Cramer yöntemi.

Cramer yöntemi, lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için kullanılır ( SLAU).

İki değişkenli iki denklem sistemi örneğinde formüller.
Verilen: Sistemi Cramer yöntemiyle çözün

Değişkenlerle İlgili x Ve de.
Çözüm:
Sistemin katsayılarından oluşan matrisin determinantını bulun Determinantların hesaplanması. :

Cramer formüllerini uygulayalım ve değişkenlerin değerlerini bulalım:
Ve .
Örnek 1:
Denklem sistemini çözün:

değişkenlerle ilgili x Ve de.
Çözüm:


Bu determinanttaki ilk sütunu sistemin sağından bir katsayılar sütunu ile değiştirelim ve değerini bulalım:

İlk determinanttaki ikinci sütunu değiştirerek benzer bir işlem yapalım:

uygulanabilir Cramer formülleri ve değişkenlerin değerlerini bulun:
Ve .
Yanıt vermek:
Yorum: Bu yöntem, daha yüksek boyutlu sistemleri çözmek için kullanılabilir.

Yorum:Öyle olduğu ortaya çıkarsa ve sıfıra bölmek mümkün değilse, sistemin benzersiz bir çözümü olmadığını söylüyorlar. Bu durumda sistemin ya sonsuz sayıda çözümü vardır ya da hiç çözümü yoktur.

Örnek 2(sonsuz sayıda çözüm):

Denklem sistemini çözün:

değişkenlerle ilgili x Ve de.
Çözüm:
Sistemin katsayılarından oluşan matrisin determinantını bulun:

Sistemleri ikame yöntemiyle çözme.

Sistemin denklemlerinden ilki, değişkenlerin herhangi bir değeri için doğru olan bir eşitliktir (çünkü 4 her zaman 4'e eşittir). Yani geriye tek bir denklem kalıyor. Bu, değişkenler arasındaki bir ilişki denklemidir.
Sistemin çözümünün, eşitlikle ilişkili herhangi bir değişken değeri çifti olduğunu anladık.
Genel çözüm şöyle yazılır:
Özel çözümler, keyfi bir y değeri seçilerek ve bu ilişki denkleminden x hesaplanarak belirlenebilir.

vb.
Böyle sonsuz sayıda çözüm var.
Yanıt vermek: ortak karar
Özel Çözümler:

Örnek 3(çözüm yok, sistem tutarsız):

Denklem sistemini çözün:

Çözüm:
Sistemin katsayılarından oluşan matrisin determinantını bulun:

Cramer formüllerini kullanamazsınız. Bu sistemi ikame yöntemiyle çözelim.

Sistemin ikinci denklemi, değişkenlerin hiçbir değeri için geçerli olmayan bir eşitliktir (tabii ki -15, 2'ye eşit olmadığı için). Sistemin denklemlerinden biri, değişkenlerin herhangi bir değeri için doğru değilse, tüm sistemin çözümü yoktur.
Yanıt vermek:çözüm yok

yöntemler Kramer Ve Gauss en popüler çözümlerden biri SLAU. Ek olarak, bazı durumlarda özel yöntemlerin kullanılması tavsiye edilir. Oturum kapandı ve şimdi bunları tekrar etme veya sıfırdan ustalaşma zamanı. Bugün çözümü Cramer yöntemiyle ele alıyoruz. Sonuçta, bir lineer denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözmek çok faydalı bir beceridir.

Lineer cebirsel denklem sistemleri

Lineer cebirsel denklemler sistemi, formun bir denklem sistemidir:

Değer kümesi x sistemin denklemlerinin özdeşliğe dönüştüğü, sistemin çözümü olarak adlandırılır, a Ve B gerçek katsayılardır. İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan basit bir sistem, zihinsel olarak veya bir değişkeni diğeri cinsinden ifade ederek çözülebilir. Ancak SLAE'de ikiden fazla değişken (x) olabilir ve burada basit okul manipülasyonları vazgeçilmezdir. Ne yapalım? Örneğin, SLAE'yi Cramer yöntemiyle çözün!

Yani sistem olsun n ile denklemler n Bilinmeyen.

Böyle bir sistem matris formunda yeniden yazılabilir.

Burada A sistemin ana matrisidir, x Ve B sırasıyla, bilinmeyen değişkenlerin ve serbest üyelerin sütun matrisleri.

Cramer yöntemiyle SLAE çözümü

Ana matrisin determinantı sıfıra eşit değilse (matris tekil değildir), sistem Cramer yöntemi kullanılarak çözülebilir.

Cramer yöntemine göre çözüm şu formüllerle bulunur:

Burada delta ana matrisin belirleyicisidir ve delta x n'inci - n'inci sütunun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesiyle ana matrisin determinantından elde edilen determinant.

Cramer'in yönteminin bütün amacı budur. Yukarıdaki formüllerle bulunan değerlerin yerine konulması x istenen sisteme, çözümümüzün doğruluğuna (veya tam tersi) ikna oluyoruz. Konuyu kavramanızı kolaylaştırmak için işte bir örnek. detaylı çözüm Cramer yöntemiyle SLAE:

İlk seferde başarılı olamasanız bile cesaretiniz kırılmasın! Biraz pratikle, YAVAŞ'ları fındık gibi patlatmaya başlayacaksınız. Üstelik, artık bir deftere göz atmak, hantal hesaplamaları çözmek ve çubuğa yazmak kesinlikle gerekli değildir. SLAE'yi Cramer yöntemiyle çevrimiçi olarak, yalnızca katsayıları bitmiş forma değiştirerek çözmek kolaydır. denemek cevrimici hesap makinesi Cramer yöntemiyle çözümler, örneğin bu sitede olabilir.

Ve sistemin inatçı olduğu ortaya çıktıysa ve pes etmezse, örneğin bir özet satın almak için yazarlarımızdan her zaman yardım isteyebilirsiniz. Sistemde en az 100 bilinmeyen varsa kesinlikle doğru ve tam zamanında çözeceğiz!

Üç lineer denklem sistemi verilsin:

Bir lineer denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözmek için, sistemin ana determinantı  bilinmeyenlerin katsayılarından derlenir. Sistem (1) için ana belirleyici şu şekildedir:
.

Daha sonra, belirleyiciler değişkenlere göre derlenir.
,,. Bunu yapmak için, ana belirleyicide, karşılık gelen değişken için bir katsayılar sütunu yerine, bir serbest üyeler sütunu yazılır, yani

,
,
.

Daha sonra sistemin çözümü Cramer formülleri ile bulunur.

,
,

Sistemin benzersiz bir çözümü olduğuna dikkat edilmelidir.
ana belirleyici ise
. Eğer
Ve
= 0,= 0,= 0 ise sistem, Cramer formülleriyle bulunamayan sonsuz sayıda çözüme sahiptir. Eğer
Ve
0 veya 0 veya 0, o zaman denklem sistemi tutarsızdır, yani çözümü yoktur.

Örnek vermek

Çözüm:

1) Bilinmeyenler için katsayılardan oluşan sistemin ana determinantını oluşturur ve hesaplar.

.

Bu nedenle, sistemin benzersiz bir çözümü vardır.

2) 'deki karşılık gelen sütunu bir serbest üye sütunu ile değiştirerek yardımcı belirleyicileri oluşturun ve hesaplayın.

Cramer formüllerini kullanarak bilinmeyenleri buluruz:

,
,
.

Çözümün doğru olduğundan emin olmak için kontrol edeceğiz

Onlar.
.

, yani

, yani

Yanıt vermek: .

Örnek vermek

Denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözün:

Çözüm:

1) Sistemin ana belirleyicisini bilinmeyenlerin katsayılarından oluşturun ve hesaplayın:

.

Bu nedenle, sistemin benzersiz bir çözümü yoktur.

2) 'deki karşılık gelen sütunu bir serbest terimler sütunuyla değiştirerek yardımcı belirleyicileri oluşturun ve hesaplayın:

,
, bu nedenle sistem tutarsız.

Yanıt vermek: sistem tutarsız.

Gauss yöntemi

Gauss yöntemi iki aşamadan oluşur. İlk aşama, sistemin eşdeğerliğini ihlal etmeyen eylemler kullanılarak sistemin denklemlerinden değişkenlerin art arda çıkarılmasından oluşur. Örneğin, sistem (1)'in ilk iki denklemini ele alalım.

(1)

Bu iki denklemi toplayarak içinde değişken olmayan bir denklem elde etmek gerekir. . İlk denklemi ile çarpın , ve ikincisi (
) ve elde edilen denklemleri ekleyin

Katsayıyı daha önce değiştiriyoruz y, z ve ücretsiz üye ,Ve buna göre, yeni bir denklem çifti elde ederiz.

İkinci denklemde değişken olmadığına dikkat edin. x.

(1) sisteminin birinci ve üçüncü denklemleri ve ardından toplama sonucu elde edilen ikinci ve üçüncü denklemler üzerinde benzer işlemler yaptıktan sonra, sistem (1)'i forma dönüştürüyoruz.

(2)

Bu sonuç, sistemin benzersiz bir çözümü varsa mümkündür. Bu durumda çözüm, ters Gauss yöntemi (ikinci aşama) kullanılarak bulunur. (2) sisteminin son denkleminden bilinmeyen değişkeni buluyoruz z, sonra ikinci denklemden buluruz y, fakat x sırasıyla ilkinden, içlerinde ikame ederek zaten bilinmeyenler bulundu.

Bazen, iki denklemin eklenmesinin bir sonucu olarak, toplam denklem aşağıdaki şekillerden birini alabilir:

FAKAT)
, nerede
. Bu, çözülmekte olan sistemin tutarsız olduğu anlamına gelir.

B), yani
. Böyle bir denklem sistemden çıkarılır, sonuç olarak sistemdeki denklem sayısı değişken sayısından daha az olur ve sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır, bunun sonucu bir örnekle gösterilecektir.

Örnek vermek

Çözüm:

Çözümün ilk aşamasını Gauss yöntemiyle uygulamak için aşağıdaki yöntemi göz önünde bulundurun. Sistemin üç denklemine karşılık gelen bilinmeyen ve serbest terimler için üç satır katsayı yazalım. Serbest terimleri katsayılardan dikey bir çizgi ile ayırıyoruz ve üçüncü çizginin altına yatay bir çizgi çiziyoruz.

Sistemin ilk denklemine karşılık gelen ilk satırı daire içine alıyoruz - bu denklemdeki katsayılar değişmeden kalacaktır. İkinci satır (denklem) yerine, katsayının bulunduğu bir satır (denklem) almanız gerekir. sıfıra eşittir. Bunun için ilk satırdaki tüm sayıları (-2) ile çarpıyoruz ve ikinci satırdaki karşılık gelen sayılara ekliyoruz. Ortaya çıkan miktarları yatay çizginin (dördüncü satır) altına yazıyoruz. Üçüncü satır (denklem) yerine aynı zamanda katsayının bulunduğu bir satır (denklem) elde etmek için sıfıra eşittir, ilk satırdaki tüm sayıları (-5) ile çarparız ve üçüncü satırdaki karşılık gelen sayılara ekleriz. Ortaya çıkan miktarları beşinci satıra yazıp altına yeni bir yatay çizgi çiziyoruz. Dördüncü satır (veya beşinci - isteğe bağlı olarak) daire içine alınacaktır. Katsayıları daha küçük olan satır seçilir. Bu satırda katsayılar değişmeden kalacaktır. Beşinci satır yerine, iki katsayının zaten sıfıra eşit olduğu bir satır almanız gerekir. Dördüncü satırı 3 ile çarpın ve beşinciye ekleyin. Miktarı yatay çizginin (altıncı satır) altına yazıp daire içine alıyoruz.

Açıklanan tüm eylemler, aritmetik işaretler ve oklar kullanılarak Tablo 1'de gösterilmektedir. Tabloda daire içine alınmış satırları tekrar denklem (3) şeklinde yazıyoruz ve Gauss yönteminin ters hareketini kullanarak değişkenlerin değerlerini buluyoruz. x, y Ve z.

tablo 1

Dönüşümlerimizin bir sonucu olarak elde edilen denklem sistemini geri yükleriz:

(3)

Ters Gauss yöntemi

Üçüncü denklemden
bulmak
.

Sistemin ikinci denklemine
bulunan değeri değiştir
, alırız
veya
.

İlk denklemden
değişkenlerin zaten bulunan değerlerini değiştirerek, elde ederiz
, yani
.

Çözümün doğru olduğundan emin olmak için sistemin her üç denkleminde de bir kontrol yapılmalıdır.

muayene:

, alırız

Elde etmek

Elde etmek

Bu, sistemin doğru olduğu anlamına gelir.

Yanıt vermek:
,
,
.

Örnek vermek

Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözün:

Çözüm:

Bu örnekteki eylemlerin sırası, önceki örnekteki sıraya benzer ve belirli eylemler Tablo 2'de belirtilmiştir.

Dönüşümlerin bir sonucu olarak, formun bir denklemini elde ederiz, bu nedenle verilen sistem tutarsızdır.

Yanıt vermek: sistem tutarsız.

Örnek vermek

Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözün:

Çözüm:

Tablo 3

Dönüşümlerin bir sonucu olarak, dikkate alınmayan formun bir denklemini elde ederiz. Böylece, bilinmeyen sayısı 3 ve denklem sayısı 2 olan bir denklem sistemimiz var.

Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu çözümleri bulmak için bir serbest değişken tanıtıyoruz. (Serbest değişken sayısı her zaman sistemin dönüşümünden sonra bilinmeyen sayısı ile kalan denklem sayısı arasındaki farka eşittir. Bizim durumumuzda 3 - 2 = 1).

İzin vermek
serbest değişkendir.

Sonra bulduğumuz ikinci denklemden
, nerede
ve sonra bul x ilk denklemden
veya
.

Böylece,
;
;
.

Bulmaya dahil olmayan denklemleri kontrol edelim. Ve , yani orijinal sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinde.

muayene:

veya, alırız
.

veya, alırız
.

Sistem doğru. keyfi bir sabit vermek farklı değerler, farklı değerler alacağız x, y Ve z.

Yanıt vermek:
;
;
.

Lineer denklem sistemi, bağımsız değişken sayısı kadar denklem içersin, yani. forma sahip

Bu tür lineer denklem sistemlerine ikinci dereceden denir. Sistemin (1.5) bağımsız değişkenlerinin katsayılarından oluşan determinant, sistemin ana determinantı olarak adlandırılır. Bunu Yunanca D harfi ile göstereceğiz. Böylece,

Ana belirleyicide keyfi bir ( J th) sütununu, sistemin ücretsiz üyeleri (1.5) sütunuyla değiştirin, o zaman daha fazlasını alabiliriz n yardımcı belirleyiciler:

(J = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramer kuralı ikinci dereceden lineer denklem sistemlerinin çözümü aşağıdaki gibidir. Sistemin (1.5) temel belirleyicisi D sıfır değilse, o zaman sistemin ayrıca formüllerle bulunabilen benzersiz bir çözümü vardır:

Örnek 1.5. Cramer yöntemini kullanarak denklem sistemini çözün

Sistemin ana belirleyicisini hesaplayalım:

D¹0'dan beri sistem, formüller (1.8) kullanılarak bulunabilen benzersiz bir çözüme sahiptir:

Böylece,

Matris Eylemleri

1. Bir matrisin bir sayı ile çarpımı. Bir matrisi bir sayı ile çarpma işlemi aşağıdaki gibi tanımlanır.

2. Bir matrisi bir sayı ile çarpmak için tüm elemanlarını bu sayı ile çarpmanız gerekir. yani

Örnek 1.6. .

Matris ekleme.

Bu işlem yalnızca aynı sıradaki matrisler için tanıtılır.

İki matris eklemek için, diğer matrisin karşılık gelen öğelerini bir matrisin öğelerine eklemek gerekir:

(1.10)
Matris toplama işlemi, çağrışım ve değişme özelliklerine sahiptir.

Örnek 1.7. .

Matris çarpımı.

Matris sütunlarının sayısı ise FAKAT matris satırlarının sayısıyla eşleşir İÇİNDE, daha sonra bu tür matrisler için çarpma işlemi tanıtılır:

Böylece matris çarpılırken FAKAT boyutlar m´ n matrise İÇİNDE boyutlar n´ k bir matris elde ederiz İTİBAREN boyutlar m´ k. Bu durumda matrisin elemanları İTİBAREN aşağıdaki formüllere göre hesaplanır:

Sorun 1.8. Mümkünse matrislerin çarpımını bulun AB Ve BA:

Çözüm. 1) Bir iş bulmak için AB, matris satırlarına ihtiyacınız var A matris sütunlarıyla çarp B:

2) sanat eseri BA mevcut değil, çünkü matrisin sütun sayısı B matris satırlarının sayısıyla eşleşmiyor A.

Ters matris. Lineer denklem sistemlerini matris yoluyla çözme

matris A- 1, kare matrisin tersi olarak adlandırılır FAKAT eşitlik geçerliyse:

nereden i matris ile aynı sıradaki kimlik matrisini belirtir FAKAT:

Bir kare matrisin tersi olması için determinantının sıfırdan farklı olması gerekli ve yeterlidir. Ters matris aşağıdaki formülle bulunur:

nerede bir ij- elemanlara cebirsel eklemeler aij matrisler FAKAT(matrisin satırlarına yapılan cebirsel eklemelerin FAKAT karşılık gelen sütunlar şeklinde ters matriste düzenlenir).

Örnek 1.9. Ters matrisi bulun A- 1'den matrise

Ters matrisi formül (1.13) ile buluyoruz, bu durum için n= 3 şuna benzer:

det bulalım A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Orijinal matrisin determinantı sıfırdan farklı olduğu için ters matris vardır.

1) Cebirsel eklemeleri bulun bir ij:

Ters matrisi bulma kolaylığı için, orijinal matrisin satırlarına cebirsel eklemeleri karşılık gelen sütunlara yerleştirdik.

Elde edilen cebirsel eklemelerden yeni bir matris oluşturuyoruz ve bunu determinant det'e bölüyoruz. A. Böylece ters matrisi elde ederiz:

Sıfır olmayan bir ana belirleyiciye sahip ikinci dereceden doğrusal denklem sistemleri, bir ters matris kullanılarak çözülebilir. Bunun için sistem (1.5) matris formunda yazılır:

Soldaki eşitliğin (1.14) her iki tarafını da ile çarpmak A- 1 , sistemin çözümünü alıyoruz:

Dolayısıyla kare bir sisteme çözüm bulmak için sistemin ana matrisinin ters matrisini bulup sağda serbest terimlerin sütun matrisi ile çarpmanız gerekir.

Sorun 1.10. Lineer denklem sistemini çözün

ters matris kullanarak.

Çözüm. Sistemi matris formunda yazıyoruz: ,

sistemin ana matrisi nerede, bilinmeyenler sütunu ve serbest üyelerin sütunudur. Sistemin ana belirleyicisi olduğu için, sistemin ana matrisi FAKAT ters matrisi var FAKAT-1 . Ters matrisi bulmak için FAKAT-1 , matrisin tüm elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını hesapla FAKAT:

Elde edilen sayılardan bir matris oluştururuz (ayrıca, matrisin satırlarına cebirsel eklemeler FAKAT uygun sütunlara yazın) ve onu determinant D'ye bölün. Böylece ters matrisi bulduk:

Sistemin çözümü formül (1.15) ile bulunur:

Böylece,

Lineer Denklem Sistemlerini Sıradan Jordan İstisnalarıyla Çözme

Rasgele (mutlaka kare olması gerekmeyen) bir lineer denklem sistemi verilsin:

Sisteme bir çözüm bulunması gerekiyor, yani. sistemin tüm eşitliklerini sağlayan böyle bir değişken kümesi (1.16). Genel durumda, sistem (1.16) sadece bir çözüme değil, aynı zamanda sonsuz sayıda çözüme sahip olabilir. Ayrıca hiç çözümü olmayabilir.

Bu tür problemleri çözerken, sıradan Ürdün eleme yöntemi olarak da adlandırılan okul kursundan bilinmeyenleri ortadan kaldırmanın iyi bilinen yöntemi kullanılır. Bu yöntemin özü, sistem denklemlerinden (1.16) birinde, değişkenlerden birinin diğer değişkenler cinsinden ifade edilmesinde yatmaktadır. Daha sonra bu değişken sistemin diğer denklemlerine ikame edilir. Sonuç, orijinal sistemden bir denklem ve bir daha az değişken içeren bir sistemdir. Değişkenin ifade edildiği denklem hatırlanır.

Bu işlem sistemde son bir denklem kalana kadar tekrarlanır. Bilinmeyenleri eleme sürecinde örneğin bazı denklemler gerçek özdeşliğe dönüşebilir. Bu tür denklemler, değişkenlerin herhangi bir değeri için geçerli oldukları ve bu nedenle sistemin çözümünü etkilemediği için sistemden çıkarılır. Bilinmeyenleri ortadan kaldırma sürecinde, en az bir denklem, değişkenlerin herhangi bir değeri için sağlanamayan bir eşitlik haline gelirse (örneğin, ), sistemin bir çözümü olmadığı sonucuna varırız.

Tutarsız denklemlerin çözümü sırasında ortaya çıkmadıysa, içinde kalan değişkenlerden biri son denklemden bulunur. Son denklemde yalnızca bir değişken kalırsa, sayı olarak ifade edilir. Son denklemde başka değişkenler kalırsa, bunlar parametre olarak kabul edilir ve bunlar aracılığıyla ifade edilen değişken bu parametrelerin bir fonksiyonu olacaktır. Daha sonra sözde "ters hareket" yapılır. Bulunan değişken, en son belleğe alınan denklemde değiştirilir ve ikinci değişken bulunur. Daha sonra, bulunan iki değişken, sondan bir önceki belleğe alınmış denklemde değiştirilir ve üçüncü değişken bulunur ve bu, ilk belleğe alınan denkleme kadar devam eder.

Sonuç olarak, sistemin çözümünü elde ederiz. Bu çözüm, bulunan değişkenler sayı ise tek çözüm olacaktır. İlk bulunan değişken ve ardından diğerleri parametrelere bağlıysa, sistem sonsuz sayıda çözüme sahip olacaktır (her parametre seti yeni bir çözüme karşılık gelir). Belirli bir parametre kümesine bağlı olarak sisteme çözüm bulmayı sağlayan formüllere sistemin genel çözümü denir.

Örnek 1.11.

x

Birinci denklemi ezberledikten ve ikinci ve üçüncü denklemlerde benzer terimleri getirdikten sonra sisteme ulaşıyoruz:

ifade etmek y ikinci denklemden ve ilk denklemde yerine:

İkinci denklemi hatırla ve ilkinden bulduğumuz z:

Ters hareketi yaparak, art arda buluyoruz y Ve z. Bunu yapmak için, önce bulduğumuz son ezberlenmiş denklemi yerine koyarız. y:

Sonra, bulduğumuz ilk ezberlenmiş denklemi yerine koyarız. x:

Sorun 1.12. Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak bir lineer denklem sistemi çözün:

Çözüm.İlk denklemdeki değişkeni ifade edelim x ve ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyun:

Bu sistemde birinci ve ikinci denklemler birbiriyle çelişir. Nitekim ifade y ilk denklemden ve ikinci denklemde yerine koyarak, 14 = 17 elde ederiz. Değişkenlerin herhangi bir değeri için bu eşitlik sağlanmaz x, y, Ve z. Sonuç olarak, sistem (1.17) tutarsızdır, yani, çözümü yok.

Okuyucular, orijinal sistemin (1.17) ana belirleyicisinin sıfıra eşit olduğunu bağımsız olarak doğrulamaya davet edilir.

(1.17) sisteminden sadece bir serbest terim ile ayrılan bir sistem düşünün.

Sorun 1.13. Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak bir lineer denklem sistemi çözün:

Çözüm. Daha önce olduğu gibi, ilk denklemdeki değişkeni ifade ediyoruz. x ve ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyun:

Birinci denklemi hatırlayın ve ikinci ve üçüncü denklemlerde benzer terimler verin. Sisteme geliyoruz:

ifade etmek y ilk denklemden ve ikinci denklemde yerine koyarak, sistemin çözümünü etkilemeyen 14 = 14 kimliğini alırız ve bu nedenle sistemden çıkarılabilir.

Son belleğe alınan eşitlikte, değişken z parametre olarak kabul edilecektir. İnanıyoruz . O zamanlar

Yerine geçmek y Ve z ilk ezberlenmiş eşitlik içine ve bulmak x:

Böylece, sistem (1.18) sonsuz bir çözüm kümesine sahiptir ve herhangi bir çözüm, parametrenin keyfi bir değeri seçilerek formüller (1.19) ile bulunabilir. T:

(1.19)
Böylece, örneğin sistemin çözümleri, aşağıdaki değişken kümeleridir (1; 2; 0), (2; 26; 14), vb. Formüller (1.19), sistemin (1.18) genel (herhangi bir) çözümünü ifade eder. ).

Orijinal sistemin (1.16) yeterince fazla sayıda denkleme ve bilinmeyene sahip olması durumunda, belirtilen sıradan Jordan eleme yöntemi hantal görünmektedir. Ancak öyle değil. Sistemin katsayılarını bir adımda yeniden hesaplamak için algoritmayı genel bir biçimde türetmek ve sorunun çözümünü özel Jordan tabloları biçiminde resmileştirmek yeterlidir.

Bir lineer formlar (denklemler) sistemi verilsin:

, (1.20)
nerede x j- bağımsız (istenen) değişkenler, aij- sabit katsayılar
(ben = 1, 2,…, m; J = 1, 2,…, n). Sistemin doğru parçaları ben (ben = 1, 2,…, m) hem değişkenler (bağımlı) hem de sabitler olabilir. Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak bu sisteme çözüm bulunması gerekmektedir.

Bundan böyle "sıradan Jordan istisnalarının bir adımı" olarak anılacak olan aşağıdaki işlemi ele alalım. İsteğe bağlı olarak ( r th) eşitlik, keyfi bir değişken ifade ediyoruz ( x s) ve diğer tüm eşitliklerde yerine koyun. Tabii ki, bu ancak mümkünse bir rs¹ 0. Katsayı bir rsçözümleyici (bazen yol gösterici veya ana) öğe olarak adlandırılır.

Aşağıdaki sistemi alacağız:

İtibaren s sistemin eşitliği (1.21), daha sonra değişkeni bulacağız x s(diğer değişkenler bulunduktan sonra). S inci satır hatırlanır ve daha sonra sistemden çıkarılır. Kalan sistem, orijinal sistemden bir denklem ve bir daha az bağımsız değişken içerecektir.

Ortaya çıkan sistemin (1.21) katsayılarını orijinal sistemin (1.20) katsayıları cinsinden hesaplayalım. İle başlayalım r değişkeni ifade ettikten sonra denklem x s değişkenlerin geri kalanı aracılığıyla şöyle görünecektir:

Böylece yeni katsayılar r denklem aşağıdaki formüllerle hesaplanır:

(1.23)
Şimdi yeni katsayıları hesaplayalım b ij(i¹ r) keyfi denklem. Bunu yapmak için, (1.22)'de ifade edilen değişkeni yerine koyarız. x s içinde i sistemin denklemi (1.20):

Benzer terimleri getirdikten sonra şunu elde ederiz:

(1.24)
Eşitlikten (1.24), sistemin (1.21) kalan katsayılarının hesaplandığı formüller elde ederiz (bunun dışında: r denklem):

(1.25)
Sıradan Ürdün elemeleri yöntemiyle doğrusal denklem sistemlerinin dönüşümü tablolar (matrisler) şeklinde sunulur. Bu tablolara "Ürdün tabloları" denir.

Bu nedenle, problem (1.20) aşağıdaki Jordan tablosuyla ilişkilendirilir:

Tablo 1.1

Jordan tablosu 1.1, sistemin sağ kısımlarının (1.20) yazıldığı sol baş sütunu ve bağımsız değişkenlerin yazıldığı üst baş satırını içermektedir.

Tablonun geri kalan elemanları sistemin (1.20) katsayılarının ana matrisini oluşturur. matrisi çarparsak FAKATüst başlık satırının elemanlarından oluşan matrise, sonra sol başlık sütununun elemanlarından oluşan matrisi elde ederiz. Yani, özünde, Ürdün tablosu, bir doğrusal denklem sistemi yazmanın bir matris biçimidir: . Bu durumda, aşağıdaki Jordan tablosu sistem (1.21)'e karşılık gelir:

Tablo 1.2

izin verilen öğe bir rs kalın harflerle vurgulayacağız. Jordan istisnalarının bir adımını uygulamak için çözümleme öğesinin sıfırdan farklı olması gerektiğini hatırlayın. İzin verilen bir öğe içeren bir tablo satırına izin verilen bir satır denir. Etkinleştirme öğesini içeren sütun, etkinleştirme sütunu olarak adlandırılır. Belirli bir tablodan sonraki tabloya geçerken bir değişken ( x s) tablonun üst başlık satırından sol başlık sütununa ve bunun tersine sistemin ücretsiz üyelerinden birine taşınır ( y r) tablonun sol başlık sütunundan üst başlık satırına taşınır.

Formül (1.23) ve (1.25)'ten sonra Ürdün tablosundan (1.1) tabloya (1.2) geçerken katsayıları yeniden hesaplama algoritmasını açıklayalım.

1. Etkinleştirme elemanı, ters sayı ile değiştirilir:

2. İzin verilen çizginin kalan öğeleri, izin verilen öğeye bölünür ve işareti tersine çevirir:

3. Etkinleştirme sütununun kalan öğeleri, etkinleştirme öğelerine bölünür:

4. Çözümleme satırında ve çözümleme sütununda yer almayan öğeler, aşağıdaki formüllere göre yeniden hesaplanır:

Kesri oluşturan öğelerin kesişme noktasında olduğunu fark ederseniz, son formülü hatırlamanız kolaydır. i-Oh ve r-inci satırlar ve J inci ve s-th sütunları (satırı çözümleme, sütunu çözümleme ve yeniden hesaplanacak öğenin bulunduğu kesişimdeki satır ve sütun). Daha doğrusu, formülü ezberlerken aşağıdaki diyagramı kullanabilirsiniz: