Konuyla ilgili ders ve sunum: "Ark tanjantı. Ark tanjantı. Yay tanjantı ve yay tanjantı tabloları"

Ilave malzemeler
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

1C şirketinden "Integral" çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometrideki problemleri çözüyoruz. 7-10. sınıflar için etkileşimli inşaat görevleri
Geometrideki problemleri çözüyoruz. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler

Ne öğreneceğiz:
1. Ark tanjantı nedir?
2. Ark tanjantının tanımı.
3. Ark tanjantı nedir?
4. Ark tanjantının tanımı.
5. Değer tabloları.
6. Örnekler.

arktanjant nedir?

Beyler, kosinüs ve sinüs denklemlerinin nasıl çözüleceğini zaten öğrendik. Şimdi tanjant ve kotanjant için benzer denklemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim. tg(x)= 1 denklemini ele alalım. Bu denklemi çözmek için iki grafik oluşturuyoruz: y= 1 ve y= tg(x). Fonksiyonlarımızın grafikleri sonsuz sayıda kesişme noktasına sahiptir. Bu noktaların apsisi şuna benzer: x= x1 + πk, x1, y= 1 doğrusu ile y= tg(x) fonksiyonunun ana dalının kesiştiği noktanın apsisidir, (-π/2 <x1> π /2). x1 sayısı için tanım, ark tanjantı olarak tanıtıldı. O zaman denklemimizin çözümü yazılacaktır: x= arctg(1) + πk.

ark tanjantının tanımı

arctg(a), [-π/2; π/2], tanjantı a olan.

tg(x)= a denkleminin bir çözümü vardır: x= arctg(a) + πk, burada k bir tamsayıdır.

Ayrıca not edin: arktg(-a)= -arctg(a).

ark tanjantı nedir?

сtg(x)=1 denklemini çözelim.Bunu yapmak için iki grafik oluşturacağız: y=1 ve y=сtg(x). Fonksiyonlarımızın grafikleri sonsuz sayıda kesişme noktasına sahiptir. Bu noktaların apsisleri şuna benzer: x= x1 + πk. x1, y=1 doğrusu ile y= сtg(x), (0 <x1> π) fonksiyonunun ana dalının kesişme noktasının apsisidir.
x1 sayısı için gösterim ark tanjantı olarak tanıtıldı. O zaman denklemimizin çözümü yazılacaktır: x= arcсtg(1) + πk.

ark tanjantının tanımı

arcctg(a), kotanjantı a'ya eşit olan parçadan bir sayıdır.

ctg(x)= a denkleminin bir çözümü vardır: x= arcctg(a) + πk, burada k bir tamsayıdır.

Ayrıca not edin: arkctg(-a)= π - arkctg(a).

Ark tanjantı ve ark tanjantı değer tabloları

Tanjant ve kotanjant değerleri tablosu

Arktanjant ve arktanjant değerleri tablosu

Örnekler

1. Hesaplayın: arctg(-√3/3).
Çözüm: arctg(-√3/3)= x, sonra tg(x)= -√3/3 olsun. Tanım olarak –π/2 ≤x≤ π/2. Tablodaki tanjant değerlerine bakalım: x= -π/6, çünkü tg(-π/6)= -√3/3 ve – π/2 ≤ -π/6 ≤ π/2.
Cevap: arctg(-√3/3)= -π/6.

2. Hesaplayın: arctg(1).
Çözüm: arctg(1)= x, sonra tg(x)= 1 olsun. Tanım olarak –π/2 ≤ x ≤ π/2. Tablodaki tanjant değerlerine bakalım: x= π/4, çünkü tg(π/4)= 1 ve – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2.
Cevap: arctg(1)= π/4.

3. Hesaplayın: arcctg(√3/3).
Çözüm: arcctg(√3/3)= x olsun, sonra ctg(x)= √3/3 olsun. Tanım olarak, 0 ≤ x ≤ π. Tablodaki kotanjant değerlerine bakalım: x= π/3, çünkü ctg(π/3)= √3/3 ve 0 ≤ π/3 ≤ π.
Cevap: arcctg(√3/3) = π/3.

4. Hesaplayın: arcctg(0).
Çözüm: arcctg(0)= x, sonra ctg(x) = 0 olsun. Tanım olarak, 0 ≤ x ≤ π. Tablodaki kotanjant değerlerine bakalım: x= π/2, çünkü ctg(π/2)= 0 ve 0 ≤ π/2 ≤ π.
Cevap: arcctg(0) = π/2.

5. Denklemi çözün: tg(x)= -√3/3.
Çözüm: Tanımı kullanalım ve şunu elde edelim: x= arctg(-√3/3) + πk. arctg(-a)= -arctg(a) formülünü kullanalım: arctg(-√3/3)= – arctg(√3/3)= – π/6; sonra x= – π/6 + πk.
Cevap: x= = - π/6 + πk.

6. Denklemi çözün: tg(x)= 0.
Çözüm: Tanımı kullanalım ve şunu elde edelim: x= arctg(0) + πk. arctan(0)= 0, çözümü şu formülle değiştiririz: x= 0 + πk.
Cevap: x= πk.

7. Denklemi çözün: tg(x) = 1.5.
Çözüm: Tanımı kullanalım ve şunu elde edelim: x= arctg(1.5) + πk. Tabloda bu değer için arktanjant değeri yok, o zaman cevabı bu formda bırakacağız.
Cevap: x= arktg(1.5) + πk.

8. Denklemi çözün: ctg(x)= -√3/3.
Çözüm: Şu formülü kullanalım: ctg(x)= 1/tg(x); ctg(x)= -√3/3 =1/tg(x) => tg(x)= -√3. Tanımı kullanalım ve şunu elde edelim: x= arctg (-√3) + πk. arctg(-√3)= –arctg(√3)= –π/3, sonra x= -π/3 + πk.
Cevap: x= - π/3 + πk.

9. Denklemi çözün: ctg(x)= 0.
Çözüm: Şu formülü kullanalım: ctg(x)= cos(x)/sin(x). O zaman cos(x)=0 olan x değerlerini bulmamız gerekiyor, x= π/2+ πk elde ederiz.
Cevap: x= π/2 + πk.

10. Denklemi çözün: ctg(x)= 2.
Çözüm: Tanımı kullanalım ve şunu elde edelim: x= arcсtg(2) + πk. Tabloda bu değer için ark tanjant değeri yok, o zaman cevabı bu formda bırakacağız. Cevap: x= arctg(2) + πk.

Bağımsız çözüm için görevler

sin, cos, tg ve ctg işlevlerine her zaman bir arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkotanjant eşlik eder. Biri diğerinin sonucudur ve trigonometrik ifadelerle çalışmak için fonksiyon çiftleri eşit derecede önemlidir.

Trigonometrik fonksiyonların değerlerini grafiksel olarak gösteren bir birim dairenin çizimini düşünün.

OA, arcos OC, arctg DE ve arcctg MK yaylarını hesaplarsanız, hepsi α açısının değerine eşit olacaktır. Aşağıdaki formüller, ana trigonometrik fonksiyonlar ve bunlara karşılık gelen yaylar arasındaki ilişkiyi yansıtır.

Arksin'in özellikleri hakkında daha fazla bilgi edinmek için işlevini göz önünde bulundurmak gerekir. Takvim koordinatların merkezinden geçen asimetrik bir eğri şeklindedir.

Arksin özellikleri:

grafikleri karşılaştırırsak günah Ve ark günah, iki trigonometrik fonksiyon ortak örüntüler bulabilir.

ark kosinüsü

a sayısının yayları, kosinüsü a'ya eşit olan α açısının değeridir.

eğri y = arkos x arksin x grafiğini yansıtır, tek fark OY eksenindeki π/2 noktasından geçmesidir.

Arkosinüs fonksiyonunu daha ayrıntılı olarak düşünün:

1. İşlev, [-1; 1].
2. Arccos için ODZ - .
3. Grafik tamamen I ve II çeyreklerinde bulunur ve fonksiyonun kendisi ne çift ne de tektir.
4. x = 1 için Y = 0.
5. Eğri tüm uzunluğu boyunca azalır. Ark kosinüsünün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonu ile aynıdır.

Ark kosinüsünün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonu ile aynıdır.

“Kemerler” hakkında böyle “ayrıntılı” bir çalışmanın okul çocukları için gereksiz görünmesi mümkündür. Aksi takdirde, ancak, bazı temel tip atamaları KULLANöğrencilerin kafasını karıştırabilir.

1. Egzersiz.Şekilde gösterilen işlevleri belirtin.

Yanıt vermek: pilav. 1 - 4, şekil 2 - 1.

Bu örnekte, vurgu küçük şeyler üzerindedir. Genellikle, öğrenciler grafiklerin oluşturulmasına ve fonksiyonların görünümüne çok dikkatsizdir. Gerçekten de, her zaman hesaplanan noktalardan oluşturulabiliyorsa, neden eğrinin şeklini ezberleyelim. Test koşulları altında, daha karmaşık görevleri çözmek için basit bir görev için çizim yapmak için harcanan zamanın gerekli olacağını unutmayın.

arktanjant

Arctg a sayısı, α açısının öyle bir değeridir ki, tanjantı a'ya eşittir.

Ark tanjantının grafiğini düşünürsek, aşağıdaki özellikleri ayırt edebiliriz:

1. Grafik sonsuzdur ve (- ∞; + ∞) aralığında tanımlanmıştır.
2. Arktanjant tek bir fonksiyondur, bu nedenle arktan (- x) = - arktan x.
3. x = 0 için Y = 0.
4. Eğri, tüm tanım alanı boyunca artar.

İşte kısa Karşılaştırmalı analiz tablo olarak tg x ve arctg x.

ark tanjantı

a - sayısının Arcctg'si, kotanjantı a'ya eşit olacak şekilde (0; π) aralığından böyle bir α değeri alır.

Ark kotanjant fonksiyonunun özellikleri:

1. Fonksiyon tanımlama aralığı sonsuzdur.
2. Kabul edilebilir değerler aralığı (0; π) aralığıdır.
3. F(x) ne çift ne de tektir.
4. Uzunluğu boyunca, fonksiyonun grafiği azalır.

ctg x ve arctg x'i karşılaştırmak çok basittir, sadece iki çizim çizmeniz ve eğrilerin davranışını tanımlamanız yeterlidir.

Görev 2. Grafiği ve fonksiyonun şeklini ilişkilendirin.

Mantıksal olarak, grafikler her iki fonksiyonun da arttığını gösteriyor. Bu nedenle, her iki şekil de bir arktg işlevi gösterir. Ark tanjantının özelliklerinden x = 0 için y=0 olduğu bilinmektedir,

Yanıt vermek: pilav. 1 - 1, şek. 2-4.

Arcsin, arcos, arctg ve arcctg trigonometrik kimlikler

Daha önce, kemerler ve trigonometrinin ana işlevleri arasındaki ilişkiyi zaten tanımlamıştık. Bu bağımlılıkörneğin, bir argümanın sinüsünü arksinüsü, arkosinüsü aracılığıyla veya tam tersi yoluyla ifade etmeye izin veren bir dizi formülle ifade edilebilir. Bu tür kimliklerin bilgisi, belirli örneklerin çözümünde faydalı olabilir.

Ayrıca arctg ve arcctg için oranlar da vardır:

Başka bir kullanışlı formül çifti, aynı açının yaylar ve arkoslar ile arkctg ve arkctg değerlerinin toplamı için değeri ayarlar.

Problem çözme örnekleri

Trigonometri görevleri koşullu olarak dört gruba ayrılabilir: belirli bir ifadenin sayısal değerini hesaplayın, verilen bir işlevi çizin, tanım alanını veya ODZ'yi bulun ve örneği çözmek için analitik dönüşümleri gerçekleştirin.

İlk tür görevleri çözerken, aşağıdaki eylem planına uymak gerekir:

Fonksiyon grafikleri ile çalışırken, asıl mesele onların özelliklerinin bilgisidir ve görünümçarpık. Trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için özdeşlik tablolarına ihtiyaç vardır. Öğrenci ne kadar çok formül hatırlarsa, görevin cevabını bulması o kadar kolay olur.

Diyelim ki sınavda aşağıdaki türden bir denklemin cevabını bulmak gerekiyor:

İfadeyi doğru bir şekilde çevirir ve istediğiniz forma getirirseniz, çözümü çok basit ve hızlıdır. İlk olarak, arksin x'i denklemin sağ tarafına taşıyalım.

formülü hatırlarsak arksin (sinα) = α, o zaman iki denklem sistemini çözmeye yönelik cevap arayışını azaltabiliriz:

Model x üzerindeki kısıtlama, yine arcsin özelliklerinden kaynaklanmaktadır: ODZ for x [-1; 1]. ≠ 0 olduğunda, sistemin bir parçası ikinci dereceden denklem kökleri x1 = 1 ve x2 = - 1/a ile. a = 0 ile x 1'e eşit olacaktır.

(dairesel fonksiyonlar, yay fonksiyonları) - trigonometrik fonksiyonların tersi olan matematiksel fonksiyonlar.

arktanjant- atama: arktg x veya arktan x.

arktanjant (y = arktan x) ters fonksiyonudur tg (x = tgy), bir tanım alanına ve bir dizi değere sahip olan . Başka bir deyişle, açıyı değerine göre döndürür tg.

İşlev y = arktan x sürekli ve tüm sayı doğrusu boyunca sınırlı. İşlev y = arktan x kesin olarak artmaktadır.

Arctg işlev özellikleri.

y = arctg x fonksiyonunun grafiği.

Arktanjant grafiği, apsis ve ordinat eksenleri değiştirilerek teğet grafiğinden elde edilir. Belirsizlikten kurtulmak için, değerler kümesi bir aralıkla sınırlandırılmıştır. , fonksiyon üzerinde monotondur. Bu tanım ark tanjantının ana değeri olarak adlandırılır.

Arctg işlevinin alınması.

bir işlevi var y = tgx. Tüm tanım alanı üzerinde parçalı monotondur ve bu nedenle ters yazışma y = arktan x bir fonksiyon değildir. Bu nedenle, yalnızca arttığı ve tüm değerleri yalnızca 1 kez aldığı segmenti düşünüyoruz - . Böyle bir segmentte y = tgx sadece monoton olarak artar ve tüm değerleri sadece 1 kez alır, yani aralıkta bir tersi vardır y = arktan x, grafiği grafiğe simetriktir y = tgx bir çizgi parçası üzerinde y=x.

Arksin, arkosin nedir? Ark tanjantı, ark tanjantı nedir?

Dikkat!
ek var
malzemeler Özel Bölüm 555.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

kavramlara arksinüs, arkosin, arktanjant, arkotanjant öğrenci nüfusu temkinli. Bu terimleri anlamıyor ve bu nedenle bu şanlı aileye güvenmiyor.) Ama boşuna. Bunlar çok basit kavramlar. Bu arada, hayatı çok daha kolay hale getiriyor. bilen kişi karar verirken trigonometrik denklemler!

Basitlik konusunda kafanız mı karıştı? Boşuna.) Tam burada ve şimdi buna ikna olacaksınız.

Tabii ki, anlamak için bilmek güzel olurdu sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant nedir. evet onlar tablo değerleri bazı açılar için... En azından en genel anlamda. O zaman burada da sorun olmayacak.

Şaşırdık ama unutmayın: arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arktanjant sadece bazı açılardır. Ne fazla ne az. Bir açı var, diyelim 30°. Ve bir açı var arksin0.4. Veya arktg(-1.3). Her türlü açı vardır.) Açıları farklı şekillerde yazabilirsiniz. açıyı şu şekilde yazabilirsiniz derece veya radyan. Veya yapabilirsiniz - sinüsü, kosinüsü, tanjantı ve kotanjantı ile ...

ifade ne anlama geliyor

arksin 0.4?

Bu, sinüsü 0,4 olan açıdır.! Evet evet. Bu, arksinüsünün anlamıdır. Özellikle tekrar ediyorum: arcsin 0.4, sinüsü 0.4 olan bir açıdır.

Ve bu kadar.

Bu basit düşünceyi uzun süre kafamda tutmak için, bu korkunç terimin bir dökümünü bile vereceğim - arksinüs:

yay günah 0,4
enjeksiyon, kimin sinüsü 0,4'e eşittir

Yazıldığı gibi duyulur.) Neredeyse. Önek yay anlamına geliyor yay(kelime kemer biliyor musun?), çünkü eski insanlar köşeler yerine yaylar kullandılar, ancak bu konunun özünü değiştirmez. Matematiksel bir terimin bu temel kodunun çözülmesini hatırlayın! Ayrıca, ark kosinüsü, ark tanjantı ve ark tanjantı için kod çözme sadece fonksiyon adına göre farklılık gösterir.

Arccos 0.8 nedir?
Bu, kosinüsü 0,8 olan bir açıdır.

arctan(-1,3) nedir?
Bu, tanjantı -1.3 olan bir açıdır.

arcctg 12 nedir?
Bu, kotanjantı 12 olan bir açıdır.

Böyle bir temel kod çözme, bu arada, epik gaflardan kaçınmayı sağlar.) Örneğin, arccos1,8 ifadesi oldukça sağlam görünüyor. Kod çözmeye başlayalım: arccos1,8, kosinüsü 1.8'e eşit olan bir açıdır... Hop-hop!? 1.8!? Kosinüs birden büyük olamaz!

Doğru. Arccos1,8 ifadesi mantıklı değil. Ve bir cevapta böyle bir ifade yazmak, doğrulayıcıyı çok eğlendirecektir.)

İlkel, gördüğünüz gibi.) Her açının kendi kişisel sinüsü ve kosinüsü vardır. Ve hemen hemen herkesin kendi tanjantı ve kotanjantı vardır. Bu nedenle, trigonometrik fonksiyonu bilerek açının kendisini yazabilirsiniz. Bunun için arksinüsler, arkkosinüsler, arktanjantlar ve arkotanjantlar amaçlanmıştır. Ayrıca, bütün bu aileye küçücük diyeceğim - kemerler. daha az yazmak için.)

Dikkat! İlköğretim sözlü ve bilinçli kemerlerin şifresini çözmek, çeşitli görevleri sakince ve güvenle çözmenizi sağlar. Ve olağan dışı görevleri sadece o kaydeder.

Kemerlerden sıradan derecelere veya radyanlara geçmek mümkün müdür?- Dikkatli bir soru duyuyorum.)

Neden!? Kolayca. Oraya gidip geri dönebilirsin. Ayrıca, bazen bunu yapmak gerekir. Kemerler basit bir şeydir, ancak onlarsız bir şekilde daha sakin, değil mi?)

Örneğin: arcsin 0.5 nedir?

Şifre çözmeye bakalım: arcsin 0,5, sinüsü 0,5 olan açıdır.Şimdi başınızı (veya Google'ı) açın ve hangi açının sinüsünün 0,5 olduğunu hatırlayın? sinüs 0,5 y 30 derecelik açı. Hepsi bu kadar: arcsin 0.5, 30°'lik bir açıdır. Güvenle yazabilirsiniz:

arksin 0,5 = 30°

Ya da daha sağlam olarak, radyan cinsinden:

İşte bu kadar, ark sinüsünü unutabilir ve normal derece veya radyanlarla çalışabilirsiniz.

eğer anladıysan arksinüs nedir, arkkosinüs ... Arktanjant nedir, arkotanjant ... O zaman, örneğin böyle bir canavarla kolayca başa çıkabilirsiniz.)

Cahil, dehşet içinde geri çekilir, evet ...) Ve bilgili şifre çözmeyi hatırla: ark sinüs, sinüsü olan açıdır ... Eh, vb. Bilgili biri de biliyorsa sinüs tablosu... kosinüs tablosu. Teğet ve kotanjant tablosu, o zaman hiç sorun yok!

Şunu düşünmek yeterli:

deşifre edeceğim, yani. formülü kelimelere çevirin: tanjantı 1 olan açı (arctg1) 45 derecelik bir açıdır. Veya aynı olan Pi/4. Benzer şekilde:

ve hepsi bu... Tüm kemerleri radyan cinsinden değerlerle değiştiriyoruz, her şey azaltılıyor, 1 + 1'in ne kadar olacağını hesaplamak için kalıyor. 2 olur.) Doğru cevap hangisidir.

Yay sinüslerinden, arkkosinüslerden, arktanjantlardan ve arktanjantlardan sıradan derecelere ve radyanlara bu şekilde geçebilirsiniz (ve yapmalısınız). Bu, korkutucu örnekleri büyük ölçüde basitleştirir!

Çoğu zaman, bu tür örneklerde, kemerlerin içinde olumsuz değerler. Arctg(-1.3) veya örneğin arccos(-0.8) gibi... Bu bir problem değil. Negatiften pozitife geçmek için bazı basit formüller:

Diyelim ki bir ifadenin değerini belirlemeniz gerekiyor:

Bunu trigonometrik bir daire kullanarak çözebilirsin, ama onu çizmek istemiyorsun. İyi tamam. Giden olumsuz ark kosinüs içindeki değerler pozitif ikinci formüle göre:

Sağdaki arkkozin içinde zaten pozitif anlam. Ne

sadece bilmek zorundasın. Ark kosinüsü yerine radyanları değiştirmek ve cevabı hesaplamak için kalır:

Bu kadar.

Arksinüs, arkkosinüs, arktanjant, arkkotanjant ile ilgili kısıtlamalar.

Örnek 7 - 9 ile ilgili bir sorun mu var? Evet, orada bir hile var.)

1'den 9'a kadar tüm bu örnekler dikkatlice raflara dizilmiştir. Bölüm 555. Ne, nasıl ve neden. Tüm gizli tuzaklar ve püf noktaları ile. Ayrıca çözümü önemli ölçüde basitleştirmenin yolları. Bu arada, bu bölümde birçok kullanışlı bilgi Ve pratik tavsiye genel olarak trigonometri. Ve sadece trigonometride değil. Çok yardımcı olur.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.