Fonksiyonlar karmaşık tür buna "karmaşık işlev" demek tamamen doğru değil. Örneğin, çok etkileyici görünüyor, ancak bu işlev, aksine karmaşık değil.

Bu yazımızda bu kavramı ele alacağız. karmaşık fonksiyon, onu temel fonksiyonların bir parçası olarak nasıl tanımlayacağımızı öğreneceğiz, türevini bulmak için bir formül vereceğiz ve tipik örneklerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alacağız.

Örnekleri çözerken sürekli olarak türev tablosunu ve türev alma kurallarını kullanacağız, bu yüzden gözünüzün önünde bulundurun.

karmaşık fonksiyon Argümanı aynı zamanda bir fonksiyon olan bir fonksiyondur.

Bizim açımızdan bu tanım en anlaşılır olanıdır. Geleneksel olarak f (g (x)) olarak gösterilebilir. Yani, g(x), f(g(x)) fonksiyonunun bir argümanı gibidir.

Örneğin, f arktanjant işleviyse ve g (x) = lnx doğal logaritma işleviyse, o zaman karmaşık f (g (x)) işlevi arktandır (lnx). Başka bir örnek: f dördüncü güce yükseltme işlevidir ve tam bir rasyonel fonksiyondur (bkz.), o zaman .

Buna karşılık g(x) de karmaşık bir fonksiyon olabilir. Örneğin, ... Geleneksel olarak, böyle bir ifade şu şekilde gösterilebilir: ... Burada f sinüs fonksiyonu, çıkarma fonksiyonu kare kök, - kesirli rasyonel fonksiyon. Fonksiyonların iç içe geçme derecesinin herhangi bir sonlu olabileceğini varsaymak mantıklıdır. doğal sayı.

Sıklıkla karmaşık bir işlevin çağrıldığını duyabilirsiniz. fonksiyonların bileşimi.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için formül.

Örnek.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun.

Çözüm.

Bu örnekte f, kare alma işlevidir ve g (x) = 2x + 1 - doğrusal fonksiyon.

Buraya detaylı çözüm karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü kullanarak:

Orijinal fonksiyonun formunu sadeleştirdikten sonra bu türevi bulalım.

Buradan,

Gördüğünüz gibi, sonuçlar aynı.

Hangi fonksiyonun f, hangisinin g(x) olduğunu karıştırmamaya çalışın.

Bunu bir dikkat örneği ile açıklayalım.

Örnek.

Karmaşık fonksiyonların türevlerini bulun ve.

Çözüm.

İlk durumda, f kare alma işlevidir ve g (x) sinüs işlevidir, yani
.

İkinci durumda, f sinüs fonksiyonudur ve - güç fonksiyonu... Bu nedenle, karmaşık bir fonksiyonun ürünü için formüle göre,

Fonksiyonun türev formülü şu şekildedir:

Örnek.

Farklılaşma işlevi .

Çözüm.

Bu örnekte, karmaşık bir işlev koşullu olarak şu şekilde yazılabilir: , sinüs fonksiyonu nerede, üçüncü kuvvete yükseltme fonksiyonu, logaritmayı e tabanına alma fonksiyonu, sırasıyla arktanjantı alma fonksiyonu ve lineer fonksiyon.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi formülü ile

şimdi buluyoruz

Elde edilen ara sonuçları bir araya getirmek:

İç içe geçmiş bebekler gibi korkutucu, karmaşık işlevler yoktur.

Bu, tek bir olmasa da makalenin sonu olabilir ama ...

Türev alma kurallarının ve türev tablosunun ne zaman uygulanacağını ve karmaşık bir fonksiyonun türevi formülünün ne zaman kullanılacağını açıkça anlamanız önerilir..

ŞİMDİ ÖZELLİKLE DİKKATLİ OLUN. Karmaşık fonksiyonlar ve karmaşık fonksiyonlar arasındaki fark hakkında konuşacağız. Bu farkı ne kadar gördüğünüz, türev bulma başarısını belirleyecektir.

Bazı basit örneklerle başlayalım. İşlev karmaşık olarak kabul edilebilir: g (x) = tgx, ... Bu nedenle, karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü hemen uygulayabilirsiniz.

Ve işte fonksiyon zor zaten çağrılamaz.

Bu fonksiyon, 3tgx ve 1 olmak üzere üç fonksiyonun toplamıdır. - karmaşık bir fonksiyon olmasına rağmen: bir güç fonksiyonudur (kuadratik parabol) ve f bir teğet fonksiyondur. Bu nedenle, önce toplamı türevlendirmek için formülü uygularız:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için kalır:

Bu yüzden .

Ana fikri anladığınızı umuyoruz.

Daha geniş olarak, karmaşık türdeki işlevlerin karmaşık işlevlerin parçası olabileceği ve karmaşık işlevlerin karmaşık türdeki işlevlerin parçası olabileceği iddia edilebilir.

Örnek olarak, analiz edelim bileşen parçaları işlev .

Başta, bu karmaşık bir fonksiyondur, burada f, 3 tabanına göre logaritma fonksiyonudur ve g (x) iki fonksiyonun toplamıdır. ve ... Yani, .

ikinci olarak, h (x) fonksiyonu ile ilgileneceğiz. ile bir ilişkiyi temsil eder. .

Bu iki fonksiyonun toplamıdır ve , nerede - sayısal katsayısı 3 olan karmaşık bir fonksiyon. - küp işlevi, - kosinüs işlevi, - doğrusal işlev.

Bu, iki fonksiyonun toplamıdır ve nerede - karmaşık işlev, - üs alma işlevi, - güç işlevi.

Böylece, .

Üçüncüsü, git, karmaşık bir fonksiyonun ürünü olan ve bütün bir rasyonel fonksiyon

Kare alma işlevi, logaritmayı e tabanına alma işlevidir.

Buradan, .

Özetleyelim:

Artık fonksiyonun yapısı netleşti ve türevleri alınırken hangi formüllerin ve hangi sırayla uygulanacağı netleşti.

Bir fonksiyonun türevi (türevi bulma) bölümünde, benzer problemlerin çözümüne aşina olabilirsiniz.

Türev bulma işlemine türev alma denir.

En basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonlar için türev bulma problemlerinin, türevi, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlayarak çözülmesinin bir sonucu olarak, bir türev tablosu ve kesin olarak tanımlanmış türev kuralları ortaya çıktı. Türev bulma alanında ilk olanlar Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) idi.

Bu nedenle, zamanımızda, herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının yukarıda belirtilen limitini hesaplamak gerekli değildir, ancak sadece kullanmanız gerekir. türev tablosu ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.

türevini bulmak için, kontur işaretinin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri sök ve hangi eylemleri belirlemek (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler bağlantılıdır. Ayrıca, temel fonksiyonların türevleri türev tablosunda bulunur ve ürün, toplam ve bölümün türevleri için formüller türev alma kurallarında bulunur. İlk iki örnekten sonra türev tablosu ve türev alma kuralları verilmiştir.

Örnek 1. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Türev alma kurallarından, fonksiyonların toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu, yani.

Türev tablosundan "x" in türevinin bire eşit olduğunu ve sinüsün türevinin kosinüs'e eşit olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamına yerleştiririz ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluruz:

Örnek 2. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Sabit faktörlü ikinci terimin türevin işaretinden çıkarılabileceği toplamın türevi olarak farklılaşırız:

Neyin nereden geldiğine dair hala sorular varsa, kural olarak, türevler tablosuna ve en basit farklılaşma kurallarına aşina olduktan sonra daha net hale gelirler. Hemen onlara gidiyoruz.

Basit fonksiyonların türev tablosu

1. Bir sabitin (sayı) türevi. İşlev ifadesindeki herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200 ...). Her zaman sıfır. Bu çok sık gerekli olduğu için hatırlanması çok önemlidir.
2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "x". Her zaman bire eşittir. Bunu uzun süre hatırlamak da önemlidir.
3. Türev derecesi. Problemleri çözerken kare olmayan kökleri bir güce dönüştürmeniz gerekir.
4. Bir değişkenin -1 kuvvetine göre türevi
5. Karekökün türevi
6. Sinüs türevi
7. Kosinüsün türevi
8. Tanjantın türevi
9. Kotanjantın türevi
10. arksinüs türevi
11. Arkozinin türevi
12. Arktanjantın türevi
13. Ark kotanjantının türevi
14. Doğal logaritmanın türevi
15. Logaritmik fonksiyonun türevi
16. Üsün türevi
17. Türev üstel fonksiyon

farklılaşma kuralları

1. Toplamın veya farkın türevi
2. İşin türevi
2a. Sabit bir faktörle çarpılan bir ifadenin türevi
3. Bölümün türevi
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Kural 1.eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir, sonra aynı noktada fonksiyonlar

Dahası

onlar. fonksiyonların cebirsel toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.

Sonuç. İki türevlenebilir fonksiyon sabit bir terimle farklıysa, türevleri eşittir., yani

Kural 2.eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir, sonra aynı noktada ürünleri de türevlenebilir

Dahası

onlar. iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin diğerinin türevine göre ürünlerinin toplamına eşittir.

Sonuç 1. Sabit faktör, türevin işaretinin dışına taşınabilir:

Sonuç 2. Birkaç türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi, faktörlerin her birinin diğerlerinin türevinin ürünlerinin toplamına eşittir.

Örneğin, üç faktör için:

Kural 3.eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir ve , o zaman bu noktada türevlenebilir ve bölümleriu / v ve

onlar. iki fonksiyonun bölümünün türevi, payı paydanın ürünleri ile payın türevi ve payın türevi arasındaki fark olan kesre eşittir ve payda, paydanın karesidir. önceki numaratör

Diğer sayfalarda ne aranmalı

Gerçek problemlerde çarpım ve bölümün türevi bulunurken, her zaman birkaç türev kuralının aynı anda uygulanması gerekir, bu nedenle bu türevlerle ilgili daha fazla örnek makalede verilmiştir."Bir işin ve belirli bir fonksiyonun türevi".

Yorum Yap. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplama ve sabit faktör olarak karıştırmayın! Bir terim olması durumunda türevi sıfıra eşittir ve sabit bir faktör olması durumunda türevlerin işaretinden çıkarılır. o tipik hataüzerinde meydana gelen İlk aşama türevleri inceler, ancak birkaç bir veya iki bileşenli örnek çözüldüğünden, ortalama bir öğrenci artık bu hatayı yapmaz.

Ve eğer bir işi veya belirli bir şeyi ayırt ederken, bir teriminiz varsa sen"v, hangi sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacak ve bu nedenle tüm terim sıfıra eşit olacaktır (bu durum Örnek 10'da analiz edilmiştir).

Diğer bir yaygın hata ise mekanik çözüm basit bir fonksiyonun türevi olarak karmaşık bir fonksiyonun türevi. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makale ayrılmıştır. Ama önce basit fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz.

Yol boyunca, ifade dönüşümleri olmadan yapamazsınız. Bunu yapmak için öğreticileri yeni pencerelerde açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler ve kesir eylemleri .

Kesirlerin kuvvetleri ve kökleri olan türevlerine çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon şöyle göründüğünde , ardından Kuvvetler ve Köklerle Kesirlerin Toplamının Türevi dersini takip edin.

gibi bir göreviniz varsa , sonra dersiniz "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri".

Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur

Örnek 3. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini belirleriz: ifadenin tamamı ürünü temsil eder ve faktörleri, ikincisinde terimlerden birinin sabit bir faktör içerdiği toplamlardır. Çarpım türevi kuralını uygularız: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin diğerinin türeviyle çarpımlarının toplamına eşittir:

Sonra, toplamı türev alma kuralını uygularız: fonksiyonların cebirsel toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamda, eksi işareti olan ikinci terim. Her toplamda, hem türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken hem de türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Yani, bizim için "x" bire ve eksi 5 - sıfıra dönüşüyor. İkinci ifadede, "x" 2 ile çarpılır, yani ikiyi "x"in türeviyle aynı birim ile çarparız. Türevlerin aşağıdaki değerlerini alıyoruz:

Bulunan türevleri ürünlerin toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:

Ve türevi için problemin çözümünü kontrol edebilirsiniz.

Örnek 4. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bölümün türevini bulmamız gerekiyor. Bölümün türevini almak için formülü uygularız: iki fonksiyonun bölümünün türevi, payı payın türevi ile paydanın ürünleri ve payın türevi ile pay arasındaki fark olan kesre eşittir. payda ve payda önceki payın karesidir. Alırız:

Örnek 2'de paydaki çarpanların türevini zaten bulmuştuk. Şu anki örnekte payda ikinci çarpan olan ürünün eksi işaretiyle alındığını unutmayalım:

Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, örneğin sürekli bir kök ve güçler kargaşasının olduğu problemlere çözüm arıyorsanız, örneğin, o zaman sınıfa hoşgeldin "Kuvvetleri ve kökleri olan kesirlerin toplamının türevi" .

Sinüs, kosinüs, tanjant ve diğerlerinin türevleri hakkında daha fazla bilgi sahibi olmanız gerekiyorsa trigonometrik fonksiyonlar, yani, işlev şöyle göründüğünde , sonra dersin "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .

Örnek 5. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, türev tablosunda türevine aşina olduğumuz, faktörlerinden biri bağımsız değişkenin karekökü olan bir ürün görüyoruz. Ürünün türev kuralına ve karekök türevinin tablo değerine göre, şunu elde ederiz:

Türev için problemin çözümünü kontrol edebilirsiniz. türev hesaplayıcı çevrimiçi .

Örnek 6. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, payı bağımsız değişkenin karekökü olan bölümü görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümün türev alma kuralına ve karekökün türevinin tablo değerine göre şunu elde ederiz:

Paydaki kesirden kurtulmak için pay ve paydayı ile çarpın.

Bu derste nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. karmaşık bir fonksiyonun türevi... Ders, dersin mantıklı bir devamıdır Türevini nasıl bulurum?üzerinde en basit türevleri analiz ettiğimiz ve ayrıca türev bulma kuralları ve bazı teknikler hakkında bilgi sahibi olduk. Bu nedenle, fonksiyonların türevleri konusunda çok iyi değilseniz veya bu makalenin bazı noktaları tam olarak açık değilse, önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir ruh hali içinde olun - malzeme kolay değil, ancak onu basit ve kolay bir şekilde sunmaya çalışacağım.

Pratikte, karmaşık bir fonksiyonun türeviyle çok sık uğraşmanız gerekir, hatta diyebilirim ki, neredeyse her zaman, türevleri bulmak için görevler verildiğinde.

Karmaşık bir işlevi ayırt etmek için tablodaki kurala (No. 5) bakarız:

Anlamak. Öncelikle kayda dikkat edelim. Burada iki işlevimiz var - ve dahası, mecazi anlamda işlev, işleve gömülüdür. Bu tür bir işleve (bir işlev diğerinin içinde yuvalandığında) karmaşık işlev denir.

fonksiyonu arayacağım harici fonksiyon ve işlev - bir iç (veya iç içe) işlev.

! Bu tanımlar teorik değildir ve ödevlerin nihai tasarımında yer almamalıdır. Resmi olmayan "dış işlev", "iç" işlev ifadelerini yalnızca materyali anlamanızı kolaylaştırmak için kullanıyorum.

Durumu netleştirmek için şunları göz önünde bulundurun:

örnek 1

Bir fonksiyonun türevini bulun

Sinüs altında sadece "X" harfi değil, bir tamsayı ifadesi var, bu nedenle tablodan türevi hemen bulmak mümkün olmayacak. Ayrıca burada ilk dört kuralı uygulamanın imkansız olduğunu fark ediyoruz, bir fark var gibi görünüyor, ancak gerçek şu ki bir sinüsü “parçalayamazsınız”:

Bu örnekte, zaten açıklamalarımdan, bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyon olduğu ve polinomun bir iç fonksiyon (yuvalama) ve bir harici fonksiyon olduğu sezgisel olarak açıktır.

İlk adım Karmaşık bir fonksiyonun türevi bulunurken yapılması gereken, Hangi işlevin dahili, hangisinin harici olduğunu anlayın.

Basit örneklerde, sinüsün altında bir polinomun iç içe olduğu açıkça görülmektedir. Ama ya her şey açık değilse? Hangi fonksiyonun harici, hangisinin dahili olduğu tam olarak nasıl belirlenir? Bunu yapmak için, zihinsel olarak veya bir taslak üzerinde yapılabilecek aşağıdaki tekniği kullanmanızı öneririm.

Bir hesap makinesinde bir ifadenin değerini hesaplamamız gerektiğini düşünün (bir yerine herhangi bir sayı olabilir).

İlk önce neyi hesaplayacağız? Her şeyden önce aşağıdaki eylemi gerçekleştirmeniz gerekecek: bu nedenle polinom dahili bir işlev olacaktır:

İkincil bulunması gerekecek, bu nedenle sinüs harici bir fonksiyon olacaktır:

bizden sonra Çözmek iç ve dış fonksiyonlarla, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uygulamanın tam zamanıdır.

Karar vermeye başlıyoruz. dersten Türevini nasıl bulurum? Herhangi bir türevin çözümünün tasarımının her zaman böyle başladığını hatırlıyoruz - ifadeyi parantez içine alıyoruz ve sağ üste bir çizgi koyuyoruz:

Başta dış fonksiyonun (sinüs) türevini buluruz, temel fonksiyonların türev tablosuna bakarız ve bunu fark ederiz. "x" karmaşık bir ifadeyle değiştirilse bile tüm tablo formülleri geçerlidir, bu durumda:

Not iç işlev değişmedi dokunmuyoruz.

Eh, çok açık ki

Formülün nihai tasarımda uygulanmasının sonucu şöyle görünür:

Sabit faktör genellikle ifadenin başına yerleştirilir:

Herhangi bir karışıklık varsa, çözümü yazın ve açıklamaları tekrar okuyun.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

Her zaman olduğu gibi, şunu yazıyoruz:

Nerede harici bir fonksiyonumuz olduğunu ve nerede dahili bir fonksiyonumuz olduğunu bulalım. Bunu yapmak için, ifadenin değerini (zihinsel olarak veya bir taslakta) hesaplamayı deneyin. İlk önce ne yapılmalı? Her şeyden önce, tabanın neye eşit olduğunu hesaplamanız gerekir: bu, polinomun dahili fonksiyon olduğu anlamına gelir:

Ve ancak o zaman üstelleştirme gerçekleştirilir, bu nedenle, güç işlevi harici bir işlevdir:

Formüle göre, önce dış fonksiyonun türevini, bu durumda dereceyi bulmanız gerekir. Tabloda gerekli formülü arıyoruz: Tekrar tekrar ediyoruz: herhangi bir tablo formülü yalnızca "x" için değil, aynı zamanda karmaşık bir ifade için de geçerlidir... Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu aşağıdaki gibidir:

Dış fonksiyonun türevini aldığımızda iç fonksiyonun bizim için değişmediğini tekrar vurguluyorum:

Şimdi geriye iç fonksiyonun çok basit bir türevini bulmak ve sonucu biraz "taramak" kalıyor:

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).

Karmaşık bir fonksiyonun türevi anlayışını pekiştirmek için yorumsuz bir örnek vereceğim, kendi başınıza anlamaya çalışacağım, dışsal olanın ve iç fonksiyonun nerede olduğunu tahmin edin, görevler neden bu şekilde çözüldü?

Örnek 5

a) Fonksiyonun türevini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulun

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bir kökümüz var ve kökü ayırt edebilmek için bir derece olarak temsil edilmesi gerekiyor. Böylece, önce fonksiyonu farklılaşmaya uygun bir forma getiriyoruz:

Fonksiyonu analiz ederek, üç terimin toplamının bir iç fonksiyon olduğu ve üs almanın bir dış fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz. Karmaşık bir işlevi türevlendirme kuralını uygularız:

Derece yine bir kök (kök) olarak temsil edilir ve iç fonksiyonun türevi için toplamı türevlendirmek için basit bir kural uygularız:

Hazır. Ayrıca parantez içindeki ifadeyi şuraya da getirebilirsiniz: ortak payda ve her şeyi tek bir kesirde yazın. Güzel, elbette, ama hantal uzun türevler elde edildiğinde, bunu yapmamak daha iyidir (kafanın karışması kolaydır, gereksiz bir hata yapar ve öğretmenin kontrol etmesi elverişsiz olacaktır).

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).

Bazen, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı yerine, bölümün türevini alma kuralının kullanılabileceğini belirtmek ilginçtir. , ancak böyle bir karar bir sapkınlık olarak komik görünecek. İşte tipik bir örnek:

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bölümün türev alma kuralını kullanabilirsiniz. , ancak karmaşık bir fonksiyonun türev kuralı ile türevi bulmak çok daha karlı:

Fonksiyonu türev için hazırlarız - eksiyi türevin işaretinin dışına taşırız ve kosinüsü paya yükseltiriz:

Kosinüs dahili bir fonksiyondur, üs alma harici bir fonksiyondur.
Kuralımızı kullanıyoruz:

Dahili fonksiyonun türevini bulun, kosinüsü sıfırlayın:

Hazır. Ele alınan örnekte, işaretlerde kafa karıştırmamak önemlidir. Bu arada kuralı ile çözmeye çalışın , cevaplar eşleşmelidir.

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).

Şimdiye kadar, karmaşık bir işlevde yalnızca bir ekimizin olduğu durumlara baktık. Pratik görevlerde, bebeklerin iç içe geçmesi gibi, 3, hatta 4-5 işlevin aynı anda iç içe geçtiği türevleri sıklıkla bulabilirsiniz.

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu fonksiyonun eklerini anlayalım. Test değerini kullanarak ifadeyi değerlendirmeye çalışmak. Bir hesap makinesine nasıl güveniriz?

İlk önce, arksinüsünün en derin yuvalama olduğu anlamına gelen bulmanız gerekir:

O zaman bu arksinüsünün karesi alınmalıdır:

Ve son olarak, 7'yi güce yükseltin:

Yani, bu örnekte, elimizde üç tane var. farklı işlevler ve iki ek, en içteki fonksiyon ark sinüs iken en dıştaki fonksiyon üstel fonksiyondur.

çözmeye başlıyoruz

Kurala göre, önce dış fonksiyonun türevini almanız gerekir. Türev tablosuna bakarız ve üstel fonksiyonun türevini buluruz: Tek fark, "x" yerine sahip olmamızdır. karmaşık ifade, bu formülün geçerliliğini reddetmez. Dolayısıyla, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu aşağıdaki gibidir:

Darbe altında, yine karmaşık bir fonksiyonumuz var! Ama zaten daha basit. İç fonksiyonun ark sinüs, dış fonksiyonun derece olduğunu doğrulamak kolaydır. Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralına göre, önce derecenin türevini almanız gerekir.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi formülünü kullanarak türev hesaplama örnekleri verilmiştir.

Ayrıca bakınız: Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülün kanıtı

Temel formüller

Burada, aşağıdaki fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasına ilişkin örnekler veriyoruz:
; ; ; ; .

Bir fonksiyon, aşağıdaki biçimde karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilebilirse:
,
daha sonra türevi aşağıdaki formülle belirlenir:
.
Aşağıdaki örneklerde bu formülü şu şekilde yazacağız:
.
nerede .
Burada, türev işaretinin altındaki veya alt simgeler, türevin gerçekleştirildiği değişkenleri gösterir.

Genellikle türev tablolarında x değişkeninin fonksiyonlarının türevleri verilir. Ancak, x resmi bir parametredir. x değişkeni başka bir değişkenle değiştirilebilir. Bu nedenle, bir fonksiyonu bir değişkenden ayırırken, türev tablosunda x değişkenini u değişkenine değiştiririz.

Basit örnekler

örnek 1

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
.

Verilen fonksiyonu eşdeğer bir biçimde yazalım:
.
Türev tablosunda şunları buluyoruz:
;
.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi formülüne göre:
.
Buraya .

Örnek 2

Türev bul
.

5 sabitini türevin işaretinin dışında ve bulduğumuz türev tablosundan çıkarıyoruz:
.

.
Buraya .

Örnek 3

türevi bulun
.

bir sabit çıkarıyoruz -1 türevin işaretinin arkasında ve türev tablosundan şunu buluruz:
;
Türev tablosundan şunu buluruz:
.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uygularız:
.
Buraya .

Daha karmaşık örnekler

Daha fazlası karmaşık örnekler karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını birkaç kez uygularız. Bunu yaparken, sondan türevi hesaplıyoruz. Yani, fonksiyonu bileşen parçalarına böleriz ve kullanarak en basit parçaların türevlerini buluruz. türev tablosu... biz de kullanıyoruz miktar farklılaştırma kuralları, ürünler ve kesirler. Sonra ikameler yaparız ve karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uygularız.

Örnek 4

türevi bulun
.

Formülün en basit kısmını seçelim ve türevini bulalım. ...

.
Burada notasyonu kullandık
.

Elde edilen sonuçları uygulayarak orijinal fonksiyonun sonraki bölümünün türevini bulun. Tutarı farklılaştırmak için kuralı uygularız:
.

Bir kez daha, karmaşık bir işlevi türevlendirme kuralını uyguluyoruz.

.
Buraya .

Örnek 5

Fonksiyonun türevini bulun
.

Formülün en basit kısmını seçelim ve türev tablosundan türevini bulalım. ...

Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uyguluyoruz.
.
Buraya
.

Bir sonraki kısmı, elde edilen sonuçları kullanarak farklılaştırıyoruz.
.
Buraya
.

Bir sonraki bölümü ayırt ediyoruz.

.
Buraya
.

Şimdi gerekli fonksiyonun türevini buluyoruz.

.
Buraya
.

Ön topçu hazırlığından sonra 3-4-5 işlev ekleri olan örnekler daha az korkutucu olacaktır. Belki aşağıdaki iki örnek bazıları için zor görünebilir, ancak onları anlarsanız (birisi acı çekecektir), o zaman diferansiyel hesaptaki hemen hemen her şey bir çocuk şakası gibi görünecektir.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken, her şeyden önce, gereklidir. sağ Ekleri ANLAYIN. Şüphelerin olduğu durumlarda, yararlı bir tekniği hatırlıyorum: örneğin "X"in deneysel değerini alıyoruz ve (zihinsel olarak veya bir taslakta) bu değeri "korkunç ifadede" değiştirmeye çalışıyoruz.

1) İlk olarak, miktarın en derin yatırım olduğu anlamına gelen ifadeyi hesaplamamız gerekiyor.

2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:

4) Ardından kosinüsü bir küp haline getirin:

5) Beşinci adımda, fark:

6) Son olarak, en dıştaki fonksiyon kareköktür:

Karmaşık fonksiyon farklılaşma formülü en dıştaki fonksiyondan en içtekine doğru ters sırada uygulanır. Karar veriyoruz:

Hatasız görünüyor:

1) Karekökün türevini alın.

2) Kuralı kullanarak farkın türevini alıyoruz

3) Üçlünün türevi sıfırdır. İkinci terimde, derecenin (küp) türevini alıyoruz.

4) Kosinüsün türevini alıyoruz.

6) Ve son olarak, en derin yuvalamanın türevini alıyoruz.

Çok zor görünebilir, ancak bu en acımasız örnek değil. Örneğin, Kuznetsov'un koleksiyonunu alın ve analiz edilen türevin tüm cazibesini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.

Bir sonraki örnek, kendin yap çözümü içindir.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

İpucu: İlk olarak, doğrusallık kurallarını ve çarpım farklılaştırma kuralını uyguluyoruz.

Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Şimdi daha kompakt ve sevimli bir şeye geçme zamanı.
Bir örneğin iki değil, üç işlevin bir ürününü vermesi nadir değildir. Üç faktörün ürününün türevi nasıl bulunur?

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

İlk olarak, üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına çevirmek mümkün mü bir bakalım. Örneğin, üründe iki polinomumuz olsaydı, parantezleri genişletebiliriz. Ancak bu örnekte tüm fonksiyonlar farklıdır: derece, üs ve logaritma.

Böyle durumlarda gerekli sürekliürün farklılaştırma kuralını uygula iki kere

İşin püf noktası, "y" için iki fonksiyonun çarpımını belirtmemizdir: ve "ve" için - logaritma:. Bu neden yapılabilir? bu mu - bu iki faktörün bir ürünü değil ve kural çalışmıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralı ikinci kez uygulamak kalıyor parantez için:

Hala saptırılabilir ve parantezlerin dışına bir şey koyabilirsiniz, ancak bu durumda cevabı bu biçimde bırakmak daha iyidir - kontrol etmek daha kolay olacaktır.

Ele alınan örnek ikinci şekilde çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.

Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bağımsız bir çözüm için bir örnektir, örnekte ilk şekilde çözülmüştür.

Kesirlerle ilgili benzer örneklere bakalım.

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada birkaç yoldan gidebilirsiniz:

Veya bunun gibi:

Ancak, her şeyden önce, bölümün türevini almak için kuralı kullanırsak, çözüm daha kompakt bir şekilde yazılacaktır. , tüm pay için alarak:

Prensip olarak örnek çözülmüştür ve olduğu gibi bırakırsanız hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, her zaman bir taslağı kontrol etmeniz önerilir, ancak cevabı basitleştirmek mümkün müdür?

Payın ifadesini ortak bir paydaya getirelim ve üç katlı kesirden kurtulalım:

Ek sadeleştirmelerin dezavantajı, türevi bulmada değil, banal okul dönüşümlerinde hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan, öğretmenler genellikle ödevi reddeder ve türevi "akla getirmek" ister.

Kendin yap çözümü için daha basit bir örnek:

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türev bulma yöntemlerinde ustalaşmaya devam ediyoruz ve şimdi türev için “korkunç” logaritma önerildiğinde tipik bir durumu ele alacağız.