Size bu dersin anladığını hatırlatırız güç özellikleri doğal göstergeler ve sıfır ile. Rasyonel dereceler ve özellikleri 8. sınıf derslerinde işlenecektir.

Doğal bir üs, üs örneklerinde hesaplamayı kolaylaştıran birkaç önemli özelliğe sahiptir.

Mülk numarası 1
Derecelerin ürünü

Unutma!

Dereceleri aynı tabanlarla çarparken taban değişmeden kalır ve üsler toplanır.

a m · a n = a m + n, burada "a" herhangi bir sayıdır ve "m", "n" herhangi bir doğal sayıdır.

Derecelerin bu özelliği, üç veya daha fazla derecenin çarpımını da etkiler.

• Ifadeyi basitleştir.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Derece olarak sunmak.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Derece olarak sunmak.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Önemli!

Lütfen belirtilen özellikte sadece güçlerin çarpımı ile ilgili olduğunu unutmayın. aynı gerekçelerle ... Onların eklenmesi için geçerli değildir.

Tutarı (3 3 + 3 2) 3 5 ile değiştiremezsiniz. Bu anlaşılabilir eğer
say (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ve 3 5 = 243

Mülk numarası 2
Özel dereceler

Unutma!

Dereceleri aynı tabanlarla bölerken, taban değişmeden kalır ve bölenin üssü temettü üssünden çıkarılır.

# 1 ve # 2 özelliklerini kullanarak ifadeleri kolayca basitleştirebilir ve hesaplamalar yapabilirsiniz.

• Örnek. Ifadeyi basitleştir.
  4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5
• Örnek. Derecenin özelliklerini kullanarak bir ifadenin değerini bulun.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Önemli!

  Özellik 2'de yalnızca dereceleri aynı temellere bölmekten bahsettiğimizi lütfen unutmayın.

  Farkı (4 3 −4 2) 4 1 ile değiştiremezsiniz. sayarsan anlaşılır (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , ve 4 1 = 4

  Dikkat olmak!

  Mülk numarası 3
  üs alma

  Unutma!

  Bir gücü bir güce yükseltirken, gücün tabanı değişmeden kalır ve üsler çarpılır.

  (a n) m = a n · m, burada "a" herhangi bir sayıdır ve "m", "n" herhangi bir doğal sayıdır.

  
  

  Özellikler 4
  iş derecesi

  Unutma!

  Bir ürünün gücüne yükseltilirken, faktörlerin her biri bir güce yükseltilir. Daha sonra sonuçlar çarpılır.

  (a · b) n = a n · b n, burada "a", "b" herhangi bir rasyonel sayıdır; "N" herhangi bir doğal sayıdır.

  • Örnek 1.
    (6 a 2 b 3 s) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Örnek 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Önemli!

  Özellik # 4'ün, diğer güç özellikleri gibi, ters sırada uygulandığına dikkat edin.

  (bir n b n) = (bir b) n

  Yani aynı göstergelerle dereceleri çarpmak için tabanları çarpabilir ve üs değişmeden bırakılabilir.

  • Örnek. Hesaplamak.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Örnek. Hesaplamak.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Daha karmaşık örneklerde, çarpma ve bölmenin farklı tabanlar ve farklı üslerle dereceler üzerinde yapılması gereken durumlar olabilir. Bu durumda, aşağıdaki gibi ilerlemenizi tavsiye ederiz.

  Örneğin, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Ondalık bir güce yükseltme örneği.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Özellikler 5
  Bölüm derecesi (kesir)

  Unutma!

  Bir kuvvete bir bölüm yükseltmek için, bu kuvvete ayrı bir temettü ve bölen yükseltebilir ve ilk sonucu ikinciye bölebilirsiniz.

  (a: b) n = a n: b n, burada “a”, “b” herhangi bir rasyonel sayıdır, b ≠ 0, n herhangi bir doğal sayıdır.

  • Örnek. İfadeyi özel dereceler şeklinde sunun.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Bölümün bir kesir olarak gösterilebileceğini hatırlatırız. Bu nedenle, bir sonraki sayfada bir kesri bir güce yükseltme konusunu daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

Dereceleri nasıl çoğaltırsınız? Hangi dereceler çarpılabilir, hangileri çoğaltılamaz? Bir sayı bir derece ile nasıl çarpılır?

Cebirde derecelerin çarpımı iki durumda bulunabilir:

1) Derecelerin tabanları aynı ise;

2) dereceler aynı göstergelere sahipse.

Dereceleri aynı tabanlarla çarparken, taban aynı bırakılmalı ve göstergeler eklenmelidir:

Dereceleri aynı göstergelerle çarparken, toplam gösterge parantezlerden çıkarılabilir:

Belirli örnekler kullanarak derecelerin nasıl çarpılacağına bakalım.

Üsteki birim yazılmaz, ancak dereceler çarpılırken şunlar dikkate alınır:

Çarparken, derece sayısı herhangi biri olabilir. Harften önce çarpma işaretini yazmanıza gerek olmadığı unutulmamalıdır:

İfadelerde önce üs alma işlemi yapılır.

Bir sayıyı bir kuvvetle çarpmanız gerekiyorsa, önce üs alma, ardından çarpma işlemini yapmanız gerekir:

www.algebraclass.ru

Toplama, çıkarma, çarpma ve güçlerin bölünmesi

Yetkileri toplama ve çıkarma

Açıkçası, diğer nicelikler gibi, güçleri olan sayılar da eklenebilir. , işaretleri ile tek tek ekleyerek.

Yani a 3 ve b 2'nin toplamı a 3 + b 2'dir.
a 3 - b n ve h 5 -d 4'ün toplamı a 3 - b n + h 5 - d 4'tür.

oranlar aynı değişkenlerin aynı dereceleri eklenebilir veya çıkarılabilir.

Yani 2a 2 ve 3a 2'nin toplamı 5a 2'dir.

Ayrıca, iki a karesi veya üç a karesi veya beş a karesi alırsanız, açıktır.

Ama dereceler farklı değişkenler ve değişen dereceler özdeş değişkenler, işaretleri ile eklenmesiyle eklenmelidir.

Yani, 2 ve 3'ün toplamı, 2 + a 3'ün toplamıdır.

a'nın karesi ve a'nın küpünün, a'nın karesinin iki katına değil, a'nın küpünün iki katına eşit olduğu açıktır.

a 3 b n ve 3a 5 b 6'nın toplamı a 3 b n + 3a 5 b 6'dır.

Çıkarma dereceler toplama ile aynı şekilde gerçekleştirilir, ancak çıkarılan işaretlerin buna göre değiştirilmesi gerekir.

Veya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

derecelerin çarpımı

Kuvvetli sayılar, diğer nicelikler gibi, aralarında çarpma işareti olsun ya da olmasın, birbiri ardına yazılarak çarpılabilir.

Yani a 3'ü b 2 ile çarpmanın sonucu a 3 b 2 veya aaabb'dir.

Veya:
x -3 ⋅ bir m = bir m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ bir 3 b 2 y = bir 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Son örnekteki sonuç, aynı değişkenler eklenerek sıralanabilir.
İfade şu şekilde olacaktır: a 5 b 5 y 3.

Birkaç sayıyı (değişkenleri) kuvvetlerle karşılaştırarak, bunlardan herhangi ikisi çarpılırsa sonucun, gücü şuna eşit olan bir sayı (değişken) olduğunu görebiliriz. toplam terimlerin dereceleri.

Yani, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

Burada 5, terimlerin kuvvetlerinin toplamı olan 2 + 3'e eşit çarpma sonucunun kuvvetidir.

Yani, bir n .a m = bir m + n.

Bir n için, a, n'nin gücünün eşit olduğu kadar bir faktör olarak alınır;

Ve a m, m'nin kuvveti kadar çarpan olarak alınır;

Bu yüzden, Aynı köklere sahip dereceler, üsler toplanarak çarpılabilir.

Yani, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. Ve x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

Veya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ile çarpın.
Cevap: x 4 - y4.
Çarpın (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Bu kural, üsleri şu olan sayılar için de geçerlidir: olumsuz.

1. Yani, a -2 .a -3 = a -5. Bu (1/aa) şeklinde yazılabilir.(1/aaa)=1/aaaa.

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = bir m-n.

a + b a - b ile çarpılırsa sonuç a 2 - b 2 olur: yani

İki sayının toplamı veya farkının çarpılmasının sonucu, karelerinin toplamı veya farkına eşittir.

İki sayının toplamı ve farkı şuna yükseltilirse Meydan, sonuç bu sayıların toplamına veya farkına eşit olacaktır. dördüncü derece.

Yani, (a - y) (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Derecelerin bölünmesi

Kuvvet sayıları, diğer sayılar gibi, bölenden çıkarılarak veya kesirli biçimde yerleştirilerek bölünebilir.

Yani a 3 b 2 bölü b 2 eşittir a 3.

3'e bölünen 5 $ \ frac gibi görünüyor $. Ama bu 2'ye eşittir. Bir dizi numarada
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
herhangi bir sayı diğerine bölünebilir ve üs eşittir fark bölünebilir sayıların üsleri.

Dereceleri aynı tabana bölerken göstergeleri çıkarılır..

Yani, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Yani, $\frac = y $.

Ve bir n + 1: a = bir n + 1-1 = bir n. Yani, $ \ frac = a ^ n $.

Veya:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Bu kural aynı zamanda olumsuz derecelerin değerleri.
-5'i -3'e bölmenin sonucu -2'dir.
Ayrıca, $ \ frac: \ frac = \ frac. \ Frac = \ frac = \ frac $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 veya $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $

Cebirde bu tür işlemler çok yaygın olarak kullanıldığından, çarpma ve kuvvet bölme işlemlerini çok iyi yapmak gerekir.

Kuvvetli sayıları içeren kesirlerle örnek çözme örnekleri

1. $ \ frac $ cinsinden üsleri azaltın Cevap: $ \ frac $.

2. $ \ frac $ cinsinden üsleri azaltın. Cevap: $ \ frac $ veya 2x.

3. a 2 / a 3 ve a -3 / a -4 üslerini azaltın ve ortak paydaya getirin.
a 2 .a -4 bir -2 birinci paydır.
a 3 .a -3, ikinci pay olan 0 = 1'dir.
a 3 .a -4, ortak pay olan -1'dir.
Sadeleştirmeden sonra: a -2 / a -1 ve 1 / a -1.

4. 2a 4 / 5a 3 ve 2 / a 4 üslerini azaltın ve ortak paydaya getirin.
Cevap: 2a 3 / 5a 7 ve 5a 5 / 5a 7 veya 2a 3 / 5a 2 ve 5 / 5a 2.

5. (a 3 + b) / b 4'ü (a - b) / 3 ile çarpın.

6. (a 5 + 1) / x 2'yi (b 2 - 1) / (x + a) ile çarpın.

7. b 4 / a -2'yi h -3 / x ve a n / y -3 ile çarpın.

8. 4 / y 3'ü 3 / y 2'ye bölün. Cevap: a / y.

Derece özellikleri

Size bu dersin anladığını hatırlatırız güç özellikleri doğal göstergeler ve sıfır ile. Rasyonel dereceler ve özellikleri 8. sınıf derslerinde işlenecektir.

Doğal bir üs, üs örneklerinde hesaplamayı kolaylaştıran birkaç önemli özelliğe sahiptir.

Mülk numarası 1
Derecelerin ürünü

Dereceleri aynı tabanlarla çarparken taban değişmeden kalır ve üsler toplanır.

a m · a n = a m + n, burada "a" herhangi bir sayıdır ve "m", "n" herhangi bir doğal sayıdır.

Derecelerin bu özelliği, üç veya daha fazla derecenin çarpımını da etkiler.

Lütfen belirtilen özellikte sadece aynı tabanlara sahip güçlerin çarpımı ile ilgili olduğunu unutmayın.... Onların eklenmesi için geçerli değildir.

Tutarı (3 3 + 3 2) 3 5 ile değiştiremezsiniz. Bu anlaşılabilir eğer
say (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ve 3 5 = 243

Mülk numarası 2
Özel dereceler

Dereceleri aynı tabanlarla bölerken, taban değişmeden kalır ve bölenin üssü temettü üssünden çıkarılır.

Hesaplamak.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Örnek. Denklemi çözün. Özel derecelerin özelliğini kullanıyoruz.
3 8: t = 3 4

Cevap: t = 3 4 = 81

# 1 ve # 2 özelliklerini kullanarak ifadeleri kolayca basitleştirebilir ve hesaplamalar yapabilirsiniz.

Örnek. Ifadeyi basitleştir.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

Örnek. Derecenin özelliklerini kullanarak bir ifadenin değerini bulun.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Özellik 2'de yalnızca dereceleri aynı temellere bölmekten bahsettiğimizi lütfen unutmayın.

Farkı (4 3 −4 2) 4 1 ile değiştiremezsiniz. (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48 ve 4 1 = 4 hesaplarsak bu anlaşılabilir bir durumdur.

Mülk numarası 3
üs alma

Bir gücü bir güce yükseltirken, gücün tabanı değişmeden kalır ve üsler çarpılır.

(a n) m = a n · m, burada "a" herhangi bir sayıdır ve "m", "n" herhangi bir doğal sayıdır.

Özellik # 4'ün, diğer güç özellikleri gibi, ters sırada uygulandığına dikkat edin.

(bir n b n) = (bir b) n

Yani aynı göstergelerle dereceleri çarpmak için tabanları çarpabilir ve üs değişmeden bırakılabilir.

Daha karmaşık örneklerde, çarpma ve bölmenin farklı tabanlar ve farklı üslerle dereceler üzerinde yapılması gereken durumlar olabilir. Bu durumda, aşağıdaki gibi ilerlemenizi tavsiye ederiz.

Örneğin, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Ondalık bir güce yükseltme örneği.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Özellikler 5
Bölüm derecesi (kesir)

Bir kuvvete bir bölüm yükseltmek için, bu kuvvete ayrı bir temettü ve bölen yükseltebilir ve ilk sonucu ikinciye bölebilirsiniz.

(a: b) n = a n: b n, burada “a”, “b” herhangi bir rasyonel sayıdır, b ≠ 0, n herhangi bir doğal sayıdır.

Bölümün bir kesir olarak gösterilebileceğini hatırlatırız. Bu nedenle, bir sonraki sayfada bir kesri bir güce yükseltme konusunu daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

Dereceler ve kökler

Güçleri ve kökleri olan işlemler. Negatif ile derece ,

sıfır ve kesirli gösterge. Anlamsız ifadeler hakkında.

Dereceli işlemler.

1. Dereceleri aynı tabanla çarparken göstergeleri eklenir:

NS · bir n = bir m + n.

2. Dereceleri aynı tabana bölerken göstergeleri düşülen .

3. İki veya daha fazla faktörün çarpım derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir.

4. Oranın derecesi (kesir), temettü (pay) ve bölenin (payda) derecelerinin oranına eşittir:

(bir / b) n = bir n / b n.

5. Dereceyi bir dereceye yükseltirken, göstergeleri çarpılır:

Yukarıdaki formüllerin tümü, soldan sağa ve tersi yönde her iki yönde de okunur ve yürütülür.

ÖRNEK (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4 .

Kök işlemleri. Aşağıdaki tüm formüllerde sembol şu anlama gelir: aritmetik kök(radikal ifade pozitiftir).

1. Birkaç faktörün ürününün kökü, bu faktörlerin köklerinin ürününe eşittir:

2. Oranın kökü, temettü ve bölenin köklerinin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir güce yükseltirken, bu güce yükseltmek yeterlidir. kök numarası:

4. Kökün derecesini m kat arttırırsak ve aynı zamanda kök sayıyı m-inci kuvvete yükseltirsek, kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini m faktörü kadar azaltırsak ve aynı anda m -inci derecenin kökünü kök sayısından çıkarırsak, kökün değeri değişmeyecektir:

Derece kavramının genişletilmesi. Buraya kadar dereceleri sadece doğal bir üslü ele aldık; ancak yetkileri ve kökleri olan eylemler de olumsuz, sıfır ve kesirli göstergeler. Tüm bu derece göstergeleri ek tanım gerektirir.

Negatif üslü derece. Negatif (tamsayı) üslü bir sayının kuvveti, bir negatif üslü mutlak değerine eşit bir üslü aynı sayının kuvvetine bölünen bir birim olarak tanımlanır:

şimdi formül NS : bir = bir m - n sadece için kullanılamaz m daha büyük n, ama aynı zamanda m daha az n .

ÖRNEK a 4: a 7 = bir 4 — 7 = bir — 3 .

formülü istiyorsak NS : bir = NS — n ne zaman adildi m = n, sıfır derecenin bir tanımına ihtiyacımız var.

Sıfır derece. Üssü sıfır olan sıfır olmayan herhangi bir sayının kuvveti 1'dir.

ÖRNEK 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Kesirli üs. Gerçek bir a sayısını m / n'nin kuvvetine yükseltmek için, bu a sayısının m'inci kuvvetinin n'inci kökünü çıkarmanız gerekir:

Anlamsız ifadeler hakkında. Bu tür birkaç ifade var.

nerede a ≠ 0 , bulunmuyor.

Nitekim öyle olduğunu varsayarsak x- bir sayı, daha sonra sahip olduğumuz bölme işleminin tanımına göre: a = 0· x, yani a= 0, koşulla çelişiyor: a ≠ 0

— herhangi bir numara.

Gerçekten de, bu ifadenin bir sayıya eşit olduğunu varsayarsak, x, sonra bölme işleminin tanımına göre elimizde: 0 = 0 x... Ama bu eşitlik için geçerli herhangi bir sayı x, kanıtlamak için gerektiği gibi.

0 0 — herhangi bir numara.

Çözüm Üç ana durumu düşünün:

1) x = 0 – bu değer verilen denklemi sağlamaz

2) x> 0 alırız: x / x= 1, yani 1 = 1, bunun sonucu

ne x- herhangi bir numara; ama bunu göz önünde bulundurarak

bizim durumumuz x> 0, cevap x > 0 ;

Farklı sayı tabanına sahip güçler için çarpma kuralları

RASYONEL GÖSTERGELİ DERECE,

DERECE FONKSİYON IV

§ 69. Aynı tabanlarla derecelerin çarpımı ve bölünmesi

Teorem 1. Dereceleri aynı tabanlarla çarpmak için üsleri toplayıp tabanı aynı bırakmak yeterlidir, yani

Kanıt. Derecenin tanımına göre

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

İki derecenin ürününü düşündük. Aslında, kanıtlanmış özellik, aynı tabanlara sahip herhangi bir sayıda derece için doğrudur.

Teorem 2. Aynı tabanlara sahip kuvvetleri bölmek için, temettü indisi, bölenin indisinden büyük olduğunda, bölenin indisini, temettü indisinden çıkarmak ve tabanı aynı bırakmak yeterlidir, yani NS m> n

(a =/= 0)

Kanıt. Bir sayıyı diğerine bölmenin bölümünün, bir bölenle çarpıldığında temettü veren bir sayı olduğunu hatırlayın. Bu nedenle, formülü kanıtlayın nerede a = / = 0, bu formülü kanıtlamakla aynı

Eğer m> n , ardından sayı t - n doğal olacak; bu nedenle, Teorem 1'e göre

Teorem 2 ispatlandı.

Unutulmamalıdır ki formül

tarafımızdan sadece varsayım altında kanıtlandı m> n ... Bu nedenle, kanıtlanmış olanlardan, örneğin aşağıdaki sonuçları çıkarmak henüz mümkün değildir:

Ek olarak, henüz negatif üslü dereceleri dikkate almadık ve 3 ifadesine ne anlam verilebileceğini henüz bilmiyoruz. - 2 .

Teorem 3. Bir gücü bir güce yükseltmek için, gücün tabanını aynı bırakarak göstergeleri çarpmak yeterlidir., yani

Kanıt. Bu bölümün derece tanımını ve Teorem 1'i kullanarak şunları elde ederiz:

Q.E.D.

Örneğin (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Sözlü.) Tanımla NS denklemlerden:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (U st n hakkında.) Basitleştirmek için:

520. Basitleştirin:

521. Bu ifadeler aynı esaslara sahip dereceler şeklinde sunulmalıdır:

1) 32 ve 64; 3) 8 5 ve 16 3; 5) 4 100 ve 32 50;

2) -1000 ve 100; 4) -27 ve -243; 6) 81 75 8 200 ve 3 600 4 150.

Konuyla ilgili ders: "Aynı ve farklı göstergelerle çarpma ve derece bölme kuralları. Örnekler"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, eleştirilerinizi, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilmiştir.

7. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Yu.N. ders kitabı için el kitabı. Makarycheva ders kitabı A.G. Mordkoviç

Dersin amacı: sayıların güçleri ile eylemlerin nasıl gerçekleştirileceğini öğrenmek.

Başlamak için, "sayı derecesi" kavramını hatırlayalım. $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $ gibi bir ifade $ a ^ n $ olarak gösterilebilir.

Bunun tersi de doğrudur: $ a ^ n = \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $.

Bu eşitliğe "derecenin bir çarpım olarak gösterimi" denir. Dereceleri nasıl çarpacağımızı ve böleceğimizi belirlememize yardımcı olacaktır.
Unutma:
a Derecenin temelidir.
n- üs.
Eğer n = 1, bu nedenle, sayı a bir kez ve buna göre aldı: $ a ^ n = a $.
Eğer n = 0, sonra $a ^ 0 = 1 $.

Bunun neden olduğunu, çarpma ve güçler bölünmesi kurallarını öğrendiğimizde anlayabiliriz.

çarpma kuralları

Örnek.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Bu özellik, bir sayıyı büyük bir güce yükseltirken işi basitleştirmek için kullanışlıdır.
Örnek.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Dereceler farklı tabanlarla ancak aynı üslerle çarpılırsa.
$ a ^ n * b ^ n $ için dereceleri bir çarpım olarak yazın: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ ( m) $.
Faktörleri değiştirir ve elde edilen çiftleri sayarsak, şunu elde ederiz: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldots * (a * b)) _ (n) $.

Dolayısıyla, $ a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

Örnek.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Bölme kuralları

Bu yüzden gerekli $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $, nerede n> m.

Kuvvetleri kesir olarak yazalım:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

Şimdi kesri iptal edelim.

Görünüşe göre: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $.
Anlamına geliyor, $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = bir ^ (n-m) $.

Bu özellik, bir sayıyı sıfır güce yükselterek durumu açıklamaya yardımcı olacaktır. varsayalım ki n = m, sonra $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

Örnekler
$ \ frak (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 $.

$ \ frak (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

b) Derecenin tabanları farklıdır, göstergeler aynıdır.
Diyelim ki $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $'a ihtiyacınız var. Sayıların kuvvetlerini kesir olarak yazalım:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

Örnek.
$ \ frak (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frak (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.

Cebirdeki ve aslında tüm matematikteki ana özelliklerden biri derecedir. Elbette 21. yüzyılda tüm hesaplamalar online bir hesap makinesinde yapılabiliyor ancak bunu kendi başınıza yapmayı öğrenmek beyin gelişimi açısından daha iyi.

Bu yazıda, bu tanımla ilgili en önemli soruları ele alacağız. Yani, genel olarak ne olduğunu ve ana işlevlerinin ne olduğunu, matematikte hangi özelliklerin olduğunu anlayacağız.

Hesaplamanın nasıl göründüğüne, temel formüllerin neler olduğuna dair örneklere bakalım. Ana miktar türlerini ve diğer işlevlerden nasıl farklı olduklarını analiz edelim.

Bu değeri kullanarak çeşitli sorunları nasıl çözeceğimizi anlayalım. Sıfır güce nasıl yükseltileceğini, irrasyonel, negatif vb. örneklerle gösterelim.

Çevrimiçi üs hesaplama

bir sayının derecesi nedir

"Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek" ifadesiyle ne kastedilmektedir?

a sayısının n kuvveti, arka arkaya n kez a değerinin faktörlerinin çarpımıdır.

Matematiksel olarak şöyle görünür:

bir n = bir * bir * bir *… bir n.

Örneğin:

• Üçüncü adımda 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 adımda. iki = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 adımda. dört = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 adımda 10 5 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 4 adımda 10 4 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Aşağıda 1'den 10'a kadar bir kareler ve küpler tablosu olacaktır.

1'den 10'a kadar not tablosu

Aşağıda, doğal sayıların pozitif kuvvetlere yükseltilmesinin sonuçları verilecektir - "1'den 100'e".

Güç özellikleri

Böyle bir matematiksel fonksiyonun özelliği nedir? Temel özellikleri ele alalım.

Bilim adamları aşağıdakileri kurdular tüm derecelerin karakteristik işaretleri:

• bir n * bir m = (a) (n + m);
• bir n: bir m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b * m).

Örneklerle kontrol edelim:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Öte yandan 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Benzer şekilde: 2 3: 2 2 = 8/4 = 2. Aksi takdirde 2 3-2 = 2 1 = 2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Peki farklıysa? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Gördüğünüz gibi kurallar işliyor.

Ama ne hakkında toplama ve çıkarma ile? Basit. İlk olarak, üs alma ve ancak daha sonra toplama ve çıkarma yapılır.

Hadi bazı örneklere bakalım:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16. Lütfen dikkat: önce çıkarırsanız kural çalışmaz: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4.

Ancak bu durumda, parantez içinde eylemler olduğu için önce toplamayı hesaplamanız gerekir: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

nasıl üretilir daha karmaşık durumlarda hesaplamalar? Sıra aynı:

• parantez varsa - onlarla başlamanız gerekir;
• sonra üstelleştirme;
• sonra çarpma, bölme işlemlerini gerçekleştirin;
• toplama, çıkarma işleminden sonra.

Tüm derecelerin özelliği olmayan belirli özellikler vardır:

1. a sayısının m kuvvetine n'inci kökü şu şekilde yazılacaktır: a m / n.
2. Bir kesri bir kuvvete yükseltirken: hem pay hem de paydası bu işleme tabidir.
3. Farklı sayıların çarpımı bir kuvvete yükseltildiğinde, ifade bu sayıların belirli bir kuvvete çarpımına karşılık gelecektir. Yani: (a * b) n = bir n * b n.
4. Bir sayıyı negatif bir adıma yükseltirken, 1'i aynı st-no'da, ancak "+" işaretiyle bir sayıya bölmeniz gerekir.
5. Kesrin paydası negatif bir kuvvette ise, bu ifade pay ve paydanın pozitif kuvvetteki ürününe eşit olacaktır.
6. Derece 0 = 1 ve adımdaki herhangi bir sayı. 1 = kendinize.

Bu kurallar bireysel durumlarda önemlidir, bunları aşağıda daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

Negatif üslü derece

Derece eksi olduğunda, yani üs negatif olduğunda ne yapmalı?

Özellik 4 ve 5'e göre(yukarıdaki noktaya bakın), ortaya çıkıyor:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1/5 2 = 1/25.

Ve tam tersi:

1 / A (- n) = Bir n, 1/2 (-3) = 2 3 = 8.

Ve eğer bir kesir?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Doğal üslü derece

Tam sayılara eşit göstergelere sahip bir derece olarak anlaşılmaktadır.

Hatırlanacak şeyler:

0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... vb.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... vb.

Ayrıca (-a) 2 n +2, n = 0, 1, 2 ... ise sonuç "+" işaretiyle olacaktır. Negatif bir sayı tek bir güce yükseltilirse, bunun tersi de geçerlidir.

Genel özellikler ve yukarıda açıklanan tüm özel özellikler de onların karakteristiğidir.

kesirli derece

Bu görünüm şema ile yazılabilir: A m / n. Şu şekilde okunur: A sayısının m kuvvetinin n'inci kökü.

Kesirli bir üsle istediğinizi yapabilirsiniz: azaltın, parçalara ayırın, farklı bir dereceye yükseltin, vb.

irrasyonel derece

α bir irrasyonel sayı ve A ˃ 0 olsun.

Böyle bir gösterge ile bir derecenin özünü anlamak, farklı olası durumları göz önünde bulundurun:

• A = 1. Sonuç 1'e eşit olacaktır. Bir aksiyom olduğundan - tüm derecelerde 1 bire eşittir;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 - rasyonel sayılar;

• 0˂А˂1.

Bu durumda, aksine: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1, ikinci paragraftakiyle aynı koşullar altında.

Örneğin, üs π'dir. Mantıklı.

r 1 - bu durumda 3'e eşittir;

r 2 - 4'e eşit olacaktır.

O halde A = 1 için 1 π = 1.

A = 2, sonra 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

А = 1/2, sonra (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Bu dereceler, yukarıda açıklanan tüm matematiksel işlemler ve belirli özellikler ile karakterize edilir.

Çözüm

Özetlemek gerekirse - bu değerler ne için, bu tür işlevlerin avantajı nedir? Tabii ki, her şeyden önce, hesaplamaları en aza indirmenize, algoritmaları kısaltmanıza, verileri düzenlemenize ve çok daha fazlasını yapmanıza izin verdikleri için, örnekleri çözerken matematikçilerin ve programcıların hayatını basitleştirirler.

Bu bilgi başka nerede yararlı olabilir? Herhangi bir uzmanlık alanında: tıp, farmakoloji, diş hekimliği, inşaat, mühendislik, mühendislik, tasarım vb.

Belirli bir sayıyı bir güce yükseltmeniz gerekiyorsa, kullanabilirsiniz. Ve şimdi üzerinde daha ayrıntılı olarak duracağız derecelerin özellikleri.

üstel sayılar büyük olasılıklar açarlar, çarpmayı toplamaya dönüştürmemize izin verirler ve toplama, çarpmadan çok daha kolaydır.

Örneğin 16 ile 64'ü çarpmamız gerekiyor. Bu iki sayının çarpımı 1024'tür. Ama 16 4x4, 64 ise 4x4x4'tür. Yani 16'ya 64 = 4x4x4x4x4 ki bu da 1024'tür.

16 sayısı 2x2x2x2 ve 64 de 2x2x2x2x2x2 olarak da gösterilebilir ve çarparsak yine 1024 elde ederiz.

Şimdi kuralı kullanalım. 16 = 4 2 veya 2 4, 64 = 4 3 veya 2 6, aynı anda 1024 = 6 4 = 4 5 veya 2 10.

Bu nedenle problemimiz farklı şekilde yazılabilir: 4 2 x4 3 = 4 5 veya 2 4 x2 6 = 2 10 ve her seferinde 1024 elde ederiz.

Bir dizi benzer örneği çözebilir ve sayıları kuvvetlerle çarpmanın azaldığını görebiliriz. üslerin eklenmesi, veya üstel, elbette, faktörlerin temellerinin eşit olması şartıyla.

Böylece çarpmadan hemen 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20 diyebiliriz.

Bu kural, sayıları kuvvetlerle bölerken de geçerlidir, ancak bu durumda, e bölenin üssü, temettü üssünden çıkarılır... Böylece, adi sayılarda 32: 8 = 4 olan 2 5: 2 3 = 2 2, yani 2 2. Özetleyelim:

a m х bir n = a m + n, a m: a n = a m-n, burada m ve n tam sayılardır.

İlk bakışta, ne olduğu görünebilir sayıların kuvvetleriyle çarpma ve bölme işlemleriçok uygun değil, çünkü önce sayıyı üstel biçimde göstermeniz gerekiyor. 8 ve 16 sayılarını bu formda yani 2 3 ve 2 4 temsil etmek zor değil ama 7 ve 17 sayıları ile bu nasıl yapılır? Ya da sayı üstel biçimde gösterilebiliyorken, sayıların üstel ifadelerinin tabanları çok farklı olduğunda ne yapılmalı. Örneğin, 8 × 9, 2 3 × 3 2'dir, bu durumda üsleri toplayamayız. Ne 2 5 ne de 3 5 cevaptır ve cevap bu iki sayı arasındaki aralıkta değildir.

O zaman bu yöntemle hiç uğraşmaya değer mi? Kesinlikle buna değer. Özellikle karmaşık ve zaman alıcı hesaplamalar için muazzam faydalar sunar.