Dört türden en basit, temel, kesirlerden integralleri hesaplamak için formüllerin türetilmesi verilmiştir. Dördüncü türden kesirlerden daha karmaşık integraller, indirgeme formülü kullanılarak hesaplanır. Dördüncü türden bir fraksiyonun bir entegrasyon örneği olarak kabul edilir.

Ayrıca bakınız: belirsiz integraller tablosu
Belirsiz integralleri hesaplama yöntemleri

Bilindiği gibi, bazı x değişkenlerinin herhangi bir rasyonel fonksiyonu, bir polinom ve basit, temel, kesirlere ayrıştırılabilir. Dört tür basit kesir vardır:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Burada a, A, B, b, c reel sayılardır. denklem x 2+bx+c=0 gerçek kökleri yoktur.

İlk iki türün kesirlerinin entegrasyonu

İlk iki kesrin integrali, integral tablosundan aşağıdaki formüller kullanılarak yapılır:
,
, n ≠ - 1 .

1. Birinci türden bir kesrin integrali

t = x - a ikamesi ile birinci türden bir kesir, bir tablo integraline indirgenir:
.

2. İkinci türden bir kesrin entegrasyonu

İkinci türün bir kısmı, aynı ikame t \u003d x - a ile bir tablo integraline indirgenir:

.

3. Üçüncü türden bir kesrin entegrasyonu

Üçüncü türden bir kesrin integralini düşünün:
.
İki adımda hesaplayacağız.

3.1. Adım 1. Payda paydanın türevini seçin

Kesrin payında paydanın türevini seçiyoruz. Belirtin: u = x 2+bx+c. Farklılaştır: u' = 2x + b. Sonra
;
.
Ancak
.
Modulo işaretini atladık çünkü .

Sonra:
,
nerede
.

3.2. Adım 2. A = 0, B=1 ile integrali hesaplayın

Şimdi kalan integrali hesaplıyoruz:
.

Kesrin paydasını karelerin toplamına getiriyoruz:
,
nerede .
x denkleminin olduğuna inanıyoruz 2+bx+c=0 kökleri yoktur. Böyle .

bir ikame yapalım
,
.
.

Böyle,
.

Böylece, üçüncü türden bir kesrin integralini bulduk:

,
nerede .

4. Dördüncü türden bir kesrin entegrasyonu

Ve son olarak, dördüncü türden bir kesrin integralini düşünün:
.
Üç adımda hesaplıyoruz.

4.1) Payda paydanın türevini seçiyoruz:
.

4.2) İntegrali hesaplayın
.

4.3) İntegralleri hesaplayın
,
döküm formülünü kullanarak:
.

4.1. Adım 1. Payda paydanın türevinin çıkarılması

'de yaptığımız gibi paydanın türevini payda seçiyoruz. u = x'i belirtin 2+bx+c. Farklılaştır: u' = 2x + b. Sonra
.

.
Ancak
.

Sonunda elimizde:
.

4.2. Adım 2. n = 1 ile integralin hesaplanması

İntegrali hesaplıyoruz
.
Hesaplaması 'de belirtilmiştir.

4.3. Adım 3. İndirgeme formülünün türetilmesi

Şimdi integrali düşünün
.

Üçlü kareyi karelerin toplamına getiriyoruz:
.
Burada .
Bir ikame yaparız.
.
.

Parçalar halinde dönüşümler gerçekleştiriyor ve entegre ediyoruz.




.

ile çarp 2(n - 1):
.
x ve I n'ye dönüyoruz.
,
;
;
.

Böylece, I n için indirgeme formülünü elde ettik:
.
Bu formülü art arda uygulayarak, integrali I n'yi I'e indirgeriz. 1 .

Misal

İntegrali hesapla

1. Payda paydanın türevini seçiyoruz.
;
;


.
Burada
.

2. En basit kesrin integralini hesaplıyoruz.

.

3. Azaltma formülünü uyguluyoruz:

integral için.
Bizim durumumuzda b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Bu formülü n = için yazıyoruz 2 ve n = 3 :
;
.
Buradan

.

Sonunda elimizde:

.
katsayısını buluruz.
.

İntegralini bulmak istediğiniz işlevi girin

Belirsiz integrali hesapladıktan sonra ücretsiz DETAYLI çözüm girdiğiniz integral.

f(x) fonksiyonunun belirsiz integralinin çözümünü bulalım (fonksiyonun ters türevi).

Örnekler

Derece kullanımı ile
(kare ve küp) ve kesirler

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Kare kök

Kare(x)/(x + 1)

küp kökü

Merkez(x)/(3*x + 2)

sinüs ve kosinüs kullanma

2*sin(x)*cos(x)

arksinüs

X*arksin(x)

ark kosinüsü

x*arccos(x)

Logaritma uygulaması

X*log(x, 10)

doğal logaritma

Katılımcı

Tg(x)*sin(x)

Kotanjant

Ctg(x)*cos(x)

irrasyonel kesirler

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

arktanjant

X*arctg(x)

ark tanjantı

X*arсctg(x)

Hiberbolik sinüs ve kosinüs

2*sh(x)*ch(x)

Hiberbolik tanjant ve kotanjant

ctgh(x)/tgh(x)

Hiberbolik arksinüs ve arkkozin

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiberbolik arktanjant ve arkkotanjant

X^2*yay(x)*yay(x)

İfadeleri ve işlevleri girme kuralları

İfadeler, işlevlerden oluşabilir (gösterimler alfabetik sırayla verilmiştir): mutlak(x) Mutlak değer x
(modül x veya |x|) arccos(x) fonksiyon - ark kosinüsü x arkosh(x) Ark kosinüs hiperbolik x arksin(x) gelen arksin x arksinh(x) Arcsine hiperbolik x arktg(x)İşlev - gelen ark tanjantı x arktgh(x) Ark tanjantı hiperbolik x e e yaklaşık olarak 2,7'ye eşit bir sayı exp(x) işlev - üs x(hangisi e^x) günlük(x) veya günlük(x) doğal logaritması x
(Elde etmek üzere log7(x), log(x)/log(7) girmeniz gerekir (veya örneğin, log10(x)=günlük(x)/günlük(10)) pi Sayı yaklaşık olarak 3.14'e eşit olan "Pi" dir. günah(x)İşlev - Sinüs x cos(x)İşlev - Kosinüs x günah(x)İşlev - Hiperbolik sinüs x nakit(x)İşlev - Hiperbolik kosinüs x kare(x)İşlev - Kare kök itibaren x kare(x) veya x^2İşlev - Kare x tg(x)İşlev - Tanjant x tgh(x)İşlev - Hiperbolik tanjantı x Merkez Bankası(x)İşlev, küp köküdür x

Aşağıdaki işlemleri ifadelerde kullanabilirsiniz: Gerçek sayılar forma girin 7.5 , olumsuzluk 7,5 2 kere- çarpma işlemi 3/x- bölünme x^3- üs alma x + 7- ek x - 6- çıkarma
Diğer özellikler: kat(x)İşlev - yuvarlama x aşağı (örnek kat(4.5)==4.0) tavan(x)İşlev - yuvarlama x yukarı (örnek tavan(4.5)==5.0) işaret(x)İşlev - İşaret x erf(x) Hata işlevi (veya olasılık integrali) laplace(x) Laplace işlevi

Hatırlamak kesirli rasyonel$$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)) biçiminde işlevler olarak adlandırılır, genel durumda $$ iki polinomun %%P_n(x)%% ve % oranıdır %Q_m(x)% %.

%%m > n \geq %0 ise, rasyonel kesir denir doğru, aksi halde yanlıştır. Polinom bölme kuralı kullanılarak, uygun olmayan bir rasyonel kesir, %%n - m%% derecesinin %%P_(n - m)%% polinomunun ve bazı uygun kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir, yani. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ burada derece %%l% %%P_l(x)%% polinomunun %'si, %%Q_n(x)%% polinomunun %%n%% derecesinden daha azdır.

Böylece, bir rasyonel fonksiyonun belirsiz integrali, bir polinomun ve uygun bir rasyonel kesrin belirsiz integrallerinin toplamı olarak temsil edilebilir.

Basit rasyonel kesirlerin integralleri

sağ arasında rasyonel kesirler olarak sınıflandırılan dört tip vardır. en basit rasyonel kesirler:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

burada %%k > %1% bir tam sayıdır ve %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

İlk iki türün kesirlerinden belirsiz integrallerin hesaplanması

İlk iki tür kesirlerin belirsiz integrallerini hesaplamak kolaydır: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\ matematik (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a) )^(k-1)) + C. \end(dizi) $$

Üçüncü tip kesirlerden belirsiz integrallerin hesaplanması

İlk önce paydadaki tam kareyi seçerek üçüncü türün kesirini dönüştürürüz: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/ 2)^2 + q - p^2/4), $$ %%p^2 - 4q'den beri< 0%%, то %%q - p^2/4 >%%a, %%a^%% olarak belirteceğiz. %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%% ifadesini de değiştirerek, paydayı dönüştürür ve üçüncü türden bir kesrin integralini $$ \begin biçiminde yazarız (dizi)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^ 2 + q - p^2/4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d )t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(dizi) $$

Belirsiz integralin doğrusallığını kullanarak, son integrali ikinin toplamı olarak temsil ediyoruz ve bunlardan ilkinde diferansiyel işareti altına %%t%% koyuyoruz: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\sağ)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\sağ))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\sağ| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(dizi) $$

Orijinal %%x%% değişkenine dönersek, $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) ile sonuçlanırız. \ln \sol| x^2 + piksel + q\sağ| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ burada %%a^2 = q - p^2 / 4 > %0 %.

Tip 4 integralin hesaplanması zordur, bu nedenle bu derste ele alınmamaktadır.

Önceki paragraflardaki yukarıdakilerin tümü, rasyonel bir kesri entegre etmek için temel kuralları formüle etmemize izin verir.

1. Bir rasyonel kesir yanlışsa, o zaman bir polinom ile uygun bir rasyonel kesrin toplamı olarak temsil edilir (bakınız madde 2).

Böylece, uygun olmayan bir rasyonel kesrin entegrasyonu, bir polinomun ve uygun bir rasyonel kesrin entegrasyonuna indirgenir.

2. Uygun bir kesrin paydasını çarpanlara ayırın.

3. Doğru rasyonel kesir, en basit kesirlerin toplamına ayrıştırılır. Böylece, uygun bir rasyonel kesrin entegrasyonu, basit kesirlerin entegrasyonuna indirgenir.

Örnekleri düşünün.

Örnek 1. Bul .

Karar. İntegralin altında uygunsuz bir rasyonel kesir var. Tamsayı kısmını alırsak,

Buradan,

Buna dikkat ederek, uygun rasyonel kesri genişletiyoruz.

basit kesirlere:

(bkz. formül (18)). Böyle

Böylece, nihayet sahip olduk

Örnek 2. Bul

Karar. İntegralin altında uygun bir rasyonel kesir bulunur.

Basit kesirlere genişleterek (bkz. formül (16)), şunu elde ederiz:

Bir kesirli-rasyonel fonksiyonun integrali.
Belirsiz katsayılar yöntemi

Kesirlerin integrali üzerinde çalışmaya devam ediyoruz. Derste bazı kesir türlerinin integrallerini zaten düşündük ve bu ders bir anlamda bir devam olarak kabul edilebilir. Materyali başarılı bir şekilde anlamak için temel entegrasyon becerileri gereklidir, bu nedenle integralleri çalışmaya yeni başladıysanız, yani bir çaydanlıksanız, o zaman makaleyle başlamanız gerekir. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri.

İşin garibi, şimdi sistemleri çözmekte olduğu gibi integralleri bulmakla çok fazla meşgul olmayacağız. lineer denklemler. Bu bağlamda şiddetle Dersi ziyaret etmenizi tavsiye ederim Yani, ikame yöntemlerinde (“okul” yöntemi ve sistem denklemlerinin dönem dönem toplama (çıkarma) yöntemi) konusunda bilgili olmanız gerekir.

kesirli rasyonel fonksiyon nedir? basit kelimelerle, kesirli-rasyonel bir işlev, pay ve paydasında polinomlar veya polinomların ürünleri olan bir kesirdir. Aynı zamanda, kesirler makalede tartışılanlardan daha karmaşıktır. Bazı kesirlerin integrali.

Doğru kesirli-rasyonel fonksiyonun entegrasyonu

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integralini çözmek için hemen bir örnek ve tipik bir algoritma.

örnek 1

Aşama 1. Bir rasyonel-kesirli fonksiyonun integralini çözerken HER ZAMAN yaptığımız ilk şey şu soruyu sormaktır: kesir doğru mu Bu adım sözlü olarak yapılır ve şimdi nasıl olduğunu açıklayacağım:

İlk önce paya bakın ve öğrenin kıdemli derece polinom:

Payın en büyük kuvveti ikidir.

Şimdi paydaya bak ve öğren kıdemli derece payda. Açık yol, parantezleri açmak ve getirmektir. benzer terimler, ama daha kolay yapabilirsin her biri parantez en yüksek dereceyi bul

ve zihinsel olarak çarpın: - Böylece, paydanın en yüksek derecesi üçe eşittir. Parantezleri gerçekten açarsak, üçten büyük bir derece alamayacağımız oldukça açıktır.

Çözüm: Payın en yüksek gücü KESİNLİKLE paydanın en yüksek kuvvetinden küçükse, kesir doğrudur.

Bu örnekte pay 3, 4, 5 vb. bir polinom içeriyorsa. derece, o zaman kesir olurdu yanlış.

Şimdi sadece uygun kesirli-rasyonel fonksiyonları ele alacağız.. Payın derecesinin paydanın derecesinden büyük veya eşit olduğu durumu dersin sonunda analiz edeceğiz.

Adım 2 Paydayı çarpanlarına ayıralım. Paydamıza bakalım:

Genel olarak konuşursak, burada zaten faktörlerin bir ürünü var, ancak yine de kendimize soruyoruz: başka bir şeyi genişletmek mümkün mü? İşkence nesnesi, elbette, kare üç terimli olacaktır. biz karar veririz ikinci dereceden denklem:

Diskriminant sıfırdan büyüktür, bu, üç terimin gerçekten de çarpanlara ayrıldığı anlamına gelir:

Genel kural: Paydada çarpanlarına ayrılabilen HER ŞEY - çarpanlara ayrıl

Bir karar vermeye başlayalım:

Aşama 3 Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak, integrali basit (temel) kesirlerin toplamına genişletiriz. Şimdi daha net olacak.

İntegrand fonksiyonumuza bakalım:

Ve, bilirsiniz, sezgisel bir düşünce, bir şekilde, büyük kesirimizi birkaç küçük kesir haline getirmenin güzel olacağı yönündeki düşüncelerden sıyrılıyor. Örneğin, bunun gibi:

Soru ortaya çıkıyor, bunu yapmak bile mümkün mü? Rahat bir nefes alın, ilgili teorem matematiksel analiz MÜMKÜN olduğunu ileri sürer. Böyle bir ayrışma vardır ve benzersizdir.

Tek bir yakalama var, katsayılar Hoşçakal bilmiyoruz, dolayısıyla adı - belirsiz katsayılar yöntemi.

Bunu tahmin ettiniz, sonraki hareketler bu yüzden kıkırdama! sadece onları ÖĞRENME hedeflenecektir - neye eşit olduklarını bulmak için.

Dikkatli olun, bir kez ayrıntılı olarak açıklarım!

O halde dansa şuradan başlayalım:

Sol tarafta şu ifadeyi sunuyoruz: ortak payda:

Şimdi paydalardan güvenle kurtuluyoruz (çünkü aynılar):

Sol tarafta ise henüz bilinmeyen katsayılara dokunmadan parantezleri açıyoruz:

Aynı zamanda, polinomları çarpmak için okul kuralını tekrarlıyoruz. Öğretmenken bu kuralı düz bir yüzle söylemeyi öğrendim: Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğer polinomun her terimiyle çarpmanız gerekir..

Açık bir açıklama açısından, katsayıları parantez içine almak daha iyidir (kişisel olarak zaman kazanmak için bunu asla yapmamama rağmen):

Bir lineer denklem sistemi oluşturuyoruz.
İlk olarak, kıdemli dereceler ararız:

Ve karşılık gelen katsayıları sistemin ilk denklemine yazıyoruz:

Aşağıdaki nüansı iyi hatırla. Sağ taraf hiç olmasaydı ne olurdu? Söylesene, herhangi bir kare olmadan gösteriş yapar mı? Bu durumda sistemin denkleminde sağa sıfır koymak gerekecektir: . Neden sıfır? Ve sağ tarafta bu kareyi her zaman sıfırla ilişkilendirebileceğiniz için: Sağ tarafta değişken veya (ve) bir serbest terim yoksa, sistemin karşılık gelen denklemlerinin sağ taraflarına sıfırlar koyarız.

Karşılık gelen katsayıları sistemin ikinci denklemine yazıyoruz:

Ve son olarak maden suyu, ücretsiz üyeler seçiyoruz.

Eh, ... şaka yapıyordum. Şaka bir yana - matematik ciddi bir bilimdir. Enstitü grubumuzda, yardımcı doçent, üyeleri bir sayı doğrusu boyunca dağıtacağını ve en büyüğünü seçeceğini söylediğinde kimse gülmedi. Hadi ciddileşelim. Her ne kadar ... bu dersin sonunu görmek için yaşayan kişi yine de sessizce gülümseyecek.

Sistem hazır:

Sistemi çözüyoruz:

(1) Birinci denklemden, ifade edip sistemin 2. ve 3. denklemlerine yerleştiriyoruz. Aslında başka bir denklemden (veya başka bir harf) ifade etmek mümkündü, ancak bu durumda onu 1. denklemden ifade etmek avantajlıdır, çünkü orada en küçük oranlar.

(2) Benzer terimleri 2. ve 3. denklemlerde sunuyoruz.

(3) Eşitliği elde ederken 2. ve 3. denklemleri terim terim ekleriz.

(4) Bunu bulduğumuz ikinci (veya üçüncü) denklemi yerine koyarız.

(5) İlk denklemi yerine koyarız ve elde ederiz.

Sistemi çözme yöntemleriyle ilgili herhangi bir sorununuz varsa, bunları sınıfta çalışın. Bir lineer denklem sistemi nasıl çözülür?

Sistemi çözdükten sonra, bir kontrol yapmak her zaman yararlıdır - bulunan değerleri değiştirin her birinde sistemin denklemi, sonuç olarak, her şey “yakınsamalı”.

Neredeyse geldi. Katsayılar bulunurken:

Temiz bir iş şöyle görünmelidir:

Gördüğünüz gibi, görevin ana zorluğu bir lineer denklem sistemi oluşturmak (doğru!) ve çözmek (doğru!) idi. Ve son aşamada, her şey o kadar zor değil: belirsiz integral ve integralin doğrusallığının özelliklerini kullanıyoruz. Dikkatinizi, üç integralin her birinin altında "serbest" bir değere sahip olduğumuz gerçeğine çekiyorum. karmaşık fonksiyon, Derste entegrasyonunun özelliklerinden bahsettim. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Kontrol edin: Cevabı ayırt edin:

Orijinal integral elde edildi, yani integral doğru bulundu.
Doğrulama sırasında ifadeyi ortak bir paydaya getirmek gerekiyordu ve bu tesadüfi değil. Belirsiz katsayılar yöntemi ve ifadeyi ortak bir paydaya getirmek, birbirinin tersi olan eylemlerdir.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun.

İlk örnekten kesre geri dönelim: . Paydada tüm faktörlerin FARKLI olduğunu görmek kolaydır. Soru ortaya çıkıyor, örneğin böyle bir kesir verilirse ne yapmalı: ? Burada paydada derecelerimiz var, ya da matematiksel terimlerle, çoklu faktör. Ek olarak, ayrıştırılamaz bir kare trinomial vardır (denklemin diskriminantının doğrulanması kolaydır. negatiftir, bu nedenle üç terim hiçbir şekilde çarpanlarına ayrılamaz). Ne yapalım? Temel kesirlerin toplamına genişleme şöyle görünecek üstte bilinmeyen katsayılarla mı yoksa başka bir şekilde mi?

Örnek 3

bir işlev gönder

Aşama 1. Doğru bir kesre sahip olup olmadığımızı kontrol etmek
Payın en yüksek gücü: 2
En yüksek payda: 8
, yani kesir doğrudur.

Adım 2 Paydada herhangi bir şey çarpanlara ayrılabilir mi? Açıkçası hayır, her şey zaten ortaya kondu. Kare üç terimli, yukarıdaki nedenlerden dolayı bir ürüne genişlemez. İyi. Az iş.

Aşama 3 Temel kesirlerin toplamı olarak kesirli-rasyonel bir işlevi temsil edelim.
Bu durumda, ayrıştırma aşağıdaki forma sahiptir:

Paydamıza bakalım:
Kesirli-rasyonel bir işlevi temel kesirlerin toplamına ayrıştırırken, üç temel nokta ayırt edilebilir:

1) Payda birinci derecede “yalnız” bir faktör içeriyorsa (bizim durumumuzda), o zaman en üste belirsiz bir katsayı koyarız (bizim durumumuzda). 1,2 No'lu Örnekler, yalnızca bu tür "yalnız" faktörlerden oluşuyordu.

2) Payda şunları içeriyorsa çokluçarpan, ardından aşağıdaki gibi ayrıştırmanız gerekir:
- yani, birinci dereceden n'inci dereceye kadar tüm "x" derecelerini sırayla sıralayın. Örneğimizde iki tane çoklu faktör vardır: ve verdiğim ayrıştırmaya bir kez daha bakın ve tam olarak bu kurala göre ayrıştırıldıklarından emin olun.

3) Payda, ikinci dereceden ayrıştırılamaz bir polinom içeriyorsa (bizim durumumuzda), o zaman payda genişlerken yazmanız gerekir. doğrusal fonksiyon belirsiz katsayılarla (bizim durumumuzda belirsiz katsayılarla ve ).

Aslında 4. bir vaka daha var ama pratikte son derece nadir olduğu için bu konuda sessiz kalacağım.

Örnek 4

bir işlev gönder katsayıları bilinmeyen temel kesirlerin toplamı olarak.

Bu bir kendin yap örneğidir. Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.
Algoritmayı kesinlikle takip edin!

Kesirli-rasyonel bir işlevi bir toplama ayırmanız gereken ilkeleri çözdüyseniz, söz konusu türün hemen hemen her integralini kırabilirsiniz.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Aşama 1. Açıkçası, kesir doğrudur:

Adım 2 Paydada herhangi bir şey çarpanlara ayrılabilir mi? Yapabilir. İşte küplerin toplamı . Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak paydayı çarpanlara ayırma

Aşama 3 Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak, integrali temel kesirlerin toplamına genişletiriz:

Polinomun ayrıştırılamaz olduğuna dikkat edin (ayırt edicinin negatif olup olmadığını kontrol edin), bu nedenle en üste sadece tek bir harf değil, katsayıları bilinmeyen doğrusal bir fonksiyon koyduk.

Kesri ortak bir paydaya getiriyoruz:

Sistemi oluşturalım ve çözelim:

(1) Birinci denklemden, sistemin ikinci denklemini ifade edip yerine koyarız (bu en rasyonel yoldur).

(2) Benzer terimleri ikinci denklemde sunuyoruz.

(3) Sistem teriminin ikinci ve üçüncü denklemlerini terim bazında toplarız.

Sistem basit olduğu için diğer tüm hesaplamalar prensipte sözlüdür.

(1) Bulunan katsayılara göre kesirlerin toplamını yazıyoruz.

(2) Belirsiz integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz. İkinci integralde ne oldu? Bu yöntemi dersin son paragrafında bulabilirsiniz. Bazı kesirlerin integrali.

(3) Bir kez daha doğrusallığın özelliklerini kullanıyoruz. Üçüncü integralde, tam bir kare seçmeye başlıyoruz (dersin sondan bir önceki paragrafı Bazı kesirlerin integrali).

(4) İkinci integrali alıyoruz, üçüncüsünde tam kareyi seçiyoruz.

(5) Üçüncü integrali alıyoruz. Hazır.