ve türev teoremi karmaşık fonksiyon, ifadesi şu şekildedir:

1) $ u = \ varphi (x) $ fonksiyonunun bir noktada $ x_0 $ türevi $ u_ (x) "= \ varphi" (x_0) $, 2) fonksiyonu $ y = f (u) $ olsun karşılık gelen noktada $ u_0 = \ varphi (x_0) $ türevine sahiptir $ y_ (u) "= f" (u) $. O zaman belirtilen noktada $ y = f \ left (\ varphi (x) \ right) $ karmaşık fonksiyonu da $ f (u) $ ve $ \ varphi ( x) $:

$$ \ sol (f (\ varphi (x)) \ sağ) "= f_ (u)" \ sol (\ varphi (x_0) \ sağ) \ cdot \ varphi "(x_0) $$

veya daha kısa bir şekilde: $ y_ (x) "= y_ (u)" \ cdot u_ (x) "$.

Bu bölümdeki örneklerde, tüm işlevler $ y = f (x) $ biçimindedir (yani, yalnızca bir değişkenli $ x $ işlevlerini dikkate alıyoruz). Buna göre, tüm örneklerde, $ y "$ türevi, $ x $ değişkenine göre alınır. Türevin $ x $ değişkenine göre alındığını vurgulamak için, genellikle $ yerine $ y" _x $ yazılır. y "$.

1, 2 ve 3 numaralı örnekler, karmaşık fonksiyonların türevini bulmak için ayrıntılı bir süreç sağlar. Örnek No. 4, türevler tablosunun daha eksiksiz bir şekilde anlaşılmasına yöneliktir ve kendinizi buna alıştırmanız mantıklıdır.

1-3 numaralı örneklerdeki materyali inceledikten sonra, 5, 6 ve 7 numaralı örneklerin bağımsız çözümüne gitmeniz önerilir. Örnek # 5, # 6 ve # 7, okuyucunun sonuçlarının doğruluğunu kontrol edebilmesi için kısa bir çözüm içerir.

Örnek 1

$ y = e ^ (\ cos x) $ fonksiyonunun türevini bulun.

$ y "$ karmaşık fonksiyonunun türevini bulmamız gerekiyor. $ y = e ^ (\ cos x) $ olduğundan, o zaman $ y" = \ left (e ^ (\ cos x) \ right) "$. $ \ sol (e ^ (\ cos x) \ sağ) türevini bulun "$ türev tablosundan formül # 6'yı kullanın. Formül # 6'yı kullanmak için, bizim durumumuzda $ u = \ cos x $ olduğunu hesaba katmanız gerekir. Diğer çözüm, formül # 6'da $ u $ yerine $ \ cos x $ ifadesinin önemsiz ikamesinden oluşur:

$$ y "= \ sol (e ^ (\ cos x) \ sağ)" = e ^ (\ cos x) \ cdot (\ cos x) "\ etiket (1.1) $$

Şimdi $ (\ cos x) "$ ifadesinin değerini bulmamız gerekiyor. Yine ondan 10 numaralı formülü seçerek türev tablosuna dönüyoruz. 10 numaralı formülde $ u = x $ yerine, elimizde: $ (\ cos x)" = - \ sin x \ cdot x "$. Şimdi eşitliği (1.1) devam ettiriyoruz ve onu bulunan sonuçla tamamlıyoruz:

$$ y "= \ sol (e ^ (\ cos x) \ sağ)" = e ^ (\ cos x) \ cdot (\ cos x) "= e ^ (\ cos x) \ cdot (- \ günah x \ cdot x ") \ etiket (1.2) $$

$ x "= 1 $ olduğundan eşitlik (1.2) ile devam ediyoruz:

$$ y "= \ sol (e ^ (\ cos x) \ sağ)" = e ^ (\ cos x) \ cdot (\ cos x) "= e ^ (\ cos x) \ cdot (- \ günah x \ cdot x ") = e ^ (\ cos x) \ cdot (- \ günah x \ cdot 1) = - \ günah x \ cdot e ^ (\ cos x) \ etiket (1.3) $$

Yani eşitlikten (1.3) elde ederiz: $ y "= - \ sin x \ cdot e ^ (\ cos x) $. Doğal olarak, açıklamalar ve ara eşitlikler genellikle atlanır, eşitlikte olduğu gibi türetme bir satırda yazılır ( 1.3) Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türevi bulundu, sadece cevabı yazmak kalıyor.

Cevap: $ y "= - \ günah x \ cdot e ^ (\ cos x) $.

Örnek 2

$ y = 9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) $ fonksiyonunun türevini bulun.

$ y "= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right)" $ türevini hesaplamamız gerekiyor. Başlangıç ​​olarak, sabitin (yani 9 sayısının) türevin işaretinin dışına taşınabileceğini unutmayın:

$$ y "= \ sol (9 \ cdot \ arktg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ sağ)" = 9 \ cdot \ sol (\ arktg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ sağ) "\ etiketi (2.1) $$

Şimdi $ \ left (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right) "$ ifadesine dönelim. Türev tablosundan istenen formülü seçmek daha kolaydı, söz konusu ifadeyi temsil edeceğim bu formda: $ \ sol ( \ sol (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ sağ) ^ (12) \ sağ) "$. Artık # 2 formülünü kullanmanın gerekli olduğunu görebilirsiniz, yani. $ \ sol (u ^ \ alpha \ sağ) "= \ alpha \ cdot u ^ (\ alpha-1) \ cdot u" $. $ u = \ arctg (4 \ cdot \ ln x) $ ve $ \ alpha = 12 $'ı bu formülde değiştirin:

Elde edilen sonuçla eşitliği (2.1) tamamlayarak:

$$ y "= \ sol (9 \ cdot \ arktg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ sağ)" = 9 \ cdot \ sol (\ arktg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ sağ) "= 108 \ cdot \ sol (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ sağ) ^ (11) \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x))" \ etiket (2.2) $$

Bu durumda, çözücü ilk adımda formül yerine $ (\ arctg \; u) "= \ frac (1) (1 + u ^ 2) \ cdot u" $ formülünü seçtiğinde genellikle bir hata yapılır. $ \ sol (u ^ \ alpha \ sağ) "= \ alpha \ cdot u ^ (\ alpha-1) \ cdot u" $. Buradaki nokta, önce dış fonksiyonun türevinin bulunması gerektiğidir. $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $ ifadesinin hangi işlevin dışında olacağını anlamak için, $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^) ifadesinin değerini saydığınızı hayal edin. x) $ x $'lık bir değer için $. Önce $ 5 ^ x $ değerini hesaplayacaksınız, ardından $ 4 \ cdot 5 ^ x $ elde etmek için sonucu 4 ile çarpacaksınız. Şimdi bu sonuçtan arktanjantı alıyoruz, $ \ arctg (4 \ cdot 5 ^ x) $ alıyoruz. Sonra elde edilen sayıyı onikinci güce yükselterek $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $ elde ederiz. Son işlem, yani. 12'nin gücüne yükselterek, - ve harici bir işlev olacaktır. Ve onunla eşitlikte (2.2) yapılan türevi bulmaya başlamalıdır.

Şimdi $ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "$'ı bulmamız gerekiyor. Türev tablosunun 19 numaralı formülünü kullanıyoruz, bunun içine $ u = 4 \ cdot \ ln x $ koyuyoruz:

$$ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "= \ frak (1) (1+ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2) \ cdot (4 \ cdot \ ln x)" $$

$ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2 = 4 ^ 2 \ cdot (\ ln x) ^ 2 = 16 \ cdot \ ln ^ 2 x $'ı dikkate alarak elde edilen ifadeyi biraz sadeleştirelim.

$$ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "= \ frak (1) (1+ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2) \ cdot (4 \ cdot \ ln x)" = \ frak ( 1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) "$$

Eşitlik (2.2) şimdi şöyle olacaktır:

$$ y "= \ sol (9 \ cdot \ arktg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ sağ)" = 9 \ cdot \ sol (\ arktg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ sağ) "= \\ = 108 \ cdot \ sol (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ sağ) ^ (11) \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x))" = 108 \ cdot \ sol (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ sağ) ^ (11) \ cdot \ frac (1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) " \ etiketi (2.3) $$

Geriye $ (4 \ cdot \ ln x) "$'ı bulmak kalıyor. Sabiti (yani 4) türev işaretinin dışına taşıyın: $ (4 \ cdot \ ln x)" = 4 \ cdot (\ ln x) "$. $ (\ ln x) "$'ı bulmak için, yerine $ u = x $ koyarak # 8 formülünü kullanıyoruz: $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) \ cdot x "$. $ x "= 1 $ olduğundan, o zaman $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) \ cdot x "= \ frac (1) (x) \ cdot 1 = \ frac (1) (x ) $. Elde edilen sonucu formül (2.3) ile değiştirerek şunu elde ederiz:

$$ y "= \ sol (9 \ cdot \ arktg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ sağ)" = 9 \ cdot \ sol (\ arktg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ sağ) "= \\ = 108 \ cdot \ sol (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ sağ) ^ (11) \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x))" = 108 \ cdot \ sol (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ sağ) ^ (11) \ cdot \ frac (1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) " = \\ = 108 \ cdot \ sol (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ sağ) ^ (11) \ cdot \ frac (1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot 4 \ cdot \ frac (1) (x) = 432 \ cdot \ frac (\ arctg ^ (11) (4 \ cdot \ ln x)) (x \ cdot (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x)) $ $

Son eşitlikte yazıldığı gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevinin çoğunlukla tek satırda olduğunu hatırlatmama izin verin. Bu nedenle, standart hesaplamalar yaparken veya kontrol işleriçözümü aynı ayrıntıda anlatmak hiç de gerekli değildir.

Cevap: $ y "= 432 \ cdot \ frac (\ arctg ^ (11) (4 \ cdot \ ln x)) (x \ cdot (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x)) $.

Örnek No. 3

$ y "$ function $ y = \ sqrt (\ sin ^ 3 (5 \ cdot9 ^ x)) $ öğesini bulun.

İlk olarak, radikali (kök) bir güç olarak ifade ederek $ y $ fonksiyonunu biraz dönüştürelim: $ y = \ sqrt (\ sin ^ 3 (5 \ cdot9 ^ x)) = \ left (\ sin (5 \ cdot) 9 ^ x) \ sağ) ^ (\ frac (3) (7)) $. Şimdi türevi bulmaya başlayalım. $ y = \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (\ frac (3) (7)) $ olduğundan, o zaman:

$$ y "= \ sol (\ sol (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (\ frac (3) (7)) \ sağ)" \ etiket (3.1) $$

Türev tablosundan formül # 2'yi kullanırız, bunun içine $ u = \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) $ ve $ \ alpha = \ frac (3) (7) $ koyarız:

$$ \ sol (\ sol (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (\ frac (3) (7)) \ sağ) "= \ frac (3) (7) \ cdot \ sol ( \ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (\ frac (3) (7) -1) (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x)) "= \ frac (3) (7) \ cdot \ sol (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x)) "$$

Bu sonucu kullanarak eşitliği (3.1) devam ettiririz:

$$ y "= \ sol (\ sol (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (\ frac (3) (7)) \ sağ)" = \ frac (3) (7) \ cdot \ sol (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x)) "\ etiket (3.2) $$

Şimdi $ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "$'ı bulmamız gerekiyor. Bunun için türevler tablosundan formül # 9'u kullanıyoruz, içine $ u = 5 \ cdot 9 ^ x $ koyuyoruz:

$$ (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x)) "= \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x)" $$

Elde edilen sonuçla eşitliği (3.2) tamamlayarak şunları elde ederiz:

$$ y "= \ sol (\ sol (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (\ frac (3) (7)) \ sağ)" = \ frac (3) (7) \ cdot \ sol (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x)) "= \\ = \ frak (3) (7) \ cdot \ sol (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x) "\ etiketi (3.3) $$

Geriye $ (5 \ cdot 9 ^ x) "$'ı bulmak kalıyor. Önce sabiti (sayı $ 5 $) türevin işaretinin dışına taşıyın, yani $ (5 \ cdot 9 ^ x)" = 5 \ cdot (9 ^ x) "$. $ (9 ^ x) türevini bulmak için" $ türev tablosunun # 5 formülünü uygulayın, içine $ a = 9 $ ve $ u = x $ koyun: $ (9 ^ x) "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "$. $ x "= 1 $ olduğundan, o zaman $ (9 ^ x)" = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 $. Şimdi eşitlikle devam edebiliriz (3.3):

$$ y "= \ sol (\ sol (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (\ frac (3) (7)) \ sağ)" = \ frac (3) (7) \ cdot \ sol (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x)) "= \\ = \ frak (3) (7) \ cdot \ sol (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x) "= \ frac (3) (7) \ cdot \ sol (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 5 \ cdot 9 ^ x \ cdot \ ln9 = \\ = \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ sol (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cdot \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x. $$

$ \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) $'ı $ \ frac ( olarak yazarak tekrar güçlerden radikallere (yani köklere) dönebilirsiniz. 1) (\ sol (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (\ frac (4) (7))) = \ frac (1) (\ sqrt (\ sin ^ 4 (5 \ cdot 9) ^x))) $. Daha sonra türev aşağıdaki biçimde yazılacaktır:

$$ y "= \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ sol (\ günah (5 \ cdot 9 ^ x) \ sağ) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cdot \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x = \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ frac (\ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x) (\ sqrt (\ günah ^ 4 (5 \ cdot 9 ^ x))). $$

Cevap: $ y "= \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ frac (\ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x) (\ sqrt (\ günah ^ 4 (5 \ cdot 9 ^ x))) $.

Örnek No. 4

Türev tablosunun 3 ve 4 numaralı formüllerinin bu tablonun 2 numaralı formülünün özel bir hali olduğunu gösterin.

Türev tablosunun 2 numaralı formülü, $ u ^ \ alpha $ fonksiyonunun türevini içerir. $ \ alpha = -1 $'ı formül # 2'ye koyduğumuzda şunu elde ederiz:

$$ (u ^ (- 1)) "= - 1 \ cdot u ^ (- 1-1) \ cdot u" = - u ^ (- 2) \ cdot u "\ etiket (4.1) $$

$ u ^ (- 1) = \ frac (1) (u) $ ve $ u ^ (- 2) = \ frac (1) (u ^ 2) $ olduğundan, eşitlik (4.1) aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir: $ \ sol (\ frac (1) (u) \ sağ) "= - \ frac (1) (u ^ 2) \ cdot u" $. Bu, türev tablosunun 3 numaralı formülüdür.

Tekrar türev tablosunun 2 numaralı formülüne dönelim. İçine $ \ alpha = \ frac (1) (2) $ koyalım:

$$ \ sol (u ^ (\ frac (1) (2)) \ sağ) "= \ frac (1) (2) \ cdot u ^ (\ frac (1) (2) -1) \ cdot u" = \ frac (1) (2) u ^ (- \ frac (1) (2)) \ cdot u "\ etiket (4.2) $$

$ u ^ (\ frac (1) (2)) = \ sqrt (u) $ ve $ u ^ (- \ frac (1) (2)) = \ frac (1) (u ^ (\ frac ( 1) olduğundan ) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (u)) $, sonra eşitlik (4.2) aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

$$ (\ sqrt (u)) "= \ frak (1) (2) \ cdot \ frak (1) (\ sqrt (u)) \ cdot u" = \ frak (1) (2 \ sqrt (u) ) \ cdot u "$$

Ortaya çıkan eşitlik $ (\ sqrt (u)) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (u)) \ cdot u" $, türevler tablosunun # 4 formülüdür. Gördüğünüz gibi, türev tablosunun # 3 ve # 4 formülleri, $ \ alpha $ için karşılık gelen değerin değiştirilmesiyle formül # 2'den elde edilir.

Üzerinde en basit türevleri analiz ettiğimiz ve ayrıca türev bulma kuralları ve bazı teknikler hakkında bilgi sahibi olduk. Bu nedenle, fonksiyonların türevleri konusunda çok iyi değilseniz veya bu makalenin bazı noktaları tam olarak açık değilse, önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir ruh hali içinde olun - malzeme kolay değil, ancak yine de onu basit ve erişilebilir bir şekilde sunmaya çalışacağım.

Pratikte, karmaşık bir fonksiyonun türeviyle çok sık uğraşmanız gerekir, hatta diyebilirim ki, neredeyse her zaman, türevleri bulmak için görevler verildiğinde.

Karmaşık bir işlevi ayırt etmek için tablodaki kurala (No. 5) bakarız:

Anlamak. Öncelikle kayda dikkat edelim. Burada iki işlevimiz var - ve dahası, işlev mecazi olarak konuşursak, bir işleve gömülüdür. Bu tür bir işleve (bir işlev diğerinin içinde yuvalandığında) karmaşık işlev denir.

fonksiyonu arayacağım harici fonksiyon ve işlev - bir iç (veya iç içe) işlev.

! Bu tanımlar teorik değildir ve ödevlerin nihai tasarımında yer almamalıdır. Resmi olmayan "dış işlev", "iç" işlev ifadelerini yalnızca materyali anlamanızı kolaylaştırmak için kullanıyorum.

Durumu netleştirmek için şunları göz önünde bulundurun:

örnek 1

Bir fonksiyonun türevini bulun

Sinüs altında sadece "X" harfi değil, bir tamsayı ifadesi var, bu nedenle tablodan türevi hemen bulmak mümkün olmayacak. Ayrıca burada ilk dört kuralı uygulamanın imkansız olduğuna dikkat çekiyoruz, bir fark var gibi görünüyor, ancak gerçek şu ki bir sinüsü "parçalamak" imkansız:

Bu örnekte, zaten açıklamalarımdan, bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyon olduğu ve polinomun bir iç fonksiyon (yuvalama) ve bir harici fonksiyon olduğu sezgisel olarak açıktır.

İlk adım Karmaşık bir fonksiyonun türevi bulunurken yapılması gereken, Hangi işlevin dahili, hangisinin harici olduğunu anlayın.

Basit örneklerde, sinüsün altında bir polinomun yuvalanmış olduğu açıkça görülmektedir. Ama ya her şey açık değilse? Hangi fonksiyonun harici, hangisinin dahili olduğu tam olarak nasıl belirlenir? Bunu yapmak için, zihinsel olarak veya bir taslak üzerinde yapılabilecek aşağıdaki tekniği kullanmanızı öneririm.

Bir hesap makinesinde bir ifadenin değerini hesaplamamız gerektiğini düşünün (bir yerine herhangi bir sayı olabilir).

İlk önce neyi hesaplayacağız? Her şeyden önce aşağıdaki eylemi gerçekleştirmeniz gerekecek: bu nedenle polinom dahili bir işlev olacaktır:

İkincil bulunması gerekecek, bu nedenle sinüs harici bir işlev olacaktır:

bizden sonra Çözmek iç ve dış fonksiyonlarla, karmaşık bir fonksiyonun türev kuralını uygulama zamanı .

Karar vermeye başlıyoruz. dersten Türevini nasıl bulurum? Herhangi bir türevin çözümünün tasarımının her zaman böyle başladığını hatırlıyoruz - ifadeyi parantez içine alıyoruz ve sağ üst köşeye bir çizgi koyuyoruz:

Başta dış fonksiyonun (sinüs) türevini buluruz, temel fonksiyonların türev tablosuna bakarız ve bunu fark ederiz. "x" karmaşık bir ifadeyle değiştirilse bile tüm tablo formülleri geçerlidir, bu durumda:

Not iç işlev değişmedi dokunmuyoruz.

Eh, çok açık ki

Formülün uygulanmasının sonucu son tasarımda şöyle görünür:

Sabit faktör genellikle ifadenin başına yerleştirilir:

Herhangi bir karışıklık varsa, çözümü yazın ve açıklamaları tekrar okuyun.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

Her zamanki gibi yazıyoruz:

Nerede harici bir fonksiyonumuz olduğunu ve nerede dahili bir fonksiyonumuz olduğunu bulalım. Bunu yapmak için, ifadenin değerini (zihinsel olarak veya bir taslakta) hesaplamayı deneyin. İlk önce ne yapılmalı? Her şeyden önce, tabanın neye eşit olduğunu hesaplamanız gerekir: bu, polinomun dahili fonksiyon olduğu anlamına gelir:

Ve ancak o zaman üstelleştirme gerçekleştirilir, bu nedenle, güç fonksiyonu Harici bir işlevdir:

formüle göre , önce dış fonksiyonun türevini, bu durumda dereceden bulmanız gerekir. Tabloda gerekli formülü arıyoruz: Tekrar tekrar ediyoruz: herhangi bir tablo formülü yalnızca "x" için değil, aynı zamanda karmaşık bir ifade için de geçerlidir... Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu sonraki:

Dış fonksiyonun türevini aldığımızda iç fonksiyonun bizim için değişmediğini tekrar vurguluyorum:

Şimdi geriye iç fonksiyonun çok basit bir türevini bulmak ve sonucu biraz "taramak" kalıyor:

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).

Karmaşık bir fonksiyonun türevi anlayışını pekiştirmek için yorumsuz bir örnek vereceğim, kendi başınıza anlamaya çalışacağım, dışsal nerede ve iç işlev nerede, görevler neden bu şekilde çözüldü?

Örnek 5

a) Fonksiyonun türevini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulun

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bir kökümüz var ve kökü ayırt edebilmek için bir derece olarak temsil edilmesi gerekiyor. Böylece, önce fonksiyonu farklılaşmaya uygun bir forma getiriyoruz:

Fonksiyonu analiz ederek, üç terimin toplamının bir iç fonksiyon olduğu ve üs almanın bir dış fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz. Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uyguluyoruz :

Derece yine bir kök (kök) olarak temsil edilir ve iç fonksiyonun türevi için toplamı türevlendirmek için basit bir kural uygularız:

Hazır. Ayrıca parantez içindeki ifadeyi şuraya da getirebilirsiniz: ortak payda ve her şeyi tek bir kesirde yazın. Güzel, elbette, ama hantal uzun türevler elde edildiğinde, bunu yapmamak daha iyidir (kafanın karışması kolaydır, gereksiz bir hata yapar ve öğretmenin kontrol etmesi elverişsiz olacaktır).

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).

Bazen, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı yerine, bölümün türevini alma kuralının kullanılabileceğini belirtmek ilginçtir. , ancak böyle bir çözüm bir sapkınlık olarak olağandışı görünecek. İşte tipik bir örnek:

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bölümün türev alma kuralını kullanabilirsiniz. , ancak karmaşık bir fonksiyonun türev kuralı ile türevi bulmak çok daha karlı:

Fonksiyonu türev için hazırlarız - eksiyi türevin işaretinin arkasına taşırız ve kosinüsü paya yükseltiriz:

Kosinüs dahili bir fonksiyondur, üs alma harici bir fonksiyondur.
kuralımızı kullanıyoruz :

Dahili fonksiyonun türevini bulun, kosinüsü sıfırlayın:

Hazır. Ele alınan örnekte, işaretlerde kafa karıştırmamak önemlidir. Bu arada kuralıyla çözmeye çalışın , cevaplar eşleşmelidir.

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).

Şimdiye kadar, karmaşık bir işlevde yalnızca bir ekimizin olduğu durumlara baktık. Pratik görevlerde, bebeklerin iç içe geçmesi gibi, 3, hatta 4-5 işlevin aynı anda iç içe geçtiği türevleri sıklıkla bulabilirsiniz.

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu fonksiyonun eklerini anlayalım. Test değerini kullanarak ifadeyi değerlendirmeye çalışmak. Bir hesap makinesine nasıl güveniriz?

İlk önce, arksinüsünün en derin yuvalama olduğu anlamına gelen bulmanız gerekir:

O zaman bu arksinüsünün karesi alınmalıdır:

Ve son olarak, 7'yi güce yükseltin:

Yani, bu örnekte, elimizde üç tane var. farklı işlevler ve iki ek, en içteki fonksiyon ark sinüs iken en dıştaki fonksiyon üstel fonksiyondur.

çözmeye başlıyoruz

kurala göre önce dış fonksiyonun türevini almanız gerekir. Türev tablosuna bakarız ve türevi buluruz. üstel fonksiyon: Tek fark, "X" yerine karmaşık ifade, bu formülün geçerliliğini reddetmez. Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu sonraki.

Hatırlaması çok kolay.

Pekala, fazla ileri gitmeyelim, hemen ters fonksiyonu ele alacağız. Üstel fonksiyonun tersi hangi fonksiyondur? Logaritma:

Bizim durumumuzda, taban bir sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani, tabanlı bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için yazmak yerine özel bir notasyon kullanırız.

Neye eşittir? Tabii ki, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. fonksiyonunun türevi nedir?

Yanıtlar: Üs ve doğal logaritma, türev açısından benzersiz basit fonksiyonlardır. Başka bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır, bunu daha sonra türev kurallarını inceledikten sonra analiz edeceğiz.

farklılaşma kuralları

Neyin kuralları? Yine yeni bir terim, yine mi?! ...

farklılaşma türev bulma işlemidir.

Bu kadar. Bu süreci tek kelimeyle başka nasıl adlandırabilirim? Bir türetme değil... Matematiğin diferansiyeline de bir fonksiyonun aynı artışı denir. Bu terim Latin farklılığından gelir - farklılık. Buraya.

Tüm bu kuralları türetirken, örneğin ve gibi iki işlev kullanacağız. Ayrıca artışları için formüllere ihtiyacımız var:

Toplamda 5 kural vardır.

Sabit, türev işaretinin dışına taşınır.

Eğer bir sabit sayı ise (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural şu ​​fark için de geçerlidir:.

Hadi kanıtlayalım. İzin ver ya da daha kolay.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. noktada;
2. noktada;
3. noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (türev tüm noktalarda aynıdır, çünkü bu doğrusal fonksiyon, hatırlamak?);

İşin türevi

Burada her şey aynı: yeni bir fonksiyon tanıtıyoruz ve artışını buluyoruz:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. noktasında fonksiyonun türevini bulunuz.

Çözümler:

Üstel fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, sadece üssü değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (ne olduğunu unuttunuz mu?).

Peki, bir sayı nerede.

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, bu yüzden fonksiyonumuzu yeni bir sayı tabanına dönüştürmeye çalışalım:

Bunu yapmak için basit bir kural kullanacağız: Sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun zor olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün, üssün türevine çok benzer olduğu ortaya çıktı: olduğu gibi, sadece bir sayı olan, ancak bir değişken olmayan sadece bir çarpan ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan bir sayıdır, yani daha basit bir biçimde yazılamaz. Bu nedenle, cevapta bu formda bırakıyoruz.

Burada iki fonksiyonun bölümü olduğuna dikkat edin, bu nedenle ilgili türev alma kuralını uygularız:

Bu örnekte, iki fonksiyonun çarpımı:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

İşte benzer: doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip logaritmalardan keyfi bir tane bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana getirmeniz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Sadece şimdi bunun yerine yazacağız:

Payda sadece bir sabittir (sabit sayı, değişken yok). Türev çok basittir:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri USE'de neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık işlev" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil ve bir arktanjant değil. Bu işlevleri anlamak zor olabilir (logaritma size zor görünüyorsa, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve her şey geçecek), ancak matematik açısından "zor" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir taşıma bandı düşünün: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bir tür hareket yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaja sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Böyle bir kompozit nesne ortaya çıkıyor: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata. Bir çikolatayı yemek için ters adımları ters sırada yapmanız gerekir.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız ve sonra elde edilen sayının karesini alacağız. Yani, bize bir sayı verildi (çikolata çubuğu), kosinüsünü (sarmalayıcı) buluyorum ve sonra sahip olduğum şeyin karesini alıyorsunuz (bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu karmaşık bir fonksiyona bir örnektir: değerini bulmak için ilk eylemi doğrudan değişkenle yaptığımızda ve ardından birincinin sonucuyla başka bir ikinci eylemi yaptığımızda.

Diğer bir deyişle, karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir: .

Örneğimiz için,

Aynı işlemleri ters sırada da yapabiliriz: önce sen kare, sonra ben ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım:. Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Karmaşık işlevlerin önemli bir özelliği: Eylemlerin sırasını değiştirdiğinizde işlev değişir.

İkinci örnek: (aynı). ...

En son yaptığımız eylem çağrılacak "Harici" işlev, ve ilk yapılan işlem - sırasıyla "Dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, onları sadece materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi işlevin harici, hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış işlevleri ayırmak, değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin, bir işlevde

1. Yapılacak ilk işlem nedir? İlk önce sinüsü hesaplayacağız ve ancak o zaman onu bir küp haline getireceğiz. Bu nedenle, bir iç işlevdir, ancak dış bir işlevdir.
   Ve orijinal işlev onların bileşimidir:.
2. Dahili:; harici:.
   Muayene: .
3. Dahili:; harici:.
   Muayene: .
4. Dahili:; harici:.
   Muayene: .
5. Dahili:; harici:.
   Muayene: .

değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ederiz.

Peki, şimdi çikolatamızı çıkaracağız - bir türev arayın. Prosedür her zaman tersidir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnekle ilgili olarak, şöyle görünür:

Başka bir örnek:

Öyleyse, nihayet resmi bir kural formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

Her şey basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili:;

Harici:;

2) Dahili:;

(şimdi kesmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkarılamaz, hatırladınız mı?)

3) Dahili:;

Harici:;

Burada üç seviyeli bir kompleks fonksiyonun olduğu hemen anlaşılır: sonuçta bu zaten kendi içinde karmaşık bir fonksiyondur ve ondan da kökü çıkarıyoruz yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (içine çikolata koyuyoruz) bir ambalaj ve bir portföyde bir kurdele ile). Ancak korkmak için bir neden yok: yine de, bu işlevi her zamanki gibi aynı sırayla "açacağız": sondan.

Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi ayırt ederiz. Ve sonra tüm bunları çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda, eylemleri numaralandırmak uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örnek verelim:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, ilgili işlev o kadar “harici” olacaktır. Eylemlerin sırası - daha önce olduğu gibi:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Bir hareket tarzı tanımlayalım.

1. Radikal bir ifade. ...

2. Kök. ...

3. Sinüs. ...

4. Kare. ...

5. Her şeyi bir araya getirmek:

TÜREV. KISACA ANA HAKKINDA

Bir fonksiyonun türevi- fonksiyonun artışının, argümanın sonsuz küçük bir artışıyla argümanın artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit, türev işaretinin dışına taşınır:

Tutarın türevi:

İşin türevi:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

1. "İç" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
2. "Dış" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.

Fonksiyonlar karmaşık tür buna "karmaşık işlev" demek tamamen doğru değil. Örneğin, çok etkileyici görünüyor, ancak bu işlev, aksine karmaşık değil.

Bu yazıda, karmaşık bir fonksiyon kavramını ele alacağız, onu temel fonksiyonların bir parçası olarak nasıl tanımlayacağımızı öğreneceğiz, türevini bulmak için bir formül vereceğiz ve tipik örneklerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alacağız.

Örnekleri çözerken sürekli olarak türev tablosunu ve türev alma kurallarını kullanacağız, bu yüzden gözünüzün önünde bulundurun.

karmaşık fonksiyon Argümanı aynı zamanda bir fonksiyon olan bir fonksiyondur.

Bizim açımızdan bu tanım en anlaşılır olanıdır. Geleneksel olarak f (g (x)) olarak gösterilebilir. Yani, g(x), f(g(x)) fonksiyonunun bir argümanı gibidir.

Örneğin, f arktanjant işleviyse ve g (x) = lnx doğal logaritma işleviyse, o zaman karmaşık f (g (x)) işlevi arktandır (lnx). Başka bir örnek: f dördüncü güce yükseltme işlevidir ve tam bir rasyonel fonksiyondur (bkz.), o zaman .

Buna karşılık g(x) de karmaşık bir fonksiyon olabilir. Örneğin, ... Geleneksel olarak, böyle bir ifade şu şekilde gösterilebilir: ... Burada f sinüs fonksiyonu, çıkarma fonksiyonu kare kök, - kesirli rasyonel fonksiyon. Fonksiyonların iç içe geçme derecesinin herhangi bir sonlu olabileceğini varsaymak mantıklıdır. doğal sayı.

Sıklıkla karmaşık bir işlevin çağrıldığını duyabilirsiniz. fonksiyonların bileşimi.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için formül.

Örnek.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun.

Çözüm.

Bu örnekte f bir kare alma işlevidir ve g (x) = 2x + 1 doğrusal bir işlevdir.

Buraya detaylı çözüm karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü kullanarak:

Orijinal fonksiyonun formunu sadeleştirdikten sonra bu türevi bulalım.

Buradan,

Gördüğünüz gibi, sonuçlar aynı.

Hangi fonksiyonun f, hangisinin g(x) olduğunu karıştırmamaya çalışın.

Bunu bir dikkat örneği ile açıklayalım.

Örnek.

Karmaşık fonksiyonların türevlerini bulun ve.

Çözüm.

İlk durumda, f kare alma işlevidir ve g (x) sinüs işlevidir, yani
.

İkinci durumda, f bir sinüs fonksiyonu ve bir güç fonksiyonudur. Bu nedenle, karmaşık bir fonksiyonun ürünü için formüle göre,

Fonksiyonun türev formülü şu şekildedir:

Örnek.

Farklılaşma işlevi .

Çözüm.

Bu örnekte, karmaşık bir işlev koşullu olarak şu şekilde yazılabilir: , sinüs fonksiyonu nerede, üçüncü kuvvete yükseltme fonksiyonu, logaritmayı e tabanına alma fonksiyonu, sırasıyla arktanjantı alma fonksiyonu ve lineer fonksiyon.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi formülü ile

şimdi buluyoruz

Elde edilen ara sonuçları bir araya getirmek:

Yuvalama bebekleri gibi korkutucu, karmaşık işlevleri sökmek gibi bir şey yoktur.

Bu, tek bir olmasa da makalenin sonu olabilir ama ...

Türev alma kurallarının ve türev tablosunun ne zaman uygulanacağını ve karmaşık bir fonksiyonun türevi formülünün ne zaman kullanılacağını açıkça anlamanız önerilir..

ŞİMDİ ÖZELLİKLE DİKKATLİ OLUN. Karmaşık fonksiyonlar ve karmaşık fonksiyonlar arasındaki fark hakkında konuşacağız. Bu farkı ne kadar gördüğünüz, türev bulma başarısını belirleyecektir.

Bazı basit örneklerle başlayalım. İşlev karmaşık olarak kabul edilebilir: g (x) = tgx, ... Bu nedenle, karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü hemen uygulayabilirsiniz.

Ve işte fonksiyon zor zaten çağrılamaz.

Bu fonksiyon, 3tgx ve 1 olmak üzere üç fonksiyonun toplamıdır. - karmaşık bir fonksiyon olmasına rağmen: bir güç fonksiyonudur (kuadratik parabol) ve f bir teğet fonksiyondur. Bu nedenle, önce toplamı türevlendirmek için formülü uygularız:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için kalır:

Bu yüzden .

Ana fikri anladığınızı umuyoruz.

Daha geniş olarak, karmaşık türdeki işlevlerin karmaşık işlevlerin parçası olabileceği ve karmaşık işlevlerin karmaşık türdeki işlevlerin parçası olabileceği iddia edilebilir.

Örnek olarak, analiz edelim bileşen parçaları işlev .

Başta, bu, f, taban 3'e göre logaritma işlevi ve g (x) iki işlevin toplamı şeklinde gösterilebilen karmaşık bir işlevdir. ve ... Yani, .

ikinci olarak, h (x) fonksiyonu ile ilgileneceğiz. ile bir ilişkiyi temsil eder. .

Bu iki fonksiyonun toplamıdır ve , nerede - sayısal katsayısı 3 olan karmaşık bir fonksiyon. - küp işlevi, - kosinüs işlevi, - doğrusal işlev.

Bu, iki fonksiyonun toplamıdır ve nerede - karmaşık işlev, - üs alma işlevi, - güç işlevi.

Böylece, .

Üçüncüsü, git, karmaşık bir fonksiyonun ürünü olan ve bütün bir rasyonel fonksiyon

Kare alma işlevi, logaritmayı e tabanına alma işlevidir.

Buradan, .

Özetleyelim:

Artık fonksiyonun yapısı netleşti ve türevlenirken hangi formüllerin ve hangi sırayla uygulanacağı netleşti.

Bir fonksiyonun türevini alma (türevi bulma) bölümünde, benzer problemlerin çözümüne aşina olabilirsiniz.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi formülünü kullanarak türev hesaplama örnekleri verilmiştir.

Ayrıca bakınız: Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülün kanıtı

Temel formüller

Burada, aşağıdaki fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasına ilişkin örnekler veriyoruz:
; ; ; ; .

Bir fonksiyon, aşağıdaki biçimde karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilebilirse:
,
daha sonra türevi aşağıdaki formülle belirlenir:
.
Aşağıdaki örneklerde bu formülü şu şekilde yazacağız:
.
nerede .
Burada, türev işaretinin altındaki veya alt simgeler, türevin gerçekleştirildiği değişkenleri gösterir.

Genellikle türev tablolarında x değişkeninin fonksiyonlarının türevleri verilir. Ancak, x resmi bir parametredir. x değişkeni başka bir değişkenle değiştirilebilir. Bu nedenle, bir fonksiyonu bir değişkenden ayırırken, türev tablosunda x değişkenini u değişkenine değiştiririz.

Basit örnekler

örnek 1

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
.

Verilen fonksiyonu eşdeğer formda yazalım:
.
Türev tablosunda şunları buluyoruz:
;
.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi formülüne göre:
.
Buraya .

Örnek 2

Türev bul
.

5 sabitini türevin işaretinin dışında ve bulduğumuz türev tablosundan çıkarıyoruz:
.

.
Buraya .

Örnek 3

türevi bulun
.

bir sabit çıkarıyoruz -1 türevin işaretinin arkasında ve türev tablosundan şunu buluruz:
;
Türev tablosundan şunu buluruz:
.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uygularız:
.
Buraya .

Daha karmaşık örnekler

Daha fazlası karmaşık örnekler karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını birkaç kez uygularız. Bunu yaparken, sondan türevi hesaplıyoruz. Yani, fonksiyonu bileşen parçalarına böleriz ve kullanarak en basit parçaların türevlerini buluruz. türev tablosu... biz de kullanıyoruz miktar farklılaştırma kuralları, ürünler ve kesirler. Sonra ikameler yaparız ve karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uygularız.

Örnek 4

türevi bulun
.

Formülün en basit kısmını seçelim ve türevini bulalım. ...

.
Burada notasyonu kullandık
.

Elde edilen sonuçları uygulayarak orijinal fonksiyonun sonraki bölümünün türevini bulun. Tutarı farklılaştırmak için kuralı uygularız:
.

Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını bir kez daha uyguluyoruz.

.
Buraya .

Örnek 5

Fonksiyonun türevini bulun
.

Formülün en basit kısmını seçelim ve türev tablosundan türevini bulalım. ...

Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uyguluyoruz.
.
Buraya
.

Elde edilen sonuçları kullanarak bir sonraki parçayı farklılaştırıyoruz.
.
Buraya
.

Bir sonraki bölümü ayırt ediyoruz.

.
Buraya
.

Şimdi gerekli fonksiyonun türevini buluyoruz.

.
Buraya
.