F (x) denkleminin kökünün, segmentte ayrılmış ve birinci ve ikinci türev f '(x) ve f "" (x) Xî'de sürekli ve alpophar.

Kök arıtma elde edilmesine izin verin (seçildi) X N kök içindeki ilk yaklaşımı . Daha sonra H N düzeltmesiyle elde edilen aşağıdaki yaklaşımın , doğru kök değerine yol açar

x \u003d x n + h n. (1.2.3-6)

Sayma h N. Düşük büyüklükler, F (x n + hn), Lineer terimleriyle sınırlı bir dizi Taylor dizi olarak temsil eder.

f (x n + h n) "f (x n) + h n f '(x n). (1.2.3-7)

F (x) \u003d f (x n + hn) \u003d 0 olduğunu göz önünde bulundurarak, f (x n) + h n f '(x n) "0 elde ettik.

Bu nedenle H n "- f (xn) / f '(xn). Yedek değer h N. (1.2.3-6) ve kökün tam değeri yerine x.başka bir yaklaşım var

Formül (1.2.3-8), belirli koşullar altında kökün tam değerine yakınlaşan bir yaklaşık 1, x 2, x 3 ... x yani

Newton'un yönteminin geometrik yorumu Aşağıdakilerden oluşur
(Şekil.1.2.3-6). İlk yaklaşım x 0 Segment'in sağ ucunda ve Y \u003d F (x) işlevinin grafiğinde 0'daki karşılık gelen noktada, teğet yapacağız. Teğetin abscissa ekseni ile kesişme noktası, yeni daha doğru bir yaklaşım x 1 için kabul edilir. Bu prosedürün çoklu tekrarı, x 0, x 1, x 2 yaklaşımlarının sırasını almanıza olanak sağlar. , . . . Bu kökün tam değerini arıyor x.

Newton yönteminin (1.2.3-8) formülü, geometrik yapıdan elde edilebilir. Yani dikdörtgen üçgen x 0 0 x 1 Catat'ta
x 0 x 1 \u003d x 0 0 / TGA'da. 0'daki noktanın fonksiyonun grafiğinde olduğunu düşünerek f (x), ve hipotenuse, 0 noktasında f (x) grafiğinden teğet tarafından oluşturulur,

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Bu formül, n-th yaklaşımı için (1.2.3-8) ile çakışmaktadır.

Şekil.1.2.3-6'dan itibaren, A noktasının ilk yaklaşımı olarak tercih edilen seçimin, X 1'in aşağıdaki yaklaşımının, kök ayrıldığı segmentten çıkacağına yol açabileceği görülebilir. x.. Bu durumda, sürecin yakınsama garanti edilmez. Genel durumda, ilk yaklaşımın seçimi aşağıdaki kurala uygun olarak yapılır: ilk yaklaşım için, bu tür bir nokta x 0 î alınmalıdır, burada f (x 0) × f '' (x 0) \u003e 0, yani, fonksiyonun belirtileri ve ikinci türev maçı.

Newton'un yönteminin yakınsama koşulları, aşağıdaki teoremde formüle edilmiştir.

Denklemin kökü segmentte ayrılırsa, vef '(x 0) ve f' '(x) sıfırdan farklı ve işaretlerini kaydethî., Böyle bir noktayı ilk yaklaşım olarak seçersenizx 0 î , nef (x 0) .f ¢¢ (x 0)\u003e 0 Sonra denklemin köküf (x) \u003d 0 herhangi bir doğruluk derecesi ile hesaplanabilir.

Newton yönteminin hatasının değerlendirilmesi aşağıdaki ifadeyle belirlenir:

(1.2.3-11)

nerede - en küçük anlam için

En büyük değer için

Hesaplama işlemi durursa ,

belirtilen doğruluk nerede.

Ek olarak, aşağıdaki ifadeler, Newton'un kök yöntemini açıklığa kavuşturarken verilen bir doğruluk elde etmek için bir durum görevi görebilir:

Newton yöntem algoritması şeması, Şekil 2'de gösterilmiştir. 1.2.3-7.

İlk denklemin sol kısmı, algoritmdaki F (x) ve türev F '(x) (x) ayrı yazılım modülleri şeklinde dekore edilmiştir.

İncir. 1.2.3-7. Newton Yöntemi Algoritma Şeması

Örnek 1.2.3-3. Newton'un X-LN (x + 2) \u003d 0 denkleminin kökleri ve bu denklemin köklerinin X 1 î [-1.9; -1.1] bölümlerinde ayrıldığı koşulu kullanılmaktadır. x 2 î [-0.9; 2].

İlk Türev F '(X) \u003d 1 - 1 / (x + 2), işaretini segmentlerin her birine kaydeder:

f '(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f '(x)\u003e 0 xî [-0.9; 2].

İkinci Türev F "(x) \u003d 1 / (x + 2) 2\u003e 0 için 0.

Böylece yakınsama koşulları yapılır. F "" (x)\u003e 0'dan bu yana, izin verilen değerlerin tüm alanında, daha sonra ilk yaklaşım için kökleri netleştirmek için x 1x 0 \u003d -1.9 (Sinf (-1.9) × F "(- 1.9)\u003e 0) seçin. Bir dizi yaklaşım elde ediyoruz:

Devam eden hesaplamalar, ilk dört yaklaşımın aşağıdaki sırasını elde ediyoruz: -1.9; -1.8552, -1.8421; -1.8414. . X \u003d -1.8414 noktasındaki F (x) işlevinin değeri F (-1.8414) \u003d - 0.00003'e eşittir. .

Kök X 2'yi netleştirmek için [-0.9; 2], ilk yaklaşım 0 \u003d 2 (F (2) × F "(2)\u003e 0) olarak seçiyoruz. X 0 \u003d 2'ye göre, yaklaşımlar dizisini elde ediyoruz: 2.0; 1.1817; 1.1462; 1.1461. X \u003d 1.1461 noktasındaki F (x) işlevinin değeri F (1.1461) \u003d -0.00006'ya eşittir.

Newton yöntemi yüksek bir yakınsama hızına sahiptir, ancak her adımda, yalnızca fonksiyonun değerlerini değil, türevlerini de hesaplamayı gerektirir.

Horde yöntemi

Akor yönteminin geometrik yorumu Aşağıdakilerden oluşur
(Şekil.1.2.3-8).

A ve B noktalarından doğrudan bir kesim harcayacağız. X 1'in bir sonraki yaklaşımı, Akorun Axis 0x ile kesiştiği apscissa noktasıdır. Düz bir çizgi denklemi inşa ediyoruz:

Y \u003d 0 koyduk ve X \u003d x 1 değerini (sonraki yaklaşım) bulduk:

Kök için bir sonraki yaklaşımı elde etmek için hesaplama işlemini tekrarlayın - x 2 :

Bizim durumumuzda (Şekil.1.2.11) ve akor yönteminin hesaplanan formülü olacak

Bu formül, B'nin sabit bir nokta için kabul edildiğinde geçerlidir ve A'yı ilk yaklaşım olarak işaret eder.

Başka bir davayı düşünün (Şekil 1.2.3-9), ne zaman .

Denklem bu olay için doğrudan

Y \u003d 0'da x 1 başka bir yaklaşım

Sonra bu olay için akor yönteminin tekrarlayan formülü

Akor metodunda sabit bir nokta için, segmentin sonu, f (x) ∙ f ¢¢ (x)\u003e 0 durumunun hesaplandığı durumun seçildiği belirtilmelidir.

Böylece, istasyon sabit bir nokta için alınmışsa , İlk yaklaşım olarak x 0 \u003d b ve tam tersi.

F (x) \u003d 0 denkleminin kökünün hesaplanmasını sağlayan yeterli koşullar, tanjant (Newton yöntemi) yöntemiyle aynı olacaktır, yalnızca ilk yaklaşım yerine sabit bir nokta seçilir. Akor yöntemi, Newton yönteminin bir modifikasyonudur. Aradaki fark, Newton yönteminde bir başka yaklaşım olarak, teğetlerin 0x ekseni ile kesişme noktasının hareket edilmesidir ve akor metodunda - akorların 0x - yaklaşım ekseni ile kesişme noktası farklı taraflar.

Akor yönteminin hatasının tahmini ifade ile belirlenir

(1.2.3-15)

Akor yöntemine göre, yineleme sürecinin sona ermesinin durumu

(1.2.3-16)

M 1 durumunda<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e.

Örnek 1.2.3-4. Ex - 3x \u003d 0 denkleminin kökünü belirtin, segmentte 10 -4 doğruluğu ile ayrılmıştır.

Yakınsama durumunu kontrol edin:

Sonuç olarak, sabit bir nokta için, A \u003d 0 ve ilk yaklaşım olarak seçilmelidir, x 0 \u003d 1, f (0) \u003d 1\u003e 0 ve f (0) * f "(0)\u003e 0'dan beri X 0 \u003d 1'dir.

Minimalization görevinde, fonksiyonun, elbette ilk yaklaşımının iyi bir seçeneğine sahip olması için çok önemli önem taşır, tüm olgular için uygun olmayan tüm durumlar için, bu, tüm olası olmayan işlevler için tatmin edici bir şekilde olacağı imkansızdır. Her seferinde çözümünüzü aramanız gerekir. Aşağıda, pratikte belirli bir görevde tatmin edici yaklaşımları bulmak için bir başlangıç \u200b\u200bnoktası olarak hizmet edebilecek olan kaba ilk yaklaşımları bulmak için bazı yöntemlerden oluşur.

9.6.1. Izgarada arama yapın. Bu yöntem, aslında az sayıda doğrusal olmayan parametre ile özellikle etkilidir. Genellikle fonksiyonlar, bazı parametrelerin değerlerini sabitlerken (düzgün bir şekilde doğrusal olarak adlandırdığımız), parametrelerin geri kalanı doğrusal hale gelir.

Doğrusal olmayan parametreler için alt ve üst sınırları tanımlayarak, bir adımda, bazı adımlarla, bu aslında doğrusal olmayan parametrelerin değerlerinin elde edilen ızgarasında bir kaba kuvvet ayarlayabilir ve minimum miktarda kareye yol açan doğrusal regresyonu ortaya çıkarabilirsiniz.

Örnek olarak, işlevi düşünün

Burada aslında doğrusal olmayan parametre olacaktır. Bunu bilmek olduğunu varsayalım. H parametre için bir adım olalım. Doğrusal regresyonları hesaplayın

her birinin her biri için asgari karelerin toplamı için nerede bulunur. En küçüğü, en uygun ilk yaklaşımına karşılık gelir. İlkemle, ızgaranın "kalınlığının" kalınlığına bağlı olduğu bir adım değişebilir, böylece H değerini azaltarak parametre değerleri herhangi bir doğrulukla bulunabilir.

9.6.2. Modeli dönüştür.

Bazen bazı dönüşüm modeli doğrusal olmayan veya doğrusal olmayan parametrelerin sayısını azaltmak için azaltılabilir (bkz. Bölüm 6.2.3). Bunun bir lojistik eğrisi örneği ile nasıl elde edilebileceğini gösterelim.

Regresyon Ters Dönüşümünün İlgili Denklemlerinin Üretilmesi, Biz

Yeni bir fonksiyona gelen laboratuvar, doğrusal parametrelerin sayısı birden ikiye artmıştır. Yeni modeldeki parametre için derecelendirme, örneğin önceki yöntemle bulunabilir.

Regresyon modellerinin dönüşümleri hakkında aşağıdaki açıklamaları yapmak uygundur. İlk denklemin içine giren hatanın, genellikle konuşmanın ardından, genellikle konuştuktan sonra katkı maddesi olmayacağını unutmayın.

Bir dizi Taylor'daki ayrışmanın faydalanması ve terimin ihmal edilmesi yoluyla dönüşümü belirten

Dolayısıyla bunu takip ediyor

İkinci eşitlik, görevi dönüştürülmüş modelle analiz etmek için temel olarak alınabilir.

9.6.3. Alt örnekleri üzerine örnekleme bölünmesi.

İlk yaklaşımı bulmak için, tüm numuneyi alt örneklerin (yaklaşık olarak eşit hacimlerle) parçalayabilirsiniz, burada bilinmeyen parametrelerin sayısı. Her alt montaj için, Y ve X tarafından ortalamayı, sırasıyla, belirttiğimiz X tarafından buluyoruz. Doğrusal olmayan denklem sisteminin göreceli olarak

Bu sistemi çözme ve parametrelerin ilk yaklaşımı olacaktır. Açıkçası, bu yöntemin "çalıştı" için, bu doğrusal olmayan denklem sisteminin, örneğin analitik olarak oldukça kolay bir şekilde çözülmesi gerekir.

9.6.4. Bağımsız bir değişkende bir dizi Taylor'da ayrışma.

Karelerin toplamının yinelemeli minimumlaştırılmasının temeli, bir dizi Taylor'daki regresyon fonksiyonunun parametrelerle doğrusal elemanlara ayrışmasıdır. Kaba bir başlangıç \u200b\u200byaklaşımı bulmak için, bazen bağımsız bir değişken üzerinde bir dizi Taylor'da ayrıştırarak regresyon yaklaşımı prosedürü için faydalıdır. Kolaylık için tek boyutlu olarak kabul edileceğiz. Bırak - ortalama ortalama

Belirtir, böylece doğrusal bir modele gelin

MNA'nın bu doğrusal regresyonun parametrelerinin tahmin edilmesine izin verin. İlk yaklaşımlar olarak, doğrusal olmayan bir denklem sisteminin çözümünü alacağız.

Kök arama için Newton (teğet) yöntemi

Bu, inhibe edilen bir yinelemeli yöntemdir. Isaac Newton (Isaak Newton) 1664 civarında. Bununla birlikte, bazen bu yöntemin Rafson birkaç yıl sonra aynı algoritmayı icat ettiği için Newton Rafson (Rafson) yöntemi olarak adlandırılır, ancak makalesi çok daha erken yayınlandı.

Görev aşağıdaki gibidir. Bir denklem verilir:

Köklerinden birini bulmak için bu denklemi daha kesin olarak çözmek gerekir (köklerin var olduğu varsayılmaktadır). Sürekli ve segmentte farklılaştığı varsayılmaktadır.

Algoritma

İşlev hariç, algoritmanın giriş parametresi de İlk yaklaşım - Bazıları, algoritmanın gitmeye başladığı.

Daha önce aşağıdaki gibi hesaplanarak hesaplanın. Noktadaki program fonksiyonuna teğet edeceğiz ve bu teğetin kesişme noktasını apsis ekseni ile bulacağız. Eşit bir nokta bulunan nokta koyduk ve tüm süreci baştan tekrar ettik.

Aşağıdaki formülü almak zor değildir:

İşlevin "iyi" (pürüzsüz) olması ve kökünün yeterince yakın olması durumunda sezgiseldir, istenen kökünden bile daha yakın olacaktır.

Yakınsama hızı ikinci derecedeBu, geleneksel olarak, yaklaşık değerdeki doğru boşalma sayısının her bir yineleme ile ikiye katlandığı anlamına gelir.

Karekökü Hesaplama Uygulaması

Temiz kökü hesaplama örneğinde Newton yöntemini göz önünde bulundurun.

Eğer ikame edersek, sonra ifadeyi basitleştirdikten sonra:

İlk tipik görev seçeneği, kesirli bir sayı verildiğinde ve kökünü bir miktar hassasiyetle hesaplamak gerekir:

Başka bir ortak görev seçeneği, tamsayı kökünün (bunun için en iyisini bulmak için) hesaplanması gerektiği zamandır. Burada durdurma algoritmasının durumunu hafifçe değiştirmelisiniz, çünkü cevabın yakınında "atlamaya" başlayacak. Bu nedenle, önceki adımdaki değerin azaldığı ve mevcut adımda artış yapmaya çalışırsa, algoritmanın durdurulması şartıyla bir durum ekliyoruz.

Son olarak, uzun aritmetik olması için üçüncü bir seçenek sunacağız. Numara oldukça büyük olabildiğinden, ilk yaklaşımına dikkat etmek mantıklıdır. Açıkçası, kökünün ne kadar yakın olduğu, sonuç ne kadar hızlı elde edilir. Oldukça basit ve etkili, ilk yaklaşım numarası olarak alınacaktır. Numaradaki bit sayısı. İşte bu seçenek gösteren Java'nın dilindeki kod:

Biginteger n; // giriş verileri Biginteger a \u003d biginteger.one .Shiftfitt (n.bitlength () / 2); boolean p_dec \u003d false; için (;;) (Biginteger B \u003d n.Divide (a) .add (a) .Shifttright (1); eğer (a.compareto (b) \u003d\u003d 0 || a.compareto (b)< 0 && p_dec) break ; p_dec = a.compareTo (b) > 0; a \u003d b; )

Örneğin, bu kod varyantı, milisaniye için bir sayı için gerçekleştirilir ve ilk yaklaşımın iyileştirilmiş seçimini kaldırırsanız (sadece başla), daha sonra yaklaşık milisaniye gerçekleştirilecektir.