Ekonomik sistemleri modellemek için olasılıksal-istatistiksel yöntemler

Tanıtım

Kural olarak, gözlemlenen bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirleme görevi (yapısal-parametrik tanımlama), genellikle, deneysel gözlemlerin sonuçlarıyla en iyi eşleşen olasılık dağılım yasasının böyle bir parametrik modelini seçme sorunu olarak anlaşılır. Ölçü aletlerinin rastgele hataları genellikle normal yasaya tabi değildir, daha doğrusu normal yasa modeli tarafından çok sık iyi tanımlanmazlar. Ölçüm cihazları ve sistemleri, farklı fiziksel prensiplere, farklı ölçüm yöntemlerine ve ölçüm sinyallerinin farklı dönüşümlerine dayanmaktadır. Nicelik olarak ölçüm hataları, sürekli veya epizodik olarak hareket eden rastgele ve rastgele olmayan birçok faktörün etkisinin sonucudur. Bu nedenle, yalnızca belirli ön koşullar (teorik ve teknik) karşılandığında, ölçüm hatalarının normal yasa modeli tarafından yeterince iyi tanımlandığı açıktır.

Genel olarak, belirli bir ölçüm sisteminin hatalarını tanımlayan gerçek dağıtım yasasının (eğer varsa, elbette), tüm tanımlama girişimlerimize rağmen bilinmediği (kaldığı) anlaşılmalıdır. Ölçüm verilerine ve teorik düşüncelere dayanarak, yalnızca bir anlamda bu gerçek yasaya en iyi şekilde yaklaşan olasılıksal bir model seçebiliriz. Oluşturulan model yeterliyse, yani uygulanan kriterler reddedilmesine gerekçe göstermiyorsa, o zaman bu model temelinde, ilgilenilen ölçüm cihazı hatasının rastgele bileşeninin tüm olasılık özelliklerini hesaplamak mümkündür. bize göre, yalnızca ölçüm hatasının hariç tutulmayan sistematik (gözlemlenmeyen veya kayıt edilmeyen) bileşeni nedeniyle gerçek değerlerden farklı olacaktır. Küçüklüğü, ölçümlerin doğruluğunu karakterize eder. Gözlenen rasgele değişkenleri tanımlamak için kullanılabilecek olası olasılık dağılımı yasaları sınırlı değildir. Gözlenen miktarın gerçek dağılım yasasını bulma hedefi olarak tanımlama görevini belirlemenin bir anlamı yoktur. Sadece belirli bir setten en iyi modeli seçme problemini çözebiliriz. Örneğin, bu parametrik yasalar kümesinden ve uygulamalarda kullanılan ve literatürde yer alan referanslara sahip dağıtım setleri.

Dağıtım yasasının yapısal-parametrik tanımlanmasına klasik yaklaşım. Klasik yaklaşım altında, tamamen matematiksel istatistik aygıtına dayanan dağıtım yasasını seçme algoritmasını kastediyoruz.

1. Rastgele olaylar, miktarlar ve fonksiyonlar hakkında temel kavramlar

Pek çok deney için olayların olasılıklarının hesaplanmasında hiçbir fark olmadığını, bu deneylerdeki temel sonuçların çok farklı olduğunu zaten gördük. Ancak bizi ilgilendiren şey, temel sonuçlar uzayının yapısı değil, kesinlikle olayların olasılıklarıdır. Bu nedenle, örneğin, tüm bu "benzer" deneylerde en farklı temel sonuçlar yerine sayıları kullanmanın zamanı geldi. Başka bir deyişle, her temel sonuca bir gerçek sayı atanmalı ve yalnızca sayılarla çalışmalıdır.

Olasılık uzayı verilsin.

Tanım 26.İşlev isminde rastgele değişken, eğer herhangi bir Borel seti için bir demet bir olaydır, yani ait - cebir .

Bir demet , bu temel sonuçlardan oluşan , hangisi için ait , kümesinin tam ters görüntüsü olarak adlandırılır.

Açıklama 9 . Genel olarak, işleve izin verin birçok yerden çalışır çokluğun içine , ve verilir -cebirler ve alt kümeler ve sırasıyla. İşlev isminde ölçülebilir, eğer herhangi bir set için onun tam prototipi aittir.

10. Konuyla ilgili soyutlamalarla uğraşmak istemeyen okuyucu - Olayların cebirleri ve ölçülebilirliği, herhangi bir temel sonuç kümesinin bir olay olduğunu güvenle varsayabilir ve bu nedenle, rastgele bir değişken keyfiişlevinden içinde . Bu, uygulamada sorun yaratmaz, bu nedenle bu paragrafta daha fazla her şeyi atlayabilirsiniz.

Şimdi, meraklı okuyuculardan kurtulduktan sonra, rastgele bir değişkenin neden ölçülebilirliğe ihtiyacı olduğunu anlamaya çalışalım.

Rastgele bir değişken verilirse , formun olasılıklarını hesaplamamız gerekebilir , , , (ve genel olarak, çizgideki Borel kümelerine düşme olasılıkları). Bu, ancak olasılık işareti altındaki kümeler olaysa mümkündür, çünkü olasılıksadece üzerinde tanımlanmış bir fonksiyon var -olayların cebiri. Ölçülebilirlik gereksinimi, herhangi bir Borel kümesi için olasılık belirlenir.

Tanım 26'da başka bir şey talep edilebilir. Örneğin, bir etkinliğin herhangi bir aralıkta hit olması için: , veya herhangi bir yarım aralıkta: .

Örneğin, 26 ve 27 tanımlarının eşdeğer olduğunu doğrulayalım:

Tanım 27. İşlev herhangi bir gerçek için rastgele değişken olarak adlandırılır bir demet -cebire ait .

Kanıt tanımların denkliği 26, 27.

Eğer bir - Tanım 26 anlamında bir rastgele değişken, o zaman herhangi bir aralıktan beri Tanım 27 anlamında bir rastgele değişken olacaktır. bir Borel kümesidir.

Bunun tersinin de doğru olduğunu ispatlayalım. Herhangi bir aralık için izin ver tamamlamak . Aynı şeyin herhangi bir Borel kümesi için de geçerli olduğunu kanıtlamalıyız.

bolca toplayın ön görüntüleri olay olan gerçek çizginin tüm alt kümeleri. Bir demet zaten tüm aralıkları içeriyor . Şimdi kümenin olduğunu gösterelim. bir -cebir. A-manastırı, eğer ve sadece küme aittir.

1. emin olalım . Ancak ve dolayısıyla .

2. emin olalım herkes için . İzin vermek . Sonra , gibi - -cebir.

3. emin olalım herhangi . İzin vermek hepsi için . Ancak - -cebir, yani

bunu kanıtladık - -cebir ve satırındaki tüm aralıkları içerir. Ancak - en küçüğü -doğrudaki tüm aralıkları içeren cebirler. Buradan, içerir: .

Ölçülebilir ve ölçülemeyen fonksiyonlara örnekler verelim.

Örnek 25. Küpü atıyoruz. İzin vermek , ve iki işlev içinde şöyle ayarlayın: , . Henüz ayarlanmadı -cebir , ölçülebilirlikten söz edilemez. Bazılarına göre ölçülebilir bir fonksiyon -cebirler , bir başkası için aynı olmayabilir .

Eğer bir tüm alt kümelerin bir kümesi var , o zamanlar ve herhangi bir temel sonuç kümesi ait olduğu için rastgele değişkenlerdir. , dahil olmak üzere veya . Rastgele değişkenlerin değerleri arasında bir yazışma yazabilirsiniz ve ve bu değerleri formda alma olasılıkları "olasılık dağılım tabloları"veya kısaca "dağıtım tabloları":

Burada .

2. İzin ver - olayların cebiri dört setten oluşur:

onlar. bir olay, belirli ve imkansız olaylar dışında, çift veya tek sayıda puan kaybıdır. Emin olalım ki, böylesine görece yoksul bir -cebir ne de ölçülemedikleri için rastgele değişkenler değildir. alalım, diyelim . bunu görüyoruz ve

2. Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Beklenen değer.pi olasılıkları ile sonlu sayıda xi değeri alan ayrık bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisi, toplamıdır:

(6a)

Sürekli bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisi, x değerlerinin çarpımının ve olasılık dağılım yoğunluğunun f(x) integralidir:

(6b)

Uygun olmayan integralin (6b) mutlak yakınsak olduğu varsayılır (aksi takdirde, beklenen M(X) değerinin olmadığı söylenir). Matematiksel beklenti, X rastgele değişkeninin ortalama değerini karakterize eder. Boyutu, rastgele değişkenin boyutuyla çakışır. Matematiksel beklentinin özellikleri:

Dağılım.Bir rastgele değişken X'in varyansı şu sayıdır:

Dağılım, rastgele bir değişken X'in değerlerinin, ortalama değerine M (X) göre dağılımının bir özelliğidir. Varyansın boyutu, rastgele değişkenin karesinin boyutuna eşittir. Kesikli bir rastgele değişken için varyans (8) ve matematiksel beklenti (5) ve sürekli bir rastgele değişken için (6) matematiksel beklentiye dayalı olarak, varyans için benzer ifadeler elde ederiz:

Burada m = M(X).

Dağılım özellikleri:

(10)

Standart sapma:

(11)

Standart sapmanın boyutu rastgele bir değişkenin boyutuyla aynı olduğundan, dağılım ölçüsü olarak kullanılan varyanstan daha sık görülür.

dağıtım anları.Matematiksel beklenti ve varyans kavramları, rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri - dağılım anları için daha genel bir kavramın özel durumlarıdır. Bir rastgele değişkenin dağılım momentleri, bir rastgele değişkenin bazı basit fonksiyonlarının matematiksel beklentileri olarak sunulur. Böylece, x0 noktasına göre k dereceli moment, M (X - x0) k matematiksel beklentisidir. x = 0 orijine göre momentlere başlangıç ​​momentleri denir ve şu şekilde gösterilir:

(12)

Birinci derecenin ilk anı, dikkate alınan rastgele değişkenin dağıtım merkezidir:

(13)

Dağıtım merkezi x = m ile ilgili momentlere merkezi momentler denir ve şu şekilde gösterilir:

(14)

(7)'den birinci mertebenin merkezi momentinin her zaman sıfıra eşit olduğu sonucu çıkar:

(15)

Merkezi momentler, rastgele değişkenin değerlerinin kökenine bağlı değildir, çünkü sabit bir C değerinde bir kayma ile, dağıtım merkezi aynı C değeri ile kaydırılır ve merkezden sapma yapar değişmez:

X - m \u003d (X - C) - (m - C).

Artık varyansın ikinci dereceden bir merkezi an olduğu açıktır:

(16)

Asimetri.Üçüncü mertebenin merkezi momenti:

(17)

dağılımın çarpıklığını tahmin etmeye yarar. Eğer dağılım x = m noktasına göre simetrik ise, o zaman üçüncü mertebenin merkezi momenti sıfıra eşit olacaktır (tek mertebelerin tüm merkezi momentlerinin yanı sıra). Bu nedenle, üçüncü mertebenin merkezi momenti sıfırdan farklıysa, dağılım simetrik olamaz. Asimetri miktarı, boyutsuz bir asimetri katsayısı kullanılarak tahmin edilir:

(18)

Asimetri katsayısının (18) işareti, sağ veya sol taraflı asimetriyi gösterir (Şekil 2).

Pirinç. 1. Dağılım çarpıklığı türleri

AŞIRI.Dördüncü mertebenin merkezi momenti:

(19)

normal dağılım eğrisine göre dağılımın merkezine yakın dağılım eğrisinin diklik (sivrilik) derecesini belirleyen basıklık denilen şeyi tahmin etmeye hizmet eder. Normal dağılım için , sonra basıklık olarak aşağıdaki değer alınır:

(20)

Şek. 3, farklı basıklık değerlerine sahip dağılım eğrilerinin örneklerini gösterir. Normal dağılım için, E = 0. Normalden daha tepeli olan eğriler pozitif basıklığa, daha düz olanlar ise negatif basıklığa sahiptir.

Pirinç. 2. Farklı derecelerde diklik (basıklık) ile dağılım eğrileri

Matematiksel istatistiklerin mühendislik uygulamalarında yüksek dereceli momentler genellikle kullanılmaz.

Modakesikli rastgele değişken en olası değeridir. Sürekli bir rastgele değişkenin modu, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değeridir (Şekil 2). Dağılım eğrisinin bir maksimumu varsa, dağılım tek modlu olarak adlandırılır. Dağılım eğrisinin birden fazla maksimumu varsa, dağılım polimodal olarak adlandırılır. Bazen eğrileri maksimum değil, minimum olan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara antimodal denir. Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel bir durumda, bir mod için, yani. bir mod, simetrik bir dağılıma sahip olmak ve matematiksel bir beklenti olması koşuluyla ikincisi, dağılımın modu ve simetri merkezi ile çakışmaktadır.

Medyanrasgele değişken X, eşitliğin gerçekleştiği Me değeridir: onlar. X rastgele değişkeninin Me'den küçük veya büyük olması eşit derecede olasıdır. Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisi altındaki alanın ikiye ayrıldığı noktanın apsisidir. Simetrik bir mod dağılımı durumunda, medyan, mod ve ortalama aynıdır.

. Rastgele değişkenlerin dağılım yasalarının istatistiksel değerlendirmesi

Genel popülasyon, incelenecek tüm nesnelerin toplamı veya aynı koşullar altında bir nesne üzerinde yapılan tüm gözlemlerin olası sonuçlarıdır.

örnekleme seti veya bir örnek, genel popülasyondan rastgele seçilen bir nesne kümesi veya bir nesnenin gözlem sonuçlarıdır.

Örnek boyutörnekteki nesnelerin veya gözlemlerin sayısıdır.

Numunenin spesifik değerlerine X rastgele değişkeninin gözlenen değerleri denir. Gözlenen değerler protokole kaydedilir. Protokol bir tablodur. Derlenen protokol, alınan materyalin işlenmesini kaydetmenin birincil biçimidir. Güvenilir, güvenilir sonuçlar elde etmek için numune, hacim açısından yeterince temsil edici olmalıdır. Büyük bir örnek, sırasız bir sayı kümesidir. Çalışma için numune görsel olarak sıralı bir forma getirilir. Bunu yapmak için protokol, rastgele bir değişkenin en büyük ve en küçük değerlerini bulur. Artan düzende sıralanan örnek Tablo 1'de gösterilmektedir.

Tablo 1. Protokol

8,66-5,49-4,11-3,48-2,9-2,32-1,82-1,09-0,440,64-8,31-4,71-3,92-3,41-2,85-2,31-1,82-1,01-0,430,71-8,23-4,68-3,85-3,33-2,83-2,29-1,8-0,99-0,430,73-7,67-4,6-3,85-3,25-2,77-2,27-1,77-0,95-0,310,99-6,64-4,43-3,81-3,08-2,72-2,25-1,73-0,89-0,31,03-6,6-4,38-3,8-3,07-2,67-2,19-1,38-0,70,041,05-6,22-4,38-3,77-3,01-2,6-2,15-1,32-0,560,081,13-5,87-4,25-3,73-3,01-2,49-2,09-1,3-0,510,151,76-5,74-4,18-3,59-2,99-2,37-2,01-1,28-0,490,262,95-5,68-4,14-3,49-2,98-2,33-1,91-1,24-0,480,534,42

örnekleme aralığıX rastgele değişkeninin en büyük ve en küçük değeri arasındaki farktır:

Numunenin aralığı k aralığa - basamaklara bölünmüştür. Basamak sayısı örneklem büyüklüğüne bağlı olarak 8 ile 25 arasında belirlenir, bu derste k = 10 alacağız.

O zaman aralığın uzunluğu şuna eşit olacaktır:

Protokolde, her aralığa düşen gözlemlenen değerlerin sayısını sayarız, bunları m1, m2, ..., m10 olarak belirtiriz. .

hadi mi arayalım isabet sıklığıi aralığında rastgele değişken. Bir rasgele değişkenin gözlenen herhangi bir değeri aralığın sonuyla çakışıyorsa, rasgele değişkenin bu değeri, anlaşmaya göre, aralıklardan birine atanır.

Frekansları belirledikten sonra mi, tanımlarız. frekanslarrastgele değişken, yani mi frekanslarının toplam gözlenen değer sayısına oranını buluyoruz n.

Frekans, tamlık koşulu -

Her aralığın ortasını bulun: .

2 tablo yapalım

Aralık sınırları değerleri tablosu ve karşılık gelen frekanslar , burada i = 1, 2, 3, …, k, istatistiksel seri olarak adlandırılır. İstatistiksel bir serinin grafik temsiline histogram denir. Aşağıdaki gibi inşa edilmiştir: aralıklar apsis boyunca çizilir ve her bir aralıkta, temelde olduğu gibi, alanı karşılık gelen frekansa eşit olan bir dikdörtgen oluşturulur.

, - dikdörtgenin yüksekliği, .

Tablo 2

Aralık sayısıAralığın sol sınırıAralığın sağ sınırıIntervalAralığın ortasıAralık frekansıAralık frekansıDikdörtgen yüksekliği .030.02293-6.044-4.736(-6.044; -4.736)-5.3940.040.03064-4.736-3.428(-4.736; -3.428)-4.082200.20.15295-3.428 -2.12(- 3.428; -2.12)-2.774260.260.19886-2.12-0.812(-2.12; -0.812)-1.466180.180.13767-0.8120.496(-0.812; 0.496) -0.158140.140.107080.4961.804(0.496; 1.804)1.1590 .090.068891.8043.112(1.804; 3.112)2.45810.010.0076103.1124.42(3.112; 4.42 )3.76610.010.0076Toplam1001

Figür 3

İstatistiksel dağılım işlevi, belirli bir X değerini aşmayan rastgele bir değişkenin frekansıdır:

Kesikli bir rasgele değişken X için, istatistiksel dağılım işlevi şu formülle bulunur:

İstatistiksel dağılım fonksiyonunu genişletilmiş biçimde yazıyoruz:

nerede i aralığının ortasıdır ve karşılık gelen frekanslardır, burada i=1, 2,…, k.

İstatistiksel dağılım fonksiyonunun grafiği, kırılma noktaları aralıkların orta noktaları olan ve son sıçramalar karşılık gelen frekanslara eşit olan kademeli bir çizgidir.

Figür 3

İstatistiksel bir serinin sayısal özelliklerinin hesaplanması

İstatistiksel matematiksel beklenti,

istatistiksel varyans,

İstatistiksel standart sapma.

istatistiksel beklentiveya istatistiksel ortarastgele değişken X'in gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması olarak adlandırılır.

istatistiksel dağılımaritmetik ortalama değer olarak adlandırılır veya

Büyük bir örneklem büyüklüğü ile formüllerle hesaplamalar ve hantal hesaplamalara yol açar. Hesapları basitleştirmek için sınırları olan istatistiksel bir seri kullanılır ve frekanslar , burada i = 1, 2, 3, …, k, aralıkların orta noktalarını bulun ve ardından seçimin tüm öğeleri , hangi aralığa düştü , tek bir değerle değiştirilir , o zaman böyle değerler olacak her aralıkta.

nerede - karşılık gelen aralığın ortalama değeri ;- aralık frekansı

Tablo 4. Sayısal özellikler

Frekans PiXiPi(Xi-m)^2(Xi-m)^2*Pi1-8.0060.04-0.320231.486911.25952-6.6980.03-0.200918.518560.55563-5.390.04 -0.21568.971940.35894-4.0820.20-0.81642.847050.56945 -2.7740.26-0.72120.143880.03746-1.4660.18-0.26390.862450.15527 İstatistiksel ortalama -2.3947 İstatistiksel varyans 5.3822İstatistiksel standart sapma2.3200

Rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin gruplama merkezinin konumunu belirler.

, rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin dağılımını karakterize eder

Herhangi bir istatistiksel dağılımda, kaçınılmaz olarak rastgelelik unsurları vardır. Bununla birlikte, çok sayıda gözlemle, bu kazalar yumuşatılır ve rastgele fenomenler, onun doğasında bulunan bir düzenliliği ortaya çıkarır.

İstatistiksel malzeme işlenirken, belirli bir istatistiksel seri için teorik bir eğrinin nasıl seçileceğine karar verilmelidir. Bu teorik dağılım eğrisi, istatistiksel dağılımın temel özelliklerini ifade etmelidir - bu görev, istatistiksel serileri düzleştirme veya düzleştirme görevi olarak adlandırılır.

Bazen bir rasgele değişken X'in dağılımının genel biçimi, bu rasgele değişkenin doğasından kaynaklanır.

Rastgele değişken X, cihazın bazı fiziksel miktarlarını ölçmenin sonucu olsun.

X \u003d fiziksel bir miktarın tam değeri + alet hatası.

Ölçüm sırasında cihazın rastgele hatası toplam niteliktedir ve normal yasaya göre dağıtılır. Bu nedenle, X rastgele değişkeni aynı dağılıma sahiptir, yani. olasılık yoğunluğu ile normal dağılım:

Neresi , , .

Seçenekler ve teorik dağılımın sayısal özellikleri, istatistiksel dağılımın karşılık gelen sayısal özelliklerine eşit olacak şekilde belirlenir. Normal bir dağılım altında, olduğu varsayılır ,,, o zaman normal dağılım işlevi şu şekli alacaktır:

Tablo 5. Tesviye eğrisi

Aralık sayısıAralık orta Xi tablo işlevi normal eğri 1-8.0060-2.41870.02140.00922-6.6980-1.85490.07140.03083-5.3900-1.29110.17340.07474-4.0820-0.72730.30620.13205- 2.7740-0.16350.39360.1697M-2.394700.39890.17206-1.46600.40030.36820.1080.9877-0.15701.120 .05802.4 09170.04480.0193103.76602.65550.01170.0051

Noktalardan teorik bir normal eğri oluşturuyoruz istatistik serisinin histogramı ile aynı grafikte (Hata! Referans kaynağı bulunamadı).

Şekil 6

İstatistiksel dağılım işlevini düzleştirme

İstatistiksel dağılım işlevi normal yasanın dağıtım işleviyle hizalayın:

nerede ,,Laplace fonksiyonudur.

Tablo 7 Dağıtım işlevi

Aralık sayısıAralık orta Xi Laplace işlevi dağıtım işlevi 1-8.0060-2.4187-0.49220.00782-6.6980-1.8549-0.46820.03183-5.3900-1.2911-0.40170.09834-4.0820-0, 7273-0.26650.23355-2.7740-0.1635-0.06490.4351m-2.3947000.50006-1.46600. 40030.15550.65557-0.15800.96410.3250.832581.15001, 52790,43670,936792,45802,09170,48180,9818103,76602,65550,49600,9960

İstatistiksel dağılım fonksiyonunun bir grafiği ile birlikte noktalara göre teorik dağılım fonksiyonunun bir grafiğini oluşturuyoruz.

Şekil 6

Rastgele bir X değişkeni matematiksel beklenti ile çalışılsın ve dağılım , her iki parametre de bilinmiyor.

х1, х2, х3, …, хn, X rastgele değişkeninin n bağımsız gözlemi sonucunda elde edilen bir örnek olsun. х1, х2, х3, …, хn değerlerinin rastgele doğasını vurgulamak için onları yeniden yazıyoruz şeklinde:

Х1, Х2, Х3, …, Хn, burada Хi, i-inci deneydeki rastgele değişken Х'nin değeridir.

Bu deneysel verilere dayanarak, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını tahmin etmek gerekir. Bu tür tahminlere nokta tahminleri denir ve m ve D tahmini olarak istatistiksel beklentiyi alabiliriz. ve istatistiksel varyans, burada

Deneyden önce, X1, X2, X3, ..., Xn örneği, matematiksel bir beklentiye ve varyansa sahip, yani olasılık dağılımının X rastgele değişkeninin kendisiyle aynı olduğu anlamına gelen bağımsız rastgele değişkenler kümesidir.

Burada i = 1, 2, 3, …, n.

Buna dayanarak, rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını buluruz. (matematiksel beklenti özelliklerini kullanarak).

Böylece, istatistiksel ortalamanın matematiksel beklentisi ölçülen değerin matematiksel beklentisinin m tam değerine ve istatistiksel ortalamanın varyansına eşittir Bireysel ölçüm sonuçlarının dağılımından n kat daha küçüktür.

de

Bu, büyük bir numune boyutu N ile istatistiksel ortalamanın neredeyse rastgele olmayan bir değerdir, rastgele değişken m'nin tam değerinden yalnızca biraz sapar. Bu yasaya Chebyshev'in büyük sayılar yasası denir.

Matematiksel beklenti ve varyansın bilinmeyen değerlerinin nokta tahminleri, statik verilerin işlenmesinin ilk aşamasında büyük önem taşır. Dezavantajları ise tahmin edilen parametreyi hangi doğrulukta verdiklerinin bilinmemesidir.

Verilen örnek için X1, X2, X3, …, Xn kesin istatistiksel tahminler ve , o zaman rasgele değişken X'in sayısal özellikleri yaklaşık olarak şuna eşit olacaktır: . Küçük boyutlu bir örnek için, akış tahmini konusu önemlidir, çünkü m ile arasında , D ve sapmalar yeterince büyük değil. Ayrıca, pratik problemleri çözerken, sadece m ve D'nin yaklaşık değerlerini bulmak değil, aynı zamanda doğruluk ve güvenilirliklerini de değerlendirmek gerekir. İzin vermek , yani m için bir nokta tahminidir. bariz ki m'yi ne kadar doğru belirlerse, farkın modülü o kadar küçük olur . İzin vermek , nerede ?>0, o zaman daha az ?, daha doğru m tahminidir. Böylece, ?>0 parametre tahmininin doğruluğunu karakterize eder. Bununla birlikte, istatistiksel yöntemler, m'nin gerçek değerinin tahmininin tatmin edici olduğunu kategorik olarak belirtmemize izin vermez. , sadece olasılık hakkında konuşabiliriz ?, bu eşitsizliğin tatmin edildiği:

Böylece, ?- Bu güven seviyesiveya tahminin güvenilirliği, anlam ? çözülecek probleme bağlı olarak önceden seçilir. Güvenilirlik ? 0.9'u seçmek gelenekseldir; 0.95; 0.99; 0.999. Böyle bir olasılığa sahip olaylar pratik olarak kesindir. Belirli bir güven düzeyi için ?>0 sayısını bulabilirsiniz. itibaren .

Sonra aralığı alırız , hangi olasılık ile kapsar ? beklentinin gerçek değeri m, bu aralığın uzunluğu 2 ?. Bu aralığa denir güven aralığı. Ve bilinmeyen parametre m'yi tahmin etmenin bu yolu - Aralık.

Bir örnek Х1, Х2, Х3, …, Хn verilsin ve bu örnek , ,.

Güven aralığını bulmak gerekir matematiksel beklenti için m güven olasılığı ile ?. Değer matematiksel beklentisi olan rastgele bir değişkendir, .

rastgele değer toplam bir yapıya sahiptir, büyük bir örneklem büyüklüğü ile normale yakın bir yasaya göre dağıtılır. O zaman aralığa düşen rastgele bir değişkenin olasılığı şuna eşit olacaktır:

Neresi

Neresi Laplace fonksiyonudur.

Formül (3) ve Laplace fonksiyonunun tablolarından sayıyı buluyoruz. ?>0 ve kesin değer için güven aralığını yazın güvenilir rasgele değişken X ?.

Bu ders çalışmasında, değer ? yer değiştirmek , ve ardından formül (3) şu şekli alacaktır:

Güven aralığını bulalım , matematiksel beklentiyi içerir. saat ? = 0.99, n = 100, ,.

Bulduğumuz Laplace tablolarına göre:

Buradan? = 0,5986.

Matematiksel beklentinin tam değerinin %99 olasılıkla bulunduğu güven aralığı.

Çözüm

rastgele dağılım ekonomik

Kural olarak, metrologların sahip olduğu sınırlı örnek boyutlarıyla yapısal-parametrik tanımlama problemlerini çözmek, sorunu daha da kötüleştirir. Bu durumda, istatistiksel analiz yöntemlerinin uygulanmasının doğruluğu daha da önemlidir. en iyi istatistiksel özelliklere ve en yüksek güce sahip kriterlere sahip tahminlerin kullanılması.

Tanımlama problemlerini çözerken klasik yaklaşıma güvenmek tercih edilir. Tanımlarken, kanun karışımları şeklindeki modeller de dahil olmak üzere daha geniş bir dağıtım kanunları setinin dikkate alınması tavsiye edilir. Bu durumda, herhangi bir ampirik dağılım için, her zaman yeterli, istatistiksel olarak önemli ölçüde daha doğrulanmış bir matematiksel model oluşturabiliriz.

Modern istatistiksel yöntemler de dahil olmak üzere her türlü kayıtlı gözlem (ölçüm) için dağıtım yasalarının yapısal ve parametrik tanımlama sorunlarına çözümler sağlayan yazılım sistemlerinin kullanımına ve geliştirilmesine odaklanılmalıdır. analitik analiz, araştırmalarda bilgisayar modelleme yöntemlerinin geniş ama doğru kullanımına odaklanır. Pek çok deney için olayların olasılıklarının hesaplanmasında hiçbir fark olmadığını, bu deneylerdeki temel sonuçların çok farklı olduğunu zaten gördük. Ancak bizi ilgilendiren şey, temel sonuçlar uzayının yapısı değil, kesinlikle olayların olasılıklarıdır. Bu nedenle, örneğin, tüm bu "benzer" deneylerde en farklı temel sonuçlar yerine sayıları kullanmanın zamanı geldi. Başka bir deyişle, her temel sonuca bir gerçek sayı atanmalı ve yalnızca sayılarla çalışmalıdır.

Bilimsel bilişte, farklı biliş aşamalarında ve düzeylerinde kullanılan çeşitli yöntemlerin karmaşık, dinamik, ayrılmaz, bağımlı bir sistemi vardır. Bu nedenle, bilimsel araştırma sürecinde, hem ampirik hem de teorik düzeyde çeşitli genel bilimsel yöntemler ve biliş araçları kullanılmaktadır. Buna karşılık, daha önce belirtildiği gibi, genel bilimsel yöntemler, ampirik, genel mantıksal ve teorik yöntemler sistemini ve gerçekliğin bilgisini içerir.

1. Bilimsel araştırmanın genel mantıksal yöntemleri

Genel mantıksal yöntemler, bazıları deneysel düzeyde de uygulanabilse de, öncelikle bilimsel araştırmanın teorik düzeyinde kullanılır. Bu yöntemler nelerdir ve özü nedir?

Bilimsel araştırmalarda yaygın olarak kullanılan bunlardan biri, analiz metodu (Yunancadan. analiz - ayrıştırma, parçalama) - yapısını, bireysel özelliklerini, özelliklerini, iç bağlantılarını, ilişkilerini incelemek için incelenen nesnenin zihinsel bir bölümü olan bir bilimsel bilgi yöntemi.

Analiz, araştırmacının, incelenen olgunun özüne, onu oluşturan unsurlara ayırarak nüfuz etmesine ve ana, esas olanı belirlemesine olanak tanır. Mantıksal bir işlem olarak analiz, herhangi bir bilimsel araştırmanın ayrılmaz bir parçasıdır ve genellikle araştırmacının incelenen nesnenin bölünmemiş bir tanımından yapısını, bileşimini, özelliklerini ve ilişkilerini ortaya çıkarmaya geçtiğinde ilk aşamasını oluşturur. Analiz duyusal biliş düzeyinde zaten mevcuttur, duyum ve algı sürecine dahil edilmiştir. Teorik bilgi düzeyinde, en yüksek analiz biçimi çalışmaya başlar - iş sürecinde nesnelerin maddi ve pratik bölünmesi becerileri ile birlikte ortaya çıkan zihinsel veya soyut-mantıksal analiz. Yavaş yavaş insan, zihinsel analizde maddi-pratik analizi öngörme yeteneğinde ustalaştı.

Gerekli bir biliş yöntemi olan analizin, bilimsel araştırma sürecinin anlarından sadece biri olduğu vurgulanmalıdır. Bir nesnenin özünü, yalnızca onu oluşturan öğelere bölerek bilmek olanaksızdır. Örneğin, Hegel'e göre bir kimyager, imbiğine bir et parçası koyar, onu çeşitli işlemlere tabi tutar ve ardından şunu beyan eder: Etin oksijen, karbon, hidrojen vb. daha uzun etin özü.

Her bilgi alanında, nesnenin kendi bölünme sınırı vardır ve bunun ötesinde, özelliklerin ve kalıpların farklı doğasına geçeriz. Detaylar analizle incelendiğinde, bilginin bir sonraki aşaması başlar - sentez.

sentez (Yunanca sentezinden - bağlantı, kombinasyon, kompozisyon), incelenen nesnenin kurucu parçalarının, unsurlarının, özelliklerinin, ilişkilerinin zihinsel bir bağlantısı olan, analiz sonucunda parçalanan ve çalışmanın bir sonucu olan bilimsel bir bilgi yöntemidir. bir bütün olarak bu nesnenin

Sentez, parçaların, bütünün unsurlarının keyfi, eklektik bir bileşimi değil, özün çıkarılmasıyla diyalektik bir bütündür. Sentezin sonucu, özellikleri yalnızca bu bileşenlerin dış bağlantısı değil, aynı zamanda iç bağlantı ve karşılıklı bağımlılığın sonucu olan tamamen yeni bir oluşumdur.

Analiz esas olarak parçaları birbirinden ayıran belirli şeyi düzeltir. Sentez ise parçaları tek bir bütün halinde birleştiren temel ortak şeyi ortaya çıkarır.

Araştırmacı, önce bu parçaların kendilerini keşfetmek, bütünün nelerden oluştuğunu bulmak ve daha sonra zaten ayrı ayrı incelenen bu parçalardan oluştuğunu düşünmek için nesneyi zihinsel olarak bileşenlerine ayırır. Analiz ve sentez diyalektik bir birlik içindedir: düşüncemiz sentetik olduğu kadar analitiktir.

Analiz ve sentez, pratik faaliyetlerden kaynaklanır. Pratik aktivitesinde çeşitli nesneleri sürekli olarak bileşenlerine ayıran bir kişi, yavaş yavaş nesneleri zihinsel olarak da ayırmayı öğrendi. Pratik etkinlik, yalnızca nesnelerin parçalanmasından değil, aynı zamanda parçaların tek bir bütün halinde yeniden birleştirilmesinden de oluşuyordu. Bu temelde, yavaş yavaş zihinsel analiz ve sentez ortaya çıktı.

Nesnenin çalışmasının doğasına ve özüne nüfuz etme derinliğine bağlı olarak, çeşitli analiz ve sentez türleri kullanılır.

1. Doğrudan veya ampirik analiz ve sentez - kural olarak, nesneyle yüzeysel tanışma aşamasında kullanılır. Bu tür bir analiz ve sentez, incelenen nesnenin fenomenlerini kavramayı mümkün kılar.

2. Temel teorik analiz ve sentez - incelenen olgunun özünü anlamak için güçlü bir araç olarak yaygın olarak kullanılır. Böyle bir analiz ve sentezin uygulanmasının sonucu, sebep-sonuç ilişkilerinin kurulması, çeşitli kalıpların belirlenmesidir.

3. Yapısal-genetik analiz ve sentez - incelenen nesnenin özünü en derinden araştırmanıza izin verir. Bu tür bir analiz ve sentez, en önemli, esas olan ve incelenen nesnenin diğer tüm yönleri üzerinde belirleyici bir etkiye sahip olan karmaşık bir fenomende bu tür unsurların izole edilmesini gerektirir.

Bilimsel araştırma sürecinde analiz ve sentez yöntemleri, soyutlama yöntemiyle ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır.

soyutlama (Latince soyutlamadan - dikkat dağıtma), temel olmayan özelliklerden, bağlantılardan, incelenen nesnelerin ilişkilerinden, araştırmacının ilgisini çeken temel yönlerinin eşzamanlı zihinsel seçimiyle zihinsel bir soyutlama olan genel bir mantıksal bilimsel bilgi yöntemidir. özellikleri, bu nesnelerin bağlantıları. Özü, bir şeyin, mülkün veya ilişkinin zihinsel olarak ayırt edilmesi ve aynı zamanda diğer şeylerden, özelliklerden, ilişkilerden soyutlanması ve deyim yerindeyse "saf bir biçimde" düşünülmesi gerçeğinde yatmaktadır.

İnsan zihinsel aktivitesinde soyutlama evrensel bir karaktere sahiptir, çünkü düşüncenin her adımı bu süreçle veya sonuçlarının kullanımıyla ilişkilidir. Bu yöntemin özü, temel olmayan, ikincil özelliklerden, bağlantılardan, nesnelerin ilişkilerinden zihinsel olarak soyutlamanıza ve aynı zamanda araştırmayla ilgilenen bu nesnelerin taraflarını, özelliklerini, bağlantılarını zihinsel olarak vurgulamanıza, düzeltmenize izin vermesidir. .

Soyutlama süreci ile soyutlama adı verilen bu sürecin sonucu arasında ayrım yapın. Genellikle, soyutlamanın sonucu, incelenen nesnelerin bazı yönleri hakkında bilgi olarak anlaşılır. Soyutlama süreci, böyle bir sonuca (soyutlama) yol açan bir dizi mantıksal işlemdir. Soyutlama örnekleri, bir kişinin yalnızca bilimde değil, günlük yaşamda da kullandığı sayısız kavramdır.

Nesnel gerçeklikte neyin soyut düşünme çalışmasıyla ve hangi düşüncenin dikkati dağıldığından ayırt edildiği sorusu, incelenen nesnenin doğasına ve ayrıca çalışmanın hedeflerine bağlı olarak her özel durumda kararlaştırılır. Tarihsel gelişimi sırasında bilim, bir soyutlama düzeyinden diğerine, daha yüksek olana yükselir. Bilimin bu yöndeki gelişimi, W. Heisenberg'in sözleriyle, "soyut yapıların konuşlandırılmasıdır". Soyutlama alanına kesin adım, insanlar saymayı (sayı) öğrendiğinde atıldı, böylece matematik ve matematik bilimine giden yol açıldı. Bu konuda W. Heisenberg şunları söylüyor: "Başlangıçta belirli deneyimlerden soyutlanarak elde edilen kavramlar, kendilerine özgü bir yaşam sürerler. İlk başta beklendiğinden daha anlamlı ve üretken hale gelirler. Daha sonraki gelişimde, ortaya çıkarlar. kendi yapıcı olasılıkları: yeni formların ve kavramların inşasına katkıda bulunurlar, aralarında bağlantı kurmayı mümkün kılarlar ve fenomenler dünyasını anlama girişimlerimizde belirli sınırlar içinde uygulanabilirler.

Kısa bir analiz, soyutlamanın en temel bilişsel mantıksal işlemlerden biri olduğunu göstermektedir. Bu nedenle bilimsel araştırmaların en önemli yöntemidir. Genelleme yöntemi, soyutlama yöntemiyle yakından ilişkilidir.

genelleme - bireyselden genele, daha az genelden daha genele zihinsel geçişin mantıksal süreci ve sonucu.

Bilimsel genelleme sadece benzer özelliklerin zihinsel bir seçimi ve sentezi değil, aynı zamanda bir şeyin özüne nüfuz etmedir: tekin çeşitlilik içinde, genelin tekilde, düzenlinin rastgele içinde algılanması ve bunların birleştirilmesidir. benzer özelliklere veya ilişkilere göre nesneleri homojen gruplara, sınıflara ayırır.

Genelleme sürecinde, bireysel kavramlardan genel kavramlara, daha az genel kavramlardan daha genel kavramlara, bireysel yargılardan genel yargılara, daha az genel yargılardan daha genel yargılara geçiş yapılır. Böyle bir genellemenin örnekleri şunlar olabilir: "maddenin hareketin mekanik biçimi" kavramından "maddenin hareket biçimi" ve genel olarak "hareket" kavramına zihinsel bir geçiş; "ladin" kavramından "iğne yapraklı bitki" ve genel olarak "bitki" kavramına; "bu metal elektriksel olarak iletkendir" yargısından "tüm metaller elektriksel olarak iletkendir" yargısına kadar.

Bilimsel araştırmalarda, aşağıdaki genelleme türleri en sık kullanılır: tümevarım, araştırmacı bireysel (tek) gerçeklerden, olaylardan düşüncelerdeki genel ifadelerine gittiğinde; mantıklı, araştırmacı daha az genel bir düşünceden diğerine, daha genel bir düşünceye gittiğinde. Genellemenin sınırı, genel bir kavrama sahip olmadıkları için genelleştirilemeyen felsefi kategorilerdir.

Daha genel bir düşünceden daha az genel bir düşünceye mantıksal geçiş bir sınırlama sürecidir. Başka bir deyişle, mantıksal bir işlemdir, genellemenin tersidir.

Bir kişinin soyutlama ve genelleme yeteneğinin, sosyal pratik ve insanlar arasındaki karşılıklı iletişim temelinde oluşturulduğu ve geliştirildiği vurgulanmalıdır. Hem insanların bilişsel aktivitesinde hem de toplumun maddi ve manevi kültürünün genel ilerlemesinde büyük önem taşımaktadır.

indüksiyon (Latince inductio - rehberlikten) - genel sonucun, bu sınıfın bireysel unsurlarının incelenmesi sonucunda elde edilen tüm nesne sınıfı hakkında bilgi olduğu bir bilimsel bilgi yöntemi. Tümevarımda, araştırmacının düşüncesi tikelden, tekilden tikelden genele ve evrensele doğru gider. Mantıksal bir araştırma yöntemi olarak tümevarım, gözlem ve deneylerin sonuçlarının genelleştirilmesi, düşüncenin bireyden genele hareketi ile ilişkilidir. Deneyim her zaman sonsuz ve eksik olduğundan, tümevarımsal sonuçlar her zaman sorunlu (olasılıklı) bir karaktere sahiptir. Tümevarımsal genellemeler genellikle ampirik gerçekler veya ampirik yasalar olarak görülür. Tümevarımın dolaysız temeli, gerçeklik fenomenlerinin ve onların işaretlerinin tekrarıdır. Belirli bir sınıfın birçok nesnesinde benzer özellikler bularak, bu özelliklerin bu sınıfın tüm nesnelerinde var olduğu sonucuna varırız.

Sonucun doğası gereği, aşağıdaki ana endüktif akıl yürütme grupları ayırt edilir:

1. Tam tümevarım - bir nesne sınıfı hakkında genel bir sonucun, bu sınıfın tüm nesnelerinin incelenmesi temelinde yapıldığı bir sonuç. Tam tümevarım güvenilir sonuçlar üretir, bu nedenle bilimsel araştırmalarda kanıt olarak yaygın olarak kullanılır.

2. Eksik tümevarım - belirli bir sınıfın tüm nesnelerini kapsamayan binalardan genel bir sonucun elde edildiği bir sonuç. İki tür tamamlanmamış tümevarım vardır: popüler veya basit bir numaralandırma yoluyla tümevarım. Bu, gözlemlenen gerçekler arasında genellemeyle çelişen tek bir gerçek olmamasına dayanarak bir nesne sınıfı hakkında genel bir sonucun yapıldığı bir sonuçtur; bilimsel, yani, bir sınıfın tüm nesneleri hakkında genel bir sonucun, bu sınıfın bazı nesneleri için gerekli özellikler veya nedensel ilişkiler hakkında bilgi temelinde yapıldığı bir sonuç. Bilimsel tümevarım, yalnızca olasılıksal değil, aynı zamanda güvenilir sonuçlar da verebilir. Bilimsel tümevarım kendi biliş yöntemlerine sahiptir. Gerçek şu ki, fenomenler arasında nedensel bir ilişki kurmak çok zordur. Bununla birlikte, bazı durumlarda, bu ilişki, bir neden-sonuç ilişkisi kurma yöntemleri veya bilimsel tümevarım yöntemleri olarak adlandırılan mantıksal teknikler kullanılarak kurulabilir. Bu tür beş yöntem vardır:

1. Tek benzerlik yöntemi: İncelenen fenomenin iki veya daha fazla vakasının yalnızca bir ortak koşulu varsa ve diğer tüm koşullar farklıysa, bu fenomenin nedeni sadece bu benzer durumdur:

Bu nedenle -+ A, a'nın nedenidir.

Başka bir deyişle, ABC öncül koşullar abc fenomenine neden oluyorsa ve ADE koşulları ade fenomenine neden oluyorsa, o zaman A'nın a'nın nedeni olduğu (veya A ve a fenomeninin nedensel olarak ilişkili olduğu) sonucuna varılır.

2. Tek fark yöntemi: olgunun meydana geldiği veya olmadığı durumlar yalnızca bir tanesinde farklılık gösteriyorsa: - önceki koşul ve diğer tüm koşullar aynıysa, o zaman bu tek durum bu olgunun nedenidir:

Başka bir deyişle, ABC öncel koşulları abs olgusuna neden oluyorsa ve BC koşulları (deney sırasında A olgusu elenir) güneş olgusuna neden oluyorsa, o zaman A'nın a'nın nedeni olduğu sonucuna varılır. Bu sonucun temeli, A ortadan kaldırıldığında a'nın ortadan kaybolmasıdır.

3. Birleştirilmiş benzerlik ve farklılık yöntemi, ilk iki yöntemin birleşimidir.

4. Eşzamanlı değişiklikler yöntemi: Bir fenomenin her seferinde meydana gelmesi veya değişmesi, başka bir fenomende mutlaka belirli bir değişikliğe neden oluyorsa, bu fenomenlerin her ikisi de birbirleriyle nedensel bir ilişki içindedir:

A'yı değiştir A'yı değiştir

Değişmeyen B, C

Bu nedenle A, a'nın nedenidir.

Başka bir deyişle, önceki fenomen A'daki bir değişiklik aynı zamanda gözlemlenen a fenomenini de değiştirirse, kalan önceki fenomen değişmeden kalırsa, o zaman A'nın a'nın nedeni olduğu sonucuna varabiliriz.

5. Kalıntı yöntemi: İncelenen olgunun nedeninin, biri hariç, bunun için gerekli koşullar olmadığı biliniyorsa, bu durum muhtemelen bu olgunun nedenidir. Fransız gökbilimci Neverier, artıklar yöntemini kullanarak, yakında Alman gökbilimci Halle tarafından keşfedilen Neptün gezegeninin varlığını öngördü.

Nedensel ilişkiler kurmak için dikkate alınan bilimsel tümevarım yöntemleri, çoğunlukla izolasyonda değil, birbirini tamamlayarak ara bağlantıda kullanılır. Değerleri, esas olarak, bu veya bu yöntemin verdiği sonucun olasılık derecesine bağlıdır. En güçlü yöntemin farklılık yöntemi, en zayıf yöntemin ise benzerlik yöntemi olduğuna inanılmaktadır. Diğer üç yöntem orta düzeydedir. Yöntemlerin değerindeki bu farklılık, esas olarak benzerlik yönteminin esas olarak gözlemle, farklılık yönteminin ise deneyle ilişkilendirilmesine dayanmaktadır.

Tümevarım yönteminin kısa bir açıklaması bile, onun değerini ve önemini belirlemeyi mümkün kılar. Bu yöntemin önemi öncelikle gerçeklerle, deneylerle ve uygulamayla olan yakın ilişkisinde yatmaktadır. Bu konuda F. Bacon şöyle yazmıştır: “Eğer şeylerin doğasına nüfuz etmek istiyorsak, o zaman her yerde tümevarıma yöneliriz ve neredeyse pratikle birleşiriz.

Modern mantıkta tümevarım, bir olasılıksal çıkarım teorisi olarak görülür. Bu yöntemin mantıksal problemlerini daha net bir şekilde anlamaya ve sezgisel değerini belirlemeye yardımcı olacak olasılık teorisi fikirlerine dayanan tümevarım yöntemini resmileştirmeye çalışılmaktadır.

kesinti (Latince deductio - çıkarımdan) - bir sınıf öğesi hakkındaki bilginin, tüm sınıfın genel özelliklerinin bilgisinden türetildiği bir düşünce süreci. Başka bir deyişle, araştırmacının tümdengelimdeki düşüncesi genelden özele (tekil) doğru gider. Örneğin: "Güneş sisteminin tüm gezegenleri güneşin etrafında hareket eder"; "Dünya gezegeni"; dolayısıyla: "Dünya güneşin etrafında hareket eder." Bu örnekte, düşünce genelden (ilk öncül) özele (sonuç) hareket eder. Böylece, tümdengelimli akıl yürütme, bireyi daha iyi tanımayı mümkün kılar, çünkü onun yardımıyla, bu nesnenin tüm sınıfa özgü bir özelliğe sahip olduğuna dair yeni bilgiler (çıkarımsal) elde ederiz.

Tümdengelimin nesnel temeli, her nesnenin genel ve bireysel birliğini birleştirmesidir. Bu bağlantı ayrılmaz, diyalektiktir, bu da bireyi genelin bilgisi temelinde tanımayı mümkün kılar. Ayrıca, tümdengelimli akıl yürütmenin öncülleri doğruysa ve birbiriyle doğru bir şekilde bağlantılıysa, sonuç - sonuç kesinlikle doğru olacaktır. Tümdengelimin bu özelliği, diğer biliş yöntemleriyle olumlu şekilde karşılaştırılır. Gerçek şu ki, genel ilkeler ve yasalar, araştırmacının tümdengelimli biliş sürecinde yoldan çıkmasına izin vermiyor, bireysel gerçeklik fenomenlerini doğru bir şekilde anlamaya yardımcı oluyorlar. Ancak, bu temelde tümdengelim yönteminin bilimsel önemini abartmak yanlış olur. Gerçekten de, çıkarımın biçimsel gücünün kendine gelmesi için, ilk bilgi, tümdengelim sürecinde kullanılan genel öncüllere ihtiyaç vardır ve bunları bilimde elde etmek çok karmaşık bir iştir.

Tümdengelimin önemli bilişsel önemi, genel öncül sadece tümevarımsal bir genelleme değil, aynı zamanda bir tür varsayımsal varsayım, örneğin yeni bir bilimsel fikir olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda tümdengelim, yeni bir teorik sistemin doğuşu için başlangıç ​​noktasıdır. Bu şekilde oluşturulan teorik bilgi, yeni endüktif genellemelerin inşasını önceden belirler.

Bütün bunlar, bilimsel araştırmalarda tümdengelimin rolünde istikrarlı bir artış için gerçek önkoşullar yaratır. Bilim, giderek duyusal algıya erişilemeyen nesnelerle (örneğin, mikro kozmos, Evren, insanlığın geçmişi vb.) Bu tür nesneleri tanırken, gözlem ve deneyin gücünden çok düşüncenin gücüne dönmek gerekir. Tümdengelim, teorik konumların, örneğin matematikte, gerçek sistemler yerine formal sistemleri tanımlamak için formüle edildiği tüm bilgi alanlarında vazgeçilmezdir. Modern bilimde formalizasyon giderek daha yaygın olarak kullanıldığından, bilimsel bilgide tümdengelimin rolü buna bağlı olarak artmaktadır.

Bununla birlikte, bilimsel araştırmalarda tümdengelimin rolü mutlak olamaz ve hatta daha da fazlası - tümevarım ve diğer bilimsel bilgi yöntemlerine karşı olamaz. Hem metafizik hem de rasyonalist doğanın aşırılıkları kabul edilemez. Aksine, tümdengelim ve tümevarım yakından ilişkilidir ve birbirini tamamlar. Tümevarımsal araştırma, genel teorilerin, yasaların, ilkelerin kullanılmasını içerir, yani tümdengelim anını içerir ve tümevarımla elde edilen genel hükümler olmadan tümdengelim imkansızdır. Diğer bir deyişle, tümevarım ve tümdengelim, analiz ve sentez kadar zorunlu olarak bağlantılıdır. Her birini yerinde uygulamaya çalışmalıyız ve bu ancak onların birbirleriyle olan bağlarını, birbirlerini karşılıklı olarak tamamlamalarını gözden kaçırmadığımız takdirde başarılabilir. L. de Broglie, "Büyük keşifler," diyor, "bilimsel düşüncede ileriye doğru sıçramalar, tümevarım yoluyla yaratılır, bu riskli ama gerçekten yaratıcı bir yöntemdir... Elbette, tümdengelimli akıl yürütmenin titizliğinin hiçbir değeri olmadığı sonucuna varmamak gerekir. gerçek, yalnızca hayal gücünün hataya düşmesini engeller, yalnızca tümevarım yoluyla yeni başlangıç ​​noktalarının kurulmasından sonra, sonuçları çıkarmasına ve sonuçları gerçeklerle karşılaştırmasına izin verir.Yalnızca bir tümdengelim hipotezlerin test edilmesini sağlayabilir ve değerli bir panzehir işlevi görebilir aşırı oynanmış bir fanteziye karşı ". Böyle bir diyalektik yaklaşımla, yukarıdaki ve diğer bilimsel bilgi yöntemlerinin her biri, tüm değerlerini tam olarak gösterebilecektir.

Analoji. Nesnelerin özelliklerini, işaretlerini, bağlantılarını ve gerçek gerçekliğin fenomenlerini inceleyerek, hepsini bir kerede, bütünlükleri içinde, bütünlükleri içinde bilemeyiz, ama onları adım adım daha fazla özelliği ortaya çıkararak yavaş yavaş inceleriz. Bir nesnenin bazı özelliklerini inceledikten sonra, bunların zaten iyi çalışılmış başka bir nesnenin özellikleriyle örtüştüğünü görebiliriz. Böyle bir benzerlik kurduktan ve birçok eşleşen özellik bulduktan sonra, bu nesnelerin diğer özelliklerinin de çakıştığı varsayılabilir. Bu tür bir akıl yürütmenin seyri, analojinin temelini oluşturur.

Analoji, belirli bir sınıftaki nesnelerin bazı özelliklerdeki benzerliğinden, diğer özelliklerdeki benzerlikleri hakkında bir sonuca varılan böyle bir bilimsel araştırma yöntemidir. Analojinin özü aşağıdaki formül kullanılarak ifade edilebilir:

A aecd belirtileri var

B'de ABC işaretleri var

Bu nedenle, B'nin d özelliğine sahip olduğu görülmektedir.

Başka bir deyişle, analojide, araştırmacının düşüncesi bilinen bir genelliğin bilgisinden aynı genelliğin bilgisine veya başka bir deyişle özelden özele doğru ilerler.

Belirli nesnelerle ilgili olarak, analojiyle çıkarılan sonuçlar, kural olarak yalnızca makuldür: bunlar bilimsel hipotezlerin, tümevarımsal akıl yürütmenin kaynaklarından biridir ve bilimsel keşiflerde önemli bir rol oynarlar. Örneğin, Güneş'in kimyasal bileşimi, birçok yönden Dünya'nın kimyasal bileşimine benzer. Bu nedenle, henüz Dünya'da bilinmeyen helyum elementi Güneş'te keşfedildiğinde, benzetme yoluyla benzer bir elementin Dünya'da da olması gerektiği sonucuna varıldı. Bu sonucun doğruluğu daha sonra tespit edildi ve onaylandı. Benzer şekilde, L. de Broglie, maddenin parçacıkları ile alan arasında belirli bir benzerlik olduğunu varsayarak, maddenin parçacıklarının dalga doğası hakkında sonuca varmıştır.

Analoji yoluyla sonuç çıkarma olasılığını artırmak için, aşağıdakileri sağlamak için çaba sarf etmek gerekir:

sadece karşılaştırılan nesnelerin dış özellikleri değil, aynı zamanda esas olarak iç özellikleri de ortaya çıktı;

bu nesneler, tesadüfi ve ikincil özelliklerde değil, en önemli ve temel özelliklerde benzerdi;

eşleşen işaretlerin çemberi mümkün olduğunca genişti;

sadece benzerlikler değil, farklılıklar da dikkate alındı ​​- böylece ikincisi başka bir nesneye aktarılamadı.

Analoji yöntemi, sadece benzer özellikler arasında değil, aynı zamanda incelenen nesneye aktarılan özellik ile de organik bir ilişki kurulduğunda en değerli sonuçları verir.

Analoji yoluyla sonuçların doğruluğu, eksik tümevarım yöntemiyle sonuçların doğruluğu ile karşılaştırılabilir. Her iki durumda da güvenilir sonuçlar elde edilebilir, ancak yalnızca bu yöntemlerin her biri diğer bilimsel bilgi yöntemlerinden ayrı olarak değil, onlarla ayrılmaz diyalektik bağlantı içinde uygulandığında elde edilebilir.

Son derece geniş olarak anlaşılan analoji yöntemi, bazı nesneler hakkındaki bilgilerin diğerlerine aktarılması olarak, modellemenin epistemolojik temelidir.

modelleme - bir nesnenin (orijinal) çalışmasının, kopyasını (modeli) oluşturarak, orijinali değiştirerek, daha sonra araştırmacının ilgisini çeken belirli yönlerden öğrenilen bir bilimsel bilgi yöntemi.

Modelleme yönteminin özü, bilgi nesnesinin özelliklerini özel olarak oluşturulmuş bir analog model üzerinde yeniden üretmektir. Model nedir?

Bir model (Latin modülünden - ölçü, görüntü, norm), bir nesnenin (orijinal) koşullu bir görüntüsüdür, analojiye dayalı olarak, nesnelerin özelliklerini, ilişkilerini ve gerçeklik fenomenlerini ifade etmenin, aralarında benzerlikler kurmanın ve aralarında benzerlikler kurmanın belirli bir yoludur. bu temelde, onları bir materyal veya ideal nesne benzerliği üzerinde yeniden üretir. Başka bir deyişle, model, orijinal nesnenin bir analoğudur, orijinal nesnenin bir "ikamesidir", bilişte ve uygulamada orijinali inşa etmek, dönüştürmek veya kontrol etmek için orijinal hakkında bilgi (bilgi) edinmeye ve genişletmeye hizmet eder.

Model ile orijinal (benzerlik ilişkisi) arasında belirli bir benzerlik olmalıdır: fiziksel özellikler, işlevler, incelenen nesnenin davranışı, yapısı vb. Sonuç olarak elde edilen bilgileri aktarmanıza izin veren bu benzerliktir. modeli orijinaline göre incelemek.

Modelleme, analoji yöntemine çok benzediğinden, benzetme yoluyla çıkarımın mantıksal yapısı, bir bakıma, modellemenin tüm yönlerini tek bir amaca yönelik süreçte birleştiren düzenleyici bir faktördür. Hatta bir anlamda modellemenin bir tür analoji olduğu bile söylenebilir. Analoji yöntemi, olduğu gibi, modelleme sırasında yapılan sonuçlar için mantıklı bir temel görevi görür. Örneğin, abcd özelliklerinin A modeline ait olması ve abc özelliklerinin orijinal A'ya ait olması temelinde, model A'da bulunan d özelliğinin de orijinal A'ya ait olduğu sonucuna varılır.

Modellemenin kullanımı, nesnelerin doğrudan inceleme yoluyla kavranması imkansız olan veya tamamen ekonomik nedenlerle çalışmanın kârsız olduğu bu tür yönlerini ortaya çıkarma ihtiyacı tarafından belirlenir. Örneğin bir kişi, elmasların doğal oluşum sürecini, Dünya'daki yaşamın kökenini ve gelişimini, mikro ve mega dünyanın bir dizi fenomenini doğrudan gözlemleyemez. Bu nedenle, bu tür fenomenlerin gözlem ve inceleme için uygun bir biçimde yapay olarak çoğaltılmasına başvurmak gerekir. Bazı durumlarda, nesneyi doğrudan denemek yerine modelini oluşturmak ve incelemek çok daha karlı ve ekonomiktir.

Modelleme, balistik füzelerin yörüngelerini hesaplamak, makinelerin ve hatta tüm işletmelerin çalışma modunu incelemek ve ayrıca işletmelerin yönetiminde, maddi kaynakların dağıtımında, vücuttaki yaşam süreçlerinin incelenmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır. , Toplumda.

Günlük ve bilimsel bilgide kullanılan modeller iki büyük sınıfa ayrılır: gerçek veya maddi ve mantıksal (zihinsel) veya ideal. İlki, işleyişinde doğal yasalara uyan doğal nesnelerdir. Araştırma konusunu maddi olarak az çok görsel bir biçimde yeniden üretirler. Mantıksal modeller, uygun sembolik biçimde sabitlenmiş ve mantık ve matematik yasalarına göre işleyen ideal oluşumlardır. İkonik modellerin önemi, sembollerin yardımıyla, başka yollarla tespit edilmesi neredeyse imkansız olan bu tür gerçeklik bağlantılarını ve ilişkilerini ortaya çıkarmayı mümkün kılmalarında yatmaktadır.

Bilimsel ve teknolojik ilerlemenin mevcut aşamasında, bilgisayar modellemesi bilimde ve çeşitli uygulama alanlarında yaygınlaşmıştır. Özel bir program üzerinde çalışan bir bilgisayar, örneğin piyasa fiyatlarındaki dalgalanmalar, nüfus artışı, yapay bir Dünya uydusunun kalkışı ve yörüngesine girmesi, kimyasal reaksiyonlar vb. gibi çok çeşitli süreçleri simüle etme yeteneğine sahiptir. Bu tür her birinin incelenmesi İşlem uygun bir bilgisayar modeli kullanılarak gerçekleştirilir.

sistem yöntemi . Bilimsel bilginin modern aşaması, teorik düşüncenin ve teorik bilimlerin giderek artan önemi ile karakterizedir. Bilimler arasında önemli bir yer, sistem araştırma yöntemlerini analiz eden sistem teorisi tarafından işgal edilir. Nesnelerin ve gerçeklik fenomenlerinin gelişiminin diyalektiği, en uygun ifadeyi sistemik biliş yönteminde bulur.

Sistem yöntemi, bir nesnenin bütünlüğünü bir sistem olarak ortaya çıkarmaya yönelik bir yönelime dayanan bir dizi genel bilimsel metodolojik ilke ve araştırma yöntemidir.

Sistem yönteminin temeli, aşağıdaki gibi tanımlanabilecek sistem ve yapıdır.

Bir sistem (Yunanca systema'dan - parçalardan oluşan bir bütün; bağlantı), hem birbirleriyle hem de çevre ile birbirine bağlı olan ve belirli bir bütünlük oluşturan bir dizi unsuru ifade eden genel bir bilimsel konumdur, nesnenin birliği inceleniyor. Sistem türleri çok çeşitlidir: maddi ve manevi, inorganik ve canlı, mekanik ve organik, biyolojik ve sosyal, statik ve dinamik vb. Ayrıca, herhangi bir sistem kendine özgü yapısını oluşturan çeşitli unsurların birleşimidir. yapı nedir?

Yapı ( enlemden. structura - yapı, düzenleme, düzen), belirli bir karmaşık sistemin bütünlüğünü sağlayan bir nesnenin öğelerini bağlamanın nispeten istikrarlı bir yoludur (yasa).

Sistem yaklaşımının özgüllüğü, çalışmanın nesnenin bütünlüğünün ve bunu sağlayan mekanizmaların açıklanmasına, karmaşık bir nesnenin çeşitli bağlantı türlerinin tanımlanmasına ve bunların tek bir nesneye indirgenmesine odaklanması gerçeğiyle belirlenir. teorik resim.

Genel sistemler teorisinin ana ilkesi, toplum da dahil olmak üzere doğanın, alt sistemlere ayrışan, belirli koşullar altında nispeten bağımsız sistemler olarak hareket eden büyük ve karmaşık bir sistem olarak değerlendirilmesi anlamına gelen sistem bütünlüğü ilkesidir.

Genel sistem teorisindeki tüm kavram ve yaklaşımlar, belirli bir soyutlama derecesi ile iki büyük teori sınıfına ayrılabilir: ampirik-sezgisel ve soyut-tümdengelimli.

1. Ampirik-sezgisel kavramlarda, somut, gerçekten var olan nesneler araştırmanın birincil nesnesi olarak kabul edilir. Somut-tekilden genele yükseliş sürecinde, sistem kavramları ve farklı seviyelerde araştırmaların sistemik ilkeleri formüle edilir. Bu yöntem, ampirik bilişte bireyselden genele geçişle dışsal bir benzerliğe sahiptir, ancak dış benzerliğin arkasında belirli bir farklılık gizlidir. Ampirik yöntem öğelerin önceliğinin tanınmasından yola çıkıyorsa, sistematik yaklaşımın da sistemlerin önceliğinin tanınmasından yola çıkması gerçeğinden oluşur. Sistem yaklaşımında, çalışmanın başlangıcı olarak sistemler, belirli yasalara tabi olarak, bağlantıları ve ilişkileri ile birlikte birçok unsurdan oluşan bütünsel bir oluşum olarak ele alınır; ampirik yöntem, belirli bir nesnenin öğeleri veya belirli bir fenomen düzeyi arasındaki ilişkiyi ifade eden yasaların formülasyonu ile sınırlıdır. Ve bu yasalarda bir genellik anı olsa da, bu genellik, çoğunlukla aynı adı taşıyan dar bir nesneler sınıfına aittir.

2. Soyut-tümdengelim kavramlarında, soyut nesneler araştırmanın başlangıç ​​noktası olarak alınır - son derece genel özellikler ve ilişkilerle karakterize edilen sistemler. Son derece genel sistemlerden giderek daha özel sistemlere doğru daha fazla inişe, özel olarak tanımlanmış sistem sınıflarına uygulanan bu tür sistemik ilkelerin formülasyonu eşlik eder.

Ampirik-sezgisel ve soyut-tümdengelimli yaklaşımlar eşit derecede meşrudur, birbirlerine karşı değildirler, aksine ortak kullanımları son derece büyük bilişsel fırsatlar açar.

Sistem yöntemi, sistemlerin organizasyon ilkelerini bilimsel olarak yorumlamayı mümkün kılar. Nesnel olarak var olan dünya, belirli sistemlerin dünyası olarak hareket eder. Böyle bir sistem, yalnızca birbirine bağlı bileşenlerin ve öğelerin varlığı ile değil, aynı zamanda belirli düzenleri, belirli bir dizi yasa temelinde örgütlenmesi ile de karakterize edilir. Bu nedenle, sistemler kaotik değil, belirli bir şekilde düzenli ve organizedir.

Araştırma sürecinde, elbette, elemanlardan integral sistemlere "yükselebilir" ve bunun tersi de tam tersi - integral sistemlerden elemanlara. Ancak her koşulda araştırma sistemik bağlantılardan ve ilişkilerden soyutlanamaz. Bu tür bağlantıların göz ardı edilmesi kaçınılmaz olarak tek taraflı veya hatalı sonuçlara yol açar. Biliş tarihinde, biyolojik ve sosyal fenomenleri açıklamada doğrudan ve tek yanlı mekanizmanın, ilk dürtü ve manevi tözün tanınması konumlarına kayması tesadüf değildir.

Yukarıdakilere dayanarak, sistem yönteminin aşağıdaki ana gereksinimleri ayırt edilebilir:

Bütünün özelliklerinin, öğelerinin özelliklerinin toplamına indirgenemeyeceği gerçeği dikkate alınarak, her bir öğenin sistemdeki yerine ve işlevlerine bağımlılığının belirlenmesi;

Sistemin davranışının, hem bireysel elemanlarının özelliklerinden hem de yapısının özelliklerinden ne ölçüde kaynaklandığının analizi;

Karşılıklı bağımlılık mekanizmasının incelenmesi, sistem ve çevre arasındaki etkileşim;

Bu sistemin doğasında bulunan hiyerarşinin doğasının incelenmesi;

Sistemin çok boyutlu olarak kapsanması amacıyla tanımların çokluğunun sağlanması;

Sistemin dinamizmi dikkate alınarak, gelişen bir bütünlük olarak sunulması.

Sistem yaklaşımının önemli bir kavramı, "kendi kendini örgütleme" kavramıdır. Karmaşık, açık, dinamik, kendi kendini geliştiren bir sistemin organizasyonunu yaratma, yeniden üretme veya iyileştirme sürecini karakterize eder, unsurları arasındaki bağlantılar katı değil, olasılıklıdır. Kendi kendini örgütlemenin özellikleri, çok farklı doğadaki nesnelerin doğasında vardır: canlı bir hücre, bir organizma, biyolojik bir popülasyon, insan toplulukları.

Kendi kendini organize edebilen sistem sınıfı, açık ve doğrusal olmayan sistemlerdir. Sistemin açıklığı, içinde kaynak ve çöküntülerin bulunması, çevre ile madde ve enerji alışverişi anlamına gelir. Bununla birlikte, her açık sistem kendini organize etmez, yapılar inşa etmez, çünkü her şey iki ilkenin oranına bağlıdır - yapıyı oluşturan temelde ve dağıtan temelde bu ilkeyi bulanıklaştırır.

Modern bilimde, kendi kendini organize eden sistemler, sinerjik çalışmanın özel bir konusudur - herhangi bir temel temelin açık dengesizlik sistemlerinin evrim yasalarını araştırmaya odaklanan genel bir bilimsel kendi kendine organizasyon teorisi - doğal, sosyal, bilişsel (bilişsel).

Şu anda, sistem yöntemi, doğa bilimleri, sosyo-tarihsel, psikolojik ve diğer sorunların çözümünde giderek artan bir metodolojik önem kazanıyor. Mevcut aşamada bilimin gelişiminin acil epistemolojik ve pratik ihtiyaçlarından dolayı hemen hemen tüm bilimler tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır.

Olasılıksal (istatistiksel) yöntemler - bunlar, bir dizi şansın kümülatif eylemi yoluyla "kırılan" bir ihtiyacı tespit etmeyi mümkün kılan, sabit bir frekans ile karakterize edilen bir dizi rastgele faktörün etkisinin incelendiği yöntemlerdir.

Olasılıksal yöntemler, genellikle rastgelelik bilimi olarak adlandırılan olasılık teorisi temelinde oluşturulur ve birçok bilim insanının görüşüne göre, olasılık ve rastgelelik pratik olarak çözülmezdir. Zorunluluk ve olumsallık kategorileri hiçbir şekilde modası geçmiş değildir; tam tersine, modern bilimdeki rolleri ölçülemeyecek kadar artmıştır. Bilgi tarihinin gösterdiği gibi, "zorunluluk ve şansla ilgili tüm sorunların önemini ancak şimdi anlamaya başlıyoruz."

Olasılıksal yöntemlerin özünü anlamak için temel kavramlarını dikkate almak gerekir: "dinamik modeller", "istatistiksel modeller" ve "olasılık". Yukarıdaki iki tür düzenlilik, onları takip eden tahminlerin doğası bakımından farklılık gösterir.

Dinamik türün yasalarında, tahminler kesindir. Dinamik yasalar, örneğin klasik mekanikte daha doğru bir şekilde tahmin etmeyi mümkün kılan, bir dizi rastgele faktörden soyutlamanın mümkün olduğu az sayıda öğeden oluşan nispeten yalıtılmış nesnelerin davranışını karakterize eder.

İstatistik yasalarında tahminler güvenilir değil, yalnızca olasılıksaldır. Tahminlerin bu doğası, örneğin bir gazdaki çok sayıda molekül, popülasyonlardaki bireylerin sayısı, büyük gruplardaki insan sayısı gibi istatistiksel olaylarda veya kitle olaylarında meydana gelen birçok rastgele faktörün etkisinden kaynaklanmaktadır. vb.

İstatistiksel bir düzenlilik, bir nesneyi oluşturan çok sayıda öğenin etkileşiminin bir sonucu olarak ortaya çıkar - bir sistem ve bu nedenle, bir bütün olarak nesne olarak tek bir öğenin davranışını karakterize etmez. İstatistik yasalarında kendini gösteren zorunluluk, birçok rastgele faktörün karşılıklı olarak dengelenmesi ve dengelenmesi sonucunda ortaya çıkmaktadır. "İstatistiksel düzenlilikler, olasılık derecesi o kadar yüksek olan ve kesinlikle sınırlanan ifadelere yol açabilse de, yine de, ilke olarak istisnalar her zaman mümkündür" .

İstatistiksel yasalar, açık ve güvenilir tahminler vermeseler de, yine de rastgele nitelikteki kitle fenomenlerinin incelenmesinde mümkün olan tek yasalardır. Rastgele nitelikteki çeşitli faktörlerin, yakalanması neredeyse imkansız olan birleşik eyleminin arkasında, istatistiksel yasalar istikrarlı, gerekli ve tekrarlayan bir şey ortaya çıkarır. Tesadüfi olanın gerekli olana geçişinin diyalektiğinin teyidi olarak hizmet ederler. Olasılık pratik olarak kesinlik kazandığında, dinamik yasalar istatistiksel yasaların sınırlayıcı durumu haline gelir.

Olasılık, birçok kez tekrarlanabilen belirli koşullar altında rastgele bir olayın meydana gelme olasılığının nicel bir ölçüsünü (derecesini) karakterize eden bir kavramdır. Olasılık teorisinin ana görevlerinden biri, çok sayıda rastgele faktörün etkileşiminden kaynaklanan düzenlilikleri açıklamaktır.

Olasılıksal-istatistiksel yöntemler, özellikle matematiksel istatistik, istatistiksel fizik, kuantum mekaniği, sibernetik, sinerjetik gibi bilimsel disiplinlerde, kütle olaylarının incelenmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Üç ana olasılığa göre - tam kesinlik, risk ve belirsizlik koşulları altında karar verme - karar verme yöntemleri ve algoritmaları üç ana türe ayrılabilir: analitik, istatistiksel ve bulanık formalizasyona dayalı. Her özel durumda, karar verme yöntemi göreve, mevcut ilk verilere, mevcut problem modellerine, karar verme ortamına, karar verme sürecine, gerekli çözüm doğruluğuna ve analistin kişisel tercihlerine göre seçilir.

Bazı bilgi sistemlerinde algoritma seçim süreci otomatikleştirilebilir:

Karşılık gelen otomatik sistem, çeşitli farklı algoritma türlerini (algoritma kitaplığı) kullanma yeteneğine sahiptir;

Sistem etkileşimli olarak kullanıcıdan incelenen sorunun ana özellikleri hakkında bir dizi soruyu yanıtlamasını ister;

Kullanıcı cevaplarının sonuçlarına göre sistem kütüphaneden en uygun (belirtilen kriterlere göre) algoritmayı sunar.

2.3.1 Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemleri

Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemleri (MPD), alınan kararların etkinliği, olasılık dağılım yasaları ve diğer istatistiksel özellikleri bilinen rastgele değişkenler olan faktörlere bağlı olduğunda kullanılır. Ayrıca, her karar birçok olası sonuçtan birine yol açabilir ve her sonucun hesaplanabilen belirli bir gerçekleşme olasılığı vardır. Problem durumunu karakterize eden göstergeler de olasılıksal özellikler yardımıyla tanımlanır.Böyle bir DPR ile, karar verici her zaman rehberlik ettiği yanlış sonucu alma riskini taşır, ortalama istatistiksel özelliklerine dayalı olarak en uygun çözümü seçer. rastgele faktörler, yani karar risk koşulları altında verilir.

Pratikte, örnek verilerinden elde edilen sonuçlar tüm popülasyona aktarıldığında (örneğin, bir örnekten tüm ürün serisine) genellikle olasılıksal ve istatistiksel yöntemler kullanılır. Ancak bu durumda, her özel durumda, öncelikle yeterince güvenilir olasılıksal ve istatistiksel veri elde etmenin temel olasılığı değerlendirilmelidir.

Karar vermede olasılık teorisi ve matematiksel istatistiklerin fikir ve sonuçlarını kullanırken, temel, nesnel ilişkilerin olasılık teorisi açısından ifade edildiği matematiksel bir modeldir. Olasılıklar, öncelikle karar verirken dikkate alınması gereken rastgeleliği tanımlamak için kullanılır. Bu, hem istenmeyen fırsatları (riskler) hem de çekici olanları ("şanslı şans") ifade eder.

Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinin özü, örnek karakteristikleri kullanarak hipotezlerin tahminine ve test edilmesine dayalı olasılıksal modellerin kullanılmasıdır..

Teorik modellere dayalı karar verme için örnek özellikleri kullanma mantığının altını çiziyoruz. iki paralel kavram dizisinin eşzamanlı kullanımını içerir.– teoriyle ilgili (olasılıklı model) ve uygulamayla ilgili (gözlemsel sonuçların örneği).Örneğin, teorik olasılık, örnekten bulunan frekansa karşılık gelir. Matematiksel beklenti (teorik seri), örnek aritmetik ortalamaya (pratik seri) karşılık gelir. Kural olarak, örnek özellikler teorik özelliklerin tahminleridir.

Bu yöntemleri kullanmanın avantajları, olayların gelişimi ve olasılıkları için çeşitli senaryoları dikkate alma yeteneğini içerir. Bu yöntemlerin dezavantajı, hesaplamalarda kullanılan senaryo olasılıklarının pratikte elde edilmesinin genellikle çok zor olmasıdır.

Belirli bir olasılıksal-istatistiksel karar verme yönteminin uygulanması üç aşamadan oluşur:

Ekonomik, yönetsel, teknolojik gerçeklikten soyut bir matematiksel ve istatistiksel şemaya geçiş, yani. özellikle istatistiksel kontrol sonuçlarına dayalı olarak bir kontrol sistemi, teknolojik süreç, karar verme prosedürü vb. için olasılıklı bir model oluşturmak.

Olasılıksal bir model çerçevesinde tamamen matematiksel yollarla hesaplamalar yapmak ve sonuçlar elde etmek;

Gerçek bir durumla ilgili olarak matematiksel ve istatistiksel sonuçların yorumlanması ve uygun bir karar verilmesi (örneğin, ürün kalitesinin belirlenmiş gerekliliklere uygunluğu veya uygunsuzluğu, teknolojik süreci ayarlama ihtiyacı vb.), özellikle, sonuçlar (bir partideki kusurlu ürün birimlerinin oranı, teknolojik sürecin kontrollü parametrelerinin dağıtım yasalarının belirli bir şekli vb.).

Gerçek bir olgunun olasılıklı modeli, eğer söz konusu nicelikler ve aralarındaki ilişkiler olasılık teorisi ile ifade edilirse oluşturulmuş olarak kabul edilmelidir. Olasılık modelinin yeterliliği, özellikle hipotezleri test etmek için istatistiksel yöntemler kullanılarak doğrulanır.

Matematiksel istatistikler, çözülmesi gereken problemlerin türüne göre genellikle üç bölüme ayrılır: veri tanımı, tahmin ve hipotez testi. İşlenen istatistiksel verilerin türüne göre, matematiksel istatistikler dört alana ayrılır:

Bir gözlemin sonucunun gerçek bir sayı ile tanımlandığı tek boyutlu istatistikler (rastgele değişkenlerin istatistikleri);

Bir nesnenin gözlem sonucunun birkaç sayı (vektör) ile tanımlandığı çok değişkenli istatistiksel analiz;

Gözlem sonucunun bir fonksiyon olduğu rastgele süreçlerin ve zaman serilerinin istatistikleri;

Bir gözlemin sonucunun sayısal olmayan bir yapıya sahip olduğu, örneğin bir küme (geometrik bir şekil), bir sıralama veya bir ölçüm sonucu elde edilen sayısal olmayan nitelikteki nesnelerin istatistikleri. niteliksel bir nitelik.

Olasılıksal-istatistiksel modellerin kullanılmasının tavsiye edildiği durumlara bir örnek.

Herhangi bir ürünün kalitesi kontrol edilirken, üretilen ürün partisinin belirlenmiş gereksinimleri karşılayıp karşılamadığına karar vermek için ondan bir numune alınır. Numune kontrolünün sonuçlarına dayanarak, tüm parti hakkında bir sonuca varılır. Bu durumda numunenin oluşumunda öznellikten kaçınmak çok önemlidir, yani kontrollü partideki her bir ürün biriminin numunede aynı seçilme olasılığına sahip olması gerekir. Böyle bir durumda partiye dayalı seçim yeterince objektif değildir. Bu nedenle, üretim koşullarında, numunedeki üretim birimlerinin seçimi genellikle parti ile değil, özel rasgele sayı tabloları veya bilgisayar rasgele sayı üreteçleri aracılığıyla gerçekleştirilir.

Teknolojik süreçlerin istatistiksel olarak düzenlenmesinde, matematiksel istatistik yöntemlerine dayalı olarak, teknolojik süreçlerdeki düzensizliğin zamanında tespit edilmesini ve bunları düzeltmek ve ürünlerin serbest bırakılmasını önlemek için önlemler almayı amaçlayan süreçlerin istatistiksel kontrolü için kurallar ve planlar geliştirilir. belirlenen gereksinimleri karşılamıyor. Bu önlemler, üretim maliyetlerini ve düşük kaliteli ürünlerin tedarikinden kaynaklanan kayıpları azaltmayı amaçlamaktadır. İstatistiksel kabul kontrolü ile, matematiksel istatistik yöntemlerine dayalı olarak, ürün partilerinden numuneler analiz edilerek kalite kontrol planları geliştirilir. Zorluk, olasılıksal-istatistiksel karar verme modellerini doğru bir şekilde oluşturabilmekte yatar, bu modellere dayanarak yukarıda sorulan sorulara cevap verilebilir. Matematiksel istatistikte, bu amaçla hipotezleri test etmek için olasılıksal modeller ve yöntemler geliştirilmiştir3.

Ek olarak, bir dizi yönetsel, endüstriyel, ekonomik, ulusal ekonomik durumda, farklı türde sorunlar ortaya çıkar - olasılık dağılımlarının özelliklerini ve parametrelerini tahmin etme sorunları.

Veya teknolojik süreçlerin doğruluğunun ve kararlılığının istatistiksel bir analizinde, kontrol edilen parametrenin ortalama değeri ve söz konusu süreçte yayılma derecesi gibi kalite göstergelerini değerlendirmek gerekir. Olasılık teorisine göre, matematiksel beklentisini rastgele bir değişkenin ortalama değeri olarak ve yayılımın istatistiksel bir özelliği olarak varyans, standart sapma veya varyasyon katsayısının kullanılması tavsiye edilir. Bu şu soruyu gündeme getiriyor: Bu istatistiksel özellikler örnek verilerden nasıl tahmin edilir ve bu hangi doğrulukla yapılabilir? Literatürde buna benzer pek çok örnek vardır. Hepsi, istatistiksel ürün kalite yönetimi alanında kararlar alırken, üretim yönetiminde olasılık teorisi ve matematiksel istatistiklerin nasıl kullanılabileceğini göstermektedir.

Spesifik uygulama alanlarında, hem olasılıksal-istatistiksel geniş uygulama yöntemleri hem de spesifik yöntemler kullanılmaktadır. Örneğin, ürün kalite yönetiminin istatistiksel yöntemlerine ayrılmış üretim yönetimi bölümünde, uygulamalı matematiksel istatistikler (deneylerin tasarımı dahil) kullanılır. Yöntemlerinin yardımıyla, teknolojik süreçlerin doğruluğu ve kararlılığının istatistiksel bir analizi ve kalitenin istatistiksel bir değerlendirmesi gerçekleştirilir. Spesifik yöntemler, ürün kalitesinin istatistiksel kabul kontrolünü, teknolojik süreçlerin istatistiksel düzenlemesini, güvenilirliğin değerlendirilmesini ve kontrolünü vb. içerir.

Özellikle üretim yönetiminde, ürün kalitesini optimize ederken ve standartlara uygunluğu sağlarken, ürün yaşam döngüsünün ilk aşamasında istatistiksel yöntemlerin uygulanması özellikle önemlidir, yani. deneysel tasarım geliştirmelerinin araştırma hazırlığı aşamasında (ürünler için umut verici gereksinimlerin geliştirilmesi, ön tasarım, deneysel tasarım geliştirme için referans şartları). Bunun nedeni, ürün yaşam döngüsünün ilk aşamasında mevcut olan sınırlı bilgi ve gelecek için teknik olasılıkları ve ekonomik durumu tahmin etme ihtiyacıdır.

En yaygın olasılıksal-istatistiksel yöntemler, regresyon analizi, faktör analizi, varyans analizi, risk değerlendirmesi için istatistiksel yöntemler, senaryo yöntemi vb.'dir. Sayısal olmayan nitelikteki istatistiksel verilerin analizine ayrılmış istatistiksel yöntemler alanı, giderek daha fazla önem kazanmaktadır. nitel ve heterojen özellikler üzerinde ölçüm sonuçları. Sayısal olmayan nitelikteki nesnelerin istatistiklerinin ana uygulamalarından biri, istatistiksel kararlar teorisi ve oylama sorunları ile ilgili uzman değerlendirmelerinin teorisi ve pratiğidir.

İstatistiksel kararlar teorisi yöntemlerini kullanarak problem çözmede bir kişinin rolü, problemi formüle etmektir, yani, gerçek problemi ilgili modele getirmek, istatistiksel verilere dayalı olayların olasılıklarını belirlemek ve ayrıca Ortaya çıkan optimal çözümü onaylayın.

İyi çalışmalarınızı bilgi tabanına gönderin basittir. Aşağıdaki formu kullanın

Öğrenciler, yüksek lisans öğrencileri, bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan genç bilim adamları size çok minnettar olacaktır.

Yayınlanan http://www.allbest.ru/

Yayınlanan http://www.allbest.ru/

Tanıtım

1. Ki-kare dağılımı

Çözüm

Ek

Tanıtım

Olasılık teorisinin yaklaşımları, fikirleri ve sonuçları hayatımızda nasıl kullanılıyor? matematiksel kare teorisi

Temel, gerçek bir fenomenin veya sürecin olasılıksal bir modelidir, yani. nesnel ilişkilerin olasılık teorisi cinsinden ifade edildiği matematiksel bir model. Olasılıklar, öncelikle karar verirken dikkate alınması gereken belirsizlikleri tanımlamak için kullanılır. Bu, hem istenmeyen fırsatları (riskler) hem de çekici olanları ("şanslı şans") ifade eder. Bazen rastgelelik, örneğin kura çekerken, kontrol için birimlerin rastgele seçimi, piyangolar veya tüketici anketleri yaparken duruma kasıtlı olarak dahil edilir.

Olasılık teorisi, araştırmacının ilgisini çeken diğer olasılıkları hesaplamaya izin verir.

Bir fenomenin veya sürecin olasılıksal bir modeli, matematiksel istatistiklerin temelidir. İki paralel kavram dizisi kullanılır - teori ile ilgili olanlar (olasılıklı bir model) ve uygulama ile ilgili olanlar (gözlemsel sonuçların bir örneği). Örneğin, teorik olasılık, örnekten bulunan frekansa karşılık gelir. Matematiksel beklenti (teorik seri), örnek aritmetik ortalamaya (pratik seri) karşılık gelir. Kural olarak, örnek özellikler teorik olanların tahminleridir. Aynı zamanda, "araştırmacıların kafasında olan" teorik dizilerle ilgili miktarlar, fikirler dünyasına atıfta bulunur (eski Yunan filozofu Platon'a göre), doğrudan ölçüm için mevcut değildir. Araştırmacılar, yalnızca teorik olasılıksal modelin ilgilerini çeken özelliklerini oluşturmaya çalıştıkları seçici verilere sahiptir.

Neden olasılıksal bir modele ihtiyacımız var? Gerçek şu ki, yalnızca onun yardımıyla, belirli bir örneğin analizinin sonuçlarıyla oluşturulan özelliklerin diğer örneklere ve ayrıca sözde genel popülasyonun tamamına aktarılması mümkündür. "Nüfus" terimi, incelenmekte olan birimlerin büyük ama sınırlı bir popülasyonunu belirtmek için kullanılır. Örneğin, Rusya'nın tüm sakinlerinin toplamı veya Moskova'daki tüm hazır kahve tüketicilerinin toplamı hakkında. Pazarlama veya sosyolojik araştırmaların amacı, yüzlerce veya binlerce kişiden oluşan bir örneklemden alınan ifadeleri, birkaç milyonluk genel nüfusa aktarmaktır. Kalite kontrolünde, bir ürün partisi genel bir popülasyon olarak hareket eder.

Bir örneklemden daha büyük bir popülasyona çıkarımları aktarmak için, örneklem özelliklerinin bu daha büyük popülasyonun özellikleri ile ilişkisi hakkında bazı varsayımlara ihtiyaç vardır. Bu varsayımlar uygun bir olasılık modeline dayanmaktadır.

Elbette, bir veya başka bir olasılık modeli kullanmadan örnek verileri işlemek mümkündür. Örneğin, örnek aritmetik ortalamasını hesaplayabilir, belirli koşulların yerine getirilme sıklığını vb. hesaplayabilirsiniz. Bununla birlikte, hesaplamaların sonuçları yalnızca belirli bir örnek için geçerli olacaktır; onların yardımıyla elde edilen sonuçların başka herhangi bir kümeye aktarılması yanlıştır. Bu aktiviteye bazen "veri analizi" denir. Olasılıksal-istatistiksel yöntemlerle karşılaştırıldığında, veri analizi sınırlı bilişsel değere sahiptir.

Bu nedenle, örneklem özellikleri yardımıyla hipotezlerin tahmin edilmesine ve test edilmesine dayalı olasılıksal modellerin kullanılması, olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinin özüdür.

1. Ki-kare dağılımı

Normal dağılım, şu anda istatistiksel veri işlemede yaygın olarak kullanılan üç dağılımı tanımlar. Bunlar Pearson ("ki - kare"), Student ve Fisher dağılımlarıdır.

Dağıtıma ("ki - kare") odaklanacağız. Bu dağılım ilk olarak 1876'da astronom F. Helmert tarafından incelenmiştir. Gauss hata teorisi ile bağlantılı olarak, n tane bağımsız standart normal dağılımlı rastgele değişkenin karelerinin toplamını inceledi. Daha sonra, Karl Pearson bu dağılım fonksiyonunu "ki-kare" olarak adlandırdı. Ve şimdi dağıtım onun adını taşıyor.

Normal dağılımla yakın ilişkisi nedeniyle h2 dağılımı, olasılık teorisi ve matematiksel istatistikte önemli bir rol oynar. h2 dağılımı ve h2 dağılımı tarafından tanımlanan diğer birçok dağılım (örneğin, Öğrenci dağılımı), normal dağılımlı gözlemlerden çeşitli fonksiyonların örnek dağılımlarını tanımlar ve güven aralıkları ve istatistiksel testler oluşturmak için kullanılır.

Pearson dağılımı (ki - kare) - X1, X2, ..., Xn'nin normal bağımsız rastgele değişkenler olduğu ve her birinin matematiksel beklentisinin sıfır olduğu ve standart sapmanın bir olduğu bir rastgele değişkenin dağılımı.

kareler toplamı

yasaya göre dağıtılır ("ki - kare").

Bu durumda, terim sayısı, yani. n, ki-kare dağılımının "serbestlik derecesi sayısı" olarak adlandırılır. Serbestlik derecesi sayısı arttıkça dağılım yavaş yavaş normale yaklaşır.

Bu dağılımın yoğunluğu

Bu nedenle, h2'nin dağılımı bir parametre n'ye bağlıdır - serbestlik derecesi sayısı.

h2 dağıtım fonksiyonu şu şekildedir:

h2?0 ise. (2.7.)

Şekil 1, farklı serbestlik dereceleri için olasılık yoğunluğunun ve χ2 dağılım fonksiyonunun bir grafiğini göstermektedir.

Şekil 1 Farklı sayıda serbestlik derecesi için h2 (ki - kare) dağılımındaki olasılık yoğunluğunun q (x) bağımlılığı

"Ki-kare" dağılımının anları:

Ki-kare dağılımı, varyans tahmininde (bir güven aralığı kullanarak), uyuşma, homojenlik, bağımsızlık hipotezlerini test etmede, öncelikle sınırlı sayıda değer alan nitel (kategorize edilmiş) değişkenler için ve diğer birçok istatistiksel veri görevinde kullanılır. analiz.

2. İstatistiksel veri analizi problemlerinde "ki-kare"

İstatistiksel veri analizi yöntemleri, insan faaliyetinin hemen hemen tüm alanlarında kullanılmaktadır. Bir grup (nesneler veya özneler) hakkında bazı içsel heterojenliğe sahip herhangi bir yargıyı elde etmek ve doğrulamak gerektiğinde kullanılırlar.

İstatistiksel yöntemlerin geliştirilmesinin modern aşaması, İngiliz K. Pearson'ın "Biometrika" dergisini kurduğu 1900'den itibaren sayılabilir. 20. yüzyılın ilk üçte biri parametrik istatistiklerin işareti altında geçti. Pearson ailesi eğrileri tarafından tanımlanan dağılımların parametrik ailelerinden elde edilen verilerin analizine dayalı yöntemler incelenmiştir. En popüler olanı normal dağılımdı. Hipotezleri test etmek için Pearson, Student ve Fisher kriterleri kullanıldı. Maksimum olabilirlik yöntemi, varyans analizi önerildi ve deneyi planlamak için ana fikirler formüle edildi.

Ki-kare dağılımı, istatistiksel hipotezleri test etmek için istatistikte en yaygın kullanılanlardan biridir. En güçlü uyum iyiliği testlerinden biri olan "ki-kare" dağılımına dayalı olarak Pearson'ın "ki-kare" testi oluşturulmuştur.

Uyum iyiliği testi, bilinmeyen dağılımın önerilen yasası hakkındaki hipotezi test etmek için bir kriterdir.

p2 ("ki-kare") testi, farklı dağılımların hipotezini test etmek için kullanılır. Bu onun liyakatidir.

Kriterin hesaplama formülü şuna eşittir:

burada m ve m" sırasıyla ampirik ve teorik frekanslardır.

incelenen dağıtım;

n, serbestlik derecesi sayısıdır.

Doğrulama için ampirik (gözlemlenen) ve teorik (normal dağılım varsayımı altında hesaplanan) frekansları karşılaştırmamız gerekir.

Ampirik frekanslar, hesaplanan veya beklenen frekanslarla tamamen örtüşüyorsa, S (E - T) = 0 ve ch2 kriteri de sıfıra eşit olacaktır. S (E - T) sıfıra eşit değilse, bu hesaplanan frekanslar ile serinin ampirik frekansları arasında bir uyumsuzluk olduğunu gösterecektir. Bu gibi durumlarda teorik olarak sıfırdan sonsuza kadar değişebilen p2 kriterinin önemini değerlendirmek gerekir. Bu, ch2f'nin fiilen elde edilen değeri ile kritik değeri (ch2st) (a) ve serbestlik derecesi sayısı (n) karşılaştırılarak yapılır.

Rastgele değişken h2'nin olası değerlerinin dağılımı sürekli ve asimetriktir. Serbestlik derecesi (n) sayısına bağlıdır ve gözlem sayısı arttıkça normal dağılıma yaklaşır. Bu nedenle, p2 kriterinin ayrık dağılımların tahminine uygulanması, özellikle küçük örnekler için değerini etkileyen bazı hatalarla ilişkilidir. Daha doğru tahminler elde etmek için varyasyon serisinde dağıtılan numunenin en az 50 seçeneği olmalıdır. p2 kriterinin doğru uygulanması ayrıca uç sınıflardaki varyantların frekanslarının 5'ten az olmamasını gerektirir; 5'ten az ise, komşu sınıfların frekansları ile birleştirilirler, böylece toplam miktar 5'e eşit veya daha büyük olur. Frekansların birleşimine göre, sınıf sayısı (N) da azalır. Serbestlik derecesi sayısı, değişkenlik özgürlüğü üzerindeki kısıtlamaların sayısı dikkate alınarak ikincil sınıf sayısına göre belirlenir.

p2 kriterini belirlemenin doğruluğu büyük ölçüde teorik frekansların (T) hesaplanmasının doğruluğuna bağlı olduğundan, ampirik ve hesaplanmış frekanslar arasındaki farkı elde etmek için yuvarlatılmamış teorik frekanslar kullanılmalıdır.

Örnek olarak, beşeri bilimlerde istatistiksel yöntemlerin uygulanmasına adanmış bir web sitesinde yayınlanan bir çalışmayı ele alalım.

Ki-kare testi, normal dağılmış olsun ya da olmasın, frekans dağılımlarının karşılaştırılmasını sağlar.

Sıklık, bir olayın meydana gelme sayısını ifade eder. Genellikle, bir olayın meydana gelme sıklığı, değişkenler isimler ölçeğinde ölçüldüğünde ve sıklık dışındaki diğer özelliklerin seçilmesi imkansız veya sorunlu olduğunda ele alınır. Başka bir deyişle, değişken niteliksel özelliklere sahip olduğunda. Ayrıca, birçok araştırmacı test puanlarını seviyelere (yüksek, orta, düşük) çevirme ve bu seviyelerdeki insan sayısını bulmak için puan dağılım tabloları oluşturma eğilimindedir. Düzeylerden birinde (kategorilerden birinde) insan sayısının gerçekten daha fazla (daha az) olduğunu kanıtlamak için Ki-kare katsayısı da kullanılır.

En basit örneğe bir göz atalım.

Genç ergenler arasında bir benlik saygısı testi yapıldı. Test puanları üç seviyeye çevrildi: yüksek, orta, düşük. Frekanslar şu şekilde dağıtıldı:

Yüksek (H) 27 kişi.

Orta (C) 12 kişi

Düşük (H) 11 kişi.

Benlik saygısı yüksek olan çocukların büyük çoğunluğunun bu durumun istatistiksel olarak kanıtlanması gerektiği açıktır. Bunu yapmak için Ki-kare testini kullanıyoruz.

Görevimiz, elde edilen ampirik verilerin teorik olarak eşit derecede olası olanlardan farklı olup olmadığını kontrol etmektir. Bunu yapmak için teorik frekansları bulmak gerekir. Bizim durumumuzda teorik frekanslar, tüm frekansların toplanması ve kategori sayısına bölünmesiyle bulunan eş olasılıklı frekanslardır.

Bizim durumumuzda:

(B + C + H) / 3 \u003d (27 + 12 + 11) / 3 \u003d 16.6

Ki-kare testinin hesaplanması için formül:

h2 \u003d? (E - T) I / T

Bir tablo oluşturuyoruz:

Son sütunun toplamını bulun:

Şimdi kritik değerler tablosuna göre kriterin kritik değerini bulmanız gerekiyor (Ekteki Tablo 1). Bunu yapmak için serbestlik derecesi (n) sayısına ihtiyacımız var.

n = (R - 1) * (C - 1)

burada R tablodaki satır sayısıdır, C sütun sayısıdır.

Bizim durumumuzda, yalnızca bir sütun (orijinal ampirik frekanslar anlamına gelir) ve üç satır (kategoriler) vardır, bu nedenle formül değişir - sütunları hariç tutarız.

n = (R - 1) = 3-1 = 2

Hata olasılığı p?0.05 ve n = 2 için kritik değer h2 = 5.99'dur.

Elde edilen ampirik değer kritik değerden büyüktür - frekans farkları önemlidir (n2= 9.64; p≤0.05).

Gördüğünüz gibi kriterin hesaplanması çok basit ve fazla zaman almıyor. Ki-kare testinin pratik değeri çok büyüktür. Bu yöntem, anketlere verilen yanıtların analizinde en değerli olanıdır.

Daha karmaşık bir örnek alalım.

Örneğin, bir psikolog, öğretmenlerin kızlardan çok erkeklere karşı daha önyargılı olduğunun doğru olup olmadığını bilmek ister. Onlar. kızları övmek daha olasıdır. Bunu yapmak için psikolog, öğretmenler tarafından yazılan öğrencilerin özelliklerini üç kelimenin oluşum sıklığına göre analiz etti: "aktif", "çalışkan", "disiplinli", kelimelerin eş anlamlıları da sayıldı.

Sözcüklerin ortaya çıkma sıklığına ilişkin veriler tabloya girildi:

Elde edilen verileri işlemek için ki-kare testi kullanıyoruz.

Bunu yapmak için, ampirik frekansların bir dağılım tablosu oluşturuyoruz, yani. gözlemlediğimiz frekanslar:

Teorik olarak, frekansların eşit olarak dağıtılmasını bekliyoruz, yani. sıklık kız ve erkek çocuklar arasında orantılı olarak dağıtılacaktır. Teorik frekansların bir tablosunu oluşturalım. Bunu yapmak için, satır toplamını sütun toplamı ile çarpın ve elde edilen sayıyı toplam toplam(lar)a bölün.

Hesaplamalar için ortaya çıkan tablo şöyle görünecektir:

h2 \u003d? (E - T) I / T

burada R, tablodaki satır sayısıdır.

Bizim durumumuzda ki-kare = 4.21; n = 2.

Kriterin kritik değerleri tablosuna göre şunları buluyoruz: n = 2 ve 0,05 hata seviyesi ile kritik değer h2 = 5,99.

Ortaya çıkan değer kritik değerden küçüktür, bu da sıfır hipotezinin kabul edildiği anlamına gelir.

Sonuç: Öğretmenler çocuğun özelliklerini yazarken cinsiyetine önem vermemektedir.

Çözüm

Neredeyse tüm uzmanlık alanlarından öğrenciler, yüksek matematik dersinin sonunda "olasılık teorisi ve matematiksel istatistik" bölümünü incelerler, gerçekte sadece pratik çalışma için açıkça yeterli olmayan bazı temel kavram ve sonuçlarla tanışırlar. Öğrenciler özel derslerde bazı matematiksel araştırma yöntemleriyle tanışırlar (örneğin, "Tahmin ve teknik ve ekonomik planlama", "Teknik ve ekonomik analiz", "Ürün kalite kontrolü", "Pazarlama", "Kontrol etme", "Matematiksel araştırma yöntemleri". tahmin ", "İstatistikler", vb. - ekonomik uzmanlık öğrencileri durumunda), ancak çoğu durumda sunum doğada çok kısaltılmış ve reçetedir. Sonuç olarak, uygulamalı istatistikçilerin bilgisi yetersizdir.

Bu nedenle, teknik üniversitelerde "Uygulamalı İstatistik" dersi ve ekonomik üniversitelerde - "Ekonometri" dersi, bildiğiniz gibi ekonometri, belirli ekonomik verilerin istatistiksel bir analizidir.

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik, uygulamalı istatistik ve ekonometri için temel bilgiler sağlar.

Pratik çalışma için uzmanlar için gereklidirler.

Sürekli olasılıklı bir model düşündüm ve kullanılabilirliğini örneklerle göstermeye çalıştım.

Ve çalışmamın sonunda, matematiksel ve statik veri analizinin temel prosedürlerinin yetkin bir şekilde uygulanmasının, hipotezlerin statik testinin, ki-kare modeli bilgisi ve kullanım yeteneği olmadan imkansız olduğu sonucuna vardım. onun masası.

bibliyografya

1. Orlov A.I. Uygulanmış istatistikler. M.: Yayınevi "Sınav", 2004.

2. Gmurman V.E. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. M.: Lise, 1999. - 479s.

3. Ayvozyan S.A. Olasılık Teorisi ve Uygulamalı İstatistik, v.1. M.: Birlik, 2001. - 656'lar.

4. Khamitov G.P., Vedernikova T.I. Olasılıklar ve istatistikler. Irkutsk: BSUEP, 2006 - 272p.

5. Ezhova L.N. Ekonometri. Irkutsk: BSUEP, 2002. - 314s.

6. Mosteller F. Çözümleri olan elli eğlenceli olasılıksal problem. M.: Nauka, 1975. - 111p.

7. Mosteller F. Olasılık. M.: Mir, 1969. - 428'ler.

8. Yaglom A.M. Olasılık ve bilgi. M.: Nauka, 1973. - 511'ler.

9. Chistyakov V.P. Olasılık kursu. M.: Nauka, 1982. - 256'lar.

10. Kremer N.Ş. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. M.: UNITI, 2000. - 543s.

11. Matematiksel ansiklopedi, v.1. M.: Sovyet Ansiklopedisi, 1976. - 655'ler.

12. http://psystat.at.ua/ - Psikoloji ve pedagojide istatistikler. Makale Ki-kare testi.

Ek

Kritik dağıtım noktaları p2

tablo 1

Allbest.ru'da barındırılıyor

Benzer Belgeler

Olasılık modeli ve aksiyomatik A.N. Kolmogorov. Rastgele değişkenler ve vektörler, olasılık teorisinin klasik limit problemi. İstatistiksel verilerin birincil işlenmesi. Sayısal özelliklerin nokta tahminleri. Hipotezlerin istatistiksel olarak test edilmesi.

eğitim kılavuzu, eklendi 03/02/2010


Yazışma departmanı için kontrol çalışmalarının yürütülmesi ve yürütülmesi için kurallar. Matematiksel istatistik ve olasılık teorisinde problem çözme görevleri ve örnekleri. Dağıtım referans veri tabloları, standart normal dağılım yoğunluğu.

eğitim kılavuzu, 29.11.2009 eklendi


Rastgele olayların resmileştirilmiş tanımı ve analizi için temel yöntemler, olasılık teorisinin fiziksel ve sayısal deneylerinin sonuçlarının işlenmesi ve analizi. Olasılık teorisinin temel kavramları ve aksiyomları. Matematiksel istatistiklerin temel kavramları.

dersler, eklendi 04/08/2011


Matematiksel istatistikte ölçüm sonuçlarının olasılık dağılım yasasının belirlenmesi. Ampirik dağılımın teorik olana uygunluğunun kontrol edilmesi. Ölçülen büyüklük değerinin bulunduğu güven aralığının belirlenmesi.

dönem ödevi, eklendi 02/11/2012


Rastgele değişken dizilerinin yakınsaması ve olasılık dağılımları. Karakteristik fonksiyonlar yöntemi. İstatistiksel hipotezleri test etme ve verilen bağımsız rastgele değişken dizileri için merkezi limit teoremini yerine getirme.

dönem ödevi, eklendi 11/13/2012


Doğal gözlemlerden elde edilen verilerin matematiksel istatistik yöntemiyle işlenmesinin ana aşamaları. Elde edilen sonuçların değerlendirilmesi, doğa koruma ve doğa yönetimi alanında yönetsel kararların alınmasında kullanılması. İstatistiksel hipotezlerin test edilmesi.

pratik çalışma, 24/05/2013 eklendi


Dağıtım yasasının özü ve istatistiksel problemlerin çözümü için pratik uygulaması. Rastgele bir değişkenin varyansının belirlenmesi, matematiksel beklenti ve standart sapma. Tek yönlü varyans analizinin özellikleri.

test, eklendi 12/07/2013


Olasılık ve genel tanımı. Olasılıkların toplama ve çarpma teoremleri. Kesikli rastgele değişkenler ve sayısal özellikleri. Büyük sayılar yasası. Numunenin istatistiksel dağılımı. Korelasyon ve regresyon analizinin unsurları.

ders dersi, eklendi 06/13/2015


Ders programı, olasılık teorisinin temel kavramları ve formülleri, gerekçeleri ve önemi. Matematiksel istatistiğin disiplin içindeki yeri ve rolü. Bu akademik disiplinlerin çeşitli konularında en yaygın görevleri çözmek için örnekler ve açıklamalar.

eğitim kılavuzu, 01/15/2010 eklendi


Olasılık teorisi ve matematiksel istatistikler, rastgele kütle olaylarının nicel analiz yöntemleriyle ilgili bilimlerdir. Rastgele bir değişkenin değer kümesine örnek, kümenin öğelerine rasgele değişkenin örnek değerleri denir.

3.5.1. Olasılıksal-istatistiksel araştırma yöntemi.

Çoğu durumda, sadece deterministik değil, aynı zamanda rastgele olasılıklı (istatistiksel) süreçleri de araştırmak gerekir. Bu süreçler olasılık teorisi temelinde değerlendirilir.

Rastgele değişken x'in toplamı, birincil matematiksel malzemedir. Bir koleksiyon, bir dizi homojen olay olarak anlaşılmaktadır. Bir kitle fenomeninin en çeşitli varyantlarını içeren kümeye genel popülasyon veya büyük bir örnek N. Genellikle genel popülasyonun sadece bir kısmı incelenir. örneklem popülasyonu veya küçük örneklem.

olasılık R(x) Etkinlikler X vaka sayısının oranı denir N(x), olayın meydana gelmesine neden olan X, olası vakaların toplam sayısına N:

P(x)=N(x)/N.

Olasılık teorisi Rastgele değişkenlerin teorik dağılımlarını ve özelliklerini dikkate alır.

matematik istatistikleri ampirik olayları işleme ve analiz etme yolları ile ilgilenir.

Bu iki ilgili bilim, bilimsel araştırmaların analizi için yaygın olarak kullanılan, toplu rastgele süreçlerin birleşik bir matematiksel teorisini oluşturur.

Çok sık, olasılık ve matematiksel istatistik yöntemleri, çeşitli bilim ve teknoloji dallarında yaygın olarak kullanılan güvenilirlik, hayatta kalma ve güvenlik teorisinde kullanılır.

3.5.2. İstatistiksel modelleme yöntemi veya istatistiksel testler (Monte Carlo yöntemi).

Bu yöntem, karmaşık problemleri çözmek için sayısal bir yöntemdir ve olasılıksal süreçleri simüle eden rasgele sayıların kullanımına dayanır. Bu yöntemle çözümün sonuçları, incelenen süreçlerin bağımlılıklarını ampirik olarak kurmayı mümkün kılar.

Monte Carlo yöntemini kullanarak problem çözme, yalnızca yüksek hızlı bilgisayarların kullanılmasıyla etkilidir. Monte Carlo yöntemini kullanarak problemleri çözmek için istatistiksel bir seriye sahip olmak, dağılım yasasını, matematiksel beklentinin ortalama değerini bilmek gerekir. t(x), standart sapma.

Bu yöntemi kullanarak, çözümün keyfi olarak verilen bir doğruluğu elde edilebilir, yani.

-> m(x)

3.5.3. Sistem analiz yöntemi.

Sistem analizi, karmaşık etkileşimli öğeler kümesi olan karmaşık sistemleri incelemek için bir dizi teknik ve yöntem olarak anlaşılır. Sistem öğelerinin etkileşimi, doğrudan ve geri besleme bağlantıları ile karakterize edilir.

Sistem analizinin özü, bu ilişkileri tanımlamak ve bir bütün olarak tüm sistemin davranışı üzerindeki etkilerini belirlemektir. En eksiksiz ve derin sistem analizi, optimizasyon ve kontrol amacıyla bilgileri algılayabilen, depolayabilen ve işleyebilen karmaşık dinamik sistemlerin bilimi olan sibernetik yöntemleri kullanılarak gerçekleştirilebilir.

Sistem analizi dört aşamadan oluşmaktadır.

İlk aşama, görevin belirlenmesinden oluşur: çalışmanın amacını, amaçlarını ve hedeflerini ve ayrıca nesneyi incelemek ve yönetmek için kriterleri belirlerler.

İkinci aşamada, incelenen sistemin sınırları belirlenir ve yapısı belirlenir. Hedefle ilgili tüm nesneler ve süreçler iki sınıfa ayrılır - incelenen sistem ve dış ortam. Ayırmak kapalı ve açık sistemler. Kapalı sistemleri incelerken, dış çevrenin davranışları üzerindeki etkisi ihmal edilir. Ardından, sistemin bileşenlerini - öğelerini ayırın, bunlar ile dış çevre arasındaki etkileşimi kurun.

Sistem analizinin üçüncü aşaması, incelenen sistemin matematiksel bir modelinin derlenmesidir. İlk olarak sistem parametrelendirilir, sistemin ana elemanları ve sistem üzerindeki elementer etkiler belirli parametreler kullanılarak açıklanır. Aynı zamanda, sürekli ve ayrık, deterministik ve olasılıksal süreçleri karakterize eden parametreler vardır. İşlemlerin özelliklerine bağlı olarak, bir veya daha fazla matematiksel aparat kullanılır.

Sistem analizinin üçüncü aşamasının bir sonucu olarak, sistemin resmi, örneğin algoritmik bir dilde açıklanan eksiksiz matematiksel modelleri oluşturulur.

Dördüncü aşamada, ortaya çıkan matematiksel model analiz edilir, süreçleri ve kontrol sistemlerini optimize etmek ve sonuçları formüle etmek için aşırı koşulları bulunur. Optimizasyon, bu durumda uç değerler (minimum, maksimum, minimaks) alan optimizasyon kriterine göre değerlendirilir.

Genellikle bir kriter seçilir ve diğerleri için eşik maksimum izin verilen değerler belirlenir. Bazen birincil parametrelerin bir fonksiyonu olan karışık kriterler kullanılır.

Seçilen optimizasyon kriterine dayanarak, optimizasyon kriterinin incelenen nesnenin (sürecin) modelinin parametrelerine bağımlılığı derlenir.

İncelenen modelleri optimize etmek için çeşitli matematiksel yöntemler vardır: doğrusal, doğrusal olmayan veya dinamik programlama yöntemleri; kuyruk teorisine dayalı olasılıksal-istatistiksel yöntemler; süreçlerin gelişimini rastgele durumlar olarak ele alan oyun teorisi.

Bilginin kendi kendini kontrol etmesi için sorular

Teorik araştırma metodolojisi.

Bilimsel araştırmanın teorik gelişim aşamasının ana bölümleri.

Model türleri ve çalışma nesnesinin modelleme türleri.

Analitik araştırma yöntemleri.

Deney kullanarak analitik araştırma yöntemleri.

Olasılıksal-analitik araştırma yöntemi.

Statik modelleme yöntemleri (Monte Carlo yöntemi).

Sistem analizi yöntemi.