Uzak eleman.

uzak bir eleman.

• a) ortak noktaları yoktur;

Teorem.

Bölüm tanımı

GOST 2.305-2008, bölümün belirlenmesi için aşağıdaki gereksinimleri sağlar:

1. Kesim düzleminin konumu, çizimde bir kesit çizgisi ile belirtilmiştir.

2. Kesit çizgisi için açık bir hat kullanılmalıdır (S - 1.5S arası kalınlık, hat uzunluğu 8-20 mm).

3. Karmaşık bir kesit durumunda, stroklar ayrıca kesen düzlemlerin birbirleriyle kesişim noktasında da çizilir.

4. İlk ve son vuruşların üzerine görüş yönünü gösteren oklar yerleştirilmeli, oklar vuruşun dış ucundan 2-3 mm uzaklıkta çizilmelidir.

5. Okların boyutları Şekil 14'te gösterilenlere uygun olmalıdır.

6. Başlangıç ​​ve bitiş vuruşları, karşılık gelen görüntünün ana hatlarıyla kesişmemelidir.

7. Kesit çizgisinin başında ve sonunda ve gerekirse, kesen düzlemlerin kesişiminde, Rus alfabesinin aynı büyük harfini koyun. Harfler, görüş yönünü gösteren okların yanına ve dış köşe kenarından kesişme noktalarına uygulanır (Şekil 24).

Şekil 24 - Kesit atama örnekleri

8. Kesik, "А-А" tipinde bir yazı ile işaretlenmelidir (daima bir tire ile ayrılmış iki harf ile).

9. Kesen düzlem, bir bütün olarak cismin simetri düzlemi ile çakıştığında ve karşılık gelen görüntüler, doğrudan projeksiyon bağlantısında aynı sayfa üzerinde bulunduğunda ve başka herhangi bir görüntü ile ayrılmadığında, kesen düzlemin konumu, yatay, ön ve profil kesimler için işaretlenmiştir ve kesiye bir yazıt eşlik etmemektedir.

10. Ön ve profil kesimlerine, kural olarak, çizimin ana görüntüsünde verilen nesne için benimsenen pozisyona karşılık gelen pozisyon verilir.

11. Yatay, ön ve profil kesimleri, ilgili ana görünümlerin yerine yerleştirilebilir.

12. Çizim alanındaki herhangi bir yere bir bölümün yanı sıra geleneksel bir grafik atama - Döndürülmüş simgenin eklenmesiyle bir döndürme yapılmasına izin verilir (Şekil 25).

Şekil 25 - Geleneksel grafik gösterim - "Döndürülmüş" simgesi

Kesit ataması şuna benzer: Kesit düzleminin izleri ve görüş yönünü gösteren bir ok ile okun dışına yapıştırılmış bir harften oluşur (Şekil 1c, Şekil 3). Kesit çizgisi kesit simetri ekseni ile çakışıyorsa ve kesit düzlemi izinin devamında veya görünümün bölümleri arasındaki boşlukta yer alıyorsa, uzatılmış kesit etiketlenmez ve kesit düzlemi gösterilmez. Simetrik bindirilmiş bir bölüm için, kesme düzlemi de gösterilmez. Kesit asimetrikse ve bir boşlukta bulunuyorsa veya üst üste bindirilmişse (Şekil 2b), bölüm çizgisi oklarla çizilir, ancak harflerle gösterilmezler.

Bölümün bir dönüşle konumlandırılmasına izin verilir ve bölümün üzerindeki yazıya "döndü" kelimesi verilir. Bir nesneyle ilgili birkaç özdeş bölüm için, kesit çizgileri aynı harfle gösterilir ve bir bölüm çizilir. Kesitin ayrı parçalardan oluştuğu durumlarda kesimler kullanılmalıdır.

Düz genel pozisyon

Genel konumdaki düz bir çizgiye (Şekil 2.2), verilen izdüşüm düzlemlerinden hiçbirine paralel olmayan düz çizgi denir. Böyle bir düz çizginin herhangi bir parçası, verilen projeksiyon düzlemleri sisteminde çarpık bir şekilde yansıtılır. Bu düz çizginin izdüşüm düzlemlerine olan eğim açıları da bozuktur.

Pirinç. 2.2.

Doğrudan özel hükümler
Belirli bir konumun düz çizgileri, bir veya iki projeksiyon düzlemine paralel düz çizgileri içerir.
İzdüşüm düzlemine paralel olan herhangi bir çizgiye (düz veya eğri) seviye çizgisi denir. Mühendislik grafiklerinde üç ana seviye çizgisi vardır: yatay, ön ve profil çizgileri.

Pirinç. 2.3-a

Yatay bir çizgi, çıkıntıların yatay düzlemine paralel herhangi bir çizgidir (Şekil 2, 3-a). Yatayın önden çıkıntısı her zaman iletişim hatlarına diktir. Yatay projeksiyon düzlemindeki herhangi bir yatay segment, gerçek değerde yansıtılır. Gerçek değer bu düzleme yansıtılır ve yatayın (düz çizgi) çıkıntıların ön düzlemine olan eğim açısı. Örnek olarak, Şekil 2, 3-a'da görsel bir görüntü verilmiş ve karmaşık çizim yatay çizgiler H uçağa eğimli P 2 açılı B .
Pirinç. 2.3-b

Frontal, çıkıntıların frontal düzlemine paralel bir çizgi olarak adlandırılır (Şekil 2.3-b). Ön tarafın yatay izdüşümü her zaman iletişim hatlarına diktir. Ön projeksiyon düzlemindeki ön çizginin herhangi bir bölümü gerçek değere yansıtılır. Gerçek büyüklükte, bu düzleme ve cephenin (düz çizgi) eğim açısının yatay projeksiyon düzlemine (açı) yansıtılır. a).
Pirinç. 2,3 inç

Profil çizgisi, çıkıntıların profil düzlemine paralel bir çizgidir (Şekil 2, 3-c). Profil hattının yatay ve önden çıkıntıları bu çıkıntıların iletişim hatlarına paraleldir. Profil çizgisinin herhangi bir parçası (düz çizgi), gerçek boyutta profil düzlemine yansıtılır. Aynı düzlemde, profil çizgisinin projeksiyon düzlemlerine olan eğim açıları gerçek değerde yansıtılır. P 1 ve P 2. Karmaşık bir çizimde bir profil çizgisi tanımlarken, bu çizginin iki noktasını belirtmek gerekir.

İki projeksiyon düzlemine paralel olan seviye çizgileri, üçüncü projeksiyon düzlemine dik olacaktır. Bu tür düz çizgilere projeksiyon denir. Üç ana çıkıntı hattı vardır: yatay, önden ve profil çıkıntı hatları.
Pirinç. 2.3 gr Pirinç. 2.3-d Pirinç. 2.3.

Yatay olarak çıkıntı yapan bir düz çizgi (Şekil 2, 3-d), düzleme dik olan düz bir çizgi olarak adlandırılır. P bir . Bu düz çizginin herhangi bir parçası düzleme yansıtılır. P P 1 - noktaya.

Önden çıkıntı yapan düz bir çizgi (Şekil 2 Z-e), düzleme dik olan düz bir çizgi olarak adlandırılır. P 2. Bu düz çizginin herhangi bir parçası düzleme yansıtılır. P 1 bozulma olmadan, ancak bir düzlemde P 2 - noktaya.

Düz çizgiyi yansıtan bir profile (Şekil 2, 3-e) düzleme dik düz çizgi denir. P 3, yani projeksiyon düzlemlerine paralel düz çizgi P 1 ve P 2. Bu düz çizginin herhangi bir parçası düzleme yansıtılır. P 1 ve P 2 bozulma olmadan, ancak bir düzlemde P 3 - noktaya.

Bir düzlemde ana çizgiler

Uçağa ait düz çizgiler arasında, uzayda belirli bir konumu işgal eden düz çizgiler tarafından özel bir yer işgal edilir:

1. Yataylar h - belirli bir düzlemde uzanan ve yatay projeksiyon düzlemine paralel olan düz çizgiler (h // P1) (Şekil 6.4).

Şekil 6.4 Yatay

2. Frontals f - Düzlemde bulunan ve çıkıntıların ön düzlemine paralel olan düz çizgiler (f // P2) (Şekil 6.5).

Şekil 6.5 Ön

3. Profil düz çizgiler p - bu düzlemde bulunan ve çıkıntıların profil düzlemine paralel olan düz çizgiler (p // P3) (Şekil 6.6). Uçağın izlerinin ana hatlara da atfedilebileceğini belirtmek gerekir. Yatay iz düzlemin yatayı, ön yüz ön ve profil düzlemin profil çizgisidir.

Şekil 6.6 Profil çizgisi

4. En büyük eğim çizgisi ve yatay izdüşümü, bu düzlem ve yatay izdüşüm düzlemi tarafından oluşturulan dihedral açıyı ölçen lineer bir j açısı oluşturur (Şekil 6.7). Açıktır ki, bir düz çizginin bir düzlemle ortak iki noktası yoksa, o zaman ya düzleme paraleldir ya da onu keser.

Şekil 6.7 En büyük eğim çizgisi

Yüzey oluşturmanın kinematik yolu. Çizimdeki yüzeyi ayarlar.

Mühendislik grafiklerinde yüzey, belirli bir yasaya göre uzayda hareket eden bir çizginin ardışık konumları olarak kabul edilir. Yüzey oluşumu sürecinde, hat 1 değişmeden kalabilir veya şeklini değiştirebilir.
Karmaşık bir çizimde yüzey görüntüsünün netliği için, yer değiştirme yasasının bir çizgi ailesi (a, b, c) şeklinde grafiksel olarak ayarlanması tavsiye edilir. 1. doğrunun yer değiştirme yasası, iki (a ve b) veya bir (a) doğru ve yer değiştirme 1 yasasını açıklayan ek koşullar ile belirtilebilir.
Hareketli satır 1'e generatrix, sabit çizgiler a, b, c - kılavuzlar denir.
Şekil 3.1'de gösterilen örneği kullanarak yüzey oluşum sürecini ele alalım.
Burada jeneratör olarak 1 numaralı doğru alınır.Jeneratörün yer değiştirme kanunu a yönü ve b doğrusu tarafından verilir. Bu durumda, jeneratörün (1) her zaman düz çizgi b'ye paralel kalarak kılavuz a boyunca kaydığı kastedilmektedir.
Bu yüzey oluşumu yöntemine kinematik denir. Onun yardımıyla çizimde çeşitli yüzeyler oluşturabilir ve tanımlayabilirsiniz. Özellikle, Şekil 3.1 silindirik bir yüzeyin en genel durumunu göstermektedir.

Pirinç. 3.1.

Bir yüzey oluşturmanın ve bir çizimde göstermenin başka bir yolu, yüzeyi ona ait bir dizi nokta veya çizgi ile tanımlamaktır. Bu durumda, noktalar ve çizgiler, yüzeyin şeklini yeterli derecede doğrulukla belirlemeyi ve üzerinde çeşitli sorunları çözmeyi mümkün kılacak şekilde seçilir.
Bir yüzeyi tanımlayan noktalar veya çizgiler kümesine tel kafesler denir.
Yüzey çerçevesinin nasıl tanımlandığına bağlı olarak, noktalar veya çizgiler, tel çerçeveler nokta ve doğrusal olarak ayrılır.
Şekil 3.2, a1, a2, a3, ..., an ve b1, b2, b3, ..., bn çizgilerinin ortogonal olarak yerleştirilmiş iki ailesinden oluşan bir yüzey çerçevesini göstermektedir.

Pirinç. 3.2.

Konik bölümler.

KONİK BÖLÜMLER, düz dairesel bir koninin tepe noktasından geçmeyen bir düzlemle kesişmesiyle elde edilen düzlem eğrileri (Şekil 1). Analitik geometri açısından, konik bir bölüm, ikinci dereceden bir denklemi sağlayan noktaların bir yeridir. Son bölümde tartışılan dejenere durumlar dışında, konik kesitler elipsler, hiperboller veya parabollerdir.

Konik bölümler genellikle doğada ve teknolojide bulunur. Örneğin, Güneş'in etrafında dönen gezegenlerin yörüngeleri elips şeklindedir. Daire, ana eksenin küçük eksene eşit olduğu bir elipsin özel bir halidir. Bir parabolik ayna, eksenine paralel gelen tüm ışınların bir noktada (odak) birleşmesi özelliğine sahiptir. Bu, parabolik aynalar kullanan çoğu reflektörlü teleskopta ve ayrıca parabolik reflektörlü radar antenlerinde ve özel mikrofonlarda kullanılır. Parabolik bir yansıtıcının odağına yerleştirilmiş bir ışık kaynağından paralel ışın demeti çıkar. Bu nedenle yüksek güçlü projektörlerde ve araba farlarında parabolik aynalar kullanılmaktadır. Hiperbol, birçok önemli fiziksel ilişkinin bir grafiğidir, örneğin, Boyle yasası (bir ideal gazın basıncını ve hacmini birbirine bağlayan) ve sabit voltajda direncin bir fonksiyonu olarak elektrik akımını belirten Ohm yasası.

ERKEN TARİH

Konik bölümleri keşfeden kişi, Platon'un öğrencisi ve Büyük İskender'in öğretmeni olan Menechm'dir (MÖ 4. yy). Menechm, bir küpü ikiye katlama problemini çözmek için bir parabol ve bir ikizkenar hiperbol kullandı.

4. yüzyılın sonlarında Aristeas ve Euclid tarafından yazılan konik kesitler üzerine risaleler. M.Ö., kayboldu, ancak onlardan gelen malzemeler, günümüze ulaşan Pergalı Apollonius'un (MÖ 260-170) ünlü Konik bölümlerine girdi. Apollonius, koninin generatrisinin sekant düzleminin dikliği gerekliliğini terk etti ve eğim açısını değiştirerek, düz veya eğimli bir dairesel koniden tüm konik kesitleri elde etti. Apollonius'a eğrilerin modern isimlerini de borçluyuz - elips, parabol ve hiperbol.

Apollonius, yapılarında iki boşluklu dairesel bir koni kullandı (Şekil 1'deki gibi), böylece ilk kez bir hiperbolün iki kola sahip bir eğri olduğu anlaşıldı. Apollonius zamanından beri, konik kesitler, kesen düzlemin koninin generatrisine olan eğimine bağlı olarak üç tipe ayrılmıştır. Bir elips (Şekil 1, a), kesme düzlemi, koninin tüm generatrislerini, boşluklarından birinin noktalarında kesiştiğinde oluşur; parabol (Şekil 1, b) - kesme düzlemi koninin teğet düzlemlerinden birine paralel olduğunda; hiperbol (Şekil 1, c) - kesme düzlemi koninin her iki boşluğunu kestiğinde.

KONİK BÖLÜM İNŞAATI

Konik kesitleri düzlem ve konilerin kesişimi olarak inceleyen antik Yunan matematikçiler, bunları bir düzlemdeki noktaların yörüngeleri olarak kabul ettiler. Bir elipsin, belirli iki noktaya olan uzaklıkların toplamının sabit olduğu, noktaların yeri olarak tanımlanabileceği bulundu; parabol - belirli bir noktadan ve belirli bir düz çizgiden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri olarak; hiperbol - noktaların yeri olarak, verilen iki noktaya olan uzaklık farkı sabittir.

Düzlem eğriler olarak konik bölümlerin bu tanımları, onları gerilmiş bir iplik kullanarak oluşturmanın bir yolunu önerir.

Elips.

Belirli bir uzunluktaki ipliğin uçları F1 ve F2 noktalarında sabitlenirse (Şekil 2), sıkıca gerilmiş iplik boyunca kayan bir kalem ucunun tarif ettiği eğri bir elips şekline sahiptir. F1 ve F2 noktalarına elipsin odak noktaları ve elipsin kesişme noktaları arasındaki V1V2 ve v1v2 bölümlerine koordinat eksenleri - ana ve küçük eksenler denir. F1 ve F2 noktaları çakışırsa, elips bir daireye dönüşür.

pilav. 2 üç nokta

Hiperbol.

Bir hiperbol oluştururken, kalemin ucu olan P noktası, Şekil 2'de gösterildiği gibi F1 ve F2 noktalarında ayarlanan pimler boyunca serbestçe kayan bir ipliğe sabitlenir. 3 A. Mesafeler, PF2 segmenti PF1 segmentinden F1F2 mesafesinden daha az sabit bir miktarda daha uzun olacak şekilde seçilir. Bu durumda, ipliğin bir ucu F1 piminin altından geçer ve ipliğin her iki ucu F2 piminin üzerinden geçer. (Kalem ucu iplik boyunca kaymamalı, bu nedenle ipin üzerinde küçük bir ilmek yaparak ve noktayı içine geçirerek sabitlenmelidir.) İpliğin olduğundan emin olarak hiperbolün (PV1Q) bir dalını çiziyoruz. her zaman gergin kalır ve her iki ucu F2 noktasının ötesine çekerek ve P noktası F1F2 segmentinin altında olduğunda, ipliği her iki ucundan tutun ve dikkatlice aşındırın (yani bırakın). Daha önce F1 ve F2 pinlerinin rollerini değiştirmiş olan hiperbolün (PўV2Qў) ikinci dalını çiziyoruz.

pilav. 3 abartma

Hiperbolün dalları, dallar arasında kesişen iki düz çizgiye yaklaşır. Hiperbolün asimptotları olarak adlandırılan bu düz çizgiler, Şekil 2'de gösterildiği gibi oluşturulmuştur. 3, b. Bu çizgilerin eğimleri ± (v1v2) / (V1V2)'ye eşittir, burada v1v2, F1F2 doğru parçasına dik olan asimptotlar arasındaki açının açıortayının parçasıdır; v1v2 segmenti hiperbolün eşlenik ekseni olarak adlandırılır ve V1V2 segmenti onun enine ekseni olarak adlandırılır. Böylece asimptotlar, kenarları eksenlere paralel v1, v2, V1, V2 dört noktasından geçen bir dikdörtgenin köşegenleridir. Bu dikdörtgeni çizmek için v1 ve v2 noktalarının konumunu belirtmeniz gerekir. Eşit uzaklıktalar

eksenlerinin kesişme noktasından O. Bu formül, yapıyı varsayar. sağ üçgen bacaklar Ov1 ve V2O ve hipotenüs F2O ile.

Hiperbolün asimptotları birbirine dik ise, hiperbol ikizkenar olarak adlandırılır. Ortak asimptotları olan, ancak yeniden düzenlenmiş enine ve eşlenik eksenleri olan iki hiperbol, karşılıklı eşlenik olarak adlandırılır.

Parabol.

Elips ve hiperbolün odakları Apollonius tarafından zaten biliniyordu, ancak bir parabolün odağı görünüşe göre ilk olarak bu eğriyi belirli bir noktadan (odak) eşit uzaklıktaki noktaların yeri olarak tanımlayan Papp (3. yüzyılın 2. yarısı) tarafından belirlendi. ve müdire olarak adlandırılan belirli bir düz çizgi. Papp'ın tanımına dayanan, gerilmiş bir iplik kullanan bir parabolün yapımı, Isidor Miletsky (6. yüzyıl) tarafından önerildi. Cetveli, kenarı LLў doğrultulu ile çakışacak şekilde yerleştirin (Şekil 4) ve ABC çizim üçgeninin bu kenar ayağına AC takın. AB uzunluğundaki ipliğin bir ucunu üçgenin B köşesine ve diğerini parabol F'nin odağına sabitleyin. İpliği kalemin ucuyla çekerek, değişken P noktasındaki ucu serbest bacağa bastırın Çizim üçgeninin AB'si. Üçgen cetvel boyunca hareket ettikçe, P noktası, odak F ve LLў doğrultulu bir parabolün yayı tanımlayacaktır, çünkü ipliğin toplam uzunluğu AB olduğundan, diş parçası üçgenin serbest ayağına bitişiktir ve bu nedenle, PF dişinin kalan bölümü, AB ayağının kalan bölümlerine eşit olmalıdır, yani. PA. V parabolünün eksenle kesiştiği noktaya parabolün tepe noktası, F ve V'den geçen doğru ise parabolün eksenidir. Odak noktasından eksene dik bir düz çizgi çizerseniz, bu düz çizginin parabol tarafından kesilen parçasına odak parametresi denir. Bir elips ve bir hiperbol için odak parametresi aynı şekilde belirlenir.

BİLETLERİN CEVAPLARI: № 1 (tamamen değil), 2 (tamamen değil), 3 (tamamen değil), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (tamamen değil), 16, 17, 18, 20, 21 , 22, 23, 26,

Uzak eleman.

Çizimler yaparken, bazı durumlarda, bir nesnenin şekil, boyut veya diğer veriler açısından açıklama gerektiren herhangi bir parçasının ek ayrı bir görüntüsünü oluşturmak gerekli hale gelir. Bu görüntü denir uzak bir eleman. Genellikle büyütülmüş olarak yapılır. Detay, görünüm veya kesim olarak düzenlenebilir.

Bir detay oluştururken, ana görüntünün karşılık gelen yeri, genellikle oval veya daire olan kapalı, düz bir ince çizgi ile işaretlenir ve gösterilir. büyük harf Rus alfabesinin lider satırı rafında. Uzantı elemanı için A tipi (5: 1) olarak bir kayıt yapılır. İncirde. 191, uzak bir öğenin yürütülmesine ilişkin bir örneği gösterir. Nesnenin görüntüsündeki karşılık gelen yere mümkün olduğunca yakın yerleştirilir.

1. Dikdörtgen (ortogonal) izdüşüm yöntemi. Dikdörtgen izdüşümün temel değişmez özellikleri. Epure Monge.

Ortogonal (dikdörtgen) projeksiyon, tüm projeksiyon ışınlarının projeksiyon düzlemine dik olduğu özel bir paralel projeksiyon durumudur. Ortogonal izdüşümler, paralel izdüşümlerin tüm özelliklerine sahiptir, ancak dikdörtgen izdüşümde, bir parçanın izdüşümü, izdüşüm düzlemine paralel değilse, her zaman segmentin kendisinden daha azdır (Şek. 58). Bunun nedeni, uzaydaki parçanın kendisinin dik açılı bir üçgenin hipotenüsü olması ve izdüşümünün bir bacak olmasıdır: A "B" = ABcos a.

Dikdörtgen izdüşümde, dik açı, her iki tarafı da izdüşüm düzlemine paralel olduğunda ve yanlarından sadece biri izdüşüm düzlemine paralel, diğer tarafı bu izdüşüm düzlemine dik olmadığında tam boyutlu izdüşümü yapılır.

karşılıklı düzenleme düz ve düzlem.

Düz bir çizgi ve uzayda bir düzlem olabilir:

• a) ortak noktaları yoktur;
• b) tam olarak bir tane var ortak nokta;
• c) En az iki ortak noktası vardır.

İncirde. 30 tüm bu olasılıkları gösterir.

a) durumunda b düz çizgisi düzleme paraleldir: b || ...

b) durumunda, l düz çizgisi düzlemi bir O noktasında keser; l = O.

c) durumunda a düz çizgisi düzleme aittir: a veya a.

Teorem. b doğrusu düzleme ait en az bir a doğrusuna paralel ise, bu doğru düzleme paraleldir.

Diyelim ki m doğrusu düzlemi Q noktasında kesiyor. Eğer m, Q noktasından geçen düzlemdeki her doğruya dik ise, m doğrusuna düzleme dik denir.

Tramvay rayları, düz çizgilerin dünya düzlemine ait olduğunu göstermektedir. Güç hatları dünya düzlemine paraleldir ve ağaç gövdeleri, bazıları dünya düzlemine dik, diğerleri dik (eğik) olmayan, dünyanın yüzeyini geçen düz çizgilere örnektir.

Makale, bir uçakta düz bir çizgi kavramından bahsediyor. Temel terimleri ve tanımlarını ele alalım. Düzlemde bir doğrunun ve bir noktanın ve iki doğrunun göreli konumuyla çalışalım. Aksiyomlar hakkında konuşalım. Sonuç olarak, bir düzlemde düz bir çizgi tanımlamanın yöntemlerini ve yollarını tartışacağız.

Uçakta düz çizgi - konsept

Öncelikle bir uçağın ne olduğu hakkında net bir fikriniz olması gerekir. Bir şeyin herhangi bir yüzeyi bir düzleme atfedilebilir, ancak sonsuzluğundaki nesnelerden farklıdır. Uçağın bir masa olduğunu hayal edersek, bizim durumumuzda sınırları olmayacak, sonsuz derecede büyük olacaktır.

Masaya kurşun kalemle dokunursanız, "nokta" olarak adlandırılabilecek bir işaret olacaktır. Böylece uçakta bir nokta hakkında fikir sahibi oluyoruz.

Bir düzlemde düz bir çizgi kavramını düşünün. Sayfaya düz bir çizgi çizerseniz, üzerinde sınırlı bir uzunlukta görüntülenecektir. Düz çizginin tamamını almadık, sadece bir kısmını aldık, çünkü aslında bir uçak gibi sonu yok. Bu nedenle defterdeki çizgi ve düzlemlerin temsili biçimseldir.

Bir aksiyomumuz var:

tanım 1

Noktalar her satırda ve her düzlemde işaretlenebilir.

Noktalar hem büyük hem de küçük Latin harfleriyle gösterilir. Örneğin, A ve D veya a ve d.

Bir nokta ve bir düz çizgi için, sadece iki konum varyantı bilinmektedir: düz bir çizgi üzerinde bir nokta, başka bir deyişle, bir düz çizginin içinden geçtiği veya bir noktanın düz bir çizgi üzerinde olmadığı, yani düz bir çizgi üzerinde bir nokta. çizgi içinden geçmez.

Düzlemdeki bir noktanın mı yoksa düz bir çizgi üzerindeki bir noktanın mı ait olduğunu belirtmek için "∈" işaretini kullanın. A noktasının a doğrusu üzerinde olması koşuluyla, aşağıdaki A ∈ a notasyonu biçimine sahiptir. A noktasının ait olmadığı durumda, başka bir kayıt A ∉ a'dır.

Yargı adildir:

tanım 2

Herhangi bir düzlemde yer alan herhangi iki noktadan geçen tek bir doğru vardır.

Bu ifade bir akisoma olarak kabul edilir ve bu nedenle kanıt gerektirmez. Bunu kendiniz düşünürseniz, mevcut iki nokta ile bağlantıları için sadece bir seçenek olduğunu görebilirsiniz. Verilen iki A ve B noktamız varsa, bunlardan geçen çizgiye bu harfler, örneğin A B çizgisi denilebilir. Aşağıdaki şekli düşünün.

Bir düzlemde bulunan düz bir çizginin çok sayıda noktası vardır. Buradan aksiyom geliyor:

tanım 3

Düz bir çizginin iki noktası bir düzlemde bulunuyorsa, bu düz çizginin diğer tüm noktaları da bir düzleme aittir.

Verilen iki nokta arasında bulunan noktalar kümesine denir. düz bir çizgi parçası. Bir başlangıcı ve bir sonu vardır. Tanımlama iki harfle tanıtıldı.

A ve P noktalarının bir segmentin uçları olduğu verilirse, ataması PA veya AP şeklini alacaktır. Segmentin ve çizginin atamaları çakıştığından, “segment” kelimelerinin eklenmesi veya bitirilmesi önerilir. ", "Düz".

Üyelik steno ∈ ve ∉ işaretlerinin kullanımını içerir. Segmentin belirli bir çizgiye göre konumunu sabitlemek için ⊂ kullanın. А Р segmentinin b satırına ait olması durumunda, kayıt aşağıdaki gibi görünecektir: А Р ⊂ b.

Bir doğrunun üç noktasına aynı anda ait olma durumu gerçekleşir. Bu, bir nokta diğer ikisi arasında olduğunda doğrudur. Bu ifade bir aksiyom olarak kabul edilir. Bir doğruya ait olan A, B, C noktaları verilirse ve B noktası A ile C arasında yer alırsa, verilen tüm noktaların B noktasına göre her iki tarafta da bulunduğundan, tek bir doğru üzerinde olduğu sonucu çıkar.

Bir nokta, düz bir çizgiyi ışın adı verilen iki parçaya böler.Bir aksiyomumuz var:

tanım 4

Düz bir çizgi üzerinde bulunan herhangi bir O noktası, onu iki ışına böler ve bir ışının herhangi iki noktası, ışının O noktasına göre bir tarafında ve diğerleri - ışının diğer tarafında bulunur.

Düz çizgilerin bir düzlemde düzenlenmesi iki durum şeklini alabilir.

tanım 5

çakışmak.

Bu fırsat, çizgilerin ortak noktaları olduğunda ortaya çıkar. Yukarıda yazılan aksiyoma dayanarak, düz bir çizginin iki noktadan ve sadece bir noktadan geçtiğini gördük. Bu, verilen 2 noktadan 2 doğru geçtiğinde çakıştıkları anlamına gelir.

tanım 6

Bir uçakta iki düz çizgi olabilir geçmek.

Bu durum, doğruların kesişimi olarak adlandırılan ortak bir nokta olduğunu göstermektedir. ∩ işaretiyle atama kesişimi tanıtılır. a ∩ b = M gösterimi varsa, verilen a ve b doğrularının M noktasında kesiştiği sonucu çıkar.

Düz çizgileri keserken ortaya çıkan açı ile ilgileniyoruz. 90 derecelik bir açı oluşumu ile bir düzlemde düz çizgilerin kesiştiği bölüme ayrı olarak önem verilir, yani dik açı... O zaman çizgilere dik denir.İki dik çizgi yazma şekli a ⊥ b'dir, bu da a çizgisinin b çizgisine dik olduğu anlamına gelir.

tanım 7

Bir düzlemde iki düz çizgi olabilir paralel.

Yalnızca verilen iki doğrunun ortak kesişme noktaları yoksa ve dolayısıyla noktaları yoksa, paraleldirler. a ve b satırlarının belirli bir paralelliği için yazılabilen notasyon kullanılır: a ∥ b.

Düz bir çizgi, vektörlerle birlikte düşünülür. Belirli bir düz çizgi veya paralel düz çizgilerden herhangi biri üzerinde bulunan sıfır vektörlerine özel önem verilir; bunlara düz bir çizginin yön vektörleri denir. Aşağıdaki şekli düşünün.

Verilene dik doğrular üzerinde bulunan sıfır olmayan vektörlere, aksi takdirde bir doğrunun normal vektörleri denir. Makalede bir düzlemdeki düz bir çizginin normal vektörünün ayrıntılı bir açıklaması vardır. Aşağıdaki şekli düşünün.

Bir düzlemde 3 doğru verilirse yerleri çok farklı olabilir. Konumları için birkaç seçenek vardır: hepsinin kesişimi, paralellik veya farklı kesişme noktalarının varlığı. Şekil, iki çizginin bire göre dikey kesişimini göstermektedir.

Bunun için karşılıklı düzenlemelerini kanıtlayan gerekli faktörleri sunuyoruz:

• eğer iki doğru üçüncüye paralelse, o zaman hepsi paraleldir;
• iki doğru üçüncüye dik ise, o zaman bu iki doğru paraleldir;
• düzlemde düz bir doğru bir paralel doğruyu kesiyorsa, o zaman diğerini keser.

Bunu rakamlarla ele alalım.

Bir düzlemde düz bir çizgi birkaç şekilde belirtilebilir. Her şey sorunun durumuna ve çözümünün neye dayanacağına bağlıdır. Bu bilgi, düz çizgilerin pratik düzenlemesine yardımcı olabilir.

Tanım 8

Düz çizgi, düzlemde bulunan belirtilen iki nokta kullanılarak belirtilir.

Dikkate alınan aksiyomdan, iki noktadan düz bir çizgi çizmenin ve ayrıca sadece tek bir çizgi çizmenin mümkün olduğu sonucu çıkar. Ne zaman dikdörtgen sistem koordinatlar çakışmayan iki noktanın koordinatlarını gösterir, o zaman verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemini düzeltebilirsiniz. İki noktadan geçen düz bir çizgimizin olduğu bir çizim düşünün.

Tanım 9

Düz bir çizgi, bir nokta ve bunun paralel olduğu bir düz çizgi ile belirtilebilir.

Bu yöntem varoluşta gerçekleşir, çünkü bir noktadan verilene paralel düz bir çizgi çizebilirsiniz, üstelik sadece bir tane. Kanıt okul geometri dersinden bilinmektedir.

Kartezyen koordinat sistemine göre bir düz çizgi verilirse, verilen bir noktadan belirli bir düz çizgiye paralel geçen düz bir çizgi için bir denklem formüle etmek mümkündür. Bir düzlemde düz bir çizgi tanımlama ilkesini düşünün.

tanım 10

Düz çizgi, belirtilen nokta ve yön vektörü aracılığıyla belirtilir.

Dikdörtgen koordinat sisteminde düz bir çizgi belirtildiğinde, bir düzlemde kanonik ve parametrik denklemler oluşturmak mümkündür. Şekilde bir yön vektörü varlığında düz bir çizginin konumunu düşünün.

Düz bir çizginin atanmasıyla ilgili dördüncü madde, çizilmesi gereken bir nokta ve ona dik bir düz çizgi belirtildiğinde anlamlıdır. Aksiyomdan elde ettiğimiz:

Tanım 11

Düzlemde bulunan verilen noktadan yalnızca verilene dik olan bir doğru geçecektir.

Ve bir düzlemde düz bir çizgi belirleme ile ilgili son nokta, düz çizginin geçtiği belirtilen noktada ve düz çizginin normal bir vektörünün varlığındadır. Verilen bir doğru üzerinde bulunan bir noktanın bilinen koordinatları ve normal bir vektörün koordinatları ile bir doğrunun genel denklemini yazmak mümkündür.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Düz kutu uçağa ait, o ol paralel veya geçmek uçak. Bir doğruya ve bir düzleme ait iki nokta aynı yüksekliklere sahipse, düz bir doğru bir düzleme aittir.... Yukarıdakilerden çıkan sonuç: bir nokta, bu düzlemde uzanan düz bir çizgiye aitse, bir düzleme aittir.

Düz bir çizgi, bu düzlemde uzanan düz bir çizgiye paralel ise, bir düzleme paraleldir.

Düzlemle kesişen doğru. Düz bir çizginin bir düzlemle kesişme noktasını bulmak için gereklidir (Şekil 3.28):

1) verilen m doğrusu boyunca bir yardımcı düzlem çizin T;

2) bir çizgi oluşturmak n verilen düzlemin Σ yardımcı düzlemi T ile kesişimi;

3) kesişme noktasını işaretleyin R, belirli bir düz çizgi m kesişme çizgisi ile n.

Problemi düşünün (Şekil 3.29) Düz çizgi m planda nokta ile verilmiştir. 6 ve 35 ° eğim açısı. Bu çizgiden yardımcı bir düşey düzlem çizilir. T,Σ düzlemini doğru boyunca kesen n (B2C3). Böylece, bir düz çizginin ve bir düzlemin göreli konumundan, aynı dikey düzlemde uzanan iki düz çizginin göreli konumuna geçilir. Bu sorun, bu düz çizgilerin profilleri oluşturularak çözülür. Düz çizgilerin kesişimi m ve n profilde istenen noktayı tanımlar r... Nokta yüksekliği r dikey ölçeklerin ölçeği tarafından belirlenir.

Uçağa dik olan düz bir çizgi. Düz bir çizgi, bu düzlemin kesişen herhangi iki düz çizgisine dik ise, düzleme diktir. Şekil 3.30 düz bir çizgiyi göstermektedir mΣ düzlemine dik ve onu A noktasında kesiyor. Planda, düz çizginin izdüşümü m ve düzlemin yatayları karşılıklı olarak diktir (bir tarafı çıkıntıların düzlemine paralel olan bir dik açı bozulma olmadan yansıtılır. Her iki düz çizgi de aynı dikey düzlemde uzanır, bu nedenle bu tür düz çizgilerin konumları büyüklükleri birbirine eşittir: ben m = ll u. Fakat ben uΣ = benΣ, o zaman ben m = llΣ, yani m düz çizgisinin konumu, düzlemin konumu ile ters orantılıdır. Düz bir çizgiye yakın düşer ve bir uçak farklı yönlere yönlendirilir.

3.4. Sayısal yükseklik projeksiyonları. yüzeyler

3.4.1 Çokyüzlü ve eğri yüzeyler. topografik yüzey

Doğada birçok madde polihedronlar şeklinde kristal bir yapıya sahiptir. Bir polihedron, aynı düzlemde yer almayan, birinin her bir tarafının aynı anda diğerinin bir tarafı olduğu düz çokgenler topluluğudur. Bir çokyüzlü tasvir ederken, köşelerinin çıkıntılarını, bunları belirli bir sırayla düz çizgilerle - kenarların çıkıntıları ile birleştirerek belirtmek yeterlidir. Bu durumda, çizimde görünen ve görünmeyen kenarlar belirtilmelidir. İncirde. 3.31, bir prizma ve bir piramidin yanı sıra bu yüzeylere ait noktaların yüksekliklerini bulmayı göstermektedir.

Özel bir dışbükey çokgen grubu, tüm yüzlerin birbirine eşit olduğu düzgün çokgenler grubudur. düzenli çokgenler ve tüm çokgen açıları eşittir. Beş tür düzgün çokgen vardır.

dörtyüzlü- eşkenar üçgenlerle sınırlanmış düzenli bir dörtgen, 4 köşeye ve 6 kenara sahiptir (Şekil 3.32 a).

altı yüzlü- düzenli altıgen (küp) - 8 köşe, 12 kenar (Şekil 3.32b).

oktahedron- sekiz eşkenar üçgenle sınırlanmış normal bir oktahedron - 6 köşe, 12 kenar (Şekil 3.32c).

on iki yüzlü- on iki düzenli beşgenle sınırlanmış, her bir köşeye yakın üç nokta ile bağlanan düzenli bir onikiyüzlü.

20 köşesi ve 30 kenarı vardır (Şekil 3.32 d).

ikosahedron- yirmi eşkenar üçgenle sınırlanmış, her bir köşeye yakın beşer ile bağlanan düzenli yirmi kenarlı bir üçgen, 12 köşe ve 30 kenar (Şekil 3.32 e).

Çokyüzlü bir yüzün üzerinde duran bir nokta oluştururken, bu yüze ait bir çizgi çizmek ve noktanın izdüşümünü izdüşümünde işaretlemek gerekir.

Konik yüzeyler, bir doğrusal generatrix'in kavisli bir kılavuz boyunca hareket ettirilmesiyle oluşturulur, böylece tüm pozisyonlarda generatrix sabit bir noktadan - yüzeyin tepesinden geçer. Plan üzerinde genel bir görünümün konik yüzeyleri yatay bir kılavuz ve bir tepe noktası ile gösterilmiştir. İncirde. 3.33, konik bir yüzeyin yüzeyindeki bir noktanın yüksekliğinin konumunu gösterir.

Düz dairesel bir koni, düzenli aralıklarla çizilen bir dizi eşmerkezli daire ile gösterilir (Şekil 3.34a). Dairesel tabanlı eliptik bir koni - bir dizi eksantrik daire (Şekil 3.34 b)

Küresel yüzeyler. Küresel bir yüzey, dönüş yüzeyleri olarak adlandırılır. Çapı etrafında bir daire döndürülerek oluşturulur. Planda, küresel yüzey merkez tarafından tanımlanır. İLE ve konturlarından birinin izdüşümü (kürenin ekvatoru) (Şekil 3.35).

Topografik yüzey. Topografik yüzey, geometrik bir oluşum yasasına sahip olmadığı için geometrik olarak düzensiz yüzeyler olarak adlandırılır. Yüzeyi karakterize etmek için, projeksiyon düzlemine göre karakteristik noktalarının konumu belirlenir. İncirde. 3.3 b ve üzerinde tek tek noktalarının izdüşümlerinin gösterildiği bir topografik yüzeyin bir bölümünün bir örneği verilmiştir. Böyle bir plan, tasvir edilen yüzeyin şekli hakkında bir fikir edinmeyi mümkün kılsa da, çok net değildir. Çizime daha fazla netlik kazandırmak ve böylece okumayı kolaylaştırmak için, aynı yükseklikteki noktaların izdüşümleri, konturlar (izolinler) olarak adlandırılan düz eğri çizgilerle birleştirilir (Şekil 3.36 b).

Bir topografik yüzeyin konturları bazen bu yüzeyin birbirinden aynı uzaklıkta bulunan yatay düzlemlerle kesişme çizgileri olarak da tanımlanır (Şekil 3.37). İki bitişik kontur arasındaki yükseklik farkına kesit yüksekliği denir.

Topografik yüzeyin görüntüsü ne kadar doğru olursa, iki bitişik kontur arasındaki yükseklik farkı o kadar küçük olur. Planlarda, konturlar çizimin içinde veya dışında kapalıdır. Yüzeyin daha dik yamaçlarında, kontur çizgilerinin çıkıntıları birleşir, yumuşak olanlarda çıkıntıları birbirinden ayrılır.

En kısa mesafe plandaki iki bitişik konturun çıkıntıları arasına döşeme denir. İncirde. 3.38 geçiş noktası A topografik yüzeyde birkaç düz çizgi parçası çizilir VE SEN ve AD... Hepsinin farklı geliş açıları var. En büyük gelme açısı bir segmente sahiptir OLARAK, döşemesi minimum değere sahiptir. Bu nedenle, bu yerdeki yüzeyin geliş çizgisinin izdüşümü olacaktır.

İncirde. 3.39, belirli bir noktadan geçen bir geliş çizgisinin izdüşümü oluşturmaya bir örnektir A... noktadan 100, merkezden başlayarak, noktasındaki en yakın yatay çizgiye teğet bir daire yayı çizin 90... Nokta 90 yaşında, yatay saat 90, düşme hattına ait olacaktır. noktadan 90 noktada bir sonraki yataya dokunan bir yay çizin 80, vb. Çizimden, topografik yüzeyin geliş çizgisinin, bağlantının alt ucundan geçen, her bir bağlantısı yataya dik olan kesik bir çizgi olduğu görülebilir.

3.4.2 Konik bir yüzeyin bir düzlemle kesişimi

Kesme düzlemi konik yüzeyin tepe noktasından geçerse, yüzeyi oluşturan düz çizgiler boyunca onu keser. Diğer tüm durumlarda, kesit çizgisi düz bir eğri olacaktır: bir daire, bir elips, vb. Konik bir yüzeyin bir düzlemle kesişme durumunu düşünün.

Örnek 1. Dairesel bir koninin kesişme çizgisinin izdüşümünü oluşturun Φ ( h hakkında , S5) konik yüzeyin generatrisine paralel Ω düzlemi ile.

Düzlemin belirli bir konumu için konik bir yüzey bir parabolde kesişir. generatrix enterpolasyon T dairesel bir koninin yataylarını oluşturuyoruz - merkezi olan eşmerkezli daireler S 5. Ardından, düzlem ve koninin aynı adlı kontur çizgilerinin kesişme noktalarını tanımlarız (Şekil 3.40).

3.4.3. Bir topografik yüzeyin bir düzlem ve bir düz çizgi ile kesişimi

Bir topografik yüzeyin bir düzlemle kesişmesi durumu, jeolojik problemlerin çözümünde en sık karşılaşılan durumdur. İncirde. 3.41 Σ düzlemi ile bir topografik yüzeyin kesişimini oluşturmaya ilişkin bir örnek verilmiştir. Bir eğri arıyorum m düzlemin ve topografik yüzeyin aynı adlı konturlarının kesişme noktaları tarafından belirlenir.

İncirde. 3.42 Dikey düzlem Σ ile bir topografik yüzeyin gerçek bir görünümünü oluşturma örneği verilmiştir. Aranan çizgi m noktalar tarafından belirlenir A, B, C… Topografik yüzeyin kontur çizgilerinin kesme düzlemi Σ ile kesişimi. Planda, eğrinin izdüşümü, düzlemin izdüşümüne denk gelen düz bir çizgiye dönüşür: m≡ Σ. M eğrisinin profili, noktalarının çıkıntılarının plandaki konumu ve yükseklikleri dikkate alınarak oluşturulur.

3.4.4. Eşit eğimli yüzey

Eşit eğimli bir yüzey, tüm doğrusal üreteçleri yatay düzlemle sabit bir açı yapan, yönetilen bir yüzeydir. Böyle bir yüzey, düzlem düzlemine dik bir eksene sahip düz dairesel bir koni hareket ettirerek elde edilebilir, böylece tepe noktası belirli bir kılavuz boyunca kayar ve herhangi bir konumdaki eksen dikey kalır.

İncirde. 3.43, uzaysal bir eğri tarafından yönlendirilen eşit eğimli (i = 1/2) bir yüzeyi gösterir. A, B, C, D.

Mezuniyet uçağı. Örnek olarak, yolun eğimlerinin düzlemini düşünün.

Örnek 1. Yolun boyuna eğimi i = 0, dolgu eğiminin eğimi i n = 1: 1.5, (Şekil 3.44a). 1m boyunca yatay çizmek gereklidir. Çözüm aşağıdakine kadar kaynar. Düzlemin eğiminin ölçeğini yolun kenarına dik olarak çiziyoruz, noktaları doğrusal bir ölçekten 1,5 m aralıklarla işaretliyoruz ve 49, 48 ve 47 işaretlerini belirliyoruz. elde ettiğimiz noktalar yolun kenarına paralel olan eğimin konturlarını çiziyoruz.

Örnek 2. Yolun boyuna eğimi i ≠ 0, dolgu eğiminin eğimi i n = 1: 1.5, (Şekil 3.44b). Yol yüzeyinin düzlemi derecelendirilir. Yol yatağının eğimi aşağıdaki gibi derecelendirilir. Üstü 50.00 olan bir noktada (veya başka bir noktada), koninin tepesini yerleştirin, dolgu eğiminin aralığına eşit bir yarıçapa sahip bir daire tanımlayın (örneğimizde) ben= 1.5m). Koninin bu konturunun yüksekliği, tepe noktasının yüksekliğinden bir eksik olacaktır, yani. 49m. Bir dizi daire çiziyoruz, 49, 48, 47 işaretli kenar noktalarından dolgu eğiminin yatay çizgilerini çizdiğimiz 48, 47 kontur çizgilerinin işaretlerini alıyoruz.

Yüzeylerin derecelendirilmesi.

Örnek 3. Yolun boyuna eğimi i = 0 ve dolgu eğiminin eğimi = 1: 1.5 ise, yatay eğimler, aralığı aralığına eşit olan eğim ölçeğinin noktalarından çizilir. dolgu eğimleri (Şekil 3.45a). Ortak norm (eğim ölçeği) yönünde bitişik kontur çizgilerinin iki çıkıntısı arasındaki mesafe her yerde aynıdır.

Örnek 4. Yolun boyuna eğimi i ≠ 0 ise ve dolgu eğiminin eğimi = 1: 1.5 ise, (Şekil 3.45b), yatay çizgiler dışında yatay çizgiler aynı şekilde oluşturulur. eğimler düz çizgiler halinde değil, eğriler halinde çizilir.

3.4.5. Hafriyat sınır çizgisinin belirlenmesi

Zeminlerin çoğu dikey duvarları koruyamadığından, eğimler (yapay yapılar) inşa edilmelidir. Eğimin verdiği eğim toprağa bağlıdır.

Dünya yüzeyinin bir grafiğini belirli bir eğime sahip bir düzlemin görünümünü vermek için, hafriyat ve sıfır işler için sınır çizgisini bilmeniz gerekir. Planlanan alanı sınırlayan bu çizgi, belirlenen topografik yüzey ile dolgu eğimleri ve kesme eğimlerinin kesişimi ile temsil edilir.

Her yüzey (düz bir yüzey dahil) kontur çizgileri kullanılarak gösterildiğinden, yüzeylerin kesişme çizgisi, aynı kotlara sahip kontur çizgilerinin bir dizi kesişme noktası olarak oluşturulur. Bazı örneklere bakalım.

Örnek 1. Şek. 3.46, bir düzlem üzerinde duran, kesilmiş bir dörtgen piramit şeklinde toprak bir yapı verilmiştir. n... Üst taban ABCD piramidin bir işareti var 4m ve kenar ölçüleri 2 × 2,5 m... Yan yüzler (dolgu eğimleri), yönü oklarla gösterilen 2: 1 ve 1: 1 eğime sahiptir.

Yapının eğimlerinin düzlemle kesiştiği bir çizgi oluşturmak gerekir. n ve kendi aralarında, simetri ekseni boyunca uzunlamasına bir profil oluşturmanın yanı sıra.

İlk olarak, verilen eğimler, eğimler, aralıklar ve döşeme ölçeklerinin bir diyagramı oluşturulur. Sitenin her iki yanına dik olarak, eğimlerin eğimlerinin ölçekleri belirli aralıklarla çizilir, daha sonra bitişik yüzlerin aynı yükseltilerine sahip kontur çizgilerinin çıkıntıları, çıkıntıların kesişme çizgileridir. bu piramidin yan kenarlarından

Piramidin alt tabanı, eğimlerin sıfır konturları ile çakışmaktadır. Bu toprak yapı dikey bir düzlemle geçilirse Q, bölümde kesik bir çizgi elde edersiniz - yapının uzunlamasına profili.

Örnek 2... Çukur eğimlerinin düz bir eğimle ve birbirleriyle bir kesişme çizgisi oluşturun. Alt ( ABCD) çukurun 10 m yüksekliğinde ve 3 × 4 m boyutlarında dikdörtgen bir alandır. Sitenin ekseni güney-kuzey hattı ile 5 ° açı yapmaktadır. Kazıların eğimleri 2:1 ile aynı eğimlere sahiptir (Şekil 3.47).

Arazi planına göre sıfır iş hattı kurulur. Söz konusu yüzeylerin konturlarının aynı çıkıntılarının kesişme noktalarına göre inşa edilmiştir. Aynı yükseltiler ile eğimlerin kontur çizgilerinin ve topografik yüzeyin kesişme noktalarında, bu çukurun yan kenarlarının çıkıntıları olan eğimlerin kesişme çizgisi bulunur.

Bu durumda kazıların yan eğimleri kazı tabanına bitişiktir. Astar abcd- aranan kavşak çizgisi. Aa, Bb, Сс, Dd- çukurun kenarları, yamaçların birbirleriyle kesişme çizgisi.

4. Otokontrol için sorular ve görevler bağımsız iş"Dikdörtgen çıkıntılar" konusunda

Nokta

4.1.1. Projeksiyon yönteminin özü.

4.1.2. Nokta İzdüşüm nedir?

4.1.3. Projeksiyon uçakları nasıl adlandırılır ve belirlenir?

4.1.4. Çizimdeki izdüşüm bağlantısının çizgileri nelerdir ve izdüşüm eksenlerine göre çizimde nasıl bulunurlar?

4.1.5. Bir noktanın üçüncü (profil) projeksiyonu nasıl oluşturulur?

4.1.6. Üç resimli bir çizimde A, B, C noktalarının üç projeksiyonunu oluşturun, koordinatlarını yazın ve tabloyu doldurun.

4.1.7. Eksik projeksiyon eksenlerini oluşturun, x A = 25, y A = 20. A noktasının bir profil izdüşümünü oluşturun.

4.1.8. Koordinatları boyunca üç nokta projeksiyonu oluşturun: A (25,20,15), B (20,25,0) ve C (35,0,10). Düzlemlere ve izdüşüm eksenlerine göre noktaların konumunu belirtin. Hangi noktalardan P 3 düzlemine daha yakındır?

4.1.9. A ve B malzeme noktaları aynı anda düşmeye başlar. A noktası yere değdiğinde B noktası nerede olacak? Noktaların görünürlüğünü belirleyin. Yeni bir konumda noktalar oluşturun.

4.1.10. Nokta P3 düzleminde bulunuyorsa ve ondan P1 düzlemine olan mesafe 20 mm, P 2 - 30 mm düzlemine ise, A noktasının üç projeksiyonunu oluşturun. Noktanın koordinatlarını yazınız.

Düz

4.2.1. Bir çizimde düz bir çizgi nasıl belirtilebilir?

4.2.2. Hangi çizgiye genel konumda düz çizgi denir?

4.2.3. Düz bir çizgi izdüşüm düzlemlerine göre hangi konumu işgal edebilir?

4.2.4. Düz bir çizginin izdüşümü ne zaman bir noktaya dönüşür?

4.2.5. Düz bir seviyenin karmaşık bir çiziminin özelliği nedir?

4.2.6. Bu düz çizgilerin göreli konumunu belirleyin.

bir… b bir… b bir… b

4.2.7. 20 mm uzunluğunda, düzlemlere paralel bir AB doğru parçasının izdüşümünü oluşturun: a) P 2; b) P1; c) Öküz ekseni. Segmentin projeksiyon düzlemlerine olan eğim açılarını belirleyin.

4.2.8. AB segmentinin uçlarının koordinatlarına göre bir izdüşüm oluşturun: A (30,10,10), B (10,15,30). Parçayı AC'ye göre bölen C noktasının izdüşümlerini oluşturun: CB = 1: 2.

4.2.9. Belirli bir polihedronun kenarlarının sayısını ve bunların projeksiyon düzlemlerine göre konumlarını belirleyin ve kaydedin.

4.2.10. A noktasından geçen, m doğrusuyla kesişen bir yatay ve bir ön doğru çizin.

4.2.11. b doğrusu ile A noktası arasındaki mesafeyi belirleyin

4.2.12. A noktasından geçen ve a) P 2 düzlemine dik olan 20 mm uzunluğunda bir AB parçasının izdüşümünü oluşturun; b) P1; c) S3.

Planimetride uçak ana figürlerden biridir, bu nedenle onun hakkında net bir fikre sahip olmak çok önemlidir. Bu makale bu konuyu ele almak için oluşturuldu. İlk olarak, bir düzlem kavramı verilmiş, onun grafiksel gösterimi ve düzlemlerin gösterimleri gösterilmiştir. Ayrıca, düzlem bir nokta, düz veya başka bir düzlem ile birlikte düşünülürken, seçenekler uzaydaki göreli konumdan ortaya çıkar. Makalenin ikinci ve üçüncü ve dördüncü paragraflarında, iki düzlemin, bir düz çizginin ve bir düzlemin yanı sıra noktalar ve düzlemlerin göreceli konumu için tüm seçenekler tartışılmış, ana aksiyomlar ve grafik çizimler verilmiştir. Sonuç bölümünde, uzayda bir düzlem tanımlamanın ana yolları verilmiştir.

Sayfa gezintisi.

Düzlem - temel kavramlar, tanımlamalar ve görüntüler.

En basit ve temel geometrik şekillerüç boyutlu uzayda nokta, doğru ve düzlem vardır. Bir düzlemde bir nokta ve bir çizgi hakkında zaten bir fikrimiz var. Üç boyutlu uzayda noktaların ve çizgilerin gösterildiği düzlemi yerleştirirsek, uzayda noktalar ve çizgiler elde ederiz. Uzayda bir uçak fikri, örneğin bir masanın veya duvarın yüzeyini elde etmenizi sağlar. Bununla birlikte, masa veya duvarın sonlu boyutları vardır ve düzlem, sınırlarının ötesine sonsuza kadar uzanır.

Uzaydaki noktalar ve çizgiler, bir düzlemde olduğu gibi, sırasıyla büyük ve küçük Latin harfleriyle gösterilir. Örneğin, A ve Q noktaları, a ve d çizgileri. Düz bir çizgi üzerinde uzanan iki nokta verilirse, düz çizgi bu noktalara karşılık gelen iki harfle gösterilebilir. Örneğin, AB veya BA doğrusu A ve B noktalarından geçer. Uçakları, örneğin uçaklar veya gibi küçük Yunan harfleriyle belirtmek gelenekseldir.

Problemleri çözerken, çizimde düzlemleri tasvir etmek gerekli hale gelir. Düzlem genellikle bir paralelkenar veya keyfi basit bir kapalı alan olarak tasvir edilir.

Bir düzlem genellikle noktalar, düz çizgiler veya diğer düzlemlerle birlikte düşünülür ve göreli konumları için çeşitli seçenekler ortaya çıkar. Açıklamalarına geçiyoruz.

Düzlem ve noktanın göreli konumu.

Bir aksiyomla başlayalım: Her düzlemde noktalar vardır. Ondan, düzlemin ve noktanın göreli konumunun ilk varyantı gelir - nokta düzleme ait olabilir. Başka bir deyişle, bir uçak bir noktadan geçebilir. Herhangi bir noktanın herhangi bir düzleme ait olduğunu belirtmek için "" sembolünü kullanın. Örneğin uçak A noktasından geçiyorsa kısaca yazılabilir.

Uzayda belirli bir düzlemde sonsuz sayıda nokta olduğu anlaşılmalıdır.

Aşağıdaki aksiyom, belirli bir düzlemi tanımlamaları için uzayda kaç noktanın not edilmesi gerektiğini gösterir: bir düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktadan bir düzlem geçer ve yalnızca bir tane. Bir düzlemde bulunan üç nokta biliniyorsa, düzlem bu noktalara karşılık gelen üç harfle gösterilebilir. Örneğin, uçak A, B ve C noktalarından geçiyorsa, o zaman ABC olarak adlandırılabilir.

Düzlemin ve noktanın göreli konumunun ikinci varyantını veren bir aksiyom daha formüle edelim: aynı düzlemde yer almayan en az dört nokta var. Yani uzaydaki bir nokta bir düzleme ait olmayabilir. Gerçekten de, önceki aksiyom sayesinde, bir düzlem uzayın üç noktasından geçer ve dördüncü nokta bu düzlemde olabilir veya olmayabilir. Kısacası, "ait değil" ifadesinin karşılığı olan "" sembolü kullanılır.

Örneğin, A noktası düzlemde yer almıyorsa, kısa bir gösterim kullanın.

Uzayda çizgi ve düzlem.

İlk olarak, bir düzlemde düz bir çizgi uzanabilir. Bu durumda, bu düz çizginin en az iki noktası düzlemde bulunur. Bu, aksiyom tarafından belirlenir: bir düzlemde düz bir çizginin iki noktası varsa, o zaman bu düz çizginin tüm noktaları bir düzlemde bulunur. Belirli bir düzlemin belirli bir düz çizgisine ait kısa bir kayıt için "" sembolünü kullanın. Örneğin, kayıt, a çizgisinin düzlemde olduğu anlamına gelir.

İkincisi, düz çizgi düzlemi kesebilir. Bu durumda, düz çizgi ve düzlem, düz çizgi ile düzlemin kesişme noktası olarak adlandırılan tek bir ortak noktaya sahiptir. Kısacası, kavşak "" sembolü ile gösterilir. Örneğin, kayıt, düz a çizgisinin düzlemi M noktasında kestiği anlamına gelir. Bir düzlem düz bir çizgiyle kesiştiğinde, düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı kavramı ortaya çıkar.

Ayrı olarak, düzlemi kesen ve bu düzlemde uzanan herhangi bir düz çizgiye dik olan düz bir çizgi üzerinde durmaya değer. Bu çizgiye düzleme dik denir. Dikliğin kısa gösterimi için "" sembolünü kullanın. Malzemenin daha derin bir çalışması için, bir çizgi ve bir düzlemin dikeyliği makalesine başvurabilirsiniz.

Düzlemle ilgili problemlerin çözümünde özellikle önemli olan düzlemin sözde normal vektörüdür. Bir düzlemin normal vektörü, bu düzleme dik düz bir çizgi üzerinde bulunan sıfır olmayan herhangi bir vektördür.

Üçüncüsü, düz bir çizgi düzleme paralel olabilir, yani ortak noktaları olmayabilir. Paralelliğin kısaltması olduğunda, "" sembolünü kullanın. Örneğin, a doğrusu düzleme paralel ise yazabilirsiniz. Düz bir çizgi ve bir düzlemin paralelliği makalesine başvurarak bu durumu daha ayrıntılı olarak incelemenizi öneririz.

Bir düzlemde uzanan düz bir çizginin bu düzlemi iki yarım düzleme böldüğü söylenmelidir. Bu durumda düz çizgiye yarım düzlemlerin sınırı denir. Bir yarım düzlemin herhangi iki noktası, düz çizginin bir tarafında bulunur ve farklı yarım düzlemlerin iki noktası, sınır düz çizgisinin zıt taraflarında bulunur.

Uçakların karşılıklı düzenlenmesi.

Uzayda iki düzlem çakışabilir. Bu durumda, ortak en az üç noktaları vardır.

Uzayda iki düzlem kesişebilir. İki düzlemin kesişimi, aksiyom tarafından oluşturulan düz bir çizgidir: iki düzlemin ortak bir noktası varsa, bu düzlemlerin tüm ortak noktalarının üzerinde bulunduğu ortak bir düz çizgileri vardır.

Bu durumda, kesişen düzlemler arasında bir açı kavramı ortaya çıkar. Özellikle ilgi çekici olan, düzlemler arasındaki açının doksan dereceye eşit olduğu durumdur. Bu tür düzlemlere dik denir. Uçakların dikliği makalesinde onlardan bahsetmiştik.

Son olarak, uzayda iki düzlem paralel olabilir, yani ortak noktaları yoktur. Uçakların göreceli konumu için bu seçeneğin tam bir resmini elde etmek için düzlemlerin paralelliği makalesini okumanızı öneririz.

Bir düzlem belirleme yöntemleri.

Şimdi uzayda belirli bir düzlemi tanımlamanın ana yollarını listeleyeceğiz.

İlk olarak, bir düz çizgi üzerinde yer almayan uzayda üç nokta sabitlenerek bir düzlem tanımlanabilir. Bu yöntem bir aksiyoma dayanır: tek bir düzlem, tek bir doğru üzerinde yer almayan herhangi üç noktadan geçer.

Bir düzlem sabitse ve üç boyutlu uzayda bir düz çizgi üzerinde yer almayan üç farklı noktasının koordinatları belirtilerek belirtilmişse, verilen üç noktadan geçen düzlemin denklemini yazabiliriz.

Bir düzlemi tanımlamanın sonraki iki yolu, bir öncekinin sonucudur. Üç noktadan geçen bir düzlemin aksiyomunun doğal sonuçlarına dayanırlar:

• bir düzlem düz bir çizgiden ve üzerinde olmayan bir noktadan geçer, ayrıca sadece bir tane (ayrıca makaleye bakın düz bir çizgiden ve bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi);
• tek bir düzlem kesişen iki düz çizgiden geçer (ürün malzemesini, kesişen iki düz çizgiden geçen bir düzlemin denklemini öğrenmenizi öneririz).

Uzayda bir düzlem tanımlamanın dördüncü yolu, paralel çizgilerin tanımına dayanmaktadır. Uzaydaki iki düz çizginin aynı düzlemde uzanıyorsa ve kesişmiyorsa paralel olarak adlandırıldığını hatırlayın. Böylece, uzayda iki paralel çizgiyi göstererek, bu çizgilerin bulunduğu tek düzlemi tanımlamış oluyoruz.

Üç boyutlu uzayda bir dikdörtgen koordinat sistemine göre bir düzlem bu şekilde belirtilirse, iki paralel çizgiden geçen bir düzlem için bir denklem formüle edebiliriz.

Bir lise dersinde geometri derslerinde şu teorem ispatlanır: Verilen bir doğruya dik olan tek bir düzlem uzayda sabit bir noktadan geçer. Böylece, içinden geçtiği noktayı ve ona dik olan bir doğruyu belirtirsek bir düzlem belirtebiliriz.

Dikdörtgen bir koordinat sistemi üç boyutlu uzayda sabitlenirse ve belirtilen şekilde bir düzlem belirtilirse, belirli bir noktadan belirli bir düz çizgiye dik geçen bir düzlem için bir denklem çizilebilir.

Bir düzleme dik düz bir çizgi yerine, bu düzlemin normal vektörlerinden birini belirleyebilirsiniz. Bu durumda yazılabilir.

İki düz çizginin göreli konumu

Aşağıdaki ifadeler, kanonik denklemlerle verilen iki düz çizginin uzaydaki göreli konumu için gerekli ve yeterli kriterleri ifade eder.

a) Düz çizgiler çaprazlanır, yani. aynı düzlemde yatmayın.

B) Doğrular kesişir.

Ancak vektörler ve doğrusal değildir (aksi takdirde koordinatları orantılıdır).

v) Doğrular paraleldir.

Vektörler ve eşdoğrusaldır, ancak vektör onlara doğrusal değildir.

G) Düz çizgiler aynıdır.

Her üç vektör:, eşdoğrusaldır.

Kanıt. Belirtilen işaretlerin yeterliliğini kanıtlayalım

a) Veri hatlarının vektör ve yön vektörlerini göz önünde bulundurun

o zaman bu vektörler eş düzlemli değildir, dolayısıyla bu doğrular aynı düzlemde bulunmazlar.

B) Eğer vektörler aynı düzlemdeyse, bu nedenle bu çizgiler aynı düzlemdedir ve bu durumda ( B) bu doğruların yön vektörlerinin doğrusal olmadığı varsayılır, sonra doğrular kesişir.

v) Yön vektörleri ve doğruların verileri eşdoğrusal ise, o zaman doğrular paraleldir veya çakışır. Ne zaman ( v) doğrular paraleldir, çünkü koşuluna göre, orijini birinci düz çizginin noktasında ve sonu ikinci düz çizginin noktasında olan vektör eşdoğrusal değildir ve.

d) Tüm vektörler ve eşdoğrusal ise, doğrular çakışır.

İşaretlere duyulan ihtiyaç çelişkiyle kanıtlanmıştır.

Kletenik No. 1007

Aşağıdaki ifadeler, kanonik denklemlerle verilen doğrunun karşılıklı konumu için gerekli ve yeterli koşulları vermektedir.

ve verilen uçak genel denklem

genel Kartezyen koordinat sistemine göre.

Düzlem ve doğru kesişir:

Düzlem ve doğru paraleldir:

Düz çizgi düzlemde uzanır:

Önce belirtilen kriterlerin yeterliliğini ispatlayalım. Bu doğrunun denklemlerini parametrik biçimde yazalım:

Formül (3)'ten alınan bu düz çizginin keyfi bir noktasının koordinatlarını (2 (düzlem)) denklemine koyarak, şunları elde ederiz:

1. Eğer, o zaman denklem (4) görecelidir T tek karar:

bu, bu doğrunun ve bu düzlemin yalnızca bir ortak noktaya sahip olduğu anlamına gelir, yani. kesişir.

2. Eğer denklem (4) herhangi bir değer için sağlanmıyorsa T, yani bu doğru üzerinde bu düzlem üzerinde uzanan tek bir nokta yoktur, bu nedenle verilen doğru ve düzlem paraleldir.

3. Eğer denklem (4) herhangi bir değer için sağlanırsa T, yani bu doğrunun tüm noktaları bu düzlemdedir, yani bu doğru bu düzlemdedir.

Bir doğrunun ve bir düzlemin göreli konumu için elde ettiğimiz yeterli koşulların ikisi de zorunludur ve çelişki yöntemiyle hemen kanıtlanabilir.

Kanıtlanmış olanlardan, gerekli ve yeterli koşul vektörün, genel Kartezyen koordinat sistemine göre genel denklem tarafından verilen düzleme eş düzlemli olması.