Bugün başka bir sayısal entegrasyon yöntemi olan yamuk yöntemi ile tanışacağız. Onun yardımıyla belirli integralleri belirli bir doğruluk derecesiyle hesaplayacağız. Makalede yamuk yönteminin özünü anlatacağız, formülün nasıl türetildiğini analiz edeceğiz, yamuk yöntemini dikdörtgen yöntemiyle karşılaştıracağız ve yöntemin mutlak hatasının tahminini yazacağız. Malzemeyi daha iyi anlamak için her bir bölümü örneklerle açıklayacağız.

İntegrandı y = f(x) [ a ; B] . Bunu yapmak için [ a ; b ], a = x 0 noktalarıyla h uzunluğunda birkaç eşit aralığa bölünür< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Bölme adımını bulalım: h = b - an . Düğümleri x ben = a + i h , i = 0 , 1 , eşitliğinden tanımlarız. . . , N .

Temel aralıklarda, x i - 1 integralini göz önünde bulundurun; x ben , ben = 1 , 2 , . . , N .

n'deki sonsuz artışla, tüm durumları en basit dört seçeneğe indirgeriz:

x i - 1 segmentlerini seçin; x ben , ben = 1 , 2 , . . . , N . Her bir grafikteki y = f(x) fonksiyonunu, x i - 1 koordinatlarına sahip noktalardan geçen bir düz çizgi parçasıyla değiştirelim; f x ben - 1 ve x ben ; f x ben . Onları şekillerde mavi ile işaretliyoruz.

f (x i - 1) + f (x i) 2 h ifadesini ∫ x i - 1 x if (x) d x integralinin yaklaşık değeri olarak alalım. Onlar. ∫ x ben - 1 x ben f (x) d x ≈ f (x ben - 1) + f (x ben) 2 h .

İncelediğimiz sayısal entegrasyon yöntemine neden yamuk yöntemi dendiğini görelim. Bunu yapmak için, yazılı yaklaşık eşitliğin geometri açısından ne anlama geldiğini bulmamız gerekir.

Bir yamuğun alanını hesaplamak için, tabanlarının yarı toplamlarını yükseklikle çarpın. İlk durumda, eğrisel bir yamuğun alanı, f (x ben - 1) , f (x ben) yüksekliği h olan bir yamuğa yaklaşık olarak eşittir. Düşündüğümüz vakaların dördüncüsünde, verilen integral ∫ x i - 1 x f (x) d x yaklaşık olarak tabanları olan bir yamuğun alanına eşittir - f (x ben - 1) , - f (x ben) ve yükseklik "-" işareti ile alınması gereken h. Ele alınan durumların ikinci ve üçüncüsünde ∫ x i - 1 x i f (x) d x belirli integralinin yaklaşık değerini hesaplamak için kırmızı ve mavi bölgelerin alanları arasındaki farkı bulmamız gerekir. Aşağıdaki şekilde tarama.

Özetleyelim. Yamuk yönteminin özü şu şekildedir: ∫ a b f (x) d x belirli integralini, her temel parçada ve sonraki yaklaşık değişiklik ∫ x i - 1 x i f (x) d x şeklindeki integrallerin toplamı olarak gösterebiliriz. x ben - 1 x ben f (x) d x ≈ f (x ben - 1) + f (x ben) 2 h.

yamuk formülü

Belirli integralin beşinci özelliğini hatırlayın: ∫ a b f (x) d x = ∑ ben = 1 n ∫ x ben - 1 x ben f (x) d x . Yamuk yönteminin formülünü elde etmek için ∫ x i - 1 x i f (x) d x integralleri yerine yaklaşık değerlerini yerine koyun: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x ben f (x) d x ≈ ∑ ben = 1 n f (x ben - 1) + f (x ben) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ ben = 1 n - 1 f (x ben) + f (x n) ⇒ ∫ x ben - 1 x ben f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ ben = 1 n - 1 f (x ben) + f (x n)

tanım 1

Trapez formülü:∫ x ben - 1 x ben f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ ben = 1 n - 1 f (x ben) + f (x n)

Yamuk yönteminin mutlak hatasının tahmini

Yamuk yönteminin mutlak hatasını aşağıdaki gibi tahmin edelim:

Tanım 2

δ n ≤ m bir x x ∈ [ bir ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ bir ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Trapez yönteminin grafik gösterimi şekilde gösterilmiştir:

Hesaplama örnekleri

Belirli integrallerin yaklaşık hesabı için yamuk yöntemini kullanma örneklerini inceleyelim. İki tür göreve özel önem vereceğiz:

• segment n'nin belirli sayıda bölümü için yamuk yöntemiyle belirli bir integralin hesaplanması;
• belirli bir integralin yaklaşık değerini belirli bir doğrulukla bulmak.

Belirli bir n için, tüm ara hesaplamalar yeterince yüksek bir doğruluk derecesi ile yapılmalıdır. Hesaplamaların doğruluğu, n ne kadar büyükse o kadar yüksek olmalıdır.

Belirli bir integrali hesaplamak için belirli bir doğruluğumuz varsa, o zaman tüm ara hesaplamalar iki veya daha fazla büyüklükte daha doğru bir şekilde yapılmalıdır. Örneğin, doğruluk 0,01 olarak ayarlanmışsa, 0,0001 veya 0,00001 doğrulukla ara hesaplamalar yaparız. Büyük n için ara hesaplamalar daha da yüksek doğrulukla yapılmalıdır.

Yukarıdaki kuralı örnek olarak alalım. Bunu yapmak için, Newton-Leibniz formülü ile hesaplanan ve yamuk yöntemiyle elde edilen belirli bir integralin değerlerini karşılaştırıyoruz.

Yani, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 bir r c t g (x) 0 5 = 7 bir r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .

örnek 1

Yamuk yöntemini kullanarak, n eşittir 10 için ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x belirli integralini hesaplıyoruz.

Çözüm

Yamuk yöntemi için formül: ∫ x ben - 1 x ben f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ ben = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Formülü uygulamak için, h = b - a n formülünü kullanarak h adımını hesaplamamız, x i = a + i h , i = 0 , 1 , düğümlerini belirlememiz gerekir. . . , n , f(x) = 7 x 2 + 1 integralinin değerlerini hesaplayın.

Bölme adımı şu şekilde hesaplanır: h = b - an n = 5 - 0 10 = 0 . 5. x i = a + i · h , i = 0 , 1 , düğümlerindeki integrali hesaplamak için . . . , n dört ondalık basamak alacağız:

ben \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 ben = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 , 5) = 7 0 , 5 2 + 1 = 5 , 6 . . . ben = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

Hesaplamaların sonuçlarını tabloya girelim:

Elde edilen değerleri yamuk yönteminin formülünde değiştirin: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 2692 = 9 , 6117

Sonuçlarımızı Newton-Leibniz formülü ile hesaplanan sonuçlarla karşılaştıralım. Alınan değerler yüzde birine kadar çakışıyor.

Cevap:∫ 0 5 7 gün x x 2 + 1 = 9 , 6117

Örnek 2

Yamuk yöntemini kullanarak, belirli integral ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 dx'in değerini 0 , 01 doğrulukla hesaplıyoruz.

Çözüm

Problemin durumuna göre a=1; b = 2 , f(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0 , 01 .

Mutlak hatayı δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . Bunu şu şekilde yapacağız: m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . n verildiğinde, yamuk formülü bize belirli bir integralin belirli bir doğrulukla yaklaşık değerini verecektir.

İlk olarak, fonksiyonun [ 1 ; aralığındaki ikinci türevinin modülünün en büyük değerini bulalım; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

İkinci türev fonksiyonu ikinci dereceden bir parabol f "" (x) = x 2'dir. Pozitif olduğunu ve [ 1 ; 2]. Bu bağlamda, m a x x ∈ [ bir ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

Verilen örnekte m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) oldukça basit çıktı. Karmaşık durumlarda, hesaplamalar için işlevin en büyük ve en küçük değerlerine başvurabilirsiniz. Bu örneği inceledikten sonra m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Elde edilen değeri m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 , 7735

İntegrasyon segmentinin bölündüğü temel aralıkların sayısı n bir doğal sayıdır. Hesaplama davranışı için n'yi altıya eşitleyelim. Böyle bir n değeri, yamuk yönteminin belirtilen doğruluğunu minimum hesaplamalarla elde etmemizi sağlayacaktır.

Adımı hesaplayalım: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

x ben = a + i h , i = 1 , 0 , düğümlerini bulun. . . , n , bu düğümlerde integralin değerlerini belirleriz:

ben = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 ben = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266. . . ben \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1, 9833

Hesaplama sonuçlarını bir tablo şeklinde yazıyoruz:

Elde edilen sonuçları yamuk formülde yerine koyuyoruz:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ ben = 1 n - 1 f (x ben) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054

Karşılaştırmak için, orijinal integrali Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplıyoruz:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Gördüğünüz gibi, hesaplamaların elde edilen doğruluğunu elde ettik.

Cevap: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054

Karmaşık integraller için, mutlak hatayı tahmin etmek için eşitsizlikten n sayısını bulmak her zaman kolay değildir. Bu durumda aşağıdaki yöntem uygun olacaktır.

n düğüm için yamuk yöntemiyle elde edilen belirli integralin yaklaşık değerini I n olarak gösterelim. Rastgele bir sayı seçelim n . Yamuk yönteminin formülünü kullanarak, ilk integrali tek (n = 10) ve çift (n = 20) düğüm sayısı ile hesaplıyoruz ve elde edilen iki yaklaşık değer arasındaki farkın mutlak değerini buluyoruz I 20 - BEN 10 .

Elde edilen iki yaklaşık değer arasındaki farkın mutlak değeri, gerekli doğruluktan az ise I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Elde edilen iki yaklaşık değer arasındaki farkın mutlak değeri, gerekli doğruluktan büyükse, adımları iki kat düğüm sayısıyla (n = 40) tekrarlamak gerekir.

Bu yöntem çok fazla hesaplama gerektirir, bu nedenle zaman kazanmak için bilgisayar teknolojisini kullanmak akıllıca olacaktır.

Yukarıdaki algoritmayı kullanarak sorunu çözelim. Zaman kazanmak için yamuk yöntemini kullanarak ara hesaplamaları atlıyoruz.

Örnek 3

∫ 0 2 x e x d x belirli integralini 0 , 001 doğrulukla yamuk yöntemini kullanarak hesaplamak gerekir.

Çözüm

n'yi 10 ve 20'ye eşitleyelim. Yamuk formülüne göre, I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906 elde ederiz.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, bu daha fazla hesaplama gerektirir.

n'yi 40'a eşit alalım: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, bu da daha fazla hesaplama gerektirir.

n'yi 80'e eşit alalım: I 80 = 8 , 3901585 .

I 80 - I 40 = 8,3901585 - 8,3934656 = 0,0033071 > 0,001, bu da düğüm sayısının iki katına çıkarılmasını gerektirir.

n'yi 160'a eşit alalım: I 160 = 8, 3893317.

ben 160 - ben 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

I 160 = 8 , 3893317'yi binde bire yuvarlayarak orijinal integralin yaklaşık bir değerini elde edebilirsiniz: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

Karşılaştırma için, Newton-Leibniz formülünü kullanarak orijinal belirli integrali hesaplıyoruz: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . Gerekli doğruluk sağlandı.

Cevap: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Hatalar

Belirli bir integralin değerini belirlemek için ara hesaplamalar, çoğunlukla yaklaşık olarak yapılır. Bu, n arttıkça hesaplama hatasının birikmeye başladığı anlamına gelir.

Yamuk yönteminin mutlak hatalarının tahminlerini ve ortalama dikdörtgenler yöntemini karşılaştıralım:

δ n ≤ m bir x x ∈ [ bir ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ bir ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ bir ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ bir ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .

Aynı miktarda hesaplama çalışmasıyla belirli bir n için dikdörtgenler yöntemi, hatanın yarısını verir. Bu durum, elementer segmentlerin orta segmentlerinde fonksiyon değerlerinin bilindiği durumlarda yöntemi daha çok tercih edilir hale getirir.

İntegrallenebilir fonksiyonların analitik olarak değil, düğümlerde bir dizi değer olarak belirtildiği durumlarda yamuk yöntemini kullanabiliriz.

Yamuk yönteminin doğruluğunu ve sağ ve sol dikdörtgenler yöntemini karşılaştırırsak, sonucun doğruluğunda ilk yöntem ikinciyi geçer.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Egzersizler.

5.1 Dikdörtgenlerin kareleme formülü ile hesaplayın. N= 3 integralini alın ve integralin tam değeri ile karşılaştırın:

A) , BEN= 1; B) , BEN= ln 2;

V) , BEN= ; G) , BEN= 0,75.

5.2 Dikdörtgenlerin kareleme formülü ile hesaplayın N= 5 integrali alın ve entegrasyon hatasını değerlendirin:

5.3 Düğüm sayısını belirleyin N, 0.01 doğrulukla dikdörtgen formülünü kullanarak integrali hesaplamak için kullanılması gereken:

A) ; B) ; v) ; G) .

5.4 Dikdörtgenlerin kareleme formülünü kullanarak integrali 0,01 doğrulukla hesaplayın:

Belirli integrali düşünün BEN(6) ve integralin grafiğini çizin (Şekil 17). Entegrasyon aralığını ikiye bölelim N noktalarla eşit segmentler , nerede (Şek. 17).

Bölümün her bölümünün uzunluğu. Bu durumda, bölme noktaları için ilişkinin doğru olacağı açıktır:

Ve X 0 = A Ve x n = B.

Fonksiyon grafiğinin noktalarını koordinatlarla segmentlere göre birleştirin. Sonuç olarak, parçalı bir doğrusal fonksiyonun grafiği olan kesikli bir çizgi elde ederiz (Şekil 17). Bölümün her bölümünde, işlev formülle verilir.

Noktalarda, işlevle aynı değerleri alır:

onlar. fonksiyon, segment üzerinde fonksiyonun parçalı lineer enterpolasyonunu gerçekleştirir (Şekil 17).

İntegrali hesaplayalım:

Bu sonucun basit bir geometrik anlamı vardır: bir eksen parçası tarafından aşağıdan sınırlanan bir şekil Ah, yukarıdan bir işlev parçası (13), yanlardan dikey düz çizgiler ve , tabanları uzunluk ve yükseklik olan bir yamuktur H, alanı formül (14) ile belirlenir (Şek. 17).

Fonksiyonun tüm segment üzerindeki integrali, integrallerin (14) toplamıdır:

Dörtlü formül

integralin yaklaşık değerini verir BEN:

kalan terim nerede (özel notasyon). Denilen kareleme formülünde (16), yamuk dördün formülü , düğümler noktalardır, ağırlık faktörlerinin ikisi hariç hepsi aynıdır ve eşittir ve ve ağırlık katsayıları eşittir . Formül (16), integrale karşılık gelen eğrisel bir yamuğun alanını ifade eder. BEN, yamuk alanlarının toplamı aracılığıyla (14) (Şek. 17).

Değer için formül (7) veya (7ʹ), tam bir toplam olarak oluşturuldu. için formül (15) türetilirken, tam bir toplam kavramı kullanılmamıştır, ancak tam bir toplam olarak da kabul edilebilir. Bu nedenle, fonksiyon üzerinde integrallenebilir ise, o zaman belirli bir integralin tanımı ile

onlar. karesel yamuk formülü (16) için yakınsama koşulları bu durumda karşılanır.

Limit bağıntıları (17), isteğe bağlı integrallenebilir bir fonksiyonun belirli integralini yamuk yöntemiyle herhangi bir doğrulukla hesaplamanın temel olasılığını kanıtlar. ε bir sayı seçerek N segmentin ayrım noktaları ve karşılık gelen adım H.

Gerçek bir bilgi işlem sürecinin organizasyonu ile ilgili ana soruyu ele alalım: nasıl alınır N belirli integrali hesaplarken gerekli doğruluğu elde etmek için (6) ε . Bunu yapmak için artık terimi (hata) değerlendirmek gerekir. Bu bağlamda, integral yalnızca integrallenebilir değil, aynı zamanda aralıkta iki kez sürekli türevlenebilir olmalıdır. Yukarıda açıklanan tüm koşullar karşılanırsa, kalan terim için aşağıdaki tahmin geçerlidir.

Nerede M(11) koşulunu sağlayan pozitif bir sayıdır.

Belirli bir doğruluk için ε koşul (18), düğüm sayısını belirlememizi sağlar N, belirli integrali (6) hesaplarken kullanılmalıdır. Bunu yapmak için oranı kullanmak yeterlidir.

örnek 1 ile yamuk kareleme formülü ile hesaplayın N= 3 integral

İntegralin tam değeri ile karşılaştırın.

Çözüm.

Çünkü N= 3, ardından adım

Ve verilen ve:

Dolayısıyla, formül (15) ile elimizdeki

Buradan, .

Elde edilen yaklaşık değeri integralin tam değeri ile karşılaştıralım

Cevap: , .

Örnek 2 Düğüm sayısını belirleme N yamuk formülünü kullanarak integrali hesaplamak için kullanılması gereken

0.01 doğrulukla.

Çözüm.

belirlemek için N, ilişkiyi kullanıyoruz (19)

Göreve göre ve ε = 0.01. İntegrandın ve birinci ve ikinci türevlerinin sırasıyla ve'ye eşit olduğunu dikkate alarak, entegrasyon segmentinde ='ye sahibiz. Araç M= 1. Sonuç olarak, ilişkiyi elde ederiz

Hangisinden belirlediğimiz N:

ah o zaman alalım N = 6.

Bu nedenle, doğruluk elde etmek için ε = 0.01, 7 düğüm almanız gerekiyor.

Cevap:N = 6.

Örnek 3 Dördün yamuk formülünü kullanarak integrali hesaplayın

0.01 doğrulukla.

Çözüm.

Önce düğüm sayısını belirleyelim N, integrali hesaplamak için kullanılmalıdır. göreve göre, ε = 0.01 ve . Çünkü

ve koşmak için

O M= 2. Değerlerin değiştirilmesi A, B, ε Ve M formül (12)'de şu ilişkiyi elde ederiz:

Bulduğumuz yerden N.

ah o zaman alalım N = 5.

Çünkü N= 5, ardından adım

İlişkiyi kullanarak değerleri bulalım

Ve verilen, ve B :

Şimdi noktalardaki integralin değerlerini hesaplayalım , :

Dolayısıyla, formül (15) ile elimizdeki

Buradan, .

Cevap: 0.01 doğrulukla.

İlk olarak, genel formül. Belki de herkes için net olmayacak ve hemen olmayacak ... Evet, Karlsson sizinle - pratik örnekler her şeyi açıklığa kavuşturacak! Sakinlik. Sadece sakinlik.

Bir fonksiyonun segment üzerinde sürekli olduğu belirli integrali ele alalım. Segmenti ikiye ayıralım eşit segmentler:
. Bu durumda, açıkça: (entegrasyonun alt sınırı) ve (entegrasyonun üst sınırı). puan olarak da adlandırılır düğümler.

Daha sonra belirli integral yaklaşık olarak hesaplanabilir yamuk formülü ile:
, Nerede:
- küçük segmentlerin her birinin uzunluğu veya adım;
noktalardaki integralin değerleridir .

örnek 1

Yamuk formülünü kullanarak yaklaşık olarak belirli bir integrali hesaplayın. Sonuçları üç ondalık basamağa yuvarlayın.

a) Entegrasyon segmentini 3 parçaya bölmek.
b) Entegrasyon segmentini 5 parçaya bölmek.

Çözüm:
a) Özellikle mankenler için, ilk paragrafı yöntemin prensibini açıkça gösteren çizime bağladım. Zor olacaksa yorumlar kısmında çizime bakın, işte ondan bir parça:

Koşullu olarak, entegrasyon segmenti 3 parçaya bölünmelidir, yani .
Bölümün her bölümünün uzunluğunu hesaplayın: . Size hatırlattığım parametrenin adı da adım.

Kaç nokta (bölüm düğümü) olacak? Olacak bir tane daha segment sayısından:

Böylece, yamukların genel formülü hoş bir boyuta indirgenmiştir:

Hesaplamalar için normal bir mikro hesap makinesi kullanabilirsiniz:

Dikkat, problemin durumuna göre tüm hesaplamalar 3. haneye yuvarlanmalıdır..

Nihayet:

Elde edilen değerin alanın yaklaşık bir değeri olduğunu hatırlatırım (yukarıdaki şekle bakın).

b) İntegral segmentini 5 eşit parçaya yani . Bu neden gerekli? Phobos-Grunt'un okyanusa düşmemesi için - segment sayısını artırarak hesaplamaların doğruluğunu artırıyoruz.

Eğer , o zaman yamuk formülü aşağıdaki formu alır:

Bölümleme adımını bulalım:
, yani her bir ara parçanın uzunluğu 0,6'dır.

Görevi bitirirken, tüm hesaplamaları bir hesaplama tablosuyla yapmak uygundur:

İlk satıra "counter" yazıyoruz

Sanırım herkes ikinci satırın nasıl oluştuğunu görüyor - önce alt entegrasyon limitini yazıyoruz, kalan değerleri sırasıyla adımı ekleyerek elde ediyoruz.

Alt çizginin hangi ilkeye göre doldurulduğunu da düşünüyorum, neredeyse herkes anladı. Örneğin, eğer , o zaman . Ne denir, düşünün, tembel olmayın.

Sonuç olarak:

Gerçekten bir açıklama var ve ciddi bir açıklama!
Bölümün 3 bölümü için ise, o zaman 5 bölümü için. Bu nedenle, yüksek derecede bir kesinlikle, en azından .

Örnek 2

İki ondalık basamak doğruluğuyla (0,01'e kadar) yamuk formülünü kullanarak yaklaşık olarak tanımlanmış bir integrali hesaplayın.

Çözüm: Hemen hemen aynı sorun, ancak biraz farklı bir formülasyonda. Örnek 1'den temel fark, biz bilmiyoruz, İki doğru ondalık basamak elde etmek için entegrasyon kesimini KAÇ parçaya bölmek için. Başka bir deyişle, değerini bilmiyoruz.

Gerekli doğruluğun elde edildiğinden emin olmak için bölme segmentlerinin sayısını belirlemenizi sağlayan özel bir formül vardır, ancak pratikte uygulanması genellikle zordur. Bu nedenle, basitleştirilmiş bir yaklaşım kullanmak avantajlıdır.

İlk olarak, entegrasyon segmenti, kural olarak 2-3-4-5'e birkaç büyük segmente bölünür. Örneğin entegrasyon segmentini aynı 5 parçaya bölelim. Formül zaten tanıdık:

Ve elbette adım da biliniyor:

Ancak başka bir soru ortaya çıkıyor, sonuçlar hangi rakama yuvarlanmalı? Koşul, kaç ondalık basamak bırakılacağı hakkında hiçbir şey söylemez. Genel tavsiye şudur: Gerekli doğruluğa 2-3 basamak eklenmelidir. Bu durumda, gerekli doğruluk 0,01'dir. Tavsiyeye göre, sadakat için virgülden sonra beş karakter bırakıyoruz (dört karakter olabilirdi):

Sonuç olarak:

Birincil sonuçtan sonra segment sayısı çift. Bu durumda 10 parçaya bölmek gerekir. Ve segment sayısı arttığında, akla bir mikro hesap makinesine parmak sokmanın zaten bir şekilde yorgun olduğu parlak bir düşünce geliyor. Bu nedenle, bir kez daha yarı otomatik hesap makinemi indirip kullanmayı öneriyorum (bağlantı dersin başındadır).

Yamuk için formül aşağıdaki formu alır:

Basılı sürümde, giriş güvenli bir şekilde bir sonraki satıra aktarılabilir.

Bölme adımını hesaplayalım:

Hesaplamaların sonuçları tabloda özetlenmiştir:


Defterde bitirirken uzun bir masayı iki katlı bir masaya çevirmek avantajlıdır.

Segmentin parçalara bölünmesini tekrar ele alalım. Grafiğin altındaki alanı, bölümleme aralığının üzerinde uzanan yaklaşık olarak, paralel tabanları aralığın sonundaki fonksiyonun değerlerini belirten segmentler olan yamuk alanıyla değiştirin, yani, ve (bkz. Şek.).

O zaman böyle bir yamuğun alanı açıkça eşittir

Tüm alanları özetleyerek, kareyi elde ederiz yamuk formülü:

Bu, sağ tarafı ile gösterdiğimiz sol ve sağ dikdörtgenlerin formüllerini birleştirerek elde edilen formülün aynısıdır.

Bir sonraki yamuğun alanını hesaplarken, işlevin değerini yalnızca bir yeni noktada - bir sonraki aralığın sağ ucunda, çünkü nokta önceki bölümün sağ ucu olduğundan ve bu noktadaki değer, önceki yamuğun alanı bulunurken zaten hesaplanmıştı.

Bölmenin tüm bölümleri aynı uzunlukta olacak şekilde seçilirse, yamuk formülü şu şekli alır:

Fonksiyonun ve hariç tüm değerleri bu formülde iki kez bulunur. Bu nedenle, eşit terimleri birleştirerek yamuk formülünü şu şekilde yazabiliriz:

Fonksiyonun, aralıkta işareti koruyan ikinci bir türevi olsun. Bir önceki şekilden kolayca görülebileceği gibi, bu kareleme formülünün hatasının doğası şu şekildedir: eğer , yani grafik yukarı doğru dışbükey ise, o zaman ve dolayısıyla; grafiğin ayrıca aşağı doğru bir dışbükeyliği varsa, o zaman ve .

Bunu yukarıda incelenen merkezi dikdörtgenler formülünün hata değerleri ile karşılaştırırsak, ikinci türevi entegrasyon aralığında işaretini koruyan fonksiyonlar için hataların işaretlerinin ve zıt olduğunu görürüz. Yamuk formülünü ve merkezi dikdörtgen formülünü birleştirme arzusu vardır, böylece bu hatalar mümkün olduğu kadar telafi edilir. Hangi formül kombinasyonunun alınması gerektiğini anlamak için, bu hataların hangi değere sahip olduğunu ve seçime bağlı olarak bulmamız gerekir. adım. Bu hata tahminleri, karşılık gelen kareleme formülünü uygulayarak elde edilen integralin yaklaşık değerinin doğruluğunu bulmayı mümkün kıldıklarından, bağımsız bir öneme de sahiptir.

Tek boyutlu integralleri hesaplamak için Monte Carlo yöntemi genellikle kullanılmaz, çünkü kareleme formülleri yüksek doğruluk elde etmek için daha uygundur. Kübik formüller çok hantal olduğunda ve küçük bir hata elde etmek için büyük miktarda hesaplama gerektirdiğinde, çoklu integralleri hesaplarken bu yöntemin daha verimli olduğu ortaya çıktı.

Kareleme veya küpleme formüllerini kullanırken, integralin boyutunun büyümesiyle işlem sayısı hızla artar. Örneğin, yamuk yöntemiyle tek boyutlu bir integrali belirli bir doğrulukla hesaplamak için mertebenin toplamını hesaplamak gerekliyse N Terimler, daha sonra çift katlı integrali aynı yöntemle hesaplamak için sıra eklemek gerekir. N 2 terim ve üçlü integral için terim sayısı mertebededir N 3 .

Deneme sayısı N Belirtilen doğruluğu elde etmek için gerekli ε yaklaşık değer, Monte Carlo yönteminde sipariş miktarı ve integralin boyutuna bağlı değildir .

Kübik formül arasında aşağıdaki seçim kriteri uygulanır. R-inci doğruluk sırası ve doğrulukla hesaplamak için Monte Carlo yöntemi ε fonksiyonun çoklu integrali M değişkenler:

1) boyutların sayısı m ise < 2R, kübik veya kareleme formüllerini kullanmak daha iyidir;

2) eğer m > 2R – Monte Carlo yöntemi.

Örneğin, eğer R= 1, üçlü integralleri Monte Carlo yöntemiyle ve tek boyutlu integralleri - kareleme formülleriyle hesaplamak daha avantajlıdır.

Eğer R= 2, beş boyutlu integralleri Monte Carlo yöntemiyle ve tek boyutlu, çift ve üçlü integralleri - kareleme veya küpleme formülleriyle hesaplamak daha iyidir.

Çoklu integralleri hesaplamak için, formül (9.7)'yi türetmek için kullanılan yöntemle elde edilen Monte Carlo yönteminin özel formüllerini ele alalım.

Çift katlı integrali hesaplamak istensin

Bir dizi çalıştıralım N rastgele nokta testleri ( x ben, sen ben), Nerede x ben A, B], A sen ben aralıkta düzgün dağılmış [ İle, D]. İntegrali (9.9) formülle hesaplayalım

Üçlü integral için benzer şekilde formülü elde ederiz.

Nerede x ben aralıkta düzgün dağılmış [ A, B], sen ben– segmentte [ İle, D], A z ben– segmentte [ R, Q]; N deneme sayısıdır.

İçin M-katlı integral, Monte Carlo yönteminin formülü şu şekildedir:

Dikdörtgen, yamuk ve Simpson formülü formüllerini kullanarak integrallerin hesaplanması. Hataların tahmini.

Konu 4.1 ile ilgili yönergeler:

İntegrallerin dikdörtgen formüllerle hesaplanması. Hata tahmini:

Pek çok teknik problemin çözümü, tam olarak ifade edilmesi zor olan, uzun hesaplamalar gerektiren ve pratikte her zaman doğrulanamayan belirli integrallerin hesaplanmasına indirgenmiştir. Burada yaklaşık değerleri oldukça yeterlidir. Örneğin, denklemi bilinmeyen bir doğrunun sınırladığı alanı, ekseni hesaplamanız gerekir. X ve iki ordinat. Bu durumda, bu satırı, denklemi bilinen daha basit bir satırla değiştirebilirsiniz. Bu şekilde elde edilen eğrisel yamuğun alanı, istenen integralin yaklaşık değeri olarak alınır. Geometrik olarak, belirli integrali dikdörtgen formülünü kullanarak hesaplama yönteminin arkasındaki fikir, eğrisel bir yamuğun alanının olmasıdır. A 1 ABB 1 eşit alanlı bir dikdörtgenin alanı ile değiştirilir A 1 A 2 B 1 B 2 ortalama değer teoremine göre şuna eşittir:

Nerede f(ç)--- dikdörtgen yüksekliği A 1 A 2 B 1 B 2, bu, bazı ara noktalardaki integralin değeridir CA< c