Bir değişkenin işlevi için y. = f.(x.) noktada x. 0 diferansiyelin geometrik anlamı, Abscissa'yı olan noktadaki fonksiyonun grafiğine taşınan koordinat teğetinin artışı anlamına gelir. x. 0 Noktaya geçerken x. 0 +  x.. Ve bu plandaki iki değişkenin diferansiyel işlevi artış aplikatörteğet uçakdenklem tarafından belirtilen yüzeye yapılır z. = f.(x., y.) , noktada M. 0 (x. 0 , y. 0 ) noktaya geçerken M.(x. 0 +  x., y. 0 +  y.). Teğet düzleminin tanımını bir yüzeye veriyoruz:

Df. . Noktadan geçen uçak R 0 Yüzey S., aranan teğet uçakbu noktada, eğer bu düzlem arasındaki açı ve iki noktadan geçen sıralı R 0 ve R(herhangi bir yüzey noktası S.) nokta olduğunda sıfıra döner Rbu yüzeye noktaya bakıyor R 0 .

Yüzeye bırakmak S.denklem tarafından gönderildi z. = f.(x., y.). Sonra bu yüzeyin noktada olduğu gösterilebilir. P. 0 (x. 0 , y. 0 , z. 0 ) teğet düzlem daha sonra ve sadece fonksiyon z. = f.(x., y.) bu noktada diferansiyel. Bu durumda, teğet düzlem denklemi ile verilir:

z. – z. 0 = +
(6).

§beş. Yönünde türev, degrade fonksiyonu.

Kısmi Türev Fonksiyonları y.= f.(x. 1 , x. 2 .. x. n. ) değişkenlerle x. 1 , x. 2 . . . x. n. Koordinat eksenlerinin yönündeki değişikliklerin hızını ifade eder. Örneğin, fonksiyonun hız değişikliği var h. 1 - Yani, alan tanım alanına ait olan noktanın sadece eksene paralel hareket ettiği varsayılmaktadır. Oh 1 Ve diğer tüm koordinatlar değişmeden kalır. Bununla birlikte, fonksiyonun, eksenlerden herhangi birinin yönüyle çakışmayan başka bir yönde değişebileceği varsayılabilir.

Üç değişken fonksiyonunu düşünün: u= f.(x., y., z.).

Düzeltme noktası M. 0 (x. 0 , y. 0 , z. 0 ) ve bazı düz yönlendirilmiş (eksen) l.bu noktadan geçmek. İzin vermek M (x., y., z.) - Bu düz ve  bunun keyfi noktası M. 0 M.- Mesafe OT M. 0 önce M.

u = f. (x., y., z.) – f.(x. 0 , y. 0 , z. 0 ) - Fonksiyonun noktadaki artışı M. 0 .

İşlevin artışının vektörün uzunluğuna oranını bulun
:

Df. . Türetilmiş fonksiyon u = f. (x., y., z.) doğru l. noktada M. 0 Artış fonksiyonunun vektörün uzunluğuna arasındaki ilişkinin sınırını denir M. 0 M. İkincisinin arzusunda 0 (veya aynı, sınırsız bir yaklaşımla aynı) M.için M. 0 ):

(1)

Bu türev, noktadaki fonksiyon değişim hızını karakterize eder M. 0 yöne l..

Ekseni bırakmak l. (vektör M. 0 M.) eksenlerle formlar ÖKÜZ., Oy., Oz.köşeler
sırasıyla.

X-X 0 \u003d
;

y - y 0 \u003d
;

z - z 0 \u003d
.

Sonra vektör M. 0 M \u003d (x. - x. 0 , y. - y. 0 , z. - z. 0 )=
ve onun rehberi Cosines:

;

;

.

(4).

(4) - Türevini yönde hesaplamak için formül.

Koordinatları özel türetilmiş fonksiyonlar olan vektörü düşünün u= f.(x., y., z.) noktada M. 0 :

grad. u - Degrade işlevi u= f.(x., y., z.) noktada M (x., y., z.)

Degrade Özellikleri:

Çıktı: Fonksiyon gradyan uzunluğu u= f.(x., y., z.) - En uygun fiyat var bu noktada M (x., y., z.) ve vektörün yönü grad. unoktadan çıkan vektörün yönü ile çakışıyor M., birlikte fonksiyonun daha hızlı değiştiği. Yani, degrade işlevinin yönü grad. u - İşlevin tanımının bir yönü var.

Teğet düzlemi ve normal yüzey.

teğet uçak

N ve N 0, bu yüzeyin puanları olsun. Doğrudan NN 0 harcayacağız. N 0 noktasından geçen düzlem denir teğet uçak Yüzeye, NN 0 ile bu düzlem arasındaki açı, NN 0 sıfıra döndüğünde sıfıra doğru eğilirse, sıfıra girerse.

Tanım. Normaln 0 noktasındaki yüzeye, bu yüzeye teğet düzleme dik olan N 0 noktasından geçerek doğrudan, doğrudan.

Bir noktada, yüzey veya sadece bir teğet düzlemi vardır veya hiç olmaz.

Yüzey, z \u003d f (x, y) denklemi ile ayarlanırsa, burada f (x, y), M 0 (x 0, y 0) noktasında farklı olan bir fonksiyondur, N 0'daki teğet düzlemi (x 0, y 0, (x 0, y 0)) var ve bir denklemi var:

Denklem bu noktada yüzey için normaldir:

Geometrik anlam İki değişkenin (x, y) noktasındaki (x 0, y 0) tam diferansiyel işlevi, noktadan taşınırken (x 0, y 0), teğet düzlemi tarafından uygulamaların (Z koordinatlarının) artışıdır. ) noktaya (x 0 + , 0 + ).

Görülebileceği gibi, iki değişkenin tam fark fonksiyonunun geometrik anlamı, bir değişkenin diferansiyel fonksiyonunun geometrik anlamının mekansal analoğudur.

Misal. Teğet düzlemin denklemlerini ve yüzeye normal

m noktasında (1, 1, 1).

Teğet düzlemin denklemi:

Denklem Normal:

20.4. Tam bir diferansiyel kullanarak yaklaşık hesaplamalar.

F (x, y) fonksiyonunun (x, y) noktasında farklılık göstermesine izin verin. Bu özelliğin tam artışını bulun:

Eğer bu formüle ifadeyi değiştirirsek

yaklaşık bir formül alacağız:

Misal. İşlevin değerine bağlı olarak yaklaşık değeri hesaplayın, \u003d 1, y \u003d 2, z \u003d 1.

Belirtilen ifadenin, x \u003d 1.04 - 1 \u003d 0.04, y \u003d 1.99 - 2 \u003d -0.01'i tanımlıyoruz,

Z \u003d 1.02 - 1 \u003d 0.02.

U işlevinin değerini bulun (x, y, z) \u003d

Özel türevleri bulun:

U tam diferansiyel fonksiyonu eşittir:

Bu ifadenin tam değeri: 1.049275225687319176.

20.5. Daha yüksek emirlerin kısmi türevleri.

F (x, y) işlevi bazı bölgelerde tanımlanmışsa, özel türevleri aynı alanda veya kısımda tanımlanacaktır.

Bu türevleri arayacağız Özel birinci dereceden türevler.

Bu fonksiyonların türevleri olacak ikinci dereceden özel türevler.

Elde edilen eşitliği farklılaştırmaya devam ediyor, daha yüksek emirlerin özel türevlerini alacağız.

Tanım. Özel Türev Türleri vb. aranan karışık türevler.

Teorem. F (x, y) ve özel türevleri işlevi, M (x, y) ve çevresi noktasında belirlenir ve sürekli olarak belirlenirse, oranı doğrudur:

Şunlar. Yüksek siparişlerin özel türevleri, farklılaşma prosedürüne bağlı değildir.

Benzer şekilde, daha yüksek emirlerin farkları belirlenir.

…………………

Burada n, içinde duran ifadenin yapımından sonra gerçek bir derece ile değiştirilen türevin sembolik bir derecesidir.

Çeşitli değişkenlerin fonksiyonlarının diferansiyel hesaplaması.

Temel kavramlar ve tanımlar.

Birkaç değişkenin işlevlerini göz önüne alarken, iki değişkenin fonksiyonlarının ayrıntılı açıklamasını sınırlayacağız, çünkü Elde edilen tüm sonuçlar, keyfi değişken sayısının işlevleri için geçerli olacaktır.

Her bir kuralı belirli bir setten her bir iki bağımsız sayının (X, Y) çifti, Z değişkeninin bir veya daha fazla değerine uygun olarak yerleştirilirse, Z değişkeni olarak adlandırılır. İki değişkenin işlevi.

Sayıların çifti (x, y) bir değerine karşılık gelirse, fonksiyon denir açıkve eğer birden fazla, sonra - çok değerli.

Tanım Alanı Z işlevleri, Z işlevinin var olduğu bir çift çift (X, Y) olarak adlandırılır.

Mahalle noktasıM 0 (x 0, y 0) RADIUS R, durumu karşılayan tüm noktaları (X, Y) tamamen denir.

Sayı denir sınırlamak F (x, y) noktasının m (x, y) noktasının M 0 (x 0, y 0) noktasına noktası olan F (x, y) işlevleri, E\u003e 0, bu tür bir sayı r\u003e 0 olması durumunda Durumun doğru olduğu herhangi bir M (x, y) için

ayrıca doğru ve durum .

Kayıt:

M 0 (x 0, y 0) noktasının, F (x, y) işlevini belirleme alanına ait olsun. Sonra z \u003d f (x, y) işlevi denir sürekli M 0 (x 0, y 0) noktasında, eğer

(1)

dahası, m (x, y) noktası, m 0 (x 0, y 0) rasgele bir şekilde işaret etme eğilimindedir.

Bir noktada (1) yürütülmezse, bu nokta denir püskürtme noktasıf (x, y) işlevleri. Bu, aşağıdaki durumlarda olabilir:

1) Z \u003d F (x, Y) işlevi, M 0 (x 0, y 0) noktasında tanımlanmamıştır.

2) Sınır yok.

3) Bu limit var, ancak F (x 0, y 0) eşit değildir.

Sürekliliği ile ilgili çeşitli değişkenlerin fonksiyonlarının özellikleri.

Emlak. F (x, y, ...) işlevi tanımlanmış ve sürekli olarak kapalı ve sınırlı bir alanda, bu alanda en az bir nokta vardır.

N (x 0, y 0, ...), öyle ki diğer noktalar için gerçek eşitsizliktir.

f (x 0, y 0, ...) ³ F (x, y, ...)

n1 (x 01, y 01, ...), diğer tüm noktalar için sadık eşitsizdir.

f (x 01, y 01, ...) £ f (x, y, ...)

sonra f (x 0, y 0, ...) \u003d m - en büyük değer fonksiyonlar ve f (x 01, y 01, ...) \u003d m - en küçük değerd Bölgede F (X, Y, ...) fonksiyonları

Kapalı ve sınırlı bir alandaki sürekli fonksiyon, en az bir kez en az bir kez ve en küçüğü bir kez ulaşır.

Emlak. F (x, y, ...) fonksiyonu, kapalı bir sınırlı bölgede D ve M ve M - sırasıyla, bu alandaki işlevin en büyük ve en küçük değerleri olarak tanımlanır ve sürekli olarak, o zaman bir nokta var Herhangi bir nokta için m

N 0 (x 0, y 0, ...) öyle ki F (x 0, y 0, ...) \u003d m.

Basitçe söylemek gerekirse, sürekli fonksiyon, D bölgesinde M ve M arasındaki tüm orta değerleri alır. Bu özelliğin sonucu, farklı karakterlerin sayısı ve m'lik sayıları, daha sonra D bölgesinde, en az bir kez fonksiyonun sıfıra hitap ettiği sonucuna varabilir.

Emlak. Fonksiyon f (x, y, ...), kapalı bir sınırlı alanda sürekli, sınırlı Bu alanda, bölgenin tüm noktaları için böyle bir sayı varsa, eşitsizlik doğrudur .

Emlak. F (x, y, ...) fonksiyonu, kapalı bir sınırlı alanda tanımlanmış ve sürekli olarak tanımlanırsa, o zaman düzgün bir şekilde sürekli Bu alanda, yani. Herhangi bir pozitif sayı için, herhangi bir iki nokta için (x 1, y 1) ve (x 2, 2) daha az D, eşitsizliğin bulunduğu alanlarda böyle bir sayı D\u003e 0 vardır.

2. Özel türevler. Daha yüksek emirlerin kısmi türevleri.

Bazı bölgelerde, z \u003d f (x, y) işlevi ayarlanmıştır. Keyfi bir m (x, y) alın ve DX'in artışını X değişkenine ayarlayın. Sonra D x z \u003d f (x + dx, y) - f (x, y) değeri denir x tarafından fonksiyonun özel artışı.

Kaydedilebilir

.

Sonra denilen özel türevz \u003d F (x, y) işlevleri x.

Tanımlama:

Benzer şekilde, yazılımın işlevlerinin özel bir türevi belirlenir.

Geometrik anlamÖzel bir türev (örneğin), teğetin eğim açısının tanjazıdır, N0 (x 0, y0, z 0) noktasında Y \u003d Y 0 düzleminin yüzey kesitine doğru yapılır.

F (x, y) işlevi bazı bölgelerde tanımlanmışsa, özel türevleri aynı alanda veya bunun bir kısmında tanımlanacaktır.

Bu türevleri arayacağız Özel birinci dereceden türevler.

Bu fonksiyonların türevleri olacak ikinci dereceden özel türevler.

Elde edilen eşitliği farklılaştırmaya devam ediyor, daha yüksek emirlerin özel türevlerini alacağız.

Özel Türev Türleri vb. aranan karışık türevler.

Teorem. F (x, y) ve özel türevleri işlevi, M (x, y) ve çevresi noktasında belirlenir ve sürekli olarak belirlenirse, oranı doğrudur:

Şunlar. Yüksek siparişlerin özel türevleri, farklılaşma prosedürüne bağlı değildir.

Benzer şekilde, daha yüksek emirlerin farkları belirlenir.

…………………

Burada n, içinde duran ifadenin yapımından sonra gerçek bir derece ile değiştirilen türevin sembolik bir derecesidir.

Tam diferansiyel. Tam farkın geometrik anlamı. Teğet düzlemi ve normal yüzey.

İfade denir tam artışf (x, y), bir noktada (x, y), bir 1 ve A 2'nin sırasıyla DX® 0 ve DU ® 0 ile sonsuz küçük fonksiyonlardır.

Tam farkz \u003d F (X, Y) işlevleri, ana doğrusal kısım olarak adlandırılır (x, Y) noktasındaki DZ işlevinin artışının DS ve DU'ye göre.

Keyfi değişken sayısının işlevi için:

Örnek 3.1.. Tam bir diferansiyel işlev bulun.

F (x, y) noktasındaki iki değişkenin (x, y) tam diferansiyel fonksiyonunun geometrik anlamının, noktadan hareket ederken (X, X, Y) iki değişkenin (z koordinatlarının), uygulamaların (z koordinatlarının) artışıdır (x) 0, y 0) noktaya (x 0 + dx, 0 + DU).

Daha yüksek emirlerin kısmi türevleri. :F (x, y) işlevi bazı bölgelerde tanımlanmışsa, özel türevleri aynı alanda veya bunun bir kısmında tanımlanacaktır. İlk sipariş özel türevlerinin bu türevlerini arayacağız.

Bu fonksiyonların türevleri, ikinci sıranın kısmi türevleri olacaktır.

Elde edilen eşitliği farklılaştırmaya devam ediyor, daha yüksek emirlerin özel türevlerini alacağız. Tanım. Özel Türev Türleri vb. Karışık türevler denir. Schwartz teoremi:

Eğer yüksek emirlerin özel türevleri F.M.P. Sürekli, daha sonra bir siparişin karışık türevleri, yalnızca farklılaşma prosedürü ile farklı \u003d birbirleridir.

Burada n, içinde duran ifadenin yapımından sonra gerçek bir derece ile değiştirilen türevin sembolik bir derecesidir.

14. Teğet düzlemin denklemi ve yüzeye normal!

N ve N 0, bu yüzeyin puanları olsun. Doğrudan NN 0 harcayacağız. N 0 noktasından geçen düzlem denir teğet uçak Yüzeye, NN 0 ile bu düzlem arasındaki açı, NN 0 sıfıra döndüğünde sıfıra doğru eğilirse, sıfıra girerse.

Tanım. Normaln 0 noktasındaki yüzeye, bu yüzeye teğet düzleme dik olan N 0 noktasından geçerek doğrudan, doğrudan.

Bir noktada, yüzey veya sadece bir teğet düzlemi vardır veya hiç olmaz.

Yüzey, z \u003d f (x, y) denklemi ile ayarlanırsa, F (x, y), M 0 (x 0, y 0) noktasında farklı olan bir fonksiyondur. teğet uçak N 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) var ve bir denklemi var:

Denklem bu noktada yüzey için normaldir.:

Geometrik anlam İki değişkenin (x, y) noktasındaki tam diferansiyel fonksiyonu (X, X, Y) (x 0, y 0), teğet düzlemin uygulamaların (Koordinatlar Z) noktasından hareket ederken (x 0, y 0) ) noktaya (x 0 + dx, 0 + DU).

Görülebileceği gibi, iki değişkenin tam fark fonksiyonunun geometrik anlamı, bir değişkenin diferansiyel fonksiyonunun geometrik anlamının mekansal analoğudur.

16. Skaler Alan ve Özellikleri. ULNI, Türevler, Skaler Alanın Degradi.

Her boşluk noktası skaler değere uygunsa, skaler alan meydana gelir (örneğin, sıcaklık alanı, elektrikli potansiyel alan). Kartezyen koordinatlar tanıtılıyorsa, ayrıca belirtilmiştir veya Alan, eğer merkezi ise düz olabilir (küresel) Eğer Silindirik, eğer

Yüzeyler ve Hat: Skaler alanların özellikleri, seviye yüzeyleri kullanılarak görsel olarak incelenebilir. Bu yüzeyde sabit bir değer aldığı alanda. Onların denklemi: . Düz bir skaler alanda, seviye çizgileri, alanın sabit değer aldığı eğrileri çağırır: Bazı durumlarda, seviye çizgisi noktaya dajenere olabilir ve yüzey yüzeyleri noktada ve eğrilerde.

Skaler alanın yönünde ve degradında türev:

Koordinatları olan tek bir vektörün - bir skaler alanına izin verin. Yönteki türev, alandaki değişikliği bu yönde karakterize eder ve yönündeki türev formülü tarafından hesaplanır, vektörün skaler ürünüdür ve vektörün koordinatları ile vektörün. hangi bir degrade işlevi denir ve belirtilir. iletişim Anlaşılan açının ve sonra vektörün, alandaki hızlı artışın yönünü ve modülünün bu yönde türevine eşit olduğunu gösterir. Degrade bileşenleri kısmi türevler olduğundan, aşağıdaki gradyan özelliklerini elde etmek zor değildir:

17. Extremes F.M.P. kör ekstremyum F.M., varlığı için gerekli ve yeterli koşullar. F.M.P.'nin en büyük ve en küçük değeri Ogran'da. kapalı alan.

Z \u003d ƒ (x; Y) işlevinin bazı bölgelerde tanımlanmasına izin verin, n (x0; y0)

Noktaya (x0; U0), z \u003d ƒ (x; y) işlevinin maksimum noktası olarak adlandırılır, eğer her nokta (x; y) için olan noktanın (X0; U0) bu tür bir D-mahallesi varsa, , (ho; uh) dışında, bu mahalleden, eşitsizlik ƒ (x; y)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ (x0; u0). İşlevin değeri maksimum noktada (minimum) maksimum (minimum) işlev olarak adlandırılır. En fazla ve asgari özellikler denir. Tanıma göre, fonksiyonun ekstremum noktası fonksiyonunun belirlenmesi fonksiyonunun içinde yattığını unutmayın; Maksimum ve minimum yerel (yerel) bir karaktere sahiptir: (x0; U0) noktasındaki fonksiyonun değeri (x0; U0) noktalarındaki değerleriyle karşılaştırılır. D bölgesinde, fonksiyonun birkaç ekstremuma sahip olabilir veya kimseye sahip olmayabilir.

Gerekli (1) ve yeterli (2) varoluş koşulları:

(1) Noktayla N (x0; y0), Fark Fonksiyonu Z \u003d ƒ (x; y) bir aşırıya sahiptir, daha sonra bu noktadaki özel türevleri sıfırdır: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ" y ( x0; y0) \u003d 0. Yorum Yap. İşlev, kısmi türevlerden en az birinin bulunmadığı noktalarda bir aşırılık olabilir. Z ≈ ƒ (X; Y) işlevinin ilk sırasının özel türevlerinin sıfır olduğu nokta, yani F "x \u003d 0, f" y \u003d 0, z fonksiyonunun sabit noktası olarak adlandırılır.

Sabit noktaları ve en az bir özel türevin bulunmadığı noktalar eleştirel noktalar denir

(2) Sabit bir noktada (HO; UH) ve çevresinin bir kısmının, ƒ (x; y) işlevi, ikinci dereceden kapsayıcı olarak sürekli özel türevlere sahiptir. A \u003d F "" XX (X0; Y0), B \u003d ƒ "" XY (X0; U0), C \u003d ƒ "" OY (X0; U0) değerlerini (x0; U0) noktasında hesaplayın. İfade etmek Sonra:

1. Eğer δ\u003e 0 ise, o zaman (x0; u0) noktasında ƒ (x; y) işlevi bir aşırıya sahiptir:< 0; минимум, если А > 0;

2. Eğer δ.< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. Kasada Δ \u003d 0 Nemfomanyak noktasında (x0; U0) olmayabilir. Ek araştırmalara ihtiyaç var.

$ E \\ subset \\ mathbb (r) ^ (n) $. $ F $ 'a sahip olduğu söyleniyor yerel maksimum Point $ x_ (0) \\ in e $ 'daki, $ U $ puanları bu tür bir mahalle varsa, $ x_ (0) $, tüm $ x \\ in u $ için, bir eşitsizlik $ f \\ sol (x \\ sağ) \\ leqslant f \\ sol (x_ (0) \\ sağ) $.

Yerel maksimum adı sıkı $ U $ mahallesi seçilebilirse, tüm $ x \\ in U $ için, $ x_ (0) $ 'dan farklı, $ F \\ Sold (x \\ sağ)< f\left(x_{0}\right)$.

Tanım
$ F $ 'a açık bir set \\ e \\ subset \\ mathbb (r) ^ (n) $' ın gerçek işlevi olsun. $ F $ 'a sahip olduğu söyleniyor yerel minimum Point $ x_ (0) \\ in e cinsinden, $ U $ no'lu bir mahalle varsa, $ x_ (0) $, tüm $ x \\ \\ in u $ için, $ f \\ sola (x \\) eşitsizliği Sağ) \\ GEQSLANT F \\ Sol (x_ (0) \\ sağ) $.

Yerel minimum, $ U $ mahallesi seçilebilirse, tüm $ x \\ in U $, $ x_ (0) $ 'dan farklı, $ X_ (0) $' dan farklı, $ F \\ Sold (x \\ sağ)\u003e f \\ Sol (x_ (0) \\ sağ) $.

Yerel ekstremum, yerel asgari kavramları ve yerel bir maksimum kavramları birleştirir.

Teorem (ekstremum ayırt edilebilir işlevin gerekli durumu)
$ F $ 'a açık bir set \\ e \\ subset \\ mathbb (r) ^ (n) $' ın gerçek işlevi olsun. Point'teki $ X_ (0) \\ E e $, $ F işlevi yerel bir aşırıya sahiptir ve bu noktada, daha sonra $$ \\ Metin (D) F \\ Sol (x_ (0) \\ sağ) \u003d 0. $$ Eşitlik Sıfır Diferansiyel, her şeyin sıfır olduğu gerçeğine eşdeğerdir, yani. $$ \\ DisplayStyle \\ Frac (\\ parsiyel f) (\\ parsiyel x_ (i)) \\ sol (x_ (0) \\ sağ) \u003d 0. $$

Tek boyutlu durumda. $ \\ Phi \\ sola (t \\ sağ) \u003d f \\ sola (x_ (0) + th \\ sağ) $, $ H $ keyfi bir vektör. $ \\ Phi $ fonksiyonu, $ t $ 'ın yeterince küçük modülo değerleri ile tanımlanır. Ek olarak, göre, farklıdır ve $ (\\ phi) '\\ sol (t \\ sağ) \u003d \\ Metin (d) f \\ sol (x_ (0) + th \\ sağ) H $.
$ F $, 0 $ 'lık bir noktada yerel bir maksimum olsun. Bu, $ \\ phi $ 'ı T \u003d 0 $' a sahip olan Fonksiyonun yerel bir maksimum olduğunu ve çiftlik teoremine göre, $ (\\ phi) '\\ sola (0 \\ sağ) \u003d 0 $.
Böylece, bu $ DF \\ Sol (x_ (0) \\ sağ) \u003d 0 $, yani Fonksiyonlar $ F $ Point $ x_ (0) $, herhangi bir vektör $ h $ sıfırdır.

Tanım
Diferansiyelin sıfır olduğu noktalar, yani. Tüm özel türevlerin sıfır olduğu, sabit olarak adlandırılır. Kritik noktalar $ F $ 'in fonksiyonları, $ f $' ın farklılaşmadığı veya sıfıra eşit olduğu bu noktalar denir. Eğer nokta durursa, o zaman henüz bu noktada fonksiyonun bir aşırılık olduğunu takip etmez.

Örnek 1.
$ F \\ sola (x, y \\ sağ) \u003d x ^ (3) + y ^ (3) $ izin verin. Sonra $ \\ displaystyle \\ frac (\\ parsiyel f) (\\ parsiyel x) \u003d 3 \\ cdot x ^ (2) $, $ \\ DisplayStyle \\ frac (\\ parsiyel f) (\\ parsiyel y) \u003d 3 \\ cdot y ^ (2 ) $, yani $ \\ sol (0.0 \\ sağ) $ sabit bir nokta, ancak bu noktada fonksiyonun bir aşırılık yok. Nitekim, $ F \\ Sol (0.0 \\ sağ) \u003d 0 $, ancak $ \\ Sol Noktası (0,0 \\ sağ) $ işlevinin herhangi bir mahallesinde hem pozitif hem de negatif değerler aldığını görmek kolaydır.

Örnek 2.
İşlev $ f \\ sol (x, y \\ sağ) \u003d x ^ (2) - Y ^ (2) $ Başlat - Sabit nokta, ancak bu noktada ekstremum olmadığı açıktır.

Teorem (yeterli aşırılık durumu).
Fonksiyon $ f $ 'a açık bir şekilde ayarlanabilmesine izin verin $ e \\ subset \\ mathbb (r) ^ (n) $. $ X_ (0) \\ in e $ - sabit bir nokta ve $$ \\ displaystyle q_ (x_ (0)) \\ sol (H \\ sağ) \\ equiv \\ sum_ (i \u003d 1) ^ n \\ sum_ (j \u003d 1) ) ^ n \\ frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel x_ (i) \\ parsiyel x_ (j)) \\ sol (x_ (0) \\ sağ) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Sonra

1. $ Q_ (x_ (0)) $ -, daha sonra $ f $ 'a $ f $ (0) $' a, formun olumlu bir şekilde tanımlandığı takdirde, yani, asgari bir ekstremyuma sahiptir. olumsuz olarak tanımlanır;
2. kuadratik form $ q_ (x_ (0)) $ belirsizdir, sonra $ F $ Function $ f $ 'a (0) $' ın bir ekstremum yoktur.

Taylor formülünün ayrışmasını kullanıyoruz (12.7 s. 292). Point $ x_ (0) $ 'da bireysel türevlerinin sıfır olduğundan, $$ \\ DisplayStyle F \\ Sol (X_ (0) + H \\ sağ) -F \\ Sol (X_ (0) \\ sağ olduğunu düşünüyoruz. ) \u003d \\ Frac (1) (2) \\ sum_ (i \u003d 1) ^ n \\ frac (j \u003d 1) ^ n \\ frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel x_ (i) \\ parsiyel x_ ( j)) \\ sol (x_ (0) + \\ theta h \\ sağ) h ^ (i) h ^ (j), $$ Nerede 0 $<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $, ve $ \\ epsilon \\ sol (h \\ sağ) \\ rurnan 0 $ $ h \\ rairarrow 0 $ ile 0 $, o zaman sağ taraf, herhangi bir vektör $ h $ yeterince küçük uzunlukta pozitif olacaktır.
Öyleyse, bazı noktaların mahallesinde $ x_ (0) $ 'ın bir mahallesinde, $ f \\ sola (x \\ sağ)\u003e f \\ sola (x_ (0) \\ sağ) $, eğer sadece $ x \\ neq x_ (0) $ (biz $ x \u003d x_ (0) + H $ \\ right). Bu, Point $ X_ (0) $ fonksiyonunun sıkı bir yerel olduğunu ve böylece teoremizin ilk bölümünü kanıtladığı anlamına gelir.
Şimdi $ q_ (x_ (0)) $, belirsiz bir form olduğunu varsayalım. Sonra $ h_ (1) $, $ h_ (2) $ 'ı $ q_ (x_ (0)) \\ sol (h_ (1) \\ sağ) \u003d \\ lambda_ (1)\u003e 0 $, $ Q_ gibi $ h_ (1) $, $ h_ (2) $ vardır. (x_ (0)) \\ sol (h_ (2) \\ sağ) \u003d \\ lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Sonra $$ F \\ Sol (X_ (0) + TH_ (1) \\ sağ) -F \\ Sol (x_ (0) \\ sağ) \u003d \\ frac (1) (2) \\ Sol [t ^ (2) \\ lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \\ epsilon \\ sol (th_ (1) \\ sağ) \\ sağ] \u003d \\ frac (1) (2) t ^ (2) \\ sola [\\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \\ epsilon \\ sol (th_ (1) \\ sağ) \\ sağ]. $$ yeterince küçük $ t\u003e 0 $ sağ kısım Olumlu. Bu, herhangi bir noktasının herhangi bir mahallesinde $ x_ (0) $, $ F $ işlevi, $ F \\ Sol (x \\ sağ) $, $ f \\ sol (x_ (0) \\ değerinin değerlerini alır. Doğru) $.
Benzer şekilde, bu noktasının herhangi bir mahallesinde $ X_ (0) $ fonksiyon $ F $, $ f \\ soldan (x_ (0) \\ sağ) $ 'dan daha az değerleri alır. Buna, öncekiyle birlikte, Point'ta $ x_ (0) $ fonksiyon $ f $ 'ın bir aşırıya sahip olmadığı anlamına gelir.

$ F \\ Sol (x, y \\ sağ) fonksiyonu için bu teoremin belirli bir vakasını düşünün. $ \\ Sol Noktasının (X_ (0), Y_ (0) \\ Right) $ 'lık bir mahallede tanımlanan iki değişken) Birinci ve ikinci emirlerin sürekli özel türevlerinin bu mahallesi. $ \\ Sola (x_ (0), y_ (0) \\ sağ) $ sabit bir nokta olduğunu varsayalım ve $$ \\ displayStyle A_ (11) \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel x) ^ (2)) \\ sol (x_ (0), y_ (0) \\ sağ), A_ (12) \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel x \\ parsiyel y) \\ sol (x_ ( 0), y_ (0) \\ sağ), A_ (22) \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel y ^ (2)) \\ sol (x_ (0), y_ (0) \\ sağ ) $$ O zaman önceki teorem aşağıdaki formu alacak.

Teorem
$ \\ Delta \u003d A_ (11) \\ CDOT A_ (22) - A_ (12) ^ $ 2 olsun. Sonra:

1. $ \\ Delta\u003e 0 $, o zaman $ F işlevi, \\ sola (x_ (0), y_ (0) \\ sağ) $ local ekstremyum, yani, en azından A_ (11)\u003e 0 $ ve $ A_ (11) ise maksimum<0$;
2. $ \\ Delta ise<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Çözme problemlerinin örnekleri

Birçok değişkenin ekstremum fonksiyonlarını bulmak için algoritma:

1. Sabit noktaları buluruz;
2. Tüm sabit noktalarda 2. sırada bir diferansiyel buluyoruz
3. Birçok değişkenin ekstremum fonksiyonları için yeterli bir durum kullanarak, her sabit noktada 2. sipariş farkını düşünüyoruz.

1. Extremum $ f \\ soldaki işlevi keşfedin (x, y \\ sağ) \u003d x ^ (3) + 8 \\ CDOT Y ^ (3) + 18 \\ CDOT X - 30 \\ CDOT Y $.
   Karar

   İlk siparişin özel türevlerini bulacağız: $$ \\ DisplayStyle \\ Frac (\\ parsiyel f) (\\ parsiyel x) \u003d 3 \\ CDOT X ^ (2) - 6 \\ CDOT Y; $$$$ \\ DisplayStyle \\ Frac ( \\ Parsiyel f) (\\ parsiyel y) \u003d 24 \\ cdot y ^ (2) - 6 \\ CDOT X. $$ Yapma ve Çözme Sistemi: $$ \\ DisplayStyle \\ BAŞLATI (Kılıflar) \\ Frac (\\ Parsiyel F) (\\ Parsiyel x) \u003d 0 \\\\\\ frac (\\ parsiyel f) (\\ parsiyel y) \u003d 0 \\ end (kılıflar) \\ raularrow \\ başlar (durumlar) 3 \\ CDOT X ^ (2) - 6 \\ CDOT Y \u003d 0 \\\\ 24 \\ CDOT Y ^ (2) - 6 \\ CDOT X \u003d 0 \\ End (Kılıflar) \\ Railarrow \\ BAŞLATMA (Kılıflar) X ^ (2) - 2 \\ CDOT Y \u003d 0 \\\\ 4 \\ CDOT Y ^ (2) - x \u003d 0 \\ End (kılıflar) $$ 2. denklemden Express $ x \u003d 4 \\ CDOT Y ^ (2) $ - Biz 1. denklemde ikame: $$ \\ DisplayStyle \\ Sol (4 \\ CDOT Y ^ (2) \\ Sağ) ^ (2) -2 \\ CDOT Y \u003d 0 $$$$ 16 \\ CDOT Y ^ (4) - 2 \\ CDOT Y \u003d 0 $$$$ 8 \\ CDOT Y ^ (4) - Y \u003d 0 $$ $$ y \\ sola (8 \\ cdot y ^ (3) -1 \\ sağ) \u003d 0 $$ Sonuç olarak, 2 sabit nokta elde edildi:
   1) $ y \u003d 0 \\ raidarrow x \u003d 0, m_ (1) \u003d \\ sol (0, 0 \\ sağ) $;
   2) $ \\ DisplayStyle 8 \\ CDOT Y ^ (3) -1 \u003d 0 \\ Raularrow Y ^ (3) \u003d \\ Frac (1) (8) \\ Raularrow Y \u003d \\ Frac (1) (2) \\ rigureRrow x \u003d 1 , M_ (2) \u003d \\ Sol (\\ Frac (1) (2), 1 \\ sağ) $
   Extremum'un yeterli koşullarının uygulanmasını kontrol edin:
   $$ \\ DisplayStyle \\ Frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel x ^ (2)) \u003d 6 \\ cdot x; \\ Frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel x \\ parsiyel y) \u003d - 6; \\ Frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel y ^ (2)) \u003d 48 \\ CDOT Y $$
   1) $ M_ (1) \u003d \\ sola (0.0 \\ sağ) $:
   $$ \\ DisplayStyle A_ (1) \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel x ^ (2)) \\ sol (0.0 \\ sağ) \u003d 0; B_ (1) \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel x \\ parsiyel y) \\ sol (0.0 \\ sağ) \u003d - 6; C_ (1) \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel y ^ (2)) \\ sol (0.0 \\ sağ) \u003d 0; $$
   $ A_ (1) \\ CDOT B_ (1) - C_ (1) ^ (2) \u003d -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) $ M_ (2) Point $ için:
   $$ \\ DisplayStyle A_ (2) \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel x ^ (2)) \\ sol (1, \\ frac (1) (2) \\ sağ) \u003d 6; B_ (2) \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel x \\ parsiyel y) \\ sol (1, \\ frac (1) (2) \\ sağ) \u003d - 6; C_ (2) \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel y ^ (2)) \\ sol (1, \\ frac (1) (2) \\ sağ) \u003d 24; $$
   $ A_ (2) \\ CDOT B_ (2) - C_ (2) ^ (2) \u003d 108\u003e 0 $, M-M_ (2) $ 'da bir ekstremum var ve $ A_ (2) \u003e\u003e 0 $, asgari.
   Cevap: Point $ \\ DisplayStyle M_ (2) \\ Sol (1, \\ Frac (1) (2) \\ sağ) $, minimum fonksiyonun bir noktasıdır $ f $.
   

2. Extremum $ f \u003d y ^ (2) + 2 \\ CDOT X \\ CDOT Y - 4 \\ CDOT X - 2 \\ CDOT Y - 3 $ 'a fonksiyonunu keşfedin.
   Karar

   Kırtasiye noktaları bulun: $$ \\ DisplayStyle \\ Frac (\\ parsiyel f) (\\ parsiyel x) \u003d 2 \\ CDOT Y - 4; $$$$ \\ DisplayStyle \\ Frac (\\ parsiyel f) (\\ parsiyel y) \u003d 2 \\ CDOT Y + 2 \\ CDOT X - 2. $$
   Ayrıca sistemi çözeceğiz: $$ \\ DisplayStyle \\ BAŞLATI (durumlar) \\ frac (\\ parsiyel f) (\\ parsiyel x) \u003d 0 \\\\\\ frac (\\ parsiyel f) (\\ parsiyel y) \u003d 0 \\ end (kılıflar ) \\ Raularrow \\ başlar (durumlar) 2 \\ CDOT Y + 2 \\ 0 \\\\ 2 \\ CDOT Y + 2 \\ CDOT X - 2 \u003d 0 \\ End (Kılıflar) \\ RaulArrow \\ BAŞLANGIÇ (durumlar) Y \u003d 2 \\\\ Y + x \u003d 1 \\ End (Kılıflar) \\ rightarrow x \u003d -1 $$
   $ M_ (0) \\ Sol (-1, 2 \\ sağ) $ - Sabit nokta.
   Yeterli ekstremum koşulunun yürütülmesini kontrol edin: $$ \\ DisplayStyle A \u003d \\ Frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel x ^ (2)) \\ sol (-1.2 \\ sağ) \u003d 0; B \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel x \\ parsiyel y) \\ sol (-1.2 \\ sağ) \u003d 2; C \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ (2) f) (\\ parsiyel y ^ (2)) \\ sol (-1.2 \\ sağ) \u003d 2; $$
   $ A \\ CDOT B - C ^ (2) \u003d -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Cevap: Aşırılık yoktur.
   

Zaman sınırı: 0

Gezinme (yalnızca iş numaraları)

4 görevden 0 sona erdi

Bilgi

Bu testi, "birçok değişkenin fonksiyonlarının yerel ekstremmanlarının" konuları hakkındaki bilgilerinizi test etmek için.

Testi daha önce daha önce geçtin. Tekrar koşamazsın.

Test yüklü ...

Testi başlatmak için giriş yapmanız veya kaydolmanız gerekir.

Bunu başlatmak için aşağıdaki testleri bitirmelisiniz:

Sonuçlar

Sağ Cevaplar: 4/4

Senin zaman:

Zaman bitti

0 puan 0 puan (0)

Sonuçunuz lider tablosunda kaydedildi

1. Cevapla
2. Bir marker ile

Görevi 1/4

1 .

Puan Sayısı: 1

Fonksiyonu Keşfedin $ F $ For For For: $ f \u003d e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \\ CDOT Y ^ (2)) $

Sağ


Yanlış


1. Görevi 2

   2 .

   Puan Sayısı: 1

   F \u003d 4 + \\ sqrt fonksiyonunda bir aşırılık var mı (((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

   Sağ