Aynı küçüklığın sırası. Örnekler. Kalıcı ve sonsuz küçük bir fonksiyon biçiminde bir fonksiyonun sunumunda kanıt özellikleri

Sitenin bölümleri

Editörün Seçimi:

Reklâm

ana - Coelho paulo

Sonsuz küçük ve sonsuz büyük değerler kavramı, matematiksel analizde önemli bir rol oynar. Birçok görev, sonsuz büyük ve küçük değerlerin kavramlarını kullanarak basit ve kolayca çözülür.

Sonsuz küçük.

Değişken, her bir değer için, her birinin izlenmesi için her birinin mutlak değerinin daha azını reddettiği için sonsuz küçükçe denir.

Eğer bir - sonsuz küçüksıfır için çaba gösterdiğini ve yazdığını söylüyorlar.

Sonsuz büyük.

Değişken x. aranan sonsuz büyükHerhangi bir pozitif numara için c.her aşağıdaki gibi bir değer var x. Daha mutlak olacak. Yazmak:

Miktar sonsuz büyük, bir değer var sonsuz küçükve geri.

10. İşlev sınırlarının özellikleri

1) Sabit değer sınırları

Sabit değer sınırı en sabit değere eşittir:

2) Tutarın sınırı

İki fonksiyon miktarının sınırı, bu fonksiyonların sınırlarının toplamına eşittir:

Benzer şekilde, iki fonksiyonun fark sınırı bu fonksiyonlar arasındaki farkın eşittir.

Miktarın uzatılmış miktarı:

Birkaç fonksiyonun toplamının sınırı, bu fonksiyonların sınırlarının toplamına eşittir:

Benzer şekilde, çeşitli fonksiyonlar arasındaki farkın sınırı, bu fonksiyonlar arasındaki farkın eşittir.

3) Kalıcı bir değer için fonksiyonun sınırı

Sınır için Kalıcı Katsayılı Yapılabilir:

4) İşin sınırı

İki fonksiyonun ürünün sınırı, bu fonksiyonların sınırlarına eşittir:

Genişletilmiş Ürün Limiti Mülkiyet

Birkaç fonksiyonun ürününün sınırı, bu fonksiyonların sınırlarına eşittir:

5) Özel sınır

Özel iki fonksiyonun sınırı, payda limitinin sıfır olmaması şartıyla, bu fonksiyonların sınırlarının tutumuna eşittir:

11. İlk Harika Sınır

Kanıt

Tek taraflı sınırları göz önünde bulundurun ve 1'e eşit olduklarını kanıtlayın.

İzin vermek . Bu açıyı tek bir daireye () erteleyeceğim.

Nokta K. - Kirişin bir daire ve bir nokta ile kesişme noktası L. - noktada tek bir dairenin teğetiyle. Nokta H. - Projeksiyon noktası K. eksende ÖKÜZ..

Şöyle açık şu ki:

(Nerede - sektör karesi)

(1) 'de değiştirilmesi, biz:

Ne zamandan beri:

Çarpıyoruz:

Sınıra dönelim:

Sol tek taraflı limiti bulun:

Sağ ve sol tek taraflı sınırlar var ve 1'e eşittir, bu da sınırın 1 olduğu anlamına gelir.

12-13. İkinci harika limit

veya

İkinci olağanüstü limitin kanıtı:

İkinci harika limitin doğal değerler için sadık olduğunu bilerek, gerçek x için ikinci harika sınırı kanıtlayacağız, yani olduğunu kanıtlıyoruz . İki vakayı düşünün:

1. bırak. X'in her değeri, iki pozitif tamsayılar arasında sonuçlandırılır: tam bir parça x.

Buradan aşağıdakiler: bu nedenle

Eğer o zaman. Bu nedenle, sınıra göre Sahibiz:

Limitlerin varlığının işaretinde (ara fonksiyonun sınırı hakkında) .

2. Bırak olsun. Bir ikame yapmak, sonra

Bu iki olgudan sonra gerçek X için.

14. Özel türevler.

İzin vermek z \u003d F.(x, Y.) . Herhangi bir noktayı düzeltmek (x, Y.), ve sonra argümanın sabit değerini değiştirmeden y., argümanı ver x. artış. Sonra z. özel artış denilen bir artış alacak z. tarafından x. ve formül tarafından belirtir ve belirlenir.

Benzer şekilde, eğer x. sabit bir değeri korur ve y. artış alır z. Özel bir artış alır z. tarafından y.,.

Tanım. Tarafından türetilmiş x. fonksiyondan z \u003d F.(x, Y.) özel artış ilişkisinin sınırı olarak adlandırılır x. Sıfır için arzu artırmak için, yani.

Özel türev, karakterlerden biri tarafından belirtilir. .

Benzer şekilde, özel bir türev tarafından belirlenir y.:

Böylece, iki değişkenin özel türevleri, bir değişkenin türevleri ile aynı kurallara göre hesaplanır.

Misal. Özel türetilmiş fonksiyonları bulun z \u003d x. 2 e. x-2y .

Herhangi bir değişkenin özel türevleri benzer şekilde tanımlanır.

Sonsuz küçük fonksiyonların karşılaştırılması, eşdeğer fonksiyonlar

Sonsuz küçük ve sonsuz büyük değerler.

O.1. Sıra denir sonsuz büyükherhangi bir pozitif numara için (ne kadar çekmeyeceğiz) eğer n\u003e n eşitsizliğin gerçekleştirileceği şekilde N numarası yok | X P | \u003e Ve bunlar. Çok sayıda ne olursa olsun ve biz aldık, dizi tüm üyelerinin A'dan daha fazla olacağı bir sayı var.

Tanım 6.. Sıra (α N) denir sonsuz küçükherhangi bir pozitif numara için (ne kadar az atmazız) (ne kadar az atmazız), n\u003e n eşitsizliğin yapıldığı gibi bir sayı var | α P | \u003cΕ.

1. Sıra (p) sonsuz büyüktür.

2. Sıra () sonsuz küçüktür.

Teorem 1. Eğer (xn) sonsuz büyük bir sıra ise ve tüm üyeleri sıfırdan farklıdır, xn ≠ 0, daha sonra sıralamaya (α N) \u003d sonsuz küçüktür ve geri (α N) sonsuz küçük bir sekans, α N ≠ 0, sonra sıra (xn) \u003d sonsuz büyük.

Sonsuz küçük dizilerin temel özelliklerini teoremler şeklinde formüle ediyoruz.

Teorem 2. İki sonsuz küçük dizinin miktarı ve farkı, sonsuz küçük dizilerdir.

Örnek 2.Paylaşılan bir üyeye sahip sekans sonsuz küçük, çünkü Bunlar, belirtilen sekans, sonsuz küçük dizilerin toplamıdır ve bu nedenle sonsuz küçüktür.

Corollary. Sonlu sayıda sonsuz sayıda küçük dizilimin cebirsel miktarı, sonsuz küçük bir sekansdır.

Teorem 3. İki sonsuz küçük sekansın çalışması sonsuz küçük bir sekansdır.

Corollary. Sonlu sayıda sonsuz sayıda küçük dizilimin ürünü, sonsuz küçük bir sekansdır.

Yorum Yap. Özel iki sonsuz küçük diziler herhangi bir sırayla olabilir ve anlamlı olamaz.

Örneğin, eğer, eğer, sekansın tüm elemanları 1'e eşittir ve bu sekans sınırlıdır. Eğer, daha sonra sıra sonsuz büyüktür ve bunun tersi, eğer ve sonra sonsuz küçük diziler. Bazı numaralardan başlayarak, sıra elemanları sıfırdır, o zaman sıra mantıklı değil.

Theorem 4. Sınırlı bir dizinin ürünü sonsuz küçüktür, sonsuz küçük bir sekans var.

Örnek 3. Sıra sonsuz küçük, çünkü Ve sekans () sonsuz küçük, sıra sınırlıdır, çünkü \u003c1. Sonuç olarak, sonsuz küçük sekans.

Corollary. Sayıdaki sonsuz küçük bir dizinin ürünü, sonsuz küçük bir sekansdır.

Tanım. F (x) işlevi denir sonsuz büyük Herhangi biri için, büyük bir pozitif sayının ne kadar olsa bile, bu kadar pozitif bir sayı var (M, Δ \u003d δ (m) 'a bağlı olarak, X 0'a eşit değil ve durumu yerine getirme, eşitsizlik gerçekleştirillen

Kayıt: veya ne zaman.

Örneğin, işlev sonsuz büyük bir fonksiyondur; İşlevi.

F (x) Sonsuzluğa eğilimi ise ve sadece pozitif değerler alırsa, o zaman sadece olumsuz değerlerse yazarlar.

Tanım. Tüm sayısal satırda belirtilen F (x) işlevi sonsuz büyük Herhangi bir pozitif numara için, böyle bir pozitif sayı var (M, N \u003d n (m) bağlı olarak), hepsinde durumun yerine getirilmesi, eşitsizlik gerçekleştirilir

Örneğin, Y \u003d 2 x işlevi, sonsuz büyük bir fonksiyondur; İşlev, sonsuz büyük bir fonksiyondur.

Sonsuz büyük fonksiyonların özellikleri:

1. Üretim B.B.F. Sınırı sıfırdan farklı olan bir fonksiyonda, bir B.B.F.

2. Miktar B.B.F. ve sınırlı işlev B.B.F.

3. B.B.f.f bölümünden özel. Bir sınırı olan işlev B.B.F.

Örneğin, F (x) \u003d tgx işlevi B.B.F. Ne zaman, φ (x) \u003d 4x-3, bir limiti (2π-3) sahip olduğunda, sıfırdan farklı olduğunda ve ψ (x) \u003d sinx işlevi sınırlı bir işlev olduğunda, sınırlı bir işlevdir.

f (x) φ (x) \u003d (4x-3) tgx; F (x) + ψ (x) \u003d TGX + SINX; Son derece büyük fonksiyonlar var.

Tanım. F (x) işlevi denir sonsuz küçükne zaman, eğer

Fonksiyonun sınırını tanımlayarak, eşitlik (1) anlamına gelir: Herhangi biri için, keyfi olarak küçük bir pozitif sayı bile, böyle bir pozitif sayı (ε, δ \u003d δ (ε) bağlı olarak), hangi x için eşit değil X 0'a ve durumun yerine getirilmesi, eşitsizlik yapılır

Teorem. Eşitliği gerçekleştirmek için, işlevin sonsuz küçük olması için gereklidir. Bu durumda, fonksiyon formda gösterilebilir.

Benzer şekilde B.M.F. tarafından belirlenir. AT, - 0 ,, her durumda f (x) 0.

Sonsuz küçük fonksiyonlar genellikle sonsuz küçük değerler veya sonsuz küçük; Yunan harfleri α, β, vb.

Örneğin, y \u003d x 2 x → 0; y \u003d x-2 x → 2'de; y \u003d x → πK'ta sinx, - sonsuz küçük fonksiyonlar.

Sonsuz küçük fonksiyonların özellikleri:

1. Sonsuz küçük fonksiyonların son sayısının toplamı, sonsuz küçüklerin büyüklüğüdür;

2. Sonlu sayısız küçük fonksiyonların yanı sıra sınırlı bir fonksiyonda sonsuz küçük fonksiyonların ürünü, sonsuz küçük bir büyüklük vardır;

3. Sınırı, büyüklüğü son derece küçükse, limiti artık eşit olmayan bir fonksiyondaki sonsuz küçük fonksiyonların bölünmesinden özel.

İşlevler sonsuz küçükse (sonsuz küçük fonksiyonların karşılaştırılması) son özelliği göz önünde bulundurun:

bir). Eğer daha sonra sonsuz küçük, daha yüksek bir küçüklük sırası olarak adlandırılırsa.

Misal. X → 2'de, fonksiyon (x - 2) 3, o zamandan beri (x-2) 'dan son derece küçüktür.

2). Eğer öyleyse, sonsuz küçük bir sipariş olarak adlandırılırlar (NULO için aynı arzu hızına sahipler);

Misal. X → 0'da, 5x2 ve x 2 işlevleri sonsuz küçük bir siparişlerdir.

3). Eğer, daha sonra sonsuz küçük, belirlenmiş ~., Sonra eşdeğer olarak adlandırılır.

Sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonlar arasındaki ilişki: fonksiyon sonsuz küçüklerin karşısındadır, sonsuz büyüktür (ve tam tersi), yani. Eğer - sonsuz küçük bir işlev, sonra - sonsuz büyük.

Karasız olarak küçük ve büyük hesap

Hesap sonsuz küçük - Türev sonucunun sonsuz miktarda küçük olduğu düşünüldüğü sonsuz küçük değerlerle üretilen hesaplamalar. Sonsuz küçük değerlerin hesaplanması, modern yüksek matematiğin temelini oluşturan farklı ve ayrılmaz hesaplamalar için genel bir konsepttir. Sonsuz küçük büyüklük kavramı, sınır kavramıyla yakından ilgilidir.

Sonsuz küçük

Sıra a. n. aranan sonsuz küçük, Eğer bir . Örneğin, sayılar dizisi sonsuz küçüktür.

İşlev denir mahallede sonsuz küçük x. 0, eğer .

İşlev denir sonsuzlukta sonsuz küçük, Eğer bir veya .

İşlev aynı zamanda fonksiyon ve limit arasındaki farkı temsil eden sonsuz küçüktür, yani T. f.(x.) − a. = α( x.) , .

Sonsuz büyük miktarda

Aşağıdaki tüm formüllerde, eşitlik hakkının sonsuzluğu belirli bir işaret (veya "artı" veya "eksi") anlamına gelir. Yani, örneğin bir fonksiyondur x.günah. x. Her iki tarafta da sınırsız, sonsuz derecede büyük değildir.

Sıra a. n. aranan sonsuz büyük, Eğer bir .

İşlev denir mahallede sonsuz büyük x. 0, eğer .

İşlev denir sonsuza dek sonsuz büyük, Eğer bir veya .

Sonsuz küçük ve sonsuz büyük özelliklerin özellikleri

Sonsuz küçük değerlerin karşılaştırılması

Sonsuz küçük değerler nasıl karşılaştırılır?
Sonsuz küçük değerlerin oranı, sözde belirsizliği oluşturur.

Tanımlar

Diyelim ki aynı boyutta α (α) sonsuz küçük olduğumuzu varsayalım. x.) ve β ( x.) (Buna, sonsuz küçük diziler belirlemek için önemli değildir).

Bu tür limitleri hesaplamak için, lopital kuralın kullanımı uygundur.

Karşılaştırma örnekleri

Kullanma HAKKINDA-Simvoliki elde edilen sonuçlar aşağıdaki formda kaydedilebilir. x. 5 = Ö.(x. 3). Bu durumda, kayıtlar geçerlidir. 2x. 2 + 6x. = Ö.(x.) ve x. = Ö.(2x. 2 + 6x.).

Eşdeğer miktarlar

Tanım

Eğer, sonsuz küçük α ve β değerleri denirse eşdeğer ().
Açıkçası, eşdeğer değerler, bir dereceli küçüklüğün sonsuz küçük bir değerlerinin özel bir durumdur.

Aşağıdaki eşdeğerlik oranları doğruysa (sözde. Harika limitlerin bir sonucu olarak):

Teorem

Sonsuz küçük değerlerin özel (ilişkisinin) sınırı değişmez, eğer biri (veya her ikisi de) eşdeğer değeri değiştirirse.

Bu teorem sınırları bulurken uygulanmış bir değere sahiptir (örneğe bakın).

Kullanım örneği

Değiştirme s.bEN.n.2x. 2 eşdeğeri. x. Teslim almak

Tarihsel deneme

Belirsiz atomlar kavramı nedeniyle "sonsuz küçük" kavramı antik çağlarda tartışıldı, ancak klasik matematikte dahil edilmedi. XVI. Yüzyılda "bölünmez yöntem" nin gelişiyle tekrar canlandı - çalışılan figürün sonsuz küçük bölümler üzerindeki bölünmesi.

XVII yüzyılda, analizin cebirsizliği sonsuz küçüktür. Herhangi bir sonlu (sıfır olmayan) değerinden az olan sayısal değerler olarak tanımlanmaya başladılar ve sıfıra eşit değildir. Analiz sanatı, sonsuz küçük (diferansiyeller) ve daha sonra entegrasyonunda olan ilişkiyi derlemektir.

Eski okulun matematiği kavramı kondu sonsuz küçük keskin eleştiri. Michelle Roll, yeni bir hesap olduğunu yazdı " bir dizi ustaca hatalar"; Voltaire zehirli olarak, bu oyunun, varlığının kanıtlanamayan şeyleri hesaplamak ve doğru bir şekilde ölçmek için bir sanat olduğunu fark etti. Guygens bile, iyi farklılıkların anlamını anlamadığını kabul etti.

Kaderin ironisi, yüzyılın ortasında bir görünüm olarak görülebileceği gibi, ilk bakış açısının gerçek sonsuz küçük olduğunu kanıtlayan ve aynı zamanda tutarlı ve analiz temeline dayanabileceği kanıtlanmıştır.

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde "sonsuz küçük büyüklük" olanı izleyin:

Sonsuz küçük değer - Bu işlemde sonsuz şekilde yaklaşırsa (çabasız) sıfıra yaklaşırsa değişken değer ... Büyük politeknik ansiklopedi

Sonsuz küçük değer - ■ Bilinmeyen bir şey, ancak homeopati ile ilgilidir ... Lexicon Kayıt Gerçekler

Noktadaki sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonların tanımları ve özellikleri. Özelliklerin ve teoremlerin kanıtı. Sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonlar arasındaki ilişki.

İçerik

Ayrıca bakınız: Sonsuz küçük diziler - tanımı ve özellikleri
Sonsuz büyük dizilerin özellikleri

Sonsuz küçük ve sonsuz büyük bir özelliğin tanımı

Let X. 0 Sonlu veya sonsuz uzak bir nokta var: ∞, -∞ veya + ∞.

Sonsuz küçük fonksiyonların tanımı
Α fonksiyonu. (x) aranan sonsuz küçük x arayan x ile 0 0 ve sıfıra eşittir:
.

Sonsuz büyük fonksiyonun tanımı
Fonksiyon F. (x) aranan sonsuz büyük x arayan x ile 0 İşlev X'te bir sınırı varsa → x 0 ve sonsuzluğa eşittir:
.

Sonsuz küçük fonksiyonların özellikleri

Sonsuz küçük fonksiyonların miktarının, farkın ve eserlerin mülkiyeti

Tutar, Fark ve İş X → x'te sonsuz sayıda sonsuz küçük fonksiyonların sayısı 0 x → x'te sonsuz küçük bir fonksiyondur. 0 .

Bu özellik, fonksiyon sınırlarının aritmetik özelliklerinin doğrudan bir sonucudur.

Sınırlı fonksiyonun ürünündeki teorem sonsuz küçük

Ürün Sınırlı Bazı delinmiş mahallede x 0 , sonsuz küçük, x → x ile 0 x → x'te sonsuz küçük bir fonksiyondur. 0 .

Bir fonksiyonun sunumu için kalıcı ve sonsuz küçük bir fonksiyon biçiminde

F işlevi için f (x) son limiti vardı, gerekli ve yeterli
,
Nerede - x → x'te sonsuz küçük fonksiyonlar 0 .

Sonsuz büyük fonksiyonların özellikleri

Sınırlı fonksiyonun toplamı ve sonsuz büyük

Bazı delinmiş noktada, sınırlı miktarda fonksiyon, miktar veya fark 0 ve sonsuz derecede büyük bir fonksiyon, X → X'te 0 x → x'te sonsuz büyük bir fonksiyondur. 0 .

Özelteki teoremi, sınırlı bir fonksiyonun sonsuz büyüklüğüne bölünmesi

Eğer F. (x) x → x'te sonsuz büyük 0 ve işlev g (x) - bazı delinmiş nokta ile sınırlı 0 T.
.

Özelteki Teoremi, fonksiyonun dibinden sınırlıdır, sonsuz küçüktür.

Fonksiyon, bazı delinmiş nokta mahallesinde, mutlak değerde, pozitif bir sayı ile alt ile sınırlıdır:
,
Ve fonksiyon x → x'te sonsuz küçüktür. 0 :
,
Ve o zaman bir noktasının bir dökülücü mahallesi var.
.

Sonsuz büyük fonksiyonların eşitsizlik özellikleri

İşlev sonsuz büyükse:
,
ve işlevler ve bazı delinmiş mahallede eşitsizliği karşılamak:
,
İşlev aynı zamanda son derece büyük:
.

Bu tesisin iki özel vakası var.

Puntionun bazı delinmiş mahallelerinde, işlevleri yerine getirir ve eşitsizliği tatmin edelim:
.
Sonra ise, o zaman.
Eğer o zaman.

Sonsuz büyük ve sonsuz küçük fonksiyonlar arasındaki ilişki

Önceki iki özellikten, ilişki sonsuz büyük ve sonsuz düşük fonksiyonlar arasında akar.

İşlev sonsuz büyükse, işlev sonsuz küçüktür.

İşlev sonsuz küçükse ve işlev sonsuz büyüktür.

Sonsuz küçük ve sonsuz yüksek bir fonksiyon arasındaki ilişki sembolik olarak ifade edilebilir:
, .

Sonsuz küçük fonksiyon belli bir işareti varsa, yani bazı delinmiş nokta mahallesindeki olumlu (veya olumsuz), o zaman böyle yazabilirsiniz:
.
Benzer şekilde, sonsuz büyük bir fonksiyonun belirli bir işareti varsa, yazarlar:
ya da.

Daha sonra, sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonlar arasındaki sembolik bağ, aşağıdaki oranlarla desteklenebilir:
, ,
, .

Sonsuzluk sembollerini bağlayan ek formüller sayfada bulunabilir.
"Sonsuz uzak noktalar ve özellikleri."

Özelliklerin ve teoremlerin kanıtı

Teorem'in sınırsız fonksiyonun ürününe kanıtı

Bu teoremi kanıtlamak için kullanacağız. Ve ayrıca, bunlara göre, sonsuz küçük dizilerin özelliklerini kullanın.

İşlevin sonsuz küçük olmasına izin verin ve işlev bazı delinmiş noktalarda sınırlıdır:
AT.

Bir sınır olduğundan, işlevin tanımlandığı noktanın mahallesine bir katılma var. Çevrenin kesiştiği olsun ve. Ardından fonksiyonlar üzerinde tanımlanır.

.
,
Bir dizi sonsuz küçüktür:
.

Sınırlı sıranın ürününün sonsuz küçük olduğu gerçeğini kullanıyoruz, sonsuz küçük bir sekans var:
.
.

Teoremi kanıtlandı.

Kalıcı ve sonsuz küçük bir fonksiyon biçiminde bir fonksiyonun sunumunda kanıt özellikleri

Gereklilik. İşlevin nihai sınırda olmasına izin verin
.
Bir işlevi düşünün:
.
Fonksiyon farkı limit özelliğini kullanarak:
.
Yani, içinde sonsuz küçük bir fonksiyon var.

Yeterlik. Bırak olsun. Mülkiyet limit özelliğini uygulayın:
.

Mülkiyet kanıtlandı.

Teorem'in sınırlı fonksiyonun toplamı ve sonsuz büyük

Teoremi kanıtlamak için, işlevin sınırının tanımını HEINE tarafından kullanacağız.

AT.

Bir sınır olduğu için, fonksiyonun tanımlandığı bir noktaya katılan bir mahalle var. Çevrenin kesiştiği olsun ve. Ardından fonksiyonlar üzerinde tanımlanır.

Kimin unsurlarına mahalleye ait olan keyfi bir sekans olmasına izin verin:
.
Sonra diziler tanımlanır ve. Dahası, sıra sınırlıdır:
,
Bir dizi sonsuz büyüktür:
.

Sınırlı diziler arasındaki miktar veya fark ve sonsuz büyük
.
Ardından, Heine Sıra sınırının belirlenmesine göre,
.

Teoremi kanıtlandı.

Teorem'in özel olarak sınırlı işlevi sonsuza kadar büyüklüğüne bölünmesi

Kanıtlamak için, Heine fonksiyonunun sınırını kullanacağız. Ayrıca, sonsuz küçük bir sekans olan sonsuz büyük sekansların özelliğini de kullanıyoruz.

İşlevin son derece büyük olmasına izin verin ve işlev bazı delinmiş noktalarda sınırlıdır:
AT.

İşlev sonsuz büyük olduğundan, daha sonra tanımlandığı ve sıfıra hitap etmediği noktaların mahallesine bir katılma var:
AT.
Çevrenin kesiştiği olsun ve. Ardından fonksiyonlar üzerinde tanımlanır.

Kimin unsurlarına mahalleye ait olan keyfi bir sekans olmasına izin verin:
.
Sonra diziler tanımlanır ve. Dahası, sıra sınırlıdır:
,
Bir sıra sıfır üyelerle sonsuz büyüktür:
, .

Sınırlı dizinin ayrılmaz bir şekilde bölünmesinden gelen özel dizinin sonsuz derecede büyük olduğundan, sonsuz küçük bir sekansdır,
.
Ardından, Heine Sıra sınırının belirlenmesine göre,
.

Teoremi kanıtlandı.

Kısmi teoremin, fonksiyonun alt kısımla sınırlandırmasından temin edilmesi sonsuz küçüktür.

Bu özelliği kanıtlamak için, sınırını Heine işlevinin sınırına kullanacağız. Ayrıca, sonsuz büyük bir sekans olan sonsuz büyük sekansların özelliğini de kullanıyoruz.

Fonksiyonun son derece küçük olmasına izin verin ve fonksiyon, noktanın bazı delinmiş mahallesinde, pozitif bir sayı ile alttan mutlak bir değerle sınırlandırılır:
AT.

Durumuna göre, fonksiyonun belirlendiği ve sıfıra hitap etmediği bir noktasının delme mahallesi vardır:
AT.
Çevrenin kesiştiği olsun ve. Ardından fonksiyonlar üzerinde tanımlanır. Ve ve.

Kimin unsurlarına mahalleye ait olan keyfi bir sekans olmasına izin verin:
.
Sonra diziler tanımlanır ve. Dahası, sıra alt ile sınırlıdır:
,
Ve sıra sıfır üyelerle sonsuz küçüktür:
, .

Dizinin dibinden sınırlı bir şekilde bölünmenin sonsuz küçük olduğundan, sonsuz derecede büyük bir sekansdır,
.
Ve bir noktada delici bir mahalle olsun
AT.

Keyfi bir diziyi dönüştürün. Ardından, bazı numaralardan başlayarak, sekans elemanları bu mahalleye ait olacaktır:
AT.
Sonra
AT.

Heine fonksiyonunun sınırının sınırına göre,
.
Ardından, eşitsizliklerin mülkiyetiyle, sonsuz büyük diziler,
.
Sıra keyfi olduğundan, daha sonra, daha sonra Heine tarafından fonksiyonun sınırını belirleyerek,
.

Mülkiyet kanıtlandı.

Referanslar:
Ld Kudryavtsev. Matematiksel analiz kursu. Cilt 1. Moskova, 2003.

Ayrıca bakınız: