Maurice Julia'nın araştırmasından doğan Mandelbrot kümesinin grafiksel bir yorumuydu.

Gaston Julia (her zaman maskeli - Birinci Dünya Savaşı yaralanması)

Bu Fransız matematikçi, bir geri besleme döngüsü tarafından yinelenen basit bir formülden oluşturulmuş bir kümenin nasıl görüneceğini merak etti. "Parmaklarda" açıklanırsa, bu, belirli bir sayı için formülü kullanarak yeni bir değer bulduğumuz, ardından onu tekrar formüle yerleştirip başka bir değer elde ettiğimiz anlamına gelir. Sonuç, büyük bir sayı dizisidir.

Böyle bir kümenin tam bir resmini elde etmek için çok sayıda hesaplama yapmanız gerekir - yüzlerce, binlerce, milyonlarca. Bunu manuel olarak yapmak imkansızdı. Ancak matematikçilerin kullanımına güçlü bilgi işlem cihazları göründüğünde, uzun süredir ilgi çeken formüllere ve ifadelere yeni bir bakış atabildiler. Mandelbrot, klasik fraktal hesaplamak için bir bilgisayar kullanan ilk kişiydi. Çok sayıda değerden oluşan bir diziyi işleyen Benoit, sonuçları bir grafiğe aktardı. İşte aldığı şey.

Daha sonra, bu görüntü renklendirildi (örneğin, renklendirme yollarından biri yineleme sayısıdır) ve insan tarafından yaratılan en popüler görüntülerden biri haline geldi.

Efesli Herakleitos'a atfedilen eski bir atasözünün dediği gibi, "Aynı nehre iki kez giremezsiniz." Fraktalların geometrisini yorumlamak için en uygun olanıdır. Fraktal bir görüntüyü ne kadar ayrıntılı olarak ele alırsak alalım, her zaman benzer bir model göreceğiz.

Mandelbrot uzayının bir görüntüsünün defalarca büyütüldüğünde nasıl görüneceğini görmek isteyenler, hareketli bir GIF yükleyerek bunu yapabilirler.

⇡ Lauren Carpenter: doğanın yarattığı sanat

Fraktallar teorisi kısa sürede pratik uygulama buldu. Kendine benzer görüntülerin görselleştirilmesiyle yakından ilgili olduğu için, alışılmadık formlar oluşturmak için algoritmaları ve ilkeleri ilk benimseyenlerin sanatçılar olması şaşırtıcı değildir.

Efsanevi Pixar stüdyosunun gelecekteki kurucu ortağı Loren C. Carpenter, 1967'de yeni uçakların geliştirilmesiyle uğraşan tanınmış şirketin bölümlerinden biri olan Boeing Bilgisayar Hizmetleri'nde çalışmaya başladı.

1977'de uçan modellerin prototipleriyle sunumlar yaptı. Lauren, tasarlanan uçağın görüntülerini geliştirmekten sorumluydu. Gelecekteki uçakları farklı açılardan gösteren yeni modellerin resimlerini oluşturması gerekiyordu. Bir noktada, Pixar Animation Studios'un gelecekteki kurucusu, arka plan olarak dağların görüntüsünü kullanmak için yaratıcı bir fikir buldu. Bugün, herhangi bir okul çocuğu böyle bir sorunu çözebilir, ancak geçen yüzyılın yetmişli yıllarının sonunda, bilgisayarlar bu kadar karmaşık hesaplamalarla baş edemedi - üç boyutlu grafikler için uygulamalardan bahsetmeden grafik editörler yoktu. 1978'de Lauren, yanlışlıkla bir mağazada Benoit Mandelbrot'un Fraktallar: Şekil, Rastgelelik ve Boyut adlı kitabını gördü. Bu kitapta dikkatini çeken şey, Benoist'in fraktal formlara birçok örnek vermesiydi. gerçek hayat ve matematiksel bir ifadeyle tanımlanabileceklerini kanıtladı.

Bu benzetme tesadüfen değil, matematikçi tarafından seçilmiştir. Gerçek şu ki, araştırmasını yayınlar yayınlamaz bir sürü eleştiriyle yüzleşmek zorunda kaldı. Meslektaşlarının onu suçladığı ana şey, geliştirilen teorinin yararsızlığıydı. “Evet” dediler, “bunlar çok güzel resimler, ama daha fazlası değil. Fraktallar teorisinin pratik bir değeri yoktur.” Ayrıca, genel olarak fraktal modellerin, yetmişlerin sonlarında pek çok kişiye tamamen güvenilemeyecek kadar karmaşık ve keşfedilmemiş bir şey gibi görünen "şeytan makineleri" çalışmasının bir yan ürünü olduğuna inananlar da vardı. Mandelbrot, fraktallar teorisinin bariz bir uygulamasını bulmaya çalıştı, ancak genel olarak bunu yapmasına gerek yoktu. Önümüzdeki 25 yıl boyunca Benoit Mandelbrot'un takipçileri böyle bir "matematiksel merak" için çok faydalı olduklarını kanıtladılar ve Lauren Carpenter fraktal yöntemi ilk uygulamaya koyanlardan biriydi.

Kitabı inceledikten sonra, gelecekteki animatör fraktal geometrinin ilkelerini ciddi şekilde inceledi ve onu bilgisayar grafiklerinde uygulamanın bir yolunu aramaya başladı. Lauren, sadece üç günlük bir çalışmayla, bilgisayarında dağ sisteminin gerçekçi bir görüntüsünü görselleştirebildi. Başka bir deyişle, formüllerin yardımıyla tamamen tanınabilir bir dağ manzarası çizdi.

Lauren'in amacına ulaşmak için kullandığı ilke çok basitti. Daha büyük bir geometrik figürü küçük elemanlara bölmekten ibaretti ve bunlar da daha küçük boyutlu benzer figürlere bölündü.

Carpenter daha büyük üçgenler kullanarak onları dört küçük üçgene ayırdı ve ardından gerçekçi bir dağ manzarası elde edene kadar bu prosedürü tekrar tekrar tekrarladı. Böylece, görüntü oluşturmak için bilgisayar grafiklerinde fraktal bir algoritma kullanan ilk sanatçı olmayı başardı. Yapılan iş hakkında bilgi sahibi olur olmaz, dünyanın dört bir yanındaki meraklılar bu fikri benimsediler ve gerçekçi doğal formları simüle etmek için fraktal algoritmayı kullanmaya başladılar.

Fraktal algoritmayı kullanan ilk 3B işlemelerden biri

Sadece birkaç yıl sonra Lauren Carpenter, başarılarını çok daha büyük bir projede uygulayabildi. Animatör, onları 1980'de Siggraph'ta gösterilen Vol Libre adlı iki dakikalık bir demoya dayandırdı. Bu video gören herkesi şoke etti ve Lauren Lucasfilm'den bir davet aldı.

Animasyon, Digital Equipment Corporation'dan bir VAX-11/780 bilgisayarında beş megahertzlik bir saat hızında oluşturuldu ve her karenin çizilmesi yaklaşık yarım saat sürdü.

Lucasfilm Limited için çalışan animatör, Star Trek destanındaki ikinci uzun metrajlı film için aynı 3B manzaraları yarattı. Khan'ın Gazabı'nda Carpenter, aynı fraktal yüzey modelleme ilkesini kullanarak tüm bir gezegeni yaratmayı başardı.

Şu anda, 3B manzaralar oluşturmaya yönelik tüm popüler uygulamalar, aynı doğal nesneler oluşturma ilkesini kullanır. Terragen, Bryce, Vue ve diğer 3D editörler, fraktal bir yüzey ve doku modelleme algoritmasına güvenir.

⇡ Fraktal antenler: daha azı daha iyidir, ancak daha iyidir

Son yarım yüzyılda hayat hızla değişti. Çoğumuz başarıyı kabul ederiz modern teknolojiler verildiği için. Hayatı kolaylaştıran her şeye çok çabuk alışıyorsunuz. Nadiren kimse “Bu nereden geldi?” Sorularını soruyor. ve "Nasıl çalışır?". Mikrodalga fırın kahvaltıyı ısıtır - harika, akıllı telefon başka biriyle konuşmanıza izin verir - harika. Bu bize açık bir ihtimal gibi görünüyor.

Ancak bir kişi meydana gelen olaylar için bir açıklama aramadıysa, hayat tamamen farklı olabilirdi. Örneğin cep telefonlarını ele alalım. İlk modellerdeki geri çekilebilir antenleri hatırlıyor musunuz? Müdahale ettiler, cihazın boyutunu artırdılar, sonunda sık sık kırıldılar. Sonsuza dek unutulmaya yüz tuttuklarına inanıyoruz ve kısmen de bu ... fraktallar yüzünden.

Fraktal çizimler desenleriyle büyülüyor. Kesinlikle uzay nesnelerinin görüntülerine benziyorlar - bulutsular, galaksi kümeleri vb. Bu nedenle, Mandelbrot fraktal teorisini dile getirdiğinde, araştırmasının astronomi okuyanlar arasında artan ilgiyi uyandırması oldukça doğaldır. Nathan Cohen adlı böyle bir amatör, Budapeşte'deki Benoit Mandelbrot tarafından verilen bir konferansa katıldıktan sonra, edindiği bilgilerin pratik olarak uygulanması fikrinden ilham aldı. Doğru, bunu sezgisel olarak yaptı ve keşfinde şans önemli bir rol oynadı. Bir radyo amatörü olarak Nathan, mümkün olan en yüksek hassasiyete sahip bir anten yaratmaya çalıştı.

O zamanlar bilinen antenin parametrelerini iyileştirmenin tek yolu geometrik boyutlarını artırmaktı. Ancak, Nathan'ın Boston şehir merkezindeki dairesinin sahibi, büyük çatı cihazlarının kurulmasına kesinlikle karşıydı. Ardından Nathan, minimum boyutla maksimum sonucu elde etmeye çalışarak çeşitli anten biçimleriyle deneyler yapmaya başladı. Fraktal formlar fikriyle ateşlenen Cohen, dedikleri gibi, telden en ünlü fraktallardan birini rastgele yaptı - “Koch kar tanesi”. İsveçli matematikçi Helge von Koch bu eğriyi 1904'te buldu. Parçanın üç parçaya bölünmesi ve orta parçanın bu parçaya denk gelen kenarı olmayan bir eşkenar üçgen ile değiştirilmesiyle elde edilir. Tanımı anlamak biraz zor ama şekil açık ve basit.

"Koch eğrisinin" başka çeşitleri de vardır, ancak eğrinin yaklaşık şekli benzer kalır.

Nathan anteni radyo alıcısına bağladığında çok şaşırdı - hassasiyet çarpıcı biçimde arttı. Bir dizi deneyden sonra, Boston Üniversitesi'ndeki müstakbel profesör, fraktal bir desene göre yapılmış bir antenin yüksek verimliliğe sahip olduğunu ve klasik çözümlere kıyasla çok daha geniş bir frekans aralığını kapsadığını fark etti. Ek olarak, antenin fraktal eğri şeklindeki şekli, geometrik boyutları önemli ölçüde azaltabilir. Nathan Cohen, geniş bantlı bir anten oluşturmak için ona kendine benzer bir fraktal eğri şekli vermenin yeterli olduğunu kanıtlayan bir teorem bile geliştirdi.

Yazar, keşfinin patentini aldı ve fraktal antenlerin geliştirilmesi ve tasarımı için bir firma kurdu Fraktal Anten Sistemleri, gelecekte, keşfi sayesinde cep telefonlarının hacimli antenlerden kurtulabileceğine ve daha kompakt hale geleceğine haklı olarak inanıyor.

Temel olarak, olan buydu. Doğru, bu güne kadar Nathan, keşfini kompakt iletişim cihazları üretmek için yasa dışı olarak kullanan büyük şirketlerle bir davada. Motorola gibi bazı tanınmış mobil cihaz üreticileri, fraktal antenin mucidi ile şimdiden bir barış anlaşmasına vardılar.

⇡ Fraktal boyutlar: zihin anlamaz

Benoit, bu soruyu ünlü Amerikalı bilim adamı Edward Kasner'dan ödünç aldı.

İkincisi, diğer birçok ünlü matematikçi gibi, çocuklarla iletişim kurmayı, onlara sorular sormayı ve beklenmedik cevaplar almayı çok severdi. Bazen bu şaşırtıcı sonuçlara yol açtı. Örneğin, Edward Kasner'ın dokuz yaşındaki yeğeni, şimdi iyi bilinen "googol" kelimesini buldu ve yüz sıfırlı bir birimi ifade etti. Ama fraktallara geri dönelim. Amerikalı matematikçi, ABD kıyı şeridinin ne kadar uzun olduğunu sormayı severdi. Muhatabın görüşünü dinledikten sonra Edward'ın kendisi doğru cevabı söyledi. Haritadaki uzunluğu kırık parçalarla ölçerseniz, kıyı şeridinde çok sayıda düzensizlik olduğu için sonuç yanlış olacaktır. Ve mümkün olduğunca doğru bir şekilde ölçerseniz ne olur? Her bir eşitsizliğin uzunluğunu hesaba katmanız gerekecek - her bir pelerini, her körfezi, kayayı, kayalık bir çıkıntının uzunluğunu, üzerinde bir taşı, bir kum tanesini, bir atomu vb. ölçmeniz gerekecek. Düzensizliklerin sayısı sonsuz olma eğiliminde olduğundan, kıyı şeridinin ölçülen uzunluğu her yeni düzensizlik ile sonsuza kadar artacaktır.

Ölçerken ölçü ne kadar küçükse, ölçülen uzunluk o kadar büyük olur

İlginç bir şekilde, Edward'ın talimatlarını takiben, çocuklar doğru cevabı yetişkinlerden çok daha hızlı söylerken, yetişkinler böyle inanılmaz bir cevabı kabul etmekte zorlandılar.

Bu problemi örnek olarak kullanan Mandelbrot, ölçümlere yeni bir yaklaşım kullanmayı önerdi. Kıyı şeridi bir fraktal eğriye yakın olduğu için, fraktal boyut olarak adlandırılan bir karakterize edici parametrenin buna uygulanabileceği anlamına gelir.

Olağan boyutun ne olduğu herkes için açıktır. Boyut bire eşitse, iki - düz bir rakam, üç - hacim ise düz bir çizgi elde ederiz. Bununla birlikte, matematikte böyle bir boyut anlayışı, bu parametrenin kesirli bir değere sahip olduğu fraktal eğrilerle çalışmaz. Matematikte fraktal boyut şartlı olarak "pürüzlülük" olarak kabul edilebilir. Eğrinin pürüzlülüğü ne kadar yüksek olursa, fraktal boyutu da o kadar büyük olur. Mandelbrot'a göre, topolojik boyutundan daha yüksek bir fraktal boyutu olan bir eğri, boyutların sayısına bağlı olmayan yaklaşık bir uzunluğa sahiptir.

Şu anda, bilim adamları fraktal teorinin uygulanması için giderek daha fazla alan buluyorlar. Fraktalların yardımıyla, hisse senedi fiyatlarındaki dalgalanmaları analiz edebilir, tür sayısındaki dalgalanmalar gibi her türlü doğal süreci keşfedebilir veya akış dinamiklerini simüle edebilirsiniz. Fraktal algoritmalar, örneğin görüntü sıkıştırma gibi veri sıkıştırma için kullanılabilir. Bu arada, bilgisayar ekranınızda güzel bir fraktal elde etmek için doktora derecesine sahip olmanız gerekmez.

⇡ Tarayıcıda fraktal

Fraktal desen elde etmenin belki de en kolay yollarından biri, genç yetenekli programcı Toby Schachman'ın çevrimiçi vektör düzenleyicisini kullanmaktır. Bu basit grafik düzenleyicinin araç takımı, aynı öz-benzerlik ilkesine dayanmaktadır.

Elinizde sadece iki basit şekil var - bir kare ve bir daire. Bunları tuvale ekleyebilir, ölçekleyebilir (eksenlerden biri boyunca ölçeklendirmek için Shift tuşunu basılı tutun) ve döndürebilirsiniz. Boolean toplama işlemleri ilkesiyle örtüşen bu en basit öğeler, yeni, daha az önemsiz biçimler oluşturur. Ayrıca, bu yeni formlar projeye eklenebilir ve program bu görüntülerin oluşturulmasını süresiz olarak tekrarlayacaktır. Bir fraktal üzerinde çalışmanın herhangi bir aşamasında, karmaşık bir şeklin herhangi bir bileşenine dönebilir ve konumunu ve geometrisini düzenleyebilirsiniz. Çok eğlenceli, özellikle de yaratıcı olmak için ihtiyacınız olan tek aracın bir tarayıcı olduğunu düşündüğünüzde. Bu özyinelemeli vektör editörüyle çalışma prensibini anlamıyorsanız, videoyu projenin resmi web sitesinde izlemenizi tavsiye ederiz, bu da tüm fraktal oluşturma sürecini ayrıntılı olarak gösterir.

⇡ XaoS: her zevke uygun fraktallar

Birçok grafik düzenleyicide, fraktal desenler oluşturmak için yerleşik araçlar bulunur. Ancak, bu araçlar genellikle ikincildir ve oluşturulan fraktal desende ince ayar yapmanıza izin vermez. Matematiksel olarak doğru bir fraktal oluşturmanın gerekli olduğu durumlarda, XaoS çapraz platform düzenleyicisi kurtarmaya gelecektir. Bu program, yalnızca kendine benzer bir görüntü oluşturmayı değil, aynı zamanda onunla çeşitli manipülasyonlar gerçekleştirmeyi de mümkün kılar. Örneğin, gerçek zamanlı olarak, ölçeğini değiştirerek bir fraktalda "yürüyebilirsiniz". Bir fraktal boyunca animasyonlu hareket, bir XAF dosyası olarak kaydedilebilir ve ardından programın kendisinde oynatılabilir.

XaoS, rastgele bir parametre seti yükleyebilir ve çeşitli görüntü işleme filtreleri kullanabilir - bulanık bir hareket efekti ekleyebilir, fraktal noktalar arasındaki keskin geçişleri yumuşatabilir, bir 3D görüntüyü simüle edebilir, vb.

⇡ Fraktal Zoomer: kompakt fraktal üreteci

Diğer fraktal görüntü oluşturucularla karşılaştırıldığında, birçok avantajı vardır. İlk olarak, boyutu oldukça küçüktür ve kurulum gerektirmez. İkincisi, resmin renk paletini tanımlama yeteneğini uygular. RGB, CMYK, HVS ve HSL renk modellerinde gölgeler seçebilirsiniz.

Rastgele renk tonu seçimi seçeneğini ve resimdeki tüm renkleri tersine çevirme işlevini kullanmak da çok uygundur. Rengi ayarlamak için, döngüsel gölge seçimi işlevi vardır - ilgili mod açıldığında, program görüntüyü canlandırır, üzerindeki renkleri döngüsel olarak değiştirir.

Fraktal Zoomer 85 farklı fraktal fonksiyonu görselleştirebilir ve formüller program menüsünde açıkça gösterilir. Programda az miktarda da olsa görüntü işleme sonrası filtreler bulunmaktadır. Atanan her filtre herhangi bir zamanda iptal edilebilir.

⇡ Mandelbulb3D: 3B fraktal düzenleyici

"Fractal" terimi kullanıldığında, çoğunlukla düz iki boyutlu bir görüntü anlamına gelir. Ancak fraktal geometri 2B boyutun ötesine geçer. Doğada, hem düz fraktal form örnekleri, örneğin yıldırım geometrisi hem de üç boyutlu üç boyutlu şekiller bulunabilir. Fraktal yüzeyler 3B olabilir ve 3B fraktalların en açıklayıcı örneklerinden biridir. Günlük yaşam- lahana başı. Fraktalları görmenin belki de en iyi yolu, karnabahar ve brokolinin bir melezi olan Romanesco'dur.

Ve bu fraktal yenebilir

Mandelbulb3D programı, benzer bir şekle sahip üç boyutlu nesneler oluşturabilir. Fraktal algoritmayı kullanarak bir 3B yüzey elde etmek için, bu uygulamanın yazarları Daniel White ve Paul Nylander, Mandelbrot setini küresel koordinatlara dönüştürdüler. Oluşturdukları Mandelbulb3D programı, çeşitli şekillerdeki fraktal yüzeyleri modelleyen gerçek bir üç boyutlu düzenleyicidir. Doğada fraktal desenleri sıklıkla gözlemlediğimiz için, yapay olarak oluşturulmuş fraktal üç boyutlu bir nesne inanılmaz derecede gerçekçi ve hatta “canlı” görünüyor.

Bir bitki gibi görünebilir, garip bir hayvana, bir gezegene veya başka bir şeye benzeyebilir. Bu efekt, gerçekçi yansımalar elde etmeyi, şeffaflık ve gölgeleri hesaplamayı, alan derinliği efektini simüle etmeyi vb. mümkün kılan gelişmiş bir işleme algoritması ile geliştirilmiştir. Mandelbulb3D, çok sayıda ayar ve işleme seçeneğine sahiptir. Işık kaynaklarının gölgelerini kontrol edebilir, modellenen nesnenin arka planını ve ayrıntı düzeyini seçebilirsiniz.

Incendia fraktal düzenleyicisi çift görüntü yumuşatmayı destekler, elli farklı üç boyutlu fraktaldan oluşan bir kitaplık içerir ve temel şekilleri düzenlemek için ayrı bir modüle sahiptir.

Uygulama, bağımsız olarak yeni fraktal yapı türlerini tanımlayabileceğiniz fraktal komut dosyası kullanır. Incendia, doku ve malzeme düzenleyicilere ve hacimsel sis efektlerini ve çeşitli gölgelendiricileri kullanmanıza izin veren bir işleme motoruna sahiptir. Program, uzun süreli oluşturma sırasında arabelleği kaydetme seçeneğine sahiptir, animasyon oluşturma desteklenir.

Incendia, bir fraktal modeli popüler 3D grafik formatlarına (OBJ ve STL) aktarmanıza olanak tanır. Incendia, küçük bir Geometrica yardımcı programını içerir - fraktal bir yüzeyin üç boyutlu bir modele dışa aktarılmasını ayarlamak için özel bir araç. Bu yardımcı programı kullanarak, bir 3B yüzeyin çözünürlüğünü belirleyebilir, fraktal yinelemelerin sayısını belirleyebilirsiniz. Dışa aktarılan modeller, Blender, 3ds max ve diğerleri gibi 3B düzenleyicilerle çalışırken 3B projelerde kullanılabilir.

Son zamanlarda, Incendia projesi üzerindeki çalışmalar biraz yavaşladı. Şu anda yazar, programı geliştirmesine yardımcı olacak sponsorlar arıyor.

Bu programda güzel bir üç boyutlu fraktal çizecek kadar hayal gücünüz yoksa önemli değil. INCENDIA_EX\parameters klasöründe bulunan parametre kitaplığını kullanın. PAR dosyalarının yardımıyla, animasyonlu olanlar da dahil olmak üzere en sıra dışı fraktal şekilleri hızla bulabilirsiniz.

⇡ İşitsel: fraktallar nasıl şarkı söyler

Genelde üzerinde çalışılan projelerden bahsetmiyoruz ama bu durumda bir istisna yapmamız gerekiyor, bu çok sıra dışı bir uygulama. Incendia ile aynı kişiyle Aural adlı bir proje ortaya çıktı. Doğru, bu sefer program fraktal kümeyi görselleştirmiyor, ancak seslendirerek elektronik müziğe dönüştürüyor. Fikir, özellikle fraktalların olağandışı özellikleri göz önüne alındığında çok ilginç. Aural, fraktal algoritmalar kullanarak melodiler üreten bir ses düzenleyicisidir, yani aslında bir ses sentezleyici-sıralayıcıdır.

Bu program tarafından verilen seslerin sırası alışılmadık ve ... güzel. Modern ritimler yazmak için oldukça kullanışlı olabilir ve bize göre, özellikle televizyon ve radyo programlarının girişleri için film müzikleri ve ayrıca bilgisayar oyunları için arka plan müziği "döngüleri" oluşturmak için çok uygundur. Ramiro henüz sağlamadı demo versiyonu Ama yaptığı zaman, Aural ile çalışmak için fraktallar teorisini incelemesine gerek kalmayacağını vaat ediyor - sadece bir not dizisi oluşturmak için algoritmanın parametreleriyle oynayın. Fraktalların nasıl ses çıkardığını dinleyin ve.

Fraktallar: müzikal duraklama

Aslında, fraktallar yazılım olmadan bile müzik yazmaya yardımcı olabilir. Ancak bu, yalnızca doğal uyum fikriyle gerçekten iç içe olan ve aynı zamanda talihsiz bir “inek” haline gelmemiş biri tarafından yapılabilir. Diğer şeylerin yanı sıra Popular Science dergisi için besteler yazan Jonathan Coulton adlı bir müzisyenden ipucu almak mantıklı. Ve diğer sanatçılardan farklı olarak, Colton tüm eserlerini Creative Commons Atıf-Ticari Olmayan lisansı altında yayınlar; bu lisans (ticari olmayan amaçlarla kullanıldığında) ücretsiz kopyalama, dağıtım, eserin başkalarına aktarılması ve aynı zamanda değiştirilmesini (oluşturma) sağlar. türev çalışmalar) ihtiyaçlarınıza göre uyarlamak için.

Jonathan Colton'ın elbette fraktallarla ilgili bir şarkısı var.

⇡ Sonuç

Bizi çevreleyen her şeyde sık sık kaos görürüz, ancak aslında bu bir tesadüf değil, fraktalların ayırt etmemize yardımcı olan ideal bir formdur. Doğa en iyi mimar, ideal inşaatçı ve mühendistir. Çok mantıklı bir şekilde düzenlenmiştir ve eğer bir yerde kalıp görmüyorsak, bu onu farklı bir ölçekte aramamız gerektiği anlamına gelir. İnsanlar bunu giderek daha iyi anlıyor, doğal formları birçok yönden taklit etmeye çalışıyor. Mühendisler, bir kabuk şeklinde hoparlör sistemleri tasarlar, kar tanesi geometrisine sahip antenler oluşturur vb. Fraktalların hala birçok sır sakladığından eminiz ve birçoğu henüz insan tarafından keşfedilmemiştir.

Fraktallar neredeyse bir asırdır biliniyor, iyi çalışılıyor ve hayatta sayısız uygulamaları var. Bununla birlikte, bu fenomen çok basit bir fikre dayanmaktadır: sadece iki işlem kullanılarak - kopyalama ve ölçekleme - nispeten basit yapılardan güzellik ve çeşitlilikte sonsuz sayıda figür elde edilebilir.

Bir ağaç, bir deniz kıyısı, bir bulut veya elimizdeki kan damarlarının ortak noktası nedir? İlk bakışta, tüm bu nesnelerin ortak hiçbir yanı yokmuş gibi görünebilir. Bununla birlikte, aslında, listelenen tüm nesnelerde bulunan yapının bir özelliği vardır: kendilerine benzerler. Daldan ve bir ağacın gövdesinden, onlardan daha küçük süreçler ayrılır - hatta daha küçük olanlar, vb., yani bir dal tüm ağaca benzer. Dolaşım sistemi benzer şekilde düzenlenmiştir: arteriyoller arterlerden ayrılır ve onlardan oksijenin organlara ve dokulara girdiği en küçük kılcal damarlar. Deniz kıyısının uydu görüntülerine bakalım: koyları ve yarımadaları göreceğiz; bir de kuşbakışı bakalım: koylar ve burunlar göreceğiz; şimdi kumsalda durduğumuzu ve ayaklarımıza baktığımızı hayal edin: her zaman suya diğerlerinden daha fazla çıkıntı yapan çakıl taşları olacaktır. Yani yakınlaştırıldığında kıyı şeridi kendisine benzer kalıyor. Amerikalı matematikçi Benoit Mandelbrot, nesnelerin bu özelliğini fraktalite olarak adlandırdı ve bu tür nesnelerin kendileri - fraktallar (Latin fraktusundan - kırık).

Bu kavramın kesin bir tanımı yoktur. Bu nedenle "fraktal" kelimesi matematiksel bir terim değildir. Genellikle, bir fraktal, aşağıdaki özelliklerden bir veya daha fazlasını karşılayan geometrik bir şekildir: Herhangi bir büyütmede karmaşık bir yapıya sahiptir (örneğin, herhangi bir kısmı en basit geometrik şekil olan düz bir çizginin aksine - bir segment). (Yaklaşık olarak) kendine benzer. Topolojik olandan daha büyük olan kesirli bir Hausdorff (fraktal) boyutuna sahiptir. Özyinelemeli prosedürlerle oluşturulabilir.

Geometri ve Cebir

19. ve 20. yüzyılların başında fraktalların incelenmesi sistematik olmaktan çok epizodikti, çünkü daha önceki matematikçiler esas olarak genel yöntemler ve teoriler kullanılarak araştırılabilecek “iyi” nesneler üzerinde çalıştılar. 1872'de Alman matematikçi Karl Weierstrass, hiçbir yerde türevlenemeyen sürekli bir fonksiyon örneği oluşturur. Ancak, yapısı tamamen soyuttu ve anlaşılması zordu. Bu nedenle, 1904'te İsveçli Helge von Koch, hiçbir yerde teğeti olmayan sürekli bir eğri buldu ve onu çizmek oldukça basit. Bir fraktalın özelliklerine sahip olduğu ortaya çıktı. Bu eğrinin bir varyasyonu Koch kar tanesi olarak adlandırılır.

Figürlerin kendine benzerliği fikirleri, Benoit Mandelbrot'un gelecekteki akıl hocası Fransız Paul Pierre Levy tarafından alındı. 1938'de, başka bir fraktalın tanımlandığı “Düzlem ve Uzamsal Eğriler ve Bütüne Benzer Parçalardan Oluşan Yüzeyler” adlı makalesi yayınlandı - Lévy C-eğrisi. Yukarıda listelenen tüm bu fraktallar, şartlı olarak bir yapıcı (geometrik) fraktal sınıfına bağlanabilir.

Başka bir sınıf, Mandelbrot kümesini içeren dinamik (cebirsel) fraktallardır. Bu yöndeki ilk araştırmalar 20. yüzyılın başında başlamış ve Fransız matematikçiler Gaston Julia ve Pierre Fatou'nun isimleriyle ilişkilendirilmiştir. 1918'de Julia, karmaşık olayların yinelemelerine adanmış neredeyse iki yüz sayfa anı yayınladı. rasyonel fonksiyonlar Mandelbrot kümesiyle yakından ilişkili bütün bir fraktal ailesi olan Julia kümelerini tanımlayan . Bu eser Fransız Akademisi ödülüne layık görüldü, ancak tek bir illüstrasyon içermediği için keşfedilen nesnelerin güzelliğini takdir etmek imkansızdı. Bu çalışmanın Julia'yı zamanın matematikçileri arasında ünlü yapmasına rağmen, çabucak unutuldu. Yine, dikkatler ancak yarım yüzyıl sonra bilgisayarların ortaya çıkmasıyla çevrildi: fraktallar dünyasının zenginliğini ve güzelliğini görünür kılan onlardı.

fraktal boyutlar

Bildiğiniz gibi bir geometrik şeklin boyutu (ölçü sayısı), bu şekil üzerinde bulunan bir noktanın konumunu belirlemek için gerekli olan koordinat sayısıdır.
Örneğin, bir eğri üzerindeki bir noktanın konumu bir koordinatla, bir yüzeyde (mutlaka bir düzlem değil) iki koordinatla, üç boyutlu uzayda üç koordinatla belirlenir.
Daha genel bir matematiksel bakış açısından, boyut şu şekilde tanımlanabilir: tek boyutlu (topolojik bir bakış açısından) nesneler (segment) için doğrusal boyutlardaki iki kat artış, boyutta (uzunluk) bir artışa yol açar. ) iki kat, iki boyutlu (kare ) için doğrusal boyutlardaki aynı artış, boyutta (alan) 4 kat, üç boyutlu (küp) - 8 kat artışa yol açar. Yani, "gerçek" (hausdorff olarak adlandırılan) boyut, bir nesnenin "boyutundaki" artışın logaritmasının, doğrusal boyutundaki artışın logaritmasına oranı olarak hesaplanabilir. Yani, bir segment için D=log (2)/log (2)=1, bir düzlem için D=log (4)/log (2)=2, bir hacim için D=log (8)/log (2 )=3.
Şimdi, birim segmentin üç eşit parçaya bölündüğü ve değiştirildiği yapı için Koch eğrisinin boyutunu hesaplayalım. ortalama aralık bu parçası olmayan bir eşkenar üçgen. Minimum segmentin lineer boyutlarında üç kat artışla, Koch eğrisinin uzunluğu log (4) / log (3) ~ 1.26'da artar. Yani, Koch eğrisinin boyutu kesirlidir!

Bilim ve sanat

1982'de Mandelbrot'un, yazarın o sırada mevcut olan fraktallar hakkında neredeyse tüm bilgileri toplayıp sistematize ettiği ve kolay ve erişilebilir bir şekilde sunduğu "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabı yayınlandı. Mandelbrot sunumunda ana vurguyu hantal formüller ve matematiksel yapılar üzerinde değil, okuyucuların geometrik sezgileri üzerinde yaptı. Yazarın monografın bilimsel bileşenini ustaca seyrelttiği bilgisayar tarafından oluşturulan çizimler ve tarihi hikayeler sayesinde kitap en çok satanlar haline geldi ve fraktallar halk tarafından bilinir hale geldi. Matematikçi olmayanlar arasındaki başarıları, büyük ölçüde, bir lise öğrencisinin bile anlayabileceği çok basit yapılar ve formüllerin yardımıyla, şaşırtıcı karmaşıklık ve güzellikteki görüntülerin elde edilmesinden kaynaklanmaktadır. Kişisel bilgisayarlar yeterince güçlü hale geldiğinde, sanatta bütün bir eğilim bile ortaya çıktı - fraktal resim ve hemen hemen her bilgisayar sahibi bunu yapabilirdi. Artık internette bu konuya adanmış birçok siteyi kolayca bulabilirsiniz.

Koch eğrisini elde etme şeması

Savaş ve Barış

Yukarıda belirtildiği gibi, fraktal özelliklere sahip doğal nesnelerden biri kıyı şerididir. Onunla veya daha doğrusu, uzunluğunu ölçme girişimiyle, bir ilginç hikaye Mandelbrot'un bilimsel makalesinin temelini oluşturan ve aynı zamanda "Doğanın Fraktal Geometrisi" adlı kitabında da anlatılan. Çok yetenekli ve eksantrik bir matematikçi, fizikçi ve meteorolog olan Lewis Richardson tarafından kurulmuş bir deneyden bahsediyoruz. Araştırmasının yönlerinden biri, iki ülke arasında silahlı bir çatışmanın nedenleri ve olasılığının matematiksel bir tanımını bulma girişimiydi. Hesaba kattığı parametreler arasında iki savaşan ülke arasındaki ortak sınırın uzunluğu da vardı. Sayısal deneyler için veri toplarken, farklı kaynaklarda İspanya ve Portekiz'in ortak sınırına ilişkin verilerin büyük ölçüde farklı olduğunu buldu. Bu onu şu keşfe götürdü: ülkenin sınırlarının uzunluğu, onları ölçtüğümüz cetvele bağlıdır. Ölçek ne kadar küçük olursa, kenarlık o kadar uzun olur. Bunun nedeni, daha yüksek büyütmede, ölçümlerin pürüzlülüğü nedeniyle daha önce göz ardı edilen kıyı kıvrımlarının giderek daha fazla dikkate alınmasının mümkün hale gelmesidir. Ve her yakınlaştırma ile daha önce hesaplanmamış çizgi kıvrımları açılırsa, o zaman sınırların uzunluğunun sonsuz olduğu ortaya çıkar! Doğru, aslında bu olmaz - ölçümlerimizin doğruluğunun sınırlı bir sınırı vardır. Bu paradoksa Richardson etkisi denir.

Yapıcı (geometrik) fraktallar

Genel durumda yapıcı bir fraktal oluşturmaya yönelik algoritma aşağıdaki gibidir. Öncelikle iki uygun geometrik şekle ihtiyacımız var, bunlara taban ve parça diyelim. İlk aşamada, gelecekteki fraktalın temeli tasvir edilmiştir. Daha sonra bazı parçaları uygun bir ölçekte alınan bir parça ile değiştirilir - bu, yapının ilk yinelemesidir. Sonra, ortaya çıkan şekilde, bazı parçalar tekrar bir parçaya benzer şekillere dönüşür, vb. Bu işleme süresiz devam edersek, limitte bir fraktal elde ederiz.

Bu işlemi Koch eğrisi örneğini kullanarak düşünün (önceki sayfadaki kenar çubuğuna bakın). Koch eğrisinin temeli olarak herhangi bir eğri alınabilir (Koch kar tanesi için bu bir üçgendir). Ancak kendimizi en basit durumla sınırlıyoruz - bir segment. Parça, şeklin üst kısmında gösterilen kesik bir çizgidir. Algoritmanın ilk yinelemesinden sonra, bu durumda, orijinal parça parça ile çakışacak, daha sonra onu oluşturan parçaların her birinin kendisi parçaya benzer kesikli bir çizgi ile değiştirilecektir, vb. Şekil ilk dördü göstermektedir. bu sürecin adımları.

Matematik dili: dinamik (cebirsel) fraktallar

Bu tür fraktallar, doğrusal olmayan dinamik sistemlerin (dolayısıyla adı) incelenmesinde ortaya çıkar. Böyle bir sistemin davranışı, karmaşık bir doğrusal olmayan fonksiyon (polinom) f (z) ile tanımlanabilir. Karmaşık düzlemde bir z0 başlangıç ​​noktası alalım (kenar çubuğuna bakın). Şimdi karmaşık düzlemde her biri bir öncekinden elde edilen böyle sonsuz bir sayı dizisini düşünün: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Başlangıç ​​noktası z0'a bağlı olarak, böyle bir dizi farklı davranabilir: n -> ∞ gibi sonsuzluğa yönelir; bir son noktaya yakınsama; döngüsel olarak bir dizi sabit değer alın; daha karmaşık seçenekler mümkündür.

Karışık sayılar

Karmaşık bir sayı, iki bölümden oluşan bir sayıdır - gerçek ve hayali, yani x + iy resmi toplamı (burada x ve y gerçek sayılardır). ben sözde. hayali birim, yani denklemi sağlayan bir sayı ben^ 2 = -1. Karmaşık sayılar üzerinde temel matematiksel işlemler tanımlanır - toplama, çarpma, bölme, çıkarma (sadece karşılaştırma işlemi tanımlanmaz). Karmaşık sayıları görüntülemek için, genellikle geometrik bir temsil kullanılır - düzlemde (karmaşık olarak adlandırılır), gerçek kısım apsis ekseni boyunca çizilir ve hayali kısım ordinat ekseni boyunca çizilir, karmaşık sayı bir noktaya karşılık gelir. Kartezyen koordinatları x ve y ile.

Böylece, karmaşık düzlemin herhangi bir z noktası, f (z) fonksiyonunun yinelemeleri sırasında kendi davranış karakterine sahiptir ve tüm düzlem parçalara bölünür. Ayrıca, bu parçaların sınırları üzerinde bulunan noktalar şu özelliğe sahiptir: keyfi olarak küçük bir yer değiştirme için, davranışlarının doğası çarpıcı biçimde değişir (bu noktalara çatallanma noktaları denir). Böylece, belirli bir davranış tipine sahip nokta kümelerinin yanı sıra çatallanma noktaları kümelerinin de genellikle fraktal özelliklere sahip olduğu ortaya çıkıyor. Bunlar f(z) fonksiyonu için Julia kümeleridir.

ejderha ailesi

Tabanı ve parçayı değiştirerek, çarpıcı çeşitlilikte yapıcı fraktallar elde edebilirsiniz.
Ayrıca üç boyutlu uzayda da benzer işlemler yapılabilir. Hacimsel fraktal örnekleri "Menger süngeri", "Sierpinski piramidi" ve diğerleridir.
Ejderha ailesi aynı zamanda yapıcı fraktallar olarak da adlandırılır. Bazen kaşiflerin adıyla "Heiwei-Harter ejderhaları" olarak anılırlar (şekillerinde Çin ejderhalarına benzerler). Bu eğriyi oluşturmanın birkaç yolu vardır. Bunlardan en basit ve en belirgin olanı şudur: yeterince uzun bir kağıt şeridi almanız (kağıt ne kadar ince olursa o kadar iyi) ve ikiye bükmeniz gerekir. Ardından, ilk kez aynı yönde tekrar ikiye bükün. Birkaç tekrardan sonra (genellikle beş veya altı kattan sonra, şerit dikkatlice bükülemeyecek kadar kalınlaşır), şeridi geriye doğru düzeltmeniz ve kıvrımlarda 90˚ açı oluşturmaya çalışmanız gerekir. Daha sonra ejderhanın eğrisi profilde ortaya çıkacaktır. Elbette bu, fraktal nesneleri tasvir etmeye yönelik tüm girişimlerimiz gibi yalnızca bir yaklaşıklık olacaktır. Bilgisayar, bu süreçte daha birçok adımı tasvir etmenizi sağlar ve sonuç çok güzel bir rakamdır.

Mandelbrot seti biraz farklı bir şekilde inşa edilmiştir. fc (z) = z 2 +c fonksiyonunu düşünün, burada c bir karmaşık sayıdır. Bu fonksiyonun bir dizisini z0=0 ile oluşturalım, c parametresine bağlı olarak sonsuza kadar uzaklaşabilir veya sınırlı kalabilir. Ayrıca, bu dizinin sınırlandığı tüm c değerleri Mandelbrot kümesini oluşturur. Mandelbrot'un kendisi ve bu kümenin birçok ilginç özelliğini keşfeden diğer matematikçiler tarafından ayrıntılı olarak incelenmiştir.

Julia ve Mandelbrot kümelerinin tanımlarının birbirine benzediği görülmektedir. Aslında, bu iki küme yakından ilişkilidir. Yani, Mandelbrot kümesi, Julia kümesinin fc (z) bağlı olduğu karmaşık parametre c'nin tüm değerleridir (bazı ek koşullarla kesişmeyen iki parçaya bölünemezse bir küme bağlı olarak adlandırılır).

fraktallar ve hayat

Günümüzde, fraktal teorisi, insan faaliyetinin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Araştırma için tamamen bilimsel bir nesneye ve daha önce bahsedilen fraktal resme ek olarak, bilgi teorisinde fraktallar grafik verilerini sıkıştırmak için kullanılır (burada, fraktalların kendi kendine benzerlik özelliği esas olarak kullanılır - sonuçta, küçük bir parçayı hatırlamak için Parçaların geri kalanını alabileceğiniz bir çizim ve dönüşümler, tüm dosyayı depolamaktan çok daha az bellek gerektirir). Fraktalı tanımlayan formüllere rastgele pertürbasyonlar ekleyerek, bazı gerçek nesneleri çok makul bir şekilde ileten stokastik fraktallar elde edilebilir - kabartma elementler, su kütlelerinin yüzeyi, bazı bitkiler, başarılı bir şekilde fizikte, coğrafyada ve bilgisayar grafiklerinde başarıyla kullanılır. simüle edilmiş nesnelerin gerçek nesnelerle daha fazla benzerliği. Radyo elektroniğinde, son on yılda fraktal şekle sahip antenler üretmeye başladılar. Az yer kaplayarak oldukça yüksek kaliteli sinyal alımı sağlarlar. Ekonomistler, para birimi dalgalanma eğrilerini tanımlamak için fraktalları kullanır (bu özellik, 30 yıl önce Mandelbrot tarafından keşfedilmiştir). Bu, güzelliği ve çeşitliliği ile şaşırtıcı olan fraktallar dünyasına yapılan bu kısa geziyi sonlandırıyor.

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemesi yalnızca bilgi amaçlıdır ve sunumun tam kapsamını temsil etmeyebilir. Bu işle ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Yazarlar:
Bekbulatova Alina,
Getmanova Sofya

Liderler:
Mogutova Tatyana Mihaylovna,
Deryushkina Oksana Valerievna

Tanıtım.

Projenin teorik kısmı:

• Fraktal geometrinin gelişim tarihi.
• Fraktal kavramı.
• Fraktal türleri:

a) geometrik fraktallar, geometrik fraktal örnekleri;
b) cebirsel fraktallar, cebirsel fraktal örnekleri;
c) stokastik fraktallar, örnekler.

• doğal fraktallar.
• Fraktalların pratik uygulaması:
• literatürde;
• telekomünikasyonda;
• eczanede;
• mimaride;
• tasarımda;
• ekonomide;
• oyunlar, filmler, müzik
• doğa bilimlerinde
• fizikte;
• biyolojide
• ev hanımları için fraktallar
• modern resimler- fraktal grafikler.
• Fraktal grafikler.
• Fraktal geometrinin hayattaki rolü fraktallar için bir ilahidir!

Projenin pratik kısmı

• Bilimsel çalışmanın oluşturulması "Fraktalların dünyasına yolculuk"
• İnternette Yerleştirme.
• Olimpiyatlara, yarışmalara katılım.
• Kendi fraktallarınızı yaratın.
• "Fraktalların Harika Dünyası" broşürünün oluşturulması
• Festivalin düzenlenmesi “Fractals of Amazing World.

Tanıtım

Geometri genellikle soğuk ve kuru olarak adlandırılır. Sebeplerden biri, bizi çevreleyen her şeyi tarif edememesidir: bir bulutun, bir dağın, bir ağacın veya bir deniz kıyısının şekli. Bulutlar küre değildir, dağlar koni değildir, kıyı şeritleri daire değildir ve kabuk pürüzsüz değildir ve yıldırım düz bir çizgide hareket etmez. Bizim için büyük bir sevinçle, modern dünyada yeni bir geometri olduğunu öğrendik - fraktalların geometrisi.

Fraktalların keşfi sadece geometride değil, aynı zamanda fizik, kimya, biyolojide de hayatımızın her alanında devrim yarattı.

Proje alaka düzeyi:

• Fraktalların modern dünyadaki rolü oldukça büyüktür.
• Fraktalların incelenmesinin uygunluğu lehine ikna edici argümanlar, uygulamalarının genişliğidir.

Araştırma hipotezi:

Fraktal geometri, insan bilgisinin modern, çok ilginç bir alanıdır. Fraktal geometrinin ortaya çıkışı, insanın devam eden evriminin ve dünyayı bilme yollarının genişlemesinin kanıtıdır.

Projenin amacı:

Fraktallar teorisini incelemek, "Fractalların Şaşırtıcı Dünyası" adlı bilimsel çalışmayı ve bir düzlemde fraktallar çizmek için bir bilgisayar algoritması geliştirme ve uygulamasını oluşturmak.

Proje hedefleri:

• Fraktal geometrinin ortaya çıkış ve gelişim tarihi ile tanışmak;
• Fraktal türlerini, modern dünyadaki uygulamalarını incelemek.
• Pascal ve Logo programlama dillerinde fraktal oluşturmak için programlar çalıştırın
• Fraktallar üzerine bilimsel bir çalışma oluşturun, internette yayınlayın.
• "Fraktalların Harika Dünyası" adlı bir broşür oluşturun
• Okul öğrencilerini çalışmalarımızın sonuçlarıyla tanıştırmak için "Fractalların Muhteşem Dünyası" festivalini düzenlemek.

4 ay boyunca proje üzerinde çalıştık.

Çalışmamızın ana aşamaları:

• Gerekli bilgileri toplama: İnterneti kullanma, kitaplar, bu konudaki yayınlar. (2 hafta)
• Bilgileri konuya göre sıralama: sistematikleştirme ve çalışma yazma sırasının belirlenmesi. Çalışma 2 hafta sürmüştür.
• Bir metin çalışmasının derlenmesi: bir metin yazma, sistematikleştirilmiş bilgilerin kısmi tasarımı. Bir ay sürdü.
• Sunum oluşturma: sistematik bilgilerin sıkıştırılması, sunumun yapısının belirlenmesi, oluşturulması ve tasarımı ve bir ay içinde gerçekleşti.
• Pascal ve Logo programlama dillerinde fraktal oluşturma programı öğrenmek ve kendi fraktallarınızı oluşturmak (bugüne kadar)

Projenin teorik kısmı

Fraktal geometrinin yaratılış tarihini inceledik.

Fraktal nesnelere ilgi, 20. yüzyılın 70'lerinin ortalarında yeniden canlandı.

Fraktal geometrinin doğuşu, genellikle Mandelbrot'un 1977'de 'Doğanın Fraktal Geometrisi' adlı kitabının yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. Çalışmaları, 1875-1925 döneminde aynı alanda çalışan diğer bilim adamlarının bilimsel sonuçlarını kullandı (Poincare, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Ancak sadece bizim zamanımızda çalışmalarını tek bir sistemde birleştirmek mümkün oldu.

Peki fraktal nedir?

fraktal - Her biri bir bütün olarak tüm şekle benzeyen birkaç parçadan oluşan geometrik bir şekil.

Fraktalın küçük bir kısmı, tüm fraktal hakkında bilgi içerir. Günümüzde “fraktal” kelimesi en çok kendisine benzeyen bir yapının daha büyük ölçekte grafik temsili anlamında kullanılmaktadır.

Fraktallar geometrik, geometrik ve stokastik olarak ayrılır.

Geometrik fraktallar aksi takdirde klasik olarak adlandırılır. Ölçek değiştiğinde değişmeyen katı öz-benzerliğe sahip oldukları için en görsel olanlardır. Bu, fraktalı ne kadar yakınlaştırırsanız yakınlaştırın, yine de aynı deseni göreceğiniz anlamına gelir.

İşte geometrik fraktalların en ünlü örnekleri.

Kar tanesi Koch.

1904 yılında Alman matematikçi Helge von Koch tarafından icat edilmiştir.

Bunu inşa etmek için, tek bir parça alınır, üç eşit parçaya bölünür ve orta bağlantı, bu bağlantı olmadan bir eşkenar üçgen ile değiştirilir. Bir sonraki adımda, elde edilen dört segmentin her biri için işlemi tekrarlıyoruz. Bu işlemin sonsuz tekrarı sonucunda fraktal bir eğri elde edilir.

Durer'in beşgeni.

Bir fraktal, bir araya sıkıştırılmış bir grup beşgen gibi görünür. Aslında başlatıcı olarak bir beşgen ve ikizkenar üçgenler kullanılarak oluşturulur, en büyük kenarın en küçüğüne oranı tam olarak sözde altın orandır.Bu üçgenler her beşgenin ortasından kesilir, bir büyük yapıştırılmış 5 küçük pentagona benzer bir şekil ile sonuçlanır.

Sierpinski peçete.

1915'te Polonyalı matematikçi Vaclav Sierpinski ilginç bir nesne buldu.

Bunu inşa etmek için sağlam bir eşkenar üçgen alınır. İlk adımda, merkezden ters çevrilmiş bir eşkenar üçgen çıkarılır. İkinci adım, kalan üç üçgenden üç ters üçgen çıkarır ve bu böyle devam eder.

Ejderha Eğrisi.

İtalyan matematikçi Giuseppe Peano tarafından icat edildi.

Sierpinski halısı.

Bir kare alınıp, ortası dışarı atılan dokuz eşit kareye bölünür ve geri kalanı sonsuza kadar aynı işlem tekrarlanır.

İkinci tür fraktallar cebirsel fraktallardır.

Cebirsel formüller temelinde inşa edildikleri için isimlerini aldılar. Bu formülün matematiksel olarak işlenmesi sonucunda ekranda belirli bir renkte bir nokta görüntülenir. Sonuç, düz çizgilerin eğrilere dönüştüğü, çeşitli ölçek seviyelerinde kendi kendine benzerlik etkilerinin ortaya çıktığı garip bir şekildir. Bilgisayar ekranındaki hemen hemen her nokta ayrı bir fraktal gibidir.

En ünlü cebirsel fraktal örnekleri.

Mandelbrot seti.

Mandelbrot kümeleri cebirsel fraktallar arasında en yaygın olanıdır. Birçok bilimsel dergide, kitap kapaklarında, kartpostallarda ve bilgisayar ekran koruyucularında bulunabilir. Bu fraktal, parlayan ağaç ve ona bağlı daire alanları olan bir tarak makinesini andırıyor.

Julia seti.

Julia seti, Fransız matematikçi Gaston Julia tarafından icat edildi. Daha az ünlü cebirsel fraktal yok.

Newton havuzları.

Stokastik fraktallar.

Oluşturulması sırasında yinelemeli bir sistemde bazı parametrelerin rastgele değiştiği fraktallara stokastik denir. "Stokastik" terimi, Yunanca "tahmin" kelimesinden gelir.

Bu, doğal nesnelere çok benzeyen nesnelerle sonuçlanır - asimetrik ağaçlar, girintili kıyı şeritleri vb. Arazi ve deniz yüzeyinin modellenmesinde iki boyutlu stokastik fraktallar kullanılır.

Bu fraktallar, arazinin ve denizlerin yüzeyinin modellenmesinde, elektroliz işleminde kullanılır. Bu fraktal grubu, Michael Barnsley'in çalışmaları sayesinde yaygınlaştı. Teknoloji Enstitüsü Georgia eyaleti.
Bu fraktal sınıfının tipik bir temsilcisi "Plazma"dır.

Bizim için en anlaşılır olanı sözde doğal fraktallardır.

"Doğanın Büyük Kitabı geometri dilinde yazılmıştır" (Galileo Galilei).

doğal fraktallar.

• Doğada:
• Deniz yıldızları ve kestaneler
• Çiçekler ve bitkiler (brokoli, lahana)
• Ağaç taçları ve bitki yaprakları
• Meyve (ananas)
• İnsan ve hayvanların dolaşım sistemi ve bronşları
• Cansız doğada:
• Coğrafi nesnelerin sınırları (ülkeler, bölgeler, şehirler)
• Pencere camlarında ayaz desenler
• Sarkıtlar, dikitler, helikitler.

Hemen hemen tüm doğal oluşumlar: ağaç taçları, bulutlar, dağlar, kıyı şeritleri fraktal bir yapıya sahiptir.
Bunun anlamı ne?

Bir fraktal nesneye bir bütün olarak, sonra onun bir parçasına büyütülmüş bir ölçekte, sonra bu parçanın bir parçasına bakarsanız, aynı göründüklerini görmek kolaydır.

Deniz fraktalları.

Ahtapot, kafadanbacaklılar takımından bir deniz dibi hayvanıdır.

Bu hayvanın sekiz dokunaçındaki gövdeleri ve emicileri fraktal bir yapıya sahiptir.

Fraktal sualtı dünyasının bir başka tipik temsilcisi mercandır.

Doğada 3500'den fazla mercan çeşidi bilinmektedir.

Yeşil fraktal - eğrelti otu yaprakları.

Eğrelti otu yaprakları fraktal bir şekle sahiptir - kendilerine benzerler.

Yay sizi ağlatan bir fraktaldır. Tabii ki, bu basit bir fraktaldır: farklı çaplarda sıradan daireler, hatta ilkel bir fraktal bile denilebilir.

Doğada bir fraktalın çarpıcı bir örneği "Romanescu”, aynı zamanda “Romantik brokoli” veya “karnabahar mercanı”.

Karnabahar- tipik fraktal.

Karnabaharın yapısını düşünün.

Çiçeklerden birini keserseniz, aynı karnabaharın ellerde sadece daha küçük boyutta kaldığı açıktır. Mikroskop altında bile tekrar tekrar kesmeye devam edebiliriz - ancak elde ettiğimiz tek şey karnabaharın küçük kopyalarıdır.

Matruşka - hatıra oyuncak tipik bir fraktaldır. Fraktalite ilkesi, ahşap bir oyuncağın tüm figürleri üst üste dizildiğinde ve iç içe geçmediğinde açıktır.

İnsan bir fraktaldır.

Bir çocuk doğar, büyür ve bu sürece "öz-benzerlik" ilkesi, fraktallık eşlik eder.

Fraktalların kapsamı geniştir.

edebiyatta fraktallar

Edebi eserler arasında metinsel, yapısal veya fraktal nitelikte olanlar vardır. Edebi fraktallarda metnin unsurları durmadan tekrarlanır:

rahibin bir köpeği vardı
O onu seviyor.
Bir parça et yedi
onu öldürdü.
Yere gömülü
Yazıt şunları yazdı:
Papazın bir köpeği vardı...

"İşte ev.
Jack'in inşa ettiği.
Ve işte buğday.

Evde,
Jack'in inşa ettiği
Ve işte neşeli bir baştankara kuş,
Hangi ustaca buğday çalıyor,
Hangi karanlık bir dolapta saklanır
Evde,
Jack'in inşa ettiği... .

telekomünikasyonda fraktallar.

Verileri mesafeler üzerinden iletmek için, boyutlarını ve ağırlıklarını büyük ölçüde azaltan fraktal şekilli antenler kullanılır.

tıpta fraktallar.

Şu anda, fraktallar tıpta yaygın olarak kullanılmaktadır. İnsan vücudu kendi başına birçok fraktal yapıdan oluşur: dolaşım sistemi, kaslar, bronşlar, akciğerlerdeki bronş yolları, arterler.

Fraktal teorisi, elektrokardiyogramların analizine uygulanır.

Fraktal boyutun büyüklüğünün ve ritimlerinin tahmini, homeostaz bozukluklarını ve spesifik kalp hastalıklarının gelişimini daha erken bir aşamada ve daha fazla doğruluk ve bilgi ile yargılamaya izin verir.

Fraktal algoritmalar kullanılarak işlenen X-ışını görüntüleri daha iyi bir resim ve buna bağlı olarak daha iyi teşhis sağlar !!

Fraktalların bir başka aktif uygulama alanı da gastroenterolojidir.

Tıpta yeni bir araştırma yöntemi olan elektrogastroenterografi, mide, on iki parmak bağırsağı ve gastrointestinal sistemin diğer bölümlerinin biyoelektrik aktivitesini değerlendirmenizi sağlayan bir araştırma yöntemidir.

Mimaride fraktallar.

Doğal ve geometrik nesnelerin gelişiminin fraktal ilkesi, hem bir nesnenin dış çözümünün bir görüntüsü hem de mimari şekillendirmenin iç ilkesi olarak mimariye derinlemesine nüfuz eder.

Dünyanın her yerinden tasarımcılar başladıçalışmalarında, ancak son zamanlarda önde gelen matematikçiler tarafından tanımlanan harika fraktal yapıları kullanmak için.

Fraktalların kullanımı, modern tasarımın neredeyse tüm alanlarını yeni bir düzeye taşıdı.

Fraktal yapıların tanıtılması, birçok durumda tasarımın hem görsel hem de işlevsel yönlerini artırmıştır.

Tasarımcı Takeshi Miyakawa, çocukken bir matematikçi olmayı hayal etti.

Bu mobilya parçası başka nasıl açıklanır: Fractal 23 komodin, kübik gövde içinde birbirleriyle bir şekilde uyum sağlamayı başaran ve neredeyse tüm alanı dolduran çeşitli boyut ve oranlarda 23 çekmece içerir.

Ekonomide fraktallar.

Son zamanlarda, fraktallar, borsaların, para biriminin ve ticaret piyasalarının seyrini analiz etmek için ekonomistler arasında popüler hale geldi.
Fraktallar piyasada oldukça sık görülür.

Oyunlarda fraktallar.

Günümüzde çeşitli doğal manzaraların olduğu pek çok oyunda (belki de Minecraft'ın en çarpıcı örneği), fraktal algoritmalar bir şekilde kullanılmaktadır. Fraktal algoritmalara dayalı peyzaj ve peyzaj oluşturmak için çok sayıda program oluşturulmuştur.

sinemada fraktallar.

Sinemada, çeşitli fantastik manzaralar yaratmak için fraktal bir algoritma kullanılır. Fraktal geometri, VFX sanatçılarının bulutlar, duman, alevler, yıldızlı gökyüzü ve daha fazlası gibi nesneleri kolayca oluşturmasına olanak tanır. Fraktal animasyon hakkında ne söyleyebiliriz o zaman, bu gerçekten harika bir manzara.

elektronik müzik.

Fraktal animasyon gösterisi, VJ'ler tarafından başarıyla kullanılmaktadır. Özellikle elektronik müzik sanatçılarının konserlerinde bu tür video kurulumları kullanılır.

Doğa Bilimleri.

Fraktallar jeoloji ve jeofizikte sıklıkla kullanılır. Adaların ve kıtaların kıyılarının, kıyıların uzunluğunu çok doğru bir şekilde hesaplayabileceğinizi bilerek, belirli bir fraktal boyuta sahip olduğu bir sır değildir.

Fay tektoniği ve sismisite çalışması bazen fraktal algoritmalar kullanılarak da incelenir.

Jeofizik, manyetik alan anormalliklerini incelemek, elastik ortamlarda dalgaların ve salınımların yayılmasını incelemek, iklimi incelemek ve diğer birçok şeyi incelemek için fraktalları ve fraktal analizi kullanır.

fizikte fraktallar.

Fraktallar fizikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Katı hal fiziğinde fraktal algoritmalar katı, gözenekli, süngerimsi cisimlerin ve aerojellerin özelliklerini doğru bir şekilde tanımlamayı ve tahmin etmeyi mümkün kılar. Bu, olağandışı ve kullanışlı özelliklere sahip yeni malzemeler oluşturmaya yardımcı olur.
Katı bir cismin bir örneği kristallerdir.

Akışlardaki türbülans çalışması fraktallara çok iyi uyum sağlar.

Fraktal temsile geçiş, mühendislerin ve fizikçilerin çalışmalarını kolaylaştırarak karmaşık sistemlerin dinamiklerini daha iyi anlamalarını sağlar.
Alevler fraktallar kullanılarak da modellenebilir.

Biyolojide Fraktallar.

Biyolojide, popülasyonları modellemek ve iç organ sistemlerini (kan damarları sistemi) tanımlamak için kullanılırlar. Koch eğrisinin oluşturulmasından sonra, kıyı şeridinin uzunluğu hesaplanırken kullanılması önerildi.

Ev hanımları için fraktallar.

Fraktallar teorisini mutfak da dahil olmak üzere eve aktarmak kolaydır.

Uygulamanın sonucu her şey olabilir: fraktal küpeler, fraktal lezzetli karaciğer ve çok daha fazlası. Sadece bilgi ve yaratıcılığı birleştirmeniz gerekiyor!

Fraktal grafikler modern dünyada yaygın olarak kullanılmaktadır. Resimler popülerdir - fraktal grafiklerin sonucu.

Ve bu tesadüf değil. Fraktal grafiklerin güzelliğine hayran kalın!

Projenin pratik kısmı

• "Fraktalların dünyasına yolculuk" bilimsel çalışmasını yarattı
• Pascal ve Logo programlama dillerinde fraktallar oluşturmak için programlar okudu
• Kendi fraktallarınızı yaratın.
• "Sierpinski'nin Peçetesi" ve "Sierpinski'nin Halısı"nı kendi ellerimizle yaptık.
• "Fraktal Küpeler" Yapıldı
• "Fractal grafiklerin harikaları" adlı bir dizi resim yarattı
• İnternette "Fraktalların dünyasına yolculuk" adlı eseri yayınladı.
• VII'de "Fractalların dünyasına yolculuk" çalışmasına katıldı Tüm Rusya Olimpiyatı okul çocukları ve öğrenciler "Matematik" konusunda "Science 2.0". Birinciliği aldılar.
• Tüm Rusya yarışması "Büyük keşifler ve icatlar" da "Fractal dünyasına yolculuk" çalışmasına katıldılar. Birinciliği aldılar.
• VIII All-Russian Olympiad'da okul çocukları ve öğrenciler için "Ben bir araştırmacıyım" Matematik konusunda "Fractalların dünyasına yolculuk" çalışmasına katıldılar. Birinciliği aldılar.
• "Fraktalların muhteşem dünyası" adlı bir sunum hazırladı
• "Fraktalların Uygulanması" ve "Çevremizdeki Fraktallar" broşürleri düzenlendi
• 8-11. sınıf öğrencileri için "Fractalların Muhteşem Dünyası" festivalini düzenledik"

Dolayısıyla, fraktalların ve fraktal algoritmaların günümüzdeki devasa pratik uygulamaları hakkında tam bir güvenle söyleyebiliriz.

Fraktalların kullanıldığı alanlar çok geniş ve çeşitlidir.

Ve elbette, yakın gelecekte fraktallar, fraktal geometri, her birimiz için yakın ve anlaşılır hale gelecek. Onlarsız hayatımızda yapamayız!

Fraktal geometrinin ortaya çıkışının, insanın devam eden evriminin ve dünyayı bilme ve anlama yollarının genişlemesinin kanıtı olduğunu umalım. Belki de klasik fizik, Öklid geometrisi kavramlarıyla çalıştığımız gibi, çocuklarımız da fraktallar ve doğrusal olmayan dinamik kavramlarıyla kolayca ve anlamlı bir şekilde çalışacaklardır.

Projenin sonuçları

• Fraktal geometrinin ortaya çıkış ve gelişim tarihi ile tanıştık;
• Fraktal türlerini, modern dünyadaki uygulamalarını inceledik.
• Pascal ve Logo programlama dillerinde kendi fraktallarımızı oluşturduk
• Fraktallar üzerine bilimsel bir çalışma oluşturdu.
• "Çevremizdeki Fraktallar" ve "Fraktalların Uygulanması" broşürleri düzenlendi
• 8-11. sınıf öğrencilerimiz için "Fractalların Muhteşem Dünyası" festivalini gerçekleştirdik.

Okuduklarımdaki her şeyi anlamadığımda, özellikle üzülmüyorum. Konu sonradan aklıma gelmezse çok da önemli değil (en azından benim için). Konu üçüncü kez tekrar karşılaşırsa, daha iyi anlamak için yeni şansım olacak. Fraktallar bu tür konular arasındadır. Onları önce Nassim Taleb'in bir kitabından ve daha sonra Benoit Mandelbrot'un bir kitabından daha ayrıntılı olarak öğrendim. Bugün sitedeki "fraktal" isteği üzerine 20 not alabilirsiniz.

Bölüm I. KÖKENLERE YOLCULUK

İSİM BİLMEKTİR. 20. yüzyılın başlarında Henri Poincaré şöyle demişti: “Bir kelimenin sahip olabileceği güce şaşırıyorsunuz. İşte vaftiz edilene kadar hakkında hiçbir şey söylenemeyecek bir nesne. Bir mucizenin gerçekleşmesi için ona bir isim vermek yeterliydi ”(ayrıca bakınız). Ve böylece 1975'te Polonya kökenli Fransız matematikçi Benoit Mandelbrot Word'ü topladığı zaman oldu. Latince kelimelerden fransız(ara) ve fraktüs(süreksiz, ayrık, kesirli) bir fraktal oluştu. Mandelbrot, duygusal çekiciliğe ve rasyonel faydaya dayalı bir marka olarak fraktalı ustaca tanıtmış ve yaymıştır. The Fraktal Geometry of Nature (1982) dahil olmak üzere birçok monografi yayınladı.

DOĞA VE SANATTA FRAKTALLER. Mandelbrot, Öklid dışında bir fraktal geometrinin ana hatlarını çizdi. Fark, Lobachevsky veya Riemann'ın geometrilerinde olduğu gibi paralellik aksiyomu için geçerli değildi. Aradaki fark, Öklid'in varsayılan düzgünlük gereksiniminin reddedilmesiydi. Bazı nesneler doğası gereği kaba, gözenekli veya parçalıdır ve birçoğu bu özelliklere "her ölçekte aynı ölçüde" sahiptir. Doğada, bu tür formların sıkıntısı yoktur: ayçiçekleri ve brokoli, deniz kabukları, eğrelti otları, kar taneleri, dağ yarıkları, sahil şeritleri, fiyortlar, dikitler ve sarkıtlar, yıldırım.

Dikkatli ve dikkatli insanlar, bazı formların "yakın veya uzaktan" bakıldığında tekrarlayan bir yapı gösterdiğini uzun zamandır fark etmişlerdir. Bu tür nesnelere yaklaşırken, yalnızca küçük ayrıntıların değiştiğini, ancak bir bütün olarak şeklin neredeyse değişmediğini fark ederiz. Buna dayanarak, fraktal, herhangi bir ölçekte tekrar eden öğeler içeren geometrik bir şekil olarak tanımlamak en kolay yoldur.

MİTLER VE MİSTİKASYONLAR. Mandelbrot tarafından keşfedilen yeni form katmanı, tasarımcılar, mimarlar ve mühendisler için bir altın madeni haline geldi. Sayılamayan sayıda fraktal, aynı çoklu tekrar ilkelerine göre inşa edilmiştir. Buradan, fraktal, herhangi bir ölçekte tekrar eden öğeler içeren geometrik bir şekil olarak tanımlamak en kolay yoldur. Bu geometrik form yerel olarak değişmez (değişmez), bir ölçekte kendine benzer ve sınırlamaları bakımından bütünseldir, karmaşıklığı yaklaştıkça ortaya çıkan gerçek bir tekillik ve uzaktan önemsizliğin kendisidir.

ŞEYTANIN MERDİVENİ. Bilgisayarlar arasında veri aktarımı için son derece güçlü elektrik sinyalleri kullanılır. Böyle bir sinyal ayrıktır. Elektrik şebekelerinde birçok nedenden dolayı rastgele parazit veya gürültü meydana gelir ve bilgisayarlar arasında bilgi aktarılırken veri kaybına neden olur. Gürültünün veri iletimi üzerindeki etkisini ortadan kaldırmak, geçen yüzyılın altmışlı yıllarının başlarında, Mandelbrot'un yer aldığı bir grup IBM mühendisine emanet edildi.

Kaba bir analiz, hiçbir hatanın kaydedilmediği dönemlerin varlığını gösterdi. Mühendisler, bir saat süren periyotları seçtikten sonra, aralarında hatasız sinyal geçiş periyotlarının da kesintili olduğunu fark ettiler; yaklaşık yirmi dakika süren daha kısa duraklamalar var. Bu nedenle, hatasız veri iletimi, sinyalin hatasız iletildiği, farklı uzunluklardaki veri paketleri ve gürültüde duraklamalar ile karakterize edilir. Daha yüksek dereceli paketlerde, olduğu gibi, daha düşük dereceli paketler yerleşiktir. Böyle bir açıklama, daha yüksek dereceli bir pakette düşük dereceli paketlerin göreli konumu gibi bir şeyin varlığını ima eder. Deneyimler, paketlerin bu göreli konumlarının olasılık dağılımının, sıralarından bağımsız olduğunu göstermiştir. Bu değişmezlik, elektriksel gürültünün etkisi altında veri bozulma sürecinin kendine benzerliğini gösterir. Veri iletimi sırasında bir sinyaldeki hatasız duraklamaları kesme prosedürü, onlar için yeni olduğu için elektrik mühendislerine uygulanamadı.

Ancak saf matematik okuyan Mandelbrot, 1883'te açıklanan ve katı bir algoritmaya göre elde edilen noktalardan tozu temsil eden Cantor kümesinin çok iyi farkındaydı. "Cantor'un tozu" oluşturmak için algoritmanın özü aşağıdaki gibidir. Düz bir çizgi alın. Segmentin orta üçte birini, iki ucunu koruyarak ondan çıkarın. Şimdi aynı işlemi son segmentler vb. ile tekrarlıyoruz. Mandelbrot, bunun tam olarak paketlerin geometrisi olduğunu keşfetti ve bilgisayarlar arasındaki sinyallerin iletimindeki duraklamalar. Hata kümülatiftir. Birikimi aşağıdaki gibi modellenebilir. İlk adımda aralıktaki tüm noktalara 1/2 değerini, aralıktan ikinci adımda 1/4 değerini, aralıktaki noktalara 3/4 değerini vb. atarız. Bu miktarların adım adım toplanması, "şeytanın merdiveni" denen şeyin oluşturulmasını mümkün kılar (Şekil 1). "Cantor'un tozu"nun ölçüsü, "altın oran" veya "İlahi oran" olarak bilinen, 0,618'e eşit bir irrasyonel sayıdır.

Bölüm II. ÖNEMLİ FRAKTALLERDİR

KEDİ OLMADAN GÜLÜMSEME: FRAKTAL BOYUT. Boyut, matematiğin çok ötesine geçen temel kavramlardan biridir. "Başlangıçlar"ın ilk kitabında Öklid, nokta, doğru, düzlem geometrisinin temel kavramlarını tanımladı. Bu tanımlara dayanarak, üç boyutlu Öklid uzayı kavramı neredeyse iki buçuk bin yıldır değişmeden kaldı. Dört, beş ve daha fazla boyutlu boşluklarla çok sayıda flört, esasen hiçbir şey eklemez, ancak onları temsil edecek şeyle çarpışır. insan hayal gücü yapamamak. Fraktal geometrinin keşfi ile boyut kavramında köklü bir devrim gerçekleşti. Çok çeşitli boyutlar ortaya çıktı ve aralarında sadece tamsayılar değil, aynı zamanda kesirli ve hatta irrasyonel olanlar da var. Ve bu boyutlar görsel ve duyusal temsil için mevcuttur. Gerçekten de, delikli peyniri, boyutu ikiden fazla olan, ancak peynir kütlesinin boyutunu küçülten peynir delikleri nedeniyle üçün altına düşen bir ortamın modeli olarak kolayca hayal edebiliriz.

Kesirli veya fraktal boyutu anlamak için, Richardson'ın Britanya'nın engebeli kıyı şeridinin uzunluğunun sonsuz olduğunu iddia eden paradoksuna dönelim! Louis Fry Richardson, ölçüm ölçeğinin İngiliz kıyı şeridinin ölçülen uzunluğunun büyüklüğü üzerindeki etkisini merak etti. Kontur haritaları ölçeğinden "kıyı çakılları" ölçeğine geçerken, garip ve beklenmedik bir sonuca vardı: kıyı şeridinin uzunluğu süresiz olarak artar ve bu artışın sınırı yoktur. Düzgün eğri çizgiler böyle davranmaz. Richardson'ın giderek daha büyük ölçekli haritalarda elde edilen ampirik verileri, ölçüm adımında bir azalma ile kıyı şeridinin uzunluğunda bir kuvvet yasası artışına tanıklık etti:

Bu basit Richardson formülünde L kıyının ölçülen uzunluğu, ε ölçüm adımının değeridir ve β ≈ 3/2, ölçüm adımında bir azalma ile bulduğu kıyı uzunluğunun büyüme derecesidir. Çevreden farklı olarak, İngiltere kıyı şeridinin uzunluğu 55 sınırı olmadan artar. O sonsuz! Eğrilerin kırık olduğu, düzgün olmadığı ve sınırlayıcı bir uzunluğu olmadığı gerçeğiyle uzlaşmak gerekir.

Bununla birlikte, Richardson'ın çalışmaları, azalan ölçüm ölçeği ile uzunluktaki büyüme derecesinin bazı karakteristik ölçümlerine sahip olduklarını ileri sürdü. Kırık bir çizgiyi, bir kişinin kişiliğinin parmak izi olarak mistik olarak tanımlayanın bu değer olduğu ortaya çıktı. Mandelbrot, kıyı şeridini fraktal bir nesne olarak yorumladı - boyutu β üssü ile çakışan bir nesne.

Örneğin, Norveç'in batı kıyısı için kıyı sınır eğrilerinin boyutları 1.52'dir; Birleşik Krallık için - 1.25; Almanya için - 1.15; Avustralya için - 1.13; Güney Afrika'nın nispeten pürüzsüz bir kıyısı için - 1.02 ve son olarak mükemmel bir pürüzsüz daire için - 1.0.

Bir fraktal parçasına baktığınızda, boyutunun ne olduğunu anlayamazsınız. Ve bunun nedeni, parçanın geometrik karmaşıklığında değil, parça çok basit olabilir, ancak fraktal boyutun sadece parçanın şeklini değil, aynı zamanda yapım sürecinde parça dönüşümünün biçimini de yansıtması gerçeğindedir. fraktal. Fraktal boyut, olduğu gibi, formdan çıkarılır. Ve bu sayede, fraktal boyutun değeri değişmez kalır; herhangi bir görüntüleme ölçeğinde fraktalın herhangi bir parçası için aynıdır. “Parmakla tutulamaz”, ancak hesaplanabilir.

FRAKTAL TEKRAR. Tekrarlama, doğrusal olmayan denklemlerle modellenebilir. Doğrusal denklemler, değişkenlerin bire bir yazışmaları ile karakterize edilir: her değer x bir ve yalnızca bir değerle eşleşir de ve tersi. Örneğin, x + y = 1 denklemi doğrusaldır. Doğrusal fonksiyonların davranışı tamamen belirlenir, benzersiz bir şekilde başlangıç ​​koşulları tarafından belirlenir. Doğrusal olmayan fonksiyonların davranışı o kadar açık değildir, çünkü iki farklı başlangıç ​​koşulu aynı sonuca yol açabilir. Bu temelde, işlemin tekrarının yinelenmesi iki farklı biçimde görünür. Hesaplamaların her adımında başlangıç ​​durumuna bir dönüş olduğunda, doğrusal bir referans karakterine sahip olabilir. Bu bir tür "kalıp yinelemesi" dir. Montaj hattında seri üretim "kalıp iterasyonu"dur. Doğrusal referans formatında yineleme, sistemin evriminin ara durumlarına bağlı değildir. Burada, her yeni yineleme "sobadan" başlar. Yineleme bir özyineleme biçimine sahip olduğunda, yani önceki yineleme adımının sonucu bir sonraki adımın başlangıç ​​koşulu olduğunda bu tamamen farklı bir konudur.

Özyineleme, Girard dizisi şeklinde temsil edilen bir Fibonacci dizisi ile gösterilebilir:

u n +2 = u n +1 + u n

Sonuç Fibonacci sayılarıdır:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Bu örnekte, fonksiyonun başlangıç ​​değerine referans yapılmadan kendisine uygulandığı oldukça açıktır. Bir nevi Fibonacci serisi boyunca kayar ve önceki yinelemenin her sonucu bir sonrakinin başlangıç ​​değeri olur. Fraktal formların yapımında gerçekleştirilen bu tekrardır.

Fraktal tekrarın “Sierpinski peçete” oluşturma algoritmalarında nasıl uygulandığını gösterelim (kesme yöntemini ve CIF yöntemini kullanarak).

kesme yöntemi. Bir kenarı olan bir eşkenar üçgen alın r. İlk adımda, ortasında bir kenar uzunluğu ile ters çevrilmiş bir eşkenar üçgen kesiyoruz. r 1 = r 0/2. Bu adımın sonucunda kenar uzunlukları olan üç eşkenar üçgen elde ederiz. r 1 = r 0 /2 orijinal üçgenin köşelerinde bulunur (Şekil 2).

İkinci adımda, oluşturulan üç üçgenin her birinde, bir kenar uzunluğu olan ters çevrilmiş yazılı üçgenleri kestik. r 2 = r 1 /2 = r 0/4. Sonuç - Kenar uzunluğu olan 9 üçgen r 2 = r 0/4. Sonuç olarak, "Sierpinski peçete"nin şekli giderek daha belirgin hale gelir. Fiksasyon her adımda gerçekleşir. Önceki tüm düzeltmeler bir nevi "silinmiştir".

Yöntem SIF veya Barnsley'in Yinelenen İşlev Sistemleri Yöntemi. Verilen: A (0.0), B (1.0), C (1/2, √3/2) açılarının koordinatlarına sahip bir eşkenar üçgen. Z 0, bu üçgenin içinde keyfi bir noktadır (Şekil 3). Yanlarında A, B ve C harfleri olan bir zar alıyoruz.

Adım 1. Kemiği atın. Her harfin gelme olasılığı 2/6 = 1/3'tür.

• A harfi düşerse, ortasına z 1 noktası koyduğumuz bir z 0 -A segmenti oluştururuz.
• B harfi düşerse, ortasına z 1 noktası koyduğumuz bir z 0 -B segmenti oluştururuz.
• C harfi düşerse, ortasına z 1 noktası koyduğumuz bir z 0 -C segmenti oluştururuz.

Adım 2. Kemiği tekrar atın.

• A harfi düşerse, ortasına z 2 noktası koyduğumuz bir z 1 -A segmenti oluştururuz.
• B harfi düşerse, ortasına bir z 2 noktası koyduğumuz bir z 1 -B segmenti oluştururuz.
• C harfi düşerse, ortasına z 2 noktası koyduğumuz bir z 1 -C segmenti oluştururuz.

İşlemi birçok kez tekrarlayarak, z 3 , z 4 , …, z n puanlarını alacağız. Her birinin özelliği, noktanın bir öncekinden keyfi olarak seçilen bir tepe noktasına tam olarak yarı yolda olmasıdır. Şimdi, örneğin, z 0'dan z 100'e kadar olan ilk noktaları atarsak, o zaman geri kalanı, yeterince fazla sayıda, “Sierpinski peçete” yapısını oluşturur. Daha fazla nokta, daha fazla iterasyon, Sierpinski fraktalı gözlemciye daha net görünür. Ve bu, sürecin ilerlemesine rağmen, rastgele bir şekilde (zarlar sayesinde) görünüyor. “Sierpinski peçete” bir tür süreç çekicisidir, yani bu süreçte inşa edilen tüm yörüngelerin yeterince büyük sayıda yinelemeyle yöneldiği bir rakamdır. Bu durumda görüntüyü düzeltmek, birikimli, birikimli bir süreçtir. Her bir nokta, belki de hiçbir zaman Sierpinski fraktalının noktasıyla örtüşmeyecek, ancak “tesadüfen” düzenlenen bu sürecin sonraki her bir noktası, “Sierpinski peçete” noktalarına daha yakın ve daha yakın çekilir.

GERİBİLDİRİM DÖNGÜSÜ. Sibernetiğin kurucusu Norbert Wiener, geri besleme döngüsünü açıklamak için bir teknedeki dümenciyi örnek olarak gösterdi. Dümenci rotasında kalmalı ve sürekli olarak teknenin ona ne kadar iyi uyduğunu değerlendiriyor. Dümenci teknenin saptığını görürse, belirli bir rotaya geri döndürmek için dümeni çevirir. Bir süre sonra yine direksiyonu kullanarak hareket yönünü değerlendirir ve düzeltir. Böylece navigasyon, teknenin hareketinin belirli bir rotaya iterasyonları, tekrarı ve ardışık yaklaşımı kullanılarak gerçekleştirilir.

Tipik bir geri besleme döngüsü diyagramı, Şek. 4 Değişken parametreleri (teknenin yönü) ve kontrollü parametre C'yi (teknenin rotası) değiştirmeye gelir.

"Bernoulli kayması" eşlemesini düşünün. Başlangıç ​​durumu olarak 0 ile 1 aralığına ait bir sayı seçilsin, bu sayıyı ikili sayı sisteminde yazalım:

x 0 \u003d 0.01011010001010011001010 ...

Şimdi, zamandaki evrimin bir adımı, sıfırlar ve birler dizisinin bir konum sola kaydırılması ve ondalık noktanın sol tarafında olan rakamın atılmasıdır:

x 1 \u003d 0.1011010001010011001010 ...

x 2 \u003d 0.011010001010011001010 ...

x 3 \u003d 0.11010001010011001010 ...

Unutmayın ki orijinal sayılar x 0 rasyonel, daha sonra yineleme sürecinde değerler xn periyodik bir yörüngeye girin. Örneğin, ilk 11/24 sayısı için yineleme sürecinde bir dizi değer alırız:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Orijinal değerler ise x0 irrasyoneldir, haritalama asla periyodik moda ulaşmaz. Başlangıç ​​değerlerinin aralığı x 0 ∈, sonsuz sayıda rasyonel nokta ve sonsuz sayıda irrasyonel nokta içerir. Böylece, periyodik yörüngelerin yoğunluğu, periyodik rejime asla ulaşmayan yörüngelerin yoğunluğuna eşittir. Rasyonel değerin herhangi bir mahallesinde x0 ilk parametrenin irrasyonel bir değeri var x' 0 Bu durumda, kaçınılmaz olarak başlangıç ​​koşullarına karşı ince bir hassasiyet ortaya çıkar. Bu, sistemin dinamik bir kaos halinde olduğunun karakteristik bir işaretidir.

TEMEL GERİ BİLDİRİM DÖNGÜSÜ. Tersi, kendisini şaşırtan herhangi bir yan bakışın gerekli bir koşulu ve sonucudur. Ters döngünün simgesi, alt tarafının her daire ile üst tarafa geçtiği, iç kısmın dış olduğu ve bunun tersi olduğu Möbius şeridi olabilir. Ters işlem sırasında farklılıkların birikmesi, önce görüntüyü orijinalden uzaklaştırır, sonra ona geri döner. Mantıkta, tersine dönüş döngüsü, Epimenides'in paradoksu ile gösterilmektedir: "Bütün Giritliler yalancıdır." Ama Epimenides'in kendisi bir Giritlidir.

Garip DÖNGÜ. Garip bir döngü olgusunun dinamik özü, dönüştürülen ve orijinal olandan giderek daha farklı hale gelen görüntünün sayısız deformasyon sürecinde orijinal görüntüye dönmesi, ancak asla tam olarak tekrarlamamasıdır. Bu fenomeni açıklayan Hofstadter, kitapta "garip döngü" terimini tanıtıyor. Hem Escher, hem Bach hem de Gödel'in çalışmalarında garip döngüleri keşfettikleri veya daha doğrusu görsel sanatlar, müzik ve matematikte yaratıcılıklarını kullandıkları sonucuna varıyor. Escher, Metamorfozlar'da, çeşitli gerçeklik düzlemlerinin tuhaf tutarlılığını keşfetti. Sanatsal perspektiflerden birinin biçimleri plastik olarak başka bir sanatsal perspektifin biçimlerine dönüştürülür (Şekil 5).

Pirinç. 5. Maurits Escher. El çizimi. 1948

Böyle bir tuhaflık, müzikte tuhaf bir şekilde kendini gösterdi. Bach'ın Müzik Teklifinin kanonlarından biri ( Tono başına Canon- Tonal canon), görünen sonu beklenmedik bir şekilde sorunsuz bir şekilde başlangıca geçecek, ancak tonda bir değişiklik olacak şekilde inşa edilmiştir. Bu ardışık modülasyonlar, dinleyiciyi orijinal perdeden daha da yükseğe çıkarır. Ancak, mucizevi bir şekilde, altı modülasyondan sonra neredeyse geri döndük. Artık tüm sesler başlangıçta olduğundan tam olarak bir oktav daha yüksek çıkıyor. Tek garip olan şey, belirli bir hiyerarşinin seviyelerinde yükselirken, kendimizi aniden yolculuğumuza başladığımız yerin hemen hemen aynısında bulmamızdır - tekrar etmeden dön.

Kurt Gödel, matematiğin en eski ve ustalaşmış alanlarından birinde - sayılar teorisinde - garip döngüler keşfetti. Gödel'in teoremi ışığı ilk olarak Principle Mathematica'daki 1931 tarihli "Formel olarak karar verilemeyen önermeler üzerine" makalesinde Teorem VI olarak gördü. Teorem şunları belirtir: sayı teorisinin tüm tutarlı aksiyomatik formülasyonları, karar verilemeyen önermeler içerir. Sayı kuramının yargıları, sayı kuramının yargıları hakkında hiçbir şey söylemez; onlar sayı teorisinin yargılarından başka bir şey değildir. Burada bir döngü var, ama tuhaflık yok. Kanıtta garip bir döngü gizlidir.

GARANTİ ÇEKİCİ.Çekici (İngilizce'den. çekmekçekme) sistem davranışının tüm olası yörüngelerini kendine çeken bir nokta veya kapalı bir çizgi. Çekici sabittir, yani uzun vadede tek olası davranış çekicidir, geri kalan her şey geçicidir. Çekici, tüm süreci kapsayan, ne nedeni ne de sonucu olan uzamsal-zamansal bir nesnedir. Yalnızca sınırlı sayıda serbestlik derecesine sahip sistemler tarafından oluşturulur. Çekiciler bir nokta, bir daire, bir torus ve bir fraktal olabilir. İkinci durumda, çekiciye "garip" denir (Şekil 6).

Bir nokta çekici, sistemin herhangi bir kararlı durumunu tanımlar. Faz uzayında, etrafında bir "düğüm", "odak" veya "eyer"in yerel yörüngelerinin oluşturulduğu bir noktadır. Sarkaç böyle davranır: herhangi bir başlangıç ​​hızında ve herhangi bir başlangıç ​​konumunda, yeterli bir süre sonra, sürtünme etkisi altında, sarkaç durur ve kararlı bir denge durumuna gelir. Dairesel (döngüsel) bir çekici, bir daire içinde ideal bir sarkaç (sürtünmesiz) gibi ileri geri harekettir.

Garip çekiciler ( garip çekiciler) sadece dışarıdan garip görünüyor, ancak "garip çekici" terimi, 1971'de David Ruel ve Hollandalı Floris Takens tarafından "Türbülansın Doğası" makalesinin ortaya çıkmasından hemen sonra yayıldı (ayrıca bakınız). Ruelle ve Takens, herhangi bir çekicinin doğru özelliklere sahip olup olmadığını merak etti: kararlılık, sınırlı sayıda serbestlik derecesi ve periyodik olmama. Geometrik bir bakış açısından, soru saf bir bulmaca gibi görünüyordu. Sınırlı bir uzayda çizilmiş sonsuzca uzayan bir yörünge, kendisini asla tekrarlamamak veya kesişmemek için nasıl bir biçime sahip olmalıdır? Her ritmi yeniden üretmek için yörünge sonsuz uzunlukta bir çizgi olmalıdır. sınırlı alan başka bir deyişle, kendi kendine yutma (Şekil 7).

1971 yılında Bilimsel edebiyat zaten böyle bir çekicinin bir taslağı vardı. Eduard Lorentz, bunu 1963 tarihli deterministik kaos hakkındaki makalesinin bir eki haline getirdi. Bu çekici sabitti, periyodik değildi, az sayıda serbestlik derecesine sahipti ve hiçbir zaman kendisini geçmedi. Bu olursa ve daha önce geçtiği bir noktaya geri dönerse, hareket gelecekte tekrarlanarak toroidal bir çekici oluşturacaktı, ancak bu olmadı.

Çekicinin tuhaflığı, Ruel'in inandığı gibi, eşdeğer olmayan, ancak pratikte birlikte var olan üç işarette yatmaktadır:

• fraktalite (yuvalama, benzerlik, tutarlılık);
• determinizm (başlangıç ​​koşullarına bağımlılık);
• tekillikler (sonlu sayıda tanımlayıcı parametre).

Bölüm III. FRAKTAL FORMLARIN HAYALİ HAFİFLİK

HAYAL SAYILAR, FAZ PORTRELERİ VE OLASILIK. Fraktal geometri, hayali sayılar teorisine, dinamik faz portrelerine ve olasılık teorisine dayanmaktadır. Hayali sayılar teorisi, eksi birin karekökü olduğunu varsayar. Gerolamo Cardano "The Great Art" ("Ars Magna", 1545) adlı çalışmasında z 3 + pz + q = 0 kübik denkleminin genel çözümünü sundu. Cardano, sanal sayıların köklerini ifade etmek için teknik formalizm aracı olarak hayali sayıları kullanır. denklem. Basit bir x 3 = 15x + 4 denklemi ile örneklediği bir tuhaflığı fark eder. Bu denklemin bariz bir çözümü vardır: x = 4. Ancak, genelleme formülü garip bir sonuç verir. Negatif bir sayının kökünü içerir:

Rafael Bombelli cebir üzerine kitabında ("L'Cebir", 1560) = 2 ± i olduğuna dikkat çekti ve bu, hemen x = 4 gerçek kökünü elde etmesine izin verdi. kök elde edilir ve karmaşık sayılar, kübik bir denklemin çözümünü elde etme sürecinde teknik bir yardım görevi görür.

Newton, eksi bir kökü içeren çözümlerin "fiziksel anlamı olmayan" olarak düşünülmesi ve atılması gerektiğine inanıyordu. XVII-XVIII yüzyıllarda, hayali, manevi, hayali bir şeyin, birlikte alınan gerçek her şeyden daha az gerçek olmadığı anlayışı oluşturuldu. Hatta Descartes'ın yeni düşüncenin "cogito ergo sum" manifestosunu formüle ettiği 10 Kasım 1619 tarihini bile verebiliriz. Bu andan itibaren düşünce mutlak ve şüphe götürmez bir gerçektir: “Düşünüyorsam varım demektir”! Daha doğrusu düşünce artık gerçeklik olarak algılanıyor. Descartes'ın hayali sayılar sayesinde ortogonal bir koordinat sistemi fikri, tamamlanmasını bulur. Artık bu hayali sayıları anlamlarla doldurmak mümkün.

19. yüzyılda Euler, Argan, Cauchy, Hamilton'un çalışmaları karmaşık sayılarla çalışmak için bir aritmetik aygıt geliştirdi. Herhangi bir karmaşık sayı, X + iY'nin toplamı olarak temsil edilebilir, burada X ve Y bize tanıdık gelen gerçek sayılardır ve Bence hayali birim (esas olarak √–1'dir). Her karmaşık sayı, karmaşık düzlemde koordinatları (X, Y) olan bir noktaya karşılık gelir.

İkinci önemli kavram olan dinamik bir sistemin faz portresi 20. yüzyılda oluşturulmuştur. Einstein, her şeyin ışığa göre aynı hızda hareket ettiğini gösterdikten sonra, bir sistemin dinamik davranışını, dinamik bir sistemin faz portresi olarak adlandırılan donmuş geometrik çizgiler şeklinde ifade edebilme fikri edinildi. açık bir fiziksel anlam.

Bunu bir sarkaç örneği üzerinde açıklayalım. Bir sarkaç ile ilk deneyler Jean Foucault 1851'de mahzende, daha sonra Paris Gözlemevinde, daha sonra Pantheon'un kubbesi altında gerçekleştirildi. Son olarak, 1855'te, Foucault'nun sarkacı Paris'teki Saint-Martin-des-Champs kilisesinin kubbesinin altına asıldı. Foucault sarkacının ipinin uzunluğu 67 m, kettlebell ağırlığı 28 kg. Uzak bir mesafeden sarkaç bir nokta gibi görünüyor. Nokta her zaman sabittir. Yaklaşırken, üç tipik yörüngeye sahip bir sistemi ayırt ediyoruz: harmonik bir osilatör (sinϕ ≈ ϕ), bir sarkaç (ileri geri salınımlar), bir pervane (dönüş).

Yerel bir gözlemci, topun hareketinin üç olası konfigürasyonundan birini gördüğünde, süreçten kopuk bir analist, topun üç tipik hareketten birini yaptığını varsayabilir. Bu bir düzlemde gösterilebilir. "İplik üzerindeki topu", sistemin sahip olduğu serbestlik derecesi sayısı kadar koordinatı olan soyut bir faz uzayına hareket ettireceğimiz konusunda hemfikir olmamız gerekiyor. Bu durumda iki serbestlik dereceli hızdan bahsediyoruz. v ve bilye ile ipliğin dikey ϕ ile eğim açısı. ϕ ve v koordinatlarında, harmonik osilatörün yörüngesi bir eşmerkezli daireler sistemidir; ϕ açısı arttıkça bu daireler oval hale gelir ve ϕ = ± π ovalin kapanması kaybolur. Bu sarkacın pervane moduna geçtiği anlamına gelir: v = sabit(Şek. 8).

Pirinç. 8. Sarkaç: a) ideal sarkacın faz uzayındaki yörünge; b) sönümleme ile sallanan bir sarkacın faz uzayındaki yörünge; c) faz portresi

Faz uzayında uzunluklar, süreler veya hareketler olmayabilir. Burada her eylem önceden verilmiştir, ancak her eylem gerçek değildir. Geometriden, ölçüler, parametreler yerine boyutlar, boyutlar yerine yalnızca topoloji kalır. Burada, herhangi bir dinamik sistem, faz portresinin kendine özgü bir baskısına sahiptir. Ve bunların arasında oldukça garip evre portreleri var: karmaşık oldukları için tek bir parametre tarafından belirlenirler; orantılı olduklarından orantısızdırlar; sürekli oldukları için ayrıktırlar. Bu tür garip faz portreleri, fraktal bir çekici konfigürasyonuna sahip sistemlerin karakteristiğidir. Çekim merkezlerinin (çekiciler) ayrıklığı, bir kuantum etkisi, bir boşluk veya bir sıçrama etkisi yaratırken, yörüngeler sürekli kalır ve tek bir bağlı garip bir çekici formu üretir.

FRAKTALLARIN SINIFLANDIRILMASI. Fraktalın üç hipostazı vardır: birbirine dik olan biçimsel, işlemsel ve sembolik. Bu, aynı fraktal formunun farklı algoritmalar kullanılarak elde edilebileceği ve aynı sayıda fraktal boyutun tamamen farklı fraktallerde görünebileceği anlamına gelir. Bu açıklamaları dikkate alarak fraktalları sembolik, biçimsel ve işlemsel özelliklerine göre sınıflandırıyoruz:

• sembolik olarak, bir fraktalin boyut özelliği tamsayı veya kesirli olabilir;
• biçimsel bir temelde, fraktallar bir yaprak veya bulut gibi bağlanabilir ve toz gibi bağlantısız olabilir;
• Operasyonel bazda, fraktallar düzenli ve stokastik olarak ayrılabilir.

Düzenli fraktallar, kesin olarak tanımlanmış bir algoritmaya göre oluşturulur. İnşaat süreci tersine çevrilebilir. Deterministik algoritma sürecinde oluşturulan herhangi bir görüntüyü nokta nokta silerek tüm işlemleri ters sırada tekrarlayabilirsiniz. Deterministik bir algoritma doğrusal veya doğrusal olmayan olabilir.

Stokastik anlamda benzer olan stokastik fraktallar, inşaat algoritmasında, yineleme sürecinde bazı parametreler rastgele değiştiğinde ortaya çıkar. "Stokastik" terimi Yunanca kelimeden gelir. stokaz- varsayım, varsayım. Stokastik bir süreç, değişimin doğası doğru bir şekilde tahmin edilemeyen bir süreçtir. Fraktallar doğanın kaprisine göre üretilir (kayaların fay yüzeyleri, bulutlar, türbülanslı akışlar, köpük, jeller, kurum partikül konturları, hisse senedi fiyatlarındaki ve nehir seviyelerindeki değişiklikler vb.), geometrik benzerlikten yoksundurlar, ancak inatla çoğalırlar. her parçada, bütünün ortalama istatistiksel özellikleri. Bilgisayar, sözde rasgele sayı dizileri oluşturmanıza ve anında stokastik algoritmaları ve formları simüle etmenize olanak tanır.

DOĞRUSAL FRAKTALLER. Lineer fraktallar, hepsi belirli bir lineer algoritmaya göre oluşturuldukları için bu şekilde adlandırılmıştır. Bu fraktallar kendine benzerdir, ölçekte herhangi bir değişiklikle bozulmaz ve hiçbir noktasında türevlenebilir değildir. Bu tür fraktalları oluşturmak için bir taban ve bir parça belirtmek yeterlidir. Bu öğeler, sonsuza kadar uzaklaştırılarak birçok kez tekrarlanacak.

Kantor'un Tozu. 19. yüzyılda, Alman matematikçi Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor (1845–1918) matematik camiasına 0 ile 1 arasında tuhaf bir sayı kümesi önerdi. sıfır boyut. Rastgele atılan bir ok, bu kümenin en az bir elemanına pek isabet etmezdi.

İlk önce birim uzunlukta bir segment seçmeniz gerekir (ilk adım: n = 0), ardından onu üç parçaya bölmeniz ve ortadaki üçte birini (n = 1) çıkarmanız gerekir. Ayrıca, oluşturulan bölümlerin her biri ile tam olarak aynısını yapacağız. İşlemin sonsuz sayıda tekrarının bir sonucu olarak, istenen "Cantor'un tozu" setini elde ederiz. Artık süreksiz ve sonsuz bölünebilir arasında bir karşıtlık yoktur, “Cantor'un tozu” her ikisidir (bkz. Şekil 1). "Cantor Dust" bir fraktaldır. Fraktal boyutu 0.6304…

Tek boyutlu Cantor kümesinin iki boyutlu analoglarından biri Polonyalı matematikçi Vaclav Sierpinski tarafından tanımlanmıştır. Buna "cantor halısı" veya daha sık olarak "Sierpinski halısı" denir. O kesinlikle kendine benzer. Fraktal boyutunu ln8/lnЗ = 1.89… olarak hesaplayabiliriz (Şekil 9).

UÇAĞI DOLDURAN HATLAR. Bir düzlemi doldurabilen eğriler olan bütün bir düzenli fraktal ailesini düşünün. Leibniz ayrıca şunları söyledi: “Birinin kağıda tesadüfen birçok nokta koyduğunu varsayarsak,<… >Sabit ve eksiksiz, belirli bir kurala bağlı, tüm noktalardan geçecek geometrik bir doğru ortaya çıkarmanın mümkün olduğunu söylüyorum. Leibniz'in bu ifadesi, uzaydaki bir noktanın konumunun benzersiz bir şekilde belirlendiği en küçük parametre sayısı olarak Öklidci boyut anlayışıyla çelişiyordu. Kesin bir kanıtın yokluğunda, Leibniz'in bu fikirleri matematiksel düşüncenin çevresinde kaldı.

Peano eğrisi. Ancak 1890'da İtalyan matematikçi Giuseppe Peano, tüm noktalarından geçen düz bir yüzeyi tamamen kaplayan bir doğru oluşturdu. "Peano eğrisi"nin yapısı, Şek. 10.

Peano eğrisinin topolojik boyutu bire eşitken, fraktal boyutu d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2'ye eşittir. Fraktal geometri çerçevesinde, paradoks şu şekilde çözüldü: en doğal yol. Örümcek ağı gibi bir çizgi bir uçağı kaplayabilir. Bu durumda bire bir yazışma kurulur: doğrunun her noktası düzlemde bir noktaya karşılık gelir. Ancak bu yazışma bire bir değildir, çünkü düzlemdeki her nokta doğru üzerinde bir veya daha fazla noktaya karşılık gelir.

Hilbert eğrisi. Bir yıl sonra, 1891'de, Alman matematikçi David Hilbert'in (1862–1943) kesişimleri veya teğetlikleri olmayan bir düzlemi kapsayan bir eğri sunduğu bir makalesi çıktı. "Hilbert eğrisi"nin yapısı, Şek. on bir.

Hilbert eğrisi, SSBF eğrilerinin ilk örneğiydi (boşluk doldurma, kendinden Kaçınma, Basit ve selfBenzer boşluk doldurma kendinden kaçınma, basit ve kendine benzer çizgiler). Gilbert çizgisinin fraktal boyutu ve Peano eğrisi ikiye eşittir.

Minkowski kaseti. Hilbert'in öğrencilik yıllarından yakın bir arkadaşı olan Herman Minkowski, uçağın tamamını kaplamayan, şerit gibi bir şey oluşturan bir eğri inşa etti. Her adımda "Minkowski bandı" oluşturulurken, her segment 8 segmentten oluşan kesik bir çizgi ile değiştirilir. Bir sonraki aşamada, her yeni segment ile işlem 1:4 ölçeğinde tekrarlanır. Minkowski şeridinin fraktal boyutu d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1.5'tir.

DOĞRUSAL OLMAYAN FRAKTALLER. Karmaşık düzlemin kendi üzerine en basit doğrusal olmayan eşlemesi, ilk kısımda ele alınan Julia eşlemesi zgz 2 + С'dir, geri besleme döngüsü (Şekil 13).

Sabit bir C sabit değeri için yinelemeler sürecinde, keyfi bir başlangıç ​​noktası Z 0'a bağlı olarak, Z n noktası n-> ∞ sonlu veya sonsuz olabilir. Her şey z = 0 orijine göre Z 0'ın konumuna bağlıdır. Hesaplanan değer sonluysa, Julia kümesine dahil edilir; sonsuza giderse, Julia kümesinden kesilir.

Julia haritasının bazı yüzey noktalarına uygulanmasından sonra elde edilen form, benzersiz bir şekilde C parametresi tarafından belirlenir. Küçük C için bunlar basit bağlantılı döngülerdir; büyük C için bunlar bağlantısız ancak kesin olarak sıralanmış noktaların kümeleridir. Genel olarak, tüm Julia formları iki büyük aileye ayrılabilir - bağlantılı ve bağlantısız eşlemeler. İlki "Koch'un kar tanesine", ikincisi "Cantor'un tozuna" benziyor.

Julia'nın şekillerinin çeşitliliği, bu şekilleri bilgisayar monitörlerinde ilk kez gözlemleyebildiklerinde matematikçileri şaşırttı. Bu çeşitliliği sıralama girişimleri çok keyfi bir nitelikteydi ve Julia haritalarının sınıflandırılmasının temelinin, ortaya çıktığı gibi, Julia haritalarına asimptotik olarak benzeyen Mandelbrot kümesi olduğu gerçeğine ulaştı.

C = 0 ile, Julia eşlemesinin tekrarı bir dizi sayı verir z 0 , z 0 2 , z 0 4 , z 0 8 , z 0 16 ... Sonuç olarak, üç seçenek mümkündür:

• için |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• için |z 0 | > 1 yinelemeler sırasında, z n sayıları sonsuzluğa doğru giderek mutlak değerde artar. Bu durumda, çekici sonsuzda bir noktadır ve bu tür değerleri Julia kümesinden hariç tutuyoruz;
• için |z 0 | = 1 dizinin tüm noktaları bu birim çember üzerinde kalmaya devam eder. Bu durumda, çekici bir dairedir.

Böylece, C = 0'da çekici ve itici başlangıç ​​noktaları arasındaki sınır bir dairedir. Bu durumda, eşlemenin iki sabit noktası vardır: z = 0 ve z = 1. Bunlardan birincisi, ikinci dereceden fonksiyonun sıfırdaki türevi 0 olduğu için çekici ve ikincisi, ikinci dereceden fonksiyonun türevi olduğu için iticidir. Bir parametrenin değerindeki fonksiyon ikiye eşittir.

Sabit C'nin gerçek bir sayı olduğu durumu düşünün, yani. Mandelbrot kümesinin ekseni boyunca hareket ediyor gibiyiz (Şekil 14). C = -0.75'te Julia kümesinin sınırı kendi kendine kesişir ve ikinci çekici ortaya çıkar. Bu noktada fraktal, Mandelbrot tarafından ünlü Venedik katedralinin onuruna verilen San Marco fraktalının adını taşır. Şekle bakıldığında, Mandelbrot'un neden bu yapının onuruna fraktal adını verme fikrini ortaya attığını anlamak zor değil: benzerlik inanılmaz.

Pirinç. 14. Julia kümesinin formunun, C'nin gerçek değerinde 0'dan -1'e bir düşüşle değiştirilmesi

C'yi -1.25'e düşürerek, C'ye kadar devam eden dört sabit noktalı yeni bir tip formu elde ederiz.< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Pirinç. 15. Julia'nın yeni formlarının ortaya çıkması, gerçek değer C'de bir düşüşle belirlendi.< –1

Böylece, Mandelbrot fraktalının ekseninde kalsak bile (sabit C gerçek bir sayıdır), dikkat alanında "yakaladık" ve bir şekilde daireden toza oldukça geniş bir Julia şekli çeşitliliği sıraladık. Şimdi Mandelbrot fraktalının işaret alanlarını ve Julia fraktallarının karşılık gelen formlarını düşünün. Öncelikle Mandelbrot fraktalını "kardioid", "böbrekler" ve "soğan" terimleriyle tanımlayalım (Şekil 16).

Ana kardioid ve ona bitişik daire, Mandelbrot fraktalının temel şeklini oluşturur. Genellikle böbrek olarak adlandırılan sonsuz sayıda kendi kopyasına bitişiktirler. Bu tomurcukların her biri birbirine benzeyen sonsuz sayıda küçük tomurcukla çevrilidir. Ana kardiyoidin üstündeki ve altındaki en büyük iki tomurcuk soğan olarak adlandırıldı.

Bu kümenin (C = –0.12 + 0.74i) tipik fraktalını inceleyen Fransız Adrien Dowdy ve Amerikalı Bill Hubbard, buna “tavşan fraktal” adını verdiler (Şekil 17).

Mandelbrot fraktalının sınırını geçerken, Julia fraktalları her zaman bağlantılarını kaybeder ve belirli C değerleri için sonsuzdaki bir noktayı çektiğini kanıtlayan Pierre Fatou'nun onuruna genellikle “Fatou tozu” olarak adlandırılan toza dönüşür. toz gibi çok ince bir küme hariç tüm karmaşık düzlem (Şekil 18).

STOKASTİK FRAKTALLER. Kesinlikle kendine benzeyen bir von Koch eğrisi ile örneğin Norveç kıyıları arasında önemli bir fark vardır. İkincisi, kesinlikle kendine benzemeyen, istatistiksel anlamda benzerlik gösterir. Aynı zamanda her iki eğri de o kadar kırıktır ki hiçbir noktasına teğet çizemezsiniz, yani ayırt edemezsiniz. Bu tür eğriler, normal Öklid çizgileri arasında bir tür "canavar"dır. Herhangi bir noktasında tanjantı olmayan sürekli bir fonksiyon oluşturan ilk kişi Karl Theodor Wilhelm Weierstrass oldu. Çalışmaları 18 Temmuz 1872'de Kraliyet Prusya Akademisi'ne sunuldu ve 1875'te yayınlandı. Weierstrass tarafından açıklanan işlevler gürültüye benziyor (Şekil 19).

Bir hisse senedi bülten tablosuna, sıcaklık dalgalanmalarının veya hava basıncı dalgalanmalarının bir özetine bakın ve bazı düzenli düzensizlikler bulacaksınız. Ayrıca, ölçek büyütüldüğünde, düzensizliğin doğası korunur. Bu da bizi fraktal geometriye yönlendirir.

Brownian hareketi, stokastik bir sürecin en ünlü örneklerinden biridir. 1926'da Jean Perrin, Brownian hareketinin doğası üzerine yaptığı çalışma nedeniyle Nobel Ödülü'nü aldı. Brownian yörüngesinin kendine benzerliğine ve ayırt edilemezliğine dikkat çeken oydu.