Tanım. yan kenar bir köşesi piramidin tepesinde bulunan ve karşı tarafı tabanın (çokgen) kenarıyla çakışan bir üçgendir.

Tanım. yan kaburgalar yan yüzlerin ortak yanlarıdır. Piramidin çokgenin köşeleri kadar kenarı vardır.

Tanım. Piramit yüksekliği- bu, piramidin tepesinden tabanına indirilen bir diktir.

Tanım. özlü söz piramidin tepesinden tabanın yanına alçaltılmış, piramidin yan yüzüne dik olandır.

Tanım. diyagonal bölüm piramidin tepesinden ve tabanının köşegeninden geçen bir düzlem tarafından piramidin bir bölümüdür.

Tanım. doğru piramit tabanı düzgün çokgen olan ve yüksekliği tabanın merkezine düşen bir piramittir.

Piramidin hacmi ve yüzey alanı

formül. Piramidin hacmi taban alanı ve yüksekliği ile:

piramit özellikleri

Tüm yan kenarlar eşitse, piramidin tabanının etrafında bir daire tanımlanabilir ve tabanın merkezi dairenin merkeziyle çakışır. Ayrıca, üstten düşen dik, tabanın (daire) merkezinden geçer.

Tüm yan kenarlar eşitse, taban düzlemine aynı açılarda eğimlidirler.

Yan kenarlar, taban düzlemi ile eşit açılar oluşturduklarında veya piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa eşittir.

Yan yüzler taban düzlemine bir açıyla eğimliyse, piramidin tabanına bir daire çizilebilir ve piramidin tepesi merkezine yansıtılır.

Yan yüzler taban düzlemine aynı açıda eğimliyse, yan yüzlerin özleri eşittir.

Düzenli bir piramidin özellikleri

1. Piramidin tepesi, tabanın tüm köşelerinden eşit uzaklıktadır.

2. Tüm yan kenarlar eşittir.

3. Tüm yan kirişler tabana aynı açıda eğimlidir.

4. Tüm yan yüzlerin özleri eşittir.

5. Tüm yan yüzlerin alanları eşittir.

6. Tüm yüzler aynı dihedral (düz) açılara sahiptir.

7. Piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir. Sınırlı kürenin merkezi, kenarların ortasından geçen diklerin kesişme noktası olacaktır.

8. Piramidin içine bir küre yazılabilir. Yazılı kürenin merkezi, kenar ile taban arasındaki açıdan çıkan açıortayların kesişme noktası olacaktır.

9. Yazılı kürenin merkezi çevrelenmiş kürenin merkeziyle çakışıyorsa, tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı π'ye eşittir veya tam tersi, bir açı π / n'ye eşittir, burada n sayıdır piramidin tabanındaki açılar.

Piramidin küre ile bağlantısı

Piramidin tabanında, çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir polihedron bulunduğunda, piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir (gerekli ve yeterli koşul). Kürenin merkezi, piramidin yan kenarlarının orta noktalarından dik olarak geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır.

Bir küre her zaman herhangi bir üçgen veya düzenli piramidin etrafında tanımlanabilir.

Piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemleri bir noktada kesişiyorsa (gerekli ve yeterli bir koşul) piramidin içine bir küre yazılabilir. Bu nokta kürenin merkezi olacaktır.

Bir piramidin koni ile bağlantısı

Bir koni, tepeleri çakışırsa ve koninin tabanı piramidin tabanında yazılıysa, piramitte yazılı olarak adlandırılır.

Piramidin özleri birbirine eşitse, bir piramidin içine bir koni yazılabilir.

Bir koniye, tepeleri çakışırsa bir piramidin etrafında çevrelenmiş denir ve koninin tabanı piramidin tabanının etrafında çevrelenir.

Piramidin tüm yan kenarları birbirine eşitse, bir piramidin etrafında bir koni tanımlanabilir.

Piramidin silindir ile bağlantısı

Piramidin tepesi silindirin bir tabanında yer alıyorsa ve piramidin tabanı silindirin başka bir tabanında yazılıysa, bir silindirde yazılı piramit denir.

Piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa, bir piramidin etrafında bir silindir tanımlanabilir.

Bir tetrahedronun dört yüzü ve dört köşesi ve herhangi iki kenarın ortak köşeleri olmadığı ancak temas etmediği altı kenarı vardır.

Her tepe noktası oluşturan üç yüz ve kenardan oluşur. üçgen köşe.

Tetrahedronun tepe noktasını karşı yüzün merkezine bağlayan doğru parçasına denir. medyan tetrahedron(GM).

Bimedyan temas halinde olmayan karşılıklı kenarların (KL) orta noktalarını birleştiren doğru parçası.

Tetrahedronun tüm bimedyanları ve medyanları bir noktada buluşur (S). Bu durumda, bimedyanlar ikiye bölünür ve medyanlar yukarıdan başlayarak 3: 1 oranındadır.

Tanım. Dar açılı piramit- bu, özün, tabanın kenarının yarısından daha uzun olduğu bir piramittir.

Tanım. geniş piramit- bu, özün, tabanın kenarının yarısından daha az olduğu bir piramittir.

Tanım. düzenli tetrahedron- dört yüzü de eşkenar üçgen olan bir tetrahedron. O beş kişiden biri düzenli çokgenler... Düzgün bir dörtyüzlüde, tüm dihedral açılar (yüzler arasında) ve üçyüzlü açılar (tepe noktasında) eşittir.

Tanım. dikdörtgen tetrahedron tepe noktasında üç kenar arasında dik açı olan bir tetrahedron olarak adlandırılır (kenarlar diktir). Üç yüz formu dikdörtgen üçgen köşe ve kenarlar dik açılı üçgenler, ve taban keyfi bir üçgendir. Herhangi bir yüzün özeti, tabanın üzerine düştüğü kenarın yarısına eşittir.

Tanım. izohedral tetrahedron yan yüzlerin birbirine eşit olduğu ve tabanın düzgün bir üçgen olduğu tetrahedron olarak adlandırılır. Böyle bir tetrahedron için yüzler ikizkenar üçgenlerdir.

Tanım. ortosentrik tetrahedron Yukarıdan zıt yüze indirilen tüm yüksekliklerin (diklikler) bir noktada kesiştiği bir tetrahedron olarak adlandırılır.

Tanım. yıldız piramidi tabanı yıldız olan çokyüzlü denir.

Üçgen piramit tabanında düzenli bir üçgen bulunan çokyüzlü denir.

Böyle bir piramitte tabanın kenarları ve kenarların kenarları birbirine eşittir. Buna göre, yan yüzlerin alanı, üç özdeş üçgenin alanlarının toplamından bulunur. Formülü kullanarak normal bir piramidin yan yüzeyinin alanını bulabilirsiniz. Ve hesaplamayı birkaç kat daha hızlı yapabilirsiniz. Bunu yapmak için, yan yüzey alanı için formülü uygulamanız gerekir. Üçgen piramit:

p, tüm kenarların b'ye eşit olduğu tabanın çevresidir, a, yukarıdan bu tabana indirilen özlü sözdür. Üçgen bir piramidin alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Problem: Doğru piramidin verilmesine izin verin. Tabanda yatan üçgenin kenarı b = 4 cm'dir.Piramidin özü a = 7 cm'dir.Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Problemin koşullarına göre gerekli tüm elemanların uzunluklarını bildiğimiz için çevreyi bulacağız. Normal bir üçgende tüm kenarların eşit olduğunu ve bu nedenle çevrenin aşağıdaki formülle hesaplandığını unutmayın:

Verileri değiştirin ve değeri bulun:

Şimdi, çevreyi bilerek, yan yüzey alanını hesaplayabiliriz:

Toplam değeri hesaplamak üzere üçgen piramit alan formülünü uygulamak için çokyüzlü tabanının alanını bulmanız gerekir. Bunun için şu formül kullanılır:

Üçgen bir piramidin tabanının alanı için formül farklı olabilir. Belirli bir şekil için herhangi bir parametre hesaplamasına izin verilir, ancak çoğu zaman gerekli değildir. Üçgen bir piramidin tabanının alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Problem: Düzenli bir piramitte, üçgenin tabanda yatan kenarı a = 6 cm'dir Tabanın alanını hesaplayın.
Hesaplamak için sadece piramidin tabanında bulunan normal bir üçgenin kenar uzunluğuna ihtiyacımız var. Verileri formülde yerine koyalım:

Oldukça sık bir polihedronun toplam alanını bulmak gerekir. Bunu yapmak için, yan yüzey ve taban alanını toplamanız gerekecektir.

Üçgen bir piramidin alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Problem: Düzgün bir üçgen piramit verilsin. Tabanın kenarı b = 4 cm, özlü söz a = 6 cm'dir Piramidin toplam alanını bulun.
Başlangıç ​​​​olarak, zaten bilinen formülü kullanarak yan yüzeyin alanını buluyoruz. Çevreyi hesaplayalım:

Verileri formülde değiştiriyoruz:
Şimdi tabanın alanını bulalım:
Taban ve yan yüzey alanını bilerek, piramidin toplam alanını buluyoruz:

Düzenli bir piramidin alanını hesaplarken, tabanda düzenli bir üçgenin olduğu ve bu çokyüzlülüğün birçok elemanının birbirine eşit olduğu unutulmamalıdır.

Tabanında yer alan piramit düzenli altıgen ve kenarlar denilen düzenli üçgenlerden oluşur. altıgen.

Bu polihedron birçok özelliğe sahiptir:

• Tabanın tüm kenarları ve köşeleri birbirine eşittir;
• Piramidin kömürünün tüm kenarları ve dihedralleri de birbirine eşittir;
• Kenarları oluşturan üçgenler sırasıyla aynıdır, alanları, kenarları ve yükseklikleri aynıdır.

Düzenli bir altıgen piramidin alanını hesaplamak için, altıgen bir piramidin yan yüzey alanı için standart formül kullanılır:

burada P, tabanın çevresidir, a, piramit özetinin uzunluğudur. Çoğu durumda, hesaplayabilirsiniz yan alan bu formüle göre, ancak bazen başka bir yöntem kullanabilirsiniz. Piramidin yan yüzleri eşit üçgenlerden oluştuğundan, bir üçgenin alanını bulabilir ve ardından kenar sayısı ile çarpabilirsiniz. Altıgen bir piramit içinde 6 tane vardır.Ancak bu yöntem hesaplamada da kullanılabilir.Altıgen bir piramidin yan yüzey alanını hesaplama örneğini düşünün.

Apothemin a = 7 cm olduğu, tabanın kenarının b = 3 cm olduğu düzenli bir altıgen piramit verilsin, çok yüzlünün yan yüzeyinin alanını hesaplayın.
İlk olarak, tabanın çevresini bulalım. Piramit düzgün olduğundan tabanında düzgün bir altıgen vardır. Bu, tüm kenarlarının eşit olduğu ve çevrenin aşağıdaki formül kullanılarak hesaplandığı anlamına gelir:
Verileri formülde değiştiriyoruz:
Şimdi bulunan değeri ana formülde yerine koyarak yan yüzey alanını kolayca bulabiliriz:

Ayrıca, önemli bir nokta, temel alan arayışıdır. Altıgen bir piramidin tabanının alanı için formül, düzenli bir altıgenin özelliklerinden türetilmiştir:

Bir altıgen piramidin tabanının alanını hesaplamanın bir örneğini, tabanın b = 3 cm olduğunu bildiğimiz önceki örnekteki koşullara dayanarak ele alalım.Verileri formülde değiştirin:

Altıgen bir piramidin alanı için formül, taban ve yan süpürme alanının toplamıdır:

Altıgen bir piramidin alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

Tabanında b = 4 cm kenarlı düzgün bir altıgen olan bir piramit verilsin Belirli bir çokyüzlülüğün özü a = 6 cm'ye eşittir Toplam alanı bulun.
Toplam alanın taban ve yan süpürme alanlarından oluştuğunu biliyoruz. Bu nedenle, önce onları bulacağız. Çevreyi hesaplayalım:

Şimdi yan yüzeyin alanını bulalım:

Ardından, normal altıgenin bulunduğu taban alanını hesaplıyoruz:

Şimdi ortaya çıkan sonuçları ekleyebiliriz: