• O noktasında kesişen karşılıklı olarak dik iki koordinat çizgisi - orijin, form dikdörtgen koordinat sistemi Kartezyen koordinat sistemi olarak da adlandırılır.
• Koordinat sisteminin seçildiği düzleme denir. koordinat uçağı. Koordinat çizgileri denir koordinat eksenleri... Yatay - apsis (Öküz), dikey - ordinat (Oy).
• Koordinat eksenleri, koordinat düzlemini dört parçaya böler - çeyrek. Çeyreklerin sıra sayıları genellikle saat yönünün tersine sayılır.
• Koordinat düzlemindeki herhangi bir nokta, koordinatlarıyla belirtilir - apsis ve ordinat... Örneğin, bir (3; 4)... Okuyun: koordinatları 3 ve 4 olan A noktası. Burada 3 apsis, 4 ordinattır.

I. A noktasının (3; 4) oluşturulması.

apsis 3 başlangıç ​​noktasından O noktasının sağa ertelenmesi gerektiğini gösterir 3 birim segmentleri ve ardından yukarı erteleyin 4 birim segmentleri ve bir nokta koyun.

mesele bu bir (3; 4).

B noktasının inşası (-2; 5).

Sıfırdan sola doğru bir kenara koyun 2 birim segmentleri ve ardından yukarı 5 birim segmentler.

bir nokta koyduk V.

Genellikle, bir birim segment alınır 1 hücre.

II. xOy koordinat düzleminde noktalar çizin:

A (-3; 1);B (-1; -2);

C (-2: 4);D (2; 3);

F (6: 4);K (4; 0)

III. Oluşturulan noktaların koordinatlarını belirleyin: A, B, C, D, F, K.

A (-4; 3);20);

C(3; 4);D (6; 5);

F (0; -3);K (5; -2).

Ortak bir orijin (köken) ve ortak bir uzunluk birimi ile birbirine dik iki veya üç kesişen eksenden oluşan düzenli bir sisteme denir. dikdörtgen kartezyen koordinat sistemi .

Genel Kartezyen koordinat sistemi (afin koordinat sistemi) mutlaka dik eksenler içermeyebilir. Fransız matematikçi René Descartes'ın (1596-1662) onuruna, tam olarak böyle bir koordinat sistemi, tüm eksenlerde ortak bir uzunluk biriminin sayıldığı ve eksenlerin düz çizgiler olduğu bir koordinat sistemi olarak adlandırılır.

Düzlemde Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi iki ekseni vardır ve uzayda dikdörtgen kartezyen koordinat sistemi - üç eksen. Bir düzlemdeki veya uzaydaki her nokta, sıralı bir koordinat seti ile tanımlanır - koordinat sisteminin uzunluk birimine göre sayılar.

Tanımdan da anlaşılacağı gibi, düz bir çizgi üzerinde, yani tek boyutta bir Kartezyen koordinat sistemi olduğuna dikkat edin. Düz bir çizgi üzerinde Kartezyen koordinatların tanıtılması, düz bir çizgi üzerindeki herhangi bir noktanın iyi tanımlanmış bir gerçek sayı, yani bir koordinat ile ilişkilendirilmesinin yollarından biridir.

René Descartes'ın çalışmalarında ortaya çıkan koordinat yöntemi, tüm matematiğin devrim niteliğinde yeniden yapılandırılmasına işaret ediyordu. Artık yorumlamak mümkün cebirsel denklemler(veya eşitsizlikler) geometrik görüntüler (grafikler) şeklinde ve tersine, analitik formüller, denklem sistemleri kullanarak geometrik problemlere çözüm arar. Böylece eşitsizlik z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy ve bu düzlemin üzerinde 3 birim bulunur.

Kartezyen koordinat sistemi yardımıyla bir noktanın verilen bir eğriye ait olması, sayıların x ve y bazı denklemleri tatmin et. Böylece, belirli bir noktada ortalanmış bir dairenin bir noktasının koordinatları ( a; B) denklemi sağlayın (x - a)² + ( y - B)² = r² .

Düzlemde Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi

Ortak bir orijine ve aynı ölçek birimi formuna sahip bir düzlemde iki dik eksen bir düzlemde kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi ... Bu eksenlerden birine eksen denir. Öküz, veya apsis , diğer - eksene göre Oy, veya y ekseni ... Bu eksenlere koordinat eksenleri de denir. ile belirtelim mx ve my sırasıyla, keyfi bir noktanın izdüşümü m eksende Öküz ve Oy... Projeksiyonlar nasıl alınır? Noktayı çizelim m Öküz... Bu çizgi ekseni kesiyor Öküz noktada mx... Noktayı çizelim m eksene dik doğru Oy... Bu çizgi ekseni kesiyor Oy noktada my... Bu, aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

x ve y puan m sırasıyla, yönlendirilen segmentlerin değerlerini arayacağız OMx ve OMy... Bu yönlendirilmiş segmentlerin değerleri buna göre hesaplanır. x = x0 - 0 ve y = y0 - 0 ... Kartezyen koordinatları x ve y puan m apsis ve ordinat ... nokta olduğu gerçeği m koordinatları var x ve y, şu şekilde gösterilir: m(x, y) .

Koordinat eksenleri düzlemi dörde böler kadran , numaralandırması aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Ayrıca, belirli bir kadrandaki konumlarına bağlı olarak noktaların koordinatlarının işaretlerinin düzenini de gösterir.

Kartezyen dikdörtgen koordinatlarına ek olarak, bir düzlemde genellikle bir kutupsal koordinat sistemi düşünülür. Bir koordinat sisteminden diğerine geçiş yöntemi hakkında - derste kutupsal koordinat sistemi .

Uzayda Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi

Uzaydaki Kartezyen koordinatlar, bir düzlemdeki Kartezyen koordinatlarla tam bir analoji içinde tanıtılır.

Ortak bir orijine sahip uzayda birbirine dik üç eksen (koordinat eksenleri) Ö ve aynı ölçek birim formuyla uzayda kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi .

Bu eksenlerden birine eksen denir. Öküz, veya apsis , diğer - eksene göre Oy, veya y ekseni , üçüncü - eksene göre Öz, veya eksen uygulaması ... İzin vermek mx, my mz- keyfi bir noktanın projeksiyonları m eksen üzerindeki boşluk Öküz , Oy ve Öz sırasıyla.

Noktayı çizelim m ÖküzÖküz noktada mx... Noktayı çizelim m eksene dik düzlem Oy... Bu düzlem ekseni kesiyor Oy noktada my... Noktayı çizelim m eksene dik düzlem Öz... Bu düzlem ekseni kesiyor Öz noktada mz.

Kartezyen dikdörtgen koordinatlar x , y ve z puan m sırasıyla, yönlendirilen segmentlerin değerlerini arayacağız OMx, OMy ve OMz... Bu yönlendirilmiş segmentlerin değerleri buna göre hesaplanır. x = x0 - 0 , y = y0 - 0 ve z = z0 - 0 .

Kartezyen koordinatları x , y ve z puan m buna göre adlandırılır apsis , ordinat ve başvurmak .

Çiftler halinde alınan koordinat eksenleri koordinat düzlemlerinde bulunur. xOy , yOz ve zOx .

Kartezyen koordinat sisteminde nokta problemleri

Örnek 1.

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Bu noktaların apsis ekseni üzerindeki izdüşümlerinin koordinatlarını bulunuz.

Çözüm. Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın apsis eksenine izdüşümü apsis ekseninin kendisinde yani eksen üzerinde yer almaktadır. Öküz, ve bu nedenle noktanın kendisinin apsisine eşit bir apsisi ve bir ordinatı (eksen üzerinde koordinat) vardır. Oy apsis ekseninin 0 noktasında kesiştiği, sıfıra eşittir. Böylece apsis ekseninde bu noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

Ax (2; 0);

Bx (3; 0);

Cx (-5; 0).

Örnek 2. Noktalar düzlemde Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Bu noktaların izdüşümlerinin koordinatlarını koordinat ekseninde bulun.

Çözüm. Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın ordinat eksenine izdüşümü, ordinatın kendisinde, yani eksende bulunur. Oy, ve bu nedenle noktanın kendisinin koordinatına eşit bir ordinata ve bir apsise (eksen üzerindeki koordinat) sahiptir. Öküz, ordinat ekseni 0 noktasında kesişir), sıfıra eşittir. Böylece, ordinat ekseninde bu noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

Ay (0; 2);

By (0; 1);

Cy (0; -2).

Örnek 3. Noktalar düzlemde Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Öküz .

Öküz Öküz Öküz, bu nokta ile aynı apsise ve mutlak değerde bu noktanın ordinatına eşit ve işarette zıt bir ordinata sahip olacaktır. Böylece eksen etrafında bu noktalara simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz. Öküz :

A "(2; -3) ;

B "(-3; -2) ;

C "(-1; 1) .

Kartezyen koordinat sistemindeki sorunları kendiniz çözün ve ardından çözümleri görün

Örnek 4. Noktanın hangi kadranlarda (çeyrek, kadranlarla çizim - "Düzlemde Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi" paragrafının sonunda) bulunabileceğini belirleyin m(x; y) , Eğer

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Örnek 5. Noktalar düzlemde Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; B) .

Bu noktalara eksen etrafında simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun Oy .

Sorunları birlikte çözmeye devam ediyoruz

Örnek 6. Noktalar düzlemde Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Bu noktalara eksen etrafında simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun Oy .

Çözüm. Eksen etrafında 180 derece döndürün Oy eksenden yön çizgisi Oy bu noktaya. Düzlemin kadranlarının gösterildiği şekilde, noktanın eksen etrafında verilene simetrik olduğunu görüyoruz. Oy, bu nokta ile aynı ordinata ve mutlak değerde bu noktanın apsisine eşit ve işarette zıt bir apsise sahip olacaktır. Böylece eksen etrafında bu noktalara simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz. Oy :

A "(1; 2) ;

B "(-3; -1) ;

C "(2; -2) .

Örnek 7. Noktalar düzlemde Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Orijine göre bu noktalara simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun.

Çözüm. Yönlü parçayı orijinden verilen noktaya orijin etrafında 180 derece döndürün. Düzlemin kadranlarının gösterildiği şekilde, orijine göre verilen bir noktaya simetrik olan bir noktanın bir apsise ve bu noktanın apsis ve ordinatına mutlak değerde eşit bir apsise ve bir ordinata sahip olacağını görüyoruz. işaret. Böylece, orijine göre bu noktalara simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

A "(-3; -3) ;

B "(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Örnek 8.

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Bu noktaların izdüşümlerinin koordinatlarını bulun:

1) uçakta oksi ;

2) uçakta öküz ;

3) uçakta Oyz ;

4) apsis ekseninde;

5) ordinat ekseninde;

6) uygulama ekseninde.

1) Bir noktanın bir düzlem üzerine izdüşümü oksi tam da bu düzlemde bulunur ve bu nedenle belirli bir noktanın apsisi ve ordinatına eşit bir apsisi ve bir ordinatı ve sıfıra eşit bir aplikasyonu vardır. Bu noktaların izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını alıyoruz: oksi :

Axy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy (2; -3; 0).

2) Bir noktanın bir düzlem üzerine izdüşümü öküz tam da bu düzlemde bulunur ve bu nedenle bir apsisi ve apsise eşit bir aplikasyonu ve belirli bir noktanın aplikasyonu ve sıfıra eşit bir ordinatı vardır. Bu noktaların izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını alıyoruz: öküz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Bir noktanın bir düzlem üzerine izdüşümü Oyz bu düzlemin kendisinde bulunur ve bu nedenle ordinata eşit bir ordinatı ve bir aplikasyonu ve belirli bir noktanın aplikasyonu ve sıfıra eşit bir apsisi vardır. Bu noktaların izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını alıyoruz: Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın apsis eksenine izdüşümü apsis ekseninin kendisinde yani eksen üzerinde yer alır. Öküz, ve bu nedenle noktanın kendisinin apsisine eşit bir apsise sahiptir ve projeksiyonun ordinatı ve uygulaması sıfıra eşittir (çünkü ordinat ve uygulama eksenleri apsisi 0 noktasında keser). Bu noktaların apsis eksenindeki izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını alıyoruz:

Ax (4; 0; 0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx (2; 0; 0).

5) Bir noktanın ordinat eksenine izdüşümü, ordinat ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. Oy, ve bu nedenle noktanın kendisinin koordinatına eşit bir ordinata sahiptir ve projeksiyonun apsisi ve uygulaması sıfıra eşittir (çünkü apsis ve aplike eksenleri ordinatı 0 noktasında keser). Bu noktaların ordinat eksenindeki izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını alıyoruz:

Ay (0; 3; 0);

By (0; 2; 0);

Cy (0; -3; 0).

6) Bir noktanın uygulama eksenine izdüşümü, uygulama ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. Öz, ve bu nedenle noktanın kendisinin uygulamasına eşit bir uygulamaya sahiptir ve projeksiyonun apsisi ve ordinatı sıfıra eşittir (çünkü apsis ve ordinat eksenleri uygulama eksenini 0 noktasında keser). Bu noktaların uygulama eksenindeki izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını alıyoruz:

Az (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz (0; 0; 0).

Örnek 9. Noktalar uzayda Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Bu noktalara göre simetrik noktaların koordinatlarını bulun:

1) uçaklar oksi ;

2) uçaklar öküz ;

3) uçaklar Oyz ;

4) apsis eksenleri;

5) koordinat eksenleri;

6) uygulama eksenleri;

7) koordinatların kökeni.

1) Eksenin diğer tarafındaki noktayı "taşıyın" oksi oksi, belirli bir noktanın apsis ve ordinatına eşit bir apsis ve bir ordinat ve belirli bir noktanın aplikasyonuna büyüklük olarak eşit, ancak işaret olarak zıt bir aplikasyona sahip olacaktır. Böylece, uçağa göre verilere simetrik noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. oksi :

A "(2; 3; -1) ;

B "(5; -3; -2) ;

C "(-3; 2; 1) .

2) Eksenin diğer tarafındaki noktayı "taşıyın" öküz aynı mesafe. Koordinat uzayını gösteren şekilden, verilen noktanın eksen etrafında simetrik olduğunu görüyoruz. öküz, bir apsise sahip olacak ve belirli bir noktanın apsis ve aplikasyonuna eşit aplike ve verilen bir noktanın ordinatına büyüklük olarak eşit, ancak işaret olarak zıt bir ordinat olacaktır. Böylece, uçağa göre verilere simetrik noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. öküz :

A "(2; -3; 1) ;

B "(5; 3; 2) ;

C "(-3; -2; -1) .

3) Eksenin diğer tarafındaki noktayı "taşıyın" Oyz aynı mesafe. Koordinat uzayını gösteren şekilden, verilen noktanın eksen etrafında simetrik olduğunu görüyoruz. Oyz, verilen bir noktanın ordinata eşit bir ordinatı ve bir aplikasyonu ve bir aplikasyonu ve belirli bir noktanın apsisine eşit büyüklükte, ancak işaret bakımından zıt bir apsise sahip olacaktır. Böylece, uçağa göre verilere simetrik noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Oyz :

A "(-2; 3; 1) ;

B "(-5; -3; 2) ;

C "(3; 2; -1) .

Analoji ile simetrik noktalar düzlemde ve uzaydaki noktalarda, düzlemlere göre verilere simetrik olarak, uzayda Kartezyen koordinat sisteminin bir ekseni etrafında simetri olması durumunda, simetrinin ayarlandığı eksen üzerindeki koordinatın işaretini korur ve diğer iki eksendeki koordinatlar, belirli bir noktanın koordinatlarıyla mutlak olarak aynı değerde, ancak işarette zıt olacaktır.

4) Apsis işaretini koruyacak ve ordinat ve aplikasyon işaretleri değiştirecek. Böylece, apsis ekseni hakkındaki verilere simetrik olan aşağıdaki nokta koordinatlarını elde ederiz:

A "(2; -3; -1) ;

B "(5; 3; -2) ;

C "(-3; -2; 1) .

5) Ordinat, işaretini koruyacak ve apsis ve aplikasyon işaretleri değiştirecektir. Böylece, ordinat ekseni hakkındaki verilere simetrik olan aşağıdaki nokta koordinatlarını elde ederiz:

A "(-2; 3; -1) ;

B "(-5; -3; -2) ;

C "(3; 2; 1) .

6) İşareti aplikasyonu tutacak, apsis ve ordinat işaretleri değiştirecektir. Böylece, uygulama ekseni hakkındaki verilere simetrik olan aşağıdaki nokta koordinatlarını elde ederiz:

A "(-2; -3; 1) ;

B "(-5; 3; 2) ;

C "(3; -2; -1) .

7) Bir düzlemdeki noktalar durumunda simetriye benzetilerek, koordinatların orijine göre simetri durumunda, belirli bir noktaya simetrik olan bir noktanın tüm koordinatları, belirli bir noktanın koordinatlarına mutlak değerde eşit olacaktır, ama işarette zıt. Böylece, orijine ilişkin verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz.

Verilmesine izin ver iki değişkenli denklem F (x; y)... Bu tür denklemleri analitik olarak nasıl çözeceğinizi zaten öğrendiniz. Bu tür denklemlerin birçok çözümü bir grafik şeklinde gösterilebilir.

F (x; y) denkleminin grafiği, koordinatları denklemi karşılayan xOy koordinat düzleminin noktaları kümesidir.

İki değişkenli bir denklemin grafiğini oluşturmak için önce denklemdeki y değişkenini x değişkeni cinsinden ifade edersiniz.

Elbette, iki değişkenli çeşitli denklem grafiklerinin nasıl oluşturulacağını zaten biliyorsunuz: ax + b = c - çizgi, yx = k - hiperbol, (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 - yarıçapı olan daire R'ye eşittir ve merkez O noktasındadır (a; b).

Örnek 1.

x 2 - 9y 2 = 0 denklemini çizin.

Çözüm.

Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırın.

(x - 3y) (x + 3y) = 0, yani y = x / 3 veya y = -x / 3.

Cevap: Şekil 1.

Üzerinde ayrıntılı olarak duracağımız mutlak bir değerin işaretini içeren denklemler tarafından bir düzlemdeki rakamların atanmasıyla özel bir yer işgal edilir. |y | = f(x) ve |y | = |f(x) |.

İlk denklem sisteme eşdeğerdir

(f(x) ≥ 0,
(y = f (x) veya y = -f (x).

Yani, grafiği iki fonksiyonun grafiklerinden oluşur: y = f (x) ve y = -f (x), burada f (x) ≥ 0.

İkinci denklemin grafiğini çizmek için iki fonksiyon çizilir: y = f (x) ve y = -f (x).

Örnek 2.

Arsa denklemi |y | = 2 + x.

Çözüm.

Verilen denklem sisteme eşdeğerdir

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 veya y = -x - 2.

Bir dizi nokta oluşturuyoruz.

Cevap: Şekil 2.

Örnek 3.

Denklemi çizin |y - x | = 1.

Çözüm.

y ≥ x ise y = x + 1, y ≤ x ise y = x - 1.

Cevap: Şekil 3.

Modül işareti altında bir değişken içeren denklemlerin grafiklerini çizerken, kullanımı uygun ve rasyoneldir. alan yöntemi, koordinat düzlemini, her bir alt modül ifadesinin işaretini koruduğu parçalara bölmeye dayanır.

Örnek 4.

x + |x | denklemini çizin + y + | y ​​| = 2.

Çözüm.

Bu örnekte, her bir alt modül ifadesinin işareti, koordinat çeyreğine bağlıdır.

1) Birinci koordinat çeyreğinde x ≥ 0 ve y ≥ 0. Modül genişletildikten sonra verilen denklem şu şekilde olacaktır:

2x + 2y = 2 ve sadeleştirmeden sonra x + y = 1.

2) ikinci çeyrekte, burada x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Üçüncü çeyrekte x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Dördüncü çeyrekte x ≥ 0 ve y için< 0 получим, что x = 1.

Takvim bu denklem mahallelerde inşa edeceğiz.

Cevap: Şekil 4.

Örnek 5.

Koordinatları eşitliği sağlayan noktalar kümesini çizin |x - 1 | + | y ​​- 1 | = 1.

Çözüm.

x = 1 ve y = 1 alt modül ifadelerinin sıfırları, koordinat düzlemini dört bölgeye ayırır. Modülleri alana göre genişletelim. Tablo şeklinde sıralayalım.

Cevap: Şekil 5.

Koordinat düzleminde rakamlar belirtilebilir ve eşitsizlikler.

eşitsizlik grafiği iki değişkenli, koordinatları bu eşitsizliğin çözümleri olan koordinat düzleminin tüm noktalarının kümesidir.

Düşünmek iki değişkenli bir eşitsizliğe çözüm modeli oluşturmak için bir algoritma:

1. Eşitsizliğe karşılık gelen denklemi yazın.
2. 1. adımdaki denklemi çizin.
3. Yarım düzlemlerden birinde rastgele bir nokta seçin. Seçilen noktanın koordinatlarının verilen eşitsizliği karşılayıp karşılamadığını kontrol edin.
4. Eşitsizliğe yönelik tüm çözümlerin kümesini grafiksel olarak gösterin.

Her şeyden önce, ax + bx + c> 0 eşitsizliğini göz önünde bulundurun. ax + bx + c = 0 denklemi, düzlemi iki yarım düzleme bölen bir doğru tanımlar. Her birinde, f (x) = ax + bx + c işlevi işaret koruyucudur. Bu işareti belirlemek için yarım düzleme ait herhangi bir noktayı almak ve fonksiyonun bu noktadaki değerini hesaplamak yeterlidir. Eğer fonksiyonun işareti eşitsizliğin işaretiyle çakışıyorsa bu yarım düzlem eşitsizliğin çözümü olacaktır.

İki değişkendeki en yaygın eşitsizliklerin grafik çözüm örneklerini ele alalım.

1) balta + bx + c ≥ 0. Şekil 6.

2) |x | ≤ a, a> 0. Şekil 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a> 0. Şekil 8.

4) y ≥ x 2. Şekil 9.

5) xy ≤ 1. Şekil 10.

Sorularınız varsa veya matematiksel modelleme kullanarak model düzleminde iki değişkenli eşitsizliklere ilişkin tüm çözüm kümelerini simüle etme alıştırması yapmak istiyorsanız, şunları yapabilirsiniz: çevrimiçi bir öğretmenle ücretsiz 25 dakikalık ders sonrasında . Öğretmenle daha fazla çalışmak için size uygun olanı seçme şansınız olacak.

Hala sorularınız mı var? Koordinat düzleminde bir şekli nasıl çizeceğinizden emin değil misiniz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Matematik karmaşık bir bilimdir. Onu incelerken, kişinin sadece örnekleri ve problemleri çözmesi değil, aynı zamanda çeşitli şekiller ve hatta düzlemlerle çalışması da gerekir. Matematikte en çok kullanılanlardan biri düzlem koordinat sistemidir. Çocuklara bir yıldan fazla bir süredir onunla nasıl çalışacakları öğretildi. Bu nedenle, ne olduğunu ve onunla nasıl doğru çalışılacağını bilmek önemlidir.

Bu sistemin ne olduğunu, yardımı ile hangi eylemlerin gerçekleştirilebileceğini anlayalım ve ayrıca ana özelliklerini ve özelliklerini öğrenelim.

kavramın tanımı

Koordinat düzlemi, üzerinde yer alan düzlemdir. özel sistem koordinatlar. Böyle bir düzlem, dik açılarda kesişen iki düz çizgi ile tanımlanır. Koordinatların orijini bu doğruların kesiştiği noktadadır. Koordinat düzlemindeki her nokta, koordinat adı verilen bir çift sayı ile belirtilir.

Bir okul matematik dersinde, okul çocukları bir koordinat sistemi ile oldukça yakın çalışmak zorundadır - üzerinde şekiller ve noktalar oluşturmak, belirli bir koordinatın hangi düzleme ait olduğunu belirlemek ve ayrıca bir noktanın koordinatlarını belirlemek ve bunları yazmak veya adlandırmak. Bu nedenle, koordinatların tüm özellikleri hakkında daha ayrıntılı konuşalım. Ama önce yaratılış tarihine değinelim, ardından koordinat düzleminde nasıl çalışacağımızdan bahsedelim.

Geçmiş referansı

Bir koordinat sistemi oluşturma fikirleri Ptolemy zamanında zaten vardı. O zaman bile, gökbilimciler ve matematikçiler, bir noktanın konumunu uçakta nasıl ayarlayacaklarını nasıl öğreneceklerini düşünüyorlardı. Ne yazık ki o zamanlar henüz bizim bildiğimiz bir koordinat sistemi yoktu ve bilim adamları başka sistemleri kullanmak zorunda kaldılar.

Başlangıçta, enlem ve boylam belirterek noktalar belirlerler. Uzun bir süre, şu veya bu bilgiyi haritalamanın en çok kullanılan yollarından biriydi. Ancak 1637'de Rene Descartes, daha sonra "Kartezyen" olanın adını taşıyan kendi koordinat sistemini yarattı.

Zaten 17. yüzyılın sonunda. "koordinat düzlemi" kavramı matematik dünyasında yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Bu sistemin yaratılmasından bu yana birkaç yüzyıl geçmesine rağmen, matematikte ve hatta hayatta hala yaygın olarak kullanılmaktadır.

Koordinat düzlemi örnekleri

Teoriden bahsetmeden önce, hayal edebilmeniz için koordinat düzleminin bazı açıklayıcı örnekleri. Koordinat sistemi öncelikle satrançta kullanılır. Tahtada, her karenin kendi koordinatları vardır - bir harf koordinatı, ikinci dijital. Onun yardımıyla, belirli bir parçanın tahtadaki konumunu belirleyebilirsiniz.

İkinci en çarpıcı örnek, birçok oyun tarafından sevilen "Deniz Savaşı" dır. Oynarken, koordinatı nasıl adlandırdığınızı, örneğin B3'ü, böylece tam olarak nereye nişan alacağınızı belirttiğinizi unutmayın. Aynı zamanda gemileri yerleştirirken, koordinat düzleminde noktalar belirlersiniz.

Bu koordinat sistemi sadece matematikte, mantık oyunlarında değil, askerlik, astronomi, fizik ve diğer birçok bilimde de yaygın olarak kullanılmaktadır.

koordinat eksenleri

Daha önce belirtildiği gibi, koordinat sisteminde iki eksen ayırt edilir. Oldukça önemli oldukları için onlardan biraz bahsedelim.

İlk eksen, apsis, yataydır. olarak gösterilir ( Öküz). İkinci eksen, referans noktasından dikey olarak geçen ve ( olarak gösterilen ordinattır. Oy). Koordinat sistemini oluşturan bu iki eksen, düzlemi dörde böler. Orijin bu iki eksenin kesişme noktasındadır ve değeri alır. 0 ... Yalnızca düzlem, dikey olarak kesişen ve bir referans noktasına sahip iki eksenden oluşuyorsa, bir koordinat düzlemidir.

Ayrıca eksenlerin her birinin kendi yönüne sahip olduğunu unutmayın. Genellikle, bir koordinat sistemi oluştururken, eksenin yönünü bir ok şeklinde belirtmek gelenekseldir. Ek olarak, bir koordinat düzlemi oluşturulurken eksenlerin her biri abone olunur.

Çeyrek

Şimdi koordinat düzleminin çeyreği gibi bir kavram hakkında birkaç söz söyleyelim. Düzlem iki eksenle dörde bölünmüştür. Uçakların numaralandırılması saat yönünün tersine iken, her birinin kendi numarası vardır.

Mahallelerin her birinin kendine has özellikleri vardır. Yani, ilk çeyrekte apsis ve ordinat pozitif, ikinci çeyrekte apsis negatif, ordinat pozitif, üçüncüde hem apsis hem de ordinat negatif, dördüncüde apsis pozitif ve ordinat negatif.

Bu özellikleri hatırlayarak, bu veya bu noktanın hangi çeyreğe ait olduğunu kolayca belirleyebilirsiniz. Ayrıca bu bilgiler, Kartezyen sistemi kullanarak hesaplamalar yapmanız gerektiğinde işinize yarayabilir.

Koordinat düzlemi ile çalışma

Bir uçak kavramını anladığımızda ve çeyrekleri hakkında konuştuğumuzda, bu sistemle çalışmak gibi bir soruna geçebilir ve ayrıca noktaların, şekillerin koordinatlarının nasıl uygulanacağı hakkında konuşabiliriz. Koordinat düzleminde bu, ilk bakışta göründüğü kadar zor değildir.

Her şeyden önce, sistemin kendisi inşa edilir, tüm önemli tanımlamalar ona uygulanır. Sonra doğrudan noktalar veya şekillerle çalışırız. Bu durumda, şekiller oluşturulurken bile, önce düzlemde noktalar çizilir, ardından şekiller çizilir.

Uçak yapım kuralları

Kağıt üzerinde şekilleri ve noktaları işaretlemeye karar verirseniz, bir koordinat düzlemine ihtiyacınız vardır. Noktaların koordinatları ona uygulanır. Bir koordinat düzlemi oluşturmak için sadece bir cetvele ve bir kaleme veya kurşun kaleme ihtiyacınız var. İlk önce yatay apsis, ardından dikey - ordinat çizilir. Eksenlerin dik açılarda kesiştiğini hatırlamak önemlidir.

Bir sonraki zorunlu öğe işaretlemedir. Her iki yöndeki eksenlerin her birinde, birimler-çizgi segmentleri işaretlenir ve imzalanır. Bu, daha sonra uçakla maksimum rahatlıkla çalışabilmeniz için yapılır.

noktayı işaretleyin

Şimdi koordinat düzleminde noktaların koordinatlarının nasıl çizileceğinden bahsedelim. Bu, çeşitli şekilleri bir düzleme başarılı bir şekilde yerleştirmek ve hatta denklemleri işaretlemek için bilmeniz gereken temel bilgilerdir.

Noktaları çizerken, koordinatlarının nasıl doğru şekilde kaydedildiğini unutmayın. Bu nedenle, genellikle bir nokta belirtilerek, parantez içinde iki sayı yazılır. İlk sayı, noktanın apsis ekseni boyunca koordinatını, ikincisi - ordinat ekseni boyunca gösterir.

Nokta bu şekilde inşa edilmelidir. Eksen üzerindeki ilk işaret Öküz hedef noktayı seçin, ardından noktayı eksen üzerinde işaretleyin Oy... Ardından, bu gösterimlerden hayali çizgiler çizin ve kesişme yerlerini bulun - bu verilen nokta olacaktır.

Sadece işaretlemeniz ve imzalamanız yeterlidir. Gördüğünüz gibi, her şey oldukça basit ve herhangi bir özel beceri gerektirmiyor.

Şekli yerleştirin

Şimdi koordinat düzleminde rakamların inşası gibi bir soruya geçelim. Koordinat düzleminde herhangi bir şekil oluşturmak için, üzerine nasıl nokta yerleştirileceğini bilmeniz gerekir. Bunu nasıl yapacağınızı biliyorsanız, uçağa bir şekil yerleştirmek o kadar da zor değil.

Her şeyden önce, şeklin noktalarının koordinatlarına ihtiyacınız var. Sizin tarafınızdan seçilen koordinatları koordinat sistemimize uygulayacağız.Bir dikdörtgen, üçgen ve daire çizmeyi düşünün.

Bir dikdörtgenle başlayalım. Uygulaması oldukça kolaydır. İlk olarak, düzlemde dikdörtgenin köşelerini gösteren dört nokta çizilir. Daha sonra tüm noktalar birbirine seri olarak bağlanır.

Bir üçgen çizmek farklı değil. Tek şey, üç köşeye sahip olmasıdır, bu, düzleme köşelerini gösteren üç noktanın uygulandığı anlamına gelir.

Çemberle ilgili olarak, burada iki noktanın koordinatlarını bilmelisiniz. İlk nokta dairenin merkezi, ikincisi yarıçapı gösteren noktadır. Bu iki nokta düzlemde çizilir. Daha sonra bir pusula alınır, iki nokta arasındaki mesafe ölçülür. Pusulanın noktası merkez noktaya yerleştirilir ve bir daire tanımlanır.

Gördüğünüz gibi, burada da karmaşık bir şey yok, asıl mesele her zaman elinizde bir cetvel ve pergelin olmasıdır.

Artık şekillerin koordinatlarını nasıl çizeceğinizi biliyorsunuz. Koordinat düzleminde, bunu yapmak ilk bakışta göründüğü kadar zor değildir.

sonuçlar

Bu yüzden, her öğrencinin uğraşması gereken matematik için en ilginç ve temel kavramlardan birini sizinle birlikte düşündük.

Koordinat düzleminin iki eksenin kesişmesinden oluşan bir düzlem olduğunu öğrendik. Yardımı ile noktaların koordinatlarını ayarlayabilir, ona şekiller uygulayabilirsiniz. Uçak, her biri kendi özelliklerine sahip olan mahallelere bölünmüştür.

Bir koordinat düzlemi ile çalışırken geliştirilmesi gereken ana beceri, belirtilen noktaları ona doğru bir şekilde uygulama yeteneğidir. Bunu yapmak için, eksenlerin doğru konumunu, çeyreklerin özelliklerini ve noktaların koordinatlarının ayarlandığı kuralları bilmeniz gerekir.

Verdiğimiz bilgilerin erişilebilir ve anlaşılır olduğunu ve ayrıca sizin için yararlı olduğunu ve bu konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olduğunu umuyoruz.

dikdörtgen sistem düzlemdeki koordinatlar, birbirine dik iki düz çizgi ile verilir. Düz çizgilere koordinat eksenleri (veya koordinat eksenleri) denir. Bu çizgilerin kesişme noktasına orijin denir ve O harfi ile gösterilir.

Genellikle düz çizgilerden biri yatay, diğeri dikeydir. Yatay çizgi, x (veya Ox) ekseni olarak belirlenir ve apsis ekseni olarak adlandırılır, dikey çizgi - y (Oy) ekseni, ordinat ekseni olarak adlandırılır. Tüm koordinat sistemi xOy ile gösterilir.

O noktası, eksenlerin her birini, biri pozitif kabul edilen (bir okla gösterilir), diğeri negatif olan iki yarım eksene böler.

Düzlemin her F noktasına bir çift sayı (x; y) atanır - koordinatları.

x koordinatına apsis denir. Uygun işaretle alınan Öküz'e eşittir.

Y koordinatına ordinat adı verilir ve F noktasından Oy eksenine olan mesafeye eşittir (uygun işaretle).

Aks mesafeleri genellikle (ancak her zaman değil) aynı uzunluk biriminde ölçülür.

Y ekseninin sağındaki noktalar pozitif apsislere sahiptir. Ordinat ekseninin solunda kalan noktalar için apsisler negatiftir. Oy ekseni üzerindeki herhangi bir nokta için x koordinatı sıfırdır.

Pozitif ordinatı olan noktalar, x ekseninin üzerinde, negatif olanı ise aşağıdadır. Ox ekseni üzerinde bir nokta varsa, y koordinatı sıfırdır.

Koordinat eksenleri, düzlemi koordinat çeyrekleri (veya koordinat açıları veya kadranlar) olarak adlandırılan dört parçaya böler.

1 koordinat çeyreği xOy koordinat düzleminin sağ üst köşesinde bulunur. İlk çeyrekte yer alan noktaların her iki koordinatı da pozitiftir.

Bir çeyrekten diğerine geçiş saat yönünün tersinedir.

2 koordinat çeyrek sol üst köşede bulunur. II çeyreğinde uzanan noktalar negatif bir apsise ve pozitif bir ordinata sahiptir.

3 koordinatlı çeyrek xOy düzleminin sol alt çeyreğinde yer alır. III koordinat açısına ait noktaların her iki koordinatı da negatiftir.

4 koordinat çeyreği Koordinat düzleminin sağ alt köşesidir. IV çeyreğinden herhangi bir noktanın pozitif bir ilk koordinatı ve negatif bir ikinci koordinatı vardır.

Dikdörtgen koordinat sistemindeki noktaların konumuna bir örnek: