Bu yazıda, bir noktadan bir düzleme olan mesafenin bir tanımını vereceğiz ve üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan belirli bir düzleme olan mesafeyi bulmanızı sağlayan koordinat yöntemini analiz edeceğiz. Teorinin sunumundan sonra, birkaç tipik örnek ve problemin çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Sayfa gezintisi.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe bir tanımdır.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe, biri belirli bir nokta, diğeri belirli bir noktanın belirli bir düzleme izdüşümü olan aracılığıyla belirlenir.

Üç boyutlu uzayda bir M1 noktası ve bir düzlem verilsin. M 1 noktasından geçen, düzleme dik bir a düz çizgisi çizelim. a doğrusu ile düzlemin kesişim noktasını H 1 olarak gösterelim. M 1 H 1 segmenti denir dik, M 1 noktasından düzleme indirilmiş ve H 1 noktası - dikeyin tabanı.

Tanım.

verilen bir noktadan belirli bir düzleme çizilen bir dikmenin, belirli bir noktadan tabanına olan uzaklıktır.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafenin tanımı aşağıdaki biçimde daha yaygındır.

Tanım.

Noktadan düzleme uzaklık verilen bir noktadan belirli bir düzleme bırakılan dikmenin uzunluğudur.

Bu şekilde belirlenen M1 noktasından düzleme olan uzaklığın, verilen M1 noktasından düzlemin herhangi bir noktasına olan mesafelerin en küçüğü olduğuna dikkat edilmelidir. Gerçekten de, H2 noktasının düzlemde olmasına ve H1 noktasından farklı olmasına izin verin. Açıkçası, M 2 H 1 H 2 üçgeni dikdörtgendir, içinde M 1 H 1 bir bacak ve M 1 H 2 hipotenüs, bu nedenle, . Bu arada, M 1 H 2 segmenti denir eğik M 1 noktasından düzleme çizilir. Dolayısıyla, belirli bir noktadan belirli bir düzleme bırakılan dik, aynı noktadan belirli bir düzleme çizilen eğik olandan her zaman daha küçüktür.

Bir noktadan düzleme olan mesafe - teori, örnekler, çözümler.

Bazı geometrik problemler çözümün bir aşamasında bir noktadan bir düzleme olan uzaklığı bulmayı gerektirir. Bunun için yöntem, kaynak verilere bağlı olarak seçilir. Genellikle sonuç, ya Pisagor teoreminin ya da üçgenlerin eşitlik ve benzerlik işaretlerinin kullanılmasıdır. Üç boyutlu uzayda verilen bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmanız gerekiyorsa, koordinat yöntemi kurtarmaya gelir. Makalenin bu paragrafında, sadece analiz edeceğiz.

İlk olarak, problemin durumunu formüle ediyoruz.

AT dikdörtgen sistem bir nokta verilen üç boyutlu uzayda Oxyz koordinatları , düzlem ve M1 noktasından düzleme olan uzaklığı bulmak gerekir.

Bu sorunu çözmenin iki yoluna bakalım. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplamanıza izin veren ilk yöntem, H1 noktasının koordinatlarını bulmaya dayanır - M1 noktasından düzleme bırakılan dikin tabanı ve ardından arasındaki mesafeyi hesaplamak. M 1 ve H 1 noktaları . Belirli bir noktadan belirli bir düzleme olan mesafeyi bulmanın ikinci yolu, belirli bir düzlem için normal denklemin kullanılmasını içerir.

Bir noktadan uzaklığı hesaplamanın ilk yolu uçağa.

M1 noktasından düzleme çizilen dikmenin tabanı H 1 olsun. H 1 noktasının koordinatlarını belirlersek, M1 noktasından düzleme gerekli mesafe, noktalar arasındaki mesafe olarak hesaplanabilir. ve formüle göre. Böylece geriye H 1 noktasının koordinatlarını bulmak kalıyor.

Böyle, bir noktadan uzaklığı bulmak için algoritma uçağa kadar sonraki:

Bir noktadan uzaklığı bulmaya uygun ikinci yöntem uçağa.

Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde bize bir düzlem verildiği için düzlemin normal denklemini formda alabiliriz. Daha sonra noktadan uzaklık düzleme formülü ile hesaplanır. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmak için bu formülün geçerliliği aşağıdaki teorem ile belirlenir.

Teorem.

Oxyz dikdörtgen koordinat sistemi üç boyutlu uzayda sabitlensin, bir nokta ve normal denklem uçağı görüntüle. M1 noktasından düzleme olan mesafe, düzlemin normal denkleminin sol tarafındaki ifadenin değerinin mutlak değerine eşittir, yani .

Kanıt.

Bu teoremin kanıtı, bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulma bölümünde verilen benzer bir teoremin kanıtına kesinlikle benzer.

M1 noktasından düzleme olan mesafenin, M1 sayısal projeksiyonu ile orijinden düzleme olan mesafe arasındaki farkın modülüne eşit olduğunu göstermek kolaydır, yani, , nerede - düzlemin normal vektörü , bire eşittir, - vektör tarafından belirlenen yöne.

ve tanım gereği , ancak koordinat biçimindedir . Bu nedenle ve gerektiği gibi kanıtlamak.

Böylece, noktadan uzaklık düzleme, M1 noktasının x, y ve z yerine x 1 , y 1 ve z 1 koordinatlarını düzlemin normal denkleminin sol tarafına koyarak ve elde edilen değerin mutlak değerini alarak hesaplanabilir. .

Bir noktadan uzaklık bulma örnekleri uçağa.

Misal.

Noktadan uzaklığı bulun uçağa.

Karar.

İlk yol.

Problem durumunda, bize form düzleminin genel bir denklemi verildi, buradan görülebileceği gibi. bu düzlemin normal vektörüdür. Bu vektör, verilen düzleme dik bir doğrunun yönlendirici vektörü olarak alınabilir. O zaman bu noktadan geçen uzayda bir doğrunun kanonik denklemlerini yazabiliriz. ve koordinatları olan bir yön vektörü var, benziyorlar.

Çizginin kesiştiği noktanın koordinatlarını bulmaya başlayalım ve uçaklar. H 1 olarak gösterelim. Bunu yapmak için önce düz çizginin kanonik denklemlerinden kesişen iki düzlemin denklemlerine geçişi gerçekleştiriyoruz:

Şimdi denklem sistemini çözelim (gerekirse makaleye bakın). Kullanırız:

Böylece, .

Geriye, belirli bir noktadan belirli bir düzleme gerekli mesafeyi, noktalar arasındaki mesafe olarak hesaplamak kalır. ve :
.

İkinci çözüm.

Verilen düzlemin normal denklemini alalım. Bunu yapmak için, düzlemin genel denklemini normal forma getirmemiz gerekiyor. Normalleştirme faktörünü belirledikten sonra , düzlemin normal denklemini elde ederiz . Elde edilen denklemin sol tarafının değerini hesaplamak için kalır. ve elde edilen değerin modülünü alın - bu noktadan istenen mesafeyi verecektir uçağa:

Bu makale, bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi belirlemekten bahsediyor. üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan uzaklığı bulmamızı sağlayacak koordinat yöntemini analiz edelim. Birleştirmek için birkaç görevin örneklerini düşünün.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe, bir noktadan bir noktaya olan bilinen bir mesafe vasıtasıyla bulunur; burada bunlardan biri verilir ve diğeri belirli bir düzleme izdüşümdür.

Uzayda χ düzlemli bir M1 noktası verildiğinde, bu noktadan düzleme dik bir doğru çizilebilir. H 1 ortak nokta onların kavşakları. Buradan, M 1 H 1 doğru parçasının, M 1 noktasından χ düzlemine çizilen bir dik olduğunu elde ederiz, burada H 1 noktası dikin tabanıdır.

tanım 1

Belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikeyin, belirli bir noktadan tabanına olan mesafeye denir.

Tanım farklı formülasyonlarda yazılabilir.

tanım 2

Noktadan düzleme uzaklık Belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikeyin uzunluğu olarak adlandırılır.

M1 noktasından χ düzlemine olan mesafe şu şekilde tanımlanır: M1 noktasından χ düzlemine olan mesafe, belirli bir noktadan düzlemdeki herhangi bir noktaya kadar olan en küçük olacaktır. H 2 noktası χ düzleminde bulunuyorsa ve H 2 noktasına eşit değilse, o zaman şunu elde ederiz: sağ üçgen tip M 2 H 1 H 2 , bir ayağın bulunduğu dikdörtgen olan M 2 H 1, M 2 H 2 - hipotenüs. Dolayısıyla, bu M 1 H 1 anlamına gelir< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 M1 noktasından χ düzlemine çizilen eğimli kabul edilir. Belirli bir noktadan bir düzleme çizilen dik, bir noktadan belirli bir düzleme çizilen eğik olandan daha küçüktür. Bu durumu aşağıdaki şekilde düşünün.

Bir noktadan düzleme olan mesafe - teori, örnekler, çözümler

Çözümleri bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi içermesi gereken bir dizi geometrik problem vardır. Bunu tespit etmenin yolları farklı olabilir. Çözmek için Pisagor teoremini veya üçgenlerin benzerliğini kullanın. Koşullara göre, üç boyutlu uzayın dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilen bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplamak gerektiğinde, koordinat yöntemini kullanarak çözerler. Bu paragraf bu yöntemle ilgilidir.

Problemin durumuna göre, χ düzlemi ile M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip üç boyutlu uzayda bir nokta verilmiş, M 1'den M 1'e olan mesafeyi belirlemek gerekir. uçak χ. Çözmek için çeşitli çözümler kullanılır.

ilk yol

Bu yöntem, M1 noktasından χ düzlemine dikin tabanı olan H1 noktasının koordinatlarını kullanarak bir noktanın bir düzleme olan uzaklığını bulmaya dayanır. Ardından, M 1 ve H 1 arasındaki mesafeyi hesaplamanız gerekir.

Problemi ikinci şekilde çözmek için verilen bir düzlemin normal denklemi kullanılır.

ikinci yol

Koşul olarak, H 1'in M 1 noktasından χ düzlemine indirilen dikeyin tabanı olduğuna sahibiz. Ardından H 1 noktasının koordinatlarını (x 2, y 2, z 2) belirliyoruz. M 1'den χ düzlemine istenen mesafe, M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 formülüyle bulunur, burada M 1 (x 1, y 1 , z 1) ve H1 (x 2 , y 2 , z 2) . Çözmek için H 1 noktasının koordinatlarını bilmeniz gerekir.

H 1, χ düzleminin, χ düzlemine dik olan M1 noktasından geçen a çizgisiyle kesişme noktasıdır. Bundan, belirli bir noktadan belirli bir düzleme dik geçen düz bir çizginin denklemini formüle etmenin gerekli olduğu sonucu çıkar. O zaman H1 noktasının koordinatlarını belirleyebiliriz. Doğrunun ve düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını hesaplamak gerekir.

M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktadan χ düzlemine olan mesafeyi bulmak için algoritma:

tanım 3

• M 1 noktasından geçen ve aynı zamanda a düz çizgisinin denklemini oluşturun
• χ düzlemine dik;
• noktalar olan H 1 noktasının koordinatlarını (x 2, y 2, z 2) bulun ve hesaplayın
• a çizgisinin χ düzlemi ile kesişimi;
• M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 formülünü kullanarak M 1 ile χ arasındaki mesafeyi hesaplayın.

Üçüncü yol

Verilen bir O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde bir χ düzlemi vardır, o zaman cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 biçimindeki düzlemin normal bir denklemini elde ederiz. Buradan, M 1 (x 1 , y 1 , z 1) noktası ile M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos formülüyle hesaplanan χ düzlemine çizilen M 1 H 1 mesafesini elde ederiz. y z-p. Bu formül, teorem sayesinde kurulduğu için geçerlidir.

teorem

Üç boyutlu uzayda bir M 1 (x 1 , y 1 , z 1) noktası verilirse, cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 biçimindeki χ düzleminin normal denklemine sahip olur, daha sonra noktadan M 1 H 1 düzlemine olan mesafeyi hesaplamak, M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p formülünden türetilir, çünkü x = x 1 , y = y 1 , z = z1 .

Kanıt

Teoremin kanıtı, bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulmaya indirgenir. Buradan, M1'den χ düzlemine olan uzaklığın, M1 yarıçap vektörünün sayısal izdüşümü ile orijinden χ düzlemine olan mesafe arasındaki farkın modülü olduğunu elde ederiz. Sonra M 1 H 1 = n p n → O M → - p ifadesini elde ederiz. χ düzleminin normal vektörü n → = cos α , cos β , cos γ şeklindedir ve uzunluğu bire eşittir, n p n → O M → O M → = (x 1 , y 1 vektörünün sayısal izdüşümüdür) , z 1) vektörü tarafından belirlenen yönde n → .

Skaler vektörleri hesaplamak için formülü uygulayalım. Sonra n → , O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → biçiminde bir vektör bulmak için bir ifade elde ederiz, çünkü n → = cos α , cos β , cos γ z ve O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Notasyonun koordinat formu n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, ardından M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos şeklinde olacaktır. β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorem kanıtlanmıştır.

Buradan, M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasından χ düzlemine olan mesafenin, düzlemin normal denkleminin sol tarafına ikame edilerek hesaplandığını elde ederiz. cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 yerine x, y, z koordinatları x 1 , y 1 ve z1 M1 noktası ile ilgili olarak, elde edilen değerin mutlak değeri alınır.

Koordinatları olan bir noktadan belirli bir düzleme olan mesafeyi bulma örneklerini düşünün.

örnek 1

M 1 (5 , - 3 , 10) koordinatlarına sahip noktadan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 düzlemine olan mesafeyi hesaplayın.

Karar

Problemi iki şekilde çözelim.

İlk yöntem, a çizgisinin yön vektörünü hesaplayarak başlayacaktır. Koşul olarak, verilen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 denkleminin genel bir düzlem denklemi olduğunu ve n → = (2 , - 1 , 5) verilen düzlemin normal vektörü olduğunu elde ederiz. Verilen düzleme dik olan düz çizgi a için yönlendirici bir vektör olarak kullanılır. M 1 (5, - 3, 10) içinden geçen bir doğrunun 2, - 1, 5 koordinatlarına sahip bir yön vektörü ile uzayda kanonik denklemini yazmalısınız.

Denklem x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 gibi görünecektir.

Kavşak noktaları tanımlanmalıdır. Bunu yapmak için, kanonikten kesişen iki çizginin denklemlerine geçiş için denklemleri yavaşça bir sistemde birleştirin. verilen nokta H1 için alın. anladık

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

O zaman sistemi etkinleştirmeniz gerekir

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Sistemi Gauss'a göre çözme kuralına dönelim:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

H 1 (1, - 1, 0) elde ederiz.

Belirli bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplıyoruz. M 1 (5, - 3, 10) ve H 1 (1, - 1, 0) noktalarını alıyoruz ve

M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

İkinci çözüm, önce verilen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 denklemini normal forma getirmektir. Normalleştirme faktörünü belirliyoruz ve 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 elde ediyoruz. Buradan 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 düzleminin denklemini elde ederiz. Denklemin sol tarafı, x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10 değiştirilerek hesaplanır ve M 1 (5, - 3, 10) ile 2 x - y + arasındaki mesafeyi almanız gerekir. 5 z - 3 = 0 modül. Şu ifadeyi alıyoruz:

M 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

Cevap: 2 30 .

χ düzlemi, düzlemi belirtmek için kesit yöntemlerinin yöntemlerinden biri ile belirtildiğinde, önce χ düzleminin denklemini elde etmeniz ve herhangi bir yöntemi kullanarak gerekli mesafeyi hesaplamanız gerekir.

Örnek 2

M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) koordinatlarına sahip noktalar üç boyutlu uzayda ayarlanır. M 1 ile A B C düzlemi arasındaki mesafeyi hesaplayın.

Karar

Öncelikle verilen üç noktadan geçen düzlemin denklemini M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4 , 0 , - bir) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Bu, sorunun öncekine benzer bir çözümü olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, M1 noktasından A B C düzlemine olan uzaklık 2 30'dur.

Cevap: 2 30 .

Bir düzlemdeki belirli bir noktadan veya paralel oldukları bir düzleme olan mesafeyi bulmak, M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p formülünü uygulayarak daha uygundur. . Buradan, düzlemlerin normal denklemlerinin birkaç adımda elde edildiğini anlıyoruz.

Örnek 3

M 1 (- 3 , 2 , - 7) koordinatlarına sahip belirli bir noktadan uzaklığı bulun koordinat uçağı Yaklaşık x y z ve 2 y - 5 = 0 denklemiyle verilen düzlem.

Karar

O y z koordinat düzlemi, x = 0 biçimindeki bir denkleme karşılık gelir. O y z düzlemi için normaldir. Bu nedenle, x \u003d - 3 değerlerini ifadenin sol tarafına yerleştirmek ve M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatlarına sahip noktadan düzleme olan uzaklığın mutlak değerini almak gerekir. . - 3 = 3'e eşit bir değer elde ederiz.

Dönüşümden sonra, 2 y - 5 = 0 düzleminin normal denklemi y - 5 2 = 0 şeklini alacaktır. Daha sonra M 1 (- 3 , 2 , - 7) koordinatlarına sahip noktadan 2 y - 5 = 0 düzlemine gerekli mesafeyi bulabilirsiniz. Değiştirerek ve hesaplayarak 2 - 5 2 = 5 2 - 2 elde ederiz.

Cevap: M 1 (- 3 , 2 , - 7) ile O y z arasındaki istenen mesafe 3 değerine ve 2 y - 5 = 0 değerine 5 2 - 2 değerine sahiptir .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu yüzden bu sayfada bir şeyler okudum (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vNormal);

burada vP1 düzlemde bir noktadır ve vNormal düzlemin normalidir. Sonuç her zaman 0 olacağı için bunun size dünyanın başlangıcından olan uzaklığı nasıl verdiğini merak ediyorum. Ayrıca, açık olmak gerekirse (2B denklemin D kısmında hala biraz bulanık olduğum için), d'dir. 2B denklemde, düzlemin başlangıcından önce dünyanın başlangıcına kadar olan çizgiden olan mesafe?

3 Cevap

6

Genel olarak, bir p noktası ile bir düzlem arasındaki mesafe, formül kullanılarak hesaplanabilir.

nerede - nokta ürün işlemi

= ax*bx + ay*by + az*bz

ve burada p0 düzlemde bir noktadır.

Eğer n birim uzunluğa sahipse, o zaman vektör ile vektör arasındaki nokta çarpım, vektörün Normal üzerine izdüşümünün (işaretli) uzunluğudur.

Bildirdiğiniz formül, p noktasının orijin olduğu özel bir durumdur. Bu durumda

mesafe = = -

Bu eşitlik teknik olarak yanlıştır çünkü nokta çarpım vektörlerle ilgilidir, noktalarla değil... ama yine de sayısal olarak geçerlidir. Açık bir formül yazarak, bunu elde edersiniz

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

aynı

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

2

Sonuç her zaman sıfır değildir. Sadece düzlem orijinden geçerse sonuç sıfır olacaktır. (Burada uçağın orijinden geçmediğini varsayalım.)

Temel olarak, size başlangıç ​​noktasından düzlemde bir noktaya kadar bir çizgi verilir. (Yani, orijinden vP1'e bir vektörünüz var). Bu vektörle ilgili sorun, büyük olasılıkla çarpık olması ve uçaktaki en yakın noktadan ziyade uçakta uzak bir yere gitmesidir. Yani vP1 uzunluğunu yeni aldıysanız, çok fazla mesafe alacaksınız.

Yapmanız gereken, vP1'in düzleme dik olduğunu bildiğiniz bir vektöre izdüşümü almak. Elbette vNormaldir. Yani vP1 ve vNormal'in nokta çarpımını alın ve vNormal'ın uzunluğuna bölün ve cevabınızı alın. (Size zaten büyüklük olan bir vNormal verecek kadar kibarlarsa, bölmeye gerek yoktur.)

1

Bu sorunu Lagrange çarpanları ile çözebilirsiniz:

Uçaktaki en yakın noktanın şöyle görünmesi gerektiğini biliyorsunuz:

C=p+v

Burada c en yakın noktadır ve v düzlem boyunca bir vektördür (böylece n'ye normale diktir). En küçük normla (veya kare normla) c bulmaya çalışıyorsunuz. Yani v n'ye dik olduğu sürece nokta(c,c)'yi küçültmeye çalışıyorsunuz (böylece nokta(v,n) = 0).

Böylece, Lagrange'ı ayarlayın:

L = nokta(c,c) + lambda * (nokta(v,n)) L = nokta(p+v,p+v) + lambda * (nokta(v,n)) L = nokta(p,p) + 2*nokta(p,v) + nokta(v,v) * lambda * (nokta(v,n))

Ve v'ye göre türevi alın (ve 0'a ayarlayın):

2 * p + 2 * v + lambda * n = 0

Yukarıdaki denklemdeki lambdayı noktalı olarak çözebilir, elde etmek için n üzerinde her iki tarafı da üretebilirsiniz.

2 * nokta(p,n) + 2 * nokta(v,n) + lambda * nokta(n,n) = 0 2 * nokta(p,n) + lambda = 0 lambda = - 2 * nokta(p,n ))

dot(n,n) = 1 ve dot(v,n) = 0 olduğuna tekrar dikkat edin (çünkü v düzlemdedir ve n ona diktir). Yedek lambda daha sonra şunu almak için geri döner:

2 * p + 2 * v - 2 * nokta(p,n) * n = 0

ve v için şunu elde etmek için çözün:

V = nokta(p,n) * n - p

Ardından, şunu elde etmek için bunu c = p + v'ye geri takın:

C = nokta(p,n) * n

Bu vektörün uzunluğu |dot(p,n)| , ve işaret size noktanın orijinden normal vektörün yönünde mi yoksa orijinden ters yönde mi olduğunu söyler.

ax+by+cz=d düzlem denklemim olduğunu varsayalım, düzlemden orijine olan en kısa mesafeyi nasıl bulabilirim? gidiyorum ters yön bu yazıdan. Bu yazıda onlar...

Diyelim ki Kinect (0,0,0) konumunda oturuyor ve +Z yönüne bakıyor. (1, 1, 1) konumunda bir nesne olduğunu ve Kinect derinlik görüntüsündeki piksellerden birinin o nesneyi temsil ettiğini varsayalım....

Noktaların iki koordinatlı bir veri çerçevesi tarafından verildiği tüm noktalara orijinden olan mesafeyi eşitlemek istiyorum. Tüm puanlarım şöyle: x y 1 0.0 0.0 2 -4.0 -2.8 3 -7.0 -6.5 4 -9.0 -11,1...

Referans bilgisi Burada gösterilene benzer bir küresel koordinat sistemi düşünün: Koordinat Sistemi http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif Belirli bir nokta için, biz...

gluPerspective ile tanımlanmış bir 3B sahnem ve bir kameram var. Sabit bir FOV'um var ve herhangi bir geometrinin kameradan minimum mesafesini biliyorum (bu bir birinci şahıs görüşüdür, yani...

A, B, C noktaları ve uzayda bir nokta (P) olan bir üçgenim var. Bir noktadan bir uçağa olan mesafeyi nasıl bulabilirim? P'den uçağa olan mesafeyi hesaplamam gerekiyor, gerçi benim...

Bir CGPoint'i (kırmızı dikdörtgen) başka bir CGPoint'in (mavi dikdörtgen) etrafında döndürmek istiyorum ama orijinden olan mesafeyi değiştiriyor (mavi dikdörtgen)... oluşturduğu köşede 270 verdiğimde...

X, Y, Z düzlem merkezi, Kartezyen koordinatlarını almam gerekiyor. Uçağın normaline ve ondan uzaklığına sahibim Merkez nokta koordinatların orijinine. Nokta(lar)ı herhangi bir yere yerleştirebilirim ve...

Verilen: nokta (x1, y1, z1) yön vektörü (a1, b1, c1) düzlemi ax + by + cz + d = 0 Bu vektör boyunca noktadan düzleme D mesafesini nasıl bulabilirim? teşekkürler

Dünya koordinat sistemine göre bir döndürme matrisi R ve bir öteleme T tarafından tanımlanan bir kamera koordinat sistemine sahibim. Bir düzlem, kamera koordinatlarında normal bir N ve üzerinde bir P noktası ile tanımlanır....