ilkokul sona erdiğinde, çocuk yakında matematiğin derin dünyasına adım atacaktır. Ama zaten bu dönemde öğrenci bilimin zorluklarıyla karşı karşıyadır. Basit bir görevi yerine getiren çocuğun kafası karışır, kaybolur ve sonuç olarak yapılan iş için olumsuz bir işarete yol açar. Bu tür sıkıntılardan kaçınmak için, örnekleri çözerken, örneği çözmeniz gereken sırayla gezinebilmeniz gerekir. Eylemleri yanlış dağıtan çocuk, görevi doğru şekilde yerine getirmiyor. Makale, parantezler de dahil olmak üzere tüm matematiksel hesaplamaları içeren örnekleri çözmek için temel kuralları ortaya koymaktadır. Matematik 4. sınıf kurallarında işlem sırası ve örnekler.

Görevi tamamlamadan önce, çocuğunuzdan gerçekleştireceği eylemleri numaralandırmasını isteyin. Herhangi bir zorluk varsa, lütfen yardım edin.

Parantezsiz örnekleri çözerken izlenecek bazı kurallar:

Bir görevin bir dizi eylemi gerçekleştirmesi gerekiyorsa, önce bölme veya çarpma işlemi yapmalısınız. Tüm eylemler yazma sırasında gerçekleştirilir. Aksi takdirde çözümün sonucu doğru olmayacaktır.

Örnekte yürütülmesi gerekiyorsa, soldan sağa sırayla yürütürüz.

27-5+15=37 (Örneği çözerken kural tarafından yönlendiriliyoruz. Önce çıkarma, sonra toplama yapıyoruz).

Çocuğunuza gerçekleştirilecek eylemleri her zaman planlamayı ve numaralandırmayı öğretin.

Çözülen her eylemin cevabı örneğin üzerinde yazılmıştır. Bu nedenle, çocuğun eylemlerde gezinmesi çok daha kolay olacaktır.

Eylemleri sırayla dağıtmanın gerekli olduğu başka bir seçeneği düşünün:

Gördüğünüz gibi, çözerken kural gözlemlenir, önce ürünü ararız, ondan sonra - fark.

Bu basit örnekler dikkatli düşünmeyi gerektirir. Pek çok çocuk, sadece çarpma ve bölmenin değil, aynı zamanda parantezlerin de olduğu bir görevin görüşünde bir şaşkınlığa düşer. Eylemleri gerçekleştirme sırasını bilmeyen bir öğrencinin, görevi tamamlamasını engelleyen soruları vardır.

Kuralda belirtildiği gibi, önce bir iş veya belirli bir şey buluruz, sonra her şeyi buluruz. Ama sonra parantez var! Bu durumda nasıl hareket edilir?

Örnekleri parantez ile çözme

Spesifik bir örnek verelim:

• Bu görevi gerçekleştirirken önce parantez içindeki ifadenin değerini bulun.
• Çarpma ile başlayın, sonra ekleyin.
• Parantez içindeki ifade çözüldükten sonra bunların dışındaki işlemlere geçiyoruz.
• İşlem sırasına göre bir sonraki adım çarpma işlemidir.
• Son adım olacak.

Açıklayıcı örnekte görebileceğiniz gibi, tüm eylemler numaralandırılmıştır. Konuyu pekiştirmek için çocuğu kendi başına birkaç örneği çözmeye davet edin:

İfadenin değerinin değerlendirilmesi gereken sıra zaten ayarlanmıştır. Çocuğun kararı doğrudan yerine getirmesi yeterli olacaktır.

Görevi karmaşıklaştıralım. Çocuğun ifadelerin anlamını kendi başına bulmasına izin verin.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Çocuğunuza tüm görevleri bir taslak sürümde çözmeyi öğretin. Bu durumda öğrenci yanlış kararı veya lekeleri düzeltme imkanına sahip olacaktır. V çalışma kitabı düzeltmelere izin verilmez. Çocuklar görevleri kendi başlarına yaparken hatalarını görürler.

Ebeveynler de hatalara dikkat etmeli, çocuğun onları anlamasına ve düzeltmesine yardımcı olmalıdır. Öğrencinin beynine çok sayıda görev yüklemeyin. Bu tür eylemlerle çocuğun bilgi arzusunu yeneceksiniz. Her şeyde bir orantı duygusu olmalı.

Ara ver. Çocuğun dikkati dağılmalı ve derslerden dinlenmelidir. Hatırlanması gereken en önemli şey, herkesin matematiksel bir zihniyete sahip olmadığıdır. Belki çocuğunuz büyüyüp ünlü bir filozof olur.

Ve sayıların bölünmesi ikinci aşamanın eylemleridir.
İfadelerin değerleri bulunurken eylemlerin gerçekleştirilme sırası aşağıdaki kurallara göre belirlenir:

1. İfadede parantez yoksa ve yalnızca bir aşamalı eylemler içeriyorsa, soldan sağa sırayla gerçekleştirilir.
2. İfade, birinci ve ikinci aşamaların eylemlerini içeriyorsa ve içinde parantez yoksa, önce ikinci aşamanın eylemleri, ardından birinci aşamanın eylemleri gerçekleştirilir.
3. İfade parantez içeriyorsa, önce parantez içindeki işlemler yapılır (1 ve 2 numaralı kural dikkate alınarak).

örnek 1İfadenin değerini bulun

a) x + 20 = 37;
b) y + 37 = 20;
c) a - 37 = 20;
d) 20 - m = 37;
e) 37 - c = 20;
f) 20 + k = 0.

636. Neyi çıkarırken doğal sayılar belki 12? Bu tür sayıların kaç çifti var? Çarpma ve bölme için aynı soruları cevaplayın.

637. Üç sayı verilmiştir: birincisi üç basamaklı, ikincisi altı basamaklı sayının ona bölümü ve üçüncüsü 5921'dir. Bu sayıların en büyüğünü ve en küçüğünü gösterebilir misiniz?

638. İfadeyi sadeleştirin:

a) 2a + 612 + 1a + 324;
b) 12y + 29y + 781 + 219;

639. Denklemi çözün:

a) 8x - 7x + 10 = 12;
b) 13y + 15y- 24 = 60;
c) Zz - 2z + 15 = 32;
d) 6t + 5t - 33 = 0;
e) (x + 59): 42 = 86;
e) 528: k - 24 = 64;
g) s: 38 - 76 = 38;
h) 43m-215 = 473;
i) 89n + 68 = 9057;
j) 5905 - 21 v = 316;
k) 34s - 68 = 68;
m) 54b - 28 = 26.

640. Hayvancılık çiftliği, hayvan başına günde 750 gr ağırlık artışı sağlar. Kompleks, 800 hayvan için 30 günde ne kazanç elde ediyor?

641. İki büyük ve beş küçük kutu 130 litre süt içerir. Kapasitesi daha büyük olanın kapasitesinden dört kat daha azsa, küçük bir kutuya ne kadar süt girer?

642. Köpek sahibini kendisinden 450 m uzaktayken görmüş ve 15 m/s hızla ona doğru koşmuştur. 4 s sonra sahibi ile köpek arasındaki mesafe nedir; 10 sn sonra; t s aracılığıyla?

643. Problemi şu denklemi kullanarak çözün:

1) Mikhail'in Nikolai'den 2 kat daha fazla fıstığı var ve Petya'da Nikolai'den 3 kat daha fazla fındık var. Hepsinin 72 kuruyemişi varsa, her insanda kaç tane fındık olur?

2) Üç kız deniz kıyısında 35 mermi topladı. Galya, Masha'dan 4 kat daha fazla ve Lena - Masha'dan 2 kat daha fazla buldu. Her kız kaç mermi buldu?

644. İfadeyi hesaplayan bir program yazın

8217 + 2138 (6906 - 6841) : 5 - 7064.

Bu programı bir diyagram şeklinde yazın. ifadesinin değerini bulunuz.

645. Aşağıdaki hesaplama programına göre bir ifade yazın:

1. 271 ile 49'u çarpın.
2. 1001'i 13'e bölün.
3. Komut 2'nin sonucunu 24 ile çarpın.
4. Komut 1 ve 3'ün sonuçlarını ekleyin.

Bu ifadenin değerini bulunuz.

646. Şemaya göre bir ifade yazın (Şek. 60). Bunu hesaplayan ve değerini bulan bir program yazın.

647. Denklemi çözün:

a) Zx + bx + 96 = 1568;
b) 357z - 1492 - 1843 - 11 469;
c) 2y + 7y + 78 = 1581;
d) 256m - 147m - 1871 - 63 747;
e) 88 880: 110 + x = 809;
f) 6871 + p: 121 = 7000;
g) 3810 + 1206: y = 3877;
h) k + 12 705: 121 = 105.

648. Bir özel bulun:

a) 1 989 680: 187; c) 9 018 009: 1001;
b) 572 163: 709; d) 533.368.000: 83.600.

649. Motorlu gemi, göl boyunca 23 km / s hızla 3 saat, ardından nehir boyunca 4 saat yürüdü. Gemi nehir boyunca göl boyunca olduğundan 3 km / s daha hızlı hareket ediyorsa, bu 7 saat boyunca kaç kilometre yol kat etti?

650. Şimdi köpek ile kedi arasındaki mesafe 30 m. Köpeğin hızı 10 m/sn ve kedinin hızı 7 m/sn ise köpek kediyi kaç saniyede yakalar?

651. Tabloda (Şek. 61) 2'den 50'ye kadar olan tüm sayıları bulun. Bu alıştırmayı birkaç kez yapmak yararlıdır; bir arkadaşınızla rekabet edebilirsiniz: tüm sayıları kim daha hızlı bulacak?

N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A.S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematik 5. Sınıf, Ders Kitabı Eğitim Kurumları

Matematik 5. sınıf için ders planlarını, ders kitaplarını ve kitapları ücretsiz indirin, çevrimiçi matematik dersleri geliştirin

Toplama ve çıkarma fonksiyonlarını çarpma ve bölme ile karşılaştırırsak, her zaman önce çarpma ve bölme hesaplanır.

Örnekte, toplama ve çıkarma ile çarpma ve bölme gibi iki fonksiyon birbirine eşdeğerdir. Yürütme sırası soldan sağa sırayla belirlenir.

Parantez içinde yapılan işlemlerin örnekte özel bir önceliğe sahip olduğu unutulmamalıdır. Dolayısıyla parantez dışında çarpma, parantez içinde toplama olsa bile önce toplamanız, sonra çarpmanız gerekir.

Bu konuyu anlamak için tüm durumları sırayla düşünebilirsiniz.

İfadelerimizin parantez içermediğini hemen dikkate alın.

Yani, eğer örnekte ilk çarpma işlemi, ikincisi bölme, sonra önce çarpma işlemi yapıyoruz.

Örnekte ilk eylem bölme, ikincisi çarpma ise, önce bölme yaparız.

Bu tür örneklerde, hangi sayılar kullanılırsa kullanılsın işlemler soldan sağa sırayla gerçekleştirilir.

Örneklerde çarpma ve bölmeye ek olarak toplama ve çıkarma varsa, önce çarpma ve bölme, ardından toplama ve çıkarma yapılır.

Toplama ve çıkarma durumunda da bu işlemlerden hangisinin önce yapıldığı önemli değildir.Sıralama soldan sağadır.

Farklı seçenekleri ele alalım:

Bu örnekte, yapılması gereken ilk işlem çarpma ve ardından toplamadır.

Bu durumda, önce değerleri çarpar, sonra böler ve ancak sonra eklersiniz.

Bu durumda önce parantez içindeki tüm işlemleri yapmanız, ardından sadece çarpma ve bölme işlemlerini yapmanız gerekir.

Bu nedenle, herhangi bir formülde, işlemlerin önce çarpma ve bölme, daha sonra sadece çıkarma ve toplama olarak yapıldığı unutulmamalıdır.

Ayrıca, parantez içindeki sayılarla, bunları parantez içinde saymanız ve ancak o zaman yukarıda açıklanan sırayı hatırlayarak çeşitli manipülasyonlar yapmanız gerekir.

Birincisi aşağıdaki eylemler olacaktır: çarpma ve bölme.

Ancak o zaman toplama ve çıkarma yapılır.

Ancak, bir parantez varsa, o zaman önce içindeki eylemler gerçekleştirilir. Toplama ve çıkarma olsa bile.

Örneğin:

Bu örnekte önce çarpma işlemini yapıyoruz, ardından 4'e 5, ardından 4'ü 20'ye ekliyoruz. 24 elde ediyoruz.

Ama eğer şu şekilde: (4 + 5) * 4 ise, önce toplama işlemini yaparız, 9'u elde ederiz. Sonra 9'u 4 ile çarparız. 36 elde ederiz.

Örnekte 4 eylemin tümü mevcutsa, önce çarpma ve bölme, ardından toplama ve çıkarma gelir.

Veya örnek 3'te farklı eylemler, o zaman ilki çarpma (veya bölme) ve ardından toplama (veya çıkarma) olacaktır.

BRAKET OLMADIĞINDA.

Örnek: 4-2*5:10+8=11,

1 eylem 2*5 (10);

2. perde 10:10 (1);

3 eylem 4-1 (3);

4 perde 3+8 (11).

4 eylemin tümü, birinde toplama ve çıkarma, diğerinde çarpma ve bölme olmak üzere iki ana gruba ayrılabilir. İlk eylem, örnekte arka arkaya ilk olan, yani en soldaki olacaktır.

Örnek: 60-7+9=62, önce 60-7'ye ihtiyacınız var, sonra ne oluyor (53) +9;

Örnek: 5*8:2=20, önce 5*8'e ihtiyacınız var, sonra ne elde edersiniz (40) :2.

Örnekte BRAKETLER olduğunda, önce parantez içindeki işlemler (yukarıdaki kurallara göre) ve ardından geri kalanı her zamanki gibi gerçekleştirilir.

Örnek: 2+(9-8)*10:2=7.

1 perde 9-8 (1);

2 eylem 1*10 (10);

3. Perde 10:2(5);

4 perde 2+5 (7).

İfadenin nasıl yazıldığına bağlıdır, en basit sayısal ifadeyi düşünün:

18 - 6:3 + 10x2 =

İlk önce bölme ve çarpma işlemleri yapıyoruz, ardından sırayla soldan sağa, çıkarma ve toplama ile yapıyoruz: 18-2 + 20 \u003d 36

Parantez içine alınmış bir ifadeyse, parantezleri yapın, ardından çarpın veya bölün ve son olarak şunun gibi ekleyin/çıkarın:

(18-6): 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

Güneş haklı: önce çarpma ve bölme işlemlerini, ardından toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirin.

Örnekte parantez yoksa önce sırasıyla çarpma ve bölme işlemi, ardından toplama ve çıkarma işlemleri aynı sırayla yapılır.

Örnek sadece çarpma ve bölme içeriyorsa işlemler sırayla yapılacaktır.

Örnek sadece toplama ve çıkarma içeriyorsa, işlemler de sırayla gerçekleştirilecektir.

Her şeyden önce, parantez içindeki işlemler aynı kurallara göre yapılır, yani önce çarpma ve bölme, ancak daha sonra toplama ve çıkarma.

22-(11+3x2)+14=19

yürütme sırası Aritmetik işlemler aynı tür hesaplamalar yapılırken herhangi bir tutarsızlık olmaması için kesinlikle yazılmalıdır farklı insanlar. Önce çarpma ve bölme yapılır, ardından toplama ve çıkarma yapılır, eğer aynı sıradaki işlemler arka arkaya giderse sırayla soldan sağa doğru yapılır.

Matematiksel bir ifade yazarken parantez kullanılıyorsa, öncelikle parantez içinde belirtilen işlemleri yapmalısınız. Parantezler, sırayı değiştirmeye yardımcı olur, gerekirse, önce toplama veya çıkarma işlemini ve yalnızca çarpma ve bölmeden sonra yapın.

Herhangi bir parantez açılabilir ve ardından yürütme sırası tekrar doğru olacaktır:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

Örneklerle daha iyi:

• 1+2*3/4-5=?

Bu durumda bölmenin solunda olduğu için önce çarpma işlemini yaparız. Sonra bölme. Daha sonra toplama, çünkü daha soldaki konum ve son olarak çıkarma.

• 1*3/(2+4)?

önce parantez içindeki hesabı sonra çarpma ve bölmeyi yapıyoruz.

• 1+2*(3-1*5)=?

Önce parantez içindeki işlemleri yapıyoruz: çarpma, sonra çıkarma. Bundan sonra parantezlerin dışında çarpma ve sonunda toplama gelir.

Çarpma ve bölme önce gelir. Örnekte parantez varsa, parantez içindeki eylem başlangıçta dikkate alınır. İşaret ne olursa olsun!

Burada birkaç temel kuralı hatırlamanız gerekir:

1. Örnekte parantez yoksa ve işlemler varsa - sadece toplama ve çıkarma veya sadece çarpma ve bölme - bu durumda, tüm işlemler soldan sağa sırayla gerçekleştirilir.

Örneğin, 5 + 8-5 = 8 (her şeyi sırayla yaparız - 8'i 5'e ekleyin ve ardından 5'i çıkarın)

1. Örnek karışık işlemler içeriyorsa - ve toplama ve çıkarma ve çarpma ve bölme, o zaman her şeyden önce çarpma ve bölme işlemlerini ve ardından yalnızca toplama veya çıkarma işlemlerini gerçekleştiririz.

Örneğin, 5+8*3=29 (önce 8 ile 3'ü çarpın ve ardından 5 ekleyin)

1. Örnek parantez içeriyorsa, önce parantez içindeki işlemler gerçekleştirilir.

Örneğin, 3*(5+8)=39 (önce 5+8 ve sonra 3 ile çarpın)

Bu yazıda üç örneğe bakacağız:

1. Parantezli örnekler (toplama ve çıkarma işlemleri)

2. Parantezli örnekler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme)

3. Çok sayıda eylem içeren örnekler

1 Parantezli örnekler (toplama ve çıkarma işlemleri)

Üç örneğe bakalım. Her birinde prosedür kırmızı sayılarla belirtilir:

Rakamlar ve işaretler aynı olmasına rağmen her örnekte eylem sırasının farklı olacağını görüyoruz. Bunun nedeni, ikinci ve üçüncü örneklerin parantezli olmasıdır.

*Bu kural çarpma ve bölme olmayan örnekler içindir. Bu makalenin ikinci bölümünde çarpma ve bölme işlemleri de dahil olmak üzere parantezli örnekler için kurallar ele alınacaktır.

Örnekte parantez ile karıştırılmaması için parantez olmadan normal bir örneğe çevirebilirsiniz. Bunu yapmak için parantez içinde elde edilen sonucu parantezlerin üzerine yazıyoruz, ardından tüm örneği yeniden yazıyoruz, parantez yerine bu sonucu yazıyoruz ve ardından tüm işlemleri soldan sağa doğru sırayla gerçekleştiriyoruz:

Basit örneklerde tüm bu işlemler akılda yapılabilir. Ana şey, önce eylemi parantez içinde gerçekleştirmek ve sonucu hatırlamak ve ardından soldan sağa doğru saymaktır.

Ve şimdi - eğitmenler!

1) 20'ye kadar parantezli örnekler. Çevrimiçi simülatör.

2) 100'e kadar parantezli örnekler. Çevrimiçi simülatör.

3) Parantezli örnekler. Antrenör #2

4) Eksik sayıyı girin - parantezli örnekler. Eğitim aparatı

2 Parantezli örnekler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme)

Şimdi toplama ve çıkarmanın yanı sıra çarpma ve bölmenin de olduğu örnekleri ele alalım.

Önce parantezsiz örneklere bakalım:

Bir püf noktası var, eylemlerin sırası için örnekleri çözerken nasıl kafanız karışmaz. Parantez yoksa çarpma ve bölme işlemlerini yaparız, ardından bu eylemler yerine elde edilen sonuçları yazarak örneği yeniden yazarız. Sonra sırayla toplama ve çıkarma yapıyoruz:

Örnek parantez içeriyorsa, önce parantezlerden kurtulmanız gerekir: örneği yeniden yazın, elde edilen sonucu parantez yerine bunlara yazın. Ardından, örneğin "+" ve "-" işaretleriyle ayrılmış bölümlerini zihinsel olarak vurgulamanız ve her bölümü ayrı ayrı saymanız gerekir. Ardından sırayla toplama ve çıkarma yapın:

3 Bol aksiyonlu örnekler

Örnekte çok sayıda eylem varsa, tüm örnekte eylemlerin sırasını düzenlemek değil, blokları seçip her bloğu ayrı ayrı çözmek daha uygun olacaktır. Bunu yapmak için, "+" ve "-" serbest işaretlerini buluyoruz (serbest, şekilde oklarla gösterilen parantez içinde olmayan anlamına gelir).

Bu işaretler örneğimizi bloklara bölecektir:

İşlemleri her blokta gerçekleştirerek, makalede yukarıda verilen prosedürü unutmayın. Her bloğu çözdükten sonra sırayla toplama ve çıkarma işlemleri yapıyoruz.

Ve şimdi örneklerin çözümünü simülatörlerdeki eylem sırasına göre düzeltiyoruz!

Alfa gerçek bir sayıyı ifade eder. Yukarıdaki ifadelerdeki eşittir işareti, sonsuza bir sayı veya sonsuz eklerseniz hiçbir şeyin değişmeyeceğini, sonucun aynı sonsuz olacağını belirtir. Örnek olarak sonsuz bir doğal sayı kümesi alırsak, dikkate alınan örnekler aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Matematikçiler, durumlarını görsel olarak kanıtlamak için birçok farklı yöntem geliştirdiler. Şahsen ben tüm bu yöntemlere şamanların teflerle yaptığı danslar olarak bakıyorum. Özünde, hepsi ya bazı odaların doldurulmadığı ve yeni misafirlerin yerleştiği ya da ziyaretçilerin bir kısmının misafirlere yer açmak için (çok insanca) koridora atıldığı gerçeğine varıyor. Bu tür kararlar hakkındaki görüşümü Sarışın hakkında harika bir hikaye şeklinde sundum. Mantığım neye dayanıyor? Sonsuz sayıda ziyaretçiyi taşımak sonsuz zaman alır. İlk misafir odasını boşalttıktan sonra, ziyaretçilerden biri sürekli olarak odasından diğerine koridor boyunca zamanın sonuna kadar yürüyecek. Tabii ki, zaman faktörü aptalca göz ardı edilebilir, ancak bu zaten "yasa aptallar için yazılmaz" kategorisinden olacaktır. Her şey ne yaptığımıza bağlı: gerçekliği matematiksel teorilere uyarlamak ya da tam tersi.

"Sonsuz otel" nedir? Bir sonsuzluk hanı, kaç oda dolu olursa olsun, her zaman herhangi bir sayıda boş yeri olan bir handır. "Ziyaretçiler için" sonsuz koridordaki tüm odalar doluysa, "misafirler" için odaların bulunduğu başka bir sonsuz koridor daha vardır. Sonsuz sayıda bu tür koridorlar olacaktır. Aynı zamanda, "sonsuz otel", sonsuz sayıda Tanrı tarafından yaratılan sonsuz sayıda evrende, sonsuz sayıda gezegende sonsuz sayıda binada sonsuz sayıda kata sahiptir. Matematikçiler ise banaldan uzaklaşamıyorlar. aile içi sorunlar: Allah-Allah-Buddha - her zaman sadece bir tane vardır, otel - birdir, koridor - sadece birdir. Bu yüzden matematikçiler otel odalarının seri numaralarını dengelemeye çalışıyorlar ve bizi "bastırılmamış olanı itmenin" mümkün olduğuna ikna ediyorlar.

Sonsuz doğal sayılar kümesi örneğini kullanarak akıl yürütmemin mantığını size göstereceğim. İlk önce çok basit bir soruyu cevaplamanız gerekiyor: kaç tane doğal sayı kümesi var - bir mi yoksa çok mu? Bu sorunun doğru bir cevabı yok, sayıları kendimiz icat ettiğimiz için Doğada sayılar yok. Evet, Doğa tam olarak nasıl sayılacağını bilir, ancak bunun için bize aşina olmayan diğer matematiksel araçları kullanır. Doğanın düşündüğü gibi, size başka bir zaman anlatacağım. Sayıları icat ettiğimize göre, kaç tane doğal sayı kümesi olduğuna kendimiz karar vereceğiz. Gerçek bir bilim insanına yakışır şekilde her iki seçeneği de göz önünde bulundurun.

Seçenek bir. Bir rafta sakince duran tek bir doğal sayılar kümesi "bize verilsin". Bu seti raftan alıyoruz. İşte bu, rafta başka doğal sayı kalmadı ve onları alacak hiçbir yer yok. Zaten elimizde olduğu için bu sete bir tane ekleyemiyoruz. Ya gerçekten istersen? Sorun yok. Daha önce almış olduğumuz setten bir ünite alıp rafa geri koyabiliyoruz. Bundan sonra raftan bir ünite alıp kalanlara ekleyebiliriz. Sonuç olarak, yine sonsuz bir doğal sayılar kümesi elde ederiz. Tüm manipülasyonlarımızı şu şekilde yazabilirsiniz:

Eylemleri kaydettim cebirsel sistem gösterimde ve küme teorisinde benimsenen notasyon sisteminde, kümenin öğelerinin ayrıntılı bir sayımı ile. Alt simge, bir ve tek doğal sayılar kümesine sahip olduğumuzu gösterir. Doğal sayılar kümesinin ancak ondan bir çıkarılıp aynısı eklenirse değişmeyeceği ortaya çıktı.

İkinci Seçenek. Rafta birçok farklı sonsuz doğal sayı kümesi var. Vurgularım - FARKLI, pratik olarak ayırt edilemez olmalarına rağmen. Bu setlerden birini alıyoruz. Sonra başka bir doğal sayı kümesinden bir tane alıp daha önce almış olduğumuz kümeye ekliyoruz. Hatta iki doğal sayı kümesi ekleyebiliriz. İşte aldığımız şey:

"Bir" ve "iki" alt simgeleri, bu öğelerin farklı kümelere ait olduğunu gösterir. Evet, sonsuz bir kümeye bir tane eklerseniz sonuç da sonsuz bir küme olur ama orijinal küme ile aynı olmaz. Bir sonsuz kümeye başka bir sonsuz küme eklenirse, sonuç ilk iki kümenin öğelerinden oluşan yeni bir sonsuz küme olur.

Doğal sayılar kümesi, ölçümler için bir cetvelle aynı şekilde saymak için kullanılır. Şimdi cetvele bir santimetre eklediğinizi hayal edin. Bu zaten orijinaline eşit olmayan farklı bir çizgi olacak.

Mantığımı kabul edebilir veya etmeyebilirsiniz - bu sizin kendi işiniz. Ancak matematiksel problemlerle karşılaşırsanız, nesiller boyu matematikçiler tarafından çiğnenmiş yanlış akıl yürütme yolunda olup olmadığınızı bir düşünün. Sonuçta, matematik dersleri her şeyden önce içimizde istikrarlı bir düşünme klişesi oluşturur ve ancak o zaman bize zihinsel yetenekler ekler (veya tam tersi, bizi özgür düşünmeden mahrum bırakırlar).

4 Ağustos 2019 Pazar

Hakkında bir makaleye dipnot yazıyordum ve Wikipedia'da şu harika metni gördüm:

Okuduk: "... zengin teorik arka plan Babil matematiği bütünsel bir karaktere sahip değildi ve bir dizi farklı tekniğe indirgendi. ortak sistem ve kanıt temeli.

Vay! Ne kadar akıllıyız ve başkalarının eksikliklerini ne kadar iyi görebiliyoruz. Modern matematiğe aynı bağlamda bakmak bizim için zayıf mı? Yukarıdaki metni biraz değiştirerek, kişisel olarak aşağıdakileri aldım:

Modern matematiğin zengin teorik temeli, bütünsel bir karaktere sahip değildir ve ortak bir sistem ve kanıt temelinden yoksun bir dizi farklı bölüme indirgenmiştir.

Sözlerimi doğrulamak için fazla ileri gitmeyeceğim - matematiğin diğer birçok dalının dilinden ve sözleşmelerinden farklı bir dili ve kuralları var. Matematiğin farklı dallarındaki aynı isimler farklı anlamlara gelebilir. Tüm bir yayın döngüsünü modern matematiğin en bariz gaflarına adamak istiyorum. Yakında görüşürüz.

3 Ağustos 2019 Cumartesi

Bir küme nasıl alt kümelere bölünür? Bunu yapmak için, seçilen kümenin bazı öğelerinde bulunan yeni bir ölçü birimi girmelisiniz. Bir örnek düşünün.

bizde çok olabilir mi A dört kişiden oluşuyor. Bu küme "insanlar" temelinde oluşturulmuştur. Bu kümenin elemanlarını harfle belirleyelim a, bir sayı içeren alt simge, bu kümedeki her bir kişinin sıra numarasını gösterecektir. Yeni bir ölçü birimi "cinsel özellik" tanıtalım ve onu harfle gösterelim. B. Cinsel özellikler tüm insanlarda doğuştan olduğundan, kümenin her bir öğesini çarparız. A cinsiyet üzerine B. "İnsanlar" setimizin artık "cinsiyetli insanlar" grubuna dönüştüğüne dikkat edin. Bundan sonra cinsel özellikleri erkek olarak ayırabiliriz. bm ve kadınların en iyi kadın cinsiyet özellikleri. Şimdi matematiksel bir filtre uygulayabiliriz: Bu cinsel özelliklerden birini seçiyoruz, hangisinin erkek veya kadın olduğu önemli değil. Bir insanda varsa bir ile çarparız, böyle bir işaret yoksa sıfır ile çarparız. Sonra normal okul matematiğini uygularız. Ne olduğunu görün.

Çarpma, indirgeme ve yeniden düzenlemeden sonra iki alt kümemiz var: erkek alt küme bm ve kadınların bir alt kümesi en iyi kadın. Matematikçiler küme teorisini pratikte uygularken yaklaşık olarak aynı şekilde akıl yürütürler. Ancak ayrıntılara girmemize izin vermiyorlar, ancak bize nihai sonucu veriyorlar - "birçok insan bir erkek alt kümesinden ve bir alt küme kadından oluşur." Doğal olarak, yukarıdaki dönüşümlerde matematik ne kadar doğru uygulandı? Sizi temin ederim ki, aslında dönüşümler doğru bir şekilde yapılır, aritmetik, Boole cebri ve matematiğin diğer bölümlerinin matematiksel gerekçesini bilmek yeterlidir. Ne olduğunu? Başka bir zaman sana bundan bahsedeceğim.

Süper kümelere gelince, bu iki kümenin elemanlarında bulunan bir ölçü birimi seçerek iki kümeyi tek bir üst kümede birleştirmek mümkündür.

Gördüğünüz gibi, ölçü birimleri ve ortak matematik, küme teorisini geçmişte bırakıyor. Küme teorisinde her şeyin yolunda olmadığının bir işareti, matematikçilerin küme teorisi için kendi dillerini ve notasyonlarını bulmuş olmalarıdır. Bir zamanlar şamanların yaptığını matematikçiler yaptı. Sadece şamanlar "bilgilerini" nasıl "doğru" uygulayacaklarını bilirler. Bize öğrettikleri bu "bilgi".

Son olarak, size matematikçilerin .

7 Ocak 2019 Pazartesi

MÖ beşinci yüzyılda, antik Yunan filozofu Elea'lı Zeno, en ünlüsü "Aşil ve kaplumbağa" aporia olan ünlü aporlarını formüle etti. İşte kulağa nasıl geliyor:

Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca, kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünür. Akhilleus yüz adım koştuğunda, kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Akhilleus kaplumbağaya asla yetişemeyecek.

Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıklı bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Hepsi bir şekilde Zeno'nun açmazlarını düşündüler. Şok o kadar güçlüydü ki" ... tartışmalar şu anda devam ediyor, bilim dünyası henüz paradoksların özü hakkında ortak bir görüşe varamadı ... matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar; hiçbiri soruna evrensel olarak kabul edilmiş bir çözüm olmadı ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın ne olduğunu anlamıyor.

Matematiğin bakış açısından, Zeno aporia'sında değerden değere geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, sabitler yerine uygulama anlamına gelir. Anladığım kadarıyla, değişken ölçü birimlerini uygulamak için matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun aporia'sına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızın uygulanması bizi bir tuzağa düşürür. Biz, düşünmenin ataleti ile karşılıklı olana sabit zaman birimleri uygularız. Fiziksel bir bakış açısıyla, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda zamanın yavaşlayarak tamamen durması gibi görünüyor. Zaman durursa, Aşil artık kaplumbağayı geçemez.

Alıştığımız mantığı çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit bir hızla koşar. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, üstesinden gelmek için harcanan zaman öncekinden on kat daha azdır. Bu durumda "sonsuzluk" kavramını uygularsak, "Aşil kaplumbağayı sonsuz hızla geçecektir" demek doğru olur.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? kalmak sabit birimler zaman ölçümleri yapın ve karşılıklı değerlere geçiş yapmayın. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:

Akhilleus'un bin adım koştuğu süre içinde kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünür. Bir sonraki zaman aralığında, birincisine eşit, Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım sürünecek. Şimdi Aşil, kaplumbağadan sekiz yüz adım önde.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmadan gerçekliği yeterince açıklar. Ama öyle değil tam çözüm Sorunlar. Einstein'ın ışık hızının aşılmazlığı hakkındaki ifadesi Zeno'nun "Aşil ve kaplumbağa" açmazına çok benzer. Henüz bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuza kadar aranmamalı büyük sayılar, ancak ölçü birimlerinde.

Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oku anlatır:

Uçan ok hareketsizdir, çünkü zamanın her anında hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan, daima hareketsizdir.

Bu çıkmazda, mantıksal paradoks çok basit bir şekilde aşılır - zamanın her anında uçan okun uzayda farklı noktalarda hareketsiz olduğunu, aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada dikkat edilmesi gereken bir nokta daha var. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından, hareketinin gerçeğini veya ona olan mesafesini belirlemek imkansızdır. Arabanın hareket gerçeğini belirlemek için, aynı noktadan farklı zaman noktalarında çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyaç vardır, ancak bunlar mesafeyi belirlemek için kullanılamaz. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için, aynı anda uzayda farklı noktalardan çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız var, ancak onlardan hareket gerçeğini belirleyemezsiniz (elbette, hesaplamalar için hala ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) . Özellikle belirtmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın farklı keşif fırsatları sunduğu için karıştırılmaması gereken iki farklı şey olduğudur.

4 Temmuz 2018 Çarşamba

Size zaten söyledim, hangi şamanların yardımıyla gerçekleri "" sıralamaya çalışıyorlar. Nasıl yapıyorlar? Kümenin oluşumu gerçekte nasıl gerçekleşir?

Bir kümenin tanımına daha yakından bakalım: "tek bir bütün olarak tasarlanmış farklı öğeler topluluğu". Şimdi iki ifade arasındaki farkı hissedin: "bir bütün olarak düşünülebilir" ve "bir bütün olarak düşünülebilir". İlk cümle nihai sonuçtur, çokluktur. İkinci cümle, setin oluşumu için bir ön hazırlıktır. Bu aşamada gerçeklik, daha sonra bir çokluğun ("tek bütün") oluşturulacağı ayrı öğelere ("bütün") bölünür. Aynı zamanda, "bütün"ü "tek bir bütün" halinde birleştirmenize izin veren faktör dikkatle izlenir, aksi takdirde şamanlar başarılı olmaz. Ne de olsa şamanlar bize tam olarak hangi seti göstermek istediklerini önceden biliyorlar.

İşlemi bir örnekle göstereceğim. "Sivilcede kırmızı katı" seçiyoruz - bu bizim "bütün"ümüz. Aynı zamanda, bu şeylerin yaylı olduğunu ve yaysız olduğunu görüyoruz. Bundan sonra, "bütün" in bir parçasını seçiyoruz ve "yaylı" bir set oluşturuyoruz. Şamanlar kendi küme teorilerini gerçeğe bağlayarak kendilerini bu şekilde beslerler.

Şimdi küçük bir hile yapalım. "Yaylı bir sivilcede katı" alalım ve kırmızı öğeleri seçerek bu "bütün"ü renkle birleştirelim. Bir sürü "kırmızı" aldık. Şimdi zor bir soru: "yaylı" ve "kırmızı" alınan kümeler aynı küme mi yoksa iki farklı küme mi? Cevabı sadece şamanlar bilir. Daha doğrusu, kendileri hiçbir şey bilmiyorlar, ama dedikleri gibi, öyle olsun.

Bu basit örnek, gerçekliğe gelince küme teorisinin tamamen işe yaramaz olduğunu göstermektedir. Sır nedir? Bir dizi "yay ile kırmızı katı sivilce" oluşturduk. Oluşum dört farklı ölçü birimine göre gerçekleşti: renk (kırmızı), mukavemet (düz), pürüzlülük (tümsekte), süslemeler (yay ile). Yalnızca bir dizi ölçüm birimi, gerçek nesneleri matematik dilinde yeterince tanımlamayı mümkün kılar.. İşte böyle görünüyor.

Farklı indekslere sahip "a" harfi, farklı ölçü birimlerini ifade eder. Parantez içinde, ön aşamada "bütün" in tahsis edildiği ölçü birimleri vurgulanır. Parantez içerisinden setin oluşturulduğu ölçü birimi alınır. Son satır gösterir son sonuç kümesinin bir elemanıdır. Gördüğünüz gibi, bir küme oluşturmak için birimleri kullanırsak, sonuç eylemlerimizin sırasına bağlı değildir. Ve bu matematiktir, şamanların teflerle dansları değil. Şamanlar "sezgisel olarak" aynı sonuca varabilir ve bunu "apaçıklık" ile tartışabilirler, çünkü ölçü birimleri onların "bilimsel" cephaneliğine dahil değildir.

Ölçü birimlerinin yardımıyla, bir seti kırmak veya birkaç seti tek bir süper sette birleştirmek çok kolaydır. Bu sürecin cebirine daha yakından bakalım.

30 Haziran 2018 Cumartesi

Matematikçiler bir kavramı başka kavramlara indirgeyemiyorlarsa, matematikten hiçbir şey anlamazlar. Cevap veriyorum: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Cevap çok basit: sayılar ve ölçü birimleri.

Bugün almadığımız her şey bir kümeye aittir (matematikçilerin bize temin ettiği gibi). Bu arada, alnındaki aynada ait olduğun takımların bir listesini gördün mü? Ve ben böyle bir liste görmedim. Daha fazlasını söyleyeceğim - gerçekte tek bir şey, bu şeyin ait olduğu kümelerin listesini içeren bir etikete sahip değildir. Setlerin hepsi şamanların icatlarıdır. Nasıl yapıyorlar? Tarihe biraz daha derinlemesine bakalım ve matematikçiler-şamanlar onları kümelerine ayırmadan önce kümenin öğelerinin nasıl göründüğünü görelim.

Uzun, çok uzun zaman önce, henüz kimsenin matematiği duymadığı ve yalnızca ağaçların ve Satürn'ün halkalarının olduğu bir zamanda, vahşi kümelerin devasa sürüleri ortalıkta dolaşıyordu. fiziksel alanlar(sonuçta şamanlar henüz matematiksel alanları icat etmediler). Böyle görünüyorlardı.

Evet, şaşırmayın, matematik açısından, kümelerin tüm öğeleri en çok benzerdir. deniz kestaneleri- bir noktadan, iğneler gibi, ölçü birimleri her yöne yapışır. Herhangi bir ölçü biriminin geometrik olarak keyfi uzunlukta bir segment ve bir sayı olarak bir nokta olarak temsil edilebileceğini hatırlatırım. Geometrik olarak, herhangi bir miktar, bir noktadan farklı yönlerde dışarı çıkan bir parça demeti olarak temsil edilebilir. Bu nokta sıfır noktasıdır. Bu geometrik sanat eserini çizmeyeceğim (ilham yok), ama kolayca hayal edebilirsiniz.

Hangi ölçü birimleri kümenin bir elemanını oluşturur? Bu öğeyi farklı bakış açılarından tanımlayan herhangi biri. Bunlar atalarımız tarafından kullanılan ve herkesin çoktandır unuttuğu eski ölçü birimleridir. Bunlar, şu anda kullandığımız modern ölçü birimleridir. Bunlar, bizim için bilinmeyen, torunlarımızın ortaya çıkaracağı ve gerçekliği tanımlamak için kullanacakları ölçü birimleridir.

Geometriyi bulduk - kümenin elemanlarının önerilen modelinin net bir geometrik temsili var. Peki ya fizik? Ölçü birimleri - bu matematik ve fizik arasındaki doğrudan bağlantıdır. Şamanlar, ölçü birimlerini matematiksel teorilerin tam teşekküllü bir öğesi olarak kabul etmiyorlarsa, bu onların sorunudur. Şahsen, ölçü birimleri olmadan gerçek bir matematik bilimi hayal edemiyorum. Bu yüzden küme teorisiyle ilgili hikayenin en başında Taş Devri olarak bahsettim.

Ama en ilginç olana geçelim - kümelerin elemanlarının cebirine. Cebirsel olarak, kümenin herhangi bir elemanı, farklı niceliklerin bir çarpımıdır (çarpma sonucu).

Küme teorisinde benimsenen kuralları kasten kullanmadım, çünkü küme teorisinin ortaya çıkmasından önce bir kümenin bir öğesini kendi doğal ortamında ele alıyoruz. Parantez içindeki her harf çifti, harfle belirtilen sayıdan oluşan ayrı bir değeri belirtir " n" ve "harf ile gösterilen ölçü birimleri" a". Harflerin yanındaki dizinler, sayıların ve ölçü birimlerinin farklı olduğunu gösterir. Kümenin bir öğesi sonsuz sayıda değerden oluşabilir (biz ve torunlarımız yeterli hayal gücüne sahip olduğumuz sürece). Her biri braket geometrik olarak ayrı bir segment ile temsil edilmektedir.Deniz kestanesi örneğinde bir braket bir iğnedir.

Şamanlar farklı elementlerden nasıl kümeler oluşturur? Aslında, ölçü birimleri veya sayılarla. Matematikten hiçbir şey anlamadan, farklı deniz kestanelerini alırlar ve bir takım oluşturdukları o tek iğneyi bulmak için dikkatlice incelerler. Böyle bir iğne varsa bu eleman kümeye aittir, böyle bir iğne yoksa bu eleman bu kümeden değildir. Şamanlar bize hakkında masallar anlatır Düşünme süreci ve tek bir bütün.

Tahmin edebileceğiniz gibi, aynı eleman çeşitli kümelere ait olabilir. Şimdi size kümelerin, alt kümelerin ve diğer şamanist saçmalıkların nasıl oluşturulduğunu göstereceğim. Gördüğünüz gibi, "küme iki özdeş öğeye sahip olamaz", ancak kümede özdeş öğeler varsa, böyle bir kümeye "çoklu küme" denir. Makul varlıklar böyle bir saçmalık mantığını asla anlayamazlar. Bu, zihnin "tamamen" kelimesinden yoksun olduğu konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler, saçma fikirlerini bize vaaz ederek sıradan eğitmenler gibi davranırlar.

Bir zamanlar köprüyü yapan mühendisler, köprünün testleri sırasında köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis yarattığı molozun altında öldü. Köprü yüke dayanabilirse, yetenekli mühendis başka köprüler inşa etti.

Matematikçiler "bana bak, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansın, onları gerçekliğe ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.

Çok iyi matematik çalıştık ve şimdi kasada oturuyoruz, maaş ödüyoruz. Burada bir matematikçi bize parası için geliyor. Tüm tutarı ona sayarız ve masamıza aynı değerdeki faturaları koyduğumuz farklı yığınlara koyarız. Sonra her yığından bir fatura alıp matematikçiye "matematiksel maaş setini" veriyoruz. Sadece özdeş elemanları olmayan kümenin aynı elemanlara sahip kümeye eşit olmadığını kanıtladığı zaman kalan faturaları alacağının matematiğini açıklıyoruz. eğlence burada başlıyor.

Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: "Başkalarına uygulayabilirsiniz ama bana değil!" Ayrıca, aynı değerdeki banknotların üzerinde farklı banknot numaralarının bulunduğuna dair güvenceler başlayacaktır, bu da bunların özdeş unsurlar olarak kabul edilemeyeceği anlamına gelir. Pekala, maaşı madeni para olarak sayıyoruz - madeni paralarda sayı yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlayacaktır: farklı madeni paralar farklı miktarlarda kir içerir, her madeni para için atomların kristal yapısı ve düzeni benzersizdir ...

Ve şimdi en ilginç sorum var: ötesinde bir çoklu kümenin öğelerinin bir kümenin öğelerine dönüştüğü ve bunun tersinin olduğu sınır nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, buradaki bilim yakın bile değil.

Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumları seçiyoruz. Alanların alanı aynıdır, yani bir multisetimiz var. Ama aynı statların isimlerini düşünürsek çok şey alırız çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi, aynı eleman kümesi aynı anda hem küme hem de çoklu kümedir. Nasıl doğru? Ve burada matematikçi-şaman-shuller kolundan bir koz ası çıkarır ve bize ya bir set ya da bir multiset hakkında bilgi vermeye başlar. Her durumda, bizi haklı olduğuna ikna edecektir.

Modern şamanların onu gerçeğe bağlayarak küme teorisiyle nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri diğer kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadığını göstereceğim.