• Giriş dersi ücretsiz;
• Çok sayıda deneyimli öğretmen (anadili ve Rusça konuşan);
• Kurslar belirli bir süre (ay, altı ay, yıl) DEĞİL, belirli sayıda ders (5, 10, 20, 50) içindir;
• 10.000'den fazla memnun müşteri.
• Rusça konuşan bir öğretmenle bir dersin maliyeti 600 ruble'den, anadili İngilizce olan biriyle - 1500 ruble'den

Yöntemin özü en küçük kareler dır-dir herhangi bir rastgele olgunun zaman veya mekandaki gelişme eğilimini en iyi tanımlayan bir eğilim modelinin parametrelerini bulmada (eğilim, bu gelişmenin eğilimini karakterize eden bir çizgidir). En küçük kareler yönteminin (LSM) görevi yalnızca bir trend modeli bulmak değil, aynı zamanda en iyi veya en uygun modeli bulmaktır. Gözlemlenen gerçek değerler ile karşılık gelen hesaplanan eğilim değerleri arasındaki sapmaların karelerinin toplamı minimum (en küçük) ise bu model optimal olacaktır:

gözlemlenen gerçek değer arasındaki sapmanın karesi nerede

ve karşılık gelen hesaplanan trend değeri,

İncelenen olgunun gerçek (gözlenen) değeri,

Trend modelinin hesaplanan değeri,

İncelenen olgunun gözlem sayısı.

MNC tek başına oldukça nadir kullanılır. Kural olarak, çoğu zaman korelasyon çalışmalarında yalnızca gerekli bir teknik teknik olarak kullanılır. Unutulmamalıdır ki bilgi temeli OLS yalnızca güvenilir bir istatistiksel seri olabilir ve gözlem sayısı 4'ten az olmamalıdır, aksi takdirde OLS yumuşatma prosedürleri sağduyuyu kaybedebilir.

MNC araç seti aşağıdaki prosedürlerden oluşur:

İlk prosedür. Seçilen faktör-argüman değiştiğinde ortaya çıkan niteliği değiştirmeye yönelik herhangi bir eğilimin olup olmadığı, başka bir deyişle “arasında bir bağlantı olup olmadığı” ortaya çıkıyor. en " Ve " X ».

İkinci prosedür. Hangi çizginin (yörüngenin) bu eğilimi en iyi şekilde tanımlayabileceği veya karakterize edebileceği belirlenir.

Üçüncü prosedür.

Örnek. Diyelim ki incelenen çiftliğin ortalama ayçiçeği verimi hakkında bilgimiz var (Tablo 9.1).

Tablo 9.1

Ülkemizde ayçiçeği üretimindeki teknoloji seviyesi son 10 yılda neredeyse hiç değişmediğinden, bu, analiz edilen dönemde verimdeki dalgalanmaların büyük ölçüde hava ve iklim koşullarındaki dalgalanmalara bağlı olduğu anlamına geliyor. Bu gerçekten doğru mu?

İlk OLS prosedürü. Analiz edilen 10 yıl boyunca ayçiçeği verim değişimlerinde hava ve iklim koşullarındaki değişikliklere bağlı bir eğilimin varlığına ilişkin hipotez test edilmiştir.

Bu örnekte " sen " Ayçiçeği veriminin alınması tavsiye edilir ve bunun için " X » – analiz edilen dönemde gözlemlenen yılın sayısı. arasında herhangi bir ilişkinin varlığına ilişkin hipotezin test edilmesi" X " Ve " sen » iki şekilde yapılabilir: manuel olarak ve kullanılarak bilgisayar programları. Elbette bilgisayar teknolojisinin kullanılabilirliği ile bu sorun kendi kendine çözülebilir. Ancak ÇUŞ araçlarını daha iyi anlayabilmek için “arasındaki ilişkinin varlığına ilişkin hipotezin test edilmesi tavsiye edilmektedir” X " Ve " sen » Yalnızca bir kalem ve sıradan bir hesap makinesi elinizde olduğunda manuel olarak. Bu gibi durumlarda, bir eğilimin varlığına ilişkin hipotez, analiz edilen dinamik serisinin grafik görüntüsünün (korelasyon alanı) konumuyla görsel olarak en iyi şekilde kontrol edilir:

Örneğimizdeki korelasyon alanı yavaş yavaş artan bir çizginin etrafında yer almaktadır. Bu durum başlı başına ayçiçeği rekoltesindeki değişimlerde belli bir eğilimin varlığına işaret etmektedir. Korelasyon alanı yalnızca bir daireye, bir daireye, tam olarak dikey veya tam olarak yatay bir buluta benzediğinde veya düzensiz dağılmış noktalardan oluştuğunda herhangi bir eğilimin varlığından bahsetmek mümkün değildir. Diğer tüm durumlarda, “arasında bir ilişkinin varlığına ilişkin hipotez” X " Ve " sen "ve araştırmaya devam edin.

İkinci OLS prosedürü. Analiz edilen dönem boyunca ayçiçeği verimindeki değişim eğilimini hangi çizginin (yörüngenin) en iyi şekilde tanımlayabileceği veya karakterize edebileceği belirlenir.

Bilgisayar teknolojiniz varsa optimum trendin seçimi otomatik olarak gerçekleşir. "Manuel" işlemede, en uygun fonksiyonun seçimi, kural olarak, görsel olarak - korelasyon alanının konumuna göre gerçekleştirilir. Yani grafiğin türüne göre ampirik eğilime (gerçek yörüngeye) en iyi uyan çizginin denklemi seçilir.

Bilindiği gibi doğada çok çeşitli fonksiyonel bağımlılıklar vardır, bu nedenle bunların küçük bir kısmını bile görsel olarak analiz etmek son derece zordur. Neyse ki, gerçek ekonomik uygulamada çoğu ilişki bir parabol, bir hiperbol veya bir düz çizgi ile oldukça doğru bir şekilde tanımlanabilir. Bu bakımdan en iyi fonksiyonun seçildiği “manuel” seçeneği ile kendinizi yalnızca bu üç modelle sınırlandırabilirsiniz.

İkinci dereceden parabol: :

Örneğimizde, analiz edilen 10 yıl boyunca ayçiçeği verimindeki değişim eğiliminin en iyi şekilde düz bir çizgiyle karakterize edildiğini görmek kolaydır, dolayısıyla regresyon denklemi bir düz çizginin denklemi olacaktır.

Üçüncü prosedür. Bu çizgiyi karakterize eden regresyon denkleminin parametreleri hesaplanır veya başka bir deyişle en iyi trend modelini tanımlayan analitik bir formül belirlenir.

Regresyon denkleminin parametrelerinin değerlerini bulmak, bizim durumumuzda ve parametreleri, OLS'nin özüdür. Bu süreç sistemi çözmeye geliyor normal denklemler.

(9.2)

Bu denklem sistemi Gauss yöntemiyle oldukça kolay bir şekilde çözülebilir. Çözüm sonucunda örneğimizde parametre ve değerlerinin bulunduğunu hatırlayalım. Böylece bulunan regresyon denklemi aşağıdaki forma sahip olacaktır:

Buluntular geniş uygulama Ekonometride parametrelerinin net bir ekonomik yorumu şeklinde.

Doğrusal regresyon, formun bir denklemini bulmaya gelir

veya

Formun denklemi belirtilen parametre değerlerine göre izin verir X Ortaya çıkan özelliğin teorik değerlerine sahip olmak, faktörün gerçek değerlerini yerine koymak X.

Doğrusal regresyonun yapısı, parametrelerinin tahmin edilmesine bağlıdır - A Ve V. Doğrusal regresyon parametre tahminleri farklı yöntemler kullanılarak bulunabilir.

Doğrusal regresyon parametrelerini tahmin etmeye yönelik klasik yaklaşım, en küçük kareler yöntemi(ÇUŞ).

En küçük kareler yöntemi bu tür parametre tahminlerini elde etmemizi sağlar A Ve V, sonuçta ortaya çıkan özelliğin gerçek değerlerinin karesel sapmalarının toplamı (y) hesaplanandan (teorik) minimum:

Bir fonksiyonun minimumunu bulmak için her parametrenin kısmi türevlerini hesaplamanız gerekir. A Ve B ve bunları sıfıra eşitleyin.

O halde S ile gösterelim:

Formülü dönüştürerek parametreleri tahmin etmek için aşağıdaki normal denklem sistemini elde ederiz. A Ve V:

Normal denklem sistemini (3.5) değişkenlerin sıralı eliminasyonu yöntemiyle veya belirleyiciler yöntemiyle çözerek, parametrelerin gerekli tahminlerini buluruz. A Ve V.

Parametre V regresyon katsayısı denir. Değeri, faktördeki bir birimlik değişiklikle sonuçtaki ortalama değişimi gösterir.

Regresyon denklemi her zaman bağlantının yakınlığının bir göstergesi ile desteklenir. Doğrusal regresyon kullanıldığında böyle bir gösterge doğrusal korelasyon katsayısıdır. Doğrusal korelasyon katsayısı formülünün farklı modifikasyonları vardır. Bunlardan bazıları aşağıda verilmiştir:

Bilindiği üzere doğrusal korelasyon katsayısı şu sınırlar içerisindedir: -1 ≤ ≤ 1.

Seçimin kalitesini değerlendirmek için doğrusal fonksiyon karesi hesaplanır

Doğrusal korelasyon katsayısı denir determinasyon katsayısı. Belirleme katsayısı, ortaya çıkan özelliğin varyans oranını karakterize eder. sen, ortaya çıkan özelliğin toplam varyansında regresyonla açıklanır:

Buna göre 1 değeri varyans payını karakterize etmektedir. sen, modelde dikkate alınmayan diğer faktörlerin etkisinden kaynaklanmaktadır.

Kendini kontrol etmeye yönelik sorular

1. En küçük kareler yönteminin özü?

2. İkili regresyon kaç değişken sağlar?

3. Değişiklikler arasındaki bağlantının yakınlığını hangi katsayı belirler?

4. Belirleme katsayısı hangi sınırlar dahilinde belirlenir?

5. Korelasyon-regresyon analizinde b parametresinin tahmini?

1.Christopher Dougherty. Ekonometriye giriş. - M.: INFRA - M, 2001 - 402 s.

2. S.A. Borodich. Ekonometri. Minsk LLC “Yeni Bilgi” 2001.

3. R.U. Rakhmetova Kısa kurs ekonometride. öğretici. Almatı. 2004. -78s.

4.I.I. Eliseeva, Ekonometri. - M.: “Finans ve İstatistik”, 2002

5. Aylık bilgi ve analitik dergi.

Doğrusal olmayan ekonomik modeller. Doğrusal olmayan regresyon modelleri. Değişkenlerin dönüşümü.

Doğrusal olmayan ekonomik modeller..

Değişkenlerin dönüşümü.

Esneklik katsayısı.

Ekonomik olaylar arasında doğrusal olmayan ilişkiler varsa, bunlar karşılık gelen doğrusal olmayan işlevler kullanılarak ifade edilir: örneğin eşkenar hiperbol , ikinci derecenin parabolleri vb.

Doğrusal olmayan regresyonların iki sınıfı vardır:

1. Analize dahil edilen açıklayıcı değişkenlere göre doğrusal olmayan, ancak tahmin edilen parametrelere göre doğrusal olan regresyonlar, örneğin:

Çeşitli derecelerde polinomlar - , ;

Eşkenar hiperbol - ;

Yarı logaritmik fonksiyon - .

2. Tahmin edilen parametrelerde doğrusal olmayan regresyonlar, örneğin:

Güç - ;

Gösterici - ;

Üstel - .

Ortaya çıkan özelliğin bireysel değerlerinin kare sapmalarının toplam toplamı en ortalama değerden çıkması birçok nedenin etkisiyle ortaya çıkmaktadır. Tüm nedenler kümesini şartlı olarak iki gruba ayıralım: incelenen faktör x Ve diğer faktörler.

Faktör sonucu etkilemiyorsa grafikteki regresyon çizgisi eksene paraleldir Ah Ve

Bu durumda, ortaya çıkan özelliğin tüm varyansı diğer faktörlerin etkisinden kaynaklanmaktadır ve sapmaların toplam karesi toplamı artık ile çakışacaktır. Diğer faktörler sonucu etkilemiyorsa, o zaman berabere kaldıkİle X işlevsel olarak ve kalan kareler toplamı sıfırdır. Bu durumda regresyonun açıkladığı sapmaların kareleri toplamı, toplam kareler toplamı ile aynıdır.

Korelasyon alanının tüm noktaları regresyon çizgisi üzerinde olmadığından bunların dağılması her zaman faktörün etkisinin bir sonucu olarak ortaya çıkar. X yani regresyon enİle X, ve diğer nedenlerden kaynaklanmaktadır (açıklanamayan varyasyon). Bir regresyon çizgisinin tahmin için uygunluğu, özelliğin toplam varyasyonunun hangi kısmına bağlıdır? en açıklanan varyasyonu hesaba katar

Açıkçası, eğer regresyondan kaynaklanan sapmaların kareleri toplamı kalan kareler toplamından büyükse, o zaman regresyon denklemi istatistiksel olarak anlamlıdır ve faktör X sonuç üzerinde önemli bir etkisi vardır sen.

, yani bir özelliğin bağımsız varyasyonunun serbestlik sayısıyla. Serbestlik derecesinin sayısı, n popülasyonunun birim sayısı ve bundan belirlenen sabitlerin sayısı ile ilgilidir. İncelenmekte olan problemle ilgili olarak, serbestlik derecesi sayısı, çözümden kaç bağımsız sapmanın olduğunu göstermelidir. P

Regresyon denkleminin bir bütün olarak öneminin değerlendirilmesi şu şekilde verilmiştir: F-Fisher kriteri. Bu durumda regresyon katsayısının sıfıra eşit olduğuna dair boş bir hipotez ileri sürülmektedir; b = 0 ve dolayısıyla faktör X sonucu etkilemez sen.

F testinin anında hesaplanmasından önce varyans analizi yapılır. Buradaki merkezi yer, bir değişkenin toplam karesel sapmalarının toplamının ayrıştırılmasıyla işgal edilir. en ortalama değerden en“açıklanmış” ve “açıklanmamış” olmak üzere iki bölüme ayrılmıştır:

Sapmaların karelerinin toplamı;

Regresyonla açıklanan sapmaların karelerinin toplamı;

Sapmaların karelerinin kalan toplamı.

Herhangi bir kare sapmaların toplamı serbestlik derecesi sayısıyla ilgilidir , yani bir özelliğin bağımsız varyasyonunun serbestlik sayısıyla. Serbestlik derecesinin sayısı nüfus birimlerinin sayısıyla ilgilidir N ve ondan belirlenen sabit sayısıyla. İncelenmekte olan problemle ilgili olarak, serbestlik derecesi sayısı, çözümden kaç bağımsız sapmanın olduğunu göstermelidir. P Belirli bir kareler toplamını oluşturmak için gerekli olan olasılık.

Serbestlik derecesi başına dağılımD.

F oranları (F testi):

Sıfır hipotezi doğruysa ise faktör ve artık varyanslar birbirinden farklı değildir. H 0 için, faktör dağılımının artık dağılımını birkaç kez aşması için bir çürütme gereklidir. İngiliz istatistikçi Snedekor kritik değer tabloları geliştirdi F-sıfır hipotezinin farklı önem seviyelerindeki ve farklı serbestlik derecelerindeki ilişkiler. Tablo değeri F-kriter, sıfır hipotezinin varlığının belirli bir olasılık düzeyi için rastgele sapma durumunda meydana gelebilecek varyans oranının maksimum değeridir. Hesaplanan değer F- o tablodan büyükse ilişkiler güvenilir kabul edilir.

Bu durumda işaretler arasında bir ilişkinin bulunmadığı yönündeki sıfır hipotezi reddedilir ve bu ilişkinin önemi hakkında bir sonuca varılır: F olgusu > F tablosu H 0 reddedilir.

Değer tablodaki değerden düşükse F gerçeği ‹, F tablosu ise sıfır hipotezinin olasılığı belirli bir seviyeden yüksektir ve bir ilişkinin varlığına ilişkin ciddi bir yanlış sonuca varma riski olmadan reddedilemez. Bu durumda regresyon denkleminin istatistiksel olarak anlamsız olduğu kabul edilir. Ama sapmaz.

Regresyon katsayısının standart hatası

Regresyon katsayısının önemini değerlendirmek için değeri standart hatasıyla karşılaştırılır, yani gerçek değer belirlenir. T-Student's t-testi: daha sonra belirli bir önem düzeyinde ve serbestlik derecesi sayısında tablo değeriyle karşılaştırılır ( N- 2).

Standart parametre hatası A:

Doğrusal korelasyon katsayısının önemi hatanın büyüklüğüne göre kontrol edilir korelasyon katsayısı tr:

Toplam özellik varyansı X:

Çoklu doğrusal gerileme

Model oluşturma

Çoklu regresyon etkili bir özelliğin iki veya daha fazla faktörle regresyonunu temsil eder, yani formun bir modeli

Regresyon verebilir iyi sonuç modelleme sırasında, çalışma nesnesini etkileyen diğer faktörlerin etkisi ihmal edilebilirse. Bireysel ekonomik değişkenlerin davranışı kontrol edilemez, yani incelenen bir faktörün etkisini değerlendirmek için diğer tüm koşulların eşitliğini sağlamak mümkün değildir. Bu durumda, diğer faktörlerin etkisini modele dahil ederek belirlemeye çalışmalısınız, yani bir çoklu regresyon denklemi oluşturmalısınız: y = a+b 1 x 1 +b 2 +…+b p x p + .

Çoklu regresyonun temel amacı, çok sayıda faktörden oluşan bir model oluşturmak ve her birinin ayrı ayrı etkisini ve bunların modellenen gösterge üzerindeki birleşik etkisini belirlemektir. Modelin spesifikasyonu iki konu aralığını içerir: faktörlerin seçimi ve regresyon denklemi türünün seçimi

Deneysel verilere yaklaşım, deneysel olarak elde edilen verilerin değiştirilmesine dayanan bir yöntemdir. analitik fonksiyon başlangıç ​​değerlerine (deney veya deney sırasında elde edilen veriler) en yakın düğüm noktalarında geçen veya çakışan değerler. Şu anda analitik bir fonksiyonu tanımlamanın iki yolu vardır:

Aşağıdakileri geçen n derecelik bir enterpolasyon polinomu oluşturarak tüm noktalardan doğrudan belirli bir veri dizisi. Bu durumda, yaklaşım fonksiyonu şu şekilde sunulur: Lagrange formunda bir enterpolasyon polinomu veya Newton formunda bir enterpolasyon polinomu.

n derecelik yaklaşık bir polinom oluşturarak noktaların hemen yakınında belirli bir veri dizisinden. Böylece, yaklaşıklaştırma işlevi her şeyi düzeltir rastgele girişim Bir deney yapılırken ortaya çıkabilecek hatalar (veya hatalar): deney sırasında ölçülen değerler kendi başlarına dalgalanan rastgele faktörlere bağlıdır rastgele yasalar(ölçüm veya cihaz hataları, yanlışlık veya deneysel hatalar). Bu durumda yaklaşım fonksiyonu en küçük kareler yöntemi kullanılarak belirlenir.

En küçük kareler yöntemi(İngiliz literatüründe Sıradan En Küçük Kareler, OLS), belirli bir deneysel veri dizisinden noktalara en yakın mesafede oluşturulan bir yaklaşım fonksiyonunun belirlenmesine dayanan matematiksel bir yöntemdir. Orijinal ve yaklaşık fonksiyonlar F(x)'in yakınlığı sayısal bir ölçümle belirlenir, yani: deneysel verilerin F(x) yaklaşım eğrisinden sapmalarının karelerinin toplamı en küçük olmalıdır.

En küçük kareler yöntemi kullanılarak oluşturulan yaklaşık eğri

En küçük kareler yöntemi kullanılır:

Denklem sayısının bilinmeyen sayısından fazla olduğu durumlarda aşırı belirlenmiş denklem sistemlerini çözmek;

Sıradan (aşırı belirlenmemiş) doğrusal olmayan denklem sistemleri durumunda çözüm bulmak;

Bazı yaklaşma fonksiyonlarıyla nokta değerlerine yaklaşmak.

En küçük kareler yöntemini kullanan yaklaşım fonksiyonu, belirli bir deneysel veri dizisinden hesaplanan yaklaşım fonksiyonunun minimum karesel sapmalarının toplamı koşulundan belirlenir. En küçük kareler yönteminin bu kriteri aşağıdaki ifadeyle yazılır:

Düğüm noktalarında hesaplanan yaklaşım fonksiyonunun değerleri,

Düğüm noktalarında belirli bir deneysel veri dizisi.

İkinci dereceden kriter, polinom yaklaşım fonksiyonlarıyla yaklaşım problemine benzersiz bir çözüm sağlayan, türevlenebilirlik gibi bir dizi "iyi" özelliğe sahiptir.

Problemin koşullarına bağlı olarak, yaklaşım fonksiyonu m dereceli bir polinomdur.

Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi düğüm noktalarının sayısına bağlı değildir ancak boyutu her zaman belirli bir deneysel veri dizisinin boyutundan (nokta sayısından) daha az olmalıdır.

∙ Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi m=1 ise tablo fonksiyonuna düz bir çizgiyle yaklaşırız (doğrusal regresyon).

∙ Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi m=2 ise, tablo fonksiyonuna ikinci dereceden bir parabol (ikinci dereceden yaklaşım) ile yaklaşırız.

∙ Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi m=3 ise tablo fonksiyonuna kübik parabol (kübik yaklaşım) ile yaklaşırız.

Genel durumda, verilen tablo değerleri için m dereceli yaklaşık bir polinom oluşturmak gerektiğinde, tüm düğüm noktaları üzerindeki sapmaların karelerinin toplamının minimumunun koşulu aşağıdaki biçimde yeniden yazılır:

- m dereceli yaklaşık polinomun bilinmeyen katsayıları;

Belirtilen tablo değerlerinin sayısı.

Bir fonksiyonun minimumunun varlığı için gerekli koşul, bilinmeyen değişkenlere göre kısmi türevlerinin sıfıra eşit olmasıdır. . Sonuç olarak aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:

Ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini dönüştürelim: parantezleri açın ve serbest terimleri ifadenin sağ tarafına taşıyın. Sonuç olarak, ortaya çıkan doğrusal cebirsel ifadeler sistemi aşağıdaki biçimde yazılacaktır:

Bu doğrusal cebirsel ifadeler sistemi matris biçiminde yeniden yazılabilir:

Sonuç olarak, m+1 bilinmeyenlerden oluşan, m+1 boyutunda bir doğrusal denklem sistemi elde edildi. Bu sistem doğrusal problemlerin çözümü için herhangi bir yöntem kullanılarak çözülebilir. cebirsel denklemler(örneğin Gauss yöntemiyle). Çözümün bir sonucu olarak, yaklaşıklık fonksiyonunun orijinal verilerden sapmalarının karelerinin minimum toplamını sağlayan, yaklaşıklık fonksiyonunun bilinmeyen parametreleri bulunacaktır; mümkün olan en iyi ikinci dereceden yaklaşım. Kaynak verinin tek bir değeri bile değişse tüm katsayıların değerlerinin tamamen kaynak veri tarafından belirlendiğinden dolayı değişeceği unutulmamalıdır.

Kaynak verilerine doğrusal bağımlılıkla yaklaşım

(doğrusal regresyon)

Örnek olarak, doğrusal bağımlılık biçiminde belirtilen yaklaşım fonksiyonunu belirleme tekniğini ele alalım. En küçük kareler yöntemine göre sapmaların kareleri toplamının minimumunun koşulu aşağıdaki biçimde yazılır:

Tablo düğümlerinin koordinatları;

Doğrusal bağımlılık olarak belirtilen, yaklaşıklık fonksiyonunun bilinmeyen katsayıları.

Bir fonksiyonun minimumunun varlığı için gerekli koşul, bilinmeyen değişkenlere göre kısmi türevlerinin sıfıra eşit olmasıdır. Sonuç olarak aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:

Ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini dönüştürelim.

Ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini çözüyoruz. Yaklaşım fonksiyonunun analitik formdaki katsayıları aşağıdaki şekilde belirlenir (Cramer yöntemi):

Bu katsayılar, yaklaşık fonksiyonun karelerinin toplamının verilen tablo değerlerinden (deneysel veriler) en aza indirilmesi kriterine uygun olarak doğrusal bir yaklaşım fonksiyonunun oluşturulmasını sağlar.

En küçük kareler yöntemini uygulamaya yönelik algoritma

1. Başlangıç ​​verileri:

Ölçüm sayısı N ile belirtilen bir deneysel veri dizisi

Yaklaşan polinomun (m) derecesi belirtilir

2. Hesaplama algoritması:

2.1. Katsayılar, boyutları olan bir denklem sistemi oluşturmak için belirlenir.

Denklem sisteminin katsayıları (denklemin sol tarafı)

- denklem sisteminin kare matrisinin sütun numarasının indeksi

Doğrusal denklem sisteminin serbest terimleri (denklemin sağ tarafı)

- denklem sisteminin kare matrisinin satır numarasının indeksi

2.2. Boyutlu doğrusal denklem sisteminin oluşturulması.

2.3. M dereceli yaklaşık bir polinomun bilinmeyen katsayılarını belirlemek için bir doğrusal denklem sisteminin çözülmesi.

2.4. Yaklaşan polinomun tüm düğüm noktalarında orijinal değerlerden karesel sapmalarının toplamının belirlenmesi

Sapmaların karelerinin toplamının bulunan değeri mümkün olan minimum değerdir.

Diğer fonksiyonları kullanarak yaklaşım

Orijinal verilere en küçük kareler yöntemine göre yaklaşılırken bazen yaklaşıklaştırma işlevi olarak logaritmik fonksiyonun, üstel fonksiyonun ve güç fonksiyonunun kullanıldığı unutulmamalıdır.

Logaritmik yaklaşım

Yaklaşık fonksiyonun verildiği durumu ele alalım logaritmik fonksiyon tip:

(resmi görmek). Bir doğrunun denklemini bulmanız gerekiyor

Nasıl daha az sayı mutlak değerde düz çizgi (2) ne kadar iyi seçilirse. Düz bir çizgiyi (2) seçme doğruluğunun bir özelliği olarak karelerin toplamını alabiliriz

S için minimum koşullar şöyle olacaktır:

	(6)
	(7)

Denklem (6) ve (7) şu şekilde yazılabilir:

	(8)
	(9)

Denklemler (8) ve (9)'dan xi ve y i'nin deneysel değerlerinden a ve b'yi bulmak kolaydır. Denklem (8) ve (9) ile tanımlanan doğru (2), en küçük kareler yöntemiyle elde edilen bir doğru olarak adlandırılır (bu isim, S kareler toplamının bir minimuma sahip olduğunu vurgular). Düz çizginin (2) belirlendiği denklemler (8) ve (9) normal denklemler olarak adlandırılır.

Basit belirtebilirsiniz ve genel yöntem Normal denklemlerin oluşturulması. Deney noktalarını (1) ve denklemi (2) kullanarak a ve b için bir denklem sistemi yazabiliriz.

Bu denklemlerin her birinin sol ve sağ taraflarını ilk bilinmeyen a'nın katsayısıyla (yani x 1, x 2, ..., x n) çarpalım ve elde edilen denklemleri toplayalım, sonuçta ilk normal denklemi (8) elde edelim. .

Bu denklemlerin her birinin sol ve sağ taraflarını ikinci bilinmeyen b'nin katsayısıyla çarpalım; 1 ile elde edilen denklemleri toplayın, sonuç ikinci normal denklemdir (9).

Normal denklemler elde etmenin bu yöntemi geneldir: örneğin aşağıdaki fonksiyon için uygundur:

sabit bir değer vardır ve bunun deneysel verilerden belirlenmesi gerekir (1).

k için denklem sistemi yazılabilir:

En küçük kareler yöntemini kullanarak düz çizgiyi (2) bulun.

Çözüm. Bulduk:

x ben =21, y ben =46,3, x ben 2 =91, x ben y ben =179,1.

Denklemler (8) ve (9) yazıyoruz

Buradan buluyoruz

En küçük kareler yönteminin doğruluğunun tahmin edilmesi

Denklem (2) geçerli olduğunda doğrusal durum için yöntemin doğruluğuna ilişkin bir tahmin verelim.

Deneysel değerler x i doğru olsun ve deneysel değerler y i tüm i için aynı varyansa sahip rastgele hatalara sahip olsun.

Gösterimi tanıtalım

Daha sonra (8) ve (9) denklemlerinin çözümleri şu şekilde temsil edilebilir:

	(17)
	(18)
Nerede
	(19)
Denklem (17)'den şunu buluyoruz:
	(20)
Benzer şekilde denklem (18)'den şunu elde ederiz:
	(21)
Çünkü
	(22)
Denklemlerden (21) ve (22) şunu buluyoruz:
	(23)

Denklemler (20) ve (23), denklemler (8) ve (9)'dan belirlenen katsayıların doğruluğuna ilişkin bir tahmin sağlar.

a ve b katsayılarının ilişkili olduğuna dikkat edin. Basit dönüşümlerle korelasyon momentlerini buluyoruz.

Buradan buluyoruz

x=1 ve 6'da 0,072,

0,041, x=3,5'te.

Edebiyat

Sahil. İSTERİM. İstatistiksel yöntemler analiz ve kalite kontrol ve güvenilirlik. M.: Gosenergoizdat, 1962, s. 552, s.92-98.

Bu kitap, elektronik ekipmanların ve diğer kitlesel endüstriyel ürünlerin (makine mühendisliği, alet yapımı, topçuluk vb.) kalite ve güvenilirliğinin belirlenmesinde görev alan çok çeşitli mühendislere (araştırma enstitüleri, tasarım büroları, test sahaları ve fabrikalar) yöneliktir.

Kitap, test edilen ürünlerin kalitesinin ve güvenilirliğinin belirlendiği test sonuçlarının işlenmesi ve değerlendirilmesinde matematiksel istatistik yöntemlerinin uygulanmasını sağlar. Okuyucuların rahatlığı için matematiksel istatistiklerden gerekli bilgilerin yanı sıra sağlanmıştır. Büyük sayı gerekli hesaplamaları kolaylaştıran yardımcı matematiksel tablolar.

Sunum, radyo elektroniği ve topçu teknolojisi alanından alınan çok sayıda örnekle desteklenmektedir.