Tabanında yer alan piramit düzenli altıgen, ve kenarları düzgün üçgenlerden oluşur, denir altıgen.

Bu polihedron birçok özelliğe sahiptir:

• Tabanın tüm kenarları ve açıları birbirine eşittir;
• Tüm kenarlar ve dihedral kömür piramitleri de birbirine eşittir;
• Kenarları oluşturan üçgenler sırasıyla aynıdır, alanları, kenarları ve yükseklikleri aynıdır.

Doğru alanı hesaplamak için altıgen piramit altıgen piramidin yan yüzey alanı için standart formül uygulanır:

burada P tabanın çevresi, a ise piramidin özetinin uzunluğudur. Çoğu durumda, bu formülü kullanarak yan alanı hesaplayabilirsiniz, ancak bazen başka bir yöntem kullanabilirsiniz. Piramidin yan yüzleri eşit üçgenlerden oluştuğundan, bir üçgenin alanını bulabilir ve ardından kenar sayısı ile çarpabilirsiniz. Altıgen bir piramit içinde 6 tane vardır.Fakat bu yöntem hesaplamada da kullanılabilir.Altıgen bir piramidin yanal yüzey alanını hesaplama örneğini ele alalım.

Apothemin a = 7 cm olduğu, tabanın kenarının b = 3 cm olduğu düzenli bir altıgen piramit verilsin, çokyüzlülüğün yan yüzeyinin alanını hesaplayın.
İlk olarak, tabanın çevresini bulun. Piramit düzgün olduğu için tabanında düzgün bir altıgen bulunur. Böylece, tüm kenarları eşittir ve çevre aşağıdaki formülle hesaplanır:
Formüldeki verileri değiştiriyoruz:
Şimdi bulunan değeri ana formülde yerine koyarak yan yüzey alanını kolayca bulabiliriz:

Ayrıca önemli bir nokta, üssün alanını aramaktır. Altıgen bir piramidin tabanının alanı için formül, düzenli bir altıgenin özelliklerinden türetilmiştir:

Bir önceki örnekteki koşulları temel alarak altıgen bir piramidin tabanının alanını hesaplama örneğini ele alalım.Onlardan tabanın kenarının b = 3 cm olduğunu biliyoruz.Verileri yerine koyalım. formül:

Altıgen bir piramidin alanı için formül, taban alanı ve yan taramanın toplamıdır:

Altıgen bir piramidin alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Tabanında bir kenarı b = 4 cm olan düzgün bir altıgen bulunan bir piramit verilsin.Verilen bir çokyüzlülüğün özü a = 6 cm'dir.Toplam alanı bulun.
Toplam alanın taban ve yan süpürme alanlarından oluştuğunu biliyoruz. Öyleyse önce onları bulalım. Çevreyi hesaplayın:

Şimdi yan yüzey alanını bulun:

Ardından, normal altıgenin bulunduğu tabanın alanını hesaplıyoruz:

Şimdi sonuçları toplayabiliriz:

Üçgen piramit Bir polihedron, tabanı düzenli bir üçgen olan bir polihedron olarak adlandırılır.

Böyle bir piramitte tabanın yüzleri ve kenarların kenarları birbirine eşittir. Buna göre yan yüzlerin alanı, üç özdeş üçgenin alanlarının toplamından bulunur. Yan yüzey alanını bulun doğru piramit formülü kullanabilirsiniz. Ve hesaplamayı birkaç kat daha hızlı yapabilirsiniz. Bunu yapmak için, yan yüzey alanı için formülü uygulayın. Üçgen piramit:

p, tüm kenarları b'ye eşit olan tabanın çevresi olduğunda, a, yukarıdan bu tabana indirilen özlü sözdür. Üçgen bir piramidin alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Görev: Doğru piramidin verilmesine izin verin. Tabanda yatan üçgenin kenarı b = 4 cm'dir Piramidin özü a = 7 cm'dir Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Problemin koşullarına göre gerekli tüm elemanların uzunluklarını bildiğimiz için çevreyi bulacağız. Normal bir üçgende tüm kenarların eşit olduğunu ve bu nedenle çevrenin aşağıdaki formülle hesaplandığını unutmayın:

Verileri değiştirin ve değeri bulun:

Şimdi, çevreyi bilerek, yan yüzey alanını hesaplayabiliriz:

Tam değeri hesaplamak üzere üçgen piramidin alanı için formülü uygulamak için çokyüzlü tabanının alanını bulmanız gerekir. Bunun için şu formül kullanılır:

Üçgen bir piramidin tabanının alanı için formül farklı olabilir. Belirli bir şekil için herhangi bir parametre hesaplamasının kullanılmasına izin verilir, ancak çoğu zaman bu gerekli değildir. Üçgen bir piramidin tabanının alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Görev: Düzenli bir piramitte, üçgenin tabanda uzanan kenarı a = 6 cm'dir.Taban alanını hesaplayın.
Hesaplamak için sadece piramidin tabanında bulunan normal bir üçgenin kenar uzunluğuna ihtiyacımız var. Formüldeki verileri değiştirin:

Oldukça sık bir polihedronun toplam alanını bulmak gerekir. Bunu yapmak için yan yüzey ve taban alanını eklemeniz gerekir.

Üçgen bir piramidin alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Problem: Düzgün bir üçgen piramit verilsin. Tabanın kenarı b = 4 cm, özlü söz a = 6 cm'dir Piramidin toplam alanını bulun.
İlk önce, zaten bilinen formülü kullanarak yan yüzey alanını bulalım. Çevreyi hesaplayın:

Formüldeki verileri değiştiriyoruz:
Şimdi tabanın alanını bulun:
Taban ve yan yüzey alanını bilerek, piramidin toplam alanını buluyoruz:

Düzenli bir piramidin alanını hesaplarken, tabanın düzenli bir üçgen olduğu ve bu polihedronun birçok elemanının birbirine eşit olduğu unutulmamalıdır.

Matematikte sınava hazırlanırken öğrencilerin cebir ve geometri bilgilerini sistemleştirmeleri gerekir. Bilinen tüm bilgileri birleştirmek istiyorum, örneğin bir piramidin alanının nasıl hesaplanacağı. Ayrıca taban ve yan yüzlerden başlayarak tüm yüzey alanına kadar. Yan yüzlerde durum açıksa, çünkü bunlar üçgendir, o zaman taban her zaman farklıdır.

Piramidin tabanının alanını bulurken ne yapmalı?

Kesinlikle herhangi bir şekil olabilir: keyfi bir üçgenden bir n-gon'a. Ve bu taban, açı sayısındaki farka ek olarak, normal bir şekil veya yanlış bir şekil olabilir. Okul çağındaki çocukların ilgisini çeken KULLANIM görevlerinde, yalnızca tabanda doğru rakamların yer aldığı görevler vardır. Bu nedenle, sadece onlar hakkında konuşacağız.

sağ üçgen

Yani eşkenar. Tüm tarafların eşit olduğu ve "a" harfi ile gösterilen biri. Bu durumda, piramidin tabanının alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

S = (a 2 * √3) / 4.

Kare

Alanını hesaplama formülü en basitidir, burada "a" yine taraftır:

Keyfi düzenli n-gon

Bir çokgenin kenarı aynı atamaya sahiptir. Köşe sayısı için Latin harfi n kullanılır.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n))).

Yanal ve toplam yüzey alanını hesaplarken nasıl ilerlenir?

Taban düzgün bir şekil olduğu için piramidin tüm yüzleri eşittir. Ayrıca, yan kenarlar eşit olduğu için her biri bir ikizkenar üçgendir. Ardından, piramidin yan alanını hesaplamak için, aynı monomiallerin toplamından oluşan bir formüle ihtiyacınız vardır. Terim sayısı, tabanın kenar sayısına göre belirlenir.

Bir ikizkenar üçgenin alanı, taban ürününün yarısının yükseklik ile çarpıldığı formülle hesaplanır. Piramitteki bu yüksekliğe apothem denir. Tanımı "A" dır. Yanal yüzey alanı için genel formül:

S \u003d ½ P * A, burada P, piramidin tabanının çevresidir.

Tabanın kenarlarının bilinmediği, ancak yan kenarların (c) ve tepe noktasındaki düz açının (α) verildiği durumlar vardır. O zaman piramidin yan alanını hesaplamak için böyle bir formül kullanması gerekiyor:

S = n/2 * 2 günah α'da .

Görev 1

Koşul. Tabanı 4 cm'lik bir kenara sahipse ve özdeyiş √3 cm'lik bir değere sahipse, piramidin toplam alanını bulun.

Karar. Tabanın çevresini hesaplayarak başlamanız gerekir. Bu normal bir üçgen olduğundan, o zaman P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm Özdeyiş bilindiğinden, tüm yan yüzeyin alanını hemen hesaplayabilirsiniz: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm2.

Tabandaki bir üçgen için aşağıdaki alan değeri elde edilecektir: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Tüm alanı belirlemek için iki sonuç değerini eklemeniz gerekecek: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Cevap. 10√3 cm2.

2. Görev

Koşul. Düzenli bir dörtgen piramit var. Taban kenarının uzunluğu 7 mm, yan kenarı 16 mm'dir. Yüzey alanını bilmeniz gerekir.

Karar.Çokyüzlü dörtgen ve düzenli olduğundan, tabanı karedir. Taban ve yan yüzlerin alanlarını öğrendikten sonra piramidin alanını hesaplamak mümkün olacaktır. Kare formülü yukarıda verilmiştir. Ve yan yüzlerde üçgenin tüm kenarları bilinmektedir. Bu nedenle, alanlarını hesaplamak için Heron formülünü kullanabilirsiniz.

İlk hesaplamalar basittir ve şu sayıya yol açar: 49 mm 2. İkinci değer için yarı çevreyi hesaplamanız gerekecek: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Artık bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 mm 2. Bu tür sadece dört üçgen vardır, bu nedenle son sayıyı hesaplarken onu 4 ile çarpmanız gerekir.

Çıkıyor: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.

Cevap. İstenen değer 267.576 mm2'dir.

Görev #3

Koşul. Düzenli bir dörtgen piramit için alanı hesaplamanız gerekir. İçinde karenin bir kenarı 6 cm, yüksekliği 4 cm'dir.

Karar. En kolay yol, formülü çevrenin ve özdeyişin çarpımı ile kullanmaktır. İlk değeri bulmak kolaydır. İkincisi biraz daha zor.

Pisagor teoremini hatırlamamız ve onun, piramidin yüksekliği ve hipotenüs olan özlü sözden oluştuğunu düşünmemiz gerekecek. İkinci ayak, polihedronun yüksekliği ortasına düştüğü için karenin kenarının yarısına eşittir.

İstenen özdeyiş (bir dik üçgenin hipotenüsü) √(3 2 + 4 2) = 5 (cm)'dir.

Şimdi istediğiniz değeri hesaplayabilirsiniz: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Cevap. 96 cm2.

Görev #4

Koşul. Dana Sağ Taraf tabanları 22 mm, yan kaburgalar - 61 mm. Bu polihedronun yan yüzeyinin alanı nedir?

Karar.İçindeki mantık, 2 numaralı problemde açıklananla aynıdır. Sadece tabanında kare olan bir piramit verildi ve şimdi bir altıgen.

Her şeyden önce, tabanın alanı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanır: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm2

Şimdi, bir yan yüz olan ikizkenar üçgenin yarı çevresini bulmanız gerekiyor. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm Heron formülünü kullanarak bu tür her üçgenin alanını hesaplamak için kalır ve ardından altı ile çarpın ve ortaya çıkana ekleyin. temel.

Heron formülünü kullanan hesaplamalar: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Yan yüzey alanını verecek hesaplamalar: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Tüm yüzeyi bulmak için onları toplamaya devam ediyor: 5217.47≈5217 cm 2.

Cevap. Taban - 726√3 cm 2, yan yüzey - 3960 cm 2, tüm alan - 5217 cm 2.

Tanım. Yan yüz- bu, bir açının piramidin tepesinde yer aldığı ve karşı tarafının tabanın (çokgen) tarafıyla çakıştığı bir üçgendir.

Tanım. yan kaburgalar yan yüzlerin ortak yanlarıdır. Bir piramidin bir çokgendeki köşe sayısı kadar kenarı vardır.

Tanım. piramit yüksekliği piramidin tepesinden tabanına düşen bir diktir.

Tanım. özlü söz- bu, piramidin tepesinden tabanın yanına indirilen piramidin yan yüzünün dikeyidir.

Tanım. diyagonal bölüm- bu, piramidin tepesinden ve tabanın köşegeninden geçen bir düzlem tarafından piramidin bir bölümüdür.

Tanım. doğru piramit- Bu, tabanın düzgün bir çokgen olduğu ve yüksekliğin tabanın merkezine indiği bir piramittir.

Piramidin hacmi ve yüzey alanı

formül. piramit hacmi taban alanı ve yüksekliği ile:

piramit özellikleri

Tüm yan kenarlar eşitse, piramidin tabanının çevresine bir daire çizilebilir ve tabanın merkezi dairenin merkeziyle çakışır. Ayrıca, üstten düşen dik, tabanın (daire) merkezinden geçer.

Tüm yan nervürler eşitse, taban düzlemine aynı açılarda eğimlidirler.

Yan kirişler, taban düzlemi ile eşit açılar oluşturduklarında veya piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa eşittir.

Yan yüzler taban düzlemine bir açıyla eğimliyse, piramidin tabanına bir daire çizilebilir ve piramidin tepesi merkezine yansıtılır.

Yan yüzler taban düzlemine bir açıyla eğimliyse, yan yüzlerin özleri eşittir.

Düzenli bir piramidin özellikleri

1. Piramidin tepesi, tabanın tüm köşelerinden eşit uzaklıktadır.

2. Tüm yan kenarlar eşittir.

3. Tüm yan nervürler tabana aynı açılarda eğimlidir.

4. Tüm yan yüzlerin özlü ifadeleri eşittir.

5. Tüm yan yüzlerin alanları eşittir.

6. Tüm yüzler aynı dihedral (düz) açılara sahiptir.

7. Piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir. Tanımlanan kürenin merkezi, kenarların ortasından geçen diklerin kesişme noktası olacaktır.

8. Bir piramidin içine bir küre yazılabilir. Yazılı kürenin merkezi, kenar ile taban arasındaki açıdan çıkan açıortayların kesişme noktası olacaktır.

9. Yazılı kürenin merkezi çevrelenmiş kürenin merkeziyle çakışıyorsa, tepe noktasındaki düz açıların toplamı π'ye eşittir veya tam tersi, bir açı π / n'ye eşittir, burada n sayıdır piramidin tabanındaki açılar.

Piramidin küre ile bağlantısı

Piramidin tabanında, çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir polihedron bulunduğunda, piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir (gerekli ve yeterli koşul). Kürenin merkezi, piramidin yan kenarlarının orta noktalarından dik olarak geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır.

Bir küre her zaman herhangi bir üçgen veya düzenli piramidin etrafında tanımlanabilir.

Piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemleri bir noktada kesişiyorsa (gerekli ve yeterli bir koşul) bir piramide bir küre yazılabilir. Bu nokta kürenin merkezi olacaktır.

Piramidin koni ile bağlantısı

Köşeleri çakışıyorsa ve koninin tabanı piramidin tabanında yazılıysa, bir koniye piramidin içinde yazılı denir.

Piramidin özleri eşitse, bir piramide bir koni yazılabilir.

Bir koninin, köşeleri çakışıyorsa ve koninin tabanı piramidin tabanı etrafında çevreleniyorsa, bir piramidin etrafında çevrelendiği söylenir.

Piramidin tüm yan kenarları birbirine eşitse, bir piramidin etrafında bir koni tanımlanabilir.

Piramidin silindir ile bağlantısı

Piramidin tepesi silindirin bir tabanında yer alıyorsa ve piramidin tabanı silindirin başka bir tabanında yazılıysa, bir piramidin silindire yazılı olduğu söylenir.

Piramidin tabanı etrafında bir daire çevrelenebiliyorsa, bir silindir bir piramidin etrafında çevrelenebilir.

Bir tetrahedron dört yüze ve dört köşeye ve herhangi iki kenarın ortak köşeleri olmadığı ancak temas etmediği altı kenara sahiptir.

Her tepe noktası, aşağıdakileri oluşturan üç yüz ve kenardan oluşur. üç yüzlü açı.

Tetrahedronun tepe noktasını karşı yüzün merkezine bağlayan doğru parçasına denir. tetrahedronun medyanı(GM).

Bimedyan birbirine değmeyen karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına (KL) denir.

Bir tetrahedronun tüm bimedyanları ve medyanları bir noktada (S) kesişir. Bu durumda, bimedyanlar ikiye bölünür ve medyanlar üstten başlayarak 3: 1 oranındadır.

Tanım. Akut Açılı Piramitözlü sözün, tabanın kenarının yarısından fazla olduğu bir piramittir.

Tanım. geniş piramitözlü sözün, tabanın kenarının yarısından daha az olduğu bir piramittir.

Tanım. düzenli tetrahedron Dört yüzü eşkenar üçgen olan bir tetrahedron. Beş düzgün çokgenden biridir. Düzgün bir dörtyüzlüde, tüm dihedral açılar (yüzler arasında) ve üçyüzlü açılar (bir tepe noktasında) eşittir.

Tanım. dikdörtgen tetrahedron tepe noktasında üç kenar arasında dik açıya sahip olan bir tetrahedron denir (kenarlar diktir). Üç yüz formu dikdörtgen üçgen açı ve kenarlar dik üçgenler, ve taban keyfi bir üçgendir. Herhangi bir yüzün özü, özün düştüğü tabanın kenarının yarısına eşittir.

Tanım. izohedral tetrahedron Yan yüzlerin birbirine eşit olduğu ve tabanın düzenli bir üçgen olduğu bir tetrahedron denir. Böyle bir tetrahedronun yüzleri ikizkenar üçgenlerdir.

Tanım. ortosentrik tetrahedron Yukarıdan zıt yüze indirilen tüm yüksekliklerin (diklikler) bir noktada kesiştiği bir tetrahedron denir.

Tanım. yıldız piramidi Tabanı yıldız olan çokyüzlüye denir.