Örnekleri kullanarak iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini nasıl yazacağınızı düşünün.

örnek 1

A(-3; 9) ve B(2;-1) noktalarından geçen bir doğrunun denklemini yazın.

1 yol - eğimli düz bir çizginin denklemini oluşturacağız.

Eğimli düz bir çizginin denklemi forma sahiptir. A ve B noktalarının koordinatlarını düz bir çizginin denklemine koyarak (x= -3 ve y=9 - ilk durumda, x=2 ve y= -1 - ikinci durumda), bir denklem sistemi elde ederiz , k ve b değerlerini bulduğumuz:

1. ve 2. denklemleri terim terim ekleyerek şunu elde ederiz: -10=5k, buradan k= -2 olur. İkinci denklemde k= -2'yi yerine koyarsak b: -1=2 (-2)+b, b=3 buluruz.

Böylece, y= -2x+3 istenen denklemdir.

2 yol - düz bir çizginin genel denklemini oluşturacağız.

Düz bir çizginin genel denklemi şu şekildedir. A ve B noktalarının koordinatlarını denklemde değiştirerek sistemi elde ederiz:

Bilinmeyen sayısı denklem sayısından fazla olduğu için sistem çözülemez. Ancak tüm değişkenleri tek bir şekilde ifade etmek mümkündür. Örneğin, aracılığıyla b.

Sistemin ilk denklemini -1 ile çarpmak ve ikinciye terim terim eklemek:

şunu elde ederiz: 5a-10b=0. Dolayısıyla a=2b.

Alınan ifadeyi ikinci denklemde yerine koyalım: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c=-3b.
a=2b, c= -3b'yi ax+by+c=0 denkleminde değiştirin:

2bx+by-3b=0. Her iki parçayı da b'ye bölmek kalır:

Düz bir çizginin genel denklemi, kolayca eğimli bir düz çizginin denklemine indirgenebilir:

3 yol - 2 noktadan geçen düz bir çizginin denklemini oluşturacağız.

İki noktadan geçen bir doğrunun denklemi:

Bu denklemde A(-3; 9) ve B(2;-1) noktalarının koordinatlarını yerine koyun.

(yani x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

ve basitleştirin:

nereden 2x+y-3=0.

Okul kursunda, en çok eğim katsayısına sahip düz bir çizginin denklemi kullanılır. Ancak en kolay yol, iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemi için formülü türetmek ve kullanmaktır.

Yorum.

Verilen noktaların koordinatlarını değiştirirken, denklemin paydalarından biri

sıfıra eşit olduğu ortaya çıkar, ardından karşılık gelen payın sıfıra eşitlenmesiyle istenen denklem elde edilir.

Örnek 2

C(5; -2) ve D(7; -2) noktalarından geçen bir doğrunun denklemini yazın.

2 noktadan geçen bir doğrunun denkleminde C ve D noktalarının koordinatlarını yerine koyun.

Doğrunun M 1 (x 1; y 1) ve M 2 (x 2; y 2) noktalarından geçmesine izin verin. M 1 noktasından geçen düz bir çizginin denklemi y- y 1 \u003d şeklindedir. k (x - x 1), (10.6)

nerede k - hala bilinmeyen katsayı.

Düz çizgi M 2 (x 2 y 2) noktasından geçtiğinden, bu noktanın koordinatları denklem (10.6)'yı sağlamalıdır: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Buradan bulunan değeri yerine koymayı buluyoruz. k (10.6) denkleminde, M 1 ve M 2 noktalarından geçen düz bir çizginin denklemini elde ederiz:

Bu denklemde x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 olduğu varsayılır.

x 1 \u003d x 2 ise, M 1 (x 1, y I) ve M 2 (x 2, y 2) noktalarından geçen düz çizgi y eksenine paraleldir. onun denklemi x = x 1 .

y 2 \u003d y I ise, düz çizginin denklemi y \u003d y 1 olarak yazılabilir, düz çizgi M 1 M2 x eksenine paraleldir.

Segmentlerde düz bir çizginin denklemi

Düz çizginin Ox eksenini M 1 (a; 0) noktasında ve Oy eksenini M 2 (0; b) noktasında kesmesine izin verin. Denklem şu şekli alacaktır:
onlar.
. Bu denklem denir segmentlerde düz bir çizginin denklemi, çünkü a ve b sayıları, düz çizginin koordinat eksenlerinde hangi bölümleri kestiğini gösterir..

Belirli bir noktadan belirli bir vektöre dik geçen düz bir çizginin denklemi

Verilen bir Mo (x O; y o) noktasından, verilen sıfır olmayan bir n = (A; B) vektörüne dik geçen düz bir doğrunun denklemini bulalım.

Düz çizgi üzerinde rastgele bir M(x; y) noktası alın ve M 0 M (x - x 0; y - y o) vektörünü göz önünde bulundurun (bkz. Şekil 1). n ve M o M vektörleri dik olduğundan, bunların skaler çarpımı sıfıra eşittir: yani,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Denklem (10.8) denir belirli bir noktadan belirli bir vektöre dik geçen düz bir çizginin denklemi .

Doğruya dik olan n = (A; B) vektörüne normal denir bu çizginin normal vektörü .

Denklem (10.8) şu şekilde yeniden yazılabilir: Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

A ve B normal vektörün koordinatlarıdır, C \u003d -Ax o - Vu o - ücretsiz üye. Denklem (10.9) düz bir çizginin genel denklemidir(bkz. Şekil 2).

Şekil.1 Şekil.2

Doğrunun kanonik denklemleri

,

Neresi
çizginin geçtiği noktanın koordinatlarıdır ve
- yön vektörü.

İkinci dereceden Çemberin eğrileri

Daire, bir düzlemde, merkez olarak adlandırılan belirli bir noktadan eşit uzaklıkta olan tüm noktaların kümesidir.

Yarıçaplı bir dairenin kanonik denklemi R bir noktaya odaklanmış
:

Özellikle, bahsin merkezi orijine denk geliyorsa, denklem şöyle görünecektir:

Elips

Bir elips, bir düzlemdeki noktaların her birinden verilen iki noktaya olan uzaklıklarının toplamıdır. ve odak olarak adlandırılan , sabit bir değerdir
, odaklar arasındaki mesafeden daha büyük
.

Odakları Öküz ekseni üzerinde bulunan ve orijini odakları arasında ortada olan bir elipsin kanonik denklemi şu şekildedir:
G de a ana yarım eksenin uzunluğu; b minör yarım eksenin uzunluğudur (Şekil 2).

elips parametreleri arasındaki ilişki
ve oran ile ifade edilir:

(4)

Elips eksantrikliğiinterfokal mesafe oranı denir2sana eksene2a:

müdireler elips, bu eksenden uzakta olan y eksenine paralel düz çizgiler olarak adlandırılır. Directrix denklemleri:
.

elips denkleminde ise
, o zaman elipsin odakları y ekseni üzerindedir.

Böyle,

Bu makale, bir düzlem üzerinde bulunan dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denkleminin türetilmesini ortaya koymaktadır. Dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemini elde ederiz. İşlenen malzeme ile ilgili birkaç örneği görsel olarak gösterip çözeceğiz.

Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini elde etmeden önce bazı gerçeklere dikkat etmek gerekir. Bir düzlemde çakışmayan iki noktadan geçerek sadece bir tane düz bir çizgi çizmenin mümkün olduğunu söyleyen bir aksiyom vardır. Başka bir deyişle, düzlemin verilen iki noktası, bu noktalardan geçen bir doğru tarafından belirlenir.

Düzlem, dikdörtgen koordinat sistemi Oxy tarafından verilirse, içinde gösterilen herhangi bir düz çizgi, düzlemdeki düz çizginin denklemine karşılık gelecektir. Doğrunun yönlendirici vektörü ile de bir bağlantısı vardır.Bu veriler verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini oluşturmak için yeterlidir.

Benzer bir problemi çözmenin bir örneğini düşünün. Kartezyen koordinat sisteminde yer alan M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) uyumsuz iki noktasından geçen düz bir çizginin denklemini oluşturmak gerekir.

Bir düzlemdeki düz bir çizginin kanonik denkleminde, x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , M koordinatlarına sahip bir noktada onunla kesişen düz bir çizgi ile dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y belirtilir. 1 (x 1, y 1) bir kılavuz vektörü ile a → = (a x , a y) .

M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) koordinatlarına sahip iki noktadan geçecek olan a düz çizgisinin kanonik denklemini oluşturmak gerekir.

Düz a çizgisi, M 1 ve M 2 noktalarını kestiği için (x 2 - x 1, y 2 - y 1) koordinatlarıyla M 1 M 2 → bir yönlendirme vektörüne sahiptir. Kanonik denklemi M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) yön vektörünün koordinatları ve üzerinde bulunan M 1 noktalarının koordinatları ile dönüştürmek için gerekli verileri elde ettik. (x 1, y 1) ve M2 (x 2 , y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 veya x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 biçiminde bir denklem elde ederiz.

Aşağıdaki şekli düşünün.

Hesaplamaların ardından, M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) koordinatlarına sahip iki noktadan geçen bir düzlemde bir doğrunun parametrik denklemlerini yazıyoruz. x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ veya x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ biçiminde bir denklem elde ederiz y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Birkaç örneğe daha yakından bakalım.

örnek 1

M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 koordinatları verilen 2 noktadan geçen bir doğrunun denklemini yazın .

Karar

x 1 , y 1 ve x 2 , y 2 koordinatlarına sahip iki noktada kesişen bir düz çizginin kanonik denklemi x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 şeklini alır . Sorunun durumuna göre, x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6'ya sahibiz. x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 denklemindeki sayısal değerleri değiştirmek gerekir. Buradan kanonik denklemin x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 şeklini alacağını anlıyoruz.

Cevap: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Farklı türde bir denklemle bir sorunu çözmek gerekirse, başlangıç ​​için kanonik olana gidebilirsiniz, çünkü ondan diğerine gelmek daha kolaydır.

Örnek 2

O x y koordinat sisteminde M 1 (1, 1) ve M 2 (4, 2) koordinatlarına sahip noktalardan geçen bir doğrunun genel denklemini oluşturunuz.

Karar

Önce, verilen iki noktadan geçen belirli bir doğrunun kurallı denklemini yazmanız gerekir. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 biçiminde bir denklem elde ederiz.

Kanonik denklemi istenen forma getiriyoruz, sonra şunu elde ediyoruz:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Cevap: x - 3 y + 2 = 0 .

Bu tür görevlerin örnekleri okul ders kitaplarında cebir derslerinde ele alındı. Okul görevleri, y \u003d k x + b biçiminde, eğim katsayısına sahip düz bir çizginin denkleminin bilinmesi bakımından farklılık gösteriyordu. k eğiminin değerini ve y \u003d k x + b denkleminin O x y sisteminde M 1 (x 1, y 1) ve M noktalarından geçen bir çizgiyi tanımladığı b sayısını bulmanız gerekiyorsa 2 (x 2, y 2) , burada x 1 ≠ x 2 . x 1 = x 2 olduğunda , sonra eğim sonsuz değerini alır ve düz çizgi M 1 M 2, x - x 1 = 0 biçimindeki genel eksik bir denklemle tanımlanır. .

çünkü noktalar 1 ve M2 düz bir çizgi üzerindeyse, koordinatları y 1 = k x 1 + b ve y 2 = k x 2 + b denklemini sağlar. k ve b'ye göre y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b denklem sistemini çözmek gerekir.

Bunu yapmak için k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 veya k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x'i buluruz 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Bu tür k ve b değerleriyle, verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemi aşağıdaki formu alır y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 veya y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Bu kadar çok sayıda formülü aynı anda ezberlemek işe yaramaz. Bunun için problem çözmede tekrar sayısını artırmak gerekir.

Örnek 3

M 2 (2, 1) ve y = k x + b koordinatlarına sahip noktalardan geçen eğimli bir doğrunun denklemini yazın.

Karar

Sorunu çözmek için, y \u003d k x + b formuna sahip eğimli bir formül kullanıyoruz. k ve b katsayıları öyle bir değer almalıdır ki, bu denklem M 1 ( - 7 , - 5) ve M 2 (2 , 1) koordinatlarına sahip iki noktadan geçen düz bir çizgiye karşılık gelir.

puan 1 ve M2 düz bir çizgi üzerinde bulunursa, koordinatları y = k x + b denklemini doğru eşitlikle tersine çevirmelidir. Buradan - 5 = k · (- 7) + b ve 1 = k · 2 + b elde ederiz. Denklemi - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b sisteminde birleştirelim ve çözelim.

Değiştirme üzerine, bunu elde ederiz

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Şimdi k = 2 3 ve b = - 1 3 değerleri y = k x + b denkleminde değiştirilir. Verilen noktalardan geçen istenen denklemin y = 2 3 x - 1 3 şeklinde bir denklem olacağını elde ederiz.

Bu çözüm yolu, büyük miktarda zaman harcanmasını önceden belirler. Görevin tam anlamıyla iki adımda çözüldüğü bir yol var.

x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 biçimindeki M 2 (2, 1) ve M 1 (- 7, - 5) 'den geçen düz bir çizginin kanonik denklemini yazıyoruz. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Şimdi eğim denklemine geçelim. Şunu elde ederiz: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Cevap: y = 2 3 x - 1 3 .

Üç boyutlu uzayda, M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) koordinatlarına sahip çakışık olmayan iki noktaya sahip O x y z dikdörtgen koordinat sistemi varsa, düz çizgi M içlerinden geçen 1 M 2 , bu doğrunun denklemini elde etmek gerekir.

Elimizde x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z biçiminde kanonik denklemler ve x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + biçiminde parametrik denklemler var. a z λ, O x y z koordinat sisteminde (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip noktalardan geçen bir yönlendirme vektörü a → = (a x, a y, a z) ile bir çizgi ayarlayabilir.

Düz M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) biçiminde bir yön vektörüne sahiptir, burada çizgi M 1 (x 1 , y 1 , z noktasından geçer) 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2), dolayısıyla kurallı denklem x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z biçiminde olabilir 2 - z 1 veya x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, sırayla, parametrik x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ veya x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Uzayda verilen 2 noktayı ve bir doğrunun denklemini gösteren bir şekil düşünün.

Örnek 4

Verilen iki noktadan geçen, M 1 (2, - 3, 0) ve M 2 (1, - 3, - 5) koordinatlarına sahip üç boyutlu uzayın O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan düz bir çizginin denklemini yazın. ) .

Karar

Kanonik denklemi bulmamız gerekiyor. Üç boyutlu uzaydan bahsettiğimiz için, verilen noktalardan geçen düz bir çizgide, istenen kurallı denklemin x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = şeklini alacağı anlamına gelir. z - z 1 z 2 - z 1.

Koşul olarak, x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5'e sahibiz. Gerekli denklemler aşağıdaki gibi yazılabilir:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Cevap: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

iki puan verilsin M1 (x 1, y 1) ve M2 (x 2, y 2). Düz bir çizginin denklemini (5) biçiminde yazıyoruz, burada k henüz bilinmeyen katsayı:

noktadan beri M2 belirli bir doğruya aitse, koordinatları (5) numaralı denklemi sağlar: . Buradan ifade ederek ve (5) numaralı denklemde yerine koyarak, istenen denklemi elde ederiz:

Eğer bir Bu denklem, hatırlanması daha kolay bir biçimde yeniden yazılabilir:

(6)

Misal. M 1 (1.2) ve M 2 (-2.3) noktalarından geçen bir doğrunun denklemini yazın

Karar. . Orantı özelliğini kullanarak ve gerekli dönüşümleri gerçekleştirerek, düz bir çizginin genel denklemini elde ederiz:

İki çizgi arasındaki açı

İki satır düşünün 1 ve ben 2:

1: , , ve

ben 2: , ,

φ aralarındaki açıdır (). Şekil 4 şunları gösterir: .

Buradan , veya

Formül (7) kullanılarak, çizgiler arasındaki açılardan biri belirlenebilir. İkinci açı ise .

Misal. y=2x+3 ve y=-3x+2 denklemleriyle iki düz çizgi verilmiştir. bu çizgiler arasındaki açıyı bulunuz.

Karar. K 1 \u003d 2 ve k 2 \u003d-3 denklemlerinden görülebilir. bu değerleri formül (7) ile değiştirerek buluruz

. Yani bu çizgiler arasındaki açı .

İki doğrunun paralellik ve dikliği için koşullar

düz ise 1 ve ben 2 paraleldir, o zaman φ=0 ve tgφ=0. formül (7)'den bunu takip eder, nereden k 2 \u003d k 1. Böylece, iki doğrunun paralelliğinin koşulu, eğimlerinin eşitliğidir.

düz ise 1 ve ben 2 dikey, o zaman φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Böylece, iki doğrunun dik olması için koşul, eğimlerinin büyüklük olarak karşılıklı ve işaret olarak zıt olmasıdır.

Noktadan çizgiye uzaklık

Teorem. Bir M(x 0, y 0) noktası verilirse, Ax + Vy + C \u003d 0 çizgisine olan mesafe şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. M noktasından verilen doğruya bırakılan dikmenin tabanı M 1 (x 1, y 1) olsun. Sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:

x 1 ve y 1 koordinatları denklem sistemine bir çözüm olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, verilen bir doğruya dik olarak verilen bir M 0 noktasından geçen bir doğrunun denklemidir.

Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ile + C = 0,

sonra çözerek şunları elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1) ile değiştirerek şunu buluruz:

Teorem kanıtlanmıştır.

Misal.Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.

Misal. 3x - 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y - 3 = 0 doğrularının dik olduğunu gösterin.

Bulduğumuz: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, bu nedenle çizgiler dik.

Misal. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C noktasından çizilen yükseklik için denklemi bulun.

AB tarafının denklemini buluyoruz: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

İstenen yükseklik denklemi: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b.

k=. O zaman y = . Çünkü yükseklik C noktasından geçer, sonra koordinatları şu denklemi sağlar: nereden b \u003d 17. Toplam: .

Cevap: 3x + 2y - 34 = 0.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, noktadan çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu ile belirlenir.

Çizgi izdüşüm düzlemine paralel ise (h | | P 1), daha sonra noktadan uzaklığı belirlemek için ANCAK düz h noktadan bir dik düşmek gerekir ANCAK yataya h.

Çizgi genel bir konum işgal ettiğinde, daha karmaşık bir örneği ele alalım. Noktadan uzaklığı belirlemek gerekli olsun M düz a genel konum.

Tanım görevi paralel çizgiler arasındaki mesafeleröncekine benzer şekilde çözüldü. Bir doğru üzerinde bir nokta alınır ve ondan başka bir doğruya bir dik çizilir. Dikin uzunluğu paralel çizgiler arasındaki mesafeye eşittir.

İkinci dereceden eğri geçerli Kartezyen koordinatlarına göre ikinci dereceden bir denklemle tanımlanan bir çizgidir. Genel durumda, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

burada A, B, C, D, E, F reel sayılardır ve A 2 + B 2 + C 2 ≠0 sayılarından en az biri.

Daire

daire merkezi- bu, C (a, b) düzleminin noktasından eşit uzaklıktaki düzlemdeki noktaların geometrik yeridir.

Çember aşağıdaki denklemle verilir:

x, y daire üzerinde rastgele bir noktanın koordinatları olduğunda, R dairenin yarıçapıdır.

Daire denkleminin işareti

1. x, y ile terim yoktur

2. x 2 ve y 2'deki katsayılar eşittir

Elips

Elips bir düzlemdeki noktaların geometrik yerine, her birinin bu düzlemin belirli iki noktasından olan uzaklıklarının toplamına odak (sabit bir değer) denir.

Bir elipsin kanonik denklemi:

X ve y bir elipse aittir.

a, elipsin ana yarı eksenidir

b, elipsin küçük yarı eksenidir

Elipsin 2 ekseni OX ve OY simetrisi vardır. Elipsin simetri eksenleri eksenleridir, kesişme noktası elipsin merkezidir. Odakların bulunduğu eksene denir. odak ekseni. Elipsin eksenlerle kesişme noktası elipsin tepe noktasıdır.

Sıkıştırma (germe) oranı: ε = c/a- eksantriklik (elipsin şeklini karakterize eder), ne kadar küçükse, elips odak ekseni boyunca o kadar az uzatılır.

Elipsin merkezleri merkezde değilse С(α, β)

Hiperbol

abartma bir düzlemdeki noktaların geometrik yeri olarak adlandırılan, her biri bu düzlemin odak adı verilen iki noktasından gelen uzaklık farkının mutlak değeri, sıfırdan farklı bir sabit değerdir.

Bir hiperbolün kanonik denklemi

Bir hiperbolün 2 simetri ekseni vardır:

a - simetrinin gerçek yarım ekseni

b - simetrinin hayali yarım ekseni

Bir hiperbolün asimptotları:

Parabol

parabol odak adı verilen belirli bir F noktasından ve directrix adı verilen belirli bir doğrudan eşit uzaklıkta bulunan bir düzlemdeki noktaların geometrik yeridir.

Kanonik parabol denklemi:

Y 2 \u003d 2px, burada p odaktan directrix'e olan mesafedir (parabol parametresi)

Parabolün tepe noktası C (α, β) ise, parabolün denklemi (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Odak ekseni y ekseni olarak alınırsa, parabol denklemi şu şekilde olur: x 2 \u003d 2qy