Doğal logaritmanın temel özellikleri, graf, tanım alanı, değerler kümesi, temel formüller, türev, integral, bir kuvvet serilerinde açılım ve ln x fonksiyonunun karmaşık sayılarla temsili verilir.

Ters fonksiyon

Doğal logaritmanın tersi üsdür.

eğer , o zaman

Eğer öyleyse .

türev ln x

Doğal logaritmanın türevi:
.
Modulo x'in doğal logaritmasının türevi:
.
n. mertebenin türevi:
.
Formüllerin türetilmesi > > >

integral

İntegral, parçalara göre entegrasyonla hesaplanır:
.
Böyle,

Karmaşık sayılar cinsinden ifadeler

Karmaşık bir değişken z fonksiyonunu düşünün:
.
Karmaşık değişkeni ifade edelim z modül aracılığıyla r ve argüman φ :
.
Logaritmanın özelliklerini kullanarak şunları elde ederiz:
.
Veya
.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. eğer koyarsak
, burada n bir tam sayıdır,
o zaman farklı n için aynı sayı olacaktır.

Bu nedenle, karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonu olarak doğal logaritma, tek değerli bir fonksiyon değildir.

Güç serisi genişletme

için, genişleme gerçekleşir:

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Öğretim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.

a tabanına (a>0, a eşit değildir 1) pozitif bir b sayısının logaritması, a c = b olacak şekilde bir c sayısıdır: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Pozitif olmayan bir sayının logaritmasının tanımlı olmadığına dikkat edin. Ayrıca, logaritmanın tabanı 1'e eşit olmayan pozitif bir sayı olmalıdır. Örneğin, -2'nin karesini alırsak 4 sayısını elde ederiz, ancak bu, 4'ün -2 tabanının logaritmasının 2 olduğu anlamına gelmez.

Temel logaritmik kimlik

Bu formülün sağ ve sol kısımlarının tanım alanlarının farklı olması önemlidir. Sol taraf sadece b>0, a>0 ve a ≠ 1 için tanımlanır. Sağ taraf herhangi bir b için tanımlanır ve a'ya hiç bağlı değildir. Bu nedenle, denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümünde temel logaritmik "özdeşliğin" uygulanması DPV'de bir değişikliğe yol açabilir.

Logaritma tanımının iki belirgin sonucu

Gerçekten de, a sayısını birinci kuvvete yükseltirken aynı sayıyı alırız ve sıfıra yükseltirken bir alırız.

Çarpımın logaritması ve bölümün logaritması

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Okul çağındaki çocukları logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken bu formüllerin düşüncesizce kullanılmasına karşı uyarmak istiyorum. "Soldan sağa" kullanıldıklarında, ODZ daralır ve logaritmaların toplamından veya farkından çarpım veya bölümün logaritmasına geçerken ODZ genişler.

Aslında, log a (f (x) g (x)) ifadesi iki durumda tanımlanır: her iki fonksiyon da kesinlikle pozitif olduğunda veya f(x) ve g(x)'in her ikisi de sıfırdan küçük olduğunda.

Bu ifadeyi log a f (x) + log a g (x) toplamına dönüştürürsek, kendimizi yalnızca f(x)>0 ve g(x)>0 durumuyla sınırlamak zorunda kalırız. Kabul edilebilir değerler aralığında bir daralma vardır ve bu, çözümlerin kaybına yol açabileceğinden kategorik olarak kabul edilemez. Formül (6) için de benzer bir problem mevcuttur.

Derece, logaritmanın işaretinden çıkarılabilir.

Ve yine doğruluk için aramak istiyorum. Aşağıdaki örneği göz önünde bulundurun:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Eşitliğin sol tarafı, sıfır hariç tüm f(x) değerleri için açıkça tanımlanmıştır. Sağ taraf sadece f(x)>0 içindir! Gücü logaritmadan alarak, ODZ'yi tekrar daraltırız. Ters prosedür, kabul edilebilir değerler aralığının genişlemesine yol açar. Tüm bu açıklamalar sadece 2'nin kuvveti için değil, aynı zamanda herhangi bir çift kuvvet için de geçerlidir.

Yeni bir üsse taşınmak için formül

ODZ'nin dönüştürme sırasında değişmediği bu nadir durum. Tabanı c akıllıca seçtiyseniz (pozitif ve 1'e eşit değil), yeni bir tabana geçme formülü tamamen güvenlidir.

B sayısını yeni bir c tabanı olarak seçersek, formül (8)'in önemli bir özel durumunu elde ederiz:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Logaritma ile bazı basit örnekler

Örnek 1 Hesaplayın: lg2 + lg50.
Karar. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Logaritmaların toplamı (5) ve ondalık logaritmanın tanımı için formülü kullandık.

Örnek 2 Hesaplayın: lg125/lg5.
Karar. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Yeni baz geçiş formülünü (8) kullandık.

Logaritmalarla ilgili formüller tablosu

b (b > 0)'ın a tabanına (a > 0, a ≠ 1) logaritması b'yi elde etmek için a sayısını yükseltmeniz gereken üs.

b'nin 10 tabanlı logaritması şu şekilde yazılabilir: günlük(b), ve e tabanına göre logaritma (doğal logaritma) - ln(b).

Genellikle logaritmalarla ilgili problemleri çözerken kullanılır:

Logaritmaların özellikleri

dört ana var logaritmaların özellikleri.

a > 0, a ≠ 1, x > 0 ve y > 0 olsun.

Özellik 1. Ürünün logaritması

Ürünün logaritması logaritmaların toplamına eşittir:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Özellik 2. Bölümün logaritması

bölümün logaritması farka eşittir logaritmalar:

a (x / y) = log a x – bir y log

Özellik 3. Derecenin logaritması

derece logaritma derece ve logaritma çarpımına eşittir:

Logaritmanın tabanı üsse, başka bir formül uygulanır:

Özellik 4. Kökün logaritması

Bu özellik, n'inci derecenin kökü 1/n'nin gücüne eşit olduğundan, derecenin logaritmasının özelliğinden elde edilebilir:

Bir tabandaki logaritmadan başka bir tabandaki logaritmaya geçiş formülü

Bu formül ayrıca logaritmalar için çeşitli görevleri çözerken de sıklıkla kullanılır:

Özel durum:

Logaritmaların karşılaştırılması (eşitsizlikler)

Aynı tabanlara sahip logaritmalar altında 2 f(x) ve g(x) fonksiyonumuz olduğunu ve aralarında bir eşitsizlik işareti olduğunu varsayalım:

Bunları karşılaştırmak için önce logaritmaların temeline bakmanız gerekir:

• a > 0 ise f(x) > g(x) > 0
• 0 ise< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Logaritmalarla ilgili problemler nasıl çözülür: örnekler

Logaritmalı görevler 11.sınıf matematikte USE görev 5 ve görev 7'de yer alan, çözümlü görevleri web sitemizin ilgili bölümlerinde bulabilirsiniz. Ayrıca, matematikteki görev bankasında logaritmalı görevler bulunur. Sitede arama yaparak tüm örnekleri bulabilirsiniz.

logaritma nedir

Logaritmalar her zaman düşünülmüştür. zor konu okul matematiğinde. Logaritmanın birçok farklı tanımı vardır, ancak bir nedenden dolayı çoğu ders kitabı bunlardan en karmaşık ve talihsiz olanı kullanır.

Logaritmayı basit ve net bir şekilde tanımlayacağız. Bunun için bir tablo oluşturalım:

Yani, iki gücümüz var.

Logaritmalar - özellikler, formüller, nasıl çözülür

Sayıyı en alt satırdan alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiye çıkarmanız gereken gücü kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16'yı elde etmek için ikiden dördüncü güce yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü almak için ikiyi altıncı güce yükseltmeniz gerekir. Bu tablodan görülebilir.

Ve şimdi - aslında, logaritmanın tanımı:

x argümanının a tabanı, x sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken güçtür.

Gösterim: log a x \u003d b, burada a tabandır, x argümandır, b aslında logaritmanın eşit olduğu şeydir.

Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8'in taban 2 logaritması üçtür çünkü 2 3 = 8). 2 6 = 64 olduğundan, 2 64 = 6'yı da kaydedebilir.

Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine denir. O halde tablomuza yeni bir satır ekleyelim:

Ne yazık ki, tüm logaritmalar bu kadar kolay kabul edilmez. Örneğin, log 2 5'i bulmaya çalışın. 5 sayısı tabloda yok, ancak mantık, logaritmanın aralıkta bir yerde olacağını söylüyor. çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bu tür sayılara irrasyonel denir: ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrar etmezler. Logaritma mantıksız çıkarsa, şöyle bırakmak daha iyidir: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Logaritmanın iki değişkenli (temel ve argüman) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta, birçok insan temelin nerede olduğunu ve argümanın nerede olduğunu karıştırır. Can sıkıcı yanlış anlamaları önlemek için resme bir göz atın:

Önümüzde logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Unutma: logaritma güçtür, argümanı almak için tabanı yükseltmeniz gereken. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızı ile vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Bu harika kuralı öğrencilerime ilk derste anlatıyorum - ve kafa karışıklığı yok.

Logaritma nasıl sayılır

Tanımı bulduk - logaritmaların nasıl sayılacağını öğrenmek için kalır, yani. "günlük" işaretinden kurtulun. Başlangıç ​​olarak, tanımdan iki önemli gerçeğin çıktığını belirtelim:

1. Argüman ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, logaritmanın tanımının indirgendiği rasyonel bir üs tarafından derecenin tanımından kaynaklanmaktadır.
2. Taban, birlikten farklı olmalıdır, çünkü herhangi bir güce bir birlik hala bir birimdir. Bu nedenle, “iki tane elde etmek için hangi güce yükseltilmelidir” sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!

Bu tür kısıtlamalara denir geçerli aralık(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şöyle göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

B sayısında (logaritmanın değeri) herhangi bir kısıtlama bulunmadığına dikkat edin. Örneğin, logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = -1, çünkü 0,5 = 2 -1 .

Ancak, şimdi sadece logaritmanın ODZ'sini bilmenin gerekli olmadığı sayısal ifadeleri ele alıyoruz. Tüm kısıtlamalar, sorunların derleyicileri tarafından zaten dikkate alınmıştır. Ancak logaritmik denklemler ve eşitsizlikler devreye girdiğinde DHS gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Gerçekten de, temelde ve argümanda, yukarıdaki kısıtlamalara mutlaka uymayan çok güçlü yapılar olabilir.

Şimdi logaritmaları hesaplamak için genel şemayı düşünün. Üç adımdan oluşur:

1. a tabanını ve x argümanını mümkün olan en küçük tabanı birden büyük olan bir kuvvet olarak ifade edin. Yol boyunca ondalık kesirlerden kurtulmak daha iyidir;
2. b değişkeni için denklemi çözün: x = a b ;
3. Ortaya çıkan b sayısı cevap olacaktır.

Bu kadar! Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın birden büyük olması gerekliliği çok önemlidir: bu, hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Ondalık kesirlerde olduğu gibi: onları hemen sıradan kesirlere dönüştürürseniz, çok daha az hata olacaktır.

Bu şemanın belirli örneklerle nasıl çalıştığını görelim:

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 5 25

1. Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak gösterelim: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Denklemi yapalım ve çözelim:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Bir cevap aldı: 2.

Görev. Logaritmayı hesaplayın:

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 4 64

1. Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Denklemi yapalım ve çözelim:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Bir cevap aldı: 3.

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1

1. Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Denklemi yapalım ve çözelim:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Bir yanıt aldı: 0.

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 7 14

1. Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak gösterelim: 7 = 7 1 ; 14 yedinin kuvveti olarak temsil edilmez, çünkü 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Önceki paragraftan logaritmanın dikkate alınmadığı sonucu çıkar;
3. Cevap değişiklik yok: log 7 14.

Son örnekle ilgili küçük bir not. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olunur? Çok basit - sadece genişletin asal faktörler. Genişlemede en az iki farklı faktör varsa sayı tam bir güç değildir.

Görev. Sayının tam kuvvetlerinin olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; on dört.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tam derece, çünkü sadece bir çarpan vardır;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 tam bir güç değildir çünkü iki faktör vardır: 3 ve 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tam derece;
35 = 7 5 - yine tam bir derece değil;
14 \u003d 7 2 - yine kesin bir derece değil;

Ayrıca not edelim ki biz asal sayılar her zaman kendilerinin kesin güçleridir.

ondalık logaritma

Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki özel bir ad ve atamaya sahiptirler.

x argümanının temeli 10 logaritmasıdır, yani. x'i elde etmek için 10'un yükseltilmesi gereken güç. Tanım: lgx.

Örneğin, log 10 = 1; günlük 100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.

Şu andan itibaren ders kitabında “Find lg 0.01” gibi bir ifade geçtiğinde bunun bir yazım hatası olmadığını bilin. Bu ondalık logaritmadır. Ancak, böyle bir atamaya alışkın değilseniz, her zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x

Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık sayılar için de geçerlidir.

doğal logaritma

Kendi gösterimi olan başka bir logaritma daha var. Bir anlamda, ondalık sayıdan bile daha önemlidir. Bu doğal logaritmadır.

x argümanının değeri, e tabanının logaritmasıdır, yani. x sayısını elde etmek için e sayısının yükseltilmesi gereken güç. Tanım: lnx.

Birçoğu soracak: e sayısı nedir? Bu irrasyonel bir sayıdır, tam değeri bulunamaz ve yazılamaz. İşte sadece ilk sayılar:
e = 2.718281828459…

Bu sayının ne olduğunu ve neden gerekli olduğunu araştırmayacağız. Sadece e'nin doğal logaritmanın tabanı olduğunu unutmayın:
ln x = günlük e x

Böylece ln e = 1; günlük e 2 = 2; ln e 16 = 16 - vb. Öte yandan, ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak, herhangi birinin doğal logaritması rasyonel sayı mantıksız. Elbette birlik hariç: ln 1 = 0.

Doğal logaritmalar için sıradan logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.

Ayrıca bakınız:

Logaritma. Logaritmanın özellikleri (logaritmanın gücü).

Bir sayı logaritma olarak nasıl temsil edilir?

Logaritma tanımını kullanıyoruz.

Logaritma, logaritmanın işaretinin altındaki sayıyı elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken gücün bir ölçüsüdür.

Bu nedenle, belirli bir c sayısını a tabanına logaritma olarak temsil etmek için, logaritmanın tabanı ile aynı tabana sahip logaritmanın işaretinin altına bir derece koymak ve bu c sayısını üsse yazmak gerekir. :

Logaritma biçiminde, kesinlikle herhangi bir sayıyı temsil edebilirsiniz - pozitif, negatif, tamsayı, kesirli, rasyonel, irrasyonel:

Bir testin veya sınavın stresli koşullarında a ve c'yi karıştırmamak için aşağıdaki kuralı hatırlayarak kullanabilirsiniz:

aşağıda olan aşağı iner, yukarıda olan yukarı çıkar.

Örneğin, 2 sayısını 3 tabanına göre logaritma olarak göstermek istiyorsunuz.

İki sayımız var - 2 ve 3. Bu sayılar logaritma işaretinin altına yazacağımız taban ve üs. Bu sayılardan hangisinin derece bazında ve hangilerinin üste yazılması gerektiğini belirlemek için kalır.

Logaritma kaydındaki 3 tabanı en altta yani ikiliyi 3 tabanına göre logaritma olarak gösterdiğimizde tabana 3 de yazacağız.

2, 3'ten yüksektir. Ve derecenin gösteriminde, ikisini üçün üstüne, yani üste yazıyoruz:

Logaritmalar. İlk seviye.

Logaritmalar

logaritma pozitif sayı b Sebeple a, nerede a > 0, a ≠ 1, sayının yükseltilmesi gereken üsteldir. a, Elde etmek üzere b.

logaritmanın tanımı kısaca şöyle yazılabilir:

Bu eşitlik için geçerlidir b > 0, a > 0, a ≠ 1. O genellikle denir logaritmik kimlik.
Bir sayının logaritmasını bulma işlemine denir. logaritma.

Logaritmaların özellikleri:

Ürünün logaritması:

Bölümden bölümün logaritması:

Logaritmanın tabanını değiştirmek:

Derece logaritma:

kök logaritması:

Güç tabanlı logaritma:

Ondalık ve doğal logaritmalar.

ondalık logaritma sayılar o sayının 10 tabanındaki logaritmasını çağırır ve   lg yazar b
doğal logaritma sayılar bu sayının logaritmasını tabana çağırır e, nerede e yaklaşık olarak 2,7'ye eşit olan irrasyonel bir sayıdır. Aynı zamanda, ln yazarlar. b.

Cebir ve Geometri Üzerine Diğer Notlar

Logaritmaların temel özellikleri

Logaritmaların temel özellikleri

Logaritmalar, herhangi bir sayı gibi, eklenebilir, çıkarılabilir ve mümkün olan her şekilde dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar oldukça sıradan sayılar olmadığı için burada kurallar vardır. Temel özellikler.

Bu kurallar bilinmelidir - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ek olarak, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. O halde başlayalım.

Logaritmalarda toplama ve çıkarma

Aynı tabana sahip iki logaritma düşünün: log a x ve log a y. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. a x'i günlüğe kaydet - bir y'yi günlüğe kaydet = a'yı günlüğe kaydet (x: y).

Yani, logaritmaların toplamı, ürünün logaritmasına eşittir ve fark, bölümün logaritmasıdır. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçeler. Bazlar farklıysa bu kurallar çalışmaz!

Bu formüller, bireysel bölümleri dikkate alınmadığında bile logaritmik ifadenin hesaplanmasına yardımcı olacaktır ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve bakın:

günlük 6 4 + günlük 6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 2 48 − log 2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
günlük 2 48 - günlük 2 3 = günlük 2 (48: 3) = günlük 2 16 = 4.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 3 135 − log 3 5.

Yine, üsler aynı, yani elimizde:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Görüldüğü gibi orijinal ifadeler ayrı ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşmaktadır. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar çıkıyor. Bu gerçeğe dayanarak, birçok sınav kağıtları. Evet, kontrol - tüm ciddiyetle benzer ifadeler (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) sınavda sunulur.

Üslü logaritmadan çıkarma

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Tabii ki, tüm bu kurallar ODZ logaritması gözlemlenirse anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi de uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz.

Logaritma nasıl çözülür

En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 7 49 6 .

İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
günlük 7 49 6 = 6 günlük 7 49 = 6 2 = 12

Görev. İfadenin değerini bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanı tam güçler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Sahibiz:

Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını dereceler şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - “üç katlı” bir kesir aldılar.

Şimdi ana kesre bakalım. Pay ve payda aynı sayıya sahiptir: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 olduğundan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre, dördü yapılan paya aktarılabilir. Sonuç cevaptır: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmişken, sadece aynı tabanlarla çalıştıklarını özellikle vurguladım. Ya tabanlar farklıysa? Ya aynı sayının tam güçleri değilse?

Yeni bir üsse geçiş için formüller kurtarmaya geliyor. Onları bir teorem şeklinde formüle ediyoruz:

Logaritmanın logaritmasına bir x verilsin. O zaman, c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle, c = x koyarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanını ve argümanını değiştirmenin mümkün olduğu sonucu çıkar, ancak bu durumda tüm ifade "ters çevrilmiştir", yani. logaritma paydadadır.

Bu formüller nadiren sıradan sayısal ifadeler. Ne kadar uygun olduklarını ancak logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak, yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyecek görevler vardır. Bunlardan birkaçını ele alalım:

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 5 16 log 2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam üsler olduğuna dikkat edin. Göstergeleri çıkaralım: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; günlük 2 25 = günlük 2 5 2 = 2 günlük 2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı çevirelim:

Çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmediği için, sakince dört ile ikiyi çarptık ve sonra logaritmaları bulduk.

Görev. İfadenin değerini bulun: log 9 100 lg 3.

İlk logaritmanın temeli ve argümanı tam güçlerdir. Bunu bir yere yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözme sürecinde, bir sayının belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil edilmesi gerekir.

Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı bağımsız değişkende üs olur. n sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu sadece logaritmanın değeridir.

İkinci formül aslında başka sözcüklerle ifade edilmiş bir tanımdır. Şöyle denir:

Gerçekten de, b sayısı, bu derecedeki b sayısı a sayısını verecek şekilde yükseltilirse ne olur? Bu doğru: bu aynı sayı a. Bu paragrafı tekrar dikkatlice okuyun - birçok insan ona “takılır”.

Yeni temel dönüştürme formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik bazen olası tek çözümdür.

Görev. İfadenin değerini bulun:

Log 25 64 = log 5 8 - sadece tabandan kareyi ve logaritmanın argümanını çıkardığına dikkat edin. Güçleri aynı tabanla çarpma kuralları göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

Birisi bilmiyorsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi 🙂

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması zor olan iki kimlik vereceğim - bunlar logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak problemlerde bulunurlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri" öğrenciler için bile problem yaratırlar.

1. log a a = 1'dir. Bir kere ve her şey için hatırlayın: Bu tabanın kendisinden herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
2. log a 1 = 0'dır. a tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir ise, logaritma sıfırdır! Çünkü 0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.

Tüm özellikleri bu. Bunları uygulamaya koyarak pratik yaptığınızdan emin olun! Dersin başında kopya kağıdını indirin, yazdırın ve sorunları çözün.

(Yunanca λόγος - "kelime", "ilişki" ve ἀριθμός - "sayı" dan) sayılar b Sebeple a(log α b) böyle bir sayı denir c, ve b= AC, yani, log α b=c ve b=ac eşdeğerdir. a > 0, a ≠ 1, b > 0 ise logaritma anlamlıdır.

Başka bir deyişle logaritma sayılar b Sebeple a bir sayının yükseltilmesi gereken bir üs olarak formüle edilmiştir a numarayı almak için b(logaritma yalnızca pozitif sayılar için mevcuttur).

Bu formülasyondan, x= log α hesaplamasının b, a x =b denklemini çözmeye eşdeğerdir.

Örneğin:

log 2 8 = 3 çünkü 8=2 3 .

Logaritmanın belirtilen formülasyonunun hemen belirlemeyi mümkün kıldığını not ediyoruz. logaritma değeri logaritmanın işaretinin altındaki sayı, tabanın belirli bir gücü olduğunda. Gerçekten de, logaritmanın formülasyonu, eğer varsa, bunu doğrulamayı mümkün kılar. b=bir c, ardından sayının logaritması b Sebeple a eşittir ile. Logaritma konusunun konuyla yakından ilgili olduğu da açıktır. sayı derecesi.

Logaritmanın hesaplanmasına atıfta bulunulur. logaritma. Logaritma, logaritma almanın matematiksel işlemidir. Logaritma alırken, faktörlerin ürünleri terimlerin toplamına dönüştürülür.

potansiyalizasyon logaritmanın tersi matematiksel işlemdir. Güçlendirme yapılırken, verilen taban, üzerinde güçlendirmenin gerçekleştirildiği ifadenin gücüne yükseltilir. Bu durumda, terimlerin toplamları, faktörlerin ürününe dönüştürülür.

Oldukça sık, 2 (ikili), e Euler sayısı e ≈ 2.718 (doğal logaritma) ve 10 (ondalık) tabanlı gerçek logaritmalar kullanılır.

Bu aşamada dikkate değer logaritma örnekleri günlük 7 2 , içinde √ 5, lg0.0001.

Ve lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 girişleri mantıklı değil, çünkü bunlardan ilkinde logaritmanın işaretinin altına negatif bir sayı, ikincisinde - negatif bir sayı taban ve üçüncü - ve tabandaki logaritma ve birimin işaretinin altında negatif bir sayı.

Logaritmayı belirleme koşulları.

a > 0, a ≠ 1, b > 0 koşullarını ayrı ayrı ele almaya değer. logaritma tanımı. Bu kısıtlamaların neden alındığını düşünelim. Bu, x = log α biçiminde bir eşitlik bulmamıza yardımcı olacaktır. b, doğrudan yukarıda verilen logaritmanın tanımından çıkan temel logaritmik kimlik olarak adlandırılır.

durumu al a≠1. Bir, bire herhangi bir kuvvete eşit olduğundan, x=log α eşitliği b sadece ne zaman var olabilir b=1, ancak log 1 1 herhangi bir gerçek sayı olacaktır. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, a≠1.

koşulun gerekliliğini ispatlayalım. a>0. saat a=0 logaritmanın formülasyonuna göre, yalnızca şu durumlarda var olabilir: b=0. Ve sonra buna göre 0 0 günlüğü sıfırdan sıfır olmayan herhangi bir güce sıfır olduğundan, sıfır olmayan herhangi bir gerçek sayı olabilir. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için koşul a≠0. Ve ne zaman a<0 rasyonel ve irrasyonel üslü üs sadece negatif olmayan tabanlar için tanımlandığından, logaritmanın rasyonel ve irrasyonel değerlerinin analizini reddetmek zorunda kalacağız. Bu sebepledir ki koşul a>0.

ve son şart b>0 eşitsizliği takip eder a>0, çünkü x=log α b ve derecenin pozitif bir tabana sahip değeri a herzaman pozitif.

Logaritmaların özellikleri.

Logaritmalar ayırt edici özelliği olan özellikleri Bu, özenli hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştırmak için yaygın olarak kullanılmasına yol açtı. Logaritma dünyasına geçişte çarpma işlemi çok daha kolay toplamaya, bölme çıkarma işlemine, bir kuvvete çıkarma ve kök alma işlemi üslü çarpmaya, bölme işlemine dönüştürülür.

Logaritmaların formülasyonu ve değerlerinin bir tablosu (için trigonometrik fonksiyonlar) ilk olarak 1614'te İskoç matematikçi John Napier tarafından yayınlandı. Diğer bilim adamları tarafından büyütülen ve detaylandırılan logaritmik tablolar, bilimsel ve mühendislik hesaplamalarında yaygın olarak kullanıldı ve elektronik hesap makineleri ve bilgisayarlar kullanılmaya başlayana kadar ilgili kaldı.

İle ilgili olarak

Verilen diğer iki sayıdan üçünden herhangi birini bulma görevi ayarlanabilir. Verilen a ve ardından N, üs alma yoluyla bulunur. N verilirse ve x kuvvetinin (veya üs almanın) kökü çıkarılarak a bulunur. Şimdi, a ve N verildiğinde, x'i bulmanın gerekli olduğu durumu düşünün.

N sayısı pozitif olsun: a sayısı pozitiftir ve bire eşit değildir: .

Tanım. N sayısının a tabanına göre logaritması, N sayısını elde etmek için a'yı yükseltmeniz gereken üsdür; logaritma ile gösterilir

Böylece (26.1) eşitliğinde üs, N'nin a tabanına göre logaritması olarak bulunur. Girdileri

aynı anlama sahip. Eşitlik (26.1) bazen logaritma teorisinin temel kimliği olarak adlandırılır; aslında logaritma kavramının tanımını ifade eder. Tarafından bu tanım a logaritmasının tabanı her zaman pozitiftir ve birlikten farklıdır; logaritmalı N sayısı pozitiftir. Negatif sayılar ve sıfırın logaritmaları yoktur. Belirli bir tabana sahip herhangi bir sayının iyi tanımlanmış bir logaritmasına sahip olduğu kanıtlanabilir. Bu nedenle eşitlik gerektirir. Buradaki koşulun esas olduğuna dikkat edin, aksi takdirde eşitlik herhangi bir x ve y değeri için geçerli olduğundan, sonuç gerekçelendirilmez.

Örnek 1. Bul

Karar. Sayıyı elde etmek için, 2 tabanını güce yükseltmeniz gerekir.

Bu tür örnekleri çözerken aşağıdaki formda kayıt yapabilirsiniz:

Örnek 2. Bul .

Karar. Sahibiz

Örnek 1 ve 2'de, logaritma yapılabilen sayıyı rasyonel bir üsle bir taban derecesi olarak temsil ederek istenen logaritmayı kolayca bulduk. Genel durumda, örneğin for vb., logaritma irrasyonel bir değere sahip olduğundan bu yapılamaz. Bu ifadeyle ilgili bir soruya dikkat edelim. § 12'de, belirli bir pozitif sayının herhangi bir gerçek gücünü belirleme olasılığı kavramını verdik. Bu, genel olarak irrasyonel sayılar olabilen logaritmaların tanıtılması için gerekliydi.

Logaritmaların bazı özelliklerini düşünün.

Özellik 1. Sayı ve taban eşitse, logaritma bire eşittir ve tersine, logaritma bire eşitse, sayı ve taban eşittir.

Kanıt. Logaritmanın tanımına göre, elimizde ve nereden

Tersine, izin verin O zaman tanım gereği

Özellik 2. Birliğin herhangi bir tabana göre logaritması sıfıra eşittir.

Kanıt. Logaritmanın tanımıyla (herhangi bir pozitif tabanın sıfır gücü bire eşittir, bkz. (10.1)). Buradan

Q.E.D.

Tersi ifade de doğrudur: eğer , o zaman N = 1. Gerçekten, elimizde .

Logaritmaların aşağıdaki özelliğini belirtmeden önce, her ikisi de c'den büyük veya c'den küçükse, a ve b sayılarının üçüncü bir c sayısının aynı tarafında olduğunu söylemeyi kabul ediyoruz. Bu sayılardan biri c'den büyük, diğeri c'den küçükse, c'nin zıt taraflarında olduklarını söyleriz.

Özellik 3. Sayı ve taban birliğin aynı tarafındaysa, logaritma pozitiftir; sayı ve taban birliğin zıt taraflarındaysa, logaritma negatiftir.

Özellik 3'ün kanıtı, taban birden büyükse ve üs pozitifse veya taban birden küçükse ve üs negatifse a'nın derecesinin birden büyük olduğu gerçeğine dayanır. Taban birden büyükse ve üs negatifse veya taban birden küçükse ve üs pozitifse derece birden küçüktür.

Dikkate alınması gereken dört durum vardır:

Kendimizi bunlardan ilkinin analiziyle sınırlıyoruz, okuyucu gerisini kendi başına değerlendirecektir.

O halde eşitlikteki üs ne negatif ne de sıfıra eşit olsun, bu nedenle pozitiftir, yani ispatlanması gereken şey.

Örnek 3. Aşağıdaki logaritmalardan hangilerinin pozitif, hangilerinin negatif olduğunu bulun:

Çözüm, a) 15 sayısı ve 12 tabanı ünitenin aynı tarafında yer aldığından;

b) 1000 ve 2 ünitenin aynı tarafında yer aldığından; aynı zamanda, tabanın logaritmik sayıdan büyük olması şart değildir;

c), 3.1 ve 0.8 birliğin zıt taraflarında yer aldığından;

G) ; niye ya?

e) ; niye ya?

Aşağıdaki 4-6 özelliklerine genellikle logaritma kuralları denir: bazı sayıların logaritmasını bilerek, ürünlerinin logaritmasını, bölümünü, her birinin derecesini bulmalarına izin verirler.

Özellik 4 (ürünün logaritması kuralı). Belirli bir tabandaki birkaç pozitif sayının çarpımının logaritması, bu sayıların aynı tabandaki logaritmalarının toplamına eşittir.

Kanıt. Pozitif sayılar verilsin.

Ürünlerinin logaritması için logaritmayı tanımlayan eşitliği (26.1) yazıyoruz:

Buradan buluyoruz

İlk ve son ifadelerin üslerini karşılaştırarak gerekli eşitliği elde ederiz:

Koşulun gerekli olduğunu unutmayın; iki negatif sayının çarpımının logaritması mantıklıdır, ancak bu durumda şunu elde ederiz:

Genel olarak, birkaç faktörün çarpımı pozitifse, logaritması bu faktörlerin modüllerinin logaritmalarının toplamına eşittir.

Özellik 5 (bölüm logaritma kuralı). Pozitif sayıların bir bölümünün logaritması, aynı tabanda alınan temettü ve bölenin logaritmaları arasındaki farka eşittir. Kanıt. sürekli bul

Q.E.D.

Özellik 6 (derecenin logaritmasının kuralı). Herhangi bir pozitif sayının kuvvetinin logaritması, o sayının üs ile logaritmasına eşittir.

Kanıt. Sayı için ana kimliği (26.1) tekrar yazıyoruz:

Q.E.D.

Sonuç. Pozitif bir sayının kökünün logaritması, kökün üssüne bölünen kök sayısının logaritmasına eşittir:

Bu sonucun geçerliliğini, özellik 6'yı nasıl ve kullanarak sunarak kanıtlayabiliriz.

Örnek 4. a'yı temel alan logaritma:

a) (tüm b, c, d, e değerlerinin pozitif olduğu varsayılır);

b) (varsayılan ).

Çözüm, a) Bu ifadeyi kesirli kuvvetlere geçmek uygundur:

(26.5)-(26.7) eşitliklerine dayanarak şimdi şunu yazabiliriz:

Sayıların logaritmaları üzerinde, sayıların kendilerinden daha basit işlemlerin gerçekleştirildiğini fark ettik: sayıları çarparken, logaritmaları toplanır, bölündüğünde çıkarılır, vb.

Bu nedenle, hesaplamalı uygulamada logaritmalar kullanılmıştır (bkz. Kısım 29).

Logaritmanın tersi eyleme potansiyalizasyon denir, yani: potansiyalizasyon, bu sayının kendisinin bir sayının verilen logaritması tarafından bulunmasını sağlayan eylemdir. Özünde, güçlendirme herhangi bir özel eylem değildir: tabanı bir güce yükseltmeye gelir (sayıların logaritmasına eşit). "Potansiyasyon" terimi, "üslüleştirme" terimi ile eşanlamlı olarak kabul edilebilir.

Güçlendirme yaparken, logaritma kurallarının tersi olan kuralları kullanmak gerekir: logaritmaların toplamını ürünün logaritması ile, logaritma farkını bölümün logaritması ile değiştirin, vb. Özellikle, varsa logaritmanın işaretinin önündeki herhangi bir faktör, daha sonra güçlendirme sırasında logaritmanın işareti altındaki gösterge derecelerine aktarılmalıdır.

Örnek 5. Biliniyorsa N'yi bulun.

Karar. Az önce belirtilen potansiyalizasyon kuralına bağlı olarak, bu eşitliğin sağındaki logaritmaların işaretlerinin önünde bulunan 2/3 ve 1/3 çarpanları bu logaritmaların işaretleri altındaki üslere aktarılacaktır; alırız

Şimdi logaritma farkını bölümün logaritması ile değiştiriyoruz:

bu eşitlikler zincirindeki son fraksiyonu elde etmek için, önceki fraksiyonu paydadaki mantıksızlıktan kurtardık (bölüm 25).

Özellik 7. Taban birden büyükse, o zaman daha fazla daha büyük bir logaritmaya sahiptir (ve daha küçük olanın daha küçük olanı vardır), taban birden küçükse, daha büyük bir sayının daha küçük bir logaritması vardır (ve daha küçük olanın daha büyük olanı vardır).

Bu özellik aynı zamanda, her ikisi de pozitif olan eşitsizliklerin logaritması için bir kural olarak formüle edilmiştir:

Eşitsizliklerin logaritması birden büyük bir tabana alındığında eşitsizlik işareti korunur ve bir tabandan küçük bir logaritma alındığında eşitsizliğin işareti tersine çevrilir (ayrıca bkz. madde 80).

Kanıt 5 ve 3 özelliklerine dayanmaktadır.

(a ve N/M birliğin aynı tarafındadır). Buradan

Aşağıdaki durumda, okuyucu bunu kendisi çözecektir.