A) beyaz gürültü .

tüm frekanslarda sabit bir güç spektral yoğunluğuna sahip durağan rastgele bir sürece beyaz gürültü denir.

Wiener-Khinchin teoremine göre beyaz gürültü korelasyon fonksiyonu:

noktası dışında her yerde sıfırdır.
. Beyaz gürültünün ortalama gücü (varyansı) sonsuz büyüklüktedir.

Beyaz gürültü delta ile ilişkili bir süreçtir. Böyle bir rastgele sinyalin anlık değerlerinin ilişkisizliği, zaman içinde sonsuz derecede yüksek bir değişim oranı anlamına gelir - aralık ne kadar küçük olursa olsun , bu süre boyunca sinyal önceden belirlenmiş herhangi bir değer kadar değişebilir.

Beyaz gürültü soyut bir matematiksel modeldir ve buna karşılık gelen fiziksel süreç elbette doğada mevcut değildir. Bununla birlikte, bu, rastgele sinyalden etkilenen devrenin bant genişliğinin gürültü spektrumunun etkin genişliğinden önemli ölçüde daha dar olduğu durumlarda, yeterince geniş bantlı gerçek rastgele süreçleri beyaz gürültü ile yaklaşık olarak değiştirmemizi engellemez.

B) Gauss (normal) dağılım .

Rastgele sinyaller teorisinde Gauss olasılık yoğunluğu temel öneme sahiptir.

(7.2)

Değişken ikame
verir:

(7.3)

Burada Ф olasılık integralidir

F(x) fonksiyonunun grafiği 0'dan 1'e değişen monoton bir eğri şeklindedir.

16..Dar bantlı rastgele süreç. Rayleigh dağılımı. Rayleigh-Rice yasası.

Güç spektral yoğunluğunun belirli bir frekans yakınında belirgin bir maksimuma sahip olduğu dar bantlı rastgele sinyallerin özelliklerini inceliyoruz. , sıfırdan farklı. Dar bantlı rastgele bir sürecin korelasyon fonksiyonunu tanımlayalım.

Tek taraflı güç spektrumu olan durağan bir rastgele süreç x(t) düşünün.
belirli bir frekansın yakınında yoğunlaşır >0. Wiener-Khinchin teoremine göre, bu sürecin korelasyon fonksiyonu

(7.4)

işlemin spektrumunu frekansın yakınından kaydırmak sıfır frekans civarında,
(7.5)

Olasılık yoğunluğunu (7.22) kullanarak ortalama alarak, zarfın ortalama değerini ve varyansını buluruz:

(7.23)

(7.24)

Tek boyutlu zarf olasılık yoğunluğuna sahip olarak, özellikle zarfın belirli bir seviyeyi aşma olasılığını bulmak için dar bantlı rastgele süreçler teorisindeki bir takım problemleri çözmek mümkündür.

Rayleigh yasasına göre dağıtılan rastgele değişkenler,

En basit görev, toplam salınımın zarfının tek boyutlu olasılık yoğunluğunu bulmaktır. yararlı sinyal olduğunu varsayarsak
, gürültü iken, X(t) toplam işleminin uygulanması için ifade yazıyoruz. Bu rastgele süreç dar bantlıdır, bu nedenle uygulanması yavaş değişen zarf U(t) ve başlangıç ​​aşaması cinsinden ifade edilebilir.
:

Sahip olduğumuz yeni değişkenlerde

(7.26)

Şimdi, tek boyutlu zarf olasılık yoğunluğunu elde etmek için, formül (7.26)'nın sağ tarafını açısal koordinat üzerine entegre etmeliyiz, bunun sonucunda şunu buluruz:

(7.27)

Bu formül Rice kanunu denilen bir kanunu ifade eder. unutmayın ne zaman
, yani deterministik bir sinyalin yokluğunda, Rice yasası Rayleigh yasası olur.

Bu ifadeyi (7.27) ile değiştirirsek,

(7.28)

Onlar. sonuçtaki sinyalin zarfı bu durumda yaklaşık olarak normal dağılımla dağılır ve matematiksel beklenti
. Pratikte öyle kabul ediliyor
elde edilen sinyalin zarfı normalleştirilir.

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı. 2010 .

Diğer sözlüklerde "Katmanlı Beyaz Gauss Gürültüsü"nün ne olduğunu görün:

katkılı beyaz gauss gürültüsü- Bilgi iletim kanalındaki parazit türü. Tek tip bir spektral yoğunluk, normal olarak dağıtılmış bir genlik değeri ve sinyali etkilemenin ek bir yolu ile karakterize edilir. En yaygın gürültü türü... Teknik Çevirmenin El Kitabı

Bu terimin başka anlamları vardır, bkz. Beyaz gürültü (anlamlar). Gürültü renkleri Beyaz gürültü Pembe gürültü Kırmızı gürültü Gri gürültü ... Wikipedia

Eklemeli beyaz Gauss gürültüsü (AWGN), bir bilgi iletim kanalında bir tür enterferans etkisidir. Tek tip bir spektral yoğunluk, normal olarak dağıtılmış bir genlik değeri ve ek bir etkileme yolu ile karakterize edilir ... ... Wikipedia

Olasılık yoğunluğu Yeşil hat ... Wikipedia

Normal dağılım Olasılık yoğunluğu Kırmızı çizgi standart normal dağılıma karşılık gelir Dağılım işlevi Bu grafikteki renkler yukarıdaki grafiğe karşılık gelir ... Wikipedia

Bu terimin başka anlamları vardır, bkz. Sinyal (anlam ayrımı). Optimal sinyal alımı, alınan sinyallerin işlenmesinin matematiksel istatistik yöntemleri temelinde gerçekleştirildiği bir radyo mühendisliği alanıdır ... Wikipedia

ABGSh- katkılı beyaz Gauss gürültüsü... Kısaltmalar ve kısaltmalar sözlüğü

9. Beyaz gürültü

9. Beyaz gürültü

• 9.1. Beyaz gürültünün tanımı.
• 9.2. Gauss beyaz gürültü.
• 9.3. Beyaz gürültünün fiziksel kaynakları.
• 9.4. Süreçlerin korelasyonu.

9.1. Beyaz gürültünün tanımı

• Pozitif bir sabite eşit bir güç spektral yoğunluk fonksiyonuna sahip, dar ve durağan rastgele bir sürece beyaz gürültü denir.
• Adı optikten gelir, beyaz renk, görünür aralıkta farklı frekanslardaki dalgaların karıştırılmasıyla elde edilir.
• Genellikle beyaz gürültü sürecinde matematiksel beklenti sıfırdır, m = 0.
• Beyaz gürültü dar anlamda durağan bir süreç olduğundan, otokorelasyon işlevi bir τ argümanına bağlıdır;
• KXX(τ) çifttir.

9.1. Beyaz gürültünün tanımı

• Spektral yoğunluk fonksiyonu KXX(ω), Fourier dönüşümü ile otokorelasyon fonksiyonundan elde edilir ve KXX(ω) fonksiyonu çift olduğundan, kosinüs dönüşümü kullanılabilir.
• KXX(ω) = c > 0 olsun. Sabit bir fonksiyonun ters Fourier dönüşümü (veya ters kosinüs dönüşümü), katsayısı c olan δ fonksiyonuna eşittir.

9.1. Beyaz gürültünün tanımı

• Bu nedenle, beyaz gürültü ilişkisiz bir süreçtir, X(t1) ve X(t2) rasgele değişkenleri, yani korelasyonları sıfırdır (diğer değişkenler doğrusal olarak bağımsızdır). Beyaz gürültü tanımında X(t0) rasgele değişkeninin dağılımı belirtilmemiştir, herhangi bir şey olabilir.
• Sinyal enerjisi integral ile orantılıdır
• Beyaz gürültünün olmadığı sonucu çıkar.

9.2. Gauss beyaz gürültü

• Durağan, ilişkisiz bir Gauss süreci düşünün.
• Sürecin matematiksel beklentisi a = 0 olsun, kök ortalama kare σ'ya eşittir. Ardından, sıfır matematiksel beklenti göz önünde bulundurularak

• Eğer σ sonsuza gidiyorsa, böyle bir Gauss süreci beyaz gürültüye eğilimlidir. Ancak gerçek bir uygulamada, kişi kendini ortalama kare σ'nın belirli bir değeriyle sınırlandırmalıdır. σ = 10 olarak ayarlıyoruz ve böyle bir sürecin spektral yoğunluğunu buluyoruz.

9.2. Gauss beyaz gürültü

• Gauss sürecinin KXX(τ) fonksiyonunun Fourier dönüşümü, dikdörtgen momentum R(σ2, ε, t) Fourier dönüşümünün sınırına (ε 0'a eğilim gösterdiğinden) geçilerek bulunabilir (bkz. 3.8. Örnekler). Fourier Dönüşümleri).

Sağ tarafta, ε 0 için beyaz gürültünün KXX(ω) spektral yoğunluk fonksiyonuna yönelen bir fonksiyon elde edilir.

9.2. Gauss beyaz gürültü

• σ = 10'da Gauss sürecinden elde edilen spektral yoğunluğun yaklaşıklık grafikleri
• ε = 1, 0,5, 0,1 için

9.2. Gauss beyaz gürültü

• Fonksiyon sabit olma eğilimindedir, ancak bu sabit sıfırdır. Bununla birlikte, sınırlı bir frekans aralığında, fonksiyon yaklaşık olarak sıfırdan farklı bir sabit olarak kabul edilebilir.
• Bu nedenle, durağan ilişkisiz bir Gauss süreci, beyaz gürültüye bir yaklaşım olarak düşünülebilir. Pratik görevlerde gerçekten kullanılır.

9.2. Gauss beyaz gürültü

• Gauss sürecinin ergodiklik özelliğini kullanarak, n=1000 ölçüm hacimli bir gerçekleştirme için otokorelasyon ve spektral yoğunluk fonksiyonlarını tahmin ediyoruz.
• a = 0, σ = 10'da ilişkisiz Gauss sürecinin uygulanmasının grafiği.

9.2. Gauss beyaz gürültü

• n=1000 , a = 0, σ = 10'da otokorelasyon fonksiyonu tahmin grafiği (istatistiksel otokorelasyon fonksiyonu).

9.2. Gauss beyaz gürültü

• Spektral yoğunluğun istatistiksel fonksiyonunun grafiği n=1000 , a = 0, σ = 10 (entegral dikdörtgenler yöntemiyle hesaplanmıştır, kırmızı yatay çizgi fonksiyonun ortalama değeridir)

9.2. Gauss beyaz gürültü

• Herhangi bir ilişkisiz durağan (dar anlamda yeterli) süreç, beyaz gürültüye bir yaklaşım olarak seçilebilir. Örneğin, iki eşit olası durum +1 ve -1 olan ayrık bir D(t) sürecini alabiliriz, t = 0, 1, 2, … anlarında süreç bu durumlardan birini alır. (Bir sorun: Bu tür iki niceliğin ortak dağılımının korelasyonunu hesaplarsak, sıfıra eşit olmadığı ortaya çıkar).
• Bir egzersiz. Ortak dağılım korelasyonunu, D(t) süreç özelliklerini (matematiksel beklenti, varyans, otokorelasyon fonksiyonu, spektral yoğunluk fonksiyonu) bulun.

9.3. Beyaz gürültünün fiziksel kaynakları

• Beyaz gürültü, δ işlevi gibi, yalnızca matematiksel bir soyutlama olarak var olur. Bu kavramların her ikisi de doğal fenomenlerden ortaya çıktı, soyut

Normal dağılım, olarak da adlandırılır Gauss dağılımı veya Gauss - Laplace- tek boyutlu durumda olasılık yoğunluk fonksiyonu tarafından verilen ve Gauss fonksiyonu ile çakışan olasılık dağılımı :

burada μ parametresi dağılımın ortalaması (ortalama), medyanı ve modudur ve σ parametresi dağılımın standart sapmasıdır (σ ² varyanstır).

Böylece, tek boyutlu normal dağılım, iki parametreli bir dağılım ailesidir. Çok değişkenli durum "Çok değişkenli normal dağılım" makalesinde açıklanmıştır.

standart normal dağılım ortalama μ = 0 ve standart sapma σ = 1 olan normal dağılıma denir.

Anlam

Belirli bir nicelik, her biri toplam toplama göre küçük bir katkı yapan, birbirine bağlı, rastgele, zayıf birçok niceliğin eklenmesinin bir sonucu olarak oluşursa, o zaman böyle bir miktarın merkezlenmiş ve normalleştirilmiş dağılımı, normal dağılım.

Özellikleri

anlar

Eğer rastgele değişkenler X 1 (\displaystyle X_(1)) ve X 2 (\displaystyle X_(2)) bağımsızdır ve matematiksel beklentilerle normal bir dağılıma sahiptir. μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) ve μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) ve dağılımlar σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) ve σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) sırasıyla X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) ayrıca beklenen değere sahip normal bir dağılıma sahiptir μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) ve dağılım σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Bu, normal bir rastgele değişkenin, rastgele sayıda bağımsız normal rastgele değişkenin toplamı olarak temsil edilebileceği anlamına gelir.

maksimum entropi

Normal dağılım, varyansı belirli bir değeri aşmayan tüm sürekli dağılımlar arasında maksimum diferansiyel entropiye sahiptir.

üç sigma kuralı

üç sigma kuralı (3 σ (\displaystyle 3\sigma )) - hemen hemen tüm değerler normal dağılım aralıkta rastgele değişken yalan (x ¯ − 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \sağ)). Daha kesin olarak - yaklaşık olarak 0,9973 değerinde bir olasılıkla normal dağılım Rastgele değişken belirtilen aralıkta yer alır (değerin x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) true ve numunenin işlenmesi sonucunda elde edilmedi).

Normal Sözde Rastgele Değişkenleri Modelleme

En basit yaklaşık modelleme yöntemleri, merkezi limit teoremine dayanmaktadır. Yani, sonlu bir varyans ile birkaç bağımsız aynı dağılmış miktar eklersek, toplam dağıtılacaktır. aşağı yukarı iyi. Örneğin, 100 bağımsız standart eklerseniz eşit olarak dağıtılmış rastgele değişkenler, daha sonra toplamın dağılımı yaklaşık olarak olacaktır normal.

Normal olarak dağıtılmış sözde rasgele değişkenlerin programlı üretimi için Box-Muller dönüşümünün kullanılması tercih edilir. Tekdüze dağıtılmış bir değere dayalı olarak normal olarak dağıtılmış bir değer oluşturmanıza olanak tanır.

Diğer dağıtımlarla ilişki

• Normal dağılım, bir tip XI Pearson dağılımıdır.
• Bir çift bağımsız standart normal dağılımlı rastgele değişkenin oranı bir Cauchy dağılımına sahiptir. Yani, eğer rastgele değişken X (\görüntüleme stili X) ilişkiyi temsil eder X = Y / Z (\görüntüleme stili X=Y/Z)(nerede Y (\görüntüleme stili Y) ve Z (\görüntüleme stili Z) bağımsız standart normal rastgele değişkenler), o zaman bir Cauchy dağılımına sahip olacaktır.
• Eğer bir z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k)) müşterek bağımsız standart normal rastgele değişkenlerdir, yani z ben ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\sol(0,1\sağ)), sonra rastgele değişken x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) k serbestlik dereceli ki-kare dağılımına sahiptir.
• Eğer rastgele değişken X (\görüntüleme stili X) lognormal dağılıma tabi ise, doğal logaritması normal dağılıma sahiptir. yani, eğer X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), o zamanlar Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right) )). Ve tam tersi, eğer Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), o zamanlar X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \Sağ)).
• İki standart normal rastgele değişkenin karelerinin oranı, serbestlik dereceli bir Fisher dağılımına sahiptir. (1 , 1) (\displaystyle \sol(1,1\sağ)).

Öykü

İlk kez, iki terimli dağılımın sınırı olarak normal dağılım, p = 1 2 (\displaystyle p=(\tfrac (1)(2))) 1738'de eserin ikinci baskısında ortaya çıktı

Bir Gauss süreci göz önüne alındığında, onu ortalama fonksiyonun ve sıfır ortalamalı bazı gürültü süreçlerinin toplamı olarak temsil etmek genellikle uygundur. Böylece,

sıfır ortalamalı Gauss süreci nerede:

En ilginç uygulamalı problemlerde, örneğin, atış gürültüsü [eşitlik] durumunda, ortalama fonksiyon bilinen (rastgele değil) bir sinyaldir, ancak dar anlamda durağan bir Gauss gürültü sürecidir. Ayrıca kovaryans fonksiyonu korelasyon fonksiyonuna eşit olduğundan [bkz. formül ]:

Böylece, fonksiyonun Fourier dönüşümü, yani güç spektral yoğunluğu, süreci sıfır ortalama ile tamamen tanımlar.

İletişim teorisinin birçok uygulamasında, yararlı sinyalin üzerine bindirilen Gauss gürültüsünün güç spektral yoğunluğunun, sinyalin kendisinde temel olan frekanslardan çok daha yüksek frekanslara kadar pratik olarak sabit kaldığı fiziksel gürültü kaynaklarıyla uğraşmak gerekir. Bu gibi durumlarda, (3.115) ve (3.116) eşitliklerinden, sinyal ve gürültünün toplamının filtreden, sinyalden geçirilerek gürültü girişiminin rms değerinin (faydalı sinyal üzerinde istenmeyen bir etki olmaksızın) azaltılabileceği sonucu çıkar. filtreyi önemli bir değişiklik olmadan terk eder ve gürültü büyük ölçüde bastırılır (Şekil 3.27). Filtrenin çıkışındaki gürültünün sadece güç spektral yoğunluğu ile ilgilendiğimiz için, filtrenin geçiş bandı dışında sıfıra yaklaştığı bölgede girişteki gürültünün spektrumunun ne olduğu çok az önemli görünmektedir. Buna uygun olarak, genellikle giriş gürültü spektrumunun tüm frekanslarda sabit olduğu varsayılır ve sıfır ortalamalı durağan bir Gauss süreci olarak tanımlanan beyaz Gauss gürültüsü kavramı tanıtılır.

İncir. 3.27. Bir dar bant filtrenin Ginput'larında Geniş Bant Gauss gürültüsü. Filtrenin çıkışında, beyaz gürültü girilmiş gibi tam olarak aynı işlem görünür.

ve güç spektral yoğunluğu ile

Gerçekte, beyaz gürültü yalnızca hayali olabilir, çünkü toplam ortalama gücü şuna eşit olmalıdır:

bu anlamsız. Beyaz gürültü kavramının kullanışlılığı, böyle bir gürültünün lineer bir filtreden geçirildiğinde, bunun için

filtre çıktısını sıfır ortalamalı durağan bir Gauss işlemine dönüştürür, bu hiçbir şekilde anlamsız değildir. (3.114) ve (3.132) eşitliklerinden elde ederiz

bunu nereden takip ediyor

Bu miktar varsayım (3.1336) ile sonludur. (3.120) ve (3.134a) eşitliklerine göre, çıktı işleminin korelasyon fonksiyonu

Eşitliğin bir başka türevi (3.125), doğrudan beyaz gürültünün korelasyon fonksiyonu ifadesinden elde edilir. dikkat, ki

Böylece eşitlik (3.111) uyarınca işlem korelasyon fonksiyonuna verilir.

Bu, fiziksel bir anlamı olmamasına rağmen, hesaplamalarda da yararlıdır. Eşitlikten (3.1366), gözlem anları birbirine ne kadar yakın seçilirse seçilsin, beyaz Gauss gürültüsünün herhangi iki örnek değerinin istatistiksel olarak bağımsız olduğu sonucu çıkar. Bir anlamda, beyaz Gauss gürültüsü nihai "rastgeleliği" tanımlar. (3.1366) ifadesini (3.110a) ile bağıntısında yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

İncir. 3.28. Beyaz gürültüyü ideal bir alçak geçiren filtreden geçirmek.

Fonksiyonları ters Fourier dönüşümü olarak temsil ederek ve entegrasyon sırasını değiştirerek tekrar eşitliğe (3.135) ulaşırız. Eşitliklerin (3.137) sağ tarafındaki integral genellikle (deterministik) fonksiyonun "korelasyon fonksiyonu" olarak adlandırılır.

Bu sonuçların uygulanmasına bir örnek olarak, Şekil 2'de gösterilen ideal alçak geçiren filtreyi düşünün. 3.28, transfer fonksiyonu şu şekilde verilir:

Bu filtrenin girişine beyaz Gauss gürültüsü beslenirse, çıktıdaki işlem ortalamalarının işlevi eşitlik ile belirlenir.