- (Yunanca'dan olumsuz bir kısım ve birlikte çakışan symptotos). Sürekli olarak bir eğriye yaklaşan ve onunla yalnızca sonsuzda buluşan düz bir çizgi. Rus diline dahil olan yabancı kelimelerin sözlüğü. Chudinov A.N., 1910. ASYMPTOE ... ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

ASİMPTOT- (Yunanca çakışık olmayan asimptotolardan), eğrinin sonsuz dalının süresiz olarak yaklaştığı düz bir çizgi, örneğin bir hiperbolün asimptotu ... Modern Ansiklopedi

ASİMPTOT- (Yunanca uyumsuz asimptotolardan) sonsuz dalı olan bir eğri, bu dalın süresiz olarak yaklaştığı düz bir çizgidir, örneğin bir hiperbolün asimptotu ... Büyük Ansiklopedik Sözlük

asimptot- Yavaş yavaş bir eğri ile yaklaşan düz bir çizgi. asimptot Bir fonksiyonun sonsuz dalı olan bir eğrinin, argümanı süresiz olarak arttığında veya ... Teknik Çevirmenin El Kitabı

asimptot- (Yunanca uyumsuz asimptotolardan), bir eğrinin sonsuz dalının sonsuzca yaklaştığı düz bir çizgi, örneğin bir hiperbolün asimptotu. … Resimli Ansiklopedik Sözlük

ASİMPTOT- kadın, geom. her zaman bir eğriye (hiperbol) yaklaşan, ancak asla onunla yakınlaşmayan düz bir çizgi. Bunu açıklamak için bir örnek: eğer herhangi bir sayı ikiye bölünürse, o zaman sonsuza kadar azalır ama asla sıfır olmaz. ... ... Sözlük dalya

asimptot- isim, eş anlamlı sayısı: 1 satır (182) ASIS eşanlamlı sözlüğü. V.N. Trişin. 2013... eşanlamlı sözlük

asimptot- (Yunanca kelimelerden: a, sun, piptw) uyumsuz. Asimptot ile, süresiz olarak devam eden, belirli bir eğri çizgiye veya onun bir kısmına yaklaşan, böylece ortak çizgiler arasındaki mesafe daha az hale gelen bir çizgi kastedilmektedir ... ...

asimptot Yüzey, yüzeyi en az iki noktada sonsuzda kesen düz bir çizgidir... Brockhaus ve Efron Ansiklopedisi

ASİMPTOT- (asimptot) Argüman (argüman) değiştiğinde bu işlevin eğiliminde olduğu, ancak argümanın herhangi bir nihai değeriyle ona ulaşmadığı değer. Örneğin, x çıktısının toplam maliyeti TC=a+bx işleviyle veriliyorsa, burada a ve b sabittir... ekonomik sözlük

asimptot- Argümanı süresiz olarak arttığında veya azaldığında, bir fonksiyonun eğrisinin sonsuz bir dalına sahip olan (asla ona ulaşmayan) düz bir çizgi. Örneğin, y = c + 1/x fonksiyonunda, y'nin değeri ... ... ile yaklaşır. Ekonomik ve Matematiksel Sözlük

Çözüm, uygun bir şekilde iki kısma ayrılabilir:

1) Önce dikey asimptot olup olmadığını kontrol ederiz. Paydada yok olur ve bu noktada fonksiyonun sonsuz bir süreksizliğe maruz kaldığı ve denklem tarafından verilen düz çizginin fonksiyon grafiğinin dikey asimptotu olduğu hemen anlaşılır. Ancak böyle bir sonuca varmadan önce tek taraflı sınırlar bulmak gerekir:

Bir fonksiyonun sürekliliği makalesinde benzer şekilde tartıştığım hesaplama tekniğini hatırlatıyorum. Kırılma noktaları. Limit işaretinin altındaki ifadede "x" yerine değiştiriyoruz. Payda ilginç bir şey yok:

Ancak paydada sonsuz küçük bir negatif sayı elde edilir:

Sınırın kaderini belirler.

Sol limit sonsuzdur ve prensipte dikey bir asimptotun varlığı hakkında bir karar vermek zaten mümkündür. Ancak tek taraflı limitler sadece bunun için gerekli değildir - fonksiyonun grafiğinin NASIL yerleştirildiğini ANLAMANIZA ve DOĞRU OLUŞTURMANIZA YARDIMCI OLUR. Bu nedenle, sağ limiti de hesaplamalıyız:

Sonuç: tek taraflı limitler sonsuzdur, bu, düz çizginin, fonksiyonun grafiğinin dikey bir asimptotu olduğu anlamına gelir.

İlk sınır sonludur, yani "konuşmaya devam etmek" ve ikinci sınırı bulmak gerekir:

İkinci sınır da sonludur.

Yani asimptotumuz:

Sonuç: denklem tarafından verilen düz çizgi, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Yatay asimptotu bulmak için basitleştirilmiş bir formül kullanabilirsiniz:

Sonlu bir limit varsa, o zaman çizgi, fonksiyonun grafiğinin yatay bir asimptotudur.

Fonksiyonun pay ve paydasının aynı büyüme düzeninde olduğunu görmek kolaydır, bu da istenen limitin sonlu olacağı anlamına gelir:

Duruma göre, çizimi tamamlamak gerekli değildir, ancak işlevin çalışması tüm hızıyla devam ederse, hemen taslak üzerinde bir eskiz yaparız:

Bulunan üç limite dayanarak, fonksiyonun grafiğinin nasıl bulunabileceğini bağımsız olarak anlamaya çalışın. Oldukça zor? 5-6-7-8 puan bulun ve çizim üzerinde işaretleyin. Bununla birlikte, bu fonksiyonun grafiği, bir temel fonksiyonun grafiğinin dönüşümleri kullanılarak oluşturulmuştur ve bu makalenin 21. Örneği'ni dikkatlice inceleyen okuyucular, bunun ne tür bir eğri olduğunu kolayca tahmin edeceklerdir.

Bu bir kendin yap örneğidir. Size hatırlatırım, süreç uygun bir şekilde iki noktaya bölünür - dikey asimptotlar ve eğik asimptotlar. Örnek çözümde, yatay asimptot basitleştirilmiş bir şema kullanılarak bulunur.

Uygulamada, kesirli-rasyonel fonksiyonlara en sık rastlanır ve hiperboller üzerine eğitimden sonra görevi karmaşıklaştıracağız:

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm: Bir, iki ve bitti:

1) Dikey asimptotlar sonsuz süreksizlik noktalarındadır, bu yüzden paydanın kaybolup kaybolmadığını kontrol etmemiz gerekir. İkinci dereceden denklemi çözelim:

Diskriminant pozitiftir, yani denklemin iki gerçek kökü vardır ve eklenen çok iş vardır.

Tek taraflı limitleri daha fazla bulmak için kare üç terimliyi çarpanlara ayırmak uygundur:

(kompakt gösterim için, ilk parantezde "eksi" kullanılmıştır). Güvenlik ağı için, braketleri açarak zihinsel veya taslak üzerinde bir kontrol yapacağız.

Fonksiyonu formda yeniden yazalım

Bir noktada tek taraflı limitleri bulun:

asimptot grafiği fonksiyon limiti

Ve noktada:

Bu nedenle, düz çizgiler, incelenen fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotlarıdır.

2) Fonksiyona bakarsanız, limitin sonlu olacağı ve yatay bir asimptotumuz olduğu oldukça açıktır. Kısa yoldan gösterelim:

Böylece düz çizgi (apsis), bu fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotu olur.

Bulunan limitler ve asimptotlar, fonksiyonun grafiği hakkında birçok bilgi verir. Aşağıdaki gerçekleri göz önünde bulundurarak çizimi zihinsel olarak hayal etmeye çalışın:

Grafiğin kendi versiyonunuzu bir taslak üzerine çizin.

Elbette, bulunan limitler grafiğin türünü açık bir şekilde belirlemez ve bir hata yapabilirsiniz, ancak egzersizin kendisi, fonksiyonun eksiksiz bir incelemesi sırasında paha biçilmez yardımcı olacaktır. Doğru resim dersin sonundadır.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Bunlar bağımsız karar verme görevleridir. Her iki grafiğin de yatay asimptotları vardır ve bunlar aşağıdaki özellikler tarafından hemen tespit edilir: Örnek 4'te payda paydan daha büyük bir büyüklük sırasına göre artar ve Örnek 5'te pay ve payda aynı büyüme sırasına sahiptir. Örnek çözümde, birinci fonksiyon tam olarak eğik asimptotların varlığı için ve ikincisi - sınır boyunca araştırılır.

Benim öznel izlenimime göre yatay asimptotlar, "gerçekten eğik" olanlardan belirgin şekilde daha yaygındır. Uzun zamandır beklenen genel vaka:

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm: türün klasiği:

• 1) Payda pozitif olduğu için fonksiyon tüm sayı doğrusunda süreklidir ve dikey asimptot yoktur. …İyi mi? Doğru kelime değil - harika! 1. madde kapalı.
• 2) Eğik asimptotların varlığını kontrol edin:

İkinci limit de sonludur, bu nedenle, söz konusu fonksiyonun grafiği eğik bir asimptota sahiptir:

Böylece, 'de fonksiyonun grafiği düz bir çizgiye sonsuz derecede yakındır.

Eğik asimptotunu orijinde kestiğine ve bu tür kesişme noktalarının oldukça kabul edilebilir olduğuna dikkat edin - sonsuzda "her şeyin normal olması" önemlidir (aslında, asimptotlardan bahsettiğimiz yer burasıdır).

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm: Yorumlanacak pek bir şey yok, bu yüzden yaklaşık bir nihai çözüm örneğini çizeceğim:

1) Dikey asimptotlar. Noktayı keşfedelim.

Düz çizgi, arsa için dikey asimptottur.

2) Eğik asimptotlar:

Düz çizgi, arsa için eğik asimptottur.

Bulunan tek taraflı limitler ve asimptotlar, bu fonksiyonun grafiğinin neye benzediğini yüksek bir kesinlikle varsaymamızı sağlar.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir, bazı limitleri hesaplamanın rahatlığı için, payı paydaya göre terime bölebilirsiniz. Ve yine, sonuçları analiz ederek, bu fonksiyonun bir grafiğini çizmeye çalışın.

Açıktır ki, "gerçek" eğik asimptotların sahipleri, payın en yüksek derecesi paydanın en yüksek derecesinden bir büyük olan kesirli-rasyonel fonksiyonların grafikleridir. Daha fazla ise - eğik asimptot olmayacaktır (örneğin,).

Ama hayatta başka mucizeler de olur.

Bir fonksiyonun grafiğinin kaç asimptotu olabilir?

Yok, bir, iki, üç... veya sonsuz bir sayı. Örnekler için uzağa gitmeyeceğiz, hatırlayacağız temel fonksiyonlar. Parabol, kübik parabol, sinüzoidin hiç asimptotu yoktur. üstel grafik, logaritmik fonksiyon benzersiz bir asimptotu vardır. Arktanjant, arkkotanjant bunlardan ikisine sahiptir ve tanjant, kotanjant sonsuz sayıdadır. Bir grafiğin hem yatay hem de dikey asimptotlara sahip olması nadir değildir. Abartma, seni her zaman sevecek.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulmak ne anlama gelir?

Bu, denklemlerini bulmak ve problemin durumu gerektiriyorsa düz çizgiler çizmek anlamına gelir. Süreç, fonksiyonun sınırlarını bulmayı içerir.

Bir fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotları

Grafiğin dikey asimptotu, kural olarak, fonksiyonun sonsuz süreksizliği noktasındadır. Çok basit: Eğer bir noktada fonksiyon sonsuz bir kesintiye uğrarsa, o zaman denklem tarafından verilen düz çizgi grafiğin dikey asimptotu olur.

Not: Lütfen notasyonun tamamen farklı iki kavramı belirtmek için kullanıldığını unutmayın. Nokta ima edilir veya düz bir çizginin denklemi - bağlama bağlıdır.

Böylece, bir noktada dikey bir asimptotun varlığını tespit etmek için, tek taraflı limitlerden en az birinin sonsuz olduğunu göstermek yeterlidir. Çoğu zaman bu, fonksiyonun paydasının sıfıra eşit olduğu noktadır. Aslında bir fonksiyonun sürekliliği dersinin son örneklerinde dikey asimptotları zaten bulduk. Ancak bazı durumlarda yalnızca tek taraflı bir sınır vardır ve eğer sonsuz ise, o zaman tekrar - dikey asimptotu sevin ve tercih edin. En basit örnek: ve y ekseni.

Açık bir gerçek, yukarıdan da çıkar: eğer fonksiyon sürekli ise, o zaman dikey asimptot yoktur. Nedense aklıma bir parabol geldi. Gerçekten de, burada düz bir çizgiyi nereye “yapıştırabilirsiniz”? ... evet ... anlıyorum ... Freud Amca'nın takipçileri histerik içinde toplandı =)

Converse ifadesi genellikle doğru değildir: örneğin, fonksiyon gerçek satırın tamamında tanımlanmamıştır, ancak asimptotlardan tamamen yoksundur.

Bir fonksiyonun grafiğinin eğik asimptotları

Eğik (özel bir durum olarak - yatay) asimptotlar, işlev argümanı "artı sonsuz" veya "eksi sonsuz" olma eğilimindeyse çizilebilir. Bu nedenle, bir fonksiyonun grafiği 2'den fazla eğik asimptot içeremez. Örneğin, üstel bir fonksiyonun grafiğinde tek bir yatay asimptot bulunur ve noktasında arktanjantın grafiğinde bu tür iki ve farklı asimptot bulunur.

Buradaki grafik tek bir eğik asimptota yaklaştığında, “sonsuzlukları” tek bir giriş altında birleştirmek gelenekseldir. Örneğin, ... doğru tahmin ettiniz: .

Ayrıca, cevaplarını görebileceğiniz bağımsız bir çözüm için görevler olacaktır.

asimptot kavramı

İlk önce eğrinin asimptotlarını oluşturursanız, çoğu durumda fonksiyonun grafiğinin oluşturulması kolaylaşır.

Asimptotun kaderi trajedilerle doludur. Tüm hayatınız boyunca aziz hedefe düz bir çizgide ilerlemenin, ona mümkün olduğunca yaklaşmanın, ancak asla ona ulaşmamanın nasıl bir şey olduğunu hayal edin. Örneğin, bilgisayarınızı bağlamaya çalışmak hayat yoluİstenilen kişinin yolu ile, bir noktada ona neredeyse yaklaşmak, ancak ona dokunmamak bile. Ya da bir milyar kazanmaya çalışın, ancak bu hedefe ulaşmadan ve davası için Guinness Rekorlar Kitabı'na girmeden önce, yüzde bir kuruştan yoksundur. Vb. Asimptotta da böyledir: sürekli olarak fonksiyonun grafiğinin eğrisine ulaşmaya çalışır, ona mümkün olan en az mesafeden yaklaşır, ancak ona dokunmaz.

Tanım 1. Asimptotlara böyle denir Düz değişken artı sonsuz veya eksi sonsuz eğiliminde olduğunda fonksiyonun grafiğinin keyfi olarak yaklaştığı .

Tanım 2. Değişken noktadan uzaklığı varsa, düz bir çizgiye bir fonksiyonun grafiğinin asimptotu denir. M fonksiyonun bu çizgiye kadar olan grafiği, nokta sonsuza kadar uzaklaştıkça sıfır olma eğilimindedir. M fonksiyonun grafiğinin herhangi bir dalı boyunca koordinatların orijininden.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğik.

Dikey asimtotlar

Dikey asimptotlar hakkında bilinmesi gereken ilk şey, eksene paralel olmalarıdır. Oy .

Tanım. Düz x = a bir fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu eğer nokta x = a bir ikinci türün kırılma noktası bu özellik için.

Bu tanımdan, çizginin x = a fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu f(x) aşağıdaki koşullardan en az biri karşılanıyorsa:

Aynı zamanda, fonksiyon f(x) için sırasıyla hiç tanımlanmayabilir x ≥ a ve x ≤ a .

Yorum:

örnek 1 Fonksiyon Grafiği y=ln x dikey asimptotu vardır x= 0 (yani eksen ile çakışan Oy) tanım alanının sınırında, çünkü fonksiyonun x olarak limiti sağda sıfır olma eğiliminde olduğundan, eksi sonsuza eşittir:

(yukarıdaki şekil).

kendi başınıza ve ardından çözümleri görün

Örnek 2 Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.

Örnek 3 Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

yatay asimptotlar

Yatay asimptotlar hakkında bilinmesi gereken ilk şey, eksene paralel olmalarıdır. Öküz .

if (argüman artı veya eksi sonsuz olma eğilimindeyken fonksiyonun limiti bir değere eşittir b), o zamanlar y = b – Yatay asimptot çarpık y = f(x ) (x artı sonsuza eğilim gösterdiğinde sağda, x eksi sonsuza eğilim gösterdiğinde solda ve x'in artı veya eksi sonsuzda eğilim gösterdiğinde limitler eşitse iki taraflı).

Örnek 5 Fonksiyon Grafiği

de a> 1'in sol yatay asimptotu var y= 0 (yani eksen ile çakışan Öküz), çünkü "x" eksi sonsuzluğa eğilimliyken fonksiyonun limiti sıfıra eşittir:

Eğrinin bir dik yatay asimptotu yoktur, çünkü fonksiyonun x'in artı sonsuz olma eğilimindeki limiti sonsuza eşittir:

eğik asimptotlar

Yukarıda ele aldığımız dikey ve yatay asimptotlar koordinat eksenlerine paraleldir, bu nedenle onları oluşturmak için sadece belirli bir sayıya ihtiyacımız vardı - asimptotun içinden geçtiği apsis veya ordinat ekseni üzerinde bir nokta. Eğik asimptot - eğim için daha fazlası gereklidir k düz çizginin eğim açısını ve kesişme noktasını gösteren b bu, çizginin orijinin ne kadar üstünde veya altında olduğunu gösterir. Analitik geometriyi ve ondan - düz bir çizginin denklemlerini unutmak için zamanı olmayanlar, eğik bir asimptot için bulduklarını fark edeceklerdir. eğim denklemi. Eğik bir asimptotun varlığı, az önce adlandırılmış katsayıların bulunduğu aşağıdaki teorem ile belirlenir.

Teorem. Eğri yapmak için y = f(x) bir asimptotu vardı y = kx + b , sonlu sınırların olması gerekli ve yeterlidir. k ve b Değişken olma eğiliminde olduğundan, söz konusu fonksiyonun x artı sonsuz ve eksi sonsuz:

(1)

(2)

Böylece bulunan sayılar k ve b ve eğik asimptotun katsayılarıdır.

İlk durumda (x, artı sonsuza eğilim gösterdiğinde), sağ eğik asimptot elde edilir, ikinci durumda (x eksi sonsuza eğilim gösterdiğinde), bırakılır. Sağ eğik asimptot Şekil 2'de gösterilmiştir. aşağıdan.

Eğik asimptot denklemini bulurken, x'in hem artı sonsuza hem de eksi sonsuza olan eğilimini hesaba katmak gerekir. Bazı fonksiyonlar için, örneğin kesirli rasyoneller için, bu limitler çakışır, ancak birçok fonksiyon için bu limitler farklıdır ve bunlardan sadece biri var olabilir.

Sınırlar, artı sonsuz ve eksi sonsuz olma eğiliminde olan x ile çakıştığında, düz çizgi y = kx + b eğrinin iki taraflı asimptotudur.

Asimptotu tanımlayan sınırlardan en az biri y = kx + b , mevcut değilse, fonksiyonun grafiğinin eğik bir asimptotu yoktur (ancak dikey bir asimptotu olabilir).

yatay asimptot olduğunu görmek kolaydır. y = b eğik özel bir durumdur y = kx + b de k = 0 .

Bu nedenle, eğer eğri herhangi bir yönde Yatay asimptot, o zaman bu yönde eğim yoktur ve bunun tersi de geçerlidir.

Örnek 6 Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Karar. İşlev, aşağıdakiler hariç tüm sayı doğrusunda tanımlanır: x= 0, yani

Bu nedenle kırılma noktasında x= 0 eğri dikey bir asimptota sahip olabilir. Gerçekten de, x soldan sıfıra doğru giderken fonksiyonun limiti artı sonsuzdur:

Buradan, x= 0, bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur.

Bu fonksiyonun grafiği yatay bir asimptota sahip değildir, çünkü fonksiyonun x artı sonsuz eğilimindeyken limiti artı sonsuza eşittir:

Eğik bir asimptotun varlığını bulalım:

Sınırlı limitler var k= 2 ve b= 0 . Düz y = 2x bu fonksiyonun grafiğinin iki taraflı eğik asimptotudur (şekil örneğin içinde).

Örnek 7 Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Karar. Fonksiyonun bir kırılma noktası var x= -1 . Tek taraflı limitleri hesaplayalım ve süreksizliğin türünü belirleyelim:

Çözüm: x= -1 ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır, dolayısıyla doğru x= -1, bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur.

Eğik asimptot aranıyor. Bu fonksiyon kesirli olarak rasyonel olduğundan, için ve için sınırları çakışacaktır. Böylece, denkleme düz bir çizgi - eğik bir asimptot koymak için katsayıları buluyoruz:

Bulunan katsayıları eğimli düz bir çizginin denklemine koyarak, eğik asimptot denklemini elde ederiz:

y = −3x + 5 .

Şekilde, fonksiyonun grafiği bordo ile işaretlenmiştir ve asimptotlar siyah ile gösterilmiştir.

Örnek 8 Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Karar. Bu fonksiyon sürekli olduğu için grafiğinin dikey asimptotu yoktur. Eğik asimptotları arıyoruz:

.

Böylece, bu fonksiyonun grafiğinin bir asimptotu vardır. y= 0'da ve hiçbir asimptotu yok .

Örnek 9 Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Karar. İlk olarak, dikey asimptotları ararız. Bunu yapmak için fonksiyonun etki alanını buluruz. İşlev, eşitsizlik ve tutarını tuttuğunda tanımlanır. değişken işaret x işaretiyle eşleşir. Bu nedenle, eşdeğer eşitsizliği göz önünde bulundurun. Bundan fonksiyonun kapsamını alıyoruz: . Dikey asimptot sadece fonksiyonun tanım kümesinin sınırında olabilir. Ancak x= 0 düşey bir asimptot olamaz, çünkü fonksiyon şu şekilde tanımlanır: x = 0 .

Sağdaki limiti düşünün (sol limit mevcut değil):

.

Nokta x= 2, ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır, dolayısıyla doğru x= 2 - bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu.

Eğik asimptotları arıyoruz:

Böyle, y = x+ 1 - bu fonksiyonun grafiğinin eğik asimptotu . Aşağıdakiler için eğik bir asimptot arıyoruz:

Böyle, y = −x − 1 - eğik asimptot .

Örnek 10 Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Karar. Fonksiyonun bir kapsamı var . Bu fonksiyonun grafiğinin düşey asimptotu yalnızca tanım alanının sınırında olabileceğinden, fonksiyonun tek taraflı limitlerini 'de bulacağız.