• Sistemler m lineer denklemler ile birlikte n Bilinmeyen.
  Lineer denklem sistemini çözme Böyle bir sayı kümesi mi ( x 1, x 2, ..., xn), sistemin denklemlerinin her birine değiştirildiğinde, doğru eşitlik elde edilir.
  nerede bir ij, ben = 1, ..., m; j = 1,…, n- sistem katsayıları;
  ben, ben = 1, ..., m- ücretsiz üyeler;
  x j, j = 1, ..., n- Bilinmeyen.
  Yukarıdaki sistem matris formunda yazılabilir: bir X = B,
  
  
  
  
  nerede ( A|B) Sistemin ana matrisidir;
  A- genişletilmiş sistem matrisi;
  x- bilinmeyenler sütunu;
  B- ücretsiz üyeler sütunu.
  matris ise B bir boş matris ∅ değilse, bu lineer denklem sistemine homojen olmayan denir.
  matris ise B= ∅, o zaman bu lineer denklem sistemine homojen denir. Homojen bir sistem her zaman sıfır (önemsiz) bir çözüme sahiptir: x 1 = x 2 =…, x n = 0.
  Lineer denklemlerin ortak sistemiÇözümü olan bir lineer denklem sistemidir.
  Tutarsız lineer denklem sistemiÇözümü olmayan lineer denklemler sistemidir.
  Kesin bir lineer denklem sistemi benzersiz bir çözümü olan bir lineer denklem sistemidir.
  Belirsiz lineer denklem sistemi Sonsuz bir çözüm kümesine sahip bir lineer denklem sistemidir.
• n bilinmeyenli n lineer denklem sistemleri
  Bilinmeyen sayısı denklem sayısına eşitse, matris karedir. Bir matrisin determinantı, bir lineer denklem sisteminin ana determinantı olarak adlandırılır ve Δ sembolü ile gösterilir.
  Cramer yöntemi sistemleri çözmek n lineer denklemler n Bilinmeyen.
  Cramer kuralı.
  Eğer ana belirleyici lineer denklemler sistemi sıfıra eşit değilse, sistem tutarlı ve tanımlıdır ve tek çözüm Cramer'in formülleriyle hesaplanır:
  nerede Δ i - sistemin ana determinantından elde edilen determinantlar Δ değiştirilerek benücretsiz üye sütunu başına inci sütun. ...
• n bilinmeyenli m lineer denklem sistemleri
  Kronecker - Capelli teoremi.
  
  
  Belirli bir lineer denklem sisteminin tutarlı olması için, sistemin matrisinin rankının, sistemin genişletilmiş matrisinin rankına eşit olması gerekli ve yeterlidir, çaldı (Α) = çaldı (Α | B).
  Eğer çaldı (Α) ≠ çaldı (Α | B), o zaman sistemin kesinlikle hiçbir çözümü yoktur.
  Eğer çaldı (Α) = çaldı (Α | B), o zaman iki durum mümkündür:
  1) çaldı (Α) = n(bilinmeyenlerin sayısına) - çözüm benzersizdir ve Cramer formülleriyle elde edilebilir;
  2) çaldı (Α)< n - sonsuz sayıda çözüm var.
• Gauss yöntemi lineer denklem sistemlerini çözmek için
  
  
  Genişletilmiş bir matris oluşturalım ( A|B) bilinmeyen ve sağ taraftaki belirli bir katsayı sisteminin.
  Gauss yöntemi veya bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi, genişletilmiş matrisi ( A|B) satırları üzerindeki temel dönüşümlerin yardımıyla köşegen forma (üst üçgen forma). Denklem sistemine dönersek, tüm bilinmeyenler belirlenir.
  İLE temel dönüşümler satırların üstünde aşağıdakiler bulunur:
  1) iki satırın değiştirilmesi;
  2) bir dizgiyi 0'dan farklı bir sayı ile çarpmak;
  3) isteğe bağlı bir sayı ile çarpılan başka bir dize eklemek;
  4) boş dizeyi atmak.
  Köşegen bir forma indirgenmiş genişletilmiş matris, lineer sistem, çözümü zor olmayan verilene eşdeğerdir. ...
• Homojen lineer denklemler sistemi.
  Homojen bir sistem şöyle görünür:
  
  matris denklemine karşılık gelir bir X = 0.
  1) Homojen bir sistem her zaman uyumludur, çünkü r (A) = r (A | B), her zaman sıfır bir çözüm vardır (0, 0,…, 0).
  2) için homojen sistem sıfır olmayan bir çözüme sahipse, gerekli ve yeterlidir r = r(A)< n , Δ = 0'a eşdeğerdir.
  3) Eğer r< n , sonra kasıtlı olarak Δ = 0, sonra serbest bilinmeyenler ortaya çıkar c 1, c 2, ..., c n-r, sistemin önemsiz olmayan çözümleri vardır ve bunlardan sonsuz sayıda vardır.
  4) Genel çözüm x NS r< n matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +… + c n-r X n-r,
  çözümler nerede X 1, X 2, ..., X n-r temel bir karar sistemi oluşturur.
  5) Temel çözümler sistemi, homojen bir sistemin genel çözümünden elde edilebilir:
  
  ,
  parametre değerleri sırayla (1, 0,…, 0), (0, 1,…, 0),…, (0, 0,…, 1) olarak kabul edilirse.
  Çözümlerin temel sistemi açısından genel çözümün ayrıştırılması Temel sisteme ait çözümlerin lineer bir kombinasyonu şeklinde genel bir çözümün kaydıdır.
  teorem... Bir lineer homojen denklemler sisteminin sıfırdan farklı bir çözümü olması için Δ ≠ 0 olması gerekli ve yeterlidir.
  Dolayısıyla, determinant Δ ≠ 0 ise, sistemin benzersiz bir çözümü vardır.
  Δ ≠ 0 ise, lineer homojen denklemler sistemi sonsuz bir çözüm kümesine sahiptir.
  teorem... Homojen bir sistemin sıfırdan farklı bir çözüme sahip olması için gerekli ve yeterlidir. r (A)< n .
  Kanıt:
  1) r daha fazla olamaz n(matrisin sırası, sütun veya satır sayısını geçmez);
  2) r< n dan beri Eğer r = n, o zaman sistemin ana belirleyicisi Δ ≠ 0'dır ve Cramer'in formüllerine göre benzersiz bir önemsiz çözüm vardır. x 1 = x 2 =… = x n = 0, bu durumla çelişir. Anlamına geliyor, r (A)< n .
  Sonuç... Homojen bir sistem için n lineer denklemler n bilinmeyenlerin sıfır olmayan bir çözümü varsa, Δ = 0 olması gerekli ve yeterlidir.

İLE BİRLİKTE n bilinmeyenler şu şekilde bir sistemdir:

nerede bir ij ve ben (i = 1, ..., m; b = 1, ..., n) bilinen bazı sayılardır ve x 1, ..., xn - bilinmeyen numaralar... Katsayıların belirlenmesinde bir ij dizin ben denklemin sayısını belirler ve ikinci J- bu katsayıya sahip bilinmeyenlerin sayısı.

Homojen sistem - sistemin tüm serbest üyeleri sıfıra eşit olduğunda ( b 1 = b 2 =… = b m = 0), tam tersi durum heterojen sistem.

Kare sistem - numara ne zaman m denklemler sayıya eşittir n Bilinmeyen.

Sistem çözümü- agrega n sayılar c 1, c 2, ..., cn,öyle ki, hepsinin ikamesi ben onun yerine x ben bir sisteme dönüştürür tüm denklemlerini kimlikler.

İşbirliği sistemi - sistem en az 1 çözüme sahip olduğunda ve tutarsız sistem sistemin hiçbir çözümü olmadığında.

Bu tip bir ortak sistem (yukarıda verildiği gibi (1) olsun) bir veya daha fazla çözüme sahip olabilir.

Çözümler c 1 (1), c 2 (1), ..., cn (1) ve c 1 (2), c 2 (2), ..., c n (2)(1) tipi ortak sistem çeşitli eşitliklerden 1 tanesi bile başarısız olduğunda:

c 1 (1) = c 1 (2), c 2 (1) = c 2 (2), ..., c n (1) = c n (2).

(1) tipi bir ortak sistem kesin tek bir çözümü olduğunda; sistem en az 2 olduğunda farklı çözümler, o olur az belirlenmiş... Bilinmeyenlerden daha fazla denklem olduğunda, sistem yeniden tanımlanmış.

Bilinmeyenlerin katsayıları bir matris olarak yazılır:

denir sistem matrisi.

Denklemlerin sağ tarafındaki sayılar b 1, ..., b m NS ücretsiz üyeler.

agrega n sayılar c 1, ..., cn sayılar değiştirildikten sonra sistemin tüm denklemleri eşitliğe dönüştüğünde bu sisteme bir çözümdür c 1, ..., cn karşılık gelen bilinmeyenler yerine x 1, ..., xn.

Bir lineer denklem sistemini çözerken 3 seçenek ortaya çıkabilir:

1. Sistemin tek bir çözümü vardır.

2. Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Örneğin,. Bu sistemin çözümü, işareti farklı olan tüm sayı çiftleri olacaktır.

3. Sistemin çözümü yok. Örneğin, eğer bir çözüm varsa, o zaman x 1 + x 2 aynı anda 0 ve 1'e eşit olacaktır.

Lineer denklem sistemlerini çözme yöntemleri.

Doğrudan yöntemler kesin çözümü bulmak için bir algoritma verin SLAU(lineer cebirsel denklem sistemleri). Ve eğer doğruluk mutlak olsaydı, onu bulurlardı. Gerçek bir elektro-bilgisayar elbette bir hatayla çalışır, bu nedenle çözüm yaklaşık olacaktır.

Lineer denklem sistemleri. Ders 6.

Lineer denklem sistemleri.

Temel konseptler.

Sistemi görüntüle

aranan sistem - bilinmeyenli lineer denklemler.

Numaralar, denir sistem katsayıları.

numaralar denir sistemin ücretsiz üyeleri, – sistem değişkenleri... Matris

aranan sistemin ana matrisi ve matris

– matris genişletilmiş sistem... Matrisler - Sütunlar

Ve buna uygun olarak sistemin serbest üyeleri ve bilinmeyenlerinin matrisleri... Daha sonra matris formunda denklem sistemi formda yazılabilir. Sistem çözümü değişkenlerin değerleri olarak adlandırılır, ikame edildiğinde sistemin tüm denklemleri gerçek sayısal eşitliklere dönüşür. Sisteme herhangi bir çözüm, bir matris - bir sütun şeklinde temsil edilebilir. O halde matris eşitliği geçerlidir.

Denklem sistemi denir eklem yeri en az bir çözümü varsa ve tutarsızçözümü yoksa.

Bir lineer denklem sistemini çözmek, uyumlu olup olmadığını bulmak ve uyumluluk durumunda genel çözümünü bulmak demektir.

sistem denir homojen tüm özgür üyeleri sıfıra eşitse. Homojen bir sistem, çözümü olduğu için her zaman uyumludur.

Kronecker - Copelli teoremi.

Lineer sistemlerin çözümlerinin varlığı ve benzersizliği sorusunun cevabı, bilinmeyenli lineer denklem sistemi ile ilgili aşağıdaki ifadeler şeklinde formüle edilebilecek aşağıdaki sonucu elde etmemizi sağlar.

(1)

Teorem 2... Doğrusal denklemler sistemi (1), yalnızca ana matrisin sıralaması genişletilmiş (.

Teorem 3... Bir ortak lineer denklem sisteminin ana matrisinin rankı, bilinmeyenlerin sayısına eşitse, sistemin benzersiz bir çözümü vardır.

teorem 4... Ortak sistemin ana matrisinin sırası ise daha az sayı bilinmeyenler, o zaman sistem sonsuz bir çözüm kümesine sahiptir.

Sistem çözümü kuralları.

3. Ana değişkenlerin serbestler cinsinden ifadesini bulun ve sistemin genel çözümünü elde edin.

4. Serbest değişkenlere rasgele değerler verilerek asıl değişkenlerin tüm değerleri elde edilir.

Lineer denklem sistemlerini çözme yöntemleri.

Ters matris yöntemi.

dahası, yani sistemin benzersiz bir çözümü var. Sistemi matris formunda yazalım.

nerede , , .

Soldaki matris denkleminin her iki tarafını da matrisle çarpıyoruz.

O zamandan beri, bilinmeyenleri bulmak için eşitliği nereden elde ettiğimizi elde ederiz.

Örnek 27. Ters matris yöntemini kullanarak lineer denklem sistemini çözün

Çözüm. Sistemin ana matrisi ile gösterelim

.

O halde çözümü formülle bulalım.

Hesaplayalım.

O zamandan beri sistemin benzersiz bir çözümü var. Tüm cebirsel tamamlayıcıları bulun

, ,

, ,

, ,

, ,

Böylece

.

Hadi kontrol edelim

.

Ters matris doğru bulundu. Buradan formülü kullanarak değişkenlerin matrisini buluruz.

.

Matrislerin değerlerini karşılaştırarak şu cevabı alırız:

Cramer yöntemi.

Bilinmeyenleri olan bir lineer denklem sistemi verilsin

dahası, yani sistemin benzersiz bir çözümü var. Sistemin çözümünü matris şeklinde yazalım veya

biz

. . . . . . . . . . . . . . ,

Böylece, adı verilen bilinmeyenlerin değerlerini bulmak için formüller elde ederiz. Cramer formülleri.

Örnek 28. Aşağıdaki lineer denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözün .

Çözüm. Sistemin ana matrisinin determinantını bulalım.

.

O zamandan beri, sistemin tek bir çözümü var.

Cramer formülleri için kalan belirleyicileri bulalım.

,

,

.

Cramer formüllerini kullanarak değişkenlerin değerlerini buluyoruz.

Gauss yöntemi.

Yöntem, değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasından oluşur.

Bilinmeyenleri olan bir lineer denklem sistemi verilsin.

Gauss çözüm süreci iki aşamadan oluşur:

İlk aşamada, sistemin genişletilmiş matrisi, temel dönüşümler kullanılarak kademeli bir forma indirgenir.

,

nerede, sistemin karşılık geldiği

Bundan sonra değişkenler serbest kabul edilir ve her denklemde sağ tarafa aktarılır.

İkinci aşamada, son denklemden bir değişken ifade edilir, elde edilen değer denkleme ikame edilir. Bu denklemden

değişken ifade edilir. Bu işlem ilk denkleme kadar devam eder. Sonuç, ana değişkenlerin serbest değişkenler cinsinden ifadesidir. .

Örnek 29. Aşağıdaki sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözün

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve basamaklı bir forma indirelim.

.

Çünkü Bilinmeyenlerin sayısından daha fazlaysa, sistem tutarlıdır ve sonsuz bir çözüm kümesine sahiptir. Basamaklı matris için sistemi yazalım

İlk üç sütundan oluşan bu sistemin genişletilmiş matrisinin determinantı sıfıra eşit değildir, bu nedenle temel kabul edilir. Değişkenler

Temel olacaklar ve değişken ücretsiz olacak. Tüm denklemlerde sol tarafa aktarıyoruz

Son denklemden ifade ediyoruz

Bu değeri sondan bir önceki ikinci denklemde yerine koyarsak,

nerede ... Değişkenlerin değerlerini ve ilk denklemde yerine koyarak, buluruz ... Cevabı aşağıdaki forma yazıyoruz

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir istek bıraktığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifleri, promosyonları ve diğer etkinlikleri ve yaklaşan etkinlikleri bildirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer promosyon etkinliğine katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara ifşa edilmesi

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - kanuna, mahkeme kararına, mahkeme işlemlerinde ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet makamlarından gelen kamu taleplerine veya taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer sosyal açıdan önemli nedenlerle gerekli veya uygun olduğunu belirlersek de sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri uygun üçüncü tarafa - yasal halef - aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik kurallarını getiriyoruz ve gizlilik önlemlerinin uygulanmasını titizlikle izliyoruz.