Bu makale, bir serinin toplamını bulmaktan yakınsama için incelemeye kadar, sayı dizileri konusundaki hemen hemen her örneği çözmek için gerekli bilgileri topladı ve yapılandırdı.

Makalenin gözden geçirilmesi.

İşaret pozitif, işaret değiştiren seri ve yakınsama kavramının tanımlarıyla başlayalım. Daha sonra, harmonik seriler, genelleştirilmiş harmonik seriler gibi standart serileri ele alacağız, sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamını bulma formülünü hatırlayacağız. Daha sonra yakınsak serilerin özelliklerine dönüyoruz, serilerin yakınsaklığı için gerekli koşul üzerinde duruyoruz ve serilerin yakınsaklığı için yeterli kriterleri sağlamıyoruz. Teoriyi, ayrıntılı açıklamalarla birlikte tipik örneklerin çözümü ile seyrelteceğiz.

Sayfa gezintisi.

Temel tanımlar ve kavramlar.

Diyelim ki sayısal bir dizimiz var, burada .

Sayısal diziye bir örnek verelim: .

sayı serisi Formun sayısal bir dizisinin üyelerinin toplamıdır .

Bir sayı dizisine örnek olarak, payda q = -0.5 ile sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamını verebiliriz: .

Arandı sayı dizisinin ortak üyesi veya dizinin k-inci üyesi.

Önceki örnek için, sayı serisinin ortak terimidir.

Bir sayı dizisinin kısmi toplamı n'nin bir miktar olduğu formun bir toplamıdır. doğal sayı... ayrıca bir sayı serisinin n'inci kısmi toplamı olarak da adlandırılır.

Örneğin, serinin dördüncü kısmi toplamı orada .

Kısmi tutarlar bir sayı dizisinin kısmi toplamlarının sonsuz bir dizisini oluşturur.

Serimiz için, n'inci kısmi toplam, bir geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamının formülüyle bulunur. , yani, aşağıdaki kısmi toplamlar dizisine sahip olacağız: .

sayı dizisi denir yakınsak kısmi toplamlar dizisinin sonlu bir sınırı varsa. Sayısal bir dizinin kısmi toplamları dizisinin limiti yoksa veya sonsuzsa, o zaman dizi denir. farklı.

Bir yakınsak sayı serisinin toplamı kısmi toplamlarının dizisinin limiti olarak adlandırılır, yani, .

Örneğimizde, bu nedenle, dizi yakınsar ve toplamı on altıya eşittir: .

Bir paydası birden büyük olan bir geometrik ilerlemenin toplamı, ıraksak seriye bir örnektir: ... n'inci kısmi toplam ifade ile belirlenir , ve kısmi toplamların sınırı sonsuzdur: .

Uzaklaşan bir sayı serisinin başka bir örneği, formun toplamıdır. Bu durumda n'inci kısmi toplam olarak hesaplanabilir. Kısmi toplamların sınırı sonsuzdur .

formun toplamı aranan harmonik sayı serisi.

formun toplamı , s'nin bir gerçek sayı olduğu yerde denir genelleştirilmiş harmonik sayı serisi.

Yukarıdaki tanımlar, aşağıdaki çok sık kullanılan ifadeleri doğrulamak için yeterlidir, hatırlamanızı öneririz.

HARMONIC SERİSİ PAYLAŞIYOR.

Harmonik serinin diverjansını ispatlayalım.

Serinin yakınsadığını varsayalım. O zaman kısmi toplamlarının sonlu bir limiti vardır. Bu durumda, yazabiliriz ve bu da bizi eşitliğe götürür. .

Diğer tarafta,


Aşağıdaki eşitsizlikler şüphesizdir. Böylece, . Ortaya çıkan eşitsizlik bize eşitliğin elde edilemez, bu da harmonik serilerin yakınsaklığı hakkındaki varsayımımızla çelişir.

Sonuç: harmonik seriler birbirinden ayrılır.

GÖRÜNÜMÜN PAYDA q İLE GEOMETRİK İLERLEME TOPLAMI, IF VE BÖLEN SERİSİ BİR YAKLAŞAN SAYI SERİSİDİR.

Hadi kanıtlayalım.

Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamının formülle bulunduğunu biliyoruz. .

doğru olduğunda


sayı serisinin yakınsaklığını gösterir.

q = 1 için bir sayı dizimiz var ... Kısmi toplamları şu şekilde bulunur ve kısmi toplamların limiti sonsuzdur. , bu durumda serinin sapmasını gösterir.

q = -1 ise, sayı serisi şu şekli alacaktır: ... Kısmi toplamlar, tek n ve çift n değerlerini alır. Bundan, kısmi toplamların sınırının olmadığı ve serilerin birbirinden ayrıldığı sonucuna varabiliriz.

doğru olduğunda


sayı serisinin diverjansını gösterir.

GENEL OLARAK HARMONİK SERİSİ s> 1 İÇİN BİRLEŞTİRİR VE ÇEŞİTLİDİR.

Kanıt.

s = 1 için harmonik bir seri elde ederiz ve bunun diverjansını yukarıda belirledik.

NS s eşitsizlik tüm doğal k için geçerlidir. Harmonik serinin diverjansı nedeniyle, kısmi toplamlarının dizisinin sınırsız olduğu (sonlu limit olmadığı için) iddia edilebilir. O zaman sayısal serilerin kısmi toplamlarının sırası daha sınırsızdır (bu serinin her terimi harmonik serinin karşılık gelen teriminden daha büyüktür), bu nedenle, genelleştirilmiş harmonik seri s'de ıraksar.

Geriye s> 1 için serinin yakınsaklığını kanıtlamak kalıyor.

Farkı yazalım:



Açıkçası, o zaman


n = 2, 4, 8, 16, ... için elde edilen eşitsizliği yazalım.



Bu sonuçları kullanarak, orijinal sayı serisiyle aşağıdakileri yapabilirsiniz:



İfade paydası olan bir geometrik ilerlemenin toplamıdır. s> 1 durumunu düşündüğümüzden, o zaman. Bu yüzden
... Böylece, s> 1 için genelleştirilmiş harmonik serilerin kısmi toplamlarının dizisi artar ve aynı zamanda değer tarafından yukarıdan sınırlandırılır, bu nedenle serinin yakınsamasını gösteren bir limiti vardır. Kanıt tamamlandı.

sayı dizisi denir pozitif tüm üyeleri olumluysa, yani, .

sayı dizisi denir dönüşümlü komşu üyelerinin işaretleri farklıysa. Alternatif bir sayı serisi şu şekilde yazılabilir: veya , nerede .

sayı dizisi denir dönüşümlü hem pozitif hem de negatif terimlerden oluşan sonsuz bir küme içeriyorsa.

Bir alternatif sayı serisi, bir alternatif serinin özel bir halidir.

rütbeler

sırasıyla işaret pozitif, işaret dönüşümlü ve işaret dönüşümlüdür.

Değişken bir dizi için mutlak ve koşullu yakınsaklık kavramı vardır.

kesinlikle yakınsak, üyelerinin bir dizi mutlak değeri birleşirse, yani bir işaret-pozitif sayı dizisi yakınsar.

Örneğin, sayı dizileri ve serisinden beri kesinlikle yakınsak , sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamıdır.

Alternatif dizi denir koşullu yakınsak eğer seri ayrışır ve seri yakınsarsa.

Geleneksel olarak yakınsak bir sayı dizisine örnek olarak, diziyi verebiliriz. ... sayı serisi , orijinal serinin üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan, harmonik olduğu için ıraksaktır. Aynı zamanda, orijinal seri yakınsaktır, bu da kullanılarak kolayca kurulur. Böylece, sayısal alternatif seriler koşullu yakınsak

Yakınsak sayısal serilerin özellikleri.

Örnek.

Bir sayı serisinin yakınsaklığını kanıtlayın.

Çözüm.

Seriyi farklı bir formda yazalım ... Sayısal seriler yakınsar, çünkü genelleştirilmiş harmonik seri s> 1 için yakınsaktır ve yakınsak sayısal dizilerin ikinci özelliği sayesinde, sayısal katsayılı bir dizi de yakınsayacaktır.

Örnek.

Sayı serisinin yakınsak olup olmadığı.

Çözüm.

Orijinal satırı dönüştürelim: ... Böylece, her biri yakınsayan iki sayısal serinin toplamını elde ettik (önceki örneğe bakın). Sonuç olarak, sayısal serilerin yakınsaklığının üçüncü özelliği sayesinde, orijinal seriler de yakınsar.

Örnek.

Bir sayı serisinin yakınsaklığını kanıtlayın ve toplamını hesaplayın.

Çözüm.

Bu sayı serisi, iki seri arasındaki fark olarak gösterilebilir:

Bu serilerin her biri, sonsuz olarak azalan bir geometrik ilerlemenin toplamıdır, bu nedenle yakınsaktır. Yakınsak serilerin üçüncü özelliği, orijinal sayı serilerinin yakınsadığını iddia etmemizi sağlar. Toplamını hesaplayalım.

Serinin ilk terimi birdir ve karşılık gelen geometrik ilerlemenin paydası 0,5'tir, bu nedenle, .

Serinin ilk terimi 3'tür ve karşılık gelen sonsuz azalan geometrik ilerlemenin paydası 1/3'tür, bu nedenle .

Orijinal sayısal serinin toplamını bulmak için elde edilen sonuçları kullanalım:

Serinin yakınsaklığı için gerekli bir koşul.

Sayı serisi yakınsarsa, k'inci teriminin sınırı sıfırdır:.

Herhangi bir sayı serisini yakınsama için incelerken öncelikle gerekli kondisyon yakınsama. Bu koşulun sağlanamaması, sayısal serinin farklı olduğunu gösterir, yani, eğer o zaman dizi ayrışır.

Öte yandan, bu koşulun yeterli olmadığını anlamalısınız. Yani eşitliğin sağlanması sayı serilerinin yakınsaması anlamına gelmez. Örneğin, bir harmonik seri için gerekli yakınsama koşulu sağlanmış ve seri ıraksamıştır.

Örnek.

Yakınsama için bir dizi sayıyı araştırın.

Çözüm.

Sayısal bir serinin yakınsaklığı için gerekli koşulu kontrol edelim:

sınır sayı serisinin n. elemanı sıfıra eşit değildir, bu nedenle seri ıraksar.

Pozitif bir serinin yakınsaklığının yeterli işaretleri.

Yakınsama için sayısal serileri incelemek için yeterli öznitelikleri kullanırken, sürekli uğraşmak zorunda kalırsınız, bu nedenle herhangi bir zorluk yaşarsanız bu bölüme bakmanızı öneririz.

Pozitif bir sayı serisinin yakınsaklığı için gerekli ve yeterli koşul.

Pozitif bir sayı serisinin yakınsaklığı için kısmi toplamlarının sırasının sınırlı olması gerekli ve yeterlidir.

Seri karşılaştırma işaretleri ile başlayalım. Özleri, incelenen sayısal serileri, yakınsaması veya uzaklaşması bilinen bir seri ile karşılaştırmada yatmaktadır.

Karşılaştırmanın birinci, ikinci ve üçüncü işaretleri.

Satırları karşılaştırmanın ilk işareti.

İki işaret-pozitif sayısal seri olsun ve eşitsizlik tüm k = 1, 2, 3 için geçerli olsun ... O halde serilerin yakınsaması yakınsamayı, serilerin ıraksaması ise uzaklaşmayı ifade eder.

İlk karşılaştırma kriteri çok sık kullanılır ve yakınsama için sayısal serileri araştırmak için çok güçlü bir araçtır. Ana sorun, karşılaştırma için uygun bir serinin seçilmesidir. Karşılaştırma için seri genellikle (ancak her zaman değil) k. teriminin üssü olacak şekilde seçilir. farka eşittir incelenen sayı serisinin k'inci üyesinin pay ve paydasının üsleri. Örneğin, pay ve paydanın üsleri arasındaki farkın 2 - 3 = -1 olduğunu varsayalım, bu nedenle karşılaştırma için k'inci terime sahip bir dizi, yani harmonik bir dizi seçiyoruz. Birkaç örneğe bakalım.

Örnek.

Serinin yakınsamasını veya uzaklaşmasını belirleyin.

Çözüm.

Serinin genel terim limiti sıfır olduğundan serinin yakınsaklığı için gerekli koşul sağlanır.

Eşitsizliğin tüm k doğal sayıları için geçerli olduğunu görmek kolaydır. Harmonik serinin ıraksadığını biliyoruz, bu nedenle, ilk karşılaştırma işaretine göre, orijinal seri de ıraksaktır.

Örnek.

Sayı serilerini yakınsama açısından inceleyin.

Çözüm.

Sayısal bir serinin yakınsaklığı için gerekli koşul sağlanır, çünkü ... Açıkçası, eşitsizlik herhangi bir doğal değer için k. Genelleştirilmiş harmonik seri s> 1 için yakınsak olduğu için seri yakınsaktır. Böylece, serileri karşılaştırmanın ilk işareti, orijinal sayısal serilerin yakınsaklığını belirtmemize izin verir.

Örnek.

Sayı serisinin yakınsaklığını veya sapmasını belirleyin.

Çözüm.

, bu nedenle, sayısal serilerin yakınsaklığı için gerekli koşul sağlanır. Karşılaştırma için hangi satırı seçmeli? Sayı dizisi kendini gösterir ve s'yi belirlemek için sayı dizisini dikkatlice inceleriz. Sayısal dizinin üyeleri sonsuza kadar artar. Böylece, bir N sayısından başlayarak (yani, N = 1619 ile), bu dizinin üyeleri 2'den büyük olacaktır. Bu N sayısından başlayarak eşitsizlik geçerlidir. Sayısal seri, yakınsayan serilerden ilk N - 1 terimleri atılarak elde edildiğinden, yakınsak serilerin birinci özelliği sayesinde yakınsar. Böylece birinci karşılaştırma kriterine göre seri yakınsaktır ve yakınsayan sayısal serilerin birinci özelliğinden dolayı seriler de yakınsayacaktır.

Karşılaştırmanın ikinci işareti.

Let ve pozitif sayısal seriler olsun. Eğer öyleyse, yakınsama serinin yakınsaklığından gelir. Eğer öyleyse, sapma sayısal serilerin sapmasından kaynaklanmaktadır.

Sonuç.

Eğer ve ise, o zaman bir serinin yakınsamasından diğerinin yakınsaması ve ıraksamadan uzaklaşma izler.

İkinci karşılaştırma kriterini kullanarak yakınsama serilerini inceleyelim. Bir dizi olarak yakınsak bir dizi alın. Sayısal serinin k'inci terimlerinin oranının sınırını bulalım:

Böylece, ikinci karşılaştırma kriterine göre, orijinal serilerin yakınsaması, sayısal serilerin yakınsaklığından kaynaklanmaktadır.

Örnek.

Bir sayı serisinin yakınsaklığını araştırın.

Çözüm.

Serinin yakınsaklığı için gerekli koşulu kontrol edelim. ... Koşul yerine getirilir. İkinci karşılaştırma kriterini uygulamak için harmonik bir seri alıyoruz. k'inci terimlerin oranının sınırını bulalım:

Sonuç olarak, harmonik serilerin sapmasından, ikinci karşılaştırma kriterine göre orijinal serilerin sapmasını takip eder.

Bilgi için, serileri karşılaştırmanın üçüncü işaretini vereceğiz.

Üçüncü karşılaştırma işareti.

Let ve pozitif sayısal seriler olsun. Eğer koşul bir N sayısından sağlanıyorsa, o zaman serilerin yakınsaklığından yakınsama, serilerin ıraksaklığından ise ıraksaklık gelir.

D'Alembert işareti.

Yorum Yap.

d'Alembert testi, limit sonsuz ise, yani , o zaman seri eğer yakınsarsa , daha sonra seri birbirinden uzaklaşır.

Eğer d'Alembert testi serilerin yakınsaması veya uzaklaşması hakkında bilgi sağlamazsa ve ek araştırma gereklidir.

Örnek.

Sayı serilerini d'Alembert yakınsaması için inceleyin.

Çözüm.

Sayısal bir serinin yakınsaklığı için gerekli koşulun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim, limit şu şekilde hesaplanır:

Koşul yerine getirilir.

d'Alembert testini kullanalım:

Böylece seri yakınsak olur.

Cauchy'nin radikal işareti.

Pozitif bir sayı dizisi olsun. Eğer, o zaman sayı serisi yakınsar, eğer, o zaman seri ıraksar.

Yorum Yap.

Cauchy'nin radikal kriteri, limit sonsuz ise, yani , o zaman seri eğer yakınsarsa , daha sonra seri birbirinden uzaklaşır.

Eğer radikal Cauchy testi, serilerin yakınsaması veya uzaklaşması hakkında bilgi sağlamaz ve ek araştırma gereklidir.

Radikal Cauchy kriterini kullanmanın en iyi olduğu durumları ayırt etmek genellikle yeterince kolaydır. Tipik bir durum, sayısal serinin ortak teriminin üstel olarak üstel ifade... Birkaç örneğe bakalım.

Örnek.

Radikal Cauchy testini kullanarak yakınsama için pozitif bir sayı serisini araştırın.

Çözüm.

... Cauchy radikal kriteri ile elde ederiz .

Sonuç olarak, seri yakınsaktır.

Örnek.

Sayı serileri yakınsar mı? .

Çözüm.

Radikal Cauchy kriterini kullanıyoruz , bu nedenle, sayı serisi yakınsar.

İntegral Cauchy testi.

Pozitif bir sayı dizisi olsun. Fonksiyona benzer, sürekli y = f (x) argümanına sahip bir fonksiyon oluşturalım. y = f (x) fonksiyonu pozitif, sürekli ve aralıkta azalan olsun, burada). Daha sonra yakınsama durumunda uygun olmayan integral incelenen sayısal seri yakınsar. Uygun olmayan integral ıraksarsa, orijinal seri de ıraksar.

Bir aralıkta y = f (x) fonksiyonunun azalmasını kontrol ederken, bölümdeki teori işinize yarayabilir.

Örnek.

Yakınsama için pozitif terimli bir dizi sayıyı inceleyin.

Çözüm.

Serinin yakınsaklığı için gerekli koşul sağlanır, çünkü ... Bir fonksiyon düşünelim. Aralık boyunca pozitif, sürekli ve azalan. Bu fonksiyonun devamlılığı ve pozitifliği şüphe götürmez, bu azalma üzerinde biraz daha detaylı duracağız. Türevini bulun:
... Aralıkta negatiftir, bu nedenle fonksiyon bu aralıkta azalır.

Standart yöntemlerle, ancak başka bir örnekle çıkmazdayız.

Zorluk nedir ve nerede bir engel olabilir? Sabunlu ipi bir kenara koyalım, sebepleri sakince analiz edelim ve pratik çözümlerle tanışalım.

İlk ve en önemli: vakaların ezici çoğunluğunda, bir serinin yakınsamasını incelemek için tanıdık bir yöntem kullanmak gerekir, ancak serinin ortak terimi o kadar kurnazca bir dolguyla doldurulur ki, bununla ne yapılacağı hiç açık değildir. o. Ve bir daire içinde yürüyorsunuz: ilk belirti çalışmıyor, ikincisi çalışmıyor, üçüncü, dördüncü, beşinci yöntem çalışmıyor, sonra taslaklar bir kenara atılıyor ve her şey yeniden başlıyor. Bu genellikle deneyim eksikliğinden veya kalkülüsün diğer alanlarındaki boşluklardan kaynaklanır. Özellikle, koşuyorsa sıra limitleri ve yüzeysel olarak demonte fonksiyon limitleri, o zaman sıkı olması gerekecek.

Başka bir deyişle, bir kişi bilgi veya deneyim eksikliğinden dolayı gerekli kararı görmez.

Bazen "tutulma" suçlanır, örneğin, serinin yakınsamasının gerekli işaretinin yerine getirilmemesi, ancak cehalet, dikkatsizlik veya ihmal nedeniyle gözden kaybolması durumunda. Ve matematik profesörünün bir çocuğun problemini vahşi tekrarlayan diziler ve sayı dizileri yardımıyla çözdüğü o bisiklette olduğu gibi çıkıyor =)

En iyi geleneklerde, hemen yaşayan örnekler: sıralar ve akrabaları - teoride kanıtlandığı için katılmıyorum sıra limitleri... Büyük ihtimalle ilk yarıyılda 1-2-3 sayfalık bir ispat için canınızı sıkacaklar ama şimdi şuna atıfta bulunarak dizinin yakınsaması için gerekli koşulun sağlanmadığını göstermek için oldukça yeterli. bilinen gerçekler... Tanınmış? Bir öğrenci n'inci kökün son derece güçlü bir şey olduğunu bilmiyorsa, diyelim ki satırlar onu şaşırtacak. Çözüm iki veya iki gibi olsa da: yani. bariz bir nedenle, her iki seri de birbirinden uzaklaşıyor. Mütevazı bir "bu limitler teoride kanıtlanmıştır" (hatta yokluğu) bir test için yeterlidir, sonuçta hesaplamalar oldukça ağırdır ve kesinlikle sayısal seriler bölümüne ait değildir.

Sonraki örnekleri inceledikten sonra, birçok çözümün kısalığına ve şeffaflığına şaşıracaksınız:

örnek 1

Serinin yakınsaklığını araştırın

Çözüm: her şeyden önce, yürütmeyi kontrol ediyoruz yakınsama için gerekli kriter... Bu bir formalite değil, bir "az kan" örneğiyle başa çıkmak için mükemmel bir şans.

"Sahnenin incelenmesi", farklı bir dizi önerir (genelleştirilmiş bir harmonik dizi durumu), ancak yine soru ortaya çıkar, paydaki logaritmayı nasıl hesaba katacağız?

Dersin sonunda örnek görev tasarımı örnekleri.

İki yönlü (hatta üç yönlü) muhakeme yürütmeniz gerektiğinde sık görülen bir durum değildir:

Örnek 6

Serinin yakınsaklığını araştırın

Çözüm: İlk olarak, payın anlamsızlığını dikkatlice ele alıyoruz. Sıra şunlarla sınırlıdır: Sonra:

Satırımızı bir satırla karşılaştıralım. Az önce elde edilen çift eşitsizlik sayesinde, tüm "tr" için şu şekilde yerine getirilecektir:

Şimdi seriyi ıraksayan harmonik seri ile karşılaştıralım.

kesir paydası daha küçük kesrin paydası, bu nedenle kesrin kendisi – daha fazla kesirler (net değilse ilk birkaç terimi yazın). Böylece, herhangi bir "en" için:

Böylece karşılaştırma kriterine göre seri uzaklaşır harmonik bir seri ile birlikte

Paydayı biraz değiştirirsek: , o zaman muhakemenin ilk kısmı benzer olacaktır: ... Ancak serinin sapmasını kanıtlamak için, eşitsizlik doğru olmadığı için yalnızca sınırlayıcı karşılaştırma kriteri zaten uygulanabilir.

Yakınsayan serilerle durum "yansıtmadır", yani örneğin bir seri için her iki karşılaştırma kriteri de kullanılabilir (eşitsizlik geçerlidir) ve bir seri için - yalnızca sınırlayıcı bir kriter (eşitsizlik yanlıştır).

Ufukta zarif ve sulu bir antilop sürüsünün belirdiği vahşi yaşam safarimize devam ediyoruz:

Örnek 7

Serinin yakınsaklığını araştırın

Çözüm: gerekli yakınsama kriteri karşılandı ve kendimize tekrar klasik soruyu soruyoruz: ne yapmalı? Önümüzde yakınsak bir diziye benzeyen bir şey var, ancak burada net bir kural yok - bu tür çağrışımlar genellikle aldatıcıdır.

Çoğu zaman, ama bu sefer değil. Kullanarak limit karşılaştırma kriteri serimizi yakınsak bir seriyle karşılaştırın. Limiti hesaplarken kullandığımız harika sınır buna karşılık sonsuz küçük konuşuyor:

yakınsar bir numara ile birlikte.

Standart yapay "üç" ile çarpma ve bölme yöntemini kullanmak yerine, başlangıçta yakınsak bir seri ile karşılaştırma yapılabilir.
Ancak burada, ortak terimin sabit faktörünün serilerin yakınsaklığını etkilememesi için bir çekince istenir. Ve aşağıdaki örneğin çözümü bu tarzda tasarlanmıştır:

Örnek 8

Serinin yakınsaklığını araştırın

Dersin sonunda örnek.

Örnek 9

Serinin yakınsaklığını araştırın

Çözüm: önceki örneklerde sinüsün sınırlılığını kullandık, ancak şimdi bu özellik oyunun dışında. Daha yüksek bir kesrin paydası büyüme sırası paydan daha fazla, sinüs argümanı ve tüm ortak terim için sonsuz küçük... Bildiğiniz gibi yakınsama için gerekli koşul yerine getirildi, bu da işten kaçmamıza izin vermiyor.

Keşif yapalım: uyarınca dikkate değer denklik , zihinsel olarak sinüsü atın ve bir dizi alın. Peki ve falan….

Çözüm üretiyoruz:

Araştırılan serileri ıraksayan serilerle karşılaştıralım. Sınırlayıcı karşılaştırma kriterini kullanıyoruz:

Sonsuz küçük olanı eşdeğeriyle değiştiririz: için .

Sonlu sıfırdan farklı bir sayı elde edilir, bu da incelenen serinin uzaklaşır harmonik bir seri ile birlikte

Örnek 10

Serinin yakınsaklığını araştırın

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir.

Bu tür örneklerde daha ileri eylemleri planlamak için sinüs, arksinüs, tanjant, arktanjantın zihinsel olarak reddedilmesi çok yardımcı olur. Ama unutmayın, bu yalnızca sonsuz küçük Tartışma, çok uzun zaman önce, kışkırtıcı bir diziyle karşılaştım:

Örnek 11

Serinin yakınsaklığını araştırın
.

Çözüm: burada arktanjantın sınırlılığını kullanmak yararsızdır ve eşdeğerlik de çalışmaz. Çıkış yolu şaşırtıcı derecede basit:


İncelenen diziler uzaklaşır, çünkü serilerin yakınsaklığı için gerekli kriter sağlanmamıştır.

ikinci sebep"İş başındaki tıkaç", ortak üyenin teknik nitelikte zorluklara neden olan iyi bir zekasından oluşur. Kabaca söylemek gerekirse, yukarıda tartışılan diziler "tahmin ettiğiniz incir" kategorisine aitse, o zaman bunlar - "siktirin gidin karar verin" kategorisine girer. Aslında buna "olağan" anlamda karmaşıklık denir. Herkes savananın birkaç faktöriyelini, derecesini, kökünü ve diğer sakinlerini doğru bir şekilde yönetemez. Tabii ki, faktöriyeller en çok soruna neden olur:

Örnek 12

Serinin yakınsaklığını araştırın

Bir faktöriyel nasıl bir güce yükseltilir? Kolayca. Yetkilerle eylem kuralına göre, ürünün her çarpanını bir güce yükseltmek gerekir:

Ve elbette, dikkat ve yine dikkat, d'Alembert özelliğinin kendisi geleneksel olarak çalışır:

Böylece incelenen seriler yakınsar.

Belirsizliği ortadan kaldırmak için rasyonel bir teknik hatırlatıyorum: net olduğunda büyüme sırası pay ve payda - acı çekmek ve parantez açmak hiç gerekli değildir.

Örnek 13

Serinin yakınsaklığını araştırın

Canavar çok nadirdir, ancak meydana gelir ve bir kamera merceğiyle etrafından dolaşmak haksızlık olur.

Çift ünlem faktöriyel nedir? Faktöriyel, pozitif çift sayıların çarpımını "sarar":

Benzer şekilde, faktöriyel pozitif tek sayıların çarpımını "sarar":

Farkın ne olduğunu analiz edin ve

Örnek 14

Serinin yakınsaklığını araştırın

Ve bu görevde, derecelerle karıştırılmamaya çalışın, harika denklikler ve harika sınırlar.

Dersin sonunda örnek çözümler ve cevaplar.

Ancak öğrenci sadece kaplanları beslemekle kalmaz - kurnaz leoparlar da avlarını avlar:

Örnek 15

Serinin yakınsaklığını araştırın

Çözüm: gerekli yakınsama kriteri, sınırlayıcı kriter, d'Alembert ve Cauchy kriterleri neredeyse anında ortadan kalkar. Ama hepsinden kötüsü, bize defalarca yardım eden eşitsizlik özelliği güçsüz. Gerçekten de, ıraksayan bir seriyle karşılaştırmak imkansızdır, çünkü eşitsizlik false - çarpan logaritma yalnızca paydayı artırarak kesrin kendisini azaltır fraksiyonla ilgili olarak. Ve başka bir küresel soru: neden başlangıçta numaramızın kesinlikle ayrılmalı ve bazı ayrılan dizilerle karşılaştırılmalı mı? Peki ya bir noktada birleşirse?

Entegre özellik? uygun olmayan integral bir yas havası çağrıştırır. Şimdi, eğer bir sıramız olsaydı … o zaman evet. Durmak! Fikirler böyle doğar. İki adımda bir çözüm üretiyoruz:

1) İlk olarak, serinin yakınsaklığını araştırıyoruz. ... Kullanırız ayrılmaz özellik:

İntegrand sürekliüzerinde

Böylece, dizi karşılık gelen uygun olmayan integral ile birlikte ıraksar.

2) Serimizi ıraksayan serilerle karşılaştıralım. ... Sınırlayıcı karşılaştırma kriterini kullanıyoruz:

Sonlu sıfırdan farklı bir sayı elde edilir, bu da incelenen serinin uzaklaşır bir numara ile birlikte .

Ve böyle bir kararda olağandışı veya yaratıcı hiçbir şey yoktur - buna böyle karar verilmelidir!

Aşağıdaki iki hareketi kendi başınıza düzenlemeyi öneriyorum:

Örnek 16

Serinin yakınsaklığını araştırın

Çoğu durumda biraz deneyime sahip bir öğrenci, sıranın yakınsadığını veya ayrıldığını hemen görür, ancak avcının kendini akıllıca çalıların arasında gizlediği olur:

Örnek 17

Serinin yakınsaklığını araştırın

Çözüm: İlk bakışta, bu satırın nasıl davrandığı hiç belli değil. Ve önümüzde bir sis varsa, o zaman serinin yakınsaklığı için gerekli koşulun kaba bir kontrolüyle başlamak mantıklıdır. Belirsizliği ortadan kaldırmak için batmaz kullanıyoruz birleşik ifade ile çarpma ve bölme:

Gerekli yakınsama işareti işe yaramadı, ancak Tambov yoldaşımızı yüzeye çıkardı. Yapılan dönüşümler sonucunda eşdeğer bir seri elde edilmiştir. , bu da yakınsak bir diziye güçlü bir şekilde benziyor.

Temiz çözümü yazıyoruz:

Karşılaştırmak verilen satır yakınsak bir sıra ile. Sınırlayıcı karşılaştırma kriterini kullanıyoruz:

Eşlenik ifadeyle çarpın ve bölün:

Sonlu sıfırdan farklı bir sayı elde edilir, bu da incelenen serinin yakınsar bir numara ile birlikte.

Belki bazılarının bir sorusu vardır, Afrika safarimizde kurtlar nereden geldi? Bilmemek. Muhtemelen teslim edilmiştir. Aşağıdaki kupa görünümünü elde edebilirsiniz:

Örnek 18

Serinin yakınsaklığını araştırın

Ders sonunda örnek bir çözüm

Ve son olarak, umutsuzluk içinde birçok öğrenciyi ziyaret eden bir düşünce daha: ve serinin yakınsaması için daha nadir bir kriter kullanmamalı mıyız?? Raabe burcu, Abel burcu, Gauss burcu, Dirichlet burcu ve diğer bilinmeyen hayvanlar. Fikir işe yarıyor, ancak nadiren gerçek örneklerde uygulanıyor. Şahsen, tüm uygulama yılları boyunca, başvurdum Raabe'nin işareti standart cephanelikten hiçbir şey gerçekten yardımcı olmadığında. Aşırı arayışımın gidişatını tamamen yeniden üretiyorum:

Örnek 19

Serinin yakınsaklığını araştırın

Çözüm: Şüphesiz, d'Alembert'in bir işareti. Hesaplamalar sırasında, derecelerin özelliklerini ve ayrıca aktif olarak kullanıyorum. ikinci harika limit:

Senin için çok fazla. D'Alembert'in işareti hiçbir yanıt vermedi, ancak hiçbir şey böyle bir sonucun habercisi değildi.

El kitabını karıştırdıktan sonra, teoride kanıtlanmış az bilinen bir limit buldum ve daha güçlü bir radikal Cauchy kriteri uyguladım:

İki kişi için çok fazla. Ve en önemlisi, serinin yakınsayıp ayrışmayacağı tamamen belirsiz (benim için son derece nadir bir durum). Karşılaştırmanın gerekli bir özelliği mi? Çok fazla umut olmadan - pay ve paydanın büyüme sırası ile düşünülemez bir şekilde uğraşsam bile, bu bir ödülü garanti etmez.

Tam bir d'Alembert, ama en kötüsü, sıranın çözülmesi gerekiyor. Gerekli. Sonuçta, bu ilk vazgeçişim olacak. Sonra daha güçlü işaretler olduğunu hatırladım. Önümde artık bir kurt, bir leopar ya da bir kaplan yoktu. Büyük bir hortumu sallayan dev bir fildi. Bir el bombası fırlatıcı almak zorunda kaldım:

Raabe'nin işareti

Pozitif bir sayı serisi düşünün.
bir sınır varsa , sonra:
a) Bir dizi için uzaklaşır... Ayrıca, elde edilen değer sıfır veya negatif olabilir.
b) Bir dizi için yakınsar... Özellikle, seri için yakınsama.
c) Ne zaman Raabe'nin işareti cevap vermiyor.

Sınırı belirliyoruz ve kesri dikkatlice basitleştiriyoruz:


Evet, resim, hafifçe söylemek gerekirse, tatsız, ama artık şaşırmadım.Bu tür sınırlar yardımıyla bölünür. L'Hôpital'in kuralları, ve daha sonra ortaya çıktığı gibi ilk düşüncenin doğru olduğu ortaya çıktı. Ama ilk başta, yaklaşık bir saat boyunca "olağan" yöntemlerle sınırı büktüm ve büktüm, ancak belirsizlik ortadan kalkmak istemedi. Ve bir daire içinde yürümek, deneyimin önerdiği gibi, yanlış çözümün seçildiğinin tipik bir işaretidir.

Rus halk bilgeliğine başvurmak zorunda kaldım: "Her şey başarısız olursa, talimatları okuyun." Ve Fichtengolts'un 2. cildini açtığımda, büyük bir sevinçle aynı serinin bir incelemesini keşfettim. Ve sonra çözüm modele göre gitti.

6. Raabe işareti

Teorem 6. Bir limit varsa:

o zaman: 1) (A) serisi yakınsadığında, 2) seri ıraksadığında.

Kanıt. Yardımcı bir ifade kanıtlanmıştır:

Açıklama 1. (12)

Kanıt. İfade kabul edilir:

Eşitliğin her iki tarafı da logaritmikleştirildi:

Sınıra geri döndü:

Eşitlikten (11), sayısal bir dizinin limitinin tanımına dayanarak, herhangi bir keyfi küçük için aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olduğu şekilde var olduğu sonucu çıkar:

1) Bırak o zaman. O halde, sayıdan başlayarak (13) eşitsizliğinden aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olduğunu belirledik:

herhangi bir numara aldı. (12)'ye göre, yeterince büyük için aşağıdakiler yerine getirilecektir:

Bu nedenle, (14) ile aşağıdaki gibidir:

Sağda, Dirichlet serisinin ardışık iki teriminin; Teorem 4'ü uyguladıktan sonra, (A) serisinin yakınsaklığı açık hale gelir.

2) O halde, (1) numaralı maddeye benzer şekilde (13)'ten eşitsizlik şu şekilde olsun:

Buradan hemen buldular:

Teorem 4'ü (A) ve Dirichlet serilerine uyguladıktan sonra, (A) serisinin diverjansı görünür hale gelir.

Açıklama 5. Raabe'nin işareti d'Alembert'in işaretinden çok daha güçlüdür

Açıklama 6. Raabe özniteliği kullanıldığında, sorulan soruyu yanıtlamaz.

11) d'Alembert ve Raabe işaretlerini kullanarak diziyi keşfedin:

d'Alembert testi, bu serinin yakınsaklığı sorusuna cevap vermemektedir. Seri, Raabe özelliği kullanılarak araştırılır:

Ortaya çıkan tür belirsizliği, bu nedenle, 1. L'Hôpital-Bernoulli kuralı uygulandı:

Rad ıraksar, 'da yakınsar ve 'de yakınsar, Raabe kriteri yakınsama sorusunu yanıtlamaz.

12) Raabe özelliğini kullanarak diziyi keşfedin:

Sonuç, türün bir belirsizliğidir, ancak 1. L'Hôpital-Bernoulli kuralı uygulanmadan önce ifadenin türevi bulunur, bunun için logaritmadır ve logaritmanın türevi aranır:

Şimdi ifadenin türevini bulabilirsiniz:

Sınıra döndü. 1. L'Hôpital-Bernoulli kuralı geçerlidir:

İfade sayılır. 1. L'Hôpital-Bernoulli kuralını ona uyguladıktan sonra:

Bunu takip eder:

Bu eşitliği şu ifadenin yerine koyduk:

Dolayısıyla, Raabe kriterine göre, verilen serinin ıraksadığı, yakınsadığı ve Raabe kriterinde yakınsadığı sonucu, serilerin yakınsaklığı sorusunun cevabı değildir.

Dodatkovі sayısal serinin değerini düşünüyor

Kummer'i harmonik sıra (3.1) aralığında işaretlemek gerekir. U tsyomu vipadku mi maєmo. Otriman'ın ticari markası böyle bir rütbe ile şekillenebilir. Teorem (Raabe değerinin işareti). Bir sayı, zbіgaєtsya, eğer böyle olduğu biliniyorsa ...

Değişen satırlar

Teorem (Leibniz testi). Alternatif bir seri şu durumlarda yakınsar: Serinin üyelerinin mutlak değerlerinin sırası monoton olarak azalır, yani. ; Serinin ortak terimi sıfıra meyillidir: Ayrıca, serinin toplamı S eşitsizlikleri sağlar. Notlar...

Teorem 1 (d'Alembert testi). Her şeyin > 0 olduğu bir seri verilsin. Bir limit varsa, o zaman 0'da<1 ряд сходится, а при >1 satır birleşir.

Değişen ve değişen sıralar

Teorem 2 (Cauchy testi). Bir dizi verilsin. (1) Sonlu bir limit varsa, o zaman 1) seri yakınsar; 2) çünkü seri ıraksar.

Değişen ve değişen sıralar

Teorem 3 (yakınsama için integral kriteri). f(x) fonksiyonu tanımlı, sürekli, pozitif ve ışın üzerinde artmayan olsun. Sonra: 1) sayı serisi yakınsar ...

Değişen ve değişen sıralar

Tanım. Tüm a sayıları pozitif olan a1 - a2 + a3 -… + (- 1) n - 1an +… sayı dizisine dönüşümlü denir. Örnek. Sıra işaretlerle değişiyor ve sıra değişmiyor ...

Entegrasyon diferansiyel denklemler güç serisini kullanma

Matematiksel uygulamalarda, ekonomi, istatistik ve diğer alanlardaki bazı problemlerin çözümünde olduğu gibi, sonsuz sayıda terimli toplamlar dikkate alınır. Burada bu tür miktarların ne anlama geldiğinin bir tanımını vereceğiz ...

1.D.P.: AC'yi AM1 = OC'ye ve BD'yi DN1 = OB'ye genişletin. 2. M1ON1: M1N1 = 10'daki Pisagor teoremi ile. 3. M1KN1D çizelim. MK?AK = K 4.? BOC =? KAM1 (Y özniteliğine göre: BO = KM1, OC = AM1, yapım gereği, BOC = KM1A = 90, BN1 KM1, M1C - sekantta çapraz olarak uzanır) AK = BC. 5. M1KDN1 - paralelkenar, DK = M1N1 = 10; MN = DK / 2 = (AD + BC) / 2 = 5 ...

Planimetrik problemleri çözmek için çeşitli yöntemler

1.D.P.: AC'yi AM1 = OC'ye ve BD'yi DN = OB'ye genişletin. 2. OMN, NOM = 90 °, ardından Pisagor teoremi ile mi? MON MN = 10'u düşünün. 3. Duralım: AEMN, DFMN, OKBC. 4.? AME =?KOC ve?DFN =?BOK (II niteliğine göre) ME = KC, FN = BKMN = BC + AD = a + b = 10MN = 10/2 = 5. Cevap: MN = 5 ...

Bir sınır değer probleminin çözülebilirliği

Doğrusal olmayan bir sınır değer problemi düşünün: (1) (2) Bir temsil vardır (3) Operatör - doğrusal sınırlı simetrik; aralıkta bir spektruma sahiptir; - pozitiftir, yani herhangi biri için eşitsizlik ...

Pozitif bir seri verilsin:, nerede. (A) Teorem 5. Bir limit varsa:, (5) o zaman: 1) için (A) serisi yakınsar, 2) için, seri ıraksar. Kanıt. Eşitlikten (5), sayısal bir dizinin limitinin tanımına dayanarak, aşağıdaki gibidir ...

Pozitif serilerin yakınsaklığı

Teorem 6. Bir limit varsa: (18) o zaman: 1) (A) serisi yakınsadığında, 2) ne zaman - ıraksadığında. Kanıt. Kummer şeması kullanılarak kanıtlanmıştır. İzin vermek. Bir dizi düşünülürse, onu birbirinden ayrılan bir diziyle karşılaştıralım...

Lyapunov kararlılığı

İzin vermek --- çözüm belirli bir aralıkta tanımlanan denklem sistemi ve belirli bir aralıkta tanımlanan aynı denklem sisteminin bir çözümüdür. Çözüm, çözümün devamıdır deriz, eğer...

nihai formülasyon

Yorum Yap. Eğer İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Bkz. matematik / BENİOKU - kurulum referansı.): R = 1, o zaman Raabe kriteri serilerin yakınsaklığı sorusuna cevap vermez.

Kanıt

Kanıt, genelleştirilmiş bir harmonik seri ile karşılaştırıldığında genelleştirilmiş bir karşılaştırma kriterinin kullanımına dayanmaktadır.

Ayrıca bakınız

• D'Alembert yakınsama kriteri, komşu üyelerin oranına dayanan benzer bir kriterdir.

"Sign of Raabe" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Edebiyat

• Arkhipov, G.I., Sadovnichy, V.A., Chubarikov, V.N. Dersler matematiksel analiz: Üniversite ve ped ders kitabı. üniversiteler / Ed. V. A. Sadovnichy. - M.: Yüksekokul, 1999 .-- 695 s. - ISBN 5-06-003596-4..
• - Matematik Ansiklopedisi'nden makale

Bağlantılar

• Weisstein, Eric W. Wolfram MathWorld web sitesinde.

Harmonik seriyi ıraksak seri (12.1) olarak Kummer kriterini ele alalım.

Bu durumda, elimizde

Ortaya çıkan yakınsama kriteri aşağıdaki gibi formüle edilebilir.

Teorem (Raabe yakınsama kriteri). Sıra

öyle bir şey varsa birleşir

Bu seri, eğer bazılarından başlayarak ayrılırsa

Raabe özelliğinin sınırlayıcı formu aşağıdaki gibidir:

o zaman seri (12.9) yakınsar ve eğer

sonra ayrılır.

Raabe yakınsama kriteri, ona benzeyen d'Alembert yakınsama kriterinden çok daha hassastır. Gerçekten de, sınırlayıcı biçiminde alınan d'Alembert testinin serinin yakınsamasını oluşturduğu yerde (12.9):

orada Raabe'nin işareti verir.

Benzer şekilde, d'Alembert testi ile ıraksaması gösterilen seriler için Raabe testine göre

1. Seriyi düşünün

Burada her belirli x için

ve d'Alembert özelliğinin kullanımı burada etkisizdir. Raabe'nin işareti verir

Bu nedenle, ele alınan serilerde yakınsak ve ıraksak olduğu açıktır. Geçerken, (12.10) serisinin bilindiği gibi birbirinden ayrılan harmonik bir seriye dönüştüğünü not ediyoruz. Raabe işaretinin orijinal (sınırlayıcı olmayan) haliyle harmonik serilerin diverjansını oluşturması bağımsız bir sonuç olarak kabul edilemez, çünkü Raabe işaretini oluşturan ifadenin kendisi tam olarak bu uzaklaşmaya dayanmaktadır.

Bu serinin komşu üyelerinin oranını oluşturalım:

Sağdaki Logaritmaları ayrıştıracağız ve Karekök güçlerdeki Taylor formülüne göre. Bu ve aşağıdaki örneklerde limit yakınsama kriterlerini kullanacağız. Bu, değişkenin değerlerini süresiz olarak artırmamız gerektiği anlamına gelir. Bu nedenle, her ardışık derece, artan artışla sonsuz küçük olacaktır. yüksek mertebedenöncekilere kıyasla. Tüm dereceleri atarak, belirli birinden başlayarak, sadece kesinlikle değil, aynı zamanda tutulan terimlerin sonuncusuna kıyasla da küçük olacak bir hata yapacağız. Bu bağıl hata, değer ne kadar küçükse, o kadar büyük olur ve sınırsız bir artışla limitte kaybolur. Gereken akıl yürütme doğruluğuna bağlı olarak, Taylor'ın karşılık gelen fonksiyonlar için formüllerinde bir veya daha fazla terim tutacağız. Bundan sonra, tutulan ve yazılan terimlerin verdiği doğrulukla karşılaştırıldığında küçük olan değerlerle birbirinden farklı bir işaret ifadeleri ile ilişkilendireceğiz.

İlk olarak, kendimizi birincisinden daha yüksek olmayan güçler içeren logaritma ve kök terimleriyle sınırlıyoruz. sahip olacağız

Sonuç olarak, d'Alembert yakınsama kriteri burada da bize herhangi bir cevap veremez.