Görev 4.

4√6 uzunluğundaki paralelkenarın köşegenlerinden biri tabanla 60 °, ikinci köşegen aynı tabanla 45 ° açı yapar. İkinci köşegeni bulun.

Çözüm.

1. AO = 2√6.

2. Sinüs teoremini AOD üçgenine uyguluyoruz.

AO / günah D = OD / günah A.

2√6 / günah 45 о = OD / günah 60 о.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6.

Cevap: 12.

Görev 5.

Kenarları 5√2 ve 7√2 olan bir paralelkenar, paralelkenarın daha küçük açısına eşit olan köşegenler arasında daha küçük bir açıya sahiptir. Köşegenlerin uzunluklarının toplamını bulun.

Çözüm.

Paralelkenarın köşegenleri d 1, d 2 olsun ve köşegenler ile paralelkenarın daha küçük açısı arasındaki açı φ'ye eşit olsun.

1. İki farklı sayalım
kendi alanının yolları.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin φ,

S ABCD = 1/2 AС ВD sin AОВ = 1/2 d 1 d 2 sin ф.

5√2 7√2 sin ф = 1 / 2d 1 d 2 sin ф eşitliğini elde ederiz veya

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. Paralelkenarın kenarları ve köşegenleri arasındaki oranı kullanarak eşitliği yazıyoruz

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Sistemi oluşturalım:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Sistemin ikinci denklemini 2 ile çarpıyoruz ve birinciye ekliyoruz.

(d 1 + d 2) 2 = 576 elde ederiz. Dolayısıyla Id 1 + d 2 I = 24.

d 1, d 2 paralelkenarın köşegenlerinin uzunlukları olduğundan, d 1 + d 2 = 24 olur.

Cevap: 24.

Görev 6.

Paralelkenarın kenarları 4 ve 6'dır. Köşegenler arasındaki dar açı 45 °'dir. Paralelkenarın alanını bulun.

Çözüm.

1. AOB üçgeninden kosinüs teoremini kullanarak paralelkenarın kenarı ile köşegenler arasındaki ilişkiyi yazıyoruz.

AB 2 = AO 2 + BO 2 2 AO VO çünkü AOB.

4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2) √2 / 2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Benzer şekilde, AOD üçgeninin bağıntısını yazıyoruz.

bunu dikkate alalım<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 denklemini elde ederiz.

3. Bir sistemimiz var
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

İlkini ikinci denklemden çıkararak 2d 1 d 2 √2 = 80 veya

d 1 d 2 = 80 / (2√2) = 20√2

4.S ABCD = 1/2 AC · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2 / 2 = 10.

Not: Bu ve önceki problemde, bu problemde alanı hesaplamak için köşegenlerin çarpımına ihtiyacımız olduğunu öngörerek sistemi tamamen çözmeye gerek yoktur.

Cevap: 10.

Görev 7.

Paralelkenarın alanı 96, kenarları 8 ve 15'tir. Daha küçük köşegenin karesini bulun.

Çözüm.

1.S ABCD = AB · AD · günah KÖTÜ. Formülde bir ikame yapalım.

96 = 8 15 sin KÖTÜ elde ederiz. Dolayısıyla günah ВAD = 4/5.

2. çünkü KÖTÜ'yü bulun. günah 2 KÖTÜ + çünkü 2 KÖTÜ = 1.

(4/5) 2 + cos 2 KÖTÜ = 1.cos 2 KÖTÜ = 9/25.

Problem ifadesine göre, daha küçük köşegenin uzunluğunu buluyoruz. KÖTÜ açısı keskin ise BD köşegeni daha küçük olacaktır. O zaman çünkü KÖTÜ = 3/5.

3. ABD üçgeninden kosinüs teoremi ile köşegen BD'nin karesini buluyoruz.

BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 AB BD çünkü KÖTÜ.

В 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145.

Cevap: 145.

Hala sorularınız mı var? Geometrik bir problemi nasıl çözeceğinizden emin değil misiniz?
Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

paralelkenar nedir? Paralelkenar, karşılıklı kenarların paralel olduğu bir dörtgendir.

1. Paralelkenarın alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

\ [\ BÜYÜK S = a \ cdot h_ (a) \]

nerede:
a - paralelkenarın tarafı,
h a - bu tarafa çizilen yükseklik.

2. Paralelkenarın iki bitişik tarafının uzunlukları ve aralarındaki açı biliniyorsa, paralelkenarın alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

\ [\ BÜYÜK S = a \ cdot b \ cdot günah (\ alpha) \]

3. Paralelkenarın köşegenleri verilmişse ve aralarındaki açı biliniyorsa, paralelkenarın alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

\ [\ BÜYÜK S = \ frak (1) (2) \ cdot d_ (1) \ cdot d_ (2) \ cdot günah (\ alpha) \]

paralelkenar özellikleri

Bir paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşittir: \ (AB = CD \), \ (BC = AD \)

Bir paralelkenarda, zıt açılar şunlardır: \ (\ açı A = \ açı C \), \ (\ açı B = \ açı D \)

Kesişme noktasındaki paralelkenar köşegenleri yarıya bölünür \ (AO = OC \), \ (BO = OD \)

Paralelkenarın köşegeni onu iki eşit üçgene böler.

Bir kenarına bitişik bir paralelkenarın açılarının toplamı 180 o'dur:

\ (\ açı A + \ açı B = 180 ^ (o) \), \ (\ açı B + \ açı C = 180 ^ (o) \)

\ (\ açı C + \ açı D = 180 ^ (o) \), \ (\ açı D + \ açı A = 180 ^ (o) \)

Paralelkenarın köşegenleri ve kenarları aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:

\ (d_ (1) ^ (2) + d_ (2) ^ 2 = 2a ^ (2) + 2b ^ (2) \)

Bir paralelkenarda, yükseklikler arasındaki açı, dar açısına eşittir: \ (\ açı K B H = \ açı A \).

Paralelkenarın bir kenarına bitişik açıların açıortayları karşılıklı olarak diktir.

Bir paralelkenarın iki zıt açısının açıortayları paraleldir.

paralelkenar işaretleri

Dörtgen, aşağıdaki durumlarda bir paralelkenardır:

\ (AB = CD \) ve \ (AB || CD \)

\ (AB = CD \) ve \ (BC = AD \)

\ (AO = OC \) ve \ (BO = OD \)

\ (\ açı A = \ açı C \) ve \ (\ açı B = \ açı D \)

Bir paralelkenarın alanını nasıl bulacağımızı bilmeden önce, paralelkenarın ne olduğunu ve yüksekliğinin ne olduğunu hatırlamamız gerekir. Paralelkenar, karşılıklı kenarları çift paralel olan (paralel çizgiler üzerinde uzanan) bir dörtgendir. Bu kenarı içeren doğrunun karşısındaki rastgele bir noktadan çizilen dikmeye paralelkenar yüksekliği denir.

Kare, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen paralelkenarın özel durumlarıdır.

Paralelkenar alanı (S) olarak gösterilir.

Paralelkenarın alanını bulmak için formüller

S = a * h, burada a taban, h tabana çizilen yüksekliktir.

S = a * b * sinα, burada a ve b bazdır ve α, a ve b tabanları arasındaki açıdır.

S = p * r, burada p bir yarı çevredir, r, paralelkenarda yazılı dairenin yarıçapıdır.

A ve b vektörleri tarafından oluşturulan paralelkenarın alanı, verilen vektörlerin çarpımının modülüne eşittir, yani:

Örnek 1'i düşünün: Bir kenarı 7 cm ve yüksekliği 3 cm olan bir paralelkenar verildiğinde, bir paralelkenarın alanı nasıl bulunur, çözüm için bir formüle ihtiyacımız var.

Yani S = 7x3. S = 21. Cevap: 21cm2.

Örnek 2'yi düşünün: Verilen tabanlar 6 ve 7 cm'dir ve tabanlar arasındaki açı 60 derecedir. Paralelkenarın alanı nasıl bulunur? Çözmek için kullanılan formül:

Böylece, önce açının sinüsünü buluruz. Sinüs 60 = 0,5, sırasıyla S = 6 * 7 * 0,5 = 21 Cevap: 21 cm 2.

Umarım bu örnekler sorunları çözmenize yardımcı olur. Ve unutmayın, asıl şey formüller ve dikkat bilgisidir.

Paralelkenar Kenarları paralel olan bir dörtgendir.

Bu şekilde karşılıklı kenarlar ve açılar birbirine eşittir. Paralelkenarın köşegenleri bir noktada kesişir ve onun tarafından yarıya bölünür. Paralelkenar alan formülleri, değeri kenarlar, yükseklik ve köşegenler cinsinden bulmanızı sağlar. Paralelkenar özel durumlarda da sunulabilir. Dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgen olarak kabul edilirler.
Başlamak için, bir paralelkenarın alanını yükseklikte ve alçaltılmış olduğu tarafı hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Bu dava klasik bir dava olarak kabul edilir ve ek araştırma gerektirmez. İki taraftan geçen alanı ve aralarındaki açıyı hesaplamak için formülü düşünmek daha iyidir. Hesaplamada da aynı yöntem kullanılmaktadır. Kenarlar ve aralarındaki açı verilirse, alan aşağıdaki gibi hesaplanır:

Kenarları a = 4 cm, b = 6 cm olan bir paralelkenar verildiğini varsayalım, aralarındaki açı α = 30 °. alanını bulalım:

Köşegenler boyunca paralelkenar alan

Köşegenler cinsinden bir paralelkenar alanı formülü, hızlı bir şekilde bir değer bulmanızı sağlar.
Hesaplamalar için köşegenler arasında bulunan açının değerine ihtiyacınız var.

Köşegenler boyunca bir paralelkenarın alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım. Köşegenleri D = 7 cm, d = 5 cm olan bir paralelkenar verilsin Aralarındaki açı α = 30 ° dir. Verileri formülde yerine koyalım:

Bir köşegen boyunca bir paralelkenar alanını hesaplama örneği bize mükemmel bir sonuç verdi - 8.75.

Köşegen boyunca bir paralelkenar alanı formülünü bilerek, birçok ilginç problemi çözebilirsiniz. Hadi onlardan birine bir göz atalım.

Görev: Size 92 metrekare alana sahip bir paralelkenar verilir. bkz. F Noktası, BC tarafının ortasında yer almaktadır. Paralelkenarımızda yer alacak ADFB yamuğunun alanını bulalım. Başlamak için, aldığımız her şeyi koşullara göre çizelim.
Çözmeye başlayalım:

Koşullarımıza göre, ah = 92 ve buna göre yamuğumuzun alanı eşit olacaktır.

Paralelkenar tanımlama

Paralelkenar karşılıklı kenarları birbirine eşit ve paralel olan dörtgendir.

Cevrimici hesap makinesi

Paralelkenar, bu şekille ilgili sorunları çözmeyi kolaylaştıran bazı yararlı özelliklere sahiptir. Örneğin özelliklerden biri, paralelkenarın zıt açılarının eşit olmasıdır.

Birkaç yöntem ve formüle ve ardından basit örneklere bakalım.

Taban ve yükseklik cinsinden bir paralelkenarın alanı için formül

Bu alanı bulma yöntemi, muhtemelen birkaç istisna dışında bir üçgenin alanını bulma formülüyle neredeyse aynı olduğundan, temel ve basit olanlardan biridir. İlk olarak, sayıları kullanmadan genelleştirilmiş bir duruma bakalım.

Taban ile keyfi bir paralelkenar verilsin bir a, yan taraf bb B ve yükseklik ss Hüssümüze yapıldı. O zaman bu paralelkenarın alanı için formül:

S = bir ⋅ h S = bir \ cdot h S =bir ⋅H

bir a- temel;
ss H- yükseklik.

Tipik problemleri çözme alıştırması yapmak için kolay bir görevi analiz edelim.

Tabanın 10 (cm) ve yüksekliğin 5 (cm) olduğu bilinen bir paralelkenarın alanını bulun.

Çözüm

A = 10a = 10 bir =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Formülümüzde yerine koyuyoruz. Alırız:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S = 10 \ cdot 5 = 50S =1 0 ⋅ 5 = 5 0 (bkz. sq.)

Cevap: 50 (cm)

İki taraftaki paralelkenar alanı ve aralarındaki açı için formül

Bu durumda gerekli değer aşağıdaki gibi bulunur:

S = a ⋅ b ⋅ günah ⁡ (α) S = a \ cdot b \ cdot \ günah (\ alpha)S =bir ⋅b ⋅günah (α)

bir, b bir, b bir, b- paralelkenarın kenarları;
α \ alfa α - kenarlar arasındaki açı bir a ve bb B.

Şimdi başka bir örnek çözelim ve yukarıdaki formülü kullanalım.

Tarafı biliniyorsa paralelkenarın alanını bulun bir a, taban olan ve uzunluğu 20 (cm) ve çevresi olan p p P, sayısal olarak 100'e eşit (bkz.), bitişik taraflar arasındaki açı ( bir a ve bb B) 30 dereceye eşittir.

Çözüm

A = 20a = 20 bir =2 0
p = 100 p = 100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \ alpha = 30 ^ (\ circ)α = 3 0 ∘

Cevabı bulmak için bu dörtgenin sadece ikinci tarafını bilmiyoruz. Onu bulalım. Paralelkenarın çevresi şu formülle verilir:
p = a + a + b + b p = a + a + b + b p =bir +bir +b +B
100 = 20 + 20 + b + b 100 = 20 + 20 + b + b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b +B
100 = 40 + 2b 100 = 40 + 2b 1 0 0 = 4 0 + 2 b
60 = 2b 60 = 2b 6 0 = 2 b
b = 30 b = 30 b =3 0

En zor kısım bitti, sadece kenarlar ve aralarındaki açı için değerlerimizi değiştirmek kalıyor:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ günah ⁡ (3 0 ∘) = 300 S = 20 \ cdot 30 \ cdot \ günah (30 ^ (\ circ)) = 300S =2 0 ⋅ 3 0 ⋅ günah (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (bkz. sq.)

Cevap: 300 (bkz. sq.)

Köşegenler boyunca paralelkenar alanı ve aralarındaki açı için formül

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ günah ⁡ (α) S = \ frac (1) (2) \ cdot D \ cdot d \ cdot \ günah (\ alpha)S =2 1 ​ ⋅ D ⋅d ⋅günah (α)

DD D- büyük köşegen;
gün D- küçük köşegen;
α \ alfa α - köşegenler arasındaki dar açı.

Paralelkenarın köşegenleri verildiğinde, 10'a (bkz.) ve 5'e (bkz.) eşittir. Aralarındaki açı 30 derecedir. alanını hesaplayınız.

Çözüm

D = 10 D = 10 D =1 0
d = 5 d = 5 d =5
α = 3 0 ∘ \ alpha = 30 ^ (\ circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ günah ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S = \ frac (1) (2) \ cdot 10 \ cdot 5 \ cdot \ günah (30 ^ (\ circ)) = 12,5S =2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ günah (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (bkz. sq.)