Cebirden gelen ifade türleri şu şekilde olabilir: rasyonel kesirler, bu kesirlerin özdeş dönüşümlerinin özelliğidir. Çoğu zaman cebirsel kesirler için başka bir isim bulabilirsiniz. Böylece rasyonel ve rasyonel kavramların cebirsel kesirler eşdeğerdir.

Rasyonel bir kesri yeni bir paydaya getirmeyi, işaretleri değiştirmeyi, azaltmayı düşünün. Kesirlerin birkaç üslü bir toplam olarak dönüştürülmesi üzerinde duralım. Sonuç olarak, çözümleri ayrıntılı olarak ele aldığımız birkaç örnek veriyoruz.

Rasyonel kesirlerin tanımı ve örnekleri

rasyonel kesir- o kesir, pay paydası doğal, tamsayı ve rasyonel katsayıları olan polinomlar vardır.

Polinomlar, ek dönüşümlerin gerekli olduğunu gösteren standart olmayan bir biçimde verilebilir.

Rasyonel kesirlerin örneklerini düşünün.

örnek 1

2 a 2 b - b, x + 2, 3 x + 2 2 3 x 2 y zx 2 + y 2 + z 2, x 8, 1 4 x 2 - 3 x + 1 2 x + 3 rasyonel kesirler olarak kabul edilir.

Ve 5 (x + y) y 2 - x 4 y ve a b - b a 3 + 1 a + 1 a 2, polinomlu ifadeleri olmadığı için böyle değildir.

Rasyonel bir kesrin pay ve paydasının dönüşümleri

Pay ve payda kendi kendine yeterli kabul edilir sayısal ifadeler. Onlarla çeşitli dönüşümlerin gerçekleştirilebileceğini, yani payda veya paydada ona eşit bir özdeş ifadeyle değiştirilmesine izin verildiğini takip eder.

Özdeş dönüşümleri gerçekleştirmek için, benzer terimleri gruplamak ve getirmek ve paydayı buna benzer daha basit bir ifadeyle değiştirmek gerekir. Paylar ve paydalar polinomlar içerir, bu da onlarla polinomlara benzer dönüşümler yapabileceğiniz anlamına gelir. Ayrıca standart bir forma indirgemeler veya bir ürün şeklinde temsiller olabilir.

Örnek 2

3 a - a b - 2 b 5 6 b + 2 3 7 a ba 3 b 2 - 5 a 2 b + 3 a b - 15'i dönüştürün, böylece pay bir polinomun standart biçimini alır ve payda onların ürünü olur.

Çözüm

İlk önce standart forma getirmeniz gerekir. Derece özelliğini uygulayarak, formun bir ifadesini elde ederiz.

3 a - a b - 2 b 5 6 b + 2 3 7 a b = 3 a - a b - 5 3 b 2 + 2 3 7 a b = = 3 a + - α b + 2 3 7 ab - 5 3 b 2 = 3 a + 1 3 7 ab - 5 3 b 2

Payda dönüşümleri yapmanız gerekir. Onu bir ürün olarak temsil ediyoruz, yani onu polinomlara ayırıyoruz. Bunu yapmak için, birinci ve üçüncü terimleri ve ikinciyi dördüncü ile gruplandırıyoruz. Ortak çarpanı parantezlerden alıyoruz ve formun bir ifadesini alıyoruz

a 3 b 2 - 5 a 2 b + 3 a b - 15 = (a 3 b 2 + 3 a b) + (- 5 a 2 b - 15) = = a b (a 2 b + 3) - 5 (a 2 b + 3)

Ortaya çıkan ifadenin, elde etmek için parantezlerden çıkarılması gereken ortak bir faktöre sahip olduğu görülebilir.

a b (a 2 b + 3) - 5 (a 2 b + 3) = a 2 b + 3 (a b - 5)

Şimdi polinomların ürününe geliyoruz.

Dönüşümlerden sonra, verilen kesrin 3 a + 1 3 7 a b - 5 3 b 2 a 2 b + 3 (a b - 5) şeklini aldığını elde ederiz.

Cevap: 3 a - a b - 2 b 5 6 b + 2 3 7 a ba 3 b 2 - 5 a 2 b + 3 a b - 15 = 3 a + 1 3 7 ab - 5 3 b 2 a 2 b + 3 ( ab - 5) .

Dönüşüm verilerinin dönüşümlerde kullanılması gerekir.

Yeni bir paydaya indirgeme

Sıradan kesirleri incelerken, pay ve paydayı herhangi biriyle çarparken, bir kesrin ana özelliği ile tanışırız. doğal sayı, bir öncekine eşit kesri elde ederiz. Bu özellik rasyonel kesirler için de geçerlidir: sıfır olmayan bir polinom pay ve payda ile çarpıldığında, öncekine eşit bir kesir elde ederiz.

b ve c'nin sıfır olmadığı herhangi bir a , b ve c polinomu için, a b = a c b c formunun eşitliği doğrudur, o zaman bunlar bir özdeşliktir. Örneğin, x y + 1 2 x - 5 = (x y + 1) (x 2 + 3 b 2) (2 x - 5) (x 2 + 3 b 2), x ve y değişkenlerinin tüm ODZ'si için geçerlidir.

Bundan çıkar ki, çözerken rasyonel bir kesrin yeni bir paydaya indirgenmesinin kullanılması gerekir, yani hem payın hem de paydanın sıfır olmayan bir polinomla çarpılması. Sonuç olarak, verilene eşit bir kesir elde ederiz.

x - y 2 · x formunun böyle bir rasyonel kesri örneğini düşünürsek, yeni bir paydaya indirgendiğinde, yeni bir tane elde ederiz, ancak öncekine eşit. Pay ve paydayı x 2 + y ifadesiyle çarpmak gerekir, o zaman dönüşümü kullanarak x - yx 2 + y 2 x (x 2 + y) ifadesinin x 3 rasyonel kesri şeklini alacağına sahibiz. + xy - x 2 y - y 2 2 x 3 + 2 x y . Bu tür indirgemeler, kesirleri eklemek veya çıkarmak için kullanılır. Cebirsel kesirleri yeni bir paydaya getirme bölümünde bilginizi derinleştirebilirsiniz.

Bir kesrin önünde, payında ve paydasında değişen işaretler

Bir kesrin temel özelliği, kesrin terimlerinin işaretlerini değiştirebilmek için kullanılır. Bu dönüşümler rasyonel kesirler için tipiktir.

tanım 2

Pay ve paydanın işaretlerinde eşzamanlı bir değişiklikle, verilene eşit bir kesir elde ederiz. Bu ifadeyi şöyle yazalım - a - b = a b .

Bir örnek düşünün.

Örnek 3

- x - 2 x - y formunun bir kısmı, buna eşit x + 2 y - x ile değiştirilir.

tanım 3

Kesirlerle çalışırken, işareti yalnızca payda veya yalnızca paydada değiştirebilirsiniz. Bir kesrin işaretini değiştirerek, özdeş olarak eşit bir kesir elde ederiz. Bu ifadeyi şöyle yazalım:

a b = - - a b ve a b = - a - b .

Kanıt

İlk özellik ispat için kullanılır. Şunu elde ederiz - - ab = - ((- a) : b) = (- 1) (((- 1) a) : b) = (- 1) (- 1) a: b = a : b=ab .

Dönüşümlerin yardımıyla, a b = - a - b formunun eşitliği kanıtlanır.

Örnek 4

Örneğin, x x - 1 yerine - - x x - 1 veya - x 1 - x .

Formun iki faydalı eşitliği vardır - a b = - a b ve a - b = - a b . Buradan, paydaki veya sadece paydadaki işaret değiştiğinde, kesrin işaretinin değişeceğini fark ederiz. - 3 x 3 y + z = - 3 x 3 y + z ve x + 3 - x + 5 = - x + 3 x - 5 elde ederiz.

Çoğu zaman, bu tür dönüşümler, kesirli rasyonel ifadeler ve bunların dönüşümleri için uygundur.

Rasyonel kesirlerin azaltılması

Dönüşümün temeli, kesrin bir özelliğidir. Yani, a c b c = a b uygulanır, burada a , b ve c bazı polinomlardır, burada b ve c sıfırdır.

Örnek 5

Kesri 2 x 2 y 3 2 x y 7 azaltın.

Çözüm

2'nin ortak bir faktör olduğuna dikkat edin, bu nedenle ifadeyi onunla azaltmanız gerekir. 2 x 2 y 3 2 x y 7 = 2 x 2 y 3 2 x y 7 = x 2 y 3 x y 7 elde ederiz. açık ki x 2 \u003d x x ve y 7 = y 3 y 4, sonra x ortak faktördür. İndirgemeden sonra, x 2 y 3 x y 7 = (x x) y 3 x (y 3 y 4) = x y 4 elde ederiz. İndirgeme sırayla gerçekleştirilir, bu da 2 x 2 y 3 2 x y 7 = (2 x y 3) x (2 x y 3) y 4 = x y 4 yanıtlarını almayı mümkün kılar.

Yanıt vermek: 2 x 2 y 3 2 x y 7 = x y 4 .

İndirgeme sırasında ortak payda her zaman görünmez. Bu küçük sorun. Bunu hemen görmek her zaman mümkün değildir. Pay ve paydayı çarpanlara ayırmanız gerekebilir. Bu karar vermeyi kolaylaştıracaktır. Cebirsel kesirlerin azaltılması konusunda nüanslar ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

Azaltırken, çoğu zaman hem payı hem de paydayı faktörlere ayırmanın gerekli olduğuna dikkat etmek önemlidir.

Kesirlerin toplamı olarak rasyonel bir kesrin temsili

Birkaç kesir varsa, dönüştürme özel bir şekilde gerçekleştirilir. Böyle bir rasyonel kesir, tek terimlilerin olduğu bir ifade olarak temsil edilmelidir.

Örnek 6

Örneğin, 3 a 2 + a b - 5 a + b = 3 a 2 a + b + a b a + b - 5 a + b.

Bu, paydaları benzer olan kesirlerde toplama ve çıkarma kuralına dayanır.

Herhangi bir rasyonel kesir, farklı şekillerde kesirlerin toplamı olarak temsil edilir. Bunu a b = c d + a b - c d şeklinde yazıyoruz. x y - x x + 1 kesirlerin toplamı olarak temsil edilirse, formun ifadelerini alırız

x y - xx + 1 = 1 x + x 2 y - x 2 - x - 1 x 2 + x, x y - xx + 1 = xx - 1 + x 2 y - x y - 2 x 2 x 2 - 1 ve benzeri .

Tek değişkenli rasyonel kesirlerin temsilleri özel bir gruba ayrılır. Böyle bir kesrin üssü, paydanın üssüne eşit veya ondan büyük olduğunda, rasyonel bir ifadenin toplamının dönüşümüne geçilir. Yani bir polinomun bir polinomla bölünmesi gerçekleştirilir.

Örnek 7

n'nin hangi değerleri n 4 - 2 n 3 + 4 n - 5 n - 2 tamsayı kesirleridir?

Çözüm

Orijinal kesri ifadelerin toplamı ve kesir olarak sunmak gerekir. Pay ve paydayı böldükten sonra, n 4 - 2 n 3 + 4 n - 5 n - 2 = n 3 + 4 + 3 n - 2 biçiminde bir ifade elde ederiz. Bu gösterir ki n 3 + 4 herhangi bir n için bir tam sayı olacaktır. Ve 3 n - 2 kesri n = 3 , n = 1 , n = 5 ve n = − 1'de tamsayı değerleri alır.

Yanıt vermek: − 1 , 1 , 3 , 5 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

42. maddede, polinomların bölünmesi tam olarak yapılamıyorsa, bölümün, payın pay ve bölenin payda olduğu kesirli bir ifade olarak yazıldığı söylendi.

Kesirli ifadelere örnekler:

Kesirli bir ifadenin payı ve paydası kesirli ifadeler olabilir, örneğin:

Kesirli cebirsel ifadelerden, genellikle pay ve paydanın polinom olduğu (özellikle tek terimli) ifadelerle uğraşmak gerekir. Bu tür ifadelerin her birine cebirsel kesir denir.

Tanım. Payı ve paydası polinom olan bir kesir olan cebirsel ifadeye cebirsel kesir denir.

Aritmetikte olduğu gibi, cebirsel bir kesrin pay ve paydasına kesrin terimleri denir.

Gelecekte, cebirsel kesirler üzerindeki eylemleri inceledikten sonra, aynı dönüşümlerin yardımıyla herhangi bir kesirli ifadeyi cebirsel bir kesre dönüştürebiliriz.

Cebirsel kesirlere örnekler:

Tüm ifadenin, yani polinomun bir kesir olarak yazılabileceğine dikkat edin, bunun için bu ifadeyi payda ve 1'i paydada yazmak yeterlidir.

2. Geçerli harf değerleri.

Yalnızca payda bulunan harfler herhangi bir değer alabilir (sorunun durumu tarafından ek kısıtlamalar getirilmezse).

Paydada yer alan harfler için sadece paydayı sıfıra çevirmeyen değerler geçerlidir. Bu nedenle, aşağıda her zaman cebirsel bir kesrin paydasının sıfıra eşit olmadığını varsayacağız.

Bu makale, cebirsel kesirlerin dönüşümü temasına devam ediyor: cebirsel kesirlerin azaltılması gibi bir eylemi düşünün. Terimin kendisini tanımlayalım, kısaltma kuralını formüle edelim ve pratik örnekleri analiz edelim.

Cebirsel Kesir Kısaltmasının Anlamı

Sıradan kesirdeki malzemelerde, indirgenmesini düşündük. Ortak bir kesrin indirgenmesini, payını ve paydasını ortak bir faktöre bölmek olarak tanımladık.

Cebirsel bir kesri azaltmak da benzer bir işlemdir.

tanım 1

cebirsel kesir azaltma pay ve paydasının ortak bir çarpana bölünmesidir. Bu durumda, sıradan bir kesrin indirgenmesinin aksine (sadece bir sayı ortak payda olabilir), bir polinom, özellikle bir tek terimli veya bir sayı, bir cebirsel kesrin payı ve paydası için ortak bir faktör olarak hizmet edebilir.

Örneğin, 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 cebirsel kesri 3 sayısına indirgenebilir, bunun sonucunda şunu elde ederiz: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2. Aynı kesri x değişkeniyle azaltabiliriz ve bu bize 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 ifadesini verecektir. Belirli bir kesri bir tek terimli ile azaltmak da mümkündür. 3x veya polinomlardan herhangi biri x + 2 yıl, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y veya 3 x 2 + 6 x y.

Bir cebirsel kesri azaltmanın nihai amacı, daha basit bir formun bir kesri, en iyi ihtimalle indirgenemez bir kesirdir.

Tüm cebirsel kesirler indirgemeye tabi midir?

Yine adi kesirlerdeki malzemelerden indirgenebilir ve indirgenemez kesirler olduğunu biliyoruz. İndirgenemez kesirlere sahip olmayan kesirler Ortak faktörler pay ve payda 1 dışında.

Cebirsel kesirler ile her şey aynıdır: pay ve paydanın ortak faktörlerine sahip olabilirler veya olmayabilirler. Ortak faktörlerin varlığı, orijinal kesri indirgeme yoluyla basitleştirmenize izin verir. Ortak çarpanlar olmadığında, belirli bir kesri indirgeme yöntemiyle optimize etmek imkansızdır.

Genel durumlarda, belirli bir kesir türü için indirgemeye tabi olup olmadığını anlamak oldukça zordur. Elbette bazı durumlarda pay ve paydanın ortak bir çarpanının varlığı açıktır. Örneğin, cebirsel kesir 3 · x 2 3 · y'de ortak çarpanın 3 olduğu oldukça açıktır.

Bir kesirde - x · y 5 · x · y · z 3, onu x, veya y veya x · y ile azaltmanın mümkün olduğunu da hemen anlıyoruz. Ve yine de, cebirsel kesir örnekleri, pay ve paydanın ortak faktörünün görülmesi o kadar kolay olmadığında ve daha sık olarak - basitçe bulunmadığında çok daha yaygındır.

Örneğin, belirtilen ortak faktör kayıtta değilken x 3 - 1 x 2 - 1 kesirini x - 1 azaltabiliriz. Ancak x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 kesri, pay ve paydanın ortak bir çarpanı olmadığından indirgenemez.

Bu nedenle, bir cebirsel kesrin büzülebilirliğini bulma sorunu o kadar basit değildir ve belirli bir formun bir kesriyle çalışmak, onun büzülebilir olup olmadığını bulmaya çalışmaktan genellikle daha kolaydır. Bu durumda, belirli durumlarda pay ve paydanın ortak faktörünü belirlememize veya kesrin indirgenemez olduğu sonucuna varmamıza izin veren bu tür dönüşümler gerçekleşir. Bu konuyu makalenin bir sonraki paragrafında ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Cebirsel kesir azaltma kuralı

Cebirsel kesir azaltma kuralı ardışık iki adımdan oluşur:

• pay ve paydanın ortak çarpanlarını bulma;
• Böyle bir durumda, kesri azaltma doğrudan eyleminin uygulanması.

Ortak paydaları bulmak için en uygun yöntem, verilen bir cebirsel kesrin pay ve paydasında bulunan polinomları çarpanlarına ayırmaktır. Bu, ortak faktörlerin varlığını veya yokluğunu hemen görsel olarak görmenizi sağlar.

Bir cebirsel kesri azaltma eylemi, bir cebirsel kesrin ana özelliğine dayanır; bu, a , b , c'nin bazı polinomlar olduğu ve b ve c'nin sıfırdan farklı olduğu tanımsız eşitlikle ifade edilir. İlk adım, kesri, ortak faktör c'yi hemen fark ettiğimiz a c b c biçimine indirgemektir. İkinci adım, azaltmayı gerçekleştirmektir, yani. a b formunun bir fraksiyonuna geçiş.

Tipik örnekler

Bazı açıklığa rağmen, bir cebirsel kesrin pay ve paydasının eşit olduğu özel durumu açıklığa kavuşturalım. Benzer kesirler, bu kesrin değişkenlerinin tüm ODZ'sinde aynı şekilde 1'e eşittir:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2x3 - 3, 2x3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

kadarıyla ortak kesirler cebirsel kesirlerin özel bir durumu varsa, onların indirgemelerinin nasıl yapıldığını hatırlayalım. Pay ve paydada yazılan doğal sayılar asal çarpanlarına ayrıştırılır, daha sonra (varsa) ortak çarpanlar indirgenir.

Örneğin, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Basit özdeş faktörlerin ürünü derece olarak yazılabilir ve kesir azaltma sürecinde dereceleri bölme özelliğini kullanın. aynı gerekçeler. O zaman yukarıdaki çözüm şöyle olacaktır:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(pay ve paydanın ortak bir faktöre bölümü 2 2 3). Veya netlik için çarpma ve bölme özelliklerine dayanarak çözüme aşağıdaki formu vereceğiz:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Benzetme yoluyla, pay ve paydanın tamsayı katsayılarına sahip tek terimlilere sahip olduğu cebirsel kesirlerin azaltılması gerçekleştirilir.

örnek 1

Verilen bir cebirsel kesir - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Azaltılması gerekiyor.

Çözüm

Belirli bir kesrin payını ve paydasını asal çarpanların ve değişkenlerin bir ürünü olarak yazmak ve sonra azaltmak mümkündür:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Ancak, daha rasyonel bir şekildeçözüm, güçlere sahip bir ifade olarak yazılacaktır:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 cc 7 zz = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Yanıt vermek:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Bir cebirsel kesrin payında ve paydasında kesirli sayısal katsayılar olduğunda, daha fazla eylemin iki olası yolu vardır: ya bu kesirli katsayıları ayrı ayrı bölün ya da önce pay ve paydayı bir doğal sayı ile çarparak kesirli katsayılardan kurtulun. . Son dönüşüm, bir cebirsel kesrin ana özelliği nedeniyle gerçekleştirilir (bunun hakkında “Cebirsel kesri yeni bir paydaya indirgeme” makalesinde okuyabilirsiniz).

Örnek 2

2 5 x 0 , 3 x 3 kesri verildi. Azaltılması gerekiyor.

Çözüm

Kesri şu şekilde azaltmak mümkündür:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Daha önce kesirli katsayılardan kurtulmuş olarak sorunu farklı bir şekilde çözmeye çalışalım - pay ve paydayı bu katsayıların paydalarının en küçük ortak katı ile çarpıyoruz, yani. LCM(5, 10) başına = 10. Sonra şunu elde ederiz:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Cevap: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Payların ve paydaların hem tek terimli hem de polinom olabileceği genel cebirsel kesirleri indirdiğimizde, ortak faktör her zaman hemen görünür olmadığında bir sorun mümkündür. Ya da bundan daha fazlası, basitçe mevcut değil. Daha sonra, ortak faktörü belirlemek veya yokluğu gerçeğini sabitlemek için cebirsel kesrin payı ve paydası çarpanlara ayrılır.

Örnek 3

Verilen bir rasyonel kesir 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Kısalması gerekiyor.

Çözüm

Pay ve paydadaki polinomları çarpanlarına ayıralım. Parantezleri yapalım:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Parantez içindeki ifadenin kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak dönüştürülebileceğini görüyoruz:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Kesri ortak bir faktörle azaltmanın mümkün olduğu açıkça görülmektedir. b2 (a + 7). Bir azalma yapalım:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Bir eşitlikler zinciri olarak açıklama yapmadan kısa bir çözüm yazıyoruz:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Yanıt vermek: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Ortak faktörlerin sayısal katsayılarla gizlendiği görülür. Daha sonra, kesirleri azaltırken, pay ve paydanın daha yüksek güçlerinde sayısal faktörleri çıkarmak en uygunudur.

Örnek 4

Verilen bir cebirsel kesir 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Mümkünse azaltılmalıdır.

Çözüm

İlk bakışta, pay ve payda yoktur ortak payda. Ancak, verilen kesri dönüştürmeye çalışalım. Paydaki x faktörünü çıkaralım:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Şimdi parantez içindeki ifade ile paydadaki ifade arasında x 2 y nedeniyle bir miktar benzerlik görebilirsiniz. . Bu polinomların daha yüksek güçlerinde sayısal katsayılarını çıkaralım:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Şimdi ortak çarpan görünür hale geliyor, indirgemeyi yapıyoruz:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Yanıt vermek: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Rasyonel kesirleri azaltma becerisinin polinomları çarpanlarına ayırma yeteneğine bağlı olduğunu vurgulayalım.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

WikiHow, makalelerimizin çoğunun birden fazla yazar tarafından yazıldığı anlamına gelen bir wiki'dir. Bu makaleyi oluştururken, anonim olarak dahil olmak üzere 9 kişi düzenleme ve iyileştirme üzerinde çalıştı.

Cebirsel kesirler ilk bakışta çok karmaşık görünebilir ve hazırlıksız bir öğrenci onlarla bir şey yapmanın imkansız olduğunu düşünebilir. Değişkenlerin, sayıların ve hatta güçlerin yığılması korku uyandırır. Ancak, kesirleri (15/25 gibi) ve cebirsel kesirleri azaltmak için aynı kurallar kullanılır.

adımlar

kesir azaltma

için adımlara göz atın basit kesirler. Adi ve cebirsel kesirli işlemler benzerdir. Örneğin, 15/35 kesirini alın. Bu kesri sadeleştirmek için, ortak bölen bulmak. Her iki sayı da beşe bölünebilir, bu nedenle pay ve paydada 5'i çıkarabiliriz:

Şimdi yapabilirsin ortak faktörleri azaltmak yani pay ve paydadaki 5'in üzerini çizin. Sonuç olarak, basitleştirilmiş bir kesir elde ederiz. 3/7 . Cebirsel ifadelerde, ortak faktörler, sıradan olanlarla aynı şekilde ayırt edilir. Önceki örnekte, 15'ten 5'ini kolayca çıkarabildik - aynı ilke 15x - 5 gibi daha karmaşık ifadeler için de geçerlidir. Ortak çarpanı bulalım. Bu durumda, her iki terim de (15x ve -5) 5'e bölünebildiği için 5 olacaktır. Daha önce olduğu gibi, ortak çarpanı seçip aktarıyoruz. Sola.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Her şeyin doğru olup olmadığını kontrol etmek için, parantez içindeki ifadeyi 5 ile çarpmanız yeterlidir - sonuç, ilk baştaki sayılarla aynı olacaktır. Karmaşık terimler, basit terimlerle aynı şekilde ayırt edilebilir. Cebirsel kesirler için, sıradan kesirler için geçerli olan aynı ilkeler geçerlidir. Bu, bir kesri azaltmanın en kolay yoludur. Aşağıdaki kesri göz önünde bulundurun:

Hem payın (üst) hem de paydanın (alt) bir terimi (x+2) olduğuna dikkat edin, bu nedenle 15/35'teki ortak faktör 5 ile aynı şekilde indirgenebilir:

Sonuç olarak, basitleştirilmiş bir ifade elde ederiz: (x-3)/(x+10)

Cebirsel kesirlerin azaltılması

Payda, yani kesrin en üstünde ortak çarpanı bulun. Bir cebirsel kesri azaltırken, ilk adım her iki parçasını da sadeleştirmektir. Pay ile başlayın ve onu mümkün olduğunca çok parçaya ayırmaya çalışın. daha fazlaçarpanlar. Bu bölümde aşağıdaki kesri göz önünde bulundurun:

Pay ile başlayalım: 9x - 3. 9x ve -3 için ortak faktör 3 sayısıdır. Sıradan sayılarda yaptığımız gibi parantezlerden 3 tane alalım: 3 * (3x-1). Bu dönüşümün bir sonucu olarak, aşağıdaki kesir elde edilecektir:

Payda ortak çarpanı bulunuz. Yukarıdaki örneğin yürütülmesine devam edelim ve paydayı yazalım: 15x+6. Daha önce olduğu gibi, her iki parçanın da hangi sayıya bölünebileceğini buluruz. Ve bu durumda ortak çarpan 3'tür, yani şunu yazabiliriz: 3 * (5x +2). Kesri aşağıdaki biçimde yeniden yazalım:

Aynı terimleri azaltın. Bu adımda kesri sadeleştirebilirsiniz. Pay ve paydadaki aynı terimleri iptal edin. Örneğimizde bu sayı 3'tür.

Kesrin en basit forma sahip olduğunu belirleyin. Payda ve paydada ortak bölen kalmadığında kesir tamamen basitleştirilir. Parantez içindeki terimleri kısaltamayacağınızı unutmayın - yukarıdaki örnekte, (3x -1) ve (5x + 2) tam üyeler olduğundan, x'i 3x ve 5x'ten çıkarmanın bir yolu yoktur. Bu nedenle, kesir daha fazla sadeleştirmeye uygun değildir ve son cevap aşağıdaki gibidir:

Kesirleri kendiniz azaltma alıştırması yapın. Yöntemi öğrenmenin en iyi yolu, sorunları kendi başınıza çözmektir. Doğru cevaplar örneklerin altında verilmiştir.

Yanıt vermek:(x=13)

Yanıt vermek:(2x-1)/5

Özel Hareketler

Çıkarmak negatif işareti fraksiyonun ötesinde. Bize aşağıdaki kesir verildiğini varsayalım:

(x-4) ve (4-x) "neredeyse" özdeştir, ancak "çevrilmiş" oldukları için doğrudan iptal edilemezler. Ancak (x - 4), -1 * (4 - x) şeklinde yazılabilir, tıpkı (4 + 2x)'in 2 * (2 + x) şeklinde yazılabileceği gibi. Buna "işaret tersine çevirme" denir.

Şimdi aynı terimleri (4-x) azaltabilirsiniz:

İşte son cevap: -3/5 . Karelerin farkını tanımayı öğrenin. Karelerin farkı, (a 2 - b 2) ifadesinde olduğu gibi, bir sayının karesinin başka bir sayının karesinden çıkarılmasıdır. Tam karelerin farkı her zaman iki parçaya ayrılabilir - karşılık gelenlerin toplamı ve farkı Karekök. O zaman ifade aşağıdaki formu alacaktır:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Bu numara, cebirsel kesirlerde ortak terimler ararken çok kullanışlıdır.

• Bunu veya bu ifadeyi doğru şekilde çarpanlarına ayırıp ayırmadığınızı kontrol edin. Bunu yapmak için faktörleri çarpın - sonuç aynı ifade olmalıdır.
• Bir kesri tamamen sadeleştirmek için her zaman en büyük çarpanları seçin.

Bu ders cebirsel kesir kavramını tartışır. Bir kişi en basit yaşam durumlarında kesirlerle karşılaşır: bir nesneyi birkaç parçaya bölmek gerektiğinde, örneğin bir pastayı on kişiye eşit olarak kesmek için. Elbette herkes pastadan pay alacak. Bu durumda, sayısal bir kesir kavramıyla karşı karşıyayız, ancak bir nesne bilinmeyen sayıda parçaya, örneğin x'e bölündüğünde bir durum mümkündür. Bu durumda, kesirli bir ifade kavramı ortaya çıkar. Tamsayı ifadeleri (değişkenli ifadelere bölme içermeyen) ve bunların özellikleri ile 7. sınıfta tanıştınız. Daha sonra, değişkenlerin izin verilen değerlerinin yanı sıra rasyonel bir kesir kavramını ele alacağız.

Rasyonel ifadeler ikiye ayrılır. tamsayı ve kesirli ifadeler.

Tanım.rasyonel kesir polinomların olduğu formun kesirli bir ifadesidir. - pay paydası.

Örneklerrasyonel ifadeler:- kesirli ifadeler; tamsayı ifadeleridir. Örneğin ilk ifadede pay , payda ise .

Anlam cebirsel kesir, herhangi biri gibi cebirsel ifade, içerdiği değişkenlerin sayısal değerine bağlıdır. Özellikle, ilk örnekte kesrin değeri, değişkenlerin değerlerine ve ikincisinde yalnızca değişkenin değerine bağlıdır.

İlk tipik görevi düşünün: değeri hesaplama rasyonel kesir içerdiği değişkenlerin farklı değerleri için.

örnek 1 a), b), c) için kesrin değerini hesaplayın

Çözüm. Değişkenlerin değerlerini belirtilen kesirde değiştirin: a), b), c) - mevcut değil (çünkü sıfıra bölemezsiniz).

Yanıt vermek: a) 3; b) 1; c) yoktur.

Gördüğünüz gibi, herhangi bir kesir için iki tipik problem vardır: 1) kesri hesaplamak, 2) bulma geçerli ve geçersiz değerler gerçek değişkenler.

Tanım.Geçerli Değişken Değerleri ifadenin anlamlı olduğu değişkenlerin değerleridir. Değişkenlerin tüm kabul edilebilir değerlerinin kümesine denir ODZ veya alan adı.

Bu değerler için kesrin paydası sıfır ise, değişmez değişkenlerin değeri geçersiz olabilir. Diğer tüm durumlarda, kesir hesaplanabildiği için değişkenlerin değerleri geçerlidir.

Örnek 2

Çözüm. Bu ifadenin anlamlı olması için kesrin paydasının sıfıra eşit olmaması gerekli ve yeterlidir. Bu nedenle, yalnızca paydasının sıfıra eşit olacağı değişkenin değerleri geçersiz olacaktır. Kesrin paydası, yani lineer denklemi çözüyoruz:

Bu nedenle, değişkenin değeri için kesir anlamlı değildir.

Yanıt vermek: -5.

Örneğin çözümünden, değişkenlerin geçersiz değerlerini bulma kuralı şöyledir - kesrin paydası sıfıra eşittir ve karşılık gelen denklemin kökleri bulunur.

Birkaç benzer örneğe bakalım.

Örnek 3 Bir değişkenin hangi değerlerinde bir kesrin anlamlı olmadığını belirleyin .

Çözüm..

Yanıt vermek..

Örnek 4 Kesrin değişkenin hangi değerleri için anlamlı olmadığını belirleyin.

Çözüm..

Bu sorunun başka formülasyonları da var - bulmak için alan adı veya geçerli ifade değerleri aralığı (ODZ). Bunun anlamı - değişkenlerin tüm geçerli değerlerini bulun. Örneğimizde, bunların tümü hariç değerlerdir. Tanım alanı, sayısal eksende uygun bir şekilde tasvir edilmiştir.

Bunu yapmak için, şekilde gösterildiği gibi üzerinde bir nokta keseceğiz:

Pirinç. bir

Böylece, kesir alanı 3 hariç tüm sayılar olacaktır.

Yanıt vermek..

Örnek 5 Kesrin değişkenin hangi değerleri için anlamlı olmadığını belirleyin.

Çözüm..

Ortaya çıkan çözümü sayısal eksende gösterelim:

Pirinç. 2

Yanıt vermek..

Örnek 6

Çözüm.. İki değişkenin eşitliğini elde ettik, veriyoruz sayısal örnekler: veya vb.

Bu çözümü Kartezyen koordinat sistemindeki bir grafik üzerinde çizelim:

Pirinç. 3. Bir fonksiyonun grafiği

Bu grafikte yer alan herhangi bir noktanın koordinatları, kesrin kabul edilebilir değerleri alanına dahil değildir.

Yanıt vermek..

İncelenen örneklerde sıfıra bölmenin meydana geldiği bir durumla karşı karşıya kaldık. Şimdi, tip bölünmesiyle daha ilginç bir durumun ortaya çıktığı durumu düşünün.

Örnek 7 Kesrin anlamlı olmadığını değişkenlerin hangi değerleri için belirleyin.

Çözüm..

Kesirin ne zaman anlamlı olmadığı ortaya çıkıyor. Ancak durumun böyle olmadığı söylenebilir, çünkü: .

Son ifade için 8'e eşitse, orijinal ifade de hesaplanabilir ve bu nedenle için mantıklı görünebilir. Ancak, onu orijinal ifadenin yerine koyarsak, bir anlam ifade etmiyoruz.

Yanıt vermek..

Bu örneği daha ayrıntılı anlamak için aşağıdaki sorunu çözüyoruz: Belirtilen kesir hangi değerler için sıfıra eşittir?